Tester

Arctg-reduksjonsformler. Utledning av formler for inverse trigonometriske funksjoner

Definisjoner av inverse trigonometriske funksjoner og deres grafer er gitt. I tillegg til formler som forbinder inverse trigonometriske funksjoner, formler for summer og forskjeller.

Definisjon av inverse trigonometriske funksjoner

Siden trigonometriske funksjoner er periodiske, er deres inverse funksjoner ikke unike. Så ligningen y = synd x, for en gitt , har uendelig mange røtter. Faktisk, på grunn av periodisiteten til sinusen, hvis x er en slik rot, så er det det x + 2πn(hvor n er et heltall) vil også være roten til ligningen. Dermed, inverse trigonometriske funksjoner har flere verdier. For å gjøre det lettere å jobbe med dem, introduseres konseptet med hovedbetydningene deres. Tenk for eksempel på sinus: y = synd x. Hvis vi begrenser argumentet x til intervallet, vil funksjonen y = på det synd xøker monotont. Derfor har den en unik invers funksjon, som kalles arcsine: x = arcsin y.

Med mindre annet er oppgitt, mener vi med inverse trigonometriske funksjoner deres hovedverdier, som bestemmes av følgende definisjoner.

Arcsine ( y = arcsin x) er den inverse funksjonen til sinus ( x = syndig

Arc cosinus ( y = arccos x) er den inverse funksjonen til cosinus ( x = koselig), som har et definisjonsdomene og et sett med verdier.

Arctangens ( y = arctan x) er den inverse funksjonen av tangent ( x = tg y), som har et definisjonsdomene og et sett med verdier.

arccotangent ( y = arcctg x) er den inverse funksjonen av cotangens ( x = ctg y), som har et definisjonsdomene og et sett med verdier.

Grafer over inverse trigonometriske funksjoner

Grafer for inverse trigonometriske funksjoner er hentet fra grafer for trigonometriske funksjoner ved speilrefleksjon med hensyn til den rette linjen y = x. Se avsnitt Sinus, cosinus, Tangent, cotangens.

y = arcsin x

y = arccos x

y = arctan x

y = arcctg x

Grunnleggende formler

Her bør du være spesielt oppmerksom på intervallene formlene er gyldige for.

arcsin(sin x) = x på
sin(arcsin x) = x
arccos(cos x) = x på
cos(arccos x) = x

arctan(tg x) = x på
tg(arctg x) = x
arcctg(ctg x) = x på
ctg(arcctg x) = x

Formler som relaterer inverse trigonometriske funksjoner

Sum- og differanseformler

på eller

kl og

kl og

på

på

Funksjonene sin, cos, tg og ctg er alltid ledsaget av arcsine, arccosine, arctangent og arccotangent. Det ene er en konsekvens av det andre, og funksjonspar er like viktige for å jobbe med trigonometriske uttrykk.

Tenk på en tegning av en enhetssirkel, som grafisk viser verdiene til trigonometriske funksjoner.

Hvis vi beregner buer OA, arcos OC, arctg DE og arcctg MK, vil de alle være lik verdien av vinkelen α. Formlene nedenfor gjenspeiler forholdet mellom de grunnleggende trigonometriske funksjonene og deres tilsvarende buer.

For å forstå mer om egenskapene til arcsine, er det nødvendig å vurdere dens funksjon. Rute har form av en asymmetrisk kurve som går gjennom koordinatsenteret.

Egenskaper til arcsine:

Hvis vi sammenligner grafene synd Og arcsin, kan to trigonometriske funksjoner ha felles prinsipper.

buekosinus

Arccos av et tall er verdien av vinkelen α, hvis cosinus er lik a.

Kurve y = arcos x speiler arcsin x-grafen, med den eneste forskjellen at den passerer gjennom punktet π/2 på OY-aksen.

La oss se på buekosinusfunksjonen mer detaljert:

Funksjonen er definert på intervallet [-1; 1].
ODZ for arccos - .
Grafen er helt plassert i første og andre kvartal, og selve funksjonen er verken partall eller oddetall.
Y = 0 ved x = 1.
Kurven avtar langs hele lengden. Noen egenskaper til buekosinus faller sammen med cosinusfunksjonen.

Noen egenskaper til buekosinus faller sammen med cosinusfunksjonen.

Kanskje skolebarn vil finne en slik "detaljert" studie av "buer" unødvendig. Men ellers noen grunnleggende typiske Unified State Exam-oppgaver kan føre til forvirring hos elevene.

Øvelse 1. Angi funksjonene vist i figuren.

Svar: ris. 1 – 4, Fig. 2 – 1.

I i dette eksemplet vekten er på de små tingene. Vanligvis er elevene svært uoppmerksomme på konstruksjonen av grafer og utseendet til funksjoner. Faktisk, hvorfor huske typen kurve hvis den alltid kan plottes ved hjelp av beregnede punkter. Ikke glem at under testforhold tiden brukt på tegning for enkel oppgave, vil være nødvendig for å løse mer komplekse oppgaver.

Arctangens

Arctg tallene a er verdien av vinkelen α slik at tangenten er lik a.

Hvis vi vurderer arctangens-grafen, kan vi fremheve følgende egenskaper:

Grafen er uendelig og definert på intervallet (- ∞; + ∞).
Arctangens merkelig funksjon, derfor arctan (- x) = - arctan x.
Y = 0 ved x = 0.
Kurven øker gjennom hele definisjonsområdet.

Her er en kort komparativ analyse tg x og arctg x i tabellform.

Arccotangens

Arcctg av et tall - tar en verdi α fra intervallet (0; π) slik at dets cotangens er lik a.

Egenskaper til lysbue-cotangens-funksjonen:

Funksjonsdefinisjonsintervallet er uendelig.
Utvalget av akseptable verdier er intervallet (0; π).
F(x) er verken partall eller oddetall.
Gjennom hele dens lengde avtar grafen til funksjonen.

Det er veldig enkelt å sammenligne ctg x og arctg x du trenger bare å lage to tegninger og beskrive oppførselen til kurvene.

Oppgave 2. Match grafen og notasjonsformen til funksjonen.

Hvis vi tenker logisk, er det tydelig fra grafene at begge funksjonene øker. Derfor viser begge figurene en viss arktanfunksjon. Fra egenskapene til arctangens er det kjent at y=0 ved x = 0,

Svar: ris. 1 – 1, fig. 2 – 4.

Trigonometriske identiteter arcsin, arcos, arctg og arcctg

Tidligere har vi allerede identifisert forholdet mellom buer og de grunnleggende funksjonene til trigonometri. Denne avhengigheten kan uttrykkes med en rekke formler som lar en uttrykke for eksempel sinusen til et argument gjennom dets arcsinus, arccosinus eller omvendt. Kunnskap om slike identiteter kan være nyttig når man skal løse konkrete eksempler.

Det er også relasjoner for arctg og arcctg:

Et annet nyttig par formler setter verdien for summen av arcsin og arcos, samt arcctg og arcctg av samme vinkel.

Eksempler på problemløsning

Trigonometrioppgaver kan deles inn i fire grupper: beregn numerisk verdi spesifikt uttrykk, konstruer en graf av denne funksjonen, finn dens definisjonsdomene eller ODZ og utfør analytiske transformasjoner for å løse eksemplet.

Når du løser den første typen problem, må du forholde deg til neste plan handlinger:

Når man jobber med funksjonsgrafer er hovedsaken kunnskap om deres egenskaper og utseende krokete. For løsninger trigonometriske ligninger og ulikheter er det behov for identitetstabeller. Jo flere formler en elev husker, jo lettere er det å finne svaret på oppgaven.

La oss si at du i Unified State Examination må finne svaret for en ligning som:

Hvis du transformerer uttrykket riktig og bringer det til ønsket form, er det veldig enkelt og raskt å løse det. Først, la oss flytte arcsin x til høyre side av likheten.

Hvis du husker formelen arcsin (sin α) = α, så kan vi redusere søket etter svar for å løse et system med to ligninger:

Begrensningen på modellen x oppsto, igjen fra egenskapene til arcsin: ODZ for x [-1; 1]. Når en ≠0, er en del av systemet kvadratisk ligning med røttene x1 = 1 og x2 = - 1/a. Når a = 0, vil x være lik 1.

En metode for å utlede formler for inverse trigonometriske funksjoner er presentert. Formler for negative argumenter og uttrykk knyttet til arcsine, arccosine, arctangent og arccotangent oppnås. En metode for å utlede formler for summen av arcsines, arccosines, arctangents og arccotangents er indikert.

Grunnleggende formler

Utledning av formler for inverse trigonometriske funksjoner er enkel, men krever kontroll over verdiene til argumentene til direkte funksjoner. Dette skyldes det faktum at trigonometriske funksjoner er periodiske, og derfor er deres inverse funksjoner flerverdier. Med mindre annet er oppgitt, betyr inverse trigonometriske funksjoner deres hovedverdier. For å bestemme hovedverdien, er definisjonsdomenet for den trigonometriske funksjonen begrenset til intervallet som den er monoton og kontinuerlig. Utledningen av formler for inverse trigonometriske funksjoner er basert på formlene for trigonometriske funksjoner og egenskapene til inverse funksjoner som sådan. Egenskaper til inverse funksjoner kan deles inn i to grupper.

Den første gruppen inkluderer formler som er gyldige gjennom hele definisjonsdomenet av inverse funksjoner:
sin(arcsin x) = x
cos(arccos x) = x
tg(arctg x) = x (-∞ < x < +∞ )
ctg(arcctg x) = x (-∞ < x < +∞ )

Den andre gruppen inkluderer formler som bare er gyldige på settet med verdier av inverse funksjoner.
arcsin(sin x) = x på
arccos(cos x) = x på
arctan(tg x) = x på
arcctg(ctg x) = x på

Hvis variabelen x ikke faller inn i intervallet ovenfor, bør den reduseres til den ved å bruke formlene for trigonometriske funksjoner (heretter n er et heltall):
sin x = sin(- x-π); sin x = sin(π-x); sin x = sin(x+2 πn);
cos x = cos(-x); cos x = cos(2 π-x); cos x = cos(x+2 πn);
tan x = tan(x+πn); barneseng x = barneseng(x+πn)

For eksempel hvis det er kjent at
arcsin(sin x) = arcsin(sin( π - x )) = π - x .

Det er lett å verifisere at når π - x faller inn i ønsket intervall. For å gjøre dette, multipliser med -1: og legg til π: eller Alt er riktig.

Inverse funksjoner av negativt argument

Ved å bruke de ovennevnte formlene og egenskapene til trigonometriske funksjoner, får vi formler for inverse funksjoner til et negativt argument.

arcsin(- x) = arcsin(- synd arcsin x) = arcsin(sin(-arcsin x)) = - arcsin x

Siden vi multipliserer med -1, har vi: eller
Sinusargumentet faller innenfor det tillatte området til bueområdet. Derfor er formelen riktig.

Samme for andre funksjoner.
arccos(- x) = arccos(-cos arccos x) = arccos(cos(π-arccos x)) = π - arccos x

arctan(- x) = arctg(-tg arctg x) = arctg(tg(-arctg x)) = - arctan x

arcctg(- x) = arcctg(-ctg arcctg x) = arcctg(ctg(π-arcctg x)) = π - arcctg x

Uttrykker arcsine gjennom arccosine og arctangent gjennom arccotangent

La oss uttrykke arcsine i form av arccosine.

Formelen er gyldig når Disse ulikhetene er oppfylt fordi

For å bekrefte dette, multipliser ulikhetene med -1: og legg til π/2: eller Alt er riktig.

På samme måte uttrykker vi arctangensen gjennom arccotangensen.

Uttrykke arcsine gjennom arctangent, arccosine gjennom arccotangent og vice versa

Vi går frem på samme måte.

Sum- og differanseformler

På lignende måte får vi formelen for summen av arcsines.

La oss etablere grensene for anvendeligheten til formelen. For ikke å håndtere tungvinte uttrykk, introduserer vi følgende notasjon: X = arcsin x, Y = arcsin y. Formelen gjelder når
. Vi bemerker videre at siden arcsin(- x) = - arcsin x, arcsin(- y) = - arcsin y, da med forskjellige fortegn på x og y, X og Y også annet tegn og derfor er ulikhetene tilfredsstilt. Betingelsen for ulike tegn på x og y kan skrives som én ulikhet: . Det vil si når formelen er gyldig.

Vurder nå tilfellet x > 0 og y > 0 , eller X > 0 og Y > 0 . Da er betingelsen for anvendbarheten av formelen å tilfredsstille ulikheten: . Siden cosinus avtar monotont for verdier av argumentet i området fra 0 , til π, ta deretter cosinus til venstre og høyre side av denne ulikheten og transformer uttrykket:
;
;
;
.
Siden og ; da er ikke cosinusene som er inkludert her negative. Begge sider av ulikheten er positive. Vi kvadrerer dem og transformerer cosinusene gjennom sinus:
;
.
La oss erstatte sin X = sin arcsin x = x:
;
;
;
.

Så den resulterende formelen er gyldig for eller .

Tenk nå på tilfellet x > 0, y > 0 og x 2 + y 2 > 1 . Her tar sinusargumentet følgende verdier: . Det må bringes til intervallet til arcsine-verdiområdet:

Så,

på i.

Vi har erstattet x og y med - x og - y

på i.
Vi utfører transformasjonene:

på i.
Eller

på i.

Så vi har fått følgende uttrykk for summen av arcsines:

på eller ;

kl og ;

kl og .

Leksjon og presentasjon om emnet: "Arcsine. Tabell over arcsines. Formel y=arcsin(x)"

Ytterligere materialer
Kjære brukere, ikke glem å legge igjen kommentarer, anmeldelser, ønsker! Alt materiale er sjekket av et antivirusprogram.

Manualer og simulatorer i Integral nettbutikk for klasse 10 fra 1C
Programvaremiljø "1C: Mathematical Constructor 6.1"
Vi løser problemer innen geometri. Interaktive oppgaver for bygging i rommet

Hva vi skal studere:
1. Hva er arcsine?
2. Arcsine-notasjon.
3. Litt historie.
4. Definisjon.

6. Eksempler.

Hva er arcsine?

Gutter, vi har allerede lært hvordan man løser ligninger for cosinus, la oss nå lære hvordan man løser lignende ligninger for sinus. Tenk på sin(x)= √3/2. For å løse denne ligningen må du konstruere en rett linje y= √3/2 og se på hvilke punkter den skjærer tallsirkelen. Man kan se at den rette linjen skjærer sirkelen i to punkter F og G. Disse punktene vil være løsningen på ligningen vår. La oss redesigne F som x1, og G som x2. Vi har allerede funnet løsningen på denne ligningen og fått: x1= π/3 + 2πk,
og x2= 2π/3 + 2πk.

Å løse denne ligningen er ganske enkelt, men hvordan løser man for eksempel ligningen
sin(x)= 5/6. Selvfølgelig vil denne ligningen også ha to røtter, men hvilke verdier vil tilsvare løsningen på tallsirkelen? La oss se nærmere på ligningen vår sin(x)= 5/6.
Løsningen på ligningen vår vil være to punkter: F= x1 + 2πk og G= x2 + 2πk,
der x1 er lengden på buen AF, x2 er lengden på buen AG.
Merk: x2= π - x1, fordi AF= AC - FC, men FC= AG, AF= AC - AG= π - x1.
Men hva er disse punktene?

Stilt overfor en lignende situasjon, kom matematikere opp med nytt symbol– arcsin(x). Les som arcsine.

Da vil løsningen til ligningen vår skrives slik: x1= arcsin(5/6), x2= π -arcsin(5/6).

Og løsningen er generelt syn: x= arcsin(5/6) + 2πk og x= π - arcsin(5/6) + 2πk.
Arcsinus er vinkelen (buelengde AF, AG) sinus, som er lik 5/6.

En liten historie om arcsine

Historien om opprinnelsen til symbolet vårt er nøyaktig den samme som arccos. Arcsin-symbolet dukker først opp i verkene til matematikeren Scherfer og den berømte franske vitenskapsmannen J.L. Lagrange. Noe tidligere ble begrepet arcsine vurdert av D. Bernouli, selv om han skrev det med forskjellige symboler.

Disse symbolene ble generelt akseptert først på slutten av 1700-tallet. Prefikset "bue" kommer fra det latinske "arcus" (bue, bue). Dette er ganske i samsvar med betydningen av konseptet: arcsin x er en vinkel (eller man kan si en bue) hvis sinus er lik x.

Definisjon av arcsine

Hvis |a|≤ 1, så er arcsin(a) et tall fra segmentet [- π/2; π/2], hvis sinus er lik a.

Hvis |a|≤ 1, så har ligningen sin(x)= a en løsning: x= arcsin(a) + 2πk og
x= π - arcsin(a) + 2πk

La oss skrive om:

x= π - arcsin(a) + 2πk = -arcsin(a) + π(1 + 2k).

Gutter, se nøye på de to løsningene våre. Hva tenker du: kan de skrives ned ved hjelp av en generell formel? Merk at hvis det er et plusstegn foran arcsinus, så multipliseres π med partall 2πk, og hvis det er et minustegn, så er multiplikatoren oddetall 2k+1.
Med dette i betraktning, skriver vi ned den generelle formelen for å løse ligningen sin(x)=a:

Det er tre tilfeller der det er å foretrekke å skrive ned løsninger på en enklere måte:

sin(x)=0, deretter x= πk,

sin(x)=1, deretter x= π/2 + 2πk,

sin(x)=-1, deretter x= -π/2 + 2πk.

For enhver -1 ≤ a ≤ 1 gjelder likheten: arcsin(-a)=-arcsin(a).

La oss skrive tabellen med cosinusverdier i revers og få en tabell for arcsinus.

Eksempler

1. Regn ut: arcsin(√3/2).
Løsning: La arcsin(√3/2)= x, så sin(x)= √3/2. Per definisjon: - π/2 ≤x≤ π/2. La oss se på sinusverdiene i tabellen: x= π/3, fordi sin(π/3)= √3/2 og –π/2 ≤ π/3 ≤ π/2.
Svar: arcsin(√3/2)= π/3.

2. Regn ut: arcsin(-1/2).
Løsning: La arcsin(-1/2)= x, deretter sin(x)= -1/2. Per definisjon: - π/2 ≤x≤ π/2. La oss se på sinusverdiene i tabellen: x= -π/6, fordi sin(-π/6)= -1/2 og -π/2 ≤-π/6≤ π/2.
Svar: arcsin(-1/2)=-π/6.

3. Regn ut: arcsin(0).
Løsning: La arcsin(0)= x, så sin(x)= 0. Per definisjon: - π/2 ≤x≤ π/2. La oss se på verdiene til sinusen i tabellen: det betyr x= 0, fordi sin(0)= 0 og - π/2 ≤ 0 ≤ π/2. Svar: arcsin(0)=0.

4. Løs ligningen: sin(x) = -√2/2.
x= arcsin(-√2/2) + 2πk og x= π - arcsin(-√2/2) + 2πk.
La oss se på verdien i tabellen: arcsin (-√2/2)= -π/4.
Svar: x= -π/4 + 2πk og x= 5π/4 + 2πk.

5. Løs ligningen: sin(x) = 0.
Løsning: La oss bruke definisjonen, så vil løsningen bli skrevet i formen:
x= arcsin(0) + 2πk og x= π - arcsin(0) + 2πk. La oss se på verdien i tabellen: arcsin(0)= 0.
Svar: x= 2πk og x= π + 2πk

6. Løs ligningen: sin(x) = 3/5.
Løsning: La oss bruke definisjonen, så vil løsningen bli skrevet i formen:
x= arcsin(3/5) + 2πk og x= π - arcsin(3/5) + 2πk.
Svar: x= (-1) n - arcsin(3/5) + πk.

7. Løs ulikheten sin(x) Løsning: Sinus er ordinaten til et punkt på tallsirkelen. Dette betyr: vi må finne punkter hvis ordinat er mindre enn 0,7. La oss tegne en rett linje y=0,7. Den skjærer tallsirkelen i to punkter. Ulikhet y Da vil løsningen på ulikheten være: -π – arcsin(0,7) + 2πk

Arcsine-problemer for uavhengig løsning

1) Beregn: a) arcsin(√2/2), b) arcsin(1/2), c) arcsin(1), d) arcsin(-0,8).
2) Løs ligningen: a) sin(x) = 1/2, b) sin(x) = 1, c) sin(x) = √3/2, d) sin(x) = 0,25,
e) sin(x) = -1,2.
3) Løs ulikheten: a) sin (x)> 0,6, b) sin (x)≤ 1/2.

Hva er arcsine, arccosine? Hva er arctangens, arccotangent?

Merk følgende!
Det er flere
materialer i spesialseksjon 555.
For de som er veldig "ikke veldig..."
Og for de som "veldig mye...")

Til konsepter arcsine, arccosine, arctangens, arccotangent Studentpopulasjonen er på vakt. Han forstår ikke disse begrepene og stoler derfor ikke på denne hyggelige familien.) Men forgjeves. Dette er veldig enkle konsepter. Noe som forresten gjør livet enormt enklere. kunnskapsrik person når du løser trigonometriske ligninger!

Tviler på enkelhet? Forgjeves.) Akkurat her og nå vil du se dette.

Selvfølgelig, for å forstå, ville det være fint å vite hva sinus, cosinus, tangens og cotangens er. Ja, tabellverdiene deres for noen vinkler... I hvert fall i de fleste generell disposisjon. Da blir det ingen problemer her heller.

Så vi er overrasket, men husk: arcsine, arccosine, arctangent og arccotangent er bare noen vinkler. Intet mer, intet mindre. Det er en vinkel, si 30°. Og det er et hjørne arcsin0.4. Eller arctg(-1.3). Det finnes alle slags vinkler.) Du kan ganske enkelt skrive ned vinklene forskjellige måter. Du kan skrive vinkelen i grader eller radianer. Eller du kan - gjennom sinus, cosinus, tangent og cotangens...

Hva betyr uttrykket

arcsin 0,4?

Dette er en vinkel hvis sinus er 0,4! Ja Ja. Dette er betydningen av arcsine. Jeg vil spesifikt gjenta: arcsin 0,4 er en vinkel hvis sinus er lik 0,4.

Det er alt.

For å holde denne enkle tanken i hodet i lang tid, vil jeg til og med gi en oversikt over dette forferdelige begrepet - arcsine:

bue synd 0,4
hjørne, hvis sinus lik 0,4

Som det står skrevet, så blir det hørt.) Nesten. Konsoll bue midler bue(ord bue vet du?), fordi eldgamle mennesker brukte buer i stedet for vinkler, men dette endrer ikke essensen av saken. Husk denne elementære dekodingen av et matematisk begrep! Dessuten, for arccosine, arctangent og arccotangent, skiller dekodingen seg bare i navnet på funksjonen.

Hva er arccos 0.8?
Dette er en vinkel hvis cosinus er 0,8.

Hva er arctg(-1,3)?
Dette er en vinkel hvis tangent er -1,3.

Hva er arcctg 12?
Dette er en vinkel hvis cotangens er 12.

Slik elementær dekoding gjør det forresten mulig å unngå episke tabber.) For eksempel ser uttrykket arccos1,8 ganske respektabelt ut. La oss begynne å dekode: arccos1.8 er en vinkel hvis cosinus er lik 1.8... Hopp-hopp!? 1,8!? Cosinus kan ikke være større enn én!!!

Ikke sant. Uttrykket arccos1,8 gir ikke mening. Og å skrive et slikt uttrykk i et eller annet svar vil underholde inspektøren veldig.)

Elementær, som du kan se.) Hver vinkel har sin egen personlige sinus og cosinus. Og nesten alle har sin egen tangent og cotangens. Når vi kjenner den trigonometriske funksjonen, kan vi derfor skrive ned selve vinkelen. Dette er hva arcsines, arccosines, arctangens og arccotangens er ment for. Fra nå av vil jeg kalle hele denne familien ved et lite navn - buer. For å skrive mindre.)

Merk følgende! Elementær verbal og bevisst dechiffrering av buer lar deg rolig og trygt løse en rekke oppgaver. Og i uvanlig Hun er den eneste som redder oppdrag.

Er det mulig å bytte fra buer til vanlige grader eller radianer?- Jeg hører et forsiktig spørsmål.)

Hvorfor ikke!? Enkelt. Du kan gå frem og tilbake. Dessuten må dette noen ganger gjøres. Buer er en enkel ting, men det er på en eller annen måte roligere uten dem, ikke sant?)

For eksempel: hva er arcsin 0,5?

La oss huske dekodingen: arcsin 0,5 er vinkelen hvis sinus er 0,5. Snu på hodet (eller Google) og husk hvilken vinkel som har en sinus på 0,5? Sinus er 0,5 y 30 graders vinkel. Det er det: arcsin 0,5 er en vinkel på 30°. Du kan trygt skrive:

lysbue 0,5 = 30°

Eller, mer formelt, når det gjelder radianer:

Det er det, du kan glemme arcsine og fortsette å jobbe med de vanlige gradene eller radianene.

Hvis du skjønte hva er arcsine, arccosine... Hva er arctangent, arccotangent... Du kan enkelt håndtere for eksempel et slikt monster.)

En uvitende person vil trekke seg tilbake i redsel, ja...) Men en informert person husk avkodingen: arcsinus er vinkelen hvis sinus ... Og så videre. Hvis en kunnskapsrik person også kjenner sinustabellen... Kosinustabellen. Tabell over tangenter og cotangenter, da er det ingen problemer i det hele tatt!

Det er nok å innse at:

Jeg skal tyde det, dvs. La meg oversette formelen til ord: vinkel hvis tangent er 1 (arctg1)- dette er en vinkel på 45°. Eller, som er det samme, Pi/4. Like måte:

og det er det... Vi erstatter alle buene med verdier i radianer, alt reduseres, det gjenstår bare å beregne hvor mye 1+1 er. Det blir 2.) Hvilket er det riktige svaret.

Slik kan (og bør) du bevege deg fra arcsines, arccosines, arctangens og arccotangens til vanlige grader og radianer. Dette forenkler skumle eksempler!

Ofte, i lignende eksempler, inne i buene står negativ betydninger. Som, arctg(-1.3), eller for eksempel arccos(-0.8)... Dette er ikke et problem. Her er enkle formler for å gå fra negative til positive verdier:

Du trenger for eksempel å bestemme verdien av uttrykket:

Dette kan løses ved hjelp av den trigonometriske sirkelen, men du vil ikke tegne den. Vel ok. Vi flytter fra negativ verdier inne i buekosinus til k positivt i henhold til den andre formelen:

Inne i buen er cosinus til høyre allerede positivt betydning. Hva

du bare må vite. Alt som gjenstår er å erstatte radianer i stedet for buekosinus og beregne svaret:

Det er alt.

Restriksjoner på arcsine, arccosine, arctangent, arccotangent.

Er det et problem med eksempel 7 - 9? Vel, ja, det er et triks der.)

Alle disse eksemplene, fra 1 til 9, er nøye analysert i seksjon 555. Hva, hvordan og hvorfor. Med alle de hemmelige fellene og triksene. Pluss måter å dramatisk forenkle løsningen på. Forresten, i denne delen er det mye nyttig informasjon Og praktiske råd på trigonometri generelt. Og ikke bare i trigonometri. Hjelper mye.

Hvis du liker denne siden...

Forresten, jeg har et par flere interessante nettsteder for deg.)

Du kan trene på å løse eksempler og finne ut nivået ditt. Testing med umiddelbar verifisering. La oss lære - med interesse!)

Du kan bli kjent med funksjoner og derivater.