Vergelijkingen met een parameter voor dummies. "Voorbereiding op het examen: Taken met parameters." Probleem voor onafhankelijke oplossing

Verslag over GGO wiskundeleraar MBOU middelbare school nr. 9

Molchanova Elena Vladimirovna

"Voorbereiding op het Unified State Examination in de wiskunde: problemen met parameters".

Aangezien er geen definitie van de parameter in schoolboeken is, raad ik aan om de volgende eenvoudige versie als basis te nemen.

Definitie . Een parameter is een onafhankelijke variabele waarvan de waarde in het probleem wordt beschouwd als een bepaald vast of willekeurig reëel getal, of een getal dat tot een vooraf bepaalde verzameling behoort.

Wat betekent het om "een probleem met een parameter op te lossen"?

Het hangt natuurlijk af van de vraag in het probleem. Als het bijvoorbeeld nodig is om een ​​vergelijking, een ongelijkheid, hun stelsel of combinatie op te lossen, dan betekent dit dat een redelijk antwoord moet worden gegeven voor een parameterwaarde of voor een parameterwaarde die tot een vooraf bepaalde set behoort.

Als het nodig is om de parameterwaarden te vinden waarvoor de reeks oplossingen van de vergelijking, ongelijkheid, enz. Aan de gedeclareerde voorwaarde voldoet, dan bestaat de oplossing van het probleem natuurlijk uit het vinden van de gespecificeerde parameterwaarden.

Een meer transparant begrip van wat het betekent om een ​​probleem met een parameter op te lossen, zal de lezer vormen na het lezen van de voorbeelden van probleemoplossing op de volgende pagina's.

Wat zijn de belangrijkste soorten taken met parameters?

Type 1. Vergelijkingen, ongelijkheden, hun systemen en sets, die moeten worden opgelost voor een waarde van de parameter (parameters), of voor parameterwaarden die tot een vooraf bepaalde set behoren.

Dit type probleem is van fundamenteel belang bij het beheersen van het onderwerp "Problemen met parameters", aangezien het geïnvesteerde werk vooraf bepalend is voor het succes bij het oplossen van problemen van alle andere basistypen.

Typ 2. Vergelijkingen, ongelijkheden, hun systemen en verzamelingen, waarvoor het aantal oplossingen moet worden bepaald, afhankelijk van de waarde van de parameter (parameters).

Ik vestig uw aandacht op het feit dat bij het oplossen van dit soort problemen het niet nodig is om de gegeven vergelijkingen, ongelijkheden, hun systemen en combinaties, enz. op te lossen of deze oplossingen te geven; dergelijk extra werk is in de meeste gevallen een tactische fout, die leidt tot ongerechtvaardigde tijdsbesteding. Dit moet echter niet als absoluut worden beschouwd, aangezien een directe oplossing volgens type 1 soms de enige redelijke manier is om een ​​antwoord te krijgen bij het oplossen van een type 2 probleem.

Typ 3. Vergelijkingen, ongelijkheden, hun systemen en verzamelingen, waarvoor het nodig is om al die waarden van de parameter te vinden waarvoor de aangegeven vergelijkingen, ongelijkheden, hun systemen en verzamelingen een bepaald aantal oplossingen hebben (ze hebben met name geen of een oneindig aantal oplossingen hebben).

Het is gemakkelijk in te zien dat problemen van type 3 in zekere zin het omgekeerde zijn van problemen van type 2.

Typ 4. Vergelijkingen, ongelijkheden, hun systemen en combinaties, waarvoor, voor de gewenste waarden van de parameter, de reeks oplossingen voldoet aan de gegeven voorwaarden in het domein van definitie.

Zoek bijvoorbeeld de parameterwaarden waarvoor:

1) de vergelijking is vervuld voor elke waarde van de variabele uit het gegeven interval;
2) de verzameling oplossingen van de eerste vergelijking is een deelverzameling van de verzameling oplossingen van de tweede vergelijking, enzovoort.

Opmerking. De verscheidenheid aan problemen met een parameter bestrijkt de hele cursus van schoolwiskunde (zowel algebra als geometrie), maar de overgrote meerderheid van hen in het eind- en toelatingsexamen behoort tot een van de vier genoemde typen, die om deze reden basis worden genoemd.

De meest populaire klasse van problemen met een parameter zijn problemen met één onbekende en één parameter. De volgende paragraaf geeft de belangrijkste manieren aan om problemen van deze specifieke klasse op te lossen.

Wat zijn de belangrijkste manieren (methoden) om problemen met een parameter op te lossen?

Methode I (analytisch). Dit is een methode van de zogenaamde directe oplossing, die de standaardprocedures herhaalt voor het vinden van een antwoord in problemen zonder een parameter. Soms zeggen ze dat dit een manier is van een krachtige, in goede zin, 'brutale' beslissing.

Opmerking. De analytische methode om problemen met een parameter op te lossen is de moeilijkste methode, die een hoge mate van geletterdheid en de grootste inspanning vereist om deze onder de knie te krijgen.

Methode II (grafisch). Afhankelijk van de taak (met variabele x en parametera ) grafieken worden ofwel in het coördinatenvlak (x; y) of in het coördinatenvlak (x;a ).

Opmerking. De uitzonderlijke helderheid en schoonheid van de grafische methode om problemen met een parameter op te lossen, boeit degenen die het onderwerp "Problemen met een parameter" bestuderen, zozeer dat ze andere methoden voor het oplossen beginnen te negeren, waarbij ze het bekende feit vergeten: voor elke klasse van problemen, kunnen hun auteurs er een formuleren die op briljante wijze wordt opgelost door deze methode en met kolossale moeilijkheden op andere manieren. Daarom is het in de beginfase van het onderzoek gevaarlijk om te beginnen met grafische methoden voor het oplossen van problemen met een parameter.

Methode III (parameterbeslissing). Bij het oplossen op deze manier worden de variabelen x en a gelijk genomen en wordt de variabele gekozen waarbij de analytische oplossing als eenvoudiger wordt herkend. Na natuurlijke vereenvoudigingen keren we terug naar de oorspronkelijke betekenis van de variabelen x en a en vullen we de oplossing aan.

Ik zal nu verder gaan met het demonstreren van de aangegeven methoden voor het oplossen van problemen met een parameter, aangezien dit mijn favoriete methode is om dit soort problemen op te lossen.

Na het analyseren van alle taken met parameters opgelost door de grafische methode, begin ik kennis te maken met de parameters met de taken van het Unified State Examination B7 van 2002:

Bij welk geheel getal bij de vergelijking 45x - 3x 2 - X 3 + 3k = 0 heeft precies twee wortels?

Deze taken maken het ten eerste mogelijk om te onthouden hoe grafieken te bouwen met behulp van de afgeleide, en ten tweede om de betekenis van de rechte lijn y \u003d k uit te leggen.

In de daaropvolgende lessen gebruik ik een selectie van lichte en middelzware competitieve taken met parameters voor de voorbereiding op het examen, vergelijkingen met een module. Deze taken kunnen worden aanbevolen aan wiskundeleraren als een startset met oefeningen om te leren werken met een parameter die onder het moduleteken staat. De meeste getallen zijn grafisch opgelost en voorzien de docent van een lesplan (of twee lessen) met een sterke leerling. Eerste voorbereiding op het examen wiskunde over oefeningen die qua complexiteit dicht bij echte C5-getallen liggen. Veel van de voorgestelde taken zijn ontleend aan materialen ter voorbereiding op de USE in 2009 en sommige van internet uit de ervaring van collega's.

1) Specificeer alle parameterwaardenp , waarvoor de vergelijking heeft 4 wortels?
Antwoorden:

2) Bij welke waarden van de parametera de vergelijking heeft geen oplossingen?
Antwoorden:

3) Vind alle waarden van a, voor elk waarvan de vergelijking heeft precies 3 wortels?
Antwoord: a=2

4) Bij welke waarden van de parameterb de vergelijking heeft een unieke oplossing? Antwoorden:

5) Vind alle waardenm , waarvoor de vergelijking heeft geen oplossingen.
Antwoorden:

6) Vind alle waarden van a waarvoor de vergelijking heeft precies 3 verschillende wortels. (Als er meer dan één waarde van a is, noteer dan hun som in het antwoord.)

Antwoord: 3

7) Op welke waarden?b de vergelijking heeft precies 2 oplossingen?
Antwoorden:

8) Specificeer dergelijke parametersk , waarvoor de vergelijking heeft minimaal twee oplossingen.
Antwoorden:

9) Bij welke waarden van de parameterp de vergelijking heeft maar één oplossing?
Antwoorden:

10) Vind alle waarden van a, voor elk waarvan de vergelijking (x + 1)heeft precies 2 wortels? Als er meerdere waarden van a zijn, noteer dan hun som als reactie.

Antwoord: - 3

11) Vind alle waarden van a waarvoor de vergelijking heeft precies 3 wortels? (Als er meer dan één waarde van a is, noteer dan hun som als antwoord).

Antwoord: 4

12) Bij wat is de kleinste natuurlijke waarde van de parameter a de vergelijking – = 11 heeft alleen positieve wortels?

Antwoord: 19

13) Vind alle waarden van a, voor elk waarvan de vergelijking = 1 heeft precies 3 wortels? (Als er meer dan één waarde van a is, noteer dan hun som in het antwoord).

Antwoord: - 3

14) Specificeer dergelijke parameterwaardent , waarvoor de vergelijking heeft 4 verschillende oplossingen. Antwoorden:

15) Vind dergelijke parametersm , waarvoor de vergelijking heeft twee verschillende oplossingen. Antwoorden:

16) Bij welke waarden van de parameterp de vergelijking heeft precies 3 extremen? Antwoorden:

17) Geef alle mogelijke parameters n aan waarvoor de functie heeft precies één minimumpunt. Antwoorden:

De gepubliceerde set wordt regelmatig door mij gebruikt om te werken met een capabele, maar niet de sterkste student, die toch een hoge USE-score claimt door het C5-getal op te lossen. De leraar bereidt een dergelijke student in verschillende fasen voor en wijst afzonderlijke lessen toe voor het trainen van individuele vaardigheden die nodig zijn om lange oplossingen te vinden en te implementeren. Deze selectie is geschikt voor het stadium van vorming van ideeën over zwevende figuren, afhankelijk van de parameter. Nummers 16 en 17 zijn gemodelleerd naar een reële vergelijking met een parameter voor de USE 2011. De taken zijn gerangschikt in oplopende volgorde van complexiteit.

Taak C5 in wiskunde USE 2012

Hier hebben we een traditioneel probleem met een parameter, waarvoor een matige kennis van het materiaal en de toepassing van verschillende eigenschappen en stellingen vereist zijn. Deze taak is een van de moeilijkste taken van het Unified State Examination in Mathematics. Het is in de eerste plaats bedoeld voor degenen die hun opleiding aan universiteiten gaan voortzetten met verhoogde eisen voor de wiskundige voorbereiding van aanvragers. Om het probleem succesvol op te lossen, is het belangrijk om vrij te werken met de bestudeerde definities, eigenschappen, stellingen, deze toe te passen in verschillende situaties, de toestand te analyseren en mogelijke oplossingen te vinden.

Op de site ter voorbereiding op het Unified State Examination, Alexander Larin, werden vanaf 05/11/2012 opleidingsopties nr. 1 - 22 aangeboden met taken van niveau "C", C5 waarvan sommige vergelijkbaar waren met die taken die waren op het echte examen. Zoek bijvoorbeeld alle waarden van de parameter a, voor elk waarvan de functie grafiekenf(x) = eng(x) = a(x + 5) + 2 hebben geen gemeenschappelijke punten?

Laten we de oplossing van taak C5 van het examen van 2012 analyseren.

Taak C5 uit de USE-2012

Voor welke waarden van de parameter a de vergelijking heeft ten minste twee wortels.

Laten we dit probleem grafisch oplossen. Laten we de linkerkant van de vergelijking plotten: en de grafiek aan de rechterkant:en formuleer de probleemvraag als volgt: voor welke waarden van de parameter a de grafieken van functies entwee of meer punten gemeen hebben.

Er is geen parameter aan de linkerkant van de oorspronkelijke vergelijking, dus we kunnen de functie plotten.

We zullen deze grafiek bouwen met functies:

1. Verschuif de grafiek van de functie3 eenheden naar beneden langs de OY-as, we krijgen de grafiek van de functie:

2. Maak een grafiek van de functie . Voor dit deel van de grafiek van de functie , die zich onder de OX-as bevindt, wordt symmetrisch om deze as weergegeven:

Dus de grafiek van de functielijkt op:

Functie Grafiek

Om de een of andere reden hebben taken met parameters de laatste tijd bijna heilige gruwel veroorzaakt onder schoolkinderen, soms stil en soms niet zo veel. Het probleem is blijkbaar opnieuw dat ze op deze manier worden onderwezen. In het algemeen, arme kinderen ... Om een ​​heleboel problemen met één, twee of meer parameters uit het hoofd te leren, ze ontelbare keren zonder reden op te lossen, en op hetzelfde beruchte GEBRUIK om de toestand van een dergelijk probleem met een parameter te krijgen dat nog nooit eerder is gezien, en raakt in een verdoving door het onvermogen om het zelfs maar op te lossen, om te begrijpen in welke richting het moet gaan. Nou, hoe kun je geen medelijden hebben met de afgestudeerden!

Aangezien ik het heel leuk vind om mijn schooljaren, mijn studies (wat je trouwens al gemerkt hebt)) te beschrijven, zal ik schrijven hoe het bij ons was. Let op, u gelooft het niet: niemand heeft ons ooit geleerd hoe we problemen met parameters kunnen oplossen! Hier schreef ik nog een opruiing))) We hebben gewoon geleerd om problemen op te lossen, dat is alles. Er was geen aparte klasse/soort/groep taken die taken met parameters zouden worden genoemd. En tegelijkertijd verrasten dergelijke taken niemand en deden ze niemand beven. Ze werden allemaal eenvoudig opgelost, net als alle andere taken. Soortgelijk.

En er waren geen verschillende tutorials die zeiden wat je moest doen als je de parameters ziet, in welke richting je moet overstappen en waar je moet vervangen ... Het is gewoon dat je voor elke taak moest begrijpen hoe je tot de oplossing kon komen, wat, waarom en waarom, in welke volgorde te doen, om een ​​antwoord te krijgen. En het was het begrijpen van waarom en waarom dat het belangrijkste was. Er is niets lastigs aan deze taken, geloof me alsjeblieft! Er zijn ook geen speciale speciale methoden om ze op te lossen. Ja, je kunt enkele methoden laten zien die, met een volledig verkeerd begrip van wat er gebeurt (waarom en waarom), zullen helpen om tien, vijftien, honderd identieke taken uit te voeren, maar er is honderd en één die hiermee niet kan worden opgelost methode!

Wat volgt hieruit? Dat is wat. Als je om de een of andere reden bang bent voor taken met parameters, als je knieën beginnen te trillen bij het noemen ervan, moet je taken uitvoeren zonder parameters over hetzelfde onderwerp waarvan je denkt dat je het kunt oplossen, en proberen te begrijpen wat wat is, sorteren uit symbool voor symbool wat, waarom, waarom en hoe wordt gedaan. Als je dit in detail en in detail begrijpt, begin je je duidelijk voor te stellen wat er gebeurt, je hebt geen speciale tutorials nodig die zulke "handige" oplossingsmethoden bieden, en docenten, van wie velen les krijgen vanuit dezelfde handleidingen. En als bonus kun je, zonder angst of beven, beginnen met het oplossen van elk probleem dat zulke schijnbaar enge parameters heeft, maar in feite alleen letters, die alleen gewone cijfers kunnen zijn, en niets meer!

Helaas kan ik niet beloven dat alles gemakkelijk zal zijn. Zeker als je jezelf nog nooit deze verraderlijke vragen hebt gesteld: waarom? waarom? waar kwam het vandaan? en wat volgt hieruit? Als je echter wilt leren hoe je problemen kunt oplossen, als je het wilt begrijpen, dan moet je het doen. Ja, het is moeilijk om na te denken, maar het is onmogelijk zonder! Probeer het en je zult zien hoeveel interessanter het leven is geworden!

1. Taak.
Bij welke waarden van de parameter a de vergelijking ( a - 1)x 2 + 2x + a- 1 = 0 heeft precies één wortel?

1. Besluit.
Bij a= 1 vergelijking heeft de vorm 2 x= 0 en heeft duidelijk een enkele wortel x= 0. Als a Nr. 1, dan is deze vergelijking kwadratisch en heeft een enkele wortel voor die waarden van de parameter waarvoor de discriminant van de vierkante trinominaal gelijk is aan nul. Door de discriminant gelijk te stellen aan nul, verkrijgen we een vergelijking voor de parameter a 4a 2 - 8a= 0, vanwaar a= 0 of a = 2.

1. Antwoord: de vergelijking heeft een enkele wortel at a O(0; 1; 2).

2. Taak.
Vind alle parameterwaarden a, waarvoor de vergelijking twee verschillende wortels heeft x 2 +4bijl+8a+3 = 0.
2. Besluit.
De vergelijking x 2 +4bijl+8a+3 = 0 heeft twee verschillende wortels als en slechts als D = 16a 2 -4(8a+3) > 0. We krijgen (na reductie met een gemeenschappelijke factor van 4) 4 a 2 -8a-3 > 0, vanwaar

2. Antwoord:

a O (-Ґ ; 1 -

C 7 2

) EN (1 +

C 7 2

; Ґ ).

3. Taak.
Het is bekend dat
f 2 (x) = 6x-x 2 -6.
a) Maak een grafiek van de functie f 1 (x) Bij a = 1.
b) Tegen welke waarde? a functie grafieken f 1 (x) en f 2 (x) één gemeenschappelijk punt hebben?

3. Oplossing.
3.a. Laten we transformeren f 1 (x) op de volgende manier
De grafiek van deze functie a= 1 wordt weergegeven in de afbeelding rechts.
3.b. We merken meteen op dat de functie grafieken ja = kx+b en ja = bijl 2 +bx+c (a Nr. 0) snijden op een enkel punt als en slechts als de kwadratische vergelijking kx+b = bijl 2 +bx+c heeft een enkele wortel. Weergave gebruiken f 1 van 3.a, stellen we de discriminant van de vergelijking gelijk a = 6x-x 2 -6 tot nul. Van vergelijking 36-24-4 a= 0 we krijgen a= 3. Hetzelfde doen met vergelijking 2 x-a = 6x-x 2 -6 vinden a= 2. Het is gemakkelijk om te controleren of deze parameterwaarden voldoen aan de voorwaarden van het probleem. Antwoorden: a= 2 of a = 3.

4. Taak.
Vind alle waarden a, waaronder de reeks oplossingen van de ongelijkheid x 2 -2bijl-3a i 0 bevat het segment .

4. Oplossing.
De eerste coördinaat van het hoekpunt van de parabool f(x) = x 2 -2bijl-3a is gelijk aan x 0 = a. Uit de eigenschappen van een kwadratische functie, de voorwaarde f(x) i 0 op het interval is gelijk aan het totaal van drie systemen
heeft precies twee oplossingen?

5. Besluit.
Laten we deze vergelijking herschrijven in de vorm x 2 + (2a-2)x - 3a+7 = 0. Dit is een kwadratische vergelijking, het heeft precies twee oplossingen als de discriminant strikt groter is dan nul. Als we de discriminant berekenen, krijgen we dat de voorwaarde voor het hebben van precies twee wortels de vervulling van de ongelijkheid is a 2 +a-6 > 0. Als we de ongelijkheid oplossen, vinden we a < -3 или a> 2. Het is duidelijk dat de eerste van de ongelijkheden geen oplossingen heeft in natuurlijke getallen, en de kleinste natuurlijke oplossing van de tweede is het getal 3.

5. Antwoord: 3.

6. Taak (10 cellen)
Vind alle waarden a, waarvoor de grafiek van de functie of, na duidelijke transformaties, a-2 = | 2-a| . De laatste vergelijking is gelijk aan de ongelijkheid a ik 2.

6. Antwoord: a O)