Astrologi 

Numeriske ulikheter og deres egenskaper. Lineære ulikheter. Detaljert teori med eksempler Innsamling og bruk av personopplysninger

Feltet med reelle tall har ordensegenskapen (punkt 6, s. 35): for alle tall gjelder a, b, ett og bare ett av de tre relasjonene: eller . I dette tilfellet betyr notasjonen a > b at forskjellen er positiv, og notasjonsforskjellen er negativ. I motsetning til feltet for reelle tall, er feltet for komplekse tall ikke ordnet: for komplekse tall er ikke begrepene "større enn" og "mindre enn" definert; derfor omhandler dette kapittelet kun reelle tall.

Vi kaller relasjonene ulikheter, tallene a og b er medlemmer (eller deler) av ulikheten, tegnene > (større enn) og Ulikheter a > b og c > d kalles ulikheter med samme (eller samme) betydning; ulikheter a > b og c Det følger umiddelbart av definisjonen av ulikheten at

1) ethvert positivt tall større enn null;

2) ethvert negativt tall mindre enn null;

3) ethvert positivt tall er større enn ethvert negativt tall;

4) av to negative tall, er den hvis absolutte verdi er mindre større.

Alle disse utsagnene innrømmer en enkel geometrisk tolkning. La den positive retningen til tallaksen gå til høyre for startpunktet; så, uansett tegn på tallene, er det største av dem representert av et punkt som ligger til høyre for punktet som representerer det minste tallet.

Ulikheter har følgende hovedegenskaper.

1. Asymmetri (irreversibilitet): hvis , da , og omvendt.

Faktisk, hvis forskjellen er positiv, så er forskjellen negativ. De sier at når vilkårene for ulikheten omorganiseres, må betydningen av ulikheten endres til det motsatte.

2. Transitivitet: hvis , så . Positiviteten til forskjellene innebærer faktisk positiviteten

I tillegg til ulikhetstegn brukes også ulikhetstegn og De er definert som følger: en post betyr at enten eller Derfor kan du for eksempel skrive og også. Vanligvis kalles ulikheter skrevet med tegn strenge ulikheter, og de som er skrevet med tegn kalles ikke-strenge ulikheter. Følgelig kalles tegnene i seg selv tegn på streng eller ikke-streng ulikhet. Egenskaper 1 og 2 omtalt ovenfor gjelder også for ikke-strenge ulikheter.

Vurder nå operasjonene som kan utføres på en eller flere ulikheter.

3. Fra å legge til samme tall til medlemmene av ulikheten, endres ikke betydningen av ulikheten.

Bevis. La en ulikhet og et vilkårlig tall gis. Per definisjon er forskjellen positiv. Vi legger til dette tallet to motsatte tall som det ikke vil endre seg fra, dvs.

Denne likheten kan skrives om slik:

Det følger av dette at forskjellen er positiv, det vil si at

og dette skulle bevises.

Dette er grunnlaget for muligheten for å skjeve ethvert ledd i ulikheten fra en av delene til en annen med motsatt fortegn. For eksempel fra ulikheten

følger det

4. Når du multipliserer betingelsene for ulikheten med det samme positive tallet, endres ikke betydningen av ulikheten; når vilkårene for ulikheten multipliseres med det samme negative tallet, endres betydningen av ulikheten til det motsatte.

Bevis. La så Hvis da siden produktet av positive tall er positivt. Ved å utvide parentesene på venstre side av den siste ulikheten får vi , dvs. . Saken vurderes på tilsvarende måte.

Nøyaktig den samme konklusjonen kan trekkes angående deling av delene av ulikheten med et tall som ikke er null, siden divisjon med et tall tilsvarer multiplikasjon med et tall og tallene har samme fortegn.

5. La vilkårene for ulikheten være positive. Så, når medlemmene heves til den samme positive makten, endres ikke betydningen av ulikheten.

Bevis. La i dette tilfellet, av egenskapen til transitivitet, og . Så, på grunn av den monotone økningen av kraftfunksjonen ved og positiv, har vi

Spesielt hvis hvor er et naturlig tall, får vi

dvs. når man trekker ut roten fra begge deler av ulikheten med positive termer, endres ikke betydningen av ulikheten.

La vilkårene for ulikheten være negative. Da er det lett å bevise at når dens termer heves til en odde naturlig makt, endres ikke betydningen av ulikheten, og når den heves til en jevn naturlig makt, endres den til det motsatte. Fra ulikheter med negative termer kan du også trekke ut roten til en merkelig grad.

La videre vilkårene for ulikheten ha forskjellige tegn. Så, når den heves til en oddetall, endres ikke betydningen av ulikheten, og når den heves til en jevn styrke, kan ikke noe bestemt sies i det generelle tilfellet om betydningen av den resulterende ulikheten. Faktisk, når et tall heves til en oddetall, bevares tallets fortegn, og derfor endres ikke betydningen av ulikheten. Når man hever ulikheten til en jevn makt, dannes det en ulikhet med positive termer, og dens betydning vil avhenge av de absolutte verdiene til betingelsene for den opprinnelige ulikheten, en ulikhet av samme betydning som den opprinnelige, en ulikhet på den motsatte betydningen, og til og med likhet kan oppnås!

Det er nyttig å sjekke alt som har blitt sagt om å øke ulikheter til en makt ved å bruke følgende eksempel.

Eksempel 1. Hev følgende ulikheter til den angitte potensen, endre, om nødvendig, ulikhetstegnet til det motsatte eller til likhetstegnet.

a) 3 > 2 i potensen 4; b) i potensen 3;

c) i potensen 3; d) i potens 2;

e) i potensen 5; e) i potensen 4;

g) 2 > -3 i potensen 2; h) i kraft 2,

6. Fra ulikhet kan du gå til ulikheten mellom hvis betingelsene for ulikheten begge er positive eller begge negative, så mellom deres gjensidige er det en ulikhet av motsatt betydning:

Bevis. Hvis a og b har samme fortegn, er produktet deres positivt. Del med ulikhet

dvs. som var nødvendig for å få.

Hvis vilkårene for ulikheten har motsatte fortegn, så har ulikheten mellom deres gjensidige samme betydning, siden tegnene til de gjensidige er de samme som tegnene til mengdene i seg selv.

Eksempel 2. Sjekk den siste egenskapen 6 på følgende ulikheter:

7. Logaritmen av ulikheter kan bare utføres i tilfelle når betingelsene for ulikhetene er positive (negative tall og null har ikke logaritmer).

La . Så når vil

og når vil

Riktigheten av disse utsagnene er basert på monotonisiteten til den logaritmiske funksjonen, som øker hvis basen og reduseres hvis

Så når man tar logaritmen til en ulikhet som består av positive termer, med en base større enn én, dannes en ulikhet med samme betydning som den gitte, og når man tar logaritmen med en positiv base mindre enn én, en ulikhet på den motsatte betydningen dannes.

8. Hvis , så hvis , men , så .

Dette følger umiddelbart av monotonisitetsegenskapene til eksponentialfunksjonen (seksjon 42), som øker i tilfelle og avtar hvis

Når man legger til ulikheter med samme betydning begrep for begrep, dannes det en ulikhet med samme betydning som dataene.

Bevis. La oss bevise dette utsagnet for to ulikheter, selv om det er sant for et hvilket som helst antall summerte ulikheter. La ulikhetene

Per definisjon vil tall være positive; da viser deres sum seg også å være positiv, dvs.

Å gruppere begrepene annerledes, får vi

og derfor

og dette skulle bevises.

Det kan ikke sies noe bestemt i det generelle tilfellet om betydningen av en ulikhet som følge av tillegg av to eller flere ulikheter med forskjellige betydninger.

10. Hvis en annen ulikhet med motsatt betydning trekkes fra begrep for begrep fra en ulikhet, dannes en ulikhet med samme betydning som den første.

Bevis. La to ulikheter av ulik betydning gis. Den andre av dem, ved egenskapen irreversibilitet, kan omskrives som følger: d > c. La oss nå legge til to ulikheter med samme betydning og oppnå ulikheten

samme betydning. Fra sistnevnte finner vi

og dette skulle bevises.

Det kan ikke sies noe bestemt i det generelle tilfellet om betydningen av en ulikhet oppnådd ved å trekke en annen ulikhet med samme betydning fra en ulikhet.

Det er vanlig å kalle et system med ulikheter en oversikt over flere ulikheter under tegnet med en krøllete parentes (i dette tilfellet kan antallet og typen ulikheter som er inkludert i systemet være vilkårlig).

For å løse systemet er det nødvendig å finne skjæringspunktet mellom løsningene av alle ulikhetene som er inkludert i det. En løsning på en ulikhet i matematikk er enhver verdi av en variabel som den gitte ulikheten er sann for. Med andre ord er det nødvendig å finne settet med alle dens løsninger - det vil bli kalt svaret. Som et eksempel, la oss prøve å lære hvordan du løser et system med ulikheter ved å bruke intervallmetoden.

Egenskaper ved ulikheter

For å løse problemet er det viktig å kjenne til de grunnleggende egenskapene som ligger i ulikheter, som kan formuleres som følger:

  • Til begge deler av ulikheten kan en og samme funksjon legges til, definert i området for tillatte verdier (ODV) av denne ulikheten;
  • Hvis f(x) > g(x) og h(x) er en hvilken som helst funksjon definert i DDE for ulikheten, så f(x) + h(x) > g(x) + h(x);
  • Hvis begge deler av ulikheten multipliseres med en positiv funksjon definert i ODZ for denne ulikheten (eller med et positivt tall), så får vi en ulikhet tilsvarende den opprinnelige;
  • Hvis begge deler av ulikheten multipliseres med den negative funksjonen definert i ODZ for den gitte ulikheten (eller med et negativt tall) og tegnet på ulikheten reverseres, så er den resulterende ulikheten ekvivalent med den gitte ulikheten;
  • Ulikheter med samme betydning kan legges til begrep for begrep, og ulikheter av motsatt betydning kan trekkes fra begrep for begrep;
  • Ulikheter med samme betydning med positive deler kan multipliseres termin for begrep, og ulikheter dannet av ikke-negative funksjoner kan heves termin for begrep til en positiv potens.

For å løse et system med ulikheter, må du løse hver ulikhet separat, og deretter sammenligne dem. Som et resultat vil et positivt eller negativt svar mottas, som betyr om systemet har en løsning eller ikke.

Avstandsmetode

Når man løser et system av ulikheter, tyr matematikere ofte til intervallmetoden, som en av de mest effektive. Det lar oss redusere løsningen av ulikheten f(x) > 0 (<, <, >) til løsningen av ligningen f(x) = 0.

Essensen av metoden er som følger:

  • Finn rekkevidden av akseptable verdier av ulikhet;
  • Reduser ulikheten til formen f(x) > 0(<, <, >), det vil si, flytt høyre side til venstre og forenkle;
  • Løs ligningen f(x) = 0;
  • Tegn et diagram av en funksjon på en talllinje. Alle punkter merket på ODZ og begrensende det deler dette settet inn i såkalte intervaller med konstant fortegn. På hvert slikt intervall bestemmes fortegnet til funksjonen f(x);
  • Skriv svaret som en forening av separate sett hvor f(x) har det tilsvarende tegnet. ODZ-punkter som er grense er inkludert (eller ikke inkludert) i svaret etter ytterligere kontroll.

Ulikhet er en notasjon der tall, variabler eller uttrykk er forbundet med et tegn<, >, eller . Det vil si at ulikhet kan kalles en sammenligning av tall, variabler eller uttrykk. Tegn < , > , ⩽ og ⩾ kalt ulikhet tegn.

Typer ulikheter og hvordan de leses:

Som det fremgår av eksemplene, består alle ulikheter av to deler: venstre og høyre, forbundet med et av ulikhetstegnene. Avhengig av skiltet som forbinder delene av ulikhetene, er de delt inn i strenge og ikke-strenge.

Strenge ulikheter- ulikheter hvis deler er forbundet med et skilt< или >. Ikke-strenge ulikheter- ulikheter hvis deler er forbundet med tegnet eller .

Tenk på de grunnleggende reglene for sammenligning i algebra:

  • Ethvert positivt tall større enn null.
  • Ethvert negativt tall er mindre enn null.
  • Av to negative tall er det ene med den minste absolutte verdien større. For eksempel -1 > -7.
  • en og b positiv:

    en - b > 0,

    At en mer b (en > b).

  • Hvis forskjellen på to ulike tall en og b negativ:

    en - b < 0,

    At en mindre b (en < b).

  • Hvis tallet er større enn null, er det positivt:

    en> 0 betyr en er et positivt tall.

  • Hvis tallet er mindre enn null, er det negativt:

    en < 0, значит en- negativt tall.

Tilsvarende ulikheter- ulikheter som er en konsekvens av en annen ulikhet. For eksempel hvis en mindre b, deretter b mer en:

en < b og b > en- tilsvarende ulikheter

Egenskaper ved ulikheter

  1. Hvis det samme tallet legges til begge deler av ulikheten eller det samme tallet trekkes fra begge deler, vil en ekvivalent ulikhet oppnås, dvs.

    hvis en > b, deretter en + c > b + c og en - c > b - c

    Det følger av dette at det er mulig å overføre vilkårene for ulikheten fra en del til en annen med motsatt fortegn. For eksempel å legge til begge sider av ulikheten en - b > c - d på d, vi får:

    en - b > c - d

    en - b + d > c - d + d

    en - b + d > c

  2. Hvis begge deler av ulikheten multipliseres eller divideres med samme positive tall, vil en ekvivalent ulikhet oppnås, dvs.
  3. Hvis begge deler av ulikheten multipliseres eller divideres med samme negative tall, vil ulikheten motsatt av den gitte oppnås, det vil si at når begge deler av ulikheten multipliseres eller divideres med et negativt tall, vil ulikhetstegnet må endres til det motsatte.

    Denne egenskapen kan brukes til å endre tegnene til alle ledd i en ulikhet ved å multiplisere begge sider med -1 og reversere tegnet på ulikheten:

    -en + b > -c

    (-en + b) · -1< (-c) · -1

    en - b < c

    Ulikhet -en + b > -c tilsvarer ulikheten en - b < c

1 . Hvis a > b, deretter b< a ; omvendt hvis en< b , deretter b > a.

Eksempel. Hvis 5x - 1 > 2x + 1, deretter 2x +1< 5x — 1 .

2 . Hvis a > b og b > c, deretter a > c. Lignende, en< b og b< с , deretter en< с .

Eksempel. Fra ulikhetene x > 2y, 2 år > 10 følger det x>10.

3 . Hvis a > b deretter a + c > b + c og a - c > b - c. Hvis en< b , deretter a + c og a-c , de. du kan legge til (eller trekke fra) samme beløp på begge sider av ulikheten

Eksempel 1. Gitt ulikheten x + 8>3. Trekker vi tallet 8 fra begge deler av ulikheten, finner vi x > - 5.

Eksempel 2. Gitt ulikheten x - 6< — 2 . Legger vi til 6 til begge deler, finner vi X< 4 .

4 . Hvis a > b og c > d deretter a + c > b + d; nøyaktig det samme hvis en< b og Med< d , deretter a + c< b + d , dvs. to ulikheter med samme betydning) kan legges til begrep for begrep. Dette gjelder for et hvilket som helst antall ulikheter, for eksempel hvis a1 > b1, a2 > b2, a3 > b3, deretter a1 + a2 + a3 > b1+b2 +b3.

Eksempel 1. ulikheter — 8 > — 10 og 5 > 2 er sanne. Legger vi dem til begrep for begrep, finner vi den riktige ulikheten — 3 > — 8 .

Eksempel 2. Gitt et system av ulikheter ( 1/2)x + (1/2)y< 18 ; (1/2)x - (1/2)y< 4 . Hvis vi legger dem til begrep for begrep, finner vi x< 22 .

Kommentar. To ulikheter med samme betydning kan ikke trekkes fra hverandre begrep for begrep, siden resultatet kan være sant, men det kan også være feil. For eksempel hvis fra ulikheten 10 > 8 2 > 1 , da får vi riktig ulikhet 8 > 7 men hvis fra samme ulikhet 10 > 8 trekke fra ulikhet begrep for begrep 6 > 1 , så får vi en absurditet. Sammenlign neste element.

5 . Hvis a > b og c< d , deretter a - c > b - d; hvis en< b og c - d, deretter a - c< b — d , dvs. en ulikhet kan trekkes fra begrep for begrep en annen ulikhet av motsatt betydning), og etterlater tegnet på ulikheten som den andre ble trukket fra.

Eksempel 1. ulikheter 12 < 20 og 15 > 7 er sanne. Ved å trekke fra ledd for ledd det andre fra det første og forlate tegnet til det første, får vi riktig ulikhet — 3 < 13 . Ved å trekke fra ledd for ledd det første fra det andre og forlate tegnet til det andre, finner vi riktig ulikhet 3 > — 13 .

Eksempel 2. Gitt et system av ulikheter (1/2)x + (1/2)y< 18; (1/2)х — (1/2)у > 8 . Trekker vi den andre fra den første ulikheten, finner vi y< 10 .

6 . Hvis a > b og m er et positivt tall, da ma > mb og a/n > b/n, dvs. begge deler av ulikheten kan deles eller multipliseres med det samme positive tallet (ulikhetstegnet forblir det samme). a > b og n er et negativt tall, da na< nb og a/n< b/n , dvs. begge deler av ulikheten kan multipliseres eller divideres med samme negative tall, men ulikhetstegnet må reverseres.

Eksempel 1. Å dele begge sider av den sanne ulikheten 25 > 20 på 5 , får vi riktig ulikhet 5 > 4 . Hvis vi deler begge sider av ulikheten 25 > 20 på — 5 , så må du endre skiltet > på < , og da får vi riktig ulikhet — 5 < — 4 .

Eksempel 2. Fra ulikhet 2x< 12 følger det X< 6 .

Eksempel 3. Fra ulikhet -(1/3)x - (1/3)x > 4 følger det x< — 12 .

Eksempel 4. Gitt ulikheten x/k > y/l; det følger at lx > ky hvis tegn på tall l og k er det samme og det lx< ky hvis tegn på tall l og k er motsatte.

Personvernet ditt er viktig for oss. Av denne grunn har vi utviklet en personvernerklæring som beskriver hvordan vi bruker og lagrer informasjonen din. Vennligst les vår personvernerklæring og gi oss beskjed hvis du har spørsmål.

Innsamling og bruk av personopplysninger

Personopplysninger refererer til data som kan brukes til å identifisere eller kontakte en bestemt person.

Du kan bli bedt om å oppgi din personlige informasjon når som helst når du kontakter oss.

Følgende er noen eksempler på hvilke typer personopplysninger vi kan samle inn og hvordan vi kan bruke slik informasjon.

Hvilken personopplysninger samler vi inn:

  • Når du sender inn en søknad på nettstedet, kan vi samle inn ulike opplysninger, inkludert navn, telefonnummer, e-postadresse osv.

Hvordan vi bruker dine personopplysninger:

  • Personopplysningene vi samler inn lar oss kontakte deg og informere deg om unike tilbud, kampanjer og andre arrangementer og kommende arrangementer.
  • Fra tid til annen kan vi bruke din personlige informasjon til å sende deg viktige meldinger og kommunikasjoner.
  • Vi kan også bruke personopplysninger til interne formål, som å gjennomføre revisjoner, dataanalyser og ulike undersøkelser for å forbedre tjenestene vi leverer og gi deg anbefalinger angående våre tjenester.
  • Hvis du deltar i en premietrekning, konkurranse eller lignende insentiv, kan vi bruke informasjonen du gir til å administrere slike programmer.

Offentliggjøring til tredjeparter

Vi utleverer ikke informasjon mottatt fra deg til tredjeparter.

Unntak:

  • I tilfelle det er nødvendig - i samsvar med loven, rettsorden, i rettslige prosesser og / eller basert på offentlige forespørsler eller forespørsler fra statlige organer på territoriet til den russiske føderasjonen - avslør din personlige informasjon. Vi kan også avsløre informasjon om deg hvis vi fastslår at slik avsløring er nødvendig eller hensiktsmessig for sikkerhet, rettshåndhevelse eller andre formål av allmenn interesse.
  • Ved en omorganisering, fusjon eller salg kan vi overføre personopplysningene vi samler inn til den aktuelle tredjeparts etterfølgeren.

Beskyttelse av personopplysninger

Vi tar forholdsregler - inkludert administrative, tekniske og fysiske - for å beskytte din personlige informasjon mot tap, tyveri og misbruk, samt mot uautorisert tilgang, avsløring, endring og ødeleggelse.

Opprettholde personvernet ditt på bedriftsnivå

For å sikre at din personlige informasjon er sikker, kommuniserer vi personvern- og sikkerhetspraksis til våre ansatte og håndhever strengt personvernpraksis.