Vergelijking met modulus op het vierkante ruitvlak. Ruit als geometrische figuur. De diagonalen van een ruit zijn de deellijnen van zijn hoeken

En opnieuw de vraag: is een ruit een parallellogram of niet?

Met volledig recht - een parallellogram, omdat het en heeft (denk aan onze functie 2).

En nogmaals, aangezien een ruit een parallellogram is, moet deze alle eigenschappen van een parallellogram hebben. Dit betekent dat in een ruit de overstaande hoeken gelijk zijn, de tegenoverliggende zijden evenwijdig en de diagonalen zich op het snijpunt in tweeën snijden.

Eigenschappen van een ruit

Kijk naar de foto:

Net als bij een rechthoek zijn deze eigenschappen onderscheidend, dat wil zeggen dat we voor elk van deze eigenschappen kunnen concluderen dat dit niet alleen een parallellogram is, maar een ruit.

Tekenen van een diamant

En nogmaals, let op: er moet niet alleen een vierhoek zijn waarvan de diagonalen loodrecht staan, maar een parallellogram. Zorg ervoor dat:

Nee, natuurlijk, hoewel de diagonalen loodrecht staan, en de diagonaal de bissectrice is van de hoeken en. Maar... diagonalen zijn niet in tweeën gedeeld door het snijpunt, dus - GEEN parallellogram, en dus GEEN ruit.

Dat wil zeggen, een vierkant is tegelijkertijd een rechthoek en een ruit. Laten we afwachten wat er gebeurt.

Is het duidelijk waarom? - ruit is de bissectrice van hoek A, die gelijk is aan. Dit betekent dat het zich (en ook) in twee hoeken verdeelt.

Nou, het is heel duidelijk: de diagonalen van een rechthoek zijn gelijk; De diagonalen van een ruit staan loodrecht, en in het algemeen wordt een parallellogram van diagonalen door het snijpunt in tweeën gedeeld.

GEMIDDELD NIVEAU

Eigenschappen van vierhoeken. Parallellogram

Eigenschappen van een parallellogram

Aandacht! Woorden " eigenschappen van een parallellogram"bedoel dat als je in je taak zit Er bestaat parallellogram, dan kan al het volgende worden gebruikt.

Stelling over de eigenschappen van een parallellogram.

In elk parallellogram:

Laten we met andere woorden begrijpen waarom dit allemaal waar is WIJ ZULLEN BEWIJZEN stelling.

Dus waarom is 1) waar?

Als het een parallellogram is, dan:

kruiselings liggen
liggend als kruisen.

Dit betekent (volgens criterium II: en - algemeen.)

Nou, dat is het, dat is het! - bewezen.

Maar trouwens! We hebben ook bewezen 2)!

Waarom? Maar (kijk naar de foto), dat is juist omdat.

Er zijn er nog maar 3 over).

Om dit te doen, moet je nog een tweede diagonaal tekenen.

En nu zien we dat - volgens het II-kenmerk (hoeken en de zijde "tussen" hen).

Eigenschappen bewezen! Laten we verder gaan met de borden.

Tekenen van een parallellogram

Bedenk dat het parallellogramteken de vraag beantwoordt: ‘Hoe weet je dat een figuur een parallellogram is?

In pictogrammen is het als volgt:

Waarom? Het zou leuk zijn om te begrijpen waarom - dat is genoeg. Maar kijk:

We zijn erachter gekomen waarom teken 1 waar is.

Nou ja, het is nog eenvoudiger! Laten we opnieuw een diagonaal tekenen.

Wat betekent:

EN Het is ook gemakkelijk. Maar anders!

Middelen, . Wauw! Maar ook - intern eenzijdig met een secans!

Daarom betekent het feit dat dat.

En als je vanaf de andere kant kijkt, dan - intern eenzijdig met een secans! En daarom.

Zie je hoe geweldig het is?!

En nogmaals simpel:

Precies hetzelfde, en.

Let op: als je gevonden hebt ten minste Eén teken van een parallellogram in uw probleem, dan heeft u dat precies parallellogram en u kunt gebruiken iedereen eigenschappen van een parallellogram.

Voor volledige duidelijkheid, bekijk het diagram:

Eigenschappen van vierhoeken. Rechthoek.

Rechthoek eigenschappen:

Punt 1) ligt voor de hand: teken 3 () is immers gewoon vervuld

En punt 2) - erg belangrijk. Laten we dat dus bewijzen

Dit betekent aan twee kanten (en - algemeen).

Omdat de driehoeken gelijk zijn, zijn hun hypotenussen ook gelijk.

Bewezen dat!

En stel je voor dat de gelijkheid van diagonalen een onderscheidende eigenschap is van een rechthoek tussen alle parallellogrammen. Dat wil zeggen, deze verklaring is waar ^

Laten we begrijpen waarom?

Dit betekent (dat wil zeggen de hoeken van een parallellogram). Maar laten we nogmaals bedenken dat het een parallellogram is, en daarom.

Middelen, . Welnu, hieruit volgt natuurlijk dat elk van hen! Ze moeten tenslotte in totaal geven!

Dus bewezen ze dat als parallellogram ineens (!) blijken de diagonalen gelijk te zijn, dan dit precies een rechthoek.

Maar! Let op! Dit gaat over parallellogrammen! Niet zomaar iemand een vierhoek met gelijke diagonalen is een rechthoek, en alleen parallellogram!

Eigenschappen van vierhoeken. Ruit

En opnieuw de vraag: is een ruit een parallellogram of niet?

Met volledig recht - een parallellogram, omdat dat zo is (denk aan onze functie 2).

Maar er zijn ook bijzondere eigenschappen. Laten we het formuleren.

Eigenschappen van een ruit

Waarom? Omdat een ruit een parallellogram is, zijn de diagonalen in tweeën gedeeld.

Waarom? Ja, daarom!

Met andere woorden: de diagonalen bleken deellijnen van de hoeken van de ruit te zijn.

Net als in het geval van een rechthoek zijn deze eigenschappen dat ook onderscheidend, elk van hen is ook een teken van een ruit.

Tekenen van een diamant.

Waarom is dit? En kijk,

Dat betekent beide Deze driehoeken zijn gelijkbenig.

Om een ruit te zijn, moet een vierhoek eerst een parallellogram ‘worden’ en vervolgens kenmerk 1 of kenmerk 2 vertonen.

Eigenschappen van vierhoeken. Vierkant

Dat wil zeggen, een vierkant is tegelijkertijd een rechthoek en een ruit. Laten we afwachten wat er gebeurt.

Is het duidelijk waarom? Een vierkant – een ruit – is de deellijn van een hoek die gelijk is aan. Dit betekent dat het zich (en ook) in twee hoeken verdeelt.

Waarom? Laten we de stelling van Pythagoras eens toepassen op...

SAMENVATTING EN BASISFORMULES

Eigenschappen van een parallellogram:

Overstaande zijden zijn gelijk: , .
Overstaande hoeken zijn gelijk: , .
De hoeken aan één kant bedragen: , .
De diagonalen worden in tweeën gedeeld door het snijpunt: .

Rechthoek eigenschappen:

De diagonalen van de rechthoek zijn gelijk: .
Een rechthoek is een parallellogram (voor een rechthoek wordt aan alle eigenschappen van een parallellogram voldaan).

Eigenschappen van een ruit:

De diagonalen van een ruit staan loodrecht: .
De diagonalen van een ruit zijn de deellijnen van zijn hoeken: ; ; ; .
Een ruit is een parallellogram (voor een ruit zijn alle eigenschappen van een parallellogram vervuld).

Eigenschappen van een vierkant:

Een vierkant is tegelijkertijd een ruit en een rechthoek. Daarom wordt voor een vierkant aan alle eigenschappen van een rechthoek en een ruit voldaan. En.

samenvatting van andere presentaties

"Taken over tekenen van gelijkenis van driehoeken" - Gelijkenis van driehoeken. De hoogte van een object bepalen met behulp van een spiegel. Het bepalen van de hoogte van een object vanaf een plas. Praktische problemen oplossen. Schaduw van een stok. Het bepalen van de hoogte van een object. Het meten van de hoogte van grote objecten. Lesmotto. Problemen oplossen met behulp van kant-en-klare tekeningen. Onafhankelijk werk. Gymnastiek voor de ogen. Thales-methode. Individuele kaart. Het bepalen van de hoogte van de piramide. Noem gelijksoortige driehoeken.

"Eigenschappen van vierhoeken" - Namen van vierhoeken. Alle hoeken zijn goed. Eigenschappen van vierhoeken. Trapezium. Een vierkant is een rechthoek waarvan de zijden allemaal gelijk zijn. Elementen van een parallellogram. Diagonalen verdelen de hoeken in tweeën. Vierhoek. Dicteren. Diagonaal. Tegengestelde hoeken. Help Dunno de deuce te corrigeren. Historische informatie. Vierhoeken en hun eigenschappen. Diagonalen. Ruit. Tegengestelde kanten. Partijen.

"Ruit" - Tekens. Omtrek. Het uiterlijk van een ruit. Een verhaal over een ruit. Ruit. Een ruit met diagonalen. Wat is een ruit? Formule voor oppervlakte. Interessante feiten. Eigenschappen van een ruit. Diamant in het leven.

"Oplossing van de stelling van Pythagoras" - Bewijs door ontbindingsmethode. Oppervlakte van een vierkant. Het eenvoudigste bewijs. Perigals bewijs. Pythagoreeërs. Diagonaal. Bewijs uit de 9e eeuw na Christus Volgers. Hoogte. Diameter. Volledig bewijs. Motief. Zeshoeken. Bewijs door aftrekkingsmethode. Vierkant. Rechthoek. Mogelijke toepassingen van de stelling. Gutheils bewijs. Toepassing van de stelling. Het lotusprobleem. Geschiedenis van de stelling.

"Oppervlak van een rechthoek" 8e leerjaar - De oppervlakte van een vierkant is gelijk aan het vierkant van de zijkant. Vierkant. Bepaal de oppervlakte en de omtrek van het vierkant. Eenheden voor oppervlaktemeting. Een veelhoek bestaat uit meerdere veelhoeken. Zoek de oppervlakte van de driehoek. De zijden van elk van de rechthoeken. Eenheden. Zoek de oppervlakte van het vierkant. ABCD en DСМK zijn vierkanten. De oppervlakte van een ruit is gelijk aan de helft van het product van zijn diagonalen. Op zijde AB wordt een parallellogram geconstrueerd. Zoek het gebied van de zeshoek.

"Trapezium" 8e leerjaar - De trapeziusspieren van beide zijden van de rug hebben samen de vorm van een trapezium. Opdrachten voor mondeling werk. Zijn vierhoeken trapeziums? Eigenschappen van een gelijkbenig trapezium. Tekenen van een gelijkbenig trapezium. Soorten trapeziums. Gebied van een trapezium. Elementen van een trapezium. Definitie. Middellijn van trapezium. Trapezium. De geometrische figuur werd zo genoemd vanwege de gelijkenis met een tafeltje.

met gelijke zijden. Een ruit met rechte hoeken is vierkant .

Een ruit wordt beschouwd als een soort parallellogram, met twee aangrenzende gelijke zijden, hetzij met onderling loodrechte diagonalen, hetzij met diagonalen die de hoek in twee gelijke delen verdelen.

Eigenschappen van een ruit.

1. Ruit is een parallellogram, dus tegenoverliggende zijden hebben dezelfde lengte en zijn paarsgewijs evenwijdig, AB || CD, AD || Zon.

2. Snijhoek van diagonalen ruit is recht (AC⊥ BD) en het snijpunt zijn verdeeld in twee identieke delen. Dat wil zeggen, de diagonalen verdelen de ruit in 4 rechthoekige driehoeken.

3. Diagonalen van een ruit zijn de deellijnen van zijn hoeken (∠ DCA=∠ BCA∠ ABD=∠ CBD enz. ).

4. Som van kwadraten van diagonalen is gelijk aan het kwadraat van de zijde vermenigvuldigd met vier (afgeleid van de parallellogramidentiteit).

Tekenen van een diamant.

Parallellogram ABCD wordt alleen een ruit genoemd als aan ten minste één van de voorwaarden is voldaan:

1. De 2 aangrenzende zijden hebben dezelfde lengte (dat wil zeggen, alle zijden van een ruit zijn gelijk, AB=BC=CD=AD).

2. De snijhoek van de diagonalen van een rechte lijn ( A.C.⊥ BD).

3. 1 van de diagonalen verdeelt de hoeken die hem bevatten in tweeën.

We weten misschien niet van tevoren dat de vierhoek een parallellogram blijkt te zijn, maar we weten wel dat alle zijden gelijk zijn. Deze vierhoek is dus een ruit.

Symmetrie van een ruit.

De ruit is symmetrisch in verhouding tot al zijn diagonalen wordt het vaak gebruikt in ornamenten en parketvloeren.

Omtrek van een ruit.

Omtrek van een geometrische figuur- de totale lengte van de grenzen van een platte geometrische figuur. De omtrek heeft dezelfde afmeting als de lengte.

Ruit- een van de eenvoudigste geometrische figuren. We komen zo vaak een ruit tegen bij geometrische problemen dat de woorden ‘fantasie’ en ‘ruit’ ons onverenigbare concepten lijken. Ondertussen is het verbazingwekkende, zoals ze zeggen, vlakbij... in Groot-Brittannië. Maar laten we eerst onthouden wat een "ruit" is, de tekens en eigenschappen ervan.

De term "ruit", vertaald uit het Oudgrieks, betekent "tamboerijn". En dit is geen toeval. Hier gaat het om. Iedereen heeft minstens één keer in zijn leven een tamboerijn gezien. En iedereen weet dat het rond is. Maar lang geleden werden tamboerijnen gemaakt in de vorm van een vierkant of ruit. Bovendien wordt de naam van de diamantenkleur ook met dit feit geassocieerd.

Vanuit de geometrie stellen we ons voor hoe een ruit eruit ziet. Dit is een vierhoek, die wordt weergegeven als een gekanteld vierkant. Maar in geen geval mogen een ruit en een vierkant met elkaar worden verward. Het zou juister zijn om te zeggen dat een ruit een speciaal geval van een parallellogram is. Het enige verschil is dat alle zijden van een ruit gelijk zijn. Om geometrieproblemen snel en correct op te lossen, moet je de eigenschappen van een ruit onthouden. Een ruit heeft trouwens alle eigenschappen van een parallellogram. Dus:

Eigenschappen van een ruit:

tegenoverliggende zijden zijn gelijk;
tegenovergestelde hoeken zijn gelijk;
de diagonalen van een ruit snijden elkaar onder een rechte lijn en zijn op het snijpunt in tweeën gedeeld;
de som van de hoeken grenzend aan één zijde is 180°;
de som van de vierkanten van de diagonalen is gelijk aan de som van de vierkanten van alle zijden;
de diagonalen zijn de deellijnen van de hoeken.

Tekenen van een diamant:

als de diagonalen van een parallellogram loodrecht staan, dan is het parallellogram een ruit;
Als de diagonaal van een parallellogram de bissectrice van zijn hoek is, dan is het parallellogram een ruit.

En nog een belangrijk punt, zonder kennis waarvan het niet mogelijk is om het probleem met succes op te lossen: formules. Hieronder staan formules voor het vinden van het gebied van elke ruit, die worden gebruikt afhankelijk van de bekende gegevens: hoogte, diagonaal, zijkant, straal van de ingeschreven cirkel. De volgende formules gebruiken de volgende conventies: a – zijde van de ruit, h a – hoogte getrokken naar zijde a, A– de hoek tussen de zijkanten, d 1 d 2 – de diagonalen van de ruit.

Basisformules:

S = een 2 zonde A

S = 1/2 (d 1 d 2)

S = 4r2/sin A

Er is nog een formule die niet zo vaak wordt gebruikt, maar wel nuttig is:

d 1 2 + d 2 2 = 4a 2 of de som van de kwadraten van de diagonalen is gelijk aan het kwadraat van de zijde vermenigvuldigd met 4.

Nu is het tijd om terug te gaan naar het allereerste begin. Wat is er zo verrassend misschien in deze figuur? Het blijkt dat in de 19e eeuw tijdens archeologische opgravingen een ruit werd gevonden. Ja, niet eenvoudig, maar gouden, en in de meest letterlijke zin van het woord! Deze vondst uit de Britse Bash Mound werd gevonden in de omgeving van Wilsford, niet ver van het beroemde Stonehenge. De mysterieuze diamant is een gepolijste plaat waarop ongebruikelijke patronen zijn gegraveerd. Het formaat is 15,2 x 17,8 cm (ruit met slechts een kleine kanttekening). Naast de rand heeft het bord drie kleinere ruitvormige patronen die zogenaamd in elkaar zijn genest. Tegelijkertijd is in het midden van de laatste een ruitvormig gaas gegraveerd. Langs de randen van de diamant bevindt zich een chevronpatroon: negen symbolen aan elke kant van de diamant. Er zijn in totaal zesendertig van dergelijke driehoeken.

Natuurlijk is dit product erg duur, maar het is ook duidelijk dat de creatie van zo'n diamant een specifiek doel had. Maar wetenschappers konden lange tijd niet achterhalen welke.

Een van de meer plausibele en geaccepteerde versies betreft Stonehenge zelf. Het is bekend dat de bouwwerken van Stonehenge gedurende meerdere eeuwen geleidelijk werden gebouwd. Er wordt aangenomen dat de bouw rond 3000 voor Christus begon. Er moet rekening mee worden gehouden dat goud in Groot-Brittannië al ergens vanaf 2800 voor Christus bekend werd. Hieruit kunnen we de veronderstelling maken dat de gouden diamant heel goed een priesterinstrument kan zijn geweest. Met name het vizier. Deze hypothese werd in het laatste kwart van de twintigste eeuw onder de aandacht van moderne wetenschappers gebracht door professor A. Tom, een beroemde onderzoeker uit Stonehenge.

Niet iedereen kan zich voorstellen dat bouwers uit de oudheid de hoeken op de grond nauwkeurig konden bepalen. De Engelse onderzoeker D. Furlong stelde echter een methode voor die naar zijn mening de oude Egyptenaren hadden kunnen gebruiken. Furlong geloofde dat onze voorouders vooraf bepaalde beeldverhoudingen in rechthoekige driehoeken gebruikten. Het is immers al lang bekend dat de Egyptenaren op grote schaal een driehoek gebruikten met zijden van drie-, vier- en vijfdimensionale eenheden. Blijkbaar kenden de oude bewoners van de Britse eilanden veel soortgelijke technieken.

Welnu, zelfs als we ons voorstellen dat de mensen die Stonehenge hebben gebouwd uitstekende landmeters waren, hoe zou een gouden diamant hen hierbij kunnen helpen? Het is onwaarschijnlijk dat een moderne landmeter deze vraag kan beantwoorden. Hoogstwaarschijnlijk stelde het feit dat Furlong een landmeter van beroep was, hem in staat dit raadsel op te lossen. Na zorgvuldig onderzoek kwam de onderzoeker tot de conclusie dat de gepolijste gouden diamant met markeringen uitstekend te gebruiken is als reflector van zonlicht, oftewel een speciale meetspiegel.

Het is bewezen dat om snel de azimut op de grond te bepalen met vrij kleine fouten, het nodig was om twee soortgelijke spiegels te gebruiken. Het schema was als volgt: de ene priester stond bijvoorbeeld op de top van de ene heuvel en de andere in de aangrenzende vallei. Het was ook nodig om eerst de afstand tussen de priesters vast te stellen. Dit kan in eenvoudige stappen worden gedaan. Hoewel ze meestal een meetlat gebruikten, omdat de resultaten betrouwbaarder waren. Twee ruitvormige metalen spiegels zorgen voor een rechte hoek. En dan is het eenvoudig om vrijwel alle gewenste hoeken te meten. D. Furlong heeft zelfs een tabel met dergelijke paren gehele getallen verstrekt, waarmee je elke hoek kunt instellen met een fout van één graad. Hoogstwaarschijnlijk was dit de methode die werd gebruikt door de priesters uit het Stonehenge-tijdperk. Om deze hypothese te bevestigen zou het natuurlijk nodig zijn om een tweede, gepaarde gouden diamant te vinden, maar blijkbaar is dit het niet waard. Het bewijs is immers al vrij duidelijk. Naast het berekenen van azimuts op de grond werd er nog een ander vermogen van de verbazingwekkende gouden diamant ontdekt. Met dit verbazingwekkende kleine ding kun je de momenten van de winter- en zomerzonnewende, de lente- en herfst-equinoxen berekenen. Dit was een onmisbare kwaliteit voor het leven van de oude Egyptenaren, die toen voornamelijk de zon aanbaden.

Het is waarschijnlijk dat het indrukwekkende uiterlijk van de diamant niet alleen een onmisbaar hulpmiddel was voor de priesters, maar ook een spectaculaire versiering voor de eigenaar. Over het algemeen zijn de overgrote meerderheid van de ogenschijnlijk dure sieraden die tegenwoordig worden gevonden, zoals we later zullen leren, meetinstrumenten.

Mensen hebben zich dus altijd aangetrokken gevoeld tot het onbekende. En te oordelen naar het feit dat er in onze wereld zoveel mysterieus en onbewezen blijft, zullen mensen nog lange tijd blijven proberen aanwijzingen over de oudheid te vinden. En dit is heel gaaf! We kunnen immers veel leren van onze voorouders. Daarvoor moet je veel weten, kunnen en leren. Maar zonder basiskennis is het onmogelijk om zo’n hooggekwalificeerde specialist te worden. Iedere grote archeoloog en ontdekker heeft immers ooit naar school gezeten!

website, bij het geheel of gedeeltelijk kopiëren van materiaal is een link naar de bron vereist.

AB \parallel CD,\;BC \parallel AD

AB = CD,\;BC = AD

2. De diagonalen van een ruit staan loodrecht.

AC\verdachte BD

Bewijs

Omdat een ruit een parallellogram is, zijn de diagonalen in tweeën gedeeld.

Dit betekent dat \driehoek BOC = \driehoek DOC aan drie zijden (BO = OD, OC - gewricht, BC = CD). We krijgen dat \hoek BOC = \hoek COD en ze liggen aangrenzend.

\Pijl naar rechts \hoek BOC = 90^(\circ) en \hoek COD = 90^(\circ) .

3. Het snijpunt van de diagonalen verdeelt ze in tweeën.

AC=2\cdot AO=2\cdot CO

BD=2\cdot BO=2\cdot DO

4. De diagonalen van een ruit zijn de deellijnen van zijn hoeken.

\hoek 1 = \hoek 2; \; \hoek 5 = \hoek 6;

\hoek 3 = \hoek 4; \; \hoek 7 = \hoek 8.

Bewijs

Vanwege het feit dat de diagonalen door het snijpunt in tweeën worden gedeeld en alle zijden van de ruit gelijk zijn aan elkaar, wordt de hele figuur door de diagonalen in 4 gelijke driehoeken verdeeld:

\driehoek BOC,\; \driehoek BOA,\; \driehoek AOD,\; \driehoek COD.

Dit betekent dat BD en AC bissectrices zijn.

5. Diagonalen vormen vanuit een ruit 4 rechthoekige driehoeken.

6. Elke ruit kan een cirkel bevatten waarvan het middelpunt op het snijpunt van de diagonalen ligt.

7. De som van de vierkanten van de diagonalen is gelijk aan het kwadraat van een van de zijden van de ruit vermenigvuldigd met vier

AC^2 + BD^2 = 4\cdot AB^2

Tekenen van een diamant

1. Een parallellogram met loodrechte diagonalen is een ruit.

\begin(gevallen) AC \perp BD \\ ABCD \end(gevallen)- parallellogram, \Rightarrow ABCD - ruit.

Bewijs

ABCD is een parallellogram \Rightarrow AO = CO ; BO = buitendiameter. Dat staat ook vermeld AC \perp BD \Pijl rechts \driehoek AOB = \driehoek BOC = \driehoek COD = \driehoek AOD- op 2 poten.

Het blijkt dat AB = BC = CD = AD.

Bewezen!

2. Wanneer in een parallellogram ten minste één van de diagonalen beide hoeken (waar hij doorheen gaat) doormidden deelt, dan is dit figuur een ruit.

Bewijs

Even een opmerking: niet elk figuur (vierhoek) met loodrechte diagonalen zal een ruit zijn.

Bijv.:

Dit is niet langer een ruit, ondanks de loodrechtheid van de diagonalen.

Om onderscheid te maken, is het de moeite waard eraan te denken dat de vierhoek eerst een parallellogram moet zijn en dat ook moet hebben