Avskjed

Formler for å redusere kvadratiske ligninger. Løse komplette andregradsligninger. Løse en andregradsligning

Kopyevskaya landlige ungdomsskole

10 måter å løse kvadratiske ligninger på

Leder: Patrikeeva Galina Anatolyevna,

matematikklærer

landsbyen Kopevo, 2007

1. Historie om utviklingen av andregradsligninger

1.1 Kvadratiske ligninger i det gamle Babylon

1.2 Hvordan Diophantus komponerte og løste andregradsligninger

1.3 Kvadratiske ligninger i India

1.4 Kvadratiske ligninger av al-Khorezmi

1.5 Kvadratiske ligninger i Europa XIII - XVII århundrer

1.6 Om Vietas teorem

2. Metoder for å løse andregradsligninger

Konklusjon

Litteratur

1. Historie om utviklingen av andregradsligninger

1.1 Kvadratiske ligninger i det gamle Babylon

Behovet for å løse ligninger ikke bare av første, men også av andre grad, selv i gamle tider, ble forårsaket av behovet for å løse problemer knyttet til å finne arealer av tomter og med utgravningsarbeid av militær karakter, også som med utviklingen av astronomi og matematikk selv. Kvadratiske ligninger kunne løses rundt 2000 f.Kr. e. babylonere.

Ved å bruke moderne algebraisk notasjon kan vi si at i deres kileskrifttekster er det, i tillegg til ufullstendige, slike for eksempel komplette kvadratiske ligninger:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

Regelen for å løse disse ligningene, som er angitt i de babylonske tekstene, er i hovedsak sammenfallende med den moderne, men det er ikke kjent hvordan babylonerne kom frem til denne regelen. Nesten alle kileskriftstekster som er funnet så langt gir kun problemer med løsninger lagt opp i form av oppskrifter, uten indikasjon på hvordan de ble funnet.

Til tross for det høye utviklingsnivået av algebra i Babylon, mangler kileskrifttekstene konseptet med et negativt tall og generelle metoder for å løse kvadratiske ligninger.

1.2 Hvordan Diophantus komponerte og løste andregradsligninger.

Diophantus' Aritmetikk inneholder ikke en systematisk presentasjon av algebra, men den inneholder en systematisk rekke problemer, ledsaget av forklaringer og løst ved å konstruere ligninger av ulike grader.

Når du komponerer ligninger, velger Diophantus dyktig ukjente for å forenkle løsningen.

Her er for eksempel en av oppgavene hans.

Oppgave 11."Finn to tall, vel vitende om at summen deres er 20 og produktet deres er 96"

Diophantus begrunner som følger: fra betingelsene for problemet følger det at de nødvendige tallene ikke er like, siden hvis de var like, ville deres produkt ikke være lik 96, men til 100. Dermed vil en av dem være mer enn halvparten av summen deres, dvs. 10 + x, den andre er mindre, dvs. 10-tallet. Forskjellen mellom dem 2x.

Derav ligningen:

(10 + x)(10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

Herfra x = 2. Ett av de nødvendige tallene er lik 12 , annet 8 . Løsning x = -2 for Diophantus eksisterer ikke, siden gresk matematikk bare kjente positive tall.

Hvis vi løser dette problemet ved å velge et av de nødvendige tallene som det ukjente, vil vi komme til en løsning på ligningen

y(20 - y) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

Det er klart at ved å velge halve forskjellen til de nødvendige tallene som det ukjente, forenkler Diophantus løsningen; han klarer å redusere problemet til å løse en ufullstendig andregradsligning (1).

1.3 Kvadratiske ligninger i India

ah 2+bx = c, a > 0. (1)

I ligning (1), koeffisientene, unntatt EN, kan også være negativ. Brahmaguptas styre er i hovedsak det samme som vårt.

I det gamle India var offentlige konkurranser for å løse vanskelige problemer vanlig. En av de gamle indiske bøkene sier følgende om slike konkurranser: "Som solen overstråler stjernene med sin glans, slik vil en lærd mann overstråle en annens herlighet i offentlige forsamlinger, og foreslår og løser algebraiske problemer." Problemer ble ofte presentert i poetisk form.

Dette er et av problemene til den berømte indiske matematikeren på 1100-tallet. Bhaskars.

Oppgave 13.

«En flokk med sprelske aper, og tolv langs vinrankene...

Etter å ha spist hadde myndighetene det gøy. De begynte å hoppe, henge...

Det er dem på torget, del åtte. Hvor mange aper var det?

Jeg koste meg i lysningen. Fortell meg, i denne pakken?

Bhaskaras løsning indikerer at han visste at røttene til kvadratiske ligninger er toverdier (fig. 3).

Ligningen som tilsvarer oppgave 13 er:

(x/8) 2 + 12 = x

Bhaskara skriver under dekke:

x 2 - 64x = -768

og for å fullføre venstre side av denne ligningen til kvadrat, legger du til begge sider 32 2 , så får du:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 Kvadratiske ligninger i al - Khorezmi

I den algebraiske avhandlingen til al-Khorezmi er det gitt en klassifisering av lineære og kvadratiske ligninger. Forfatteren teller 6 typer ligninger, og uttrykker dem som følger:

1) «Kvadrater er lik røtter», dvs. akse 2 + c =bX.

2) «Kvadrater er lik tall», dvs. øks 2 = c.

3) «Røttene er lik tallet», dvs. ah = s.

4) «Kvadrater og tall er lik røtter», dvs. akse 2 + c =bX.

5) «Kvadrater og røtter er lik tall», dvs. ah 2+bx= s.

6) «Røtter og tall er lik kvadrater», dvs.bx+ c = akse 2.

For al-Khorezmi, som unngikk bruken av negative tall, er vilkårene for hver av disse ligningene addisjoner og ikke subtraherbare. I dette tilfellet er det åpenbart ikke tatt hensyn til ligninger som ikke har positive løsninger. Forfatteren angir metoder for å løse disse ligningene ved å bruke teknikkene til al-jabr og al-muqabala. Hans avgjørelser er selvsagt ikke helt sammenfallende med våre. For ikke å nevne at det er rent retorisk, bør det for eksempel bemerkes at når man løser en ufullstendig andregradsligning av den første typen

al-Khorezmi, som alle matematikere før 1600-tallet, tar ikke hensyn til nullløsningen, sannsynligvis fordi det i spesifikke praktiske problemer ikke spiller noen rolle. Når du løser komplette kvadratiske ligninger, angir al-Khorezmi reglene for å løse dem ved å bruke spesielle numeriske eksempler, og deretter geometriske bevis.

Oppgave 14.«Kvadraten og tallet 21 er lik 10 røtter. Finn roten" (antyder roten av ligningen x 2 + 21 = 10x).

Forfatterens løsning er omtrent slik: del antall røtter i to, du får 5, gang 5 med seg selv, trekk 21 fra produktet, det som gjenstår er 4. Ta roten fra 4, du får 2. Trekk fra 2 fra 5 , får du 3, dette vil være ønsket rot. Eller legg til 2 til 5, som gir 7, dette er også en rot.

Avhandlingen om al-Khorezmi er den første boken som har kommet ned til oss, som systematisk setter opp klassifiseringen av kvadratiske ligninger og gir formler for løsningen deres.

1.5 Kvadratiske ligninger i EuropaXIII - XVIIbb

Formler for å løse kvadratiske ligninger på linje med al-Khwarizmi i Europa ble først satt frem i Abacus-boken, skrevet i 1202 av den italienske matematikeren Leonardo Fibonacci. Dette omfangsrike verket, som gjenspeiler påvirkningen av matematikk, både fra islams land og fra antikkens Hellas, utmerker seg ved sin fullstendighet og klarhet i presentasjonen. Forfatteren utviklet uavhengig noen nye algebraiske eksempler på å løse problemer og var den første i Europa som nærmet seg innføringen av negative tall. Boken hans bidro til spredningen av algebraisk kunnskap ikke bare i Italia, men også i Tyskland, Frankrike og andre europeiske land. Mange problemer fra Abacus-boken ble brukt i nesten alle europeiske lærebøker på 1500- og 1600-tallet. og delvis XVIII.

Den generelle regelen for å løse kvadratiske ligninger redusert til en enkelt kanonisk form:

x 2 +bx= c,

for alle mulige kombinasjoner av koeffisienttegn b, Med ble formulert i Europa først i 1544 av M. Stiefel.

Avledningen av formelen for å løse en kvadratisk ligning i generell form er tilgjengelig fra Viète, men Viète gjenkjente bare positive røtter. Italienske matematikere Tartaglia, Cardano, Bombelli var blant de første på 1500-tallet. I tillegg til positive, tas også negative røtter i betraktning. Først på 1600-tallet. Takket være arbeidet til Girard, Descartes, Newton og andre forskere, får metoden for å løse andregradsligninger en moderne form.

1.6 Om Vietas teorem

Teoremet som uttrykker forholdet mellom koeffisientene til en kvadratisk ligning og dens røtter, oppkalt etter Vieta, ble formulert av ham for første gang i 1591 som følger: "Hvis B + D, ganget med EN - EN 2 , er lik BD, Det EN er lik I og likeverdig D».

For å forstå Vieta, bør vi huske det EN, som enhver vokalbokstav, betydde det ukjente (vår X), vokaler I,D- koeffisienter for det ukjente. På språket til moderne algebra betyr Vieta-formuleringen ovenfor: hvis det finnes

(et +b)x - x 2 =ab,

x 2 - (a +b)x + ab = 0,

x 1 = a, x 2 =b.

Ved å uttrykke forholdet mellom røttene og koeffisientene til ligninger med generelle formler skrevet ved hjelp av symboler, etablerte Viète ensartethet i metodene for å løse ligninger. Imidlertid er symbolikken til Viet fortsatt langt fra sin moderne form. Han kjente ikke igjen negative tall, og derfor vurderte han, når han løste ligninger, bare tilfeller der alle røttene var positive.

2. Metoder for å løse andregradsligninger

Kvadratiske ligninger er grunnlaget som det majestetiske byggverket til algebra hviler på. Kvadratiske ligninger er mye brukt for å løse trigonometriske, eksponentielle, logaritmiske, irrasjonelle og transcendentale ligninger og ulikheter. Vi vet alle hvordan vi løser andregradsligninger fra skolen (8. klasse) til eksamen.

Yakupova M.I. 1

Smirnova Yu.V. 1

1 Kommunal budsjettutdanningsinstitusjon ungdomsskole nr. 11

Teksten til verket er lagt ut uten bilder og formler.
Den fullstendige versjonen av verket er tilgjengelig i fanen "Arbeidsfiler" i PDF-format

Andregradsligningers historie

Babylon

Behovet for å løse ligninger ikke bare av første grad, men også av andre, i antikken var forårsaket av behovet for å løse problemer knyttet til å finne arealer av landtomter, med utviklingen av astronomi og matematikk i seg selv. Kvadratiske ligninger kunne løses rundt 2000 f.Kr. e. babylonere. Reglene for å løse disse ligningene som er satt opp i de babylonske tekstene er i hovedsak de samme som moderne, men disse tekstene mangler konseptet med et negativt tall og generelle metoder for å løse kvadratiske ligninger.

Antikkens Hellas

I antikkens Hellas jobbet også forskere som Diophantus, Euclid og Heron med å løse andregradsligninger. Diophantus Diophantus av Alexandria er en gammel gresk matematiker som antagelig levde i det 3. århundre e.Kr. Hovedverket til Diophantus er "Aritmetikk" i 13 bøker. Euklid. Euklid er en gammel gresk matematiker, forfatteren av den første teoretiske avhandlingen om matematikk som har kommet ned til oss, Heron. Heron - gresk matematiker og ingeniør først i Hellas i det 1. århundre e.Kr. gir en rent algebraisk måte å løse en andregradsligning på

India

Problemer med kvadratiske ligninger finnes allerede i den astronomiske avhandlingen "Aryabhattiam", kompilert i 499 av den indiske matematikeren og astronomen Aryabhatta. En annen indisk vitenskapsmann, Brahmagupta (VII århundre), skisserte den generelle regelen for å løse kvadratiske ligninger redusert til en enkelt kanonisk form: ax2 + bx = c, a> 0. (1) I ligning (1) kan koeffisientene være negative. Brahmaguptas styre er i hovedsak det samme som vårt. Offentlige konkurranser for å løse vanskelige problemer var vanlig i India. En av de gamle indiske bøkene sier følgende om slike konkurranser: «Som solen overstråler stjernene med sin glans, slik vil en lærd mann overstråle sin herlighet i offentlige forsamlinger ved å foreslå og løse algebraiske problemer.» Problemer ble ofte presentert i poetisk form.

Dette er et av problemene til den berømte indiske matematikeren på 1100-tallet. Bhaskars.

«En flokk med frekke aper

Og tolv langs vinstokkene hadde det gøy, etter å ha spist av hjertens lyst

De begynte å hoppe, hengende

Del åtte av dem er kvadratisk

Hvor mange aper var det?

Jeg koste meg i lysningen

Fortell meg, i denne pakken?

Bhaskaras løsning indikerer at forfatteren visste at røttene til kvadratiske ligninger er to-verdier. Bhaskar skriver ligningen som tilsvarer oppgaven som x2 - 64x = - 768, og for å fullføre venstre side av denne ligningen til et kvadrat, legger han til 322 på begge sider, og får deretter: x2 - b4x + 322 = -768 + 1024 , (x - 32)2 = 256, x - 32 = ±16, x1 = 16, x2 = 48.

Kvadratiske ligninger i Europa på 1600-tallet

Formler for å løse kvadratiske ligninger modellert etter Al-Khorezmi i Europa ble først satt frem i Abacus-boken, skrevet i 1202 av den italienske matematikeren Leonardo Fibonacci. Dette omfangsrike verket, som gjenspeiler påvirkningen av matematikk, både fra islams land og fra antikkens Hellas, utmerker seg ved sin fullstendighet og klarhet i presentasjonen. Forfatteren utviklet uavhengig noen nye algebraiske eksempler på å løse problemer og var den første i Europa som nærmet seg innføringen av negative tall. Boken hans bidro til spredningen av algebraisk kunnskap ikke bare i Italia, men også i Tyskland, Frankrike og andre europeiske land. Mange problemer fra Abacus-boken ble brukt i nesten alle europeiske lærebøker på 1500- og 1600-tallet. og delvis XVIII. Avledningen av formelen for å løse en kvadratisk ligning i generell form er tilgjengelig fra Viète, men Viète gjenkjente bare positive røtter. Italienske matematikere Tartaglia, Cardano, Bombelli var blant de første på 1500-tallet. I tillegg til positive, tas også negative røtter i betraktning. Først på 1600-tallet. Takket være arbeidet til Girard, Descartes, Newton og andre forskere, får metoden for å løse andregradsligninger en moderne form.

Definisjon av en andregradsligning

En likning av formen ax 2 + bx + c = 0, der a, b, c er tall, kalles kvadratisk.

Kvadratiske ligningskoeffisienter

Tallene a, b, c er koeffisientene til den kvadratiske ligningen a er den første koeffisienten (før x²), a ≠ 0 b er den andre koeffisienten (før x).

Hvilke av disse ligningene er ikke kvadratiske??

1. 4x² + 4x + 1 = 0;2. 5x - 7 = 0;3. - x² - 5x - 1 = 0;4. 2/x² + 3x + 4 = 0;5. ¼ x² - 6x + 1 = 0;6. 2x² = 0;

7. 4x² + 1 = 0;8. x² - 1/x = 0;9. 2x² - x = 0;10. x² -16 = 0;11. 7x² + 5x = 0;12. -8x²= 0;13. 5x³ +6x -8= 0.

Typer andregradsligninger

Navn	Generell form for ligningen	Funksjon (hva er koeffisientene)	Eksempler på ligninger
	ax 2 + bx + c = 0	a, b, c - andre tall enn 0	1/3x 2 + 5x - 1 = 0
Ufullstendig

			x 2 - 1/5x = 0
Gitt	x 2 + bx + c = 0		x 2 - 3x + 5 = 0

Redusert er en kvadratisk ligning der den ledende koeffisienten er lik én. En slik ligning kan fås ved å dele hele uttrykket med den ledende koeffisienten en:

x 2 + px + q =0, p = b/a, q = c/a

En andregradsligning kalles fullstendig hvis alle koeffisientene ikke er null.

En andregradsligning kalles ufullstendig der minst én av koeffisientene, bortsett fra den ledende (enten den andre koeffisienten eller frileddet), er lik null.

Metoder for å løse andregradsligninger

Metode I Generell formel for beregning av røtter

For å finne røttene til en andregradsligning øks 2 + b + c = 0 Generelt bør du bruke algoritmen nedenfor:

Regn ut verdien av diskriminanten til en kvadratisk ligning: dette er uttrykket for den D= b 2 - 4ac

Utledning av formelen:

Merk: Det er åpenbart at formelen for en rot av multiplisitet 2 er et spesialtilfelle av den generelle formelen, oppnådd ved å erstatte likheten D=0 i den, og konklusjonen om fraværet av reelle røtter ved D0, og (displaystyle (sqrt ( -1))=i) = i.

Den presenterte metoden er universell, men den er langt fra den eneste. Å løse en enkelt ligning kan tilnærmes på en rekke måter, med preferanser vanligvis avhengig av løseren. I tillegg, ofte for dette formålet, viser noen av metodene seg å være mye mer elegante, enkle og mindre arbeidskrevende enn standarden.

Metode II. Røttene til en andregradsligning med en jevn koeffisient b III metode. Løse ufullstendige andregradsligninger

IV metode. Bruke partielle forhold av koeffisienter

Det er spesielle tilfeller av kvadratiske ligninger der koeffisientene er i forhold til hverandre, noe som gjør dem mye lettere å løse.

Røttene til en kvadratisk ligning der summen av den ledende koeffisienten og frileddet er lik den andre koeffisienten

Hvis i en andregradsligning øks 2 + bx + c = 0 summen av den første koeffisienten og frileddet er lik den andre koeffisienten: a+b=c, da er røttene -1 og tallet motsatt av forholdet mellom frileddet og ledende koeffisient ( -c/a).

Derfor, før du løser en annengradsligning, bør du sjekke muligheten for å bruke denne teoremet på den: sammenlign summen av den ledende koeffisienten og det frie leddet med den andre koeffisienten.

Røttene til en andregradsligning hvis sum av alle koeffisienter er null

Hvis summen av alle koeffisientene i en kvadratisk ligning er null, er røttene til en slik ligning 1 og forholdet mellom det frie leddet og den ledende koeffisienten ( c/a).

Derfor, før du løser en ligning ved hjelp av standardmetoder, bør du sjekke anvendeligheten til denne teoremet på den: legg sammen alle koeffisientene til denne ligningen og se om denne summen ikke er lik null.

V metode. Faktorering av et kvadratisk trinomium i lineære faktorer

Hvis trinomialet er av formen (visningsstil ax^(2)+bx+c(anot =0))ax 2 + bx + c(a ≠ 0) kan på en eller annen måte representeres som et produkt av lineære faktorer (visningsstil (kx+m)(lx+n)=0)(kx + m)(lx + n), så kan vi finne røttene til ligningen øks 2 + bx + c = 0- de vil være -m/k og n/l, tross alt (visningsstil (kx+m)(lx+n)=0Langvenstrepil kx+m=0kopp lx+n=0)(kx + m)(lx + n) = 0 kx + mUlx + n, og etter å ha løst de indikerte lineære ligningene, får vi ovenstående. Merk at det kvadratiske trinomialet ikke alltid dekomponeres til lineære faktorer med reelle koeffisienter: dette er mulig hvis den tilsvarende ligningen har reelle røtter.

La oss vurdere noen spesielle tilfeller

Bruke formelen for kvadratsum (forskjell).

Hvis det kvadratiske trinomialet har formen (visningsstil (ax)^(2)+2abx+b^(2))ax 2 + 2abx + b 2 , så ved å bruke formelen ovenfor på det, kan vi faktorere det inn i lineære faktorer og finn derfor røtter:

(ax) 2 + 2abx + b 2 = (ax + b) 2

Isolere hele kvadratet av summen (forskjell)

Formelen ovenfor brukes også ved å bruke en metode som kalles "velge hele kvadratet av summen (forskjellen)." I forhold til den ovennevnte kvadratiske ligningen med den tidligere introduserte notasjonen, betyr dette følgende:

Merk: Hvis du legger merke til, faller denne formelen sammen med den som er foreslått i avsnittet "Røttene til den reduserte kvadratiske ligningen", som igjen kan fås fra den generelle formelen (1) ved å erstatte likheten a=1. Dette faktum er ikke bare en tilfeldighet: Ved å bruke den beskrevne metoden, om enn med noen ekstra resonnement, kan man utlede en generell formel og også bevise egenskapene til diskriminanten.

VI metode. Ved å bruke den direkte og inverse Vieta-setningen

Vietas direkte teorem (se nedenfor i avsnittet med samme navn) og dens inverse teorem lar deg løse de ovennevnte kvadratiske ligningene muntlig, uten å ty til ganske tungvinte beregninger ved å bruke formel (1).

I følge det omvendte teoremet er hvert par av tall (tall) (visningsstil x_(1),x_(2))x 1, x 2, som er en løsning på ligningssystemet nedenfor, røttene til ligningen

I det generelle tilfellet, det vil si for en ikke-redusert kvadratisk ligning ax 2 + bx + c = 0

x 1 + x 2 = -b/a, x 1 * x 2 = c/a

Et direkte teorem vil hjelpe deg med å finne tall som tilfredsstiller disse ligningene muntlig. Med dens hjelp kan du bestemme tegnene på røttene uten å kjenne røttene selv. For å gjøre dette, bør du følge regelen:

1) hvis frileddet er negativt, har røttene forskjellige fortegn, og den største i absoluttverdi av røttene har et fortegn motsatt tegnet til den andre koeffisienten i ligningen;

2) hvis frileddet er positivt, har begge røttene samme fortegn, og dette er tegnet motsatt av tegnet til den andre koeffisienten.

VII metode. Overføringsmetode

Den såkalte "overføringsmetoden" lar deg redusere løsningen av ikke-reduserte og irreduserbare ligninger til form av reduserte ligninger med heltallskoeffisienter ved å dele dem med den ledende koeffisienten til løsningen av reduserte ligninger med heltallskoeffisienter. Det er som følger:

Deretter løses ligningen muntlig på måten beskrevet ovenfor, så går de tilbake til den opprinnelige variabelen og finner røttene til ligningene (visningsstil y_(1)=ax_(1)) y 1 =øks 1 Og y 2 =øks 2 .(displaystyle y_(2)=ax_(2))

Geometrisk betydning

Grafen til en kvadratisk funksjon er en parabel. Løsningene (røttene) til en kvadratisk ligning er abscissen til skjæringspunktene mellom parabelen og abscisseaksen. Hvis parabelen beskrevet av en kvadratisk funksjon ikke skjærer x-aksen, har ligningen ingen reelle røtter. Hvis en parabel skjærer x-aksen i ett punkt (ved toppunktet til parablen), har ligningen én reell rot (likningen sies også å ha to sammenfallende røtter). Hvis parabelen skjærer x-aksen i to punkter, har ligningen to reelle røtter (se bildet til høyre.)

Hvis koeffisient (visningsstil a) en positiv, grenene til parablen er rettet oppover og omvendt. Hvis koeffisienten (visningsstil b) bpositiv (hvis positiv (visningsstil a) en, hvis negativ, omvendt), så ligger toppunktet til parablen i venstre halvplan og omvendt.

Anvendelse av andregradsligninger i livet

Den kvadratiske ligningen er mye brukt. Det brukes i mange beregninger, strukturer, sport, og også rundt oss.

La oss vurdere og gi noen eksempler på anvendelsen av den kvadratiske ligningen.

Sport. Høye hopp: under hopperens oppkjøring brukes beregninger knyttet til parabelen for å oppnå klarest mulig innvirkning på startstangen og høyflyging.

Også lignende beregninger er nødvendig i kasting. Flyrekkevidden til et objekt avhenger av kvadratisk ligning.

Astronomi. Banen til planetene kan bli funnet ved hjelp av en kvadratisk ligning.

Flyreise. Flyavgang er hovedkomponenten i flygingen. Her tar vi beregningen for lav motstand og akselerasjon av start.

Kvadratiske ligninger brukes også i ulike økonomiske disipliner, i programmer for prosessering av lyd-, video-, vektor- og rastergrafikk.

Konklusjon

Som et resultat av arbeidet som ble gjort, viste det seg at kvadratiske ligninger tiltrakk seg forskere tilbake i gamle tider, de hadde allerede møtt dem når de løste noen problemer og prøvde å løse dem. Når jeg så på forskjellige måter å løse andregradsligninger på, kom jeg til den konklusjonen at ikke alle er enkle. Etter min mening er den beste måten å løse andregradsligninger på å løse dem ved hjelp av formler. Formlene er enkle å huske, denne metoden er universell. Hypotesen om at ligninger er mye brukt i livet og matematikken ble bekreftet. Etter å ha studert emnet, lærte jeg mange interessante fakta om kvadratiske ligninger, deres bruk, anvendelse, typer, løsninger. Og jeg vil gjerne fortsette å studere dem. Jeg håper dette vil hjelpe meg med å gjøre det bra på eksamenene mine.

Liste over brukt litteratur

Materialer på nettstedet:

Wikipedia

Åpen leksjon.rf

Håndbok i elementær matematikk Vygodsky M. Ya.

En andregradsligning, eller algebraisk ligning av 2. grad med en ukjent, i generell form er skrevet som følger:

Axe 2 + bx + c = 0,

a, b, c er kjente koeffisienter, og a ≠ 0.
x er ukjent.

3x 2 + 8x - 5 = 0.

2. Typer andregradsligninger

Å dele begge sider av ligningen med en, vi får redusert andregradsligning:

x 2 + px + q = 0,

p = b/a
q = c/a

Hvis en av koeffisientene b, c eller begge er lik 0 samtidig, da en andregradsligning kalles ufullstendig.

x 2 +8x-5=0 er en fullstendig redusert kvadratisk ligning.
3x 2 -5=0 er ikke en fullstendig uredusert kvadratisk ligning.
x 2 -8x=0 er ikke en fullstendig redusert kvadratisk ligning.

Ufullstendig andregradsligning av formen

X 2 = m

det enkleste og viktigste, fordi løsningen av en annengradsligning reduseres til den.

Tre tilfeller er mulige:

m = 0, x = 0
m > 0, x = ±√‾m
m< 0, x = ±i√‾m. Где i — мнимая единица, равная √‾-1.

3. Løse en andregradsligning

Røttene til en ikke-redusert komplett kvadratisk ligning finnes av formelen

x = (-b ± √‾(b 2 - 4ac)) / 2a

x = (7 ± √‾(1)) / 6

4. Egenskaper til røttene til en andregradsligning. Diskriminerende.

I henhold til formelen for røttene til en kvadratisk ligning kan det være tre tilfeller, bestemt av det radikale uttrykket (b 2 - 4ac). Det heter diskriminerende(diskriminerende).

Ved å betegne diskriminanten med bokstaven D, kan vi skrive:

D > 0, ligningen har to forskjellige reelle røtter.
D = 0, ligningen har to like reelle røtter.
D< 0, уравнение имеет два различных мнимых корня.

x = (-b ± √‾(b 2 - 4ac)) / 2a

x = (7 ± √‾(7 2 - 4×3×4)) / (2×3)

x = (7 ± √‾(1)) / 6

5. Formler nyttige i livet

Ofte er det problemer med å konvertere volum til areal eller lengde og det omvendte problemet - å konvertere areal til volum. For eksempel selges brett i kuber (kubikkmeter), og vi må beregne hvor mye veggareal som kan dekkes med brett inneholdt i et visst volum, se.

Kvadratiske ligninger. Diskriminerende. Løsning, eksempler.

Merk følgende!
Det er flere
materialer i spesialseksjon 555.
For de som er veldig "ikke veldig..."
Og for de som "veldig mye...")

Typer andregradsligninger

Hva er en andregradsligning? Hvordan ser det ut? På sikt kvadratisk ligning nøkkelordet er "torget". Dette betyr at i ligningen Nødvendigvis det må være en x-kvadrat. I tillegg til det kan ligningen (eller kanskje ikke!) inneholde bare X (til første potens) og bare et tall (gratis medlem). Og det skal ikke være noen X-er til en potens større enn to.

I matematiske termer er en andregradsligning en ligning av formen:

Her a, b og c- noen tall. b og c- absolutt alle, men EN– noe annet enn null. For eksempel:

Her EN =1; b = 3; c = -4

Her EN =2; b = -0,5; c = 2,2

Her EN =-3; b = 6; c = -18

Vel, du forstår...

I disse kvadratiske ligningene til venstre er det fult sett medlemmer. X kvadrat med en koeffisient EN, x til første potens med koeffisient b Og gratis medlem s.

Slike andregradsligninger kalles full.

Og hvis b= 0, hva får vi? Vi har X vil gå tapt til første potens. Dette skjer når multiplisert med null.) Det viser seg for eksempel:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x=0,

-x 2 +4x=0

Og så videre. Og hvis begge koeffisientene b Og c er lik null, så er det enda enklere:

2x 2 =0,

-0,3x2 =0

Slike ligninger der noe mangler kalles ufullstendige andregradsligninger. Noe som er ganske logisk.) Vær oppmerksom på at x kvadrat er tilstede i alle ligninger.

Forresten, hvorfor EN kan ikke være lik null? Og du erstatter i stedet EN null.) Vår X-kvadrat vil forsvinne! Ligningen vil bli lineær. Og løsningen er en helt annen...

Det er alle hovedtypene av kvadratiske ligninger. Fullstendig og ufullstendig.

Løse andregradsligninger.

Løse komplette andregradsligninger.

Kvadratiske ligninger er enkle å løse. Etter formler og klare, enkle regler. På det første trinnet er det nødvendig å bringe den gitte ligningen til en standardform, dvs. til skjemaet:

Hvis ligningen allerede er gitt til deg i dette skjemaet, trenger du ikke å gjøre det første trinnet.) Det viktigste er å bestemme alle koeffisientene riktig, EN, b Og c.

Formelen for å finne røttene til en kvadratisk ligning ser slik ut:

Uttrykket under rottegnet kalles diskriminerende. Men mer om ham nedenfor. Som du kan se, bruker vi for å finne X bare a, b og c. De. koeffisienter fra en andregradsligning. Bare bytt ut verdiene forsiktig a, b og c Vi regner inn i denne formelen. La oss erstatte med dine egne tegn! For eksempel, i ligningen:

EN =1; b = 3; c= -4. Her skriver vi det ned:

Eksemplet er nesten løst:

Dette er svaret.

Alt er veldig enkelt. Og hva, tror du det er umulig å gjøre en feil? Vel, ja, hvordan...

De vanligste feilene er forveksling med tegnverdier a, b og c. Eller rettere sagt, ikke med deres tegn (hvor skal man bli forvirret?), men med erstatning av negative verdier i formelen for å beregne røttene. Det som hjelper her er en detaljert registrering av formelen med spesifikke tall. Hvis det er problemer med beregninger, gjør det!

Anta at vi må løse følgende eksempel:

Her en = -6; b = -5; c = -1

La oss si at du vet at du sjelden får svar første gang.

Vel, ikke vær lat. Det vil ta omtrent 30 sekunder å skrive en ekstra linje og antall feil vil avta kraftig. Så vi skriver i detalj, med alle parenteser og tegn:

Det virker utrolig vanskelig å skrive ut så nøye. Men det virker bare slik. Gi det et forsøk. Vel, eller velg. Hva er bedre, raskt eller riktig? Dessuten skal jeg gjøre deg glad. Etter en stund vil det ikke være nødvendig å skrive ned alt så nøye. Det vil gå rett av seg selv. Spesielt hvis du bruker praktiske teknikker som er beskrevet nedenfor. Dette onde eksemplet med en haug med minuser kan løses enkelt og uten feil!

Men ofte ser andregradsligninger litt annerledes ut. For eksempel slik:

Kjente du det igjen?) Ja! Dette ufullstendige andregradsligninger.

Løse ufullstendige andregradsligninger.

De kan også løses ved hjelp av en generell formel. Du trenger bare å forstå riktig hva de er lik her. a, b og c.

Har du funnet ut av det? I det første eksemplet a = 1; b = -4; EN c? Det er ikke der i det hele tatt! Vel ja, det stemmer. I matematikk betyr dette det c = 0 ! Det er alt. Bytt inn null i formelen i stedet c, og vi vil lykkes. Samme med det andre eksemplet. Bare vi har ikke null her Med, A b !

Men ufullstendige andregradsligninger kan løses mye enklere. Uten noen formler. La oss vurdere den første ufullstendige ligningen. Hva kan du gjøre på venstre side? Du kan ta X ut av parentes! La oss ta den ut.

Og hva fra dette? Og det faktum at produktet er lik null hvis og bare hvis noen av faktorene er lik null! Tro meg ikke? Ok, kom så opp med to tall som ikke er null som, når multiplisert, vil gi null!
Virker ikke? Det er det...
Derfor kan vi trygt skrive: x 1 = 0, x 2 = 4.

Alle. Dette vil være røttene til ligningen vår. Begge egner seg. Når du erstatter noen av dem i den opprinnelige ligningen, får vi riktig identitet 0 = 0. Som du kan se er løsningen mye enklere enn å bruke den generelle formelen. La meg merke, forresten, hvilken X vil være den første og hvilken som vil være den andre - helt likegyldig. Det er praktisk å skrive i rekkefølge, x 1- hva er mindre og x 2- det som er større.

Den andre ligningen kan også løses enkelt. Flytt 9 til høyre side. Vi får:

Alt som gjenstår er å trekke ut roten fra 9, og det er det. Det vil vise seg:

Også to røtter . x 1 = -3, x 2 = 3.

Slik løses alle ufullstendige andregradsligninger. Enten ved å plassere X utenfor parentes, eller ved å flytte tallet til høyre og deretter trekke ut roten.
Det er ekstremt vanskelig å forveksle disse teknikkene. Rett og slett fordi du i det første tilfellet må trekke ut roten til X, som på en eller annen måte er uforståelig, og i det andre tilfellet er det ingenting å ta ut av parentes...

Diskriminerende. Diskriminerende formel.

Magisk ord diskriminerende ! Sjelden en videregående elev har ikke hørt dette ordet! Uttrykket "vi løser gjennom en diskriminant" inspirerer til tillit og trygghet. For det er ingen grunn til å forvente triks fra diskriminanten! Det er enkelt og problemfritt å bruke.) Jeg minner deg om den mest generelle formelen for løsning noen andregradsligninger:

Uttrykket under rottegnet kalles en diskriminant. Vanligvis er diskriminanten angitt med bokstaven D. Diskriminerende formel:

D = b 2 - 4ac

Og hva er det som er så bemerkelsesverdig med dette uttrykket? Hvorfor fortjente den et spesielt navn? Hva betydningen av diskriminanten? Tross alt -b, eller 2a i denne formelen kaller de det ikke noe spesifikt... Bokstaver og bokstaver.

Her er greia. Når du løser en andregradsligning ved hjelp av denne formelen, er det mulig bare tre tilfeller.

1. Diskriminanten er positiv. Dette betyr at roten kan trekkes ut fra den. Om roten trekkes ut godt eller dårlig er et annet spørsmål. Det som er viktig er det som trekkes ut i prinsippet. Da har andregradsligningen din to røtter. To forskjellige løsninger.

2. Diskriminanten er null. Da har du én løsning. Siden det å legge til eller trekke fra null i telleren ikke endrer noe. Dette er strengt tatt ikke én rot, men to like. Men i en forenklet versjon er det vanlig å snakke om én løsning.

3. Diskriminanten er negativ. Kvadratroten av et negativt tall kan ikke tas. Vel ok. Dette betyr at det ikke finnes noen løsninger.

For å være ærlig, når man bare løser kvadratiske ligninger, er konseptet med en diskriminant egentlig ikke nødvendig. Vi erstatter verdiene til koeffisientene i formelen og teller. Alt skjer der av seg selv, to røtter, en og ingen. Men når du løser mer komplekse oppgaver, uten kunnskap betydningen og formelen til diskriminanten ikke nok. Spesielt i likninger med parametere. Slike ligninger er kunstflyvning for statseksamen og enhetlig statlig eksamen!)

Så, hvordan løse andregradsligninger gjennom diskriminanten du husket. Eller du lærte, noe som heller ikke er dårlig.) Du vet hvordan du skal bestemme riktig a, b og c. Vet du hvordan? oppmerksomt erstatte dem med rotformelen og oppmerksomt telle resultatet. Du forstår at nøkkelordet her er oppmerksomt?

Legg nå merke til praktiske teknikker som dramatisk reduserer antallet feil. De samme som skyldes uoppmerksomhet... Som det senere blir smertefullt og støtende for...

Første avtale . Ikke vær lat før du løser en kvadratisk ligning og bring den til standardform. Hva betyr dette?
La oss si at etter alle transformasjonene får du følgende ligning:

Ikke skynd deg å skrive rotformelen! Du vil nesten helt sikkert blande oddsene sammen a, b og c. Konstruer eksemplet riktig. Først X i annen, så uten kvadrat, deretter frileddet. Som dette:

Og igjen, ikke skynd deg! Et minus foran en X-kvadrat kan virkelig opprøre deg. Det er lett å glemme... Bli kvitt minuset. Hvordan? Ja, som lært i forrige emne! Vi må gange hele ligningen med -1. Vi får:

Men nå kan du trygt skrive ned formelen for røttene, beregne diskriminanten og fullføre løsningen av eksemplet. Bestem selv. Du bør nå ha røtter 2 og -1.

Mottak nummer to. Sjekk røttene! I følge Vietas teorem. Ikke vær redd, jeg skal forklare alt! Sjekker siste ting ligningen. De. den vi brukte til å skrive ned rotformelen. Hvis (som i dette eksemplet) koeffisienten a = 1, er det enkelt å sjekke røttene. Det er nok å multiplisere dem. Resultatet skal være et gratis medlem, dvs. i vårt tilfelle -2. Vær oppmerksom på, ikke 2, men -2! Gratis medlem med skiltet ditt . Hvis det ikke fungerer, betyr det at de allerede har ødelagt et sted. Se etter feilen.

Hvis det fungerer, må du legge til røttene. Siste og siste sjekk. Koeffisienten skal være b Med motsatte velkjent. I vårt tilfelle -1+2 = +1. En koeffisient b, som er før X, er lik -1. Så alt stemmer!
Det er synd at dette er så enkelt bare for eksempler der x i andre er rent, med en koeffisient a = 1. Men sjekk i det minste inn slike ligninger! Det blir færre og færre feil.

Mottak tredje . Hvis ligningen din har brøkkoeffisienter, bli kvitt brøkene! Multipliser likningen med en fellesnevner som beskrevet i leksjonen "Hvordan løser likninger? Identitetstransformasjoner." Når du arbeider med brøker, fortsetter feilene å snike seg inn av en eller annen grunn...

Forresten, jeg lovet å forenkle det onde eksemplet med en haug med minuser. Vær så snill! Her er han.

For ikke å bli forvirret av minusene multipliserer vi ligningen med -1. Vi får:

Det er alt! Å løse er en fornøyelse!

Så, la oss oppsummere emnet.

Praktiske tips:

1. Før vi løser, bringer vi andregradsligningen til standardform og bygger den Ikke sant.

2. Hvis det er en negativ koeffisient foran X-en i annen, eliminerer vi den ved å multiplisere hele ligningen med -1.

3. Hvis koeffisientene er brøker, eliminerer vi brøkene ved å multiplisere hele ligningen med den tilsvarende faktoren.

4. Hvis x i andre er ren, er koeffisienten lik én, løsningen kan enkelt verifiseres ved å bruke Vietas teorem. Gjør det!

Nå kan vi bestemme oss.)

Løs ligninger:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

Svar (i uorden):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1,2 =2

x 1 = 2
x 2 = -0,5

x - et hvilket som helst tall

x 1 = -3
x 2 = 3

ingen løsninger

x 1 = 0,25
x 2 = 0,5

Passer alt? Flott! Kvadratiske ligninger er ikke din hodepine. De tre første fungerte, men resten gjorde det ikke? Da er ikke problemet med andregradsligninger. Problemet er i identiske transformasjoner av ligninger. Ta en titt på linken, den er nyttig.

Går det ikke helt opp? Eller går det ikke i det hele tatt? Da vil seksjon 555 hjelpe deg. Alle disse eksemplene er brutt ned der. Vist hoved- feil i løsningen. Vi snakker selvfølgelig også om bruken av identiske transformasjoner for å løse ulike ligninger. Hjelper mye!

Hvis du liker denne siden...

Forresten, jeg har et par flere interessante nettsteder for deg.)

Du kan trene på å løse eksempler og finne ut nivået ditt. Testing med umiddelbar verifisering. La oss lære - med interesse!)

Du kan bli kjent med funksjoner og derivater.

Grafen til en kvadratisk funksjon er en parabel. Løsningene (røttene) til en kvadratisk ligning er skjæringspunktene mellom parabelen og x-aksen. Hvis parabelen beskrevet av en kvadratisk funksjon ikke skjærer x-aksen, har ligningen ingen reelle røtter. Hvis en parabel skjærer x-aksen i ett punkt (toppunktet til parablen), har ligningen én reell rot (likningen sies også å ha to sammenfallende røtter). Hvis en parabel skjærer x-aksen i to punkter, har ligningen to reelle røtter.

Hvis koeffisienten EN positiv, er grenene til parablen rettet oppover, hvis de er negative, er grenene til parablen rettet nedover. Hvis koeffisienten b er positiv, ligger toppunktet til parabelen i venstre halvplan, hvis negativ - i høyre halvplan.

Utledning av formelen for å løse en andregradsligning

Formelen for å løse en kvadratisk ligning kan fås som følger:

en x 2 + b x+ c = 0
en x 2 + b x = - c

Multipliser ligningen med 4 en

4en 2 x 2 + 4 ab x = -4 ac
4en 2 x 2 + 4 ab x+ b 2 = -4ac + b 2
(2en x+ b) 2 = b 2 -4ac
2en x+ b= ±$\sqrt(b^2-4 a c)$

Finne røttene til en andregradsligning

En kvadratisk ligning med reelle koeffisienter kan ha fra 0 til 2 reelle røtter avhengig av verdien av diskriminanten D = b 2 − 4ac:

for D > 0 er det to røtter, og de beregnes med formelen
for D = 0 er det én rot (to like eller sammenfallende røtter), multiplisitet 2: