Alle 20 taken op basisniveau. Een groep toeristen overwon een bergpas. Biologen hebben een verscheidenheid aan amoeben ontdekt
Secundair algemeen onderwijs
Lijn UMK GK Muravina. Algebra en het begin van wiskundige analyse (10-11) (diep)
Lijn UMK Merzlyak. Algebra en het begin van analyse (10-11) (U)
Wiskunde
Voorbereiding op het examen wiskunde (profielniveau): opdrachten, oplossingen en uitleg
We analyseren taken en lossen voorbeelden op met de leraarDe examenopdracht op profielniveau duurt 3 uur en 55 minuten (235 minuten).
Minimale drempel- 27 punten.
Het examenwerk bestaat uit twee delen, die verschillen in inhoud, complexiteit en aantal taken.
Het bepalende kenmerk van elk onderdeel van het werk is de vorm van taken:
- deel 1 bevat 8 taken (taken 1-8) met een kort antwoord in de vorm van een geheel getal of een laatste decimale breuk;
- deel 2 bevat 4 taken (taken 9-12) met een kort antwoord in de vorm van een geheel getal of een laatste decimale breuk en 7 taken (taken 13-19) met een gedetailleerd antwoord (volledige vastlegging van de beslissing met de reden voor de uitgevoerde handelingen).
Panova Svetlana Anatolievna, leraar wiskunde van de hoogste categorie van de school, werkervaring van 20 jaar:
“Om een schooldiploma te halen, moet een afgestudeerde slagen voor twee verplichte examens in de vorm van het Unified State Examination, waarvan wiskunde er één is. In overeenstemming met het concept voor de ontwikkeling van wiskundig onderwijs in de Russische Federatie, is het Unified State Exam in wiskunde verdeeld in twee niveaus: basis en gespecialiseerd. Vandaag zullen we opties voor het profielniveau overwegen.
Taak nummer 1- controleert het vermogen van USE-deelnemers om de vaardigheden die in de loop van 5-9 leerjaren in elementaire wiskunde zijn verworven in praktische activiteiten toe te passen. De deelnemer moet rekenvaardigheden hebben, kunnen werken met rationale getallen, decimale breuken kunnen afronden, de ene maateenheid naar de andere kunnen converteren.
voorbeeld 1 In het appartement waar Petr woont is een koudwatermeter (meter) geplaatst. Op 1 mei gaf de meter een verbruik aan van 172 kubieke meter. m water, en op 1 juni - 177 kubieke meter. m. Welk bedrag moet Peter betalen voor koud water voor mei, als de prijs van 1 cu. m koud water is 34 roebel 17 kopeken? Geef je antwoord in roebels.
Oplossing:
1) Zoek de hoeveelheid water die per maand wordt uitgegeven:
177 - 172 = 5 (kubieke meter)
2) Zoek uit hoeveel geld er zal worden betaald voor het verbruikte water:
34.17 5 = 170.85 (wrijven)
Antwoorden: 170,85.
Taak nummer 2- is een van de eenvoudigste taken van het examen. De meerderheid van de afgestudeerden gaat er met succes mee om, wat wijst op het bezit van de definitie van het begrip functie. Taaktype nr. 2 volgens de vereistencodeerder is een taak voor het gebruik van de verworven kennis en vaardigheden in praktische activiteiten en het dagelijks leven. Taak nr. 2 bestaat uit het beschrijven, met behulp van functies, van verschillende reële relaties tussen grootheden en het interpreteren van hun grafieken. Taak nummer 2 test het vermogen om informatie te extraheren die wordt gepresenteerd in tabellen, diagrammen, grafieken. Afgestudeerden moeten de waarde van een functie kunnen bepalen aan de hand van de waarde van het argument met verschillende manieren om de functie te specificeren en het gedrag en de eigenschappen van de functie volgens de grafiek te beschrijven. Het is ook nodig om de grootste of kleinste waarde uit de functiegrafiek te kunnen vinden en grafieken van de bestudeerde functies te kunnen bouwen. De gemaakte fouten zijn van willekeurige aard bij het lezen van de voorwaarden van het probleem, het lezen van het diagram.
#ADVERTISING_INSERT#
Voorbeeld 2 De figuur toont de verandering in de ruilwaarde van één aandeel van een mijnbouwonderneming in de eerste helft van april 2017. Op 7 april kocht de zakenman 1.000 aandelen van dit bedrijf. Op 10 april verkocht hij driekwart van de ingekochte aandelen en op 13 april verkocht hij alle overige. Hoeveel heeft de zakenman als gevolg van deze operaties verloren?
Oplossing:
2) 1000 3/4 = 750 (aandelen) - vormen 3/4 van alle gekochte aandelen.
6) 247500 + 77500 = 325000 (roebel) - de zakenman ontving na de verkoop van 1000 aandelen.
7) 340.000 - 325.000 = 15.000 (roebel) - de zakenman verloor als gevolg van alle operaties.
Antwoorden: 15000.
Taak nummer 3- is een taak van het basisniveau van het eerste deel, het controleert het vermogen om acties uit te voeren met geometrische vormen volgens de inhoud van de cursus "Planimetrie". Taak 3 test het vermogen om het gebied van een figuur op geruit papier te berekenen, het vermogen om graadmaten van hoeken te berekenen, omtrekken te berekenen, enz.
Voorbeeld 3 Zoek het gebied van een rechthoek getekend op geruit papier met een celgrootte van 1 cm bij 1 cm (zie afbeelding). Geef je antwoord in vierkante centimeters.
Oplossing: Om het gebied van deze figuur te berekenen, kunt u de Peak-formule gebruiken:
Om de oppervlakte van deze rechthoek te berekenen, gebruiken we de Peak-formule:
|
S= B + |
G | |
| 2 |
|
S = 18 + |
6 | |
| 2 |
Zie ook: Unified State Examination in Physics: trillingsproblemen oplossen
Taak nummer 4- de opdracht van het opleidingsonderdeel "Kansrekening en Statistiek". Het vermogen om de waarschijnlijkheid van een gebeurtenis in de eenvoudigste situatie te berekenen, wordt getest.
Voorbeeld 4 Er zijn 5 rode en 1 blauwe stippen op de cirkel. Bepaal welke polygonen groter zijn: die met alle rode hoekpunten, of die met een van de blauwe hoekpunten. Geef in je antwoord aan hoeveel meer van de een dan van de ander.
Oplossing: 1) We gebruiken de formule voor het aantal combinaties van n elementen door k:
waarvan alle hoekpunten rood zijn.
3) Een vijfhoek met allemaal rode hoekpunten.
4) 10 + 5 + 1 = 16 polygonen met allemaal rode hoekpunten.
waarvan de hoekpunten rood zijn of met één blauw hoekpunt.
waarvan de hoekpunten rood zijn of met één blauw hoekpunt.
8) Eén zeshoek waarvan de hoekpunten rood zijn met één blauw hoekpunt.
9) 20 + 15 + 6 + 1 = 42 polygonen die allemaal rode hoekpunten of één blauwe hoekpunt hebben.
10) 42 - 16 = 26 polygonen die de blauwe stip gebruiken.
11) 26 - 16 = 10 polygonen - hoeveel polygonen, waarvan een van de hoekpunten een blauwe stip is, zijn meer dan polygonen, waarin alle hoekpunten alleen rood zijn.
Antwoorden: 10.
Taak nummer 5- het basisniveau van het eerste deel test het vermogen om de eenvoudigste vergelijkingen op te lossen (irrationeel, exponentieel, trigonometrisch, logaritmisch).
Voorbeeld 5 Los vergelijking 2 3 + . op x= 0,4 5 3 + x .
Oplossing. Deel beide zijden van deze vergelijking door 5 3 + X≠ 0, we krijgen
| 2 3 + x | = 0,4 of | 2 | 3 + X | = | 2 | , | ||
| 5 3 + X | 5 | 5 |
waaruit volgt dat 3 + x = 1, x = –2.
Antwoorden: –2.
Taak nummer 6 in planimetrie voor het vinden van geometrische grootheden (lengtes, hoeken, gebieden), het modelleren van reële situaties in de taal van de geometrie. De studie van de geconstrueerde modellen met behulp van geometrische concepten en stellingen. De bron van moeilijkheden is in de regel onwetendheid of onjuiste toepassing van de noodzakelijke stellingen van planimetrie.
Oppervlakte van een driehoek abc gelijk aan 129. DE- mediaanlijn evenwijdig aan de zijkant AB. Vind het gebied van de trapezium EEN BED.
Oplossing. Driehoek CDE gelijk aan een driehoek TAXI op twee hoeken, aangezien de hoek op het hoekpunt C algemeen, hoek CDE gelijk aan de hoek TAXI als de overeenkomstige hoeken bij DE || AB secans AC. Omdat DE is de middelste lijn van de driehoek door de voorwaarde, dan door de eigenschap van de middelste lijn | DE = (1/2)AB. De overeenkomstcoëfficiënt is dus 0,5. De gebieden van vergelijkbare figuren zijn gerelateerd als het kwadraat van de overeenkomstcoëfficiënt, dus
Vervolgens, S ABED = S Δ abc – S Δ CDE = 129 – 32,25 = 96,75.
Taak nummer 7- controleert de toepassing van de afgeleide op de studie van de functie. Voor een succesvolle implementatie is een zinvol, niet-formeel bezit van het concept van een derivaat noodzakelijk.
Voorbeeld 7 Naar de grafiek van de functie ja = f(x) op het punt met de abscis x 0 wordt een raaklijn getrokken die loodrecht staat op de rechte die door de punten (4; 3) en (3; -1) van deze grafiek gaat. Vind f′( x 0).
Oplossing. 1) Laten we de vergelijking gebruiken van een rechte lijn die door twee gegeven punten gaat en de vergelijking zoeken van een rechte lijn die door de punten (4; 3) en (3; -1) gaat.
(ja – ja 1)(x 2 – x 1) = (x – x 1)(ja 2 – ja 1)
(ja – 3)(3 – 4) = (x – 4)(–1 – 3)
(ja – 3)(–1) = (x – 4)(–4)
–ja + 3 = –4x+ 16| · (-een)
ja – 3 = 4x – 16
ja = 4x– 13, waar k 1 = 4.
2) Vind de helling van de raaklijn k 2 die loodrecht op de lijn staat ja = 4x– 13, waar k 1 = 4, volgens de formule:
3) De helling van de raaklijn is de afgeleide van de functie op het raakpunt. Middelen, f′( x 0) = k 2 = –0,25.
Antwoorden: –0,25.
Taak nummer 8- toetst de kennis van elementaire stereometrie bij de examendeelnemers, het kunnen toepassen van formules voor het vinden van oppervlakten en volumes van figuren, tweevlakshoeken, het vergelijken van de volumes van gelijkaardige figuren, het kunnen uitvoeren van handelingen met geometrische figuren, coördinaten en vectoren , enz.
Het volume van een kubus beschreven rond een bol is 216. Bepaal de straal van de bol.
Oplossing. 1) V kubus = a 3 (waar a is de lengte van de rand van de kubus), dus
a 3 = 216
a = 3 √216
2) Aangezien de bol is ingeschreven in een kubus, betekent dit dat de lengte van de diameter van de bol gelijk is aan de lengte van de rand van de kubus, dus d = a, d = 6, d = 2R, R = 6: 2 = 3.
Taak nummer 9- vereist dat de afgestudeerde algebraïsche uitdrukkingen transformeert en vereenvoudigt. Taak nr. 9 van een verhoogd niveau van complexiteit met een kort antwoord. Taken uit de sectie "Berekeningen en transformaties" in de USE zijn onderverdeeld in verschillende typen:
- conversie van numerieke/letter trigonometrische uitdrukkingen.
transformaties van numerieke rationale uitdrukkingen;
transformaties van algebraïsche uitdrukkingen en breuken;
transformaties van numerieke/letter irrationele uitdrukkingen;
acties met graden;
transformatie van logaritmische uitdrukkingen;
Voorbeeld 9 Bereken tgα als bekend is dat cos2α = 0,6 en
| 3π | < α < π. |
| 4 |
Oplossing. 1) Laten we de dubbele argumentformule gebruiken: cos2α = 2 cos 2 α - 1 en vind
| bruin 2 α = | 1 | – 1 = | 1 | – 1 = | 10 | – 1 = | 5 | – 1 = 1 | 1 | – 1 = | 1 | = 0,25. |
| cos 2 | 0,8 | 8 | 4 | 4 | 4 |
Vandaar, tan 2 α = ± 0,5.
3) Op voorwaarde
| 3π | < α < π, |
| 4 |
dus α is de hoek van het tweede kwartaal en tgα< 0, поэтому tgα = –0,5.
Antwoorden: –0,5.
#ADVERTISING_INSERT# Taak nummer 10- controleert het vermogen van studenten om de verworven vroege kennis en vaardigheden te gebruiken in praktische activiteiten en het dagelijks leven. We kunnen zeggen dat dit problemen zijn in de natuurkunde, en niet in de wiskunde, maar alle noodzakelijke formules en hoeveelheden worden gegeven in de voorwaarde. De taken worden gereduceerd tot het oplossen van een lineaire of kwadratische vergelijking, of een lineaire of kwadratische ongelijkheid. Daarom is het noodzakelijk om dergelijke vergelijkingen en ongelijkheden op te lossen en het antwoord te bepalen. Het antwoord moet de vorm hebben van een geheel getal of een laatste decimale breuk.
Twee lichamen van massa m= 2 kg elk, bewegend met dezelfde snelheid v= 10 m/s onder een hoek van 2α met elkaar. De energie (in joules) die vrijkomt tijdens hun absoluut inelastische botsing wordt bepaald door de uitdrukking Q = mv 2 zonde 2 . Onder welke kleinste hoek 2α (in graden) moeten de lichamen bewegen zodat er minimaal 50 joule vrijkomt als gevolg van de botsing?
Oplossing. Om het probleem op te lossen, moeten we de ongelijkheid Q ≥ 50 oplossen, op het interval 2α ∈ (0°; 180°).
mv 2 zonde 2 α ≥ 50
2 10 2 zonde 2 α ≥ 50
200 sin2α ≥ 50
Sinds α ∈ (0°; 90°), zullen we alleen oplossen
We geven de oplossing van de ongelijkheid grafisch weer:
Aangezien door aanname α ∈ (0°; 90°), betekent dit dat 30° ≤ α< 90°. Получили, что наименьший угол α равен 30°, тогда наименьший угол 2α = 60°.
Taak nummer 11- is typisch, maar blijkt lastig voor studenten. De belangrijkste bron van moeilijkheden is de constructie van een wiskundig model (het opstellen van een vergelijking). Taak nummer 11 test het vermogen om woordproblemen op te lossen.
Voorbeeld 11. Tijdens de voorjaarsvakantie moest Vasya van groep 11 560 trainingsproblemen oplossen om zich voor te bereiden op het examen. Op 18 maart, op de laatste schooldag, loste Vasya 5 problemen op. Vervolgens loste hij elke dag hetzelfde aantal problemen meer op dan de vorige dag. Bepaal hoeveel problemen Vasya op 2 april op de laatste vakantiedag heeft opgelost.
Oplossing: aanduiden a 1 = 5 - het aantal taken dat Vasya op 18 maart heeft opgelost, d- dagelijks aantal taken opgelost door Vasya, n= 16 - het aantal dagen van 18 maart tot en met 2 april, S 16 = 560 - het totale aantal taken, a 16 - het aantal taken dat Vasya op 2 april heeft opgelost. Wetende dat Vasya elke dag hetzelfde aantal taken meer heeft opgelost dan de vorige dag, kun je de formules gebruiken om de som van een rekenkundige reeks te vinden:560 = (5 + a 16) 8,
5 + a 16 = 560: 8,
5 + a 16 = 70,
a 16 = 70 – 5
a 16 = 65.
Antwoorden: 65.
Taak nummer 12- het vermogen van de leerlingen om acties met functies uit te voeren nagaan, de afgeleide kunnen toepassen op de studie van de functie.
Vind het maximale punt van een functie ja= 10ln( x + 9) – 10x + 1.
Oplossing: 1) Zoek het domein van de functie: x + 9 > 0, x> –9, dat wil zeggen, x ∈ (–9; ∞).
2) Zoek de afgeleide van de functie:
4) Het gevonden punt hoort bij het interval (–9; ∞). We definiëren de tekens van de afgeleide van de functie en geven het gedrag van de functie weer in de figuur:
Het gewenste maximale punt x = –8.
Download gratis het werkprogramma in de wiskunde naar de lijn van UMK G.K. Muravina, K.S. Muravina, O.V. Muravina 10-11 Download gratis algebra-handleidingenTaak nummer 13- een verhoogd niveau van complexiteit met een gedetailleerd antwoord, dat het vermogen test om vergelijkingen op te lossen, de meest succesvol opgeloste taken met een gedetailleerd antwoord van een verhoogd niveau van complexiteit.
a) Los de vergelijking 2log 3 2 (2cos x) – 5log 3 (2cos x) + 2 = 0
b) Zoek alle wortels van deze vergelijking die bij het segment horen.
Oplossing: a) Laat log 3 (2cos x) = t, dan 2 t 2 – 5t + 2 = 0,
|
|
log3(2cos x) = | 2 | ⇔ |
|
2cos x = 9 | ⇔ |
|
omdat x = | 4,5 | omdat |cos x| ≤ 1, |
| log3(2cos x) = | 1 | 2cos x = √3 | omdat x = | √3 | ||||||
| 2 | 2 |
| dan cos x = | √3 |
| 2 |
|
|
x = | π | + 2π k |
| 6 | |||
| x = – | π | + 2π k, k ∈ Z | |
| 6 |
b) Zoek de wortels die op het segment liggen.
In de figuur is te zien dat het gegeven segment wortels heeft
| 11 | en | 13π | . |
| 6 | 6 |
| Antwoorden: a) | π | + 2π k; – | π | + 2π k, k ∈ Z; b) | 11 | ; | 13π | . |
| 6 | 6 | 6 | 6 |
De omtrekdiameter van de basis van de cilinder is 20, de beschrijvende lijn van de cilinder is 28. Het vlak snijdt de basissen langs koorden van lengte 12 en 16. De afstand tussen de koorden is 2√197.
a) Bewijs dat de middelpunten van de basis van de cilinder aan dezelfde kant van dit vlak liggen.
b) Bereken de hoek tussen dit vlak en het vlak van de basis van de cilinder.
Oplossing: a) Een koorde met lengte 12 bevindt zich op een afstand = 8 van het middelpunt van de basiscirkel, en een koorde met lengte 16 bevindt zich eveneens op een afstand van 6. Daarom is de afstand tussen hun projecties op een vlak evenwijdig aan de basissen van de cilinders is ofwel 8 + 6 = 14, of 8 − 6 = 2.
Dan is de afstand tussen akkoorden ofwel
= = √980 = = 2√245
= = √788 = = 2√197.
Volgens de voorwaarde werd het tweede geval gerealiseerd, waarbij de projecties van de akkoorden aan één kant van de as van de cilinder liggen. Dit betekent dat de as dit vlak binnen de cilinder niet snijdt, dat wil zeggen dat de bases aan één kant ervan liggen. Wat moest er bewezen worden.
b) Laten we de middelpunten van de basen aanduiden als O 1 en O 2. Laten we vanuit het midden van het grondtal met een koorde van lengte 12 de middelloodlijn op dit akkoord tekenen (deze heeft een lengte van 8, zoals reeds opgemerkt) en vanuit het midden van het andere grondtal naar een ander akkoord. Ze liggen in hetzelfde vlak β loodrecht op deze akkoorden. Laten we het middelpunt van het kleinere akkoord B noemen, groter dan A, en de projectie van A op het tweede grondtal H (H ∈ β). Dan staan AB,AH ∈ β, en dus AB,AH loodrecht op de koorde, dat wil zeggen de snijlijn van de basis met het gegeven vlak.
Dus de vereiste hoek is
| ∠ABH = arctan | AH | = arctg | 28 | = boogg14. |
| BH | 8 – 6 |
Taak nummer 15- een verhoogd niveau van complexiteit met een gedetailleerd antwoord, controleert het vermogen om ongelijkheden op te lossen, het meest succesvol opgelost onder taken met een gedetailleerd antwoord van een verhoogd niveau van complexiteit.
Voorbeeld 15 Los de ongelijkheid op | x 2 – 3x| logboek 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2 .
Oplossing: Het definitiedomein van deze ongelijkheid is het interval (–1; +∞). Beschouw drie gevallen afzonderlijk:
1) Laten we x 2 – 3x= 0, d.w.z. X= 0 of X= 3. In dit geval wordt deze ongelijkheid waar, daarom worden deze waarden in de oplossing opgenomen.
2) Laat nu x 2 – 3x> 0, d.w.z. x∈ (–1; 0) ∪ (3; +∞). In dit geval kan deze ongelijkheid worden herschreven in de vorm ( x 2 – 3x) logboek 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2 en delen door een positieve uitdrukking x 2 – 3x. We krijgen log 2 ( x + 1) ≤ –1, x + 1 ≤ 2 –1 , x≤ 0,5 -1 of x-0,5. Rekening houdend met het domein van de definitie, hebben we: x ∈ (–1; –0,5].
3) Overweeg tot slot: x 2 – 3x < 0, при этом x(0; 3). In dit geval wordt de oorspronkelijke ongelijkheid herschreven in de vorm (3 x – x 2) logboek 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2. Na delen door een positieve uitdrukking 3 x – x 2 , we krijgen log 2 ( x + 1) ≤ 1, x + 1 ≤ 2, x≤ 1. Rekening houdend met het gebied, hebben we x ∈ (0; 1].
Door de verkregen oplossingen te combineren, verkrijgen we x ∈ (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.
Antwoorden: (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.
Taak nummer 16- gevorderd niveau verwijst naar de taken van het tweede deel met een gedetailleerd antwoord. De taak test het vermogen om acties uit te voeren met geometrische vormen, coördinaten en vectoren. De taak bevat twee items. In de eerste alinea moet de taak worden bewezen en in de tweede alinea moet deze worden berekend.
In een gelijkbenige driehoek ABC met een hoek van 120° op het hoekpunt A wordt een bissectrice BD getekend. Rechthoek DEFH is ingeschreven in driehoek ABC zodat zijde FH op segment BC ligt en hoekpunt E op segment AB. a) Bewijs dat FH = 2DH. b) Zoek de oppervlakte van de rechthoek DEFH als AB = 4.
Oplossing: a)
1) ΔBEF - rechthoekig, EF⊥BC, ∠B = (180° - 120°) : 2 = 30°, dan EF = BE vanwege de eigenschap van het been tegenover de hoek van 30°.
2) Laat EF = DH = x, dan BE = 2 x, BF = x√3 volgens de stelling van Pythagoras.
3) Aangezien ΔABC gelijkbenig is, dan is ∠B = ∠C = 30˚.
BD is de bissectrice van ∠B, dus ∠ABD = ∠DBC = 15˚.
4) Beschouw ΔDBH - rechthoekig, omdat DH⊥BC.
| 2x | = | 4 – 2x |
| 2x(√3 + 1) | 4 |
| 1 | = | 2 – x |
| √3 + 1 | 2 |
√3 – 1 = 2 – x
x = 3 – √3
EF = 3 - √3
2) S DEFH = ED EF = (3 - √3 ) 2(3 - √3)
S DEFH = 24 - 12√3.
Antwoorden: 24 – 12√3.
Taak nummer 17- een taak met een gedetailleerd antwoord, deze taak test de toepassing van kennis en vaardigheden in praktische activiteiten en het dagelijks leven, het vermogen om wiskundige modellen te bouwen en te verkennen. Deze taak is een teksttaak met economische inhoud.
Voorbeeld 17. Het is de bedoeling dat de aanbetaling van 20 miljoen roebel gedurende vier jaar wordt geopend. Aan het einde van elk jaar verhoogt de bank het deposito met 10% in vergelijking met de omvang aan het begin van het jaar. Bovendien vult de deposant aan het begin van het derde en vierde jaar het depot jaarlijks aan met X miljoen roebel, waar? X - geheel nummer. Vind de hoogste waarde X, waarbij de bank in vier jaar minder dan 17 miljoen roebel aan het deposito zal toevoegen.
Oplossing: Aan het einde van het eerste jaar is de bijdrage 20 + 20 · 0,1 = 22 miljoen roebel, en aan het einde van het tweede - 22 + 22 · 0,1 = 24,2 miljoen roebel. Aan het begin van het derde jaar wordt de bijdrage (in miljoen roebel) (24,2 + .) X), en aan het einde - (24.2 + X) + (24,2 + X) 0,1 = (26,62 + 1,1 X). Aan het begin van het vierde jaar wordt de bijdrage (26,62 + 2,1 .) X), en aan het einde - (26.62 + 2.1 X) + (26,62 + 2,1X) 0,1 = (29.282 + 2.31 X). Per voorwaarde moet je het grootste gehele getal x vinden waarvoor de ongelijkheid
(29,282 + 2,31x) – 20 – 2x < 17
29,282 + 2,31x – 20 – 2x < 17
0,31x < 17 + 20 – 29,282
0,31x < 7,718
| x < | 7718 |
| 310 |
| x < | 3859 |
| 155 |
| x < 24 | 139 |
| 155 |
De grootste gehele oplossing van deze ongelijkheid is het getal 24.
Antwoorden: 24.
Taak nummer 18- een taak van een verhoogd niveau van complexiteit met een gedetailleerd antwoord. Deze taak is bedoeld voor competitieve selectie voor universiteiten met verhoogde eisen voor de wiskundige voorbereiding van aanvragers. Een taak van hoge complexiteit is geen taak voor het toepassen van één oplossingsmethode, maar voor een combinatie van verschillende methoden. Voor het succesvol afronden van taak 18 is naast gedegen wiskundige kennis ook een hoog niveau van wiskundige cultuur vereist.
bij wat? a systeem van ongelijkheden
| x 2 + ja 2 ≤ 2ay – a 2 + 1 | |
| ja + a ≤ |x| – a |
heeft precies twee oplossingen?
Oplossing: Dit systeem kan worden herschreven als:
| x 2 + (ja– a) 2 ≤ 1 | |
| ja ≤ |x| – a |
Als we op het vlak de verzameling oplossingen van de eerste ongelijkheid tekenen, krijgen we het binnenste van een cirkel (met grens) met straal 1 gecentreerd op het punt (0, a). De verzameling oplossingen van de tweede ongelijkheid is het deel van het vlak dat onder de grafiek van de functie ligt ja = |
x| –
a,
en de laatste is de grafiek van de functie
ja = |
x|
, naar beneden verschoven door a. De oplossing van dit systeem is het snijpunt van de oplossingsverzamelingen van elk van de ongelijkheden.
Bijgevolg heeft dit systeem alleen twee oplossingen in het geval dat wordt getoond in Fig. een.
De raakpunten tussen de cirkel en de lijnen zijn de twee oplossingen van het systeem. Elk van de rechte lijnen helt onder een hoek van 45° ten opzichte van de assen. Dus de driehoek PQR- rechthoekige gelijkbenige. Punt Q heeft coördinaten (0, a), en het punt R– coördinaten (0, – a). Bovendien, bezuinigingen PR en PQ zijn gelijk aan de cirkelstraal gelijk aan 1. Vandaar,
| QR= 2a = √2, a = | √2 | . |
| 2 |
| Antwoorden: a = | √2 | . |
| 2 |
Taak nummer 19- een taak van een verhoogd niveau van complexiteit met een gedetailleerd antwoord. Deze taak is bedoeld voor competitieve selectie voor universiteiten met verhoogde eisen voor de wiskundige voorbereiding van aanvragers. Een taak van hoge complexiteit is geen taak voor het toepassen van één oplossingsmethode, maar voor een combinatie van verschillende methoden. Voor de succesvolle voltooiing van taak 19 is het noodzakelijk om naar een oplossing te kunnen zoeken, verschillende benaderingen te kiezen uit de bekende, en de bestudeerde methoden aan te passen.
Laten sn som P leden van een rekenkundige reeks ( een p). Het is bekend dat S n + 1 = 2n 2 – 21n – 23.
a) Geef de formule P het lid van deze progressie.
b) Vind de kleinste modulo som S n.
c) Vind de kleinste P, waarbij S n zal het kwadraat van een geheel getal zijn.
Oplossing: a) Duidelijk, een = S n – S n- een . Met behulp van deze formule krijgen we:
S n = S (n – 1) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 1) – 23 = 2n 2 – 25n,
S n – 1 = S (n – 2) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 2) – 23 = 2n 2 – 25n+ 27
middelen, een = 2n 2 – 25n – (2n 2 – 29n + 27) = 4n – 27.
B) omdat S n = 2n 2 – 25n, beschouw dan de functie S(x) = | 2x 2 – 25x|. Haar grafiek is te zien in de figuur.
Het is duidelijk dat de kleinste waarde wordt bereikt op de gehele punten die zich het dichtst bij de nullen van de functie bevinden. Uiteraard zijn dit punten. X= 1, X= 12 en X= 13. Sinds, S(1) = |S 1 | = |2 – 25| = 23, S(12) = |S 12 | = |2 144 – 25 12| = 12, S(13) = |S 13 | = |2 169 – 25 13| = 13, dan is de kleinste waarde 12.
c) Uit de vorige paragraaf volgt dat: sn positief sinds n= 13. Sinds S n = 2n 2 – 25n = n(2n– 25), dan wordt het voor de hand liggende geval wanneer deze uitdrukking een perfect vierkant is, gerealiseerd wanneer n = 2n- 25, dat wil zeggen, met P= 25.
Het blijft om de waarden van 13 tot 25 te controleren:
S 13 = 13 1, S 14 = 14 3, S 15 = 15 5, S 16 = 16 7, S 17 = 17 9, S 18 = 18 11, S 19 = 19 13 S 20 = 20 13, S 21 = 21 17, S 22 = 22 19, S 23 = 23 21, S 24 = 24 23.
Het blijkt dat voor kleinere waarden P volledig vierkant wordt niet bereikt.
Antwoorden: a) een = 4n- 27; b) 12; c) 25.
________________
*Sinds mei 2017 maakt de gezamenlijke uitgeverijgroep DROFA-VENTANA deel uit van de Russian Textbook Corporation. Het bedrijf omvatte ook de uitgeverij Astrel en het digitale onderwijsplatform LECTA. Alexander Brychkin, afgestudeerd aan de Financiële Academie onder de regering van de Russische Federatie, kandidaat voor economische wetenschappen, hoofd van innovatieve projecten van de uitgeverij DROFA op het gebied van digitaal onderwijs (elektronische vormen van leerboeken, Russische elektronische school, LECTA digitaal onderwijs platform) is aangesteld als algemeen directeur. Voordat hij bij uitgeverij DROFA in dienst trad, bekleedde hij de functie van vice-president voor strategische ontwikkeling en investeringen van de uitgeverij EKSMO-AST. Tegenwoordig heeft de Russian Textbook Publishing Corporation de grootste portefeuille met leerboeken die zijn opgenomen in de federale lijst - 485 titels (ongeveer 40%, exclusief schoolboeken voor penitentiaire scholen). De uitgeverijen van het bedrijf zijn eigenaar van de reeksen leerboeken in natuurkunde, tekenen, biologie, scheikunde, technologie, aardrijkskunde, astronomie, waar de meeste vraag naar is door Russische scholen - kennisgebieden die nodig zijn om het productiepotentieel van het land te ontwikkelen. De portefeuille van het bedrijf omvat studieboeken en leermiddelen voor basisscholen die de President's Prize in Education hebben gekregen. Dit zijn leerboeken en handleidingen over vakgebieden die nodig zijn voor de ontwikkeling van het wetenschappelijke, technische en industriële potentieel van Rusland.
Opdracht 20 Basisniveau van het examen
1) Een slak kruipt per dag 4 m in een boom en glijdt in een nacht 1 m. De hoogte van een boom is 13 m. Hoeveel dagen duurt het voordat een slak naar de top van een boom kruipt voor de eerste keer? (4-1 \u003d 3, de ochtend van de 4e dag zal op een hoogte van 9m zijn en 4m zal op een dag kruipen.Antwoord: 4 )
2) Een slak kruipt per dag 4 m in een boom en glijdt in een nacht 3 m. De hoogte van een boom is 10 m. In hoeveel dagen kruipt een slak voor het eerst naar de top van een boom? Antwoord: 7
3) Een slak klimt in een dag 3 m in een boom en daalt in een nacht 2 m. De hoogte van een boom is 10 m. Hoeveel dagen zal een slak naar de top van een boom klimmen? Antwoord: 8
4) Kruislijnen van rood, geel en groen zijn gemarkeerd op de stick. Als je een stok langs de rode lijnen knipt, krijg je 15 stukjes, als langs de gele lijnen - 5 stuks, en als langs de groene lijnen - 7 stuks. Hoeveel stukjes krijg je als je een stokje knipt langs de lijnen van alle drie de kleuren ? (Als je een stok langs rode lijnen knipt, krijg je 15 stukjes, dus lijnen - 14. Als je een stok langs gele lijnen zag - 5 stukken, dus lijnen - 4. Als je het langs groene lijnen zag - 7 stukjes, lijnen - 6. Totaal aantal lijnen: 14 + 4 + 6 = 24 lijnen. Antwoorden:25 )
5) Op de stok zijn dwarslijnen van rood, geel en groen gemarkeerd. Als je de stok langs de rode lijnen hebt gezien, krijg je 5 stuks, als langs de gele lijnen - 7 stuks, en als langs de groene lijnen - 11 stuks. Hoeveel stukjes krijg je als je een stok knipt langs de lijnen van alle drie de kleuren? Antwoorden : 21
6) Dwarslijnen van rood, geel en groen zijn gemarkeerd op de stick. Als je een stok langs de rode lijnen knipt, krijg je 10 stuks, als langs de gele lijnen - 8 stuks, als langs de groene lijnen - 8 stuks. Hoeveel stukjes krijg je als je een stok knipt langs de lijnen van alle drie de kleuren? Antwoorden : 24
7) In het wisselkantoor kunt u een van de volgende twee bewerkingen uitvoeren:
Voor 2 gouden munten, krijg je 3 zilveren en één koper;
Voor 5 zilveren munten krijg je 3 gouden en één koper.
Nicholas had alleen zilveren munten. Na verschillende bezoeken aan het wisselkantoor had hij minder zilveren munten, geen gouden munten, maar verschenen er 50 koperen munten. Met hoeveel is het aantal zilveren munten van Nicholas afgenomen? Antwoord: 10
8) Bij het wisselkantoor kunt u een van de volgende twee bewerkingen uitvoeren:
· voor 2 gouden munten krijg je 3 zilveren en één koper;
· Voor 5 zilveren munten krijg je 3 gouden en één koper.
Nicholas had alleen zilveren munten. Na verschillende bezoeken aan het wisselkantoor had hij minder zilveren munten, geen gouden munten, maar verschenen er 100 koperen munten. Met hoeveel is het aantal zilveren munten van Nicholas afgenomen?? Antwoord: 20
9) In het wisselkantoor kunt u een van de volgende twee bewerkingen uitvoeren:
1) voor 3 gouden munten krijg je 4 zilveren en één koper;
2) voor 6 zilveren munten, krijg je 4 gouden en één koper.
Nikola had alleen zilveren munten. Na een bezoek aan het wisselkantoor had hij minder zilveren munten, geen gouden munten, maar er verschenen 35 koperen munten. Met hoeveel is Nikola's aantal zilveren munten afgenomen? Antwoord: 10
10) In het wisselkantoor kunt u een van de volgende twee bewerkingen uitvoeren:
1) voor 3 gouden munten krijg je 4 zilveren en één koper;
2) voor 7 zilveren munten, krijg je 4 gouden en één koper.
Nikola had alleen zilveren munten. Na een bezoek aan het wisselkantoor had hij minder zilveren munten, geen gouden munten, maar er verschenen 42 koperen munten. Met hoeveel is Nikola's aantal zilveren munten afgenomen? Antwoord: 30
11) In het wisselkantoor kunt u een van de volgende twee bewerkingen uitvoeren:
1) voor 4 gouden munten krijg je 5 zilveren en één koper;
2) voor 8 zilveren munten, krijg je 5 gouden en één koper.
Nicholas had alleen zilveren munten. Na verschillende bezoeken aan het wisselkantoor had hij minder zilveren munten, geen gouden munten, maar verschenen er 45 koperen munten. Met hoeveel is het aantal zilveren munten van Nicholas afgenomen? Antwoord: 35
12) Er zitten 50 paddenstoelen in de mand: paddenstoelen en melkpaddenstoelen. Het is bekend dat er onder elke 28 paddenstoelen minstens één camelina is, en onder elke 24 paddenstoelen minstens één paddenstoel. Hoeveel champignons zitten er in de mand? ( (50-28)+1=23 - moeten roodharigen zijn. (50-24)+1=27 - moet brutaal zijn. Antwoord: paddenstoelen in de mand 27 .)
13) Er zitten 40 paddenstoelen in de mand: paddenstoelen en melkpaddenstoelen. Het is bekend dat onder elke 17 paddenstoelen er minstens één camelina is, en onder elke 25 paddenstoelen minstens één paddenstoel. Hoeveel champignons zitten er in de mand? ( Volgens de toestand van het probleem: (40-17)+1=24 - moeten roodharigen zijn. (40-25)+1=16 24 .)
14) het mandje bevat 30 paddenstoelen: paddenstoelen en melkpaddenstoelen. Het is bekend dat er onder elke 12 paddenstoelen minstens één camelina is, en onder elke 20 paddenstoelen minstens één paddenstoel. Hoeveel champignons zitten er in de mand? (Afhankelijk van de toestand van het probleem: (30-12)+1=19 - moeten roodharigen zijn. (30-20)+1=11 - moet brutaal zijn. Antwoord: saffraan melkdoppen in een mandje 19 .)
15) Er zitten 45 paddenstoelen in de mand: paddenstoelen en melkpaddenstoelen. Het is bekend dat er onder elke 23 paddestoelen minstens één camelina is, en onder elke 24 paddestoelen minstens één paddestoel. Hoeveel champignons zitten er in de mand? ( Volgens de toestand van het probleem: (45-23)+1=23 - moeten roodharigen zijn. (45-24)+1=22 - moet brutaal zijn. Antwoord: saffraan melkdoppen in een mandje 23 .)
16) Er zitten 25 paddenstoelen in het mandje: paddenstoelen en melkpaddenstoelen. Het is bekend dat er onder elke 11 paddenstoelen minstens één camelina is, en onder elke 16 paddenstoelen minstens één paddenstoel. Hoeveel champignons zitten er in de mand? ( Aangezien onder elke 11 paddenstoelen er minstens één een paddenstoel is, zijn er niet meer dan 10 paddenstoelen. Aangezien onder elke 16 paddenstoelen er minstens één een paddenstoel is, zijn er niet meer dan 15 paddenstoelen. En aangezien er 25 paddenstoelen in de mand, er zijn precies 10 paddenstoelen en Ryzhikov preciesAntwoord:15.
17) De eigenaar kwam met de arbeiders overeen dat ze een put voor hem zouden graven onder de volgende voorwaarden: voor de eerste meter zou hij hen 4200 roebel betalen en voor elke volgende meter - 1300 roebel meer dan voor de vorige. Hoeveel geld moet de eigenaar de arbeiders betalen als ze een put van 11 meter diep graven? ?(Antwoord: 117700)
18) De eigenaar kwam met de arbeiders overeen dat ze een put voor hem zouden graven onder de volgende voorwaarden: voor de eerste meter zou hij hen 3.700 roebel betalen en voor elke volgende meter - 1.700 roebel meer dan voor de vorige. Hoeveel geld moet de eigenaar betalen aan de arbeiders als ze een put van 8 meter diep graven? ( 77200 )
19) De eigenaar kwam met de arbeiders overeen dat ze een put graven onder de volgende voorwaarden: voor de eerste meter betaalt hij hen 3.500 roebel en voor elke volgende meter - 1.600 roebel meer dan voor de vorige. Hoeveel geld moet de eigenaar betalen aan de arbeiders als ze een put van 9 meter diep graven? ( 89100 )
20) De eigenaar kwam met de arbeiders overeen dat ze een put voor hem zouden graven onder de volgende voorwaarden: voor de eerste meter zou hij 3.900 roebel betalen en voor elke volgende meter zou hij 1.200 roebel meer betalen dan voor de vorige. Hoeveel roebel moet de eigenaar betalen aan de arbeiders als ze een put van 6 meter diep graven? (41400)
21) De trainer adviseerde Andrey om op de eerste lesdag 15 minuten op de loopband door te brengen en bij elke volgende les de tijd op de loopband met 7 minuten te verhogen. Hoeveel sessies zal Andrey in totaal 2 uur en 25 minuten op de loopband doorbrengen als hij het advies van de trainer opvolgt? ( 5 )
22) De coach adviseerde Andrey om 22 minuten op de loopband door te brengen op de eerste trainingsdag en om bij elke volgende sessie de tijd op de loopband met 4 minuten te verlengen totdat deze 60 minuten bereikt, en dan 60 minuten door te gaan met trainen elke dag. In hoeveel sessies, vanaf de eerste, zal Andrey 4 uur en 48 minuten op de loopband doorbrengen? ( 8 )
23) Er zijn 24 stoelen op de eerste rij van de bioscoopzaal en in elke volgende rij zijn er 2 meer dan in de vorige. Hoeveel stoelen zijn er op de achtste rij? ( 38 )
24) De arts schreef de patiënt voor om het geneesmiddel volgens het volgende schema in te nemen: op de eerste dag moet hij 3 druppels nemen en op elke volgende dag - 3 druppels meer dan op de vorige. Nadat hij 30 druppels heeft ingenomen, drinkt hij nog 3 dagen 30 druppels van het geneesmiddel en vermindert vervolgens de inname met 3 druppels per dag. Hoeveel injectieflacons met geneesmiddel moet een patiënt kopen voor de hele behandelingskuur als elke injectieflacon 20 ml geneesmiddel bevat (wat neerkomt op 250 druppels)? (2) de som van een rekenkundige reeks met de eerste term gelijk aan 3, het verschil gelijk aan 3 en de laatste term gelijk aan 30.; 165 + 90 + 135 = 390 druppels; 3+ 3(n-1)=30; n=10 en 27- 3(n-1)=3; n=9
25) De arts schreef de patiënt voor om het geneesmiddel volgens het volgende schema in te nemen: op de eerste dag moet hij 20 druppels nemen en op elke volgende dag - 3 druppels meer dan op de vorige. Na 15 dagen inname neemt de patiënt een pauze van 3 dagen en gaat verder met het innemen van het geneesmiddel volgens het omgekeerde schema: op de 19e dag neemt hij hetzelfde aantal druppels als op de 15e dag, en verlaagt dan de dosis met 3 druppels dagelijks totdat de dosering minder wordt dan 3 druppels per dag. Hoeveel injectieflacons met geneesmiddel moet een patiënt kopen voor de hele behandelingskuur als elk 200 druppels bevat? ( 7 ) drankjes 615 + 615 + 55 = 1285; 1285: 200 = 6,4
26) In een winkel voor huishoudelijke apparaten is de verkoop van koelkasten seizoensgebonden. In januari werden 10 koelkasten verkocht en in de komende drie maanden werden 10 koelkasten verkocht. Sinds mei is de verkoop met 15 eenheden gestegen ten opzichte van de voorgaande maand. Sinds september begon de verkoop elke maand met 15 koelkasten te dalen in vergelijking met de vorige maand. Hoeveel koelkasten verkocht de winkel in een jaar? (360) (5*10+2*25+2*40+2*55+70=360
27) Op het oppervlak van de wereldbol werden 12 parallellen en 22 meridianen getekend met een viltstift. In hoeveel delen verdeelden de getekende lijnen het oppervlak van de wereldbol?
Een meridiaan is een cirkelboog die de Noord- en Zuidpool verbindt. Een parallel is een cirkel die in een vlak ligt dat evenwijdig is aan het vlak van de evenaar. (13 22=286)
28) Op het oppervlak van de wereldbol werden 17 parallellen en 24 meridianen getekend met een viltstift. In hoeveel delen verdeelden de getekende lijnen het oppervlak van de wereldbol? Een meridiaan is een cirkelboog die de Noord- en Zuidpool verbindt. Een parallel is een cirkel die in een vlak ligt dat evenwijdig is aan het vlak van de evenaar. (18 24 =432)
29) Wat is het kleinste aantal opeenvolgende getallen dat je moet nemen zodat hun product deelbaar is door 7? (2) Als de toestand van het probleem zo klonk: "Wat is het kleinste aantal opeenvolgende getallen dat u moet nemen zodat hun product gegarandeerd deelbaar door 7? Dan zou het nodig zijn om zeven opeenvolgende nummers te nemen.
30) Wat is het kleinste aantal opeenvolgende getallen dat je moet nemen zodat hun product deelbaar is door 9? (2)
31) Het product van tien opeenvolgende getallen wordt gedeeld door 7. Wat kan de rest zijn? (0) Van de 10 opeenvolgende getallen zal één ervan noodzakelijkerwijs deelbaar zijn door 7, dus het product van deze getallen is een veelvoud van zeven. Daarom is de rest wanneer gedeeld door 7 nul.
32) De sprinkhaan springt langs de coördinaatlijn in elke richting voor een eenheidssegment per sprong. Hoeveel verschillende punten op de coördinatenlijn zijn er die de sprinkhaan kan bereiken nadat hij precies 6 sprongen heeft gemaakt, beginnend bij de oorsprong? ( de sprinkhaan kan terecht op punten: -6, -4, -2, 0, 2, 4 en 6; slechts 7 punten.)
33) De sprinkhaan springt langs de coördinaatlijn in elke richting voor een eenheidssegment per sprong. Hoeveel verschillende punten op de coördinatenlijn zijn er die de sprinkhaan kan bereiken nadat hij precies 12 sprongen heeft gemaakt, beginnend bij de oorsprong? ( de sprinkhaan kan terecht op punten: -12, -10, -8, -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, 8, 10 en 12; totaal 13 punten.)
34) De sprinkhaan springt langs de coördinaatlijn in elke richting voor een eenheidssegment per sprong. Hoeveel verschillende punten op de coördinatenlijn zijn er die de sprinkhaan kan bereiken nadat hij precies 11 sprongen heeft gemaakt, beginnend bij de oorsprong? (kan verschijnen op punten: -11, -9, -7, -5, -3, -1, 1, 3, 5, 7, 9 en 11; 12 punten in totaal.)
35) De sprinkhaan springt langs de coördinaatlijn in elke richting voor een eenheidssegment per sprong. Hoeveel verschillende punten op de coördinaatlijn zijn er die de sprinkhaan kan bereiken nadat hij precies 8 sprongen heeft gemaakt, beginnend bij de oorsprong?
Merk op dat de sprinkhaan alleen kan eindigen op punten met even coördinaten, aangezien het aantal sprongen dat hij maakt even is. De maximale sprinkhaan kan op punten zijn, waarvan de module niet groter is dan acht. Zo kan de sprinkhaan terecht op de punten: -8, -6,-2 ; −4, 0.2 , 4, 6, 8 totaal 9 punten.
Probleem #5922.
De eigenaar was het met de arbeiders eens dat ze een put aan het graven waren onder de volgende voorwaarden: voor de eerste meter zou hij hen 3.500 roebel betalen, en voor elke volgende meter - 1.600 roebel meer dan voor de vorige. Hoeveel geld moet de eigenaar betalen aan de arbeiders als ze een put van 9 meter diep graven?
Aangezien de betaling voor elke volgende meter verschilt van de betaling voor de vorige met hetzelfde nummer, hebben we voor ons.
In dit verloop - de vergoeding voor de eerste meter, - het verschil in vergoeding voor elke volgende meter, - het aantal werkdagen.
De som van de leden van een rekenkundige reeks wordt gevonden door de formule:
Vervang de gegevens van het probleem in deze formule.
Antwoord: 89100.
Probleem #5943.
In het wisselkantoor kunt u een van de volgende twee bewerkingen uitvoeren:
· voor 2 gouden munten krijg je 3 zilveren en één koper;
· Voor 5 zilveren munten krijg je 3 gouden en één koper.
Nicholas had alleen zilveren munten. Na verschillende bezoeken aan het wisselkantoor had hij minder zilveren munten, geen gouden munten, maar verschenen er 100 koperen munten. Met hoeveel is het aantal zilveren munten van Nicholas afgenomen??
Probleem #5960.
De sprinkhaan springt langs de coördinaatlijn in elke richting voor een eenheidssegment per sprong. Hoeveel verschillende punten op de coördinatenlijn zijn er die de sprinkhaan kan bereiken nadat hij precies 5 sprongen heeft gemaakt, beginnend bij de oorsprong?
Als de sprinkhaan vijf sprongen in één richting maakt (rechts of links), dan komt hij terecht op punten met coördinaten 5 of -5:
Merk op dat de sprinkhaan zowel naar rechts als naar links kan springen. Als hij 1 sprong naar rechts en 4 sprongen naar links maakt (in totaal 5 sprongen), komt hij op het punt met coördinaat -3. Evenzo, als de sprinkhaan 1 sprong naar links en 4 sprongen naar rechts maakt (voor een totaal van 5 sprongen), dan zal hij eindigen op het punt met coördinaat 3:
Als de sprinkhaan 2 sprongen naar rechts en 3 sprongen naar links maakt (in totaal 5 sprongen), komt hij terecht op het punt met coördinaat -1. Evenzo, als de sprinkhaan 2 sprongen naar links en 3 sprongen naar rechts maakt (voor een totaal van 5 sprongen), dan zal hij eindigen op het punt met coördinaat 1:
Merk op dat als het totale aantal sprongen oneven is, de sprinkhaan niet terugkeert naar de oorsprong, dat wil zeggen dat hij alleen punten kan raken met oneven coördinaten:
Er zijn slechts 6 van deze punten.
Als het aantal sprongen even was, zou de sprinkhaan terug kunnen keren naar de oorsprong en zouden alle punten op de coördinatenlijn die hij zou kunnen raken even coördinaten hebben.
Antwoord: 6
Probleem #5990
Een slak klimt 2 m per dag in een boom en glijdt in een nacht 1 m naar beneden. De hoogte van de boom is 9 m. Hoeveel dagen duurt het voordat de slak naar de top van de boom kruipt?
Merk op dat men in dit probleem onderscheid moet maken tussen het concept "dag" en het concept "dag".
De vraag vraagt precies hoeveel? dagen de slak zal naar de top van de boom kruipen.
In één dag klimt de slak 2 m, en in één dag stijgt de slak tot 1 m (het stijgt gedurende de dag met 2 m en daalt vervolgens met 1 m tijdens de nacht).
Gedurende 7 dagen stijgt de slak tot 7 meter. Dat wil zeggen, op de ochtend van de 8e dag zal ze moeten kruipen naar de top van 2 m. En op de achtste dag zal ze deze afstand overwinnen.
Antwoord: 8 dagen.
Taaknummer 6010.
Alle ingangen van het huis hebben hetzelfde aantal verdiepingen en elke verdieping heeft hetzelfde aantal appartementen. Tegelijkertijd is het aantal verdiepingen in het huis groter dan het aantal appartementen per verdieping, het aantal appartementen per verdieping is groter dan het aantal ingangen en het aantal ingangen is meer dan één. Hoeveel verdiepingen heeft een gebouw als er in totaal 105 appartementen zijn?
Om het aantal appartementen in een huis te vinden, moet u het aantal appartementen per verdieping ( ) vermenigvuldigen met het aantal verdiepingen ( ) en vermenigvuldigen met het aantal ingangen ( ).
Dat wil zeggen, we moeten ( ) vinden op basis van de volgende voorwaarden:
(1)
De laatste ongelijkheid weerspiegelt de conditie "het aantal verdiepingen in het gebouw is groter dan het aantal appartementen per verdieping, het aantal appartementen per verdieping is groter dan het aantal ingangen en het aantal ingangen is meer dan één."
Dat wil zeggen, ( ) is het grootste getal.
Laten we 105 ontbinden in priemfactoren:
Rekening houdend met voorwaarde (1), .
Antwoord: 7.
Probleem #6036.
Er zitten 30 paddenstoelen in de mand: paddenstoelen en melkpaddenstoelen. Het is bekend dat er onder elke 12 paddenstoelen minstens één camelina is, en onder elke 20 paddenstoelen minstens één paddenstoel. Hoeveel champignons zitten er in de mand?
Omdat onder elke 12 paddenstoelen is er minstens één camelina(of meer) het aantal paddenstoelen moet kleiner of gelijk zijn aan .
Hieruit volgt dat het aantal saffraan melkdoppen groter of gelijk is aan .
Omdat onder elke 20 paddenstoelen minstens één paddenstoel(of meer), het aantal saffraanmelkdoppen moet kleiner of gelijk zijn aan
Toen kregen we dat aan de ene kant het aantal paddenstoelen groter is dan of gelijk is aan 19 , en aan de andere kant, kleiner dan of gelijk aan 19 .
Daarom is het aantal paddenstoelen gelijk aan 19.
Antwoord: 19.
Probleem nummer 6047.
Sasha nodigde Petya uit voor een bezoek en zei dat hij in de zevende ingang van appartement nr. 333 woont, maar hij vergat de vloer te zeggen. Toen ze het huis naderde, ontdekte Petya dat het huis negen verdiepingen had. Op welke verdieping woont Sasha? (Het aantal appartementen op elke verdieping is hetzelfde, het aantal appartementen in het gebouw begint bij één.)
Laat op elke verdieping van appartementen.
Dan is het aantal appartementen in de eerste zes ingangen
Zoek de maximale natuurlijke waarde die voldoet aan de ongelijkheid ( - het nummer van het laatste appartement in de zesde ingang, en het is minder dan 333.)
Vanaf hier
Het nummer van het laatste appartement in de zesde ingang -
De zevende ingang begint vanaf het 325e appartement.
Appartement 333 bevindt zich dan ook op de tweede verdieping.
Antwoord: 2
Probleem nummer 6060.
Op het oppervlak van de wereldbol werden 17 parallellen en 24 meridianen getekend met een viltstift. In hoeveel delen verdelen de getekende lijnen het oppervlak van de wereldbol? Een meridiaan is een cirkelboog die de Noord- en Zuidpool met elkaar verbindt. Parallel is een cirkel die in een vlak ligt dat evenwijdig is aan het vlak van de evenaar..
Stel je een watermeloen voor die we in stukjes snijden.
Nadat we twee sneden hebben gemaakt van het bovenste punt naar de onderkant (twee meridianen tekenen), zullen we de watermeloen in twee plakjes snijden. Daarom, na het maken van 24 sneden (24 meridianen), zullen we de watermeloen in 24 plakjes snijden.
Nu gaan we elk plakje snijden.
Als we 1 dwarssnede (parallel) maken, dan snijden we een schijf in 2 delen.
Als we 2 dwarse sneden (parallellen) maken, dan snijden we een plak in 3 delen.
Dus, nadat we 17 sneden hebben gemaakt, zullen we één plak in 18 delen snijden.
Dus we sneden 24 plakjes in 18 stukken en kregen een stuk.
Daarom verdelen 17 parallellen en 24 meridianen het oppervlak van de wereld in 432 delen.
Antwoord: 432.
Probleem #6069
Op de stok zijn dwarslijnen van rood, geel en groen gemarkeerd. Als je de stok langs de rode lijnen hebt gezien, krijg je 5 stuks, als langs de gele lijnen - 7 stuks, en als langs de groene lijnen - 11 stuks. Hoeveel stukjes krijg je als je een stok knipt langs de lijnen van alle drie de kleuren?
Als je 1 snede maakt, krijg je 2 stukken.
Als je 2 sneden maakt, krijg je 3 stukken.
In het algemene geval: als je snijdt, krijg je een stuk.
Achterkant: om stukken te krijgen, moet je een snede maken.
Zoek het totale aantal lijnen waarlangs de stok werd gesneden.
Als je de stok langs de rode lijnen knipt, krijg je 5 stukjes - daarom waren er 4 rode lijnen;
indien op geel - 7 stuks - daarom waren er 6 gele lijnen;
en indien op groen - 11 stuks - daarom waren er 10 groene lijnen.
Het totale aantal regels is dus . Als je het stokje langs alle lijnen knipt, krijg je 21 stukjes.
Antwoord: 21.
Probleem #9626.
Er zijn vier tankstations op de ringweg: A, B, B en D. De afstand tussen A en B is 50 km, tussen A en C is 40 km, tussen C en D is 25 km, tussen D en A is 35 km (alle afstanden zijn gemeten langs de ringweg in de kortste richting). Bereken de afstand tussen B en C.
Laten we eens kijken hoe tankstations kunnen worden gevonden. Laten we proberen ze als volgt te ordenen:
Bij een dergelijke opstelling kan de afstand tussen G en A niet gelijk zijn aan 35 km.
Laten we dit proberen:
Met deze regeling kan de afstand tussen A en B geen 40 km zijn.
Overweeg deze optie:
Deze optie voldoet aan de toestand van het probleem.
Antwoord: 10.
Probleem #10041.
De takenlijst van de quiz bestond uit 25 vragen. Voor elk goed antwoord kreeg de student 7 punten, voor een fout antwoord werden 9 punten van hem afgetrokken en als er geen antwoord was, kregen ze 0 punten. Hoeveel goede antwoorden heeft de leerling met 56 punten gegeven, als bekend is dat hij minstens één keer fout zat?
Laat de leerling goede en foute antwoorden geven ( ). Omdat er mogelijk meer vragen waren die hij beantwoordde, krijgen we de ongelijkheid:
Bovendien, volgens de voorwaarde
Aangezien een correct antwoord 7 punten toevoegt, en een onjuist antwoord 9 aftrekt en de student 56 punten krijgt, krijgen we de vergelijking:
Deze vergelijking moet worden opgelost in gehele getallen.
Aangezien 9 niet deelbaar is door 7, moet het wel deelbaar zijn door 7.
Laat dan.
In dit geval is aan alle voorwaarden voldaan.
Probleem #10056.
De rechthoek is verdeeld in vier kleine rechthoeken door twee rechte sneden. De gebieden van drie van hen, beginnend vanaf de linkerbovenhoek en met de klok mee, zijn 15, 18, 24. Zoek het gebied van de vierde rechthoek.
De oppervlakte van een rechthoek is gelijk aan het product van zijn zijden.
De gele en blauwe rechthoeken hebben een gemeenschappelijke zijde, dus de verhouding van de oppervlakten van deze rechthoeken is gelijk aan de verhouding van de lengtes van de andere zijden (niet gelijk aan elkaar).
De witte en groene rechthoeken hebben ook een gemeenschappelijke zijde, dus de verhouding van hun gebieden is gelijk aan de verhouding van andere zijden (niet gelijk aan elkaar), dat wil zeggen dezelfde verhouding:
Door de eigenschap proportie krijgen we
Vanaf hier.
Probleem #10071.
De rechthoek is verdeeld in vier kleine rechthoeken door twee rechte sneden. De omtrek van drie ervan, beginnend vanaf de linkerbovenhoek en met de klok mee, is 17, 12, 13. Zoek de omtrek van de vierde rechthoek.
De omtrek van een rechthoek is gelijk aan de som van de lengtes van alle zijden.
Laten we de zijden van de rechthoeken aanwijzen zoals weergegeven in de figuur en de omtrekken van de rechthoeken uitdrukken in termen van de aangegeven variabelen. We krijgen:
Nu moeten we uitzoeken wat de waarde van de uitdrukking is.
Trek de tweede vergelijking af van de derde vergelijking en tel de derde op. We krijgen:
Vereenvoudig de rechter- en linkerkant, we krijgen:
Dus, .
Antwoord: 18.
Probleem #10086.
De tabel heeft drie kolommen en meerdere rijen. In elke cel van de tabel werd een natuurlijk getal geplaatst zodat de som van alle getallen in de eerste kolom 72 is, in de tweede - 81, in de derde - 91, en de som van de getallen in elke rij groter is dan 13, maar minder dan 16. Hoeveel rijen zijn er in de tabel?
Laten we de som van alle getallen in de tabel zoeken: .
Laat het aantal rijen in de tabel .
Volgens de toestand van het probleem, de som van de getallen in elke regel meer dan 13 maar minder dan 16.
Aangezien de som van de getallen een natuurlijk getal is, voldoen slechts twee natuurlijke getallen aan deze dubbele ongelijkheid: 14 en 15.
Als we aannemen dat de som van de getallen in elke rij 14 is, dan is de som van alle getallen in de tabel , en deze som voldoet aan de ongelijkheid .
Als we aannemen dat de som van de getallen in elke rij 15 is, dan is de som van alle getallen in de tabel , en dit getal voldoet aan de ongelijkheid .
Een natuurlijk getal moet dus voldoen aan het systeem van ongelijkheden:
Het enige natuurlijke dat aan dit systeem voldoet, is:
Antwoord: 17.
Van de natuurlijke getallen A, B en C is bekend dat ze elk groter dan 4 maar kleiner dan 8 zijn. Ze hebben een natuurlijk getal geraden, dit vermenigvuldigd met A, vervolgens opgeteld bij het resulterende product B en C afgetrokken. bleek 165. Welk aantal werd geraden?
gehele getallen A, B en C kan gelijk zijn aan de getallen 5, 6 of 7.
Laat het onbekende natuurlijke getal zijn.
We krijgen: ;
Laten we verschillende opties bekijken.
Laat A=5. Dan B=6 en C=7, of B=7 en C=6, of B=7 en C=7, of B=6 en C=6.
Laten we het controleren: ; (een)
165 is deelbaar door 5.
Het verschil tussen de getallen B en C is gelijk aan of gelijk aan 0 als deze getallen gelijk zijn. Als het verschil is , dan is gelijkheid (1) onmogelijk. Daarom is het verschil 0 en
Laat A=6. Dan B=5 en C=7, of B=7 en C=5, of B=7 en C=7, of B=5 en C=5.
Laten we het controleren: ; (2)
Het verschil tussen de getallen B en C is gelijk aan of gelijk aan 0 als deze getallen gelijk zijn. Als het verschil gelijk is aan of 0, dan is gelijkheid (2) onmogelijk, aangezien het een even getal is, en de som (165 + even getal) geen even getal kan zijn.
Laat A=7. Dan B=5 en C=6, of B=6 en C=5, of B=6 en C=6, of B=5 en C=5.
Laten we het controleren: ; (3)
Het verschil tussen de getallen B en C is gelijk aan of gelijk aan 0 als deze getallen gelijk zijn. Het getal 165 geeft, wanneer gedeeld door 7, een rest van 4. Daarom is het ook niet deelbaar door 7 en is gelijkheid (3) onmogelijk.
Antwoord: 33
Meerdere opeenvolgende pagina's vielen uit het boek. Het nummer van de laatste pagina vóór de neergelaten bladen is 352, het nummer van de eerste pagina na de neergelaten bladen is in dezelfde nummers geschreven, maar in een andere volgorde. Hoeveel vellen zijn eruit gevallen?
Het is duidelijk dat het nummer van de eerste pagina na de gevallen vellen groter is dan 352, dus het kan 532 of 523 zijn.
Elk neergelaten vel bevat 2 pagina's. Daardoor vielen er een even aantal pagina's uit. 352 is een even getal. Als we een even getal bij een even getal optellen, krijgen we een even getal. Daarom is het nummer van de laatst verwijderde pagina een even getal en moet het nummer van de eerste pagina na de gevallen vellen oneven zijn, dat wil zeggen 523. Daarom is het nummer van de laatst verwijderde pagina 522. Toen viel het 
bladen.
Antwoord: 85
Masha en de Beer aten 160 koekjes en een pot jam, tegelijk beginnend en eindigend. Eerst at Masha jam en de beer koekjes, maar op een gegeven moment veranderden ze. De beer eet beide drie keer sneller op dan Masha. Hoeveel koekjes at de beer als ze dezelfde hoeveelheid jam aten?
Als Masha en de Beer evenveel jam aten, en de beer at drie keer zoveel jam per tijdseenheid, dan at hij drie keer minder jam dan Masha. Met andere woorden, Masha at drie keer langer jam dan de beer. Maar terwijl Masha jam at, at de beer koekjes. Daarom at de beer drie keer langer koekjes dan Masha. Maar de beer at bovendien drie keer meer koekjes per tijdseenheid dan Masha, daarom at hij uiteindelijk 9 keer meer koekjes dan Masha.
Nu is het gemakkelijk om een vergelijking te schrijven. Laat Masha de koekjes eten, daarna at de beer de koekjes. Samen aten ze koekjes. we krijgen de vergelijking:
Antwoord: 144
Op de toonbank van de bloemenwinkel staan 3 vazen met rozen: oranje, wit en blauw. Links van de oranje vaas staan 15 rozen, rechts van de blauwe vaas staan 12 rozen. Er zitten in totaal 22 rozen in vazen. hoeveel rozen zitten er in de oranje vaas?
Aangezien 15+12=27, en 27>22 dus het aantal bloemen in één vaas dubbel werd geteld. En het is een witte vaas, want het zou de vaas moeten zijn die rechts van de blauwe en links van de oranje staat. De vazen staan dus in deze volgorde: 
Vanaf hier krijgen we het systeem:
Als we de eerste vergelijking van de derde vergelijking aftrekken, krijgen we O = 7.
Antwoord: 7
Tien polen zijn onderling verbonden door draden zodat er precies 8 draden uit elke pool steken. hoeveel draden zijn er tussen deze tien pilaren gespannen?
Oplossing
Laten we de situatie simuleren. Stel we hebben twee polen, en ze zijn onderling verbonden door draden zodat precies 1 draad elke pool verlaat. Dan blijkt dat er 2 draden vertrekken van de polen. Maar we hebben deze situatie:
Dat wil zeggen, ondanks het feit dat er 2 draden van de polen vertrekken, is er slechts één draad gespannen tussen de polen. Dit betekent dat het aantal verlengde draden twee keer minder is dan het aantal uitgaande.
We krijgen: - het aantal uitgaande draden.
Aantal draden uitgerekt.
Antwoord: 40
Van de tien landen hebben er zeven een vriendschapsverdrag getekend met precies drie andere landen, en elk van de overige drie met precies zeven. Hoeveel contracten zijn er in totaal getekend?
Deze taak is vergelijkbaar met de vorige: twee landen ondertekenen één gemeenschappelijk verdrag. Elk contract heeft twee handtekeningen. Dat wil zeggen, het aantal ondertekende overeenkomsten is de helft minder dan het aantal handtekeningen.
Zoek het aantal handtekeningen:
Zoek het aantal ondertekende contracten:
Antwoord: 21
Drie stralen die uit hetzelfde punt komen, verdelen het vlak in drie verschillende hoeken, gemeten in gehele graden. De grootste hoek is 3 keer de kleinste. Hoeveel waarden kan de gemiddelde hoek aannemen?
Laat de kleinste hoek zijn , dan is de grootste hoek . Aangezien de som van alle hoeken is, is de gemiddelde hoek .
De gemiddelde hoek moet groter zijn dan de kleinste en kleiner dan de grootste hoek.
We krijgen een systeem van ongelijkheden:
Daarom neemt het waarden in het bereik van 52 tot 71 graden, dat wil zeggen alle mogelijke waarden.
Antwoord: 20
Misha, Kolya en Lesha spelen tafeltennis: de speler die het spel verliest, maakt plaats voor de speler die er niet aan heeft deelgenomen. Als gevolg hiervan bleek dat Misha 12 games speelde en Kolya - 25. Hoeveel games speelde Lesha?
Oplossing
Er dient te worden uitgelegd hoe het toernooi is georganiseerd: het toernooi bestaat uit een vast aantal spellen; de speler die in dit spel verloor, maakt plaats voor een speler die niet aan dit spel heeft deelgenomen. Na de resultaten van het volgende spel neemt de speler die er niet aan heeft deelgenomen de plaats in van de verliezer. Daarom neemt elke speler deel aan ten minste één van twee opeenvolgende spellen.
Laten we eens kijken hoeveel games er waren.
Aangezien Kolya 25 wedstrijden speelde, werden er dus minstens 25 wedstrijden gespeeld in het toernooi.
Misha speelde 12 wedstrijden. Aangezien hij zeker elke tweede wedstrijd meedeed, werden er dus niet meer dan wedstrijden gespeeld. Dat wil zeggen, het toernooi bestond uit 25 wedstrijden.
Als Misha 12 wedstrijden speelde, speelde Lesha de overige 13.
Antwoord: 13
Aan het einde van het kwartaal schreef Petya al zijn cijfers voor een van de onderwerpen op een rij, het waren er 5, en plaatste er vermenigvuldigingstekens tussen. Het product van de resulterende getallen bleek 3495 te zijn. Welk cijfer krijgt Petya in een kwartaal voor dit vak als de leraar alleen cijfers 2, 3, 4 of 5 geeft en het eindcijfer in het kwartaal het rekenkundig gemiddelde is van alle huidige cijfers, afgerond volgens de afrondingsregels? (Bijvoorbeeld 3,2 ronden tot 3; 4,5 ronden tot 5; 2,8 ronden tot 3)
Laten we 3495 ontleden in priemfactoren. Het laatste cijfer van het getal is 5, dus het getal is deelbaar door 5; De som van de cijfers is deelbaar door 3, dus het getal is deelbaar door 3.
Heb het
Daarom zijn Petya's schattingen 3, 5, 2, 3, 3. Laten we het rekenkundig gemiddelde vinden:
Antwoord: 3
Het rekenkundig gemiddelde van 6 verschillende natuurlijke getallen is gelijk aan 8. Met hoeveel moet het grootste van deze getallen worden verhoogd zodat hun rekenkundig gemiddelde 1 meer wordt?
Het rekenkundig gemiddelde is gelijk aan de som van alle getallen gedeeld door hun aantal. Laat de som van alle getallen zijn. Door de toestand van het probleem dus.
Het rekenkundig gemiddelde is met 1 toegenomen, dat wil zeggen, het is gelijk aan 9 geworden. Als een van de getallen is verhoogd met , dan is de som toegenomen met en is gelijk geworden aan .
Het aantal cijfers is niet veranderd en is gelijk aan 6.
We krijgen de gelijkheid:
Overweeg een dergelijk taakplan. Wij hebben de volgende voorwaarden:
Totaal:N
Van A stuks minimaal 1 van een ander type, en van B stuks minimaal 1 van het eerste type
Dan: (A-1) is de minimale hoeveelheid van het eerste type, en (B-1) is de tweede.
Nadat we de controle hebben gedaan: (A-1) + (B-1) \u003dN.
VOORBEELD
BIJ
OPLOSSING
Dus: we hebben in totaal 35 vissen (baars en voorn)
Overweeg de voorwaarden: van elke 21 vissen is er minstens één voorn, dan is er minstens 1 voorn in deze toestand, daarom is (21-1) = 20 het minimum aan zitstokken. Onder elke 16 vissen - minstens één baars, die op dezelfde manier argumenteert, (16-1) = 15 - is dit het minimum aan kakkerlakken. Nu controleren we: 20 + 15 = 35, dat wil zeggen, we hebben het totale aantal vissen, dat wil zeggen 20 zitstokken en 15 voorns.
ANTWOORD: 15 kakkerlakken
Quiz en aantal juiste antwoorden
De takenlijst van de quiz bestond uit A-vragen. Voor elk goed antwoord kreeg de student een punt, voor een fout antwoord werden ze van hem afgetrokken.bpunten, en bij het uitblijven van een reactie werden 0 punten toegekend. Hoeveel juiste antwoorden werden gegeven door de student die scoorde?Npunten als bekend is dat hij zich in ieder geval een keer heeft vergist?
We weten hoeveel punten hij verdiende, we kennen de prijs van een goed en fout antwoord. Op basis van het feit dat er ten minste één fout antwoord is gegeven, moet het aantal punten voor goede antwoorden het aantal strafpunten overschrijden metNpunten. Laat er x goede antwoorden en y foute antwoorden zijn, dan:
a*x= N+ b* ja
x=(N+ b* ja)/a
uit deze gelijkheid blijkt dat het getal tussen haakjes een veelvoud van a moet zijn. Met dit in gedachten kunnen we y evalueren (het is ook een geheel getal). Opgemerkt moet worden dat het aantal juiste en onjuiste antwoorden het totale aantal vragen niet mag overschrijden.
VOORBEELD
OPLOSSING:
we introduceren de aanduidingen (voor het gemak) x - correct, y - incorrect, dan
5*x=75+11*y
X=(75+11*j)/5
Aangezien 75 deelbaar is door vijf, moet 11*y ook deelbaar zijn door vijf. Daarom kan y veelvouden van vijf aannemen (5, 10, 15, etc.). neem de eerste waarde y=5 dan x=(75+11*5)/5=26 totaal aantal vragen 26+5=31
Y=10 x=(75+11*10)=37 totaal aantal antwoorden 37+10= 47 (meer dan vragen) past niet.
In totaal waren er dus: 26 goede en 5 foute antwoorden.
ANTWOORD: 26 juiste antwoorden
Welke verdieping?
Sasha nodigde Petya uit voor een bezoek en zei dat hij in een trappenhuis in appartement nr.N, en ik vergat het woord te zeggen. Toen ze het huis naderde, ontdekte Petya dat het huisja-verdieping. Op welke verdieping woont Sasha? (Op alle verdiepingen is het aantal appartementen gelijk, het aantal appartementen in het gebouw begint bij één.)
OPLOSSING
Afhankelijk van de toestand van het probleem kennen we het appartementnummer, de ingang en het aantal verdiepingen in het huis. Op basis van deze gegevens is het mogelijk een schatting te maken van het aantal appartementen per verdieping. Laat x het aantal appartementen per verdieping zijn, dan moet aan de volgende voorwaarde worden voldaan:
A*y*x moet groter dan of gelijk zijnN
Uit deze ongelijkheid schatten we x
Om te beginnen nemen we de minimale integerwaarde x, laten deze gelijk zijn aan c, en controleren: (a-1) * y * c is kleiner danN, en a*y*s is groter dan of gelijk aanN.
Nadat we de waarde x hebben gekozen die we nodig hebben, kunnen we eenvoudig de vloer (c) berekenen: in = (N-( a-1)* c)/ c, en in is een geheel getal en als we een fractionele waarde krijgen, nemen we het dichtstbijzijnde gehele getal (op een grote manier)
VOORBEELD
OPLOSSING
Laten we het aantal appartementen op de verdieping schatten: 7*7*x is groter dan of gelijk aan 462, dus x is groter dan of gelijk aan 462/(7*7)=9.42, wat het minimum x=10 betekent. We controleren: 6 * 7 * 10 = 420 en 7 * 7 * 10 = 490 als resultaat hebben we gekregen dat het appartement op nummer in dit bereik valt. Laten we nu de verdieping zoeken: (462-6*7*10)/10=4.2 betekent dat de jongen op de vijfde verdieping woont.
ANTWOORD: 5e verdieping
Appartementen, verdiepingen, ingangen
Alle ingangen van het huis hebben hetzelfde aantal verdiepingen en alle verdiepingen hebben hetzelfde aantal appartementen. Tegelijkertijd is het aantal verdiepingen in het huis groter dan het aantal appartementen per verdieping, het aantal appartementen per verdieping is groter dan het aantal ingangen en het aantal ingangen is meer dan één. Hoeveel verdiepingen heeft een gebouw als er in totaal X appartementen zijn?
Dit type taak is gebaseerd op de volgende voorwaarde: als in het huis E - verdiepingen, P - ingangen en K - appartementen op de verdieping zijn, moet het totale aantal appartementen in het huis gelijk zijn aan E * P * K \u003d X. dus we moeten X voorstellen als een product van drie getallen die niet gelijk zijn aan 1 (volgens de toestand van het probleem). Om dit te doen, zullen we het getal X ontleden in priemfactoren. Na de ontleding te hebben gemaakt en rekening houdend met de voorwaarden van het probleem, maken we een selectie van de overeenkomst tussen de getallen en de voorwaarden die in het probleem worden aangegeven.
VOORBEELD
OPLOSSING
Laten we het getal 105 voorstellen als een product van priemfactoren
105=5*7*3, laten we nu terugkeren naar de toestand van het probleem: aangezien het aantal verdiepingen het grootst is, is het 7, het aantal appartementen op de verdieping is 5 en de ingangen zijn 3.
ANTWOORD: ingangen - 7, appartementen op de verdieping - 5, ingangen - 3.
Aandelenbeurs
BIJ
Voor gouden munten, krijg je van zilver en koper;
Voor x zilveren munten krijg je in goud en met 1 koper.
Nicholas had alleen zilveren munten. Na het wisselkantoor had hij minder zilveren munten, geen gouden munten, maar C koperen munten verschenen. Met hoeveel is het aantal zilveren munten van Nicholas afgenomen?
Er zijn twee ruilschema's in het ruilpunt:
VOORBEELD
BIJ Het wisselkantoor kan een van de volgende twee bewerkingen uitvoeren:
OPLOSSING
5 goud = 4 zilver + 1 koper
10 zilver = 7 goud + 1 koper
aangezien er geen gouden munten verschenen, hebben we een ruilschema nodig zonder gouden munten. Daarom moet het aantal gouden munten in beide gevallen gelijk zijn. We moeten het kleinste gemene veelvoud van de getallen 5 en 7 vinden en ons goud daar in beide gevallen naartoe brengen:
35 goud = 28 zilver + 7 koper
50 zilver = 35 goud + 5 koper
als resultaat krijgen we
50 zilver = 28 zilver + 12 koper
We hebben een uitwisselingssysteem gevonden waarbij gouden munten worden omzeild, nu moeten we, wetende hoeveel koperen munten, bepalen hoe vaak een dergelijke operatie is uitgevoerd
N=60/12=5
Als resultaat krijgen we
250 zilver = 140 zilver + 60 koper
Na het vervangen en nadat we de laatste omwisseling hebben ontvangen, zullen we zien hoeveel zilver er is veranderd. Dus - het aantal is afgenomen met 250-140=110
ANTWOORD voor 110 munten
6. DE WERELDBOL
Op het oppervlak van de wereldbol worden de x-parallellen en de y-meridiaan getekend met een stift. In hoeveel delen verdeelden de getekende lijnen het oppervlak van de wereldbol? (een meridiaan is een cirkelboog die de noord- en zuidpool verbindt, en een parallel is de grens van een sectie van een bol door een vlak evenwijdig aan het vlak van de evenaar).
OPLOSSING:
Aangezien de parallel de grens is van het gedeelte van de wereldbol door een vlak, zal men de wereldbol in 2 delen breken, twee in drie delen, x in x + 1 delen
De meridiaan is een boog van een cirkel (meer precies, een halve cirkel) en de meridiaan verdeelt het oppervlak in y-delen, daarom zal het totaal (x + 1) * y-delen zijn.
VOORBEELD
Na soortgelijke redenering krijgen we:
(30+1)*24=744 (onderdelen)
ANTWOORD: 744 onderdelen
7. STEEKJES
Op de stok zijn dwarslijnen van rood, geel en groen gemarkeerd. Als je een stok langs de rode lijnen knipt, krijg je A-stukken, als langs de gele lijnen - B-stukken en als langs de groene lijnen - Van de stukken. Hoeveel stukjes krijg je als je een stok knipt langs de lijnen van alle drie de kleuren?
OPLOSSING
Voor de oplossing houden we er rekening mee dat het aantal stuks 1 meer is dan het aantal sneden. Nu moet je uitzoeken hoeveel lijnen er op de stick zijn gemarkeerd. We krijgen rood (A-1), geel - (B-1), groen - (C-1). Nadat we het aantal lijnen van elke kleur hebben gevonden en ze hebben opgeteld, krijgen we het totale aantal lijnen: (A-1) + (B-1) + (C-1). We tellen er één op bij het resulterende aantal (aangezien het aantal stukken één meer is dan het aantal sneden), krijgen we het aantal stukken als we langs alle lijnen knippen.
VOORBEELD
Op de stok zijn dwarslijnen van rood, geel en groen gemarkeerd. Als je de stok langs de rode lijnen hebt gezien, krijg je 7 stuks, als je langs de gele lijnen loopt - 13 stuks en als je langs de groene lijnen loopt - 5 stuks. Hoeveel stukjes krijg je als je een stok knipt langs de lijnen van alle drie de kleuren?
OPLOSSING
Het aantal regels vinden
Rood: 7-1=6
Geel: 13-1=12
Groenen: 5-1=4
Totaal aantal lijnen: 6+12+4=22
Dan het aantal stuks: 22+1=23
ANTWOORD: 23 stuks
8. KOLOMMEN EN RIJEN
BIJ elke cel van de tabel is volgens een natuurlijk getal geplaatst, zodat de som van alle getallen in de eerste kolom gelijk is aan C1, in de tweede - C2, in de derde - C3, en de som van de getallen in elke rij groter is dan Y1, maar kleiner dan Y2. Hoeveel rijen staan er in de tabel?
OPLOSSING
Aangezien de getallen in de cellen van de tabel niet veranderen, is de som van alle getallen in de tabel: C=C1+C2+C3.
Laten we nu letten op het feit dat de tabel uit natuurlijke getallen bestaat, wat betekent dat de som van de getallen per rij gehele getallen moet zijn en in het bereik van (Y1 + 1) tot (Y2-1) moet liggen (omdat de som van rijen strikt beperkt is). Nu kunnen we het aantal rijen schatten:
C / (Y1 + 1) - het maximale aantal
C / (U2-1) - het minimumbedrag
VOORBEELD
BIJ De tabel heeft drie kolommen en meerdere rijen. BIJ
OPLOSSING
Zoek de som van de tabel
С=85+77+71=233
Laten we de limieten van de som van rijen definiëren
12+1=13 – minimaal
15-1=14 - maximaal
Schat het aantal rijen in de tabel
233/13=17,92 maximaal
233/14=16,64 minimum
Binnen deze limieten is er slechts één geheel getal - 17
ANTWOORD: 17
9. TANKEN AAN DE RING
en D. Afstand tussen A en B - 35 km, tussen A en B - 20 km, tussen B en G - 20 km, tussen G en A en V.
OPLOSSING
Als we het probleem goed hebben gelezen, zullen we merken dat de cirkel in de praktijk is verdeeld in drie bogen AB, VG en AG. Op basis hiervan vinden we de lengte van de hele cirkel (ring). Voor deze taak is het gelijk aan 20+20+30=70 (km).
Nu alle punten op de cirkel zijn geplaatst en de lengtes van de bijbehorende bogen zijn getekend, is het eenvoudig om de vereiste afstand te bepalen. In dit probleem BV=AB-AB, d.w.z. BV=35-20=15
ANTWOORD: 15 km
10. COMBINATIES
OPLOSSING
Om dit soort problemen op te lossen, onthoud wat een faculteit is.
Faculteit van een getalN! noemde het product van opeenvolgende getallen van 1 totN, dat wil zeggen, 4!=1*2*3*4.
Nu terug naar de taak. Vind het totale aantal kubussen: 3+1+1=5. Omdat we drie kubussen van dezelfde kleur hebben, kan het totale aantal kubussen worden gevonden met de formule 5!/3! We krijgen (5*4*3*2*1)/(1*2*3)=5*4=20
ANTWOORD: 20 manieren om te regelen
11 . WELLS
De eigenaar kwam met de arbeiders overeen dat ze een put voor hem zouden graven onder de volgende voorwaarden: voor de eerste meter zou hij ze X roebel betalen, en voor elke volgende meter - Y roebel meer dan voor de vorige. Hoeveel roebel moet de eigenaar betalen aan de arbeiders als ze een put diep graven?Nmeter?
OPLOSSING:
Aangezien de eigenaar de prijs voor elke meter verhoogt, betaalt hij voor de tweede (X + Y), voor de derde - (X + 2Y), voor de vierde (X + 3Y), enz. Het is niet moeilijk om te zien dat dit betalingssysteem lijkt op een rekenkundige reeks, waarbij a1 = X,d= ja, n= N. Dan
Betaling voor werk is niets anders dan de som van deze progressie:
S= ( (2a₁ +d(n-1))/2) n
VOORBEELD:
OPLOSSING
Op basis van het bovenstaande krijgen we:a1=4200
d=1300
n=11
Als we deze gegevens in onze formule vervangen, krijgen we
S=((2*4200+1300(11-1)/2)*11=((8400+13000)/2)*11=10700*11=117700
ANTWOORD: 117700
12 . POSTEN EN DRADEN
X-polen verbonden door draden, zodat precies Y-draden uit elkaar steken. Hoeveel draden zijn er tussen de polen gespannen?
OPLOSSING
Zoek hoeveel openingen tussen de pilaren. Tussen twee is er één opening, tussen drie - twee, tussen vier - 3, tussen X - (X-1).
Bij elke opening Y-draden, dan is (X-1) * Y het totale aantal draden tussen de polen.
VOORBEELD
De tien polen zijn verbonden door draden, zodat er precies 6 draden uit elk komen. Hoeveel draden zijn er tussen de polen gespannen?
OPLOSSING
Terugkerend naar de vorige notatie, krijgen we:
X=9 Y=6
Dan krijgen we (9-1)*6=8*6=48
ANTWOORD: 48
13. PLATEN EN LOGBOEKEN ZAGEN
Er waren verschillende logboeken. Ze maakten X-sneden en het bleek voor chumps te zijn. Hoeveel stammen zijn er gekapt?
OPLOSSING
Laten we bij het oplossen een opmerking maken: sommige problemen hebben niet altijd een wiskundige oplossing.
Nu naar de taak. Bij de beslissing moet er rekening mee worden gehouden dat er meer dan één stam is en dat bij het zagen van elke stam = 1 stuk wordt verkregen.
Dit type probleem is gemakkelijker op te lossen met de selectiemethode:
Laat er twee blokken zijn, dan worden de stukken 13 + 2 = 15
Neem drie, we krijgen 13+3=16
En hier kun je de afhankelijkheid zien dat het aantal sneden en stukken op dezelfde manier toeneemt, dat wil zeggen, het aantal stammen dat moet worden gesneden is gelijk aan Y-X
VOORBEELD
Er waren verschillende logboeken. We maakten 13 sneden en kregen 20 chubachki. Hoeveel stammen zijn er gekapt?
OPLOSSING
Terugkomend op onze redenering, we kunnen ophalen, of u kunt gewoon 20-13 \u003d 7 betekent slechts 7 logs
Antwoord 7
14 . VERLOREN PAGINA'S
Er vielen een paar pagina's uit het boek. De eerste van de verwijderde pagina's heeft het nummer X en het nummer van de laatste is in dezelfde nummers in een andere volgorde geschreven. Hoeveel pagina's zijn er uit het boek gevallen?
OPLOSSING
De nummering van uitgevallen pagina's begint met een oneven nummer en moet eindigen met een even nummer. Daarom, wetende dat het nummer van de laatste uitvaller in dezelfde cijfers is geschreven, weten we dat de eerste uitgevallen zijn laatste cijfer is. Door de resterende cijfers te permuteren en, aangezien de paginanummering groter moet zijn dan de eerste, krijgen we het nummer ervan. Als u de paginanummers kent, kunt u berekenen hoeveel er zijn uitgevallen, rekening houdend met het feit dat pagina X ook is uitgevallen. Dus van het resulterende getal moeten we het getal (X-1) aftrekken
VOORBEELD
Er vielen een paar pagina's uit het boek. De eerste van de verwijderde pagina's heeft het nummer 387 en het nummer van de laatste is in dezelfde nummers in een andere volgorde geschreven. Hoeveel pagina's zijn er uit het boek gevallen?
OPLOSSING
Op basis van onze redenering krijgen we dat het nummer van de laatst verwijderde pagina moet eindigen met het nummer 8. We hebben dus maar twee opties voor nummers, dit zijn 378 en 738. 378 past niet bij ons omdat het minder is dan het aantal de eerste weggevallen pagina, wat betekent dat de laatste weggevallen 738 is.
738-(387-1)=352
ANTWOORD: 352
Het volgende moet worden toegevoegd: soms vragen ze je om het aantal vellen aan te geven, dan moet het aantal pagina's in tweeën worden gedeeld.
15. EINDCIJFER
Aan het einde van het kwartaal schreef Little Johnny zijn huidige zangcijfers op een rij en plaatste er een vermenigvuldigingsteken tussen. De producten van de resulterende getallen bleken gelijk te zijn aan X. Welk cijfer heeft Vovochka in het zangkwartier?
OPLOSSING
Bij het oplossen van dit soort problemen moet er rekening mee worden gehouden dat de schattingen 2,3,4 en 5 moeten zijn. Daarom moeten we het getal X ontbinden in factoren 2,3,4 en 5. Bovendien moet de rest van de uitbreiding zou ook uit deze cijfers moeten bestaan.
VOORBEELD 1
Aan het einde van het kwartaal schreef Little Johnny zijn huidige zangcijfers op een rij en plaatste er een vermenigvuldigingsteken tussen. De producten van de resulterende nummers bleken gelijk te zijn aan 2007. Welk cijfer heeft Vovochka in het zangkwartier?
OPLOSSING
Laten we het getal 2007 ontbinden
We krijgen 2007=3*3*223
Dus zijn cijfers zijn: 3 3 2 2 3 zoek nu het rekenkundig gemiddelde van zijn cijfers voor deze set is 2.6 vandaar dat zijn cijfer drie is (groter dan 2.5)
ANTWOORD 3
VOORBEELD 2
Aan het einde van het kwartaal schreef Vovochka op een rij al zijn cijfers voor een van de onderwerpen, het waren er 5, en plaatste vermenigvuldigingstekens tussen enkele ervan. Het product van de resulterende getallen bleek 690 te zijn. Welk cijfer krijgt Vovochka in het kwartaal voor dit vak, als de leraar alleen cijfers 2, 3, 4 en 5 geeft en het eindcijfer in het kwartaal het rekenkundig gemiddelde is van alle huidige cijfers, afgerond volgens de afrondingsregels? (Bijvoorbeeld: 2,4 ronden tot twee; 3,5 ronden tot 4; en 4,8 ronden tot 5.)
OPLOSSING
We ontbinden 690 zodat de rest van de ontleding bestaat uit de getallen 2 3 4 5
690=3*5*2*23
Vandaar zijn scores: 3 5 2 2 3
Laten we het rekenkundig gemiddelde van deze getallen vinden: (3+5+2+2+3)/5=3
Dit zal zijn beoordeling zijn.
ANTWOORD: 3
16 . MENU
Het restaurantmenu heeft X soorten salades, Y soorten voorgerechten, A soorten tweede gangen en B soorten desserts. Hoeveel lunchopties voor salades, eerste, tweede en dessert kunnen diners in dit restaurant kiezen?
OPLOSSING
Bij het oplossen zullen we het menu een beetje knippen: laat er alleen een salade zijn en dan worden de eerste opties (X * Y). Laten we nu het tweede gerecht toevoegen, het aantal opties neemt A keer toe en wordt (X*Y*A). Laten we nu het dessert toevoegen. Het aantal opties zal met B keer toenemen
Nu krijgen we het definitieve antwoord:
N=X*U*A*B
VOORBEELD
OPLOSSING
Op basis van het bovenstaande krijgen we:
N=6*3*5*4=360
ANTWOORD: 360
17 . WIJ VERDELEN ZONDER REST
In deze sectie zullen we de taken van een specifiek voorbeeld bekijken, voor meer duidelijkheid.
Aangezien we een product hebben van opeenvolgende getallen en er zijn er meer dan 7, dan moet er minstens één deelbaar zijn door 7. We hebben dus een product waarvan een van de factoren deelbaar is door 7, dus het hele product is ook deelbaar door zeven, wat betekent dat de rest van de deling gelijk is aan nul, of voor het tweede probleem moet het aantal factoren gelijk zijn aan de deler.
18.TOERIST
We zullen dit soort taken ook bekijken met een specifiek voorbeeld.
Laten we eerst definiëren wat we moeten vinden: routetijd = beklimming + rust + afdaling
Rust we weten, nu moeten we de tijd van stijgen en dalen vinden
Als we het probleem lezen, zien we dat in beide gevallen (stijgen en dalen), de tijd afhangt van een rekenkundige progressie, maar we weten nog steeds niet hoe hoog de stijging was, hoewel het niet moeilijk te vinden is:
H=(95-50)15+1=4
We hebben de hoogte van de stijging gevonden, nu vinden we de stijgtijd als de som van een rekenkundige reeks: Tlift = ((2*50+15*(4-1))*4)/2=290 minuten
Evenzo vinden we, aangezien het progressieverschil nu -10 is. We krijgen Tdesc=((2*60-10(4-1))*4)/2= 180 minuten.
Als u alle componenten kent, kunt u de totale tijd van de route berekenen:
T route = 290 + 180 + 10 = 480 minuten of omrekenend naar uren (gedeeld door 60) krijgen we 8 uur.
ANTWOORD: 8 uur
19. RECHTHOEKEN
Er zijn twee soorten problemen voor rechthoeken: voor omtrekken en voor gebieden.
Om zo'n takenplan op te lossen, is het gemakkelijk te bewijzen dat wanneer we een rechthoek splitsen met twee rechte sneden, we vier rechthoeken krijgen waarvoor de volgende relaties altijd gelden:
P1+P2=P3+P4
S1*S2=S3*S4,
waar R – perimeter , S - vierkant
Op basis van deze relaties kunnen we de volgende problemen gemakkelijk oplossen:
19.1.Omtrekken
OPLOSSING
Op basis van het bovenstaande krijgen we:
24+16=28+X
X=(24+16)-28=12
ANTWOORD: 12
19.2 GEBIEDEN
De rechthoek is verdeeld in vier kleine rechthoeken door twee rechte sneden. De gebieden van drie ervan, beginnend vanaf de linkerbovenhoek en met de klok mee, zijn 18, 12 en 20. Zoek het gebied van de vierde rechthoek.
OPLOSSING
Voor de resulterende rechthoeken moet het volgende worden uitgevoerd:
18*20=12*X
Dan X=(18*20)/12=30
ANTWOORD: 30
20. DAAR-HIER
Een slak kruipt in een dag A m in een boom en glijdt in een nacht B m naar beneden. De hoogte van een boom is C m. In hoeveel dagen kruipt een slak voor het eerst naar de top van een boom ?
OPLOSSING
In één dag kan een slak oplopen tot een hoogte van (A-B) meter. Omdat ze hoogte A in één dag kan beklimmen, moet ze vóór de laatste beklimming hoogte (C-A) overwinnen. Op basis hiervan krijgen we dat het zal stijgen (C-A) \ (A-B) + 1 (we voegen er één toe omdat het in één dag tot hoogte A stijgt).
VOORBEELD
OPLOSSING
Terugkomend op onze redenering, krijgen we:
(10-4)/(4-3)+1=7
ANTWOORD binnen 7 dagen
Opgemerkt moet worden dat het op deze manier mogelijk is om problemen op te lossen met het vullen van iets wanneer er iets binnenkomt en er iets uitstroomt.
21. RECHTE SPRINGEN
De sprinkhaan springt langs de coördinaatlijn in elke richting voor een eenheidssegment per sprong. Hoeveel verschillende punten op de coördinatenlijn zijn er die de sprinkhaan kan bereiken na het maken van X-sprongen, beginnend bij de oorsprong?
OPLOSSING
Stel dat de sprinkhaan alle sprongen in één richting maakt, dan raakt hij het punt met coördinaat X. Nu springt hij vooruit voor (X-1) sprongen en één terug: hij raakt het punt met coördinaat (X-2). Als je al zijn sprongen op deze manier bekijkt, kun je zien dat hij op punten zal zijn met coördinaten X, (X-2), (X-4), enz. Deze afhankelijkheid is niets meer dan een rekenkundige progressie met een verschild\u003d -2 en a1 \u003d X, eneen=- X. Dan is het aantal leden van deze progressie het aantal punten waarin het kan zijn. Laten we ze zoeken
een=a1+d(n-1)
X=X+d(n-1)
2X=-2(n-1)
n=X+1
VOORBEELD
OPLOSSING
Op basis van de bovenstaande bevindingen krijgen we:
10+1=11
ANTWOORD 11 punten
TAKEN VOOR ONAFHANKELIJKE OPLOSSING:
1. Elke seconde deelt een bacterie zich in twee nieuwe bacteriën. Het is bekend dat het hele volume van één glas bacteriën in 1 uur wordt gevuld. In hoeveel seconden is het glas voor de helft gevuld met bacteriën?
2. Op de stok zijn dwarslijnen van rood, geel en groen gemarkeerd. Als je een stok langs de rode lijnen knipt, krijg je 15 stukjes, als langs de gele lijnen - 5 stuks, en als langs de groene lijnen - 7 stuks. Hoeveel stukjes krijg je als je een stok knipt langs de lijnen van alle drie de kleuren?
3. De sprinkhaan springt langs de coördinaatlijn in elke richting met een enkel segment per sprong. De sprinkhaan begint te springen vanaf de oorsprong. Hoeveel verschillende punten op de coördinatenlijn zijn er die de sprinkhaan kan bereiken na precies 11 sprongen te hebben gemaakt?
4. Er zitten 40 paddenstoelen in de mand: paddenstoelen en melkpaddenstoelen. Het is bekend dat onder elke 17 paddenstoelen er minstens één camelina is, en onder elke 25 paddenstoelen minstens één paddenstoel. Hoeveel champignons zitten er in de mand?
5. Sasha nodigde Petya uit voor een bezoek en zei dat hij in de zevende ingang van appartement nr. 462 woont, maar hij vergat de vloer te zeggen. Toen ze het huis naderde, ontdekte Petya dat het huis zeven verdiepingen had. Op welke verdieping woont Sasha? (Op alle verdiepingen is het aantal appartementen gelijk, het aantal appartementen in het gebouw begint bij één.)
6. Sasha nodigde Petya uit voor een bezoek en zei dat hij in de achtste ingang van appartement nr. 468 woont, maar hij vergat de vloer te zeggen. Toen ze het huis naderde, ontdekte Petya dat het huis twaalf verdiepingen had. Op welke verdieping woont Sasha? (Op alle verdiepingen is het aantal appartementen gelijk, het aantal appartementen in het gebouw begint bij één.)
7. Sasha nodigde Petya uit voor een bezoek en zei dat hij in de twaalfde ingang van appartement nr. 465 woont, maar hij vergat de vloer te zeggen. Toen ze het huis naderde, ontdekte Petya dat het huis vijf verdiepingen had. Op welke verdieping woont Sasha? (Op alle verdiepingen is het aantal appartementen gelijk, het aantal appartementen in het gebouw begint bij één.)
8. Sasha nodigde Petya uit voor een bezoek en zei dat hij in de tiende ingang van appartement nr. 333 woont, maar hij vergat de vloer te zeggen. Toen ze het huis naderde, ontdekte Petya dat het huis negen verdiepingen had. Op welke verdieping woont Sasha? (Op alle verdiepingen is het aantal appartementen gelijk, het aantal appartementen in het gebouw begint bij één.)
9. De trainer adviseerde Andrey om op de eerste lesdag 15 minuten op de loopband door te brengen en bij elke volgende les de tijd op de loopband met 7 minuten te verlengen. Hoeveel sessies zal Andrey in totaal 2 uur en 25 minuten op de loopband doorbrengen als hij het advies van de trainer opvolgt?
10. De arts schreef de patiënt voor om het geneesmiddel volgens het volgende schema in te nemen: op de eerste dag moet hij 3 druppels nemen en op elke volgende dag - 3 druppels meer dan op de vorige. Nadat hij 30 druppels heeft ingenomen, drinkt hij nog 3 dagen 30 druppels van het geneesmiddel en vermindert vervolgens de inname met 3 druppels per dag. Hoeveel injectieflacons met geneesmiddel moet een patiënt kopen voor de hele behandelingskuur als elke injectieflacon 20 ml geneesmiddel bevat (wat neerkomt op 250 druppels)?
11. De arts schreef de patiënt voor om het geneesmiddel volgens het volgende schema in te nemen: op de eerste dag moet hij 20 druppels nemen en op elke volgende dag - 3 druppels meer dan op de vorige. Na 15 dagen inname neemt de patiënt een pauze van 3 dagen en gaat verder met het innemen van het geneesmiddel volgens het omgekeerde schema: op de 19e dag neemt hij hetzelfde aantal druppels als op de 15e dag, en verlaagt dan de dosis met 3 druppels dagelijks totdat de dosering minder wordt dan 3 druppels per dag. Hoeveel injectieflacons met geneesmiddel moet een patiënt kopen voor de hele behandelingskuur als elk 200 druppels bevat?
12. Het product van tien opeenvolgende getallen wordt gedeeld door 7. Wat kan de rest zijn?
13. Op hoeveel manieren kunnen twee identieke rode dobbelstenen, drie identieke groene dobbelstenen en één blauwe dobbelsteen worden opgesteld?
14. Elk uur wordt vanaf 12 uur een volle emmer water met een inhoud van 8 liter in een tank met een inhoud van 38 liter gegoten. Maar er is een kleine opening in de bodem van de tank en er stroomt binnen een uur 3 liter uit. Op welk tijdstip (in uren) zal de tank volledig gevuld zijn.
15. Wat is het kleinste aantal opeenvolgende getallen dat moet worden genomen zodat hun product deelbaar is door 7?
16. Als gevolg van de overstroming stond de put tot een niveau van 2 meter vol met water. De bouwpomp pompt het water continu weg en verlaagt het niveau met 20 cm per uur. Grondwater daarentegen verhoogt het waterpeil in de put met 5 cm per uur. Hoeveel uur pompbedrijf zal het waterpeil in de put zakken tot 80 cm?
17. De menukaart van het restaurant heeft 6 soorten salades, 3 soorten voorgerechten, 5 soorten voorgerechten en 4 soorten desserts. Hoeveel lunchopties voor salades, eerste, tweede en dessert kunnen diners in dit restaurant kiezen?
18. Een oliemaatschappij boort een put voor oliewinning, die volgens geologisch onderzoek op een diepte van 3 km ligt. Gedurende de werkdag gaan boormachines 300 meter diep, maar 's nachts "verzandt" de put weer, dat wil zeggen dat deze 30 meter met grond wordt gevuld. Hoeveel werkdagen zullen oliearbeiders een put boren tot de oliediepte?
19. Wat is het kleinste aantal opeenvolgende getallen dat moet worden genomen zodat hun product deelbaar is door 9?
20.
voor 2 gouden munten krijg je 3 zilveren en een koper;
voor 5 zilveren munten, krijg je 3 gouden en één koper.
21. Op het oppervlak van de wereldbol werden 12 parallellen en 22 meridianen getekend met een viltstift. In hoeveel delen verdeelden de getekende lijnen het oppervlak van de wereldbol?
Een meridiaan is een cirkelboog die de Noord- en Zuidpool verbindt. Een parallel is een cirkel die in een vlak ligt dat evenwijdig is aan het vlak van de evenaar.
22. Er zitten 50 paddenstoelen in de mand: paddenstoelen en melkpaddenstoelen. Het is bekend dat er onder elke 28 paddenstoelen minstens één camelina is, en onder elke 24 paddenstoelen minstens één paddenstoel. Hoeveel champignons zitten er in de mand?
23. Een groep toeristen overwon een bergpas. Ze legden de eerste kilometer van de beklimming af in 50 minuten, en elke volgende kilometer duurde 15 minuten langer dan de vorige. De laatste kilometer voor de top werd in 95 minuten afgelegd. Na tien minuten rust op de top begonnen de toeristen aan hun afdaling, die zachter was. De eerste kilometer na de top was in een uur afgelegd en elke volgende is 10 minuten sneller dan de vorige. Hoeveel uur deed de groep over het hele traject als de laatste kilometer van de afdaling in 10 minuten was afgelegd.
24. Er zijn vier tankstations op de ringweg: A, B, C en D. De afstand tussen A en B is 35 km, tussen A en C is 20 km, tussen C en D is 20 km, tussen D en A is 30 km (alle afstanden gemeten langs de ringweg in de kortste richting). Zoek de afstand tussen B en C. Geef je antwoord in kilometers.
25. Er zijn vier tankstations op de ringweg: A, B, C en D. De afstand tussen A en B is 50 km, tussen A en C is 40 km, tussen C en D is 25 km, tussen D en A is 35 km. km (alle afstanden gemeten langs de ringweg in de kortste richting). Bereken de afstand tussen B en C.
26. Er zitten 25 leerlingen in de klas. Een aantal van hen ging naar de bioscoop, 18 mensen gingen naar het theater en 12 mensen gingen naar de bioscoop en het theater. Het is bekend dat drie niet naar de bioscoop of naar het theater gingen. Hoeveel mensen in de klas gingen naar de film?
27. Volgens de empirische wet van Moore verdubbelt het gemiddelde aantal transistors op een chip elk jaar. Het is bekend dat in 2005 het gemiddelde aantal transistors op een chip 520 miljoen was.Bepaal hoeveel miljoenen transistors er op een chip gemiddeld waren in 2003.
28. Er zijn 24 stoelen op de eerste rij van de bioscoopzaal en in elke volgende rij zijn er 2 meer dan in de vorige. Hoeveel stoelen zijn er op de achtste rij?
29. Op de stok zijn dwarslijnen van rood, geel en groen gemarkeerd. Als je een stok langs de rode lijnen knipt, krijg je 5 stukken, als langs de gele lijnen - 7 stukken, en als langs de groene lijnen - 11 stukken. Hoeveel stukjes krijg je als je een stok knipt langs de lijnen van alle drie de kleuren?
30. In een winkel voor huishoudelijke apparaten is het verkoopvolume van koelkasten seizoensgebonden. In januari werden 10 koelkasten verkocht en in de komende drie maanden werden 10 koelkasten verkocht. Sinds mei is de verkoop met 15 eenheden gestegen ten opzichte van de voorgaande maand. Sinds september begon de verkoop elke maand met 15 koelkasten te dalen in vergelijking met de vorige maand. Hoeveel koelkasten verkocht de winkel in een jaar?
31. In het wisselkantoor kunt u een van de volgende twee bewerkingen uitvoeren:
1) voor 3 gouden munten krijg je 4 zilveren en één koper;
2) voor 6 zilveren munten, krijg je 4 gouden en één koper.
Nikola had alleen zilveren munten. Na een bezoek aan het wisselkantoor had hij minder zilveren munten, geen gouden munten, maar er verschenen 35 koperen munten. Met hoeveel is Nikola's aantal zilveren munten afgenomen?
32. Sasha nodigde Petya uit voor een bezoek en zei dat hij in de zevende ingang van appartement nr. 462 woont, maar hij vergat de vloer te zeggen. Toen ze het huis naderde, ontdekte Petya dat het huis zeven verdiepingen had. Op welke verdieping woont Sasha? (Het aantal appartementen op elke verdieping is hetzelfde, het aantal appartementen in het gebouw begint bij één.)
33. Alle ingangen van het huis hebben hetzelfde aantal verdiepingen en elke verdieping heeft hetzelfde aantal appartementen. Tegelijkertijd is het aantal verdiepingen in het huis groter dan het aantal appartementen per verdieping, het aantal appartementen per verdieping is groter dan het aantal ingangen en het aantal ingangen is meer dan één. Hoeveel verdiepingen heeft een gebouw als er in totaal 110 appartementen zijn?
34. De sprinkhaan springt langs de coördinaatlijn in elke richting voor een eenheidssegment per sprong. Hoeveel verschillende punten op de coördinatenlijn zijn er die de sprinkhaan kan bereiken nadat hij precies 6 sprongen heeft gemaakt, beginnend bij de oorsprong?
35. Er zitten 40 paddenstoelen in de mand: paddenstoelen en melkpaddenstoelen. Het is bekend dat onder elke 17 paddenstoelen er minstens één camelina is, en onder elke 25 paddenstoelen minstens één paddenstoel. Hoeveel champignons zitten er in de mand?
36. Er zitten 25 paddenstoelen in de mand: paddenstoelen en melkpaddenstoelen. Het is bekend dat er onder elke 11 paddenstoelen minstens één camelina is, en onder elke 16 paddenstoelen minstens één paddenstoel. Hoeveel champignons zitten er in de mand?
37. Er zitten 30 paddenstoelen in de mand: paddenstoelen en melkpaddenstoelen. Het is bekend dat er onder elke 12 paddenstoelen minstens één camelina is, en onder elke 20 paddenstoelen minstens één paddenstoel. Hoeveel champignons zitten er in de mand?
38. Op de wereldbol zijn 17 parallellen (inclusief de evenaar) en 24 meridianen getekend met een viltstift. In hoeveel delen verdelen de getekende lijnen het oppervlak van de wereldbol?
39. Een slak kruipt per dag 4 m in een boom en glijdt in een nacht 3 m. De hoogte van een boom is 10 m. Over hoeveel dagen kruipt een slak voor het eerst naar de top van een boom?
40. Een slak kruipt per dag 4 m in een boom en glijdt in een nacht 1 m. De hoogte van een boom is 13 m. Hoeveel dagen duurt het voordat een slak voor het eerst naar de top van een boom kruipt ?
41. De eigenaar kwam met de arbeiders overeen dat ze een put voor hem zouden graven onder de volgende voorwaarden: voor de eerste meter zou hij hen 4.200 roebel betalen, en voor elke volgende meter - 1.300 roebel meer dan voor de vorige. Hoeveel geld moet de eigenaar betalen aan de arbeiders als ze een put van 11 meter diep graven?
42. De eigenaar was het met de arbeiders eens dat ze een put aan het graven waren onder de volgende voorwaarden: voor de eerste meter zou hij hen 3.500 roebel betalen, en voor elke volgende meter - 1.600 roebel meer dan voor de vorige. Hoeveel geld moet de eigenaar betalen aan de arbeiders als ze een put van 9 meter diep graven?
43. Er zitten 45 paddenstoelen in de mand: paddenstoelen en melkpaddenstoelen. Het is bekend dat er onder elke 23 paddestoelen minstens één camelina is, en onder elke 24 paddestoelen minstens één paddestoel. Hoeveel champignons zitten er in de mand?
44. Er zitten 25 paddenstoelen in de mand: paddenstoelen en melkpaddenstoelen. Het is bekend dat er onder elke 11 paddenstoelen minstens één camelina is, en onder elke 16 paddenstoelen minstens één paddenstoel. Hoeveel champignons zitten er in de mand?
45. De takenlijst van de quiz bestond uit 25 vragen. Voor elk goed antwoord kreeg de student 7 punten, voor een fout antwoord werden 10 punten van hem afgetrokken en als er geen antwoord was, kregen ze 0 punten. Hoeveel goede antwoorden heeft de leerling met 42 punten gegeven, als bekend is dat hij minstens één keer fout zat?
46. Op de stok zijn dwarslijnen van rood, geel en groen gemarkeerd. Als je de stok langs de rode lijnen hebt gezien, krijg je 5 stuks, als langs de gele lijnen - 7 stuks, en als langs de groene lijnen - 11 stuks. Hoeveel stukjes krijg je als je een stok knipt langs de lijnen van alle drie de kleuren?
47. Een slak kruipt 2 m per dag in een boom en glijdt in een nacht 1 m naar beneden. De hoogte van de boom is 11 m. Hoeveel dagen duurt het voordat een slak van de basis naar de top van de boom kruipt ?
48. Een slak kruipt per dag 4 m in een boom en glijdt in een nacht 2 m. De hoogte van een boom is 14 m. Hoeveel dagen duurt het voordat een slak van de basis naar de top van de boom kruipt?
49. De rechthoek is verdeeld in vier kleinere rechthoeken door twee rechte sneden. De omtrek van drie ervan, beginnend vanaf de linkerbovenhoek en met de klok mee, is 24, 28 en 16. Zoek de omtrek van de vierde rechthoek.
50. In het wisselkantoor kunt u een van de volgende twee bewerkingen uitvoeren:
1) voor 2 gouden munten krijg je 3 zilveren en één koper;
2) voor 5 zilveren munten, krijg je 3 gouden en één koper.
Nicholas had alleen zilveren munten. Na verschillende bezoeken aan het wisselkantoor had hij minder zilveren munten, geen gouden munten, maar verschenen er 50 koperen munten. Met hoeveel is het aantal zilveren munten van Nicholas afgenomen?
51. De rechthoek is verdeeld in vier kleinere rechthoeken door twee rechte sneden. De omtrek van drie ervan, beginnend vanaf de linkerbovenhoek en met de klok mee, is 24, 28 en 16. Zoek de omtrek van de vierde rechthoek.
52. In het wisselkantoor kunt u een van de volgende twee bewerkingen uitvoeren:
1) voor 4 gouden munten krijg je 5 zilveren en één koper;
2) voor 7 zilveren munten, krijg je 5 gouden en één koper.
Nicholas had alleen zilveren munten. Na verschillende bezoeken aan het wisselkantoor had hij minder zilveren munten, geen gouden munten, maar 90 koperen munten verschenen. Met hoeveel is het aantal zilveren munten van Nicholas afgenomen?
53. Alle ingangen van het huis hebben hetzelfde aantal verdiepingen en elke verdieping heeft hetzelfde aantal appartementen. Tegelijkertijd is het aantal ingangen van het huis minder dan het aantal appartementen per verdieping, het aantal appartementen per verdieping is minder dan het aantal verdiepingen, het aantal ingangen is meer dan één en het aantal verdiepingen is niet meer dan 24. Hoeveel verdiepingen heeft een huis als het maar 156 appartementen heeft?
54. BIJ Er zitten 26 leerlingen in de klas. Een aantal van hen luistert naar rock, 14 mensen luisteren naar rap en slechts drie luisteren naar zowel rock als rap. Het is bekend dat vier niet naar rock of rap luisteren. Hoeveel mensen in de klas luisteren naar rock?
55. BIJ Er zitten 35 vissen in de kooi: zitstokken en kakkerlakken. Het is bekend dat onder elke 21 vissen er minstens één voorn is en dat er onder elke 16 vissen minstens één baars is. Hoeveel kakkerlakken zijn er in de tuin?
56. Op het oppervlak van de wereldbol zijn 30 parallellen en 24 meridianen getekend met een stift. In hoeveel delen verdeelden de getekende lijnen het oppervlak van de wereldbol? (een meridiaan is een cirkelboog die de noord- en zuidpool verbindt, en een parallel is de grens van een sectie van een bol door een vlak evenwijdig aan het vlak van de evenaar).
57.
BIJ
prehistorisch wisselkantoor kan twee dingen doen:
- Voor 2 huiden van een holeleeuw, krijg je 5 huiden van een tijger en 1 huid van een wild zwijn;
- Voor 7 tijgervellen krijg je 2 holeleeuwvellen en 1 wild zwijnvel.
Un, de zoon van de stier, had alleen de huid van een tijger. Na verschillende bezoeken aan het wisselkantoor namen de tijgervellen niet toe, de holeleeuwvellen verschenen niet, maar 80 everzwijnvellen verschenen. Met hoeveel heeft Un, de zoon van de stier, het aantal tijgervellen uiteindelijk verminderd?
58. BIJ militaire eenheid 32103 heeft 3 soorten salade, 2 soorten voorgerechten, 3 soorten tweede gangen en keuze uit compote of thee. Hoeveel lunchopties, die moeten bestaan uit één salade, één voorgerecht, één tweede gang en één drankje, kunnen de soldaten van deze militaire eenheid kiezen?
59. Een slak kruipt overdag 5 meter omhoog in een boom en glijdt 's nachts 3 meter naar beneden. De hoogte van de boom is 17 meter. Op welke dag kruipt de slak voor het eerst naar de top van de boom?
60. Op hoeveel manieren kunnen drie identieke gele kubussen, één blauwe kubus en één groene kubus op een rij worden geplaatst?
61. Het product van zestien opeenvolgende natuurlijke getallen wordt gedeeld door 11. Wat kan de rest van de deling zijn?
62. Elke minuut deelt een bacterie zich in twee nieuwe bacteriën. Het is bekend dat bacteriën het hele volume van een pot van drie liter in 4 uur vullen. Hoeveel seconden hebben bacteriën nodig om een kwart pot te vullen?
63. De takenlijst van de quiz bestond uit 36 vragen. Voor elk goed antwoord kreeg de student 5 punten, voor een fout antwoord werden 11 punten van hem afgetrokken en als er geen antwoord was, kregen ze 0 punten. Hoeveel goede antwoorden heeft de student met 75 punten gegeven, als bekend is dat hij minstens één keer fout zat?
64. De sprinkhaan springt langs een rechte weg, de lengte van één sprong is 1 cm, eerst springt hij 11 sprongen vooruit, dan 3 terug, dan weer 11 sprongen en dan 3 sprongen terug, enzovoort, hoeveel sprongen zal hij maken door het moment waarop hij zich voor het eerst op een afstand van 100 cm van de start bevindt.
65. Op de stok zijn dwarslijnen van rood, geel en groen gemarkeerd. Als je een stok langs de rode lijnen knipt, krijg je 7 stukken, als langs de gele lijnen - 13 stukken, en als langs de groene lijnen - 5 stukken. Hoeveel stukjes krijg je als je een stok knipt langs de lijnen van alle drie de kleuren?
66.
BIJ
Het wisselkantoor kan een van de volgende twee bewerkingen uitvoeren:
voor 2 gouden munten krijg je 3 zilveren en een koper;
voor 5 zilveren munten, krijg je 3 gouden en één koper.
Nicholas had alleen zilveren munten. Na verschillende bezoeken aan het wisselkantoor had hij minder zilveren munten, geen gouden munten, maar verschenen er 50 koperen munten. Met hoeveel is het aantal zilveren munten van Nicholas afgenomen?
67.
De rechthoek is verdeeld in vier kleinere rechthoeken door twee rechte sneden.
De omtrek van drie ervan, beginnend vanaf de linkerbovenhoek en met de klok mee, is 24, 28 en 16. Zoek de omtrek van de vierde rechthoek. 
68.
BIJ
Het wisselkantoor kan een van de volgende twee bewerkingen uitvoeren:
1) voor 4 gouden munten krijg je 5 zilveren en één koper;
2) voor 7 zilveren munten, krijg je 5 gouden en één koper.
Nikola had alleen zilveren munten. Na een bezoek aan het wisselkantoor had hij minder zilveren munten, geen gouden munten, maar er verschenen 90 koperen munten. Met hoeveel is het aantal zilveren munten afgenomen?
69. Een slak kruipt per dag 4 m in een boom en glijdt in een nacht 2 m. De hoogte van een boom is 12 m. Hoeveel dagen duurt het voordat een slak van de basis naar de top van de boom kruipt?
70.
De takenlijst van de quiz bestond uit 32 vragen. Voor elk goed antwoord krijgt de leerling 5 punten. Bij een fout antwoord werden 9 punten afgeschreven, bij geen antwoord 0 punten.
Hoeveel goede antwoorden gaf de student die 75 punten scoorde als hij minstens 2 keer fout zat?
71. De takenlijst van de quiz bestond uit 25 vragen. Voor elk goed antwoord kreeg de student 7 punten, voor een fout antwoord werden 10 punten van hem afgetrokken en als er geen antwoord was, kregen ze 0 punten. Hoeveel goede antwoorden heeft de leerling met 42 punten gegeven, als bekend is dat hij minstens één keer fout zat?
72. De eigenaar kwam met de arbeiders overeen dat ze een put voor hem zouden graven onder de volgende voorwaarden: voor de eerste meter zou hij hen 4.200 roebel betalen, en voor elke volgende meter - 1.300 roebel meer dan voor de vorige. Hoeveel roebel moet de eigenaar betalen aan de arbeiders als ze een put van 11 meter diep graven?
73.
De rechthoek is verdeeld in vier kleine rechthoeken door twee rechte sneden. De gebieden van drie ervan, beginnend vanaf de linkerbovenhoek en met de klok mee, zijn 18, 12 en 20. Zoek het gebied van de vierde rechthoek. 
74.
De rechthoek is verdeeld in vier kleine rechthoeken door twee rechte sneden. De gebieden van drie van hen, beginnend vanaf de linkerbovenhoek en met de klok mee, zijn 12, 18 en 30. Zoek het gebied van de vierde rechthoek. 
75. BIJ De tabel heeft drie kolommen en meerdere rijen. BIJ elke cel van de tabel is volgens een natuurlijk getal geplaatst, zodat de som van alle getallen in de eerste kolom 85 is, in de tweede 77, in de derde 71 en de som van de getallen in elke rij groter is dan 12, maar minder dan 15. Hoeveel rijen zijn er in de tabel?
76. De sprinkhaan springt langs de coördinaatlijn in elke richting voor een eenheidssegment per sprong. Hoeveel verschillende punten op de coördinatenlijn zijn er die de sprinkhaan kan bereiken nadat hij 10 sprongen heeft gemaakt, beginnend bij de oorsprong?
77. Sasha nodigde Petya uit voor een bezoek en zei dat hij in de zevende ingang van appartement nr. 462 woont, maar hij vergat de vloer te zeggen. Toen ze het huis naderde, ontdekte Petya dat het huis zeven verdiepingen had. Op welke verdieping woont Sasha? (Op alle verdiepingen is het aantal appartementen gelijk, het aantal appartementen in het gebouw begint bij één.)
78.
BIJ
Het wisselkantoor kan een van de volgende twee bewerkingen uitvoeren:
voor 2 gouden munten krijg je 3 zilveren en een koper;
voor 7 zilveren munten krijg je 3 gouden en één koper.
Nicholas had alleen zilveren munten. Na het wisselkantoor had hij geen gouden munten, maar verschenen er 20 koperen munten. Met hoeveel is het aantal zilveren munten van Nicholas afgenomen?
79.
De sprinkhaan springt langs de coördinaatlijn in elke richting voor een eenheidssegment per sprong. Hoeveel verschillende punten op de coördinatenlijn zijn er die een sprinkhaan kan bereiken na 11 sprongen te hebben gemaakt, beginnend bij de oorsprong?
80. Er zijn vier tankstations op de ringweg: A, B, C en D. Afstand tussen A en B - 35 km, tussen A en B - 20 km, tussen B en G - 20 km, tussen G en A - 30 km (alle afstanden worden langs de ring in de kortste boog gemeten). Zoek de afstand (in kilometers) tussen B en V.
81.
BIJ
Het wisselkantoor kan een van de volgende twee bewerkingen uitvoeren:
voor 4 gouden munten krijg je 5 zilveren en een koper;
voor 7 zilveren munten krijg je 5 gouden en één koper.
Nicholas had alleen zilveren munten. Na het wisselkantoor had hij minder zilveren munten, er waren geen gouden munten, maar er verschenen 90 koperen munten. Met hoeveel is het aantal zilveren munten van Nicholas afgenomen?
82. Een sprinkhaan springt langs een coördinaatlijn in elke richting voor een eenheidssegment per sprong. Hoeveel punten op de coördinaatlijn zijn er die de sprinkhaan kan bereiken nadat hij precies 8 sprongen heeft gemaakt, beginnend bij de oorsprong?
83.
BIJ
Het wisselkantoor kan een van de volgende twee bewerkingen uitvoeren:
voor 5 gouden munten krijg je 4 zilveren en één koper;
Voor 10 zilveren munten, krijg je 7 gouden en één koper.
Nicholas had alleen zilveren munten. Na het wisselkantoor had hij minder zilveren munten, geen gouden munten, maar er verschenen 60 koperen munten. Met hoeveel is het aantal zilveren munten van Nicholas afgenomen?
84.
BIJ
Het wisselkantoor kan een van de volgende twee bewerkingen uitvoeren:
voor 5 gouden munten krijg je 6 zilveren en één koper;
voor 8 zilveren munten krijg je 6 gouden en één koper.
Nicholas had alleen zilveren munten. Na het wisselkantoor had hij minder zilveren munten, geen gouden munten, maar er verschenen 55 koperen munten. Met hoeveel is het aantal zilveren munten van Nicholas afgenomen?
85.
Alle ingangen van het huis hebben hetzelfde aantal verdiepingen en alle verdiepingen hebben hetzelfde aantal appartementen. Tegelijkertijd is het aantal verdiepingen in het huis groter dan het aantal appartementen per verdieping, het aantal appartementen per verdieping is groter dan het aantal ingangen en het aantal ingangen is meer dan één. Hoeveel verdiepingen heeft een gebouw als er in totaal 105 appartementen zijn?
86.
BIJ
Het wisselkantoor kan een van de volgende twee bewerkingen uitvoeren:
1) voor 3 gouden munten krijg je 4 zilveren en één koper;
2) voor 7 zilveren munten, krijg je 4 gouden en één koper.
Nikola had alleen zilveren munten. Na een bezoek aan het wisselkantoor had hij minder zilveren munten, geen gouden munten, maar er verschenen 42 koperen munten. Met hoeveel is Nikola's aantal zilveren munten afgenomen?
ANTWOORDEN