Hvordan finne røttene til en kvadratisk ligning. Online kalkulator. Løse en andregradsligning

Vi fortsetter å studere temaet løsning av ligninger". Vi har allerede blitt kjent med lineære ligninger og nå skal vi bli kjent med andregradsligninger.

Først vil vi diskutere hva en andregradsligning er, hvordan den skrives i generell form, og gi relaterte definisjoner. Etter det, ved hjelp av eksempler, vil vi analysere i detalj hvordan ufullstendige kvadratiske ligninger løses. La oss deretter gå videre til å løse komplette ligninger, få formelen for røttene, bli kjent med diskriminanten til en kvadratisk ligning og vurdere løsninger på typiske eksempler. Til slutt sporer vi sammenhengene mellom røtter og koeffisienter.

Sidenavigering.

Hva er en andregradsligning? Typene deres

Først må du forstå hva en kvadratisk ligning er. Derfor er det logisk å begynne å snakke om andregradsligninger med definisjonen av en andregradsligning, samt definisjoner knyttet til den. Etter det kan du vurdere hovedtypene kvadratiske ligninger: reduserte og ikke-reduserte, samt komplette og ufullstendige ligninger.

Definisjon og eksempler på andregradsligninger

Definisjon.

Kvadratisk ligning er en formlikning a x 2 +b x+c=0, hvor x er en variabel, a , b og c er noen tall, og a er forskjellig fra null.

La oss si med en gang at andregradsligninger ofte kalles andregradsligninger. Dette er fordi andregradsligningen er algebraisk ligning andre grad.

Den lydde definisjonen lar oss gi eksempler på andregradsligninger. Så 2 x 2 +6 x+1=0, 0,2 x 2 +2,5 x+0,03=0, osv. er andregradsligninger.

Definisjon.

Tall a, b og c kalles koeffisientene til den kvadratiske ligningen a x 2 + b x + c \u003d 0, og koeffisienten a kalles den første, eller senior, eller koeffisienten ved x 2, b er den andre koeffisienten, eller koeffisienten ved x, og c er et fritt medlem.

La oss for eksempel ta en andregradsligning av formen 5 x 2 −2 x−3=0, her er den ledende koeffisienten 5, den andre koeffisienten er −2, og frileddet er −3. Legg merke til at når koeffisientene b og/eller c er negative, som i eksemplet nettopp gitt, brukes den korte formen av den kvadratiske ligningen på formen 5 x 2 −2 x−3=0, ikke 5 x 2 +(− 2 )x+(−3)=0 .

Det er verdt å merke seg at når koeffisientene a og / eller b er lik 1 eller −1, er de vanligvis ikke eksplisitt tilstede i notasjonen til den kvadratiske ligningen, noe som skyldes særegenhetene ved notasjonen til slike . For eksempel, i den andregradsligningen y 2 −y+3=0, er den ledende koeffisienten én, og koeffisienten ved y er −1.

Reduserte og ikke-reduserte kvadratiske ligninger

Avhengig av verdien av den ledende koeffisienten, skilles reduserte og ikke-reduserte kvadratiske ligninger. La oss gi de tilsvarende definisjonene.

Definisjon.

En annengradsligning der den ledende koeffisienten er 1 kalles redusert andregradsligning. Ellers er andregradsligningen ikke redusert.

I følge denne definisjonen vil kvadratiske ligninger x 2 −3 x+1=0 , x 2 −x−2/3=0, etc. - redusert, i hver av dem er den første koeffisienten lik en. Og 5 x 2 −x−1=0 osv. - ikke-reduserte kvadratiske ligninger, deres ledende koeffisienter er forskjellige fra 1 .

Fra enhver ikke-redusert kvadratisk ligning, ved å dele begge delene med den ledende koeffisienten, kan du gå til den reduserte. Denne handlingen er en ekvivalent transformasjon, det vil si at den reduserte kvadratiske ligningen oppnådd på denne måten har de samme røttene som den opprinnelige ikke-reduserte kvadratiske ligningen, eller har ingen røtter.

La oss ta et eksempel på hvordan overgangen fra en ikke-redusert andregradsligning til en redusert utføres.

Eksempel.

Fra ligningen 3 x 2 +12 x−7=0, gå til den tilsvarende reduserte andregradsligningen.

Løsning.

Det er nok for oss å dele begge deler av den opprinnelige ligningen med den ledende koeffisienten 3, den er ikke-null, så vi kan utføre denne handlingen. Vi har (3 x 2 +12 x−7):3=0:3 , som er det samme som (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0 , og så videre (3 :3) x 2 +(12:3) x−7:3=0 , hvorfra . Så vi fikk den reduserte andregradsligningen, som tilsvarer den opprinnelige.

Svar:

Fullstendige og ufullstendige andregradsligninger

Det er en betingelse a≠0 i definisjonen av en andregradsligning. Denne betingelsen er nødvendig for at ligningen a x 2 +b x+c=0 skal være nøyaktig kvadratisk, siden den med a=0 faktisk blir en lineær ligning av formen b x+c=0 .

Når det gjelder koeffisientene b og c, kan de være lik null, både hver for seg og sammen. I disse tilfellene kalles andregradsligningen ufullstendig.

Definisjon.

Andregradsligningen a x 2 +b x+c=0 kalles ufullstendig, hvis minst én av koeffisientene b , c er lik null.

I sin tur

Definisjon.

Fullfør andregradsligningen er en ligning der alle koeffisienter er forskjellige fra null.

Disse navnene er ikke gitt ved en tilfeldighet. Dette vil fremgå av den følgende diskusjonen.

Hvis koeffisienten b er lik null, har den andregradsligningen formen a x 2 +0 x+c=0 , og den er ekvivalent med ligningen a x 2 +c=0 . Hvis c=0 , det vil si at andregradsligningen har formen a x 2 +b x+0=0 , så kan den skrives om som en x 2 +b x=0 . Og med b=0 og c=0 får vi andregradsligningen a·x 2 =0. De resulterende ligningene skiller seg fra den fullstendige kvadratiske ligningen ved at venstresiden deres ikke inneholder verken et ledd med variabelen x, eller et fritt ledd, eller begge deler. Derav navnet deres - ufullstendige kvadratiske ligninger.

Så likningene x 2 +x+1=0 og −2 x 2 −5 x+0,2=0 er eksempler på komplette andregradsligninger, og x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3 =0 , −x 2 −5 x=0 er ufullstendige andregradsligninger.

Løse ufullstendige andregradsligninger

Det følger av informasjonen i forrige avsnitt at det er tre typer ufullstendige andregradsligninger:

a x 2 =0, koeffisientene b=0 og c=0 tilsvarer det;
a x2 +c=0 når b=0;
og a x 2 + b x=0 når c=0.

La oss analysere i rekkefølge hvordan de ufullstendige kvadratiske ligningene til hver av disse typene løses.

a x 2 \u003d 0

La oss starte med å løse ufullstendige andregradsligninger der koeffisientene b og c er lik null, det vil si med likninger av formen a x 2 =0. Ligningen a·x 2 =0 er ekvivalent med ligningen x 2 =0, som fås fra originalen ved å dele begge delene med et tall a som ikke er null. Det er klart at roten av ligningen x 2 \u003d 0 er null, siden 0 2 \u003d 0. Denne ligningen har ingen andre røtter, noe som er forklart, ja, for ethvert ikke-null tall p, finner ulikheten p 2 >0 sted, noe som innebærer at for p≠0, blir likheten p 2 =0 aldri oppnådd.

Så den ufullstendige andregradsligningen a x 2 \u003d 0 har en enkelt rot x \u003d 0.

Som et eksempel gir vi løsningen av en ufullstendig andregradsligning −4·x 2 =0. Det tilsvarer ligningen x 2 \u003d 0, dens eneste rot er x \u003d 0, derfor har den opprinnelige ligningen en enkelt rot null.

En kort løsning i dette tilfellet kan gis som følger:
−4 x 2 \u003d 0,
x 2 \u003d 0,
x=0.

a x 2 + c=0

Tenk nå på hvordan ufullstendige kvadratiske ligninger løses, der koeffisienten b er lik null, og c≠0, det vil si ligninger av formen a x 2 +c=0. Vi vet at overføring av et ledd fra den ene siden av ligningen til den andre med motsatt fortegn, samt deling av begge sider av ligningen med et tall som ikke er null, gir en ekvivalent ligning. Derfor kan følgende ekvivalente transformasjoner av den ufullstendige kvadratiske ligningen a x 2 + c=0 utføres:

flytt c til høyre side, som gir ligningen a x 2 =−c,
og dele begge delene med a , får vi .

Den resulterende ligningen lar oss trekke konklusjoner om røttene. Avhengig av verdiene til a og c, kan verdien av uttrykket være negativ (for eksempel hvis a=1 og c=2, da ) eller positiv, (for eksempel hvis a=−2 og c=6 , da ), er den ikke lik null , fordi ved betingelsen c≠0 . Vi vil separat analysere sakene og .

Hvis , så har ligningen ingen røtter. Dette utsagnet følger av det faktum at kvadratet av et hvilket som helst tall er et ikke-negativt tall. Det følger av dette at når , så for et hvilket som helst tall p kan ikke likheten være sann.

Hvis , så er situasjonen med røttene til ligningen annerledes. I dette tilfellet, hvis vi husker om, så blir roten av ligningen umiddelbart åpenbar, det er tallet, siden. Det er lett å gjette at tallet også er roten til ligningen , faktisk . Denne ligningen har ingen andre røtter, som kan vises for eksempel ved selvmotsigelse. La oss gjøre det.

La oss betegne de nettopp stemte røttene til ligningen som x 1 og −x 1 . Anta at ligningen har en annen rot x 2 forskjellig fra de angitte røttene x 1 og −x 1 . Det er kjent at substitusjon i ligningen i stedet for x av røttene gjør ligningen til en sann numerisk likhet. For x 1 og −x 1 har vi , og for x 2 har vi . Egenskapene til numeriske likheter lar oss utføre termin-for-term subtraksjon av sanne numeriske likheter, så subtrahering av de tilsvarende delene av likhetene gir x 1 2 − x 2 2 =0. Egenskapene til operasjoner med tall tillater oss å omskrive den resulterende likheten som (x 1 − x 2)·(x 1 + x 2)=0 . Vi vet at produktet av to tall er lik null hvis og bare hvis minst ett av dem er lik null. Derfor følger det av den oppnådde likheten at x 1 −x 2 =0 og/eller x 1 +x 2 =0 , som er det samme, x 2 =x 1 og/eller x 2 = −x 1 . Så vi har kommet til en selvmotsigelse, siden vi i begynnelsen sa at roten til likningen x 2 er forskjellig fra x 1 og −x 1 . Dette beviser at ligningen ikke har andre røtter enn og .

La oss oppsummere informasjonen i dette avsnittet. Den ufullstendige andregradsligningen a x 2 +c=0 er ekvivalent med ligningen , som

har ingen røtter hvis ,
har to røtter og hvis .

Tenk på eksempler på løsning av ufullstendige andregradsligninger på formen a·x 2 +c=0 .

La oss starte med den andregradsligningen 9 x 2 +7=0 . Etter å ha overført frileddet til høyre side av ligningen, vil det ha formen 9·x 2 =−7. Ved å dele begge sider av den resulterende ligningen med 9, kommer vi til . Siden et negativt tall oppnås på høyre side, har denne ligningen ingen røtter, derfor har den opprinnelige ufullstendige kvadratiske ligningen 9 x 2 +7=0 ingen røtter.

La oss løse en ufullstendig annengradsligning til −x 2 +9=0. Vi overfører de ni til høyre side: -x 2 \u003d -9. Nå deler vi begge delene med −1, vi får x 2 =9. Høyre side inneholder et positivt tall, hvorfra vi konkluderer med at eller . Etter at vi har skrevet ned det endelige svaret: den ufullstendige andregradsligningen −x 2 +9=0 har to røtter x=3 eller x=−3.

a x 2 + b x=0

Det gjenstår å ta for seg løsningen av den siste typen ufullstendige kvadratiske ligninger for c=0. Ufullstendige andregradsligninger på formen a x 2 +b x=0 lar deg løse faktoriseringsmetode. Åpenbart kan vi, plassert på venstre side av ligningen, som det er nok å ta den felles faktoren x ut av parentes. Dette lar oss gå fra den opprinnelige ufullstendige andregradsligningen til en ekvivalent ligning på formen x·(a·x+b)=0 . Og denne ligningen er ekvivalent med settet av to ligninger x=0 og a x+b=0 , hvorav den siste er lineær og har en rot x=−b/a .

Så den ufullstendige andregradsligningen a x 2 +b x=0 har to røtter x=0 og x=−b/a.

For å konsolidere materialet, vil vi analysere løsningen av et spesifikt eksempel.

Eksempel.

Løs ligningen.

Løsning.

Vi tar x ut av parentes, dette gir ligningen. Det tilsvarer to ligninger x=0 og . Vi løser den resulterende lineære ligningen: , og etter å ha delt det blandede tallet med en vanlig brøk, finner vi . Derfor er røttene til den opprinnelige ligningen x=0 og .

Etter å ha fått nødvendig øvelse, kan løsningene av slike ligninger skrives kort:

Svar:

x=0, .

Diskriminant, formel for røttene til en kvadratisk ligning

For å løse andregradsligninger er det en rotformel. La oss skrive ned formelen til røttene til kvadratisk ligning: , hvor D=b 2 −4 a c- såkalte diskriminant av en andregradsligning. Notasjonen betyr i hovedsak at .

Det er nyttig å vite hvordan rotformelen ble oppnådd, og hvordan den brukes for å finne røttene til kvadratiske ligninger. La oss håndtere dette.

Utledning av formelen til røttene til en kvadratisk ligning

La oss løse den andregradsligningen a·x 2 +b·x+c=0 . La oss utføre noen tilsvarende transformasjoner:

Vi kan dele begge deler av denne ligningen med et tall som ikke er null a, som et resultat får vi den reduserte andregradsligningen.
Nå velg en hel firkant på venstre side: . Etter det vil ligningen ha formen .
På dette stadiet er det mulig å gjennomføre overføringen av de to siste leddene til høyre side med motsatt fortegn, vi har .
Og la oss også transformere uttrykket på høyre side: .

Som et resultat kommer vi til ligningen , som er ekvivalent med den opprinnelige andregradsligningen a·x 2 +b·x+c=0 .

Vi har allerede løst likninger med lignende form i de foregående avsnittene da vi analyserte . Dette lar oss trekke følgende konklusjoner angående røttene til ligningen:

hvis , så har ligningen ingen reelle løsninger;
hvis , så har ligningen formen , derfor, , hvorfra dens eneste rot er synlig;
hvis , da eller , som er det samme som eller , det vil si at ligningen har to røtter.

Således avhenger tilstedeværelsen eller fraværet av røttene til ligningen, og dermed den opprinnelige kvadratiske ligningen, av tegnet til uttrykket på høyre side. I sin tur bestemmes tegnet til dette uttrykket av tellerens fortegnet, siden nevneren 4 a 2 alltid er positiv, det vil si tegnet til uttrykket b 2 −4 a c . Dette uttrykket b 2 −4 a c kalles diskriminant av en andregradsligning og merket med bokstaven D. Herfra er essensen av diskriminanten klar - ved sin verdi og fortegn konkluderes det om den kvadratiske ligningen har reelle røtter, og i så fall hva er deres nummer - en eller to.

Vi går tilbake til ligningen, omskriver den ved å bruke notasjonen til diskriminanten: . Og vi konkluderer:

hvis D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
hvis D=0, så har denne ligningen en enkelt rot;
til slutt, hvis D>0, så har ligningen to røtter eller , som kan skrives om i formen eller , og etter å utvide og redusere brøkene til en fellesnevner, får vi .

Så vi utledet formlene for røttene til den kvadratiske ligningen, de ser ut som , hvor diskriminanten D beregnes med formelen D=b 2 −4 a c .

Med deres hjelp, med en positiv diskriminant, kan du beregne begge de reelle røttene til en kvadratisk ligning. Når diskriminanten er lik null, gir begge formlene samme rotverdi som tilsvarer den eneste løsningen av andregradsligningen. Og med en negativ diskriminant, når vi prøver å bruke formelen for røttene til en kvadratisk ligning, står vi overfor å trekke ut kvadratroten fra et negativt tall, noe som tar oss utenfor rammen av skolens læreplan. Med en negativ diskriminant har andregradsligningen ingen reelle røtter, men har et par komplekst konjugat røtter, som kan finnes ved å bruke de samme rotformlene som vi fikk.

Algoritme for å løse andregradsligninger ved hjelp av rotformler

I praksis, når du løser en kvadratisk ligning, kan du umiddelbart bruke rotformelen for å beregne verdiene deres. Men dette handler mer om å finne komplekse røtter.

Men i et skolealgebrakurs snakker vi vanligvis ikke om kompleks, men om reelle røtter til en kvadratisk ligning. I dette tilfellet er det tilrådelig å først finne diskriminanten før du bruker formlene for røttene til den kvadratiske ligningen, forsikre deg om at den er ikke-negativ (ellers kan vi konkludere med at ligningen ikke har noen reelle røtter), og etter det beregne verdiene til røttene.

Resonnementet ovenfor lar oss skrive algoritme for å løse en andregradsligning. For å løse den kvadratiske ligningen a x 2 + b x + c \u003d 0, trenger du:

ved å bruke diskriminantformelen D=b 2 −4 a c beregne verdien;
konkluder med at den andregradsligningen ikke har noen reelle røtter hvis diskriminanten er negativ;
beregne den eneste roten av ligningen ved å bruke formelen hvis D=0 ;
finn to reelle røtter av en kvadratisk ligning ved å bruke rotformelen hvis diskriminanten er positiv.

Her legger vi bare merke til at dersom diskriminanten er lik null, kan formelen også brukes, den vil gi samme verdi som .

Du kan gå videre til eksempler på bruk av algoritmen for å løse andregradsligninger.

Eksempler på løsning av andregradsligninger

Vurder løsninger av tre andregradsligninger med positiv, negativ og null diskriminant. Etter å ha behandlet løsningen deres, vil det analogt være mulig å løse enhver annen kvadratisk ligning. La oss begynne.

Eksempel.

Finn røttene til ligningen x 2 +2 x−6=0 .

Løsning.

I dette tilfellet har vi følgende koeffisienter for kvadratisk ligning: a=1 , b=2 og c=−6 . I henhold til algoritmen må du først beregne diskriminanten, for dette erstatter vi de angitte a, b og c i diskriminantformelen, vi har D=b 2 −4 a c=2 2 −4 1 (−6)=4+24=28. Siden 28>0, det vil si diskriminanten er større enn null, har kvadratisk ligning to reelle røtter. La oss finne dem ved formelen av røtter , vi får , her kan vi forenkle uttrykkene oppnådd ved å gjøre utregning av rotens tegn etterfulgt av brøkreduksjon:

Svar:

La oss gå videre til neste typiske eksempel.

Eksempel.

Løs den andregradsligningen −4 x 2 +28 x−49=0 .

Løsning.

Vi starter med å finne diskriminanten: D=28 2 −4 (−4) (−49)=784−784=0. Derfor har denne andregradsligningen en enkelt rot, som vi finner som , det vil si,

Svar:

x=3,5.

Det gjenstår å vurdere løsningen av kvadratiske ligninger med negativ diskriminant.

Eksempel.

Løs ligningen 5 y 2 +6 y+2=0 .

Løsning.

Her er koeffisientene til kvadratisk ligning: a=5 , b=6 og c=2 . Å erstatte disse verdiene i diskriminantformelen har vi D=b 2 −4 a c=6 2 −4 5 2=36−40=−4. Diskriminanten er negativ, derfor har denne kvadratiske ligningen ingen reelle røtter.

Hvis du trenger å spesifisere komplekse røtter, så bruker vi den velkjente formelen for røttene til kvadratisk ligning, og utfører operasjoner med komplekse tall:

Svar:

det er ingen reelle røtter, de komplekse røttene er: .

Nok en gang legger vi merke til at hvis diskriminanten til den kvadratiske ligningen er negativ, skriver skolen vanligvis umiddelbart ned svaret, der de indikerer at det ikke er noen reelle røtter, og de finner ikke komplekse røtter.

Rotformel for selv andre koeffisienter

Formelen for røttene til en kvadratisk ligning , hvor D=b 2 −4 a c lar deg få en mer kompakt formel som lar deg løse andregradsligninger med en jevn koeffisient ved x (eller ganske enkelt med en koeffisient som ser ut som 2 n , for eksempel eller 14 ln5=2 7 ln5 ). La oss ta henne ut.

La oss si at vi må løse en andregradsligning av formen a x 2 +2 n x + c=0 . La oss finne røttene ved hjelp av formelen som er kjent for oss. For å gjøre dette, beregner vi diskriminanten D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c), og så bruker vi rotformelen:

Betegn uttrykket n 2 −a c som D 1 (noen ganger er det betegnet D ") Så tar formelen for røttene til den betraktede andregradsligningen med den andre koeffisienten 2 n formen , hvor D 1 =n 2 −a c .

Det er lett å se at D=4·D 1 eller D 1 =D/4 . D 1 er med andre ord den fjerde delen av diskriminanten. Det er tydelig at tegnet på D 1 er det samme som tegnet på D . Det vil si at tegnet D 1 også er en indikator på nærvær eller fravær av røttene til kvadratisk ligning.

Så for å løse en andregradsligning med den andre koeffisienten 2 n, trenger du

Beregn D 1 =n 2 −a·c ;
Hvis D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
Hvis D 1 =0, beregner du den eneste roten av ligningen ved å bruke formelen;
Hvis D 1 >0, finn to reelle røtter ved å bruke formelen.

Vurder løsningen av eksemplet ved å bruke rotformelen som er oppnådd i dette avsnittet.

Eksempel.

Løs den andregradsligningen 5 x 2 −6 x−32=0 .

Løsning.

Den andre koeffisienten til denne ligningen kan representeres som 2·(−3) . Det vil si at du kan skrive om den opprinnelige kvadratiske ligningen på formen 5 x 2 +2 (−3) x−32=0 , her a=5 , n=−3 og c=−32 , og beregne den fjerde delen av diskriminerende: D 1 =n 2 −a c=(−3) 2 −5 (−32)=9+160=169. Siden verdien er positiv, har ligningen to reelle røtter. Vi finner dem ved å bruke den tilsvarende rotformelen:

Legg merke til at det var mulig å bruke den vanlige formelen for røttene til en kvadratisk ligning, men i dette tilfellet måtte det gjøres mer beregningsarbeid.

Svar:

Forenkling av formen til andregradsligninger

Noen ganger, før du begynner å beregne røttene til en kvadratisk ligning ved hjelp av formler, skader det ikke å stille spørsmålet: "Er det mulig å forenkle formen til denne ligningen"? Enig i at når det gjelder beregninger vil det være lettere å løse andregradsligningen 11 x 2 −4 x −6=0 enn 1100 x 2 −400 x−600=0 .

Vanligvis oppnås en forenkling av formen til en kvadratisk ligning ved å multiplisere eller dele begge sider av den med et tall. For eksempel, i forrige avsnitt, klarte vi å oppnå en forenkling av ligningen 1100 x 2 −400 x −600=0 ved å dele begge sider med 100 .

En lignende transformasjon utføres med kvadratiske ligninger, hvis koeffisienter ikke er . I dette tilfellet er begge deler av ligningen vanligvis delt med de absolutte verdiene til koeffisientene. La oss for eksempel ta den andregradsligningen 12 x 2 −42 x+48=0. absolutte verdier av koeffisientene: gcd(12, 42, 48)= gcd(gcd(12, 42), 48)= gcd(6, 48)=6 . Ved å dele begge deler av den opprinnelige andregradsligningen med 6 kommer vi til den ekvivalente andregradsligningen 2 x 2 −7 x+8=0 .

Og multiplikasjonen av begge deler av den kvadratiske ligningen gjøres vanligvis for å bli kvitt brøkkoeffisienter. I dette tilfellet utføres multiplikasjonen på nevnerne til koeffisientene. For eksempel, hvis begge deler av en kvadratisk ligning multipliseres med LCM(6, 3, 1)=6 , vil den ha en enklere form x 2 +4 x−18=0 .

Som konklusjon av dette avsnittet legger vi merke til at du nesten alltid blir kvitt minus ved den ledende koeffisienten til kvadratisk ligning ved å endre tegnene til alle ledd, som tilsvarer å multiplisere (eller dele) begge deler med −1. For eksempel, vanligvis fra den andregradsligningen −2·x 2 −3·x+7=0 gå til løsningen 2·x 2 +3·x−7=0 .

Forholdet mellom røtter og koeffisienter til en kvadratisk ligning

Formelen for røttene til en kvadratisk ligning uttrykker røttene til en ligning i form av koeffisientene. Basert på formelen til røttene kan du få andre sammenhenger mellom røttene og koeffisientene.

De mest kjente og anvendelige formlene fra Vieta-setningen til formen og . Spesielt for den gitte kvadratiske ligningen er summen av røttene lik den andre koeffisienten med motsatt fortegn, og produktet av røttene er frileddet. For eksempel, ved form av kvadratisk ligning 3 x 2 −7 x+22=0, kan vi umiddelbart si at summen av røttene er 7/3, og produktet av røttene er 22/3.

Ved å bruke de allerede skrevne formlene kan du få en rekke andre sammenhenger mellom røttene og koeffisientene til den kvadratiske ligningen. For eksempel kan du uttrykke summen av kvadratene til røttene til en kvadratisk ligning i form av koeffisientene: .

Bibliografi.

Algebra: lærebok for 8 celler. allmennutdanning institusjoner / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; utg. S. A. Telyakovsky. - 16. utg. - M. : Utdanning, 2008. - 271 s. : jeg vil. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Mordkovich A.G. Algebra. 8. klasse. Kl. 14.00 Del 1. En lærebok for studenter ved utdanningsinstitusjoner / A. G. Mordkovich. - 11. utg., slettet. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 s.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.

Kvadratiske ligninger studeres i klasse 8, så det er ikke noe komplisert her. Evnen til å løse dem er avgjørende.

En andregradsligning er en ligning av formen ax 2 + bx + c = 0, hvor koeffisientene a , b og c er vilkårlige tall, og a ≠ 0.

Før vi studerer spesifikke løsningsmetoder, legger vi merke til at alle kvadratiske ligninger kan deles inn i tre klasser:

Har ingen røtter;
De har nøyaktig én rot;
De har to forskjellige røtter.

Dette er en viktig forskjell mellom kvadratiske og lineære ligninger, hvor roten alltid eksisterer og er unik. Hvordan bestemme hvor mange røtter en ligning har? Det er en fantastisk ting for dette - diskriminerende.

Diskriminerende

La andregradsligningen ax 2 + bx + c = 0. Da er diskriminanten ganske enkelt tallet D = b 2 − 4ac .

Denne formelen må være kjent utenat. Hvor det kommer fra er ikke viktig nå. En annen ting er viktig: ved fortegnet til diskriminanten kan du bestemme hvor mange røtter en kvadratisk ligning har. Nemlig:

Hvis D< 0, корней нет;
Hvis D = 0, er det nøyaktig én rot;
Hvis D > 0, vil det være to røtter.

Vær oppmerksom på: diskriminanten indikerer antall røtter, og ikke i det hele tatt deres tegn, som mange av en eller annen grunn tror. Ta en titt på eksemplene og du vil forstå alt selv:

En oppgave. Hvor mange røtter har kvadratiske ligninger:

x 2 - 8x + 12 = 0;

5x2 + 3x + 7 = 0;

x 2 − 6x + 9 = 0.

Vi skriver koeffisientene for den første ligningen og finner diskriminanten:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Så diskriminanten er positiv, så ligningen har to forskjellige røtter. Vi analyserer den andre ligningen på samme måte:
a = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

Diskriminanten er negativ, det er ingen røtter. Den siste ligningen gjenstår:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Diskriminanten er lik null - roten vil være en.

Merk at koeffisienter er skrevet ut for hver ligning. Ja, det er langt, ja, det er kjedelig – men du vil ikke blande oddsen og ikke gjøre dumme feil. Velg selv: hastighet eller kvalitet.

Forresten, hvis du "fyller hånden", trenger du ikke lenger å skrive ut alle koeffisientene etter en stund. Du vil utføre slike operasjoner i hodet ditt. De fleste begynner å gjøre dette et sted etter 50-70 løste ligninger - generelt sett ikke så mange.

Røttene til en andregradsligning

La oss nå gå videre til løsningen. Hvis diskriminanten D > 0, kan røttene bli funnet ved å bruke formlene:

Grunnformelen for røttene til en kvadratisk ligning

Når D = 0, kan du bruke hvilken som helst av disse formlene - du får det samme tallet, som vil være svaret. Til slutt, hvis D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

x 2 - 2 x - 3 = 0;

15 - 2x - x2 = 0;

x2 + 12x + 36 = 0.

Første ligning:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ ligningen har to røtter. La oss finne dem:

Andre ligning:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64.

D > 0 ⇒ ligningen har igjen to røtter. La oss finne dem

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(align)\]

Til slutt den tredje ligningen:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ ligningen har én rot. Enhver formel kan brukes. For eksempel den første:

Som du kan se fra eksemplene, er alt veldig enkelt. Hvis du kan formlene og kan telle, vil det ikke være noen problemer. Oftest oppstår feil når negative koeffisienter erstattes i formelen. Her, igjen, vil teknikken beskrevet ovenfor hjelpe: se på formelen bokstavelig talt, mal hvert trinn - og bli kvitt feil veldig snart.

Ufullstendige andregradsligninger

Det hender at andregradsligningen er noe annerledes enn det som er gitt i definisjonen. For eksempel:

x2 + 9x = 0;
x2 − 16 = 0.

Det er lett å se at ett av begrepene mangler i disse ligningene. Slike kvadratiske ligninger er enda enklere å løse enn standardligninger: de trenger ikke engang å beregne diskriminanten. Så la oss introdusere et nytt konsept:

Ligningen ax 2 + bx + c = 0 kalles en ufullstendig andregradsligning hvis b = 0 eller c = 0, dvs. koeffisienten til variabelen x eller det frie elementet er lik null.

Selvfølgelig er et veldig vanskelig tilfelle mulig når begge disse koeffisientene er lik null: b \u003d c \u003d 0. I dette tilfellet har ligningen formen ax 2 \u003d 0. Åpenbart har en slik ligning en enkelt rot: x \u003d 0.

La oss vurdere andre saker. La b \u003d 0, så får vi en ufullstendig andregradsligning av formen ax 2 + c \u003d 0. La oss transformere den litt:

Siden den aritmetiske kvadratroten kun eksisterer fra et ikke-negativt tall, gir den siste likheten bare mening når (−c / a ) ≥ 0. Konklusjon:

Hvis en ufullstendig andregradsligning av formen ax 2 + c = 0 tilfredsstiller ulikheten (−c / a ) ≥ 0, vil det være to røtter. Formelen er gitt ovenfor;
Hvis (−c / a)< 0, корней нет.

Som du kan se, var diskriminanten ikke nødvendig - det er ingen komplekse beregninger i det hele tatt i ufullstendige kvadratiske ligninger. Faktisk er det ikke engang nødvendig å huske ulikheten (−c / a ) ≥ 0. Det er nok å uttrykke verdien av x 2 og se hva som er på den andre siden av likhetstegnet. Hvis det er et positivt tall, vil det være to røtter. Hvis negativ, vil det ikke være noen røtter i det hele tatt.

La oss nå ta for oss ligninger av formen ax 2 + bx = 0, der det frie elementet er lik null. Alt er enkelt her: det vil alltid være to røtter. Det er nok å faktorisere polynomet:

Å ta den felles faktoren ut av braketten

Produktet er lik null når minst én av faktorene er lik null. Det er her røttene kommer fra. Avslutningsvis vil vi analysere flere av disse ligningene:

En oppgave. Løs kvadratiske ligninger:

x2 − 7x = 0;

5x2 + 30 = 0;

4x2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.

5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. Det er ingen røtter, fordi kvadratet kan ikke være lik et negativt tall.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 \u003d -1,5.

Formler for røttene til en kvadratisk ligning. Tilfellene med reelle, multiple og komplekse røtter vurderes. Faktorisering av et kvadratisk trinomium. Geometrisk tolkning. Eksempler på å bestemme røtter og faktorisering.

Grunnleggende formler

Tenk på den andregradsligningen:
(1) .
Røttene til en andregradsligning(1) bestemmes av formlene:
; .
Disse formlene kan kombineres slik:
.
Når røttene til den kvadratiske ligningen er kjent, kan polynomet av andre grad representeres som et produkt av faktorer (faktorert):
.

Videre antar vi at det er reelle tall.
Ta i betraktning diskriminant av en andregradsligning:
.
Hvis diskriminanten er positiv, har kvadratisk ligning (1) to forskjellige reelle røtter:
; .
Da har faktoriseringen av kvadrattrinomialet formen:
.
Hvis diskriminanten er null, har den kvadratiske ligningen (1) to multiple (like) reelle røtter:
.
Faktorisering:
.
Hvis diskriminanten er negativ, har den kvadratiske ligningen (1) to komplekse konjugerte røtter:
;
.
Her er den imaginære enheten, ;
og er de virkelige og imaginære delene av røttene:
; .
Deretter

.

Grafisk tolkning

Hvis vi grafer funksjonen
,
som er en parabel, så vil skjæringspunktene til grafen med aksen være røttene til ligningen
.
Når , skjærer grafen abscisseaksen (aksen) i to punkter.
Når , berører grafen x-aksen på ett punkt.
Når , krysser ikke grafen x-aksen.

Nedenfor er eksempler på slike grafer.

Nyttige formler relatert til kvadratisk ligning

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Utledning av formelen for røttene til en andregradsligning

Vi utfører transformasjoner og bruker formler (f.1) og (f.3):

,
hvor
; .

Så, vi fikk formelen for polynomet av andre grad i formen:
.
Av dette kan man se at ligningen

utført kl
og .
Det vil si, og er røttene til den kvadratiske ligningen
.

Eksempler på å bestemme røttene til en kvadratisk ligning

Eksempel 1

(1.1) .

Løsning

.
Ved å sammenligne med ligningen vår (1.1), finner vi verdiene til koeffisientene:
.
Finne diskriminanten:
.
Siden diskriminanten er positiv, har ligningen to reelle røtter:
;
;
.

Herfra får vi dekomponeringen av kvadrattrinomialet til faktorer:

.

Graf for funksjonen y = 2 x 2 + 7 x + 3 krysser x-aksen i to punkter.

La oss plotte funksjonen
.
Grafen til denne funksjonen er en parabel. Den krysser x-aksen (aksen) på to punkter:
og .
Disse punktene er røttene til den opprinnelige ligningen (1.1).

Svar

;
;
.

Eksempel 2

Finn røttene til en andregradsligning:
(2.1) .

Løsning

Vi skriver andregradsligningen i generell form:
.
Sammenligner vi med den opprinnelige ligningen (2.1), finner vi verdiene til koeffisientene:
.
Finne diskriminanten:
.
Siden diskriminanten er null, har ligningen to multiple (like) røtter:
;
.

Da har faktoriseringen av trinomialet formen:
.

Graf for funksjonen y = x 2 - 4 x + 4 berører x-aksen på ett punkt.

La oss plotte funksjonen
.
Grafen til denne funksjonen er en parabel. Den berører x-aksen (aksen) på ett punkt:
.
Dette punktet er roten til den opprinnelige ligningen (2.1). Siden denne roten er faktorisert to ganger:
,
da kalles en slik rot et multiplum. Det vil si at de anser at det er to like røtter:
.

Svar

;
.

Eksempel 3

Finn røttene til en andregradsligning:
(3.1) .

Løsning

Vi skriver andregradsligningen i generell form:
(1) .
La oss omskrive den opprinnelige ligningen (3.1):
.
Ved å sammenligne med (1), finner vi verdiene til koeffisientene:
.
Finne diskriminanten:
.
Diskriminanten er negativ, . Derfor er det ingen reelle røtter.

Du kan finne komplekse røtter:
;
;
.

Deretter

.

Grafen til funksjonen krysser ikke x-aksen. Det er ingen reelle røtter.

La oss plotte funksjonen
.
Grafen til denne funksjonen er en parabel. Den krysser ikke abscissen (aksen). Derfor er det ingen reelle røtter.

Svar

Det er ingen reelle røtter. Komplekse røtter:
;
;
.

Med dette matematikkprogrammet kan du løse andregradsligningen.

Programmet gir ikke bare svaret på problemet, men viser også løsningsprosessen på to måter:
- ved å bruke diskriminanten
- ved å bruke Vieta-setningen (hvis mulig).

Dessuten vises svaret nøyaktig, ikke omtrentlig.
For eksempel, for ligningen $81x^2-16x-1=0$, vises svaret i denne formen:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ i stedet for dette: $x_1 = 0,247; \ quad x_2 = -0,05 $

Dette programmet kan være nyttig for elever på videregående skole som forberedelse til tester og eksamener, når de tester kunnskap før Unified State Examination, for foreldre å kontrollere løsningen av mange problemer i matematikk og algebra. Eller kanskje det er for dyrt for deg å ansette en veileder eller kjøpe nye lærebøker? Eller vil du bare få matte- eller algebraleksene dine gjort så raskt som mulig? I dette tilfellet kan du også bruke våre programmer med en detaljert løsning.

På denne måten kan du gjennomføre din egen opplæring og/eller opplæring av dine yngre brødre eller søstre, samtidig som utdanningsnivået innen oppgavefeltet som skal løses økes.

Hvis du ikke er kjent med reglene for å angi et kvadratisk polynom, anbefaler vi at du gjør deg kjent med dem.

Regler for å angi et kvadratisk polynom

Enhver latinsk bokstav kan fungere som en variabel.
For eksempel: $x, y, z, a, b, c, o, p, q $ osv.

Tall kan legges inn som heltall eller brøker.
Dessuten kan brøktall angis ikke bare i form av en desimal, men også i form av en vanlig brøk.

Regler for inntasting av desimalbrøker.
I desimalbrøker kan brøkdelen fra heltallet skilles med enten et punktum eller et komma.
Du kan for eksempel angi desimaler slik: 2,5x - 3,5x^2

Regler for inntasting av vanlige brøker.
Bare et helt tall kan fungere som teller, nevner og heltallsdel av en brøk.

Nevneren kan ikke være negativ.

Når du legger inn en numerisk brøk, skilles telleren fra nevneren med et divisjonstegn: /
Heltallsdelen er atskilt fra brøken med et og-tegnet: &
Inngang: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
Resultat: $3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2 $

Når du legger inn et uttrykk du kan bruke parentes. I dette tilfellet, når du løser en kvadratisk ligning, blir det introduserte uttrykket først forenklet.
For eksempel: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

Bestemme seg for

Det ble funnet at noen skript som trengs for å løse denne oppgaven ikke ble lastet inn, og det kan hende at programmet ikke fungerer.
Du kan ha AdBlock aktivert.
I dette tilfellet, deaktiver den og oppdater siden.

Du har deaktivert JavaScript i nettleseren din.
JavaScript må være aktivert for at løsningen skal vises.
Her er instruksjoner for hvordan du aktiverer JavaScript i nettleseren din.

Fordi Det er mange mennesker som ønsker å løse problemet, forespørselen din står i kø.
Etter noen sekunder vil løsningen vises nedenfor.
Vennligst vent sek...

Hvis du oppdaget en feil i løsningen, så kan du skrive om det i tilbakemeldingsskjemaet .
Ikke glem angi hvilken oppgave du bestemmer hva skriv inn i feltene.

Våre spill, puslespill, emulatorer:

Litt teori.

Kvadratisk ligning og dens røtter. Ufullstendige andregradsligninger

Hver av ligningene
$-x^2+6x+1,4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 $
har formen
$ax^2+bx+c=0, $
hvor x er en variabel, a, b og c er tall.
I den første ligningen a = -1, b = 6 og c = 1,4, i den andre a = 8, b = -7 og c = 0, i den tredje a = 1, b = 0 og c = 4/9. Slike ligninger kalles andregradsligninger.

Definisjon.
kvadratisk ligning det kalles en ligning av formen ax 2 +bx+c=0, der x er en variabel, a, b og c er noen tall, og $a \neq 0 $.

Tallene a, b og c er koeffisientene til andregradsligningen. Tallet a kalles den første koeffisienten, tallet b er den andre koeffisienten og tallet c er skjæringspunktet.

I hver av likningene på formen ax 2 +bx+c=0, hvor $a \neq 0 $, er den største potensen til variabelen x en kvadrat. Derav navnet: andregradsligning.

Merk at en kvadratisk ligning også kalles en ligning av andre grad, siden venstre side er et polynom av andre grad.

En annengradsligning der koeffisienten ved x 2 er 1 kalles redusert andregradsligning. For eksempel er de gitte kvadratiske ligningene ligningene
$x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 $

Hvis i andregradsligningen ax 2 +bx+c=0 er minst én av koeffisientene b eller c lik null, kalles en slik ligning ufullstendig andregradsligning. Så ligningene -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 er ufullstendige andregradsligninger. I den første av dem er b=0, i den andre c=0, i den tredje b=0 og c=0.

Ufullstendige kvadratiske ligninger er av tre typer:
1) ax 2 +c=0, hvor $c \neq 0 $;
2) ax 2 +bx=0, hvor $b \neq 0 $;
3) ax2=0.

Vurder løsningen av ligninger for hver av disse typene.

For å løse en ufullstendig kvadratisk ligning av formen ax 2 +c=0 for $c \neq 0 $, overføres dens frie ledd til høyre side og begge deler av ligningen deles med a:
$x^2 = -\frac(c)(a) \Høyrepil x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) $

Siden $c \neq 0 $, deretter $-\frac(c)(a) \neq 0 $

Hvis $-\frac(c)(a)>0 $, så har ligningen to røtter.

Hvis $-\frac(c)(a) For å løse en ufullstendig andregradsligning av formen ax 2 +bx=0 for \(b \neq 0 $ faktoriser venstre side og få ligningen
$x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \Rightarrow \left\( \begin (matrise)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(array) \right. $

Derfor har en ufullstendig andregradsligning av formen ax 2 +bx=0 for $b \neq 0 $ alltid to røtter.

En ufullstendig andregradsligning av formen ax 2 \u003d 0 tilsvarer ligningen x 2 \u003d 0 og har derfor en enkelt rot 0.

Formelen for røttene til en kvadratisk ligning

La oss nå vurdere hvordan andregradsligninger løses der både koeffisientene til de ukjente og det frie leddet ikke er null.

Vi løser den andregradsligningen i generell form og som et resultat får vi formelen til røttene. Deretter kan denne formelen brukes for å løse enhver annengradsligning.

Løs den andregradsligningen ax 2 +bx+c=0

Ved å dele begge delene med a, får vi den ekvivalente reduserte andregradsligningen
$x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 $

Vi transformerer denne ligningen ved å fremheve kvadratet til binomialet:
$x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\venstre(\frac(b)(2a)\høyre)^2- \venstre(\frac(b)(2a)\høyre)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Høyrepil $

$x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\venstre(\frac(b)(2a)\høyre)^2 = \venstre(\frac(b)(2a)\høyre)^ 2 - \frac(c)(a) \Høyrepil $ $\venstre(x+\frac(b)(2a)\høyre)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( c)(a) \Høyrepil \venstre(x+\frac(b)(2a)\høyre)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \Høyrepil $ $x+\frac(b) )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \Høyrepil x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2) -4ac) )(2a) \Høyrepil $ $x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) $

Rotuttrykket kalles diskriminant av en andregradsligning ax 2 +bx+c=0 ("diskriminerende" på latin - distinguisher). Det er betegnet med bokstaven D, dvs.
$D = b^2-4ac$

Nå, ved å bruke notasjonen til diskriminanten, omskriver vi formelen for røttene til den kvadratiske ligningen:
$x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) $, hvor $D= b^2-4ac $

Det er åpenbart at:
1) Hvis D>0, så har andregradsligningen to røtter.
2) Hvis D=0, så har den andregradsligningen én rot $x=-\frac(b)(2a)$.
3) Hvis D Altså, avhengig av verdien av diskriminanten, kan andregradsligningen ha to røtter (for D > 0), en rot (for D = 0) eller ingen røtter (for D Når du løser en andregradsligning med denne formelen , anbefales det å gjøre følgende:
1) beregne diskriminanten og sammenligne den med null;
2) hvis diskriminanten er positiv eller lik null, bruk rotformelen, hvis diskriminanten er negativ, skriv ned at det ikke er noen røtter.

Vietas teorem

Den gitte andregradsligningen ax 2 -7x+10=0 har røttene 2 og 5. Summen av røttene er 7, og produktet er 10. Vi ser at summen av røttene er lik den andre koeffisienten, tatt med motsatt fortegn, og produktet av røttene er lik frileddet. Enhver redusert kvadratisk ligning som har røtter har denne egenskapen.

Summen av røttene til den gitte kvadratiske ligningen er lik den andre koeffisienten, tatt med motsatt fortegn, og produktet av røttene er lik frileddet.

De. Vietas teorem sier at røttene x 1 og x 2 av den reduserte kvadratiske ligningen x 2 +px+q=0 har egenskapen:
$\venstre\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \right. $

I det moderne samfunnet kan evnen til å operere på ligninger som inneholder en kvadratisk variabel være nyttig innen mange aktivitetsfelt og er mye brukt i praksis i vitenskapelig og teknisk utvikling. Dette kan bevises ved utformingen av sjø- og elvefartøyer, fly og missiler. Ved hjelp av slike beregninger bestemmes banene for bevegelsen til forskjellige kropper, inkludert romobjekter. Eksempler med løsning av kvadratiske ligninger brukes ikke bare i økonomisk prognoser, i design og konstruksjon av bygninger, men også i de mest vanlige hverdagslige omstendigheter. De kan være nødvendige på campingturer, på sportsarrangementer, i butikker når du handler og i andre svært vanlige situasjoner.

La oss dele uttrykket inn i komponentfaktorer

Graden av en ligning bestemmes av maksimalverdien til graden av variabelen som det gitte uttrykket inneholder. Hvis den er lik 2, kalles en slik likning en annengradsligning.

Hvis vi snakker i formlerspråket, kan disse uttrykkene, uansett hvordan de ser ut, alltid bringes til formen når venstre side av uttrykket består av tre ledd. Blant dem: akse 2 (det vil si en variabel kvadratisk med koeffisienten), bx (en ukjent uten kvadrat med koeffisienten) og c (fri komponent, det vil si et vanlig tall). Alt dette er lik 0 på høyre side. I tilfellet når et slikt polynom ikke har en av sine konstituerende ledd, med unntak av akse 2, kalles det en ufullstendig andregradsligning. Eksempler med løsning av slike problemer, der verdien av variablene ikke er vanskelig å finne, bør vurderes først.

Hvis uttrykket ser ut som det har to ledd på høyre side av uttrykket, nærmere bestemt ax 2 og bx, er det lettest å finne x ved å sette variabelen i parentes. Nå vil ligningen vår se slik ut: x(ax+b). Videre blir det åpenbart at enten x=0, eller problemet reduseres til å finne en variabel fra følgende uttrykk: ax+b=0. Dette er diktert av en av egenskapene til multiplikasjon. Regelen sier at produktet av to faktorer resulterer i 0 bare hvis en av dem er null.

Eksempel

x=0 eller 8x - 3 = 0

Som et resultat får vi to røtter av ligningen: 0 og 0,375.

Ligninger av denne typen kan beskrive bevegelsen til kropper under påvirkning av tyngdekraften, som begynte å bevege seg fra et bestemt punkt, tatt som opprinnelsen. Her har den matematiske notasjonen følgende form: y = v 0 t + gt 2 /2. Ved å erstatte de nødvendige verdiene, likestille høyresiden med 0 og finne mulige ukjente, kan du finne ut tiden som har gått fra øyeblikket kroppen reiser seg til øyeblikket den faller, samt mange andre størrelser. Men vi skal snakke om dette senere.

Faktorering av et uttrykk

Regelen beskrevet ovenfor gjør det mulig å løse disse problemene i mer komplekse saker. Tenk på eksempler med løsning av andregradsligninger av denne typen.

X2 - 33x + 200 = 0

Dette kvadratiske trinomialet er komplett. Først transformerer vi uttrykket og dekomponerer det til faktorer. Det er to av dem: (x-8) og (x-25) = 0. Som et resultat har vi to røtter 8 og 25.

Eksempler med løsning av kvadratiske ligninger i grad 9 lar denne metoden finne en variabel i uttrykk ikke bare av andre, men til og med av tredje og fjerde orden.

For eksempel: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Når du faktoriserer høyre side i faktorer med en variabel, er det tre av dem, det vil si (x + 1), (x-3) og (x + 3).

Som et resultat blir det åpenbart at denne ligningen har tre røtter: -3; -en; 3.

Trekker ut kvadratroten

Et annet tilfelle av en ufullstendig andreordens ligning er et uttrykk skrevet på bokstavspråket på en slik måte at høyresiden er bygget opp av komponentene akse 2 og c. Her, for å få verdien av variabelen, overføres frileddet til høyre side, og deretter trekkes kvadratroten ut fra begge sider av likheten. Det skal bemerkes at i dette tilfellet er det vanligvis to røtter til ligningen. De eneste unntakene er likheter som ikke inneholder begrepet c i det hele tatt, hvor variabelen er lik null, samt varianter av uttrykk når høyresiden viser seg å være negativ. I sistnevnte tilfelle er det ingen løsninger i det hele tatt, siden handlingene ovenfor ikke kan utføres med røtter. Eksempler på løsninger på andregradsligninger av denne typen bør vurderes.

I dette tilfellet vil røttene til ligningen være tallene -4 og 4.

Beregning av arealet av land

Behovet for denne typen beregninger dukket opp i antikken, fordi utviklingen av matematikk i disse fjerne tider i stor grad skyldtes behovet for å bestemme arealene og omkretsene til tomter med størst nøyaktighet.

Vi bør også vurdere eksempler med løsning av kvadratiske ligninger satt sammen på grunnlag av problemer av denne typen.

Så la oss si at det er et rektangulært stykke land, hvis lengde er 16 meter mer enn bredden. Du bør finne lengden, bredden og omkretsen av stedet, hvis det er kjent at området er 612 m 2.

For å komme i gang, vil vi først lage den nødvendige ligningen. La oss betegne bredden på seksjonen som x, så vil lengden være (x + 16). Det følger av det som er skrevet at arealet bestemmes av uttrykket x (x + 16), som, i henhold til tilstanden til problemet vårt, er 612. Dette betyr at x (x + 16) \u003d 612.

Løsningen av komplette andregradsligninger, og dette uttrykket er nettopp det, kan ikke gjøres på samme måte. Hvorfor? Selv om venstre side av den fortsatt inneholder to faktorer, er produktet av dem ikke lik 0 i det hele tatt, så andre metoder brukes her.

Diskriminerende

Først og fremst vil vi gjøre de nødvendige transformasjonene, deretter vil utseendet til dette uttrykket se slik ut: x 2 + 16x - 612 = 0. Dette betyr at vi har mottatt et uttrykk i form som tilsvarer den tidligere spesifiserte standarden, hvor a=1, b=16, c= -612.

Dette kan være et eksempel på å løse andregradsligninger gjennom diskriminanten. Her gjøres nødvendige beregninger i henhold til skjemaet: D = b 2 - 4ac. Denne hjelpeverdien gjør det ikke bare mulig å finne de ønskede verdiene i andreordens ligningen, den bestemmer også antall mulige alternativer. I tilfelle D>0 er det to av dem; for D=0 er det én rot. I tilfelle D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Om røtter og deres formel

I vårt tilfelle er diskriminanten: 256 - 4(-612) = 2704. Dette indikerer at problemet vårt har et svar. Hvis du vet, må løsningen av kvadratiske ligninger fortsettes ved å bruke formelen nedenfor. Den lar deg beregne røttene.

Dette betyr at i det presenterte tilfellet: x 1 =18, x 2 =-34. Det andre alternativet i dette dilemmaet kan ikke være en løsning, fordi størrelsen på tomten ikke kan måles i negative verdier, noe som betyr at x (det vil si bredden på tomten) er 18 m. Herfra beregner vi lengden: 18+16=34, og omkretsen 2(34+ 18) = 104 (m 2).

Eksempler og oppgaver

Vi fortsetter studiet av andregradsligninger. Eksempler og en detaljert løsning av flere av dem vil bli gitt nedenfor.

1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1

La oss overføre alt til venstre side av likheten, gjøre en transformasjon, det vil si at vi får formen til ligningen, som vanligvis kalles standarden, og likestille den til null.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Etter å ha lagt til lignende, bestemmer vi diskriminanten: D \u003d 49 - 48 \u003d 1. Så ligningen vår vil ha to røtter. Vi beregner dem i henhold til formelen ovenfor, noe som betyr at den første av dem vil være lik 4/3, og den andre 1.

2) Nå skal vi avsløre gåter av et annet slag.

La oss finne ut om det i det hele tatt er røtter x 2 - 4x + 5 = 1 her? For å få et uttømmende svar bringer vi polynomet til den tilsvarende kjente formen og beregner diskriminanten. I dette eksemplet er det ikke nødvendig å løse den kvadratiske ligningen, fordi essensen av problemet ikke ligger i dette i det hele tatt. I dette tilfellet D \u003d 16 - 20 \u003d -4, noe som betyr at det egentlig ikke er noen røtter.

Vietas teorem

Det er praktisk å løse kvadratiske ligninger gjennom formlene ovenfor og diskriminanten, når kvadratroten trekkes ut fra verdien av sistnevnte. Men dette skjer ikke alltid. Imidlertid er det mange måter å få verdiene til variabler i dette tilfellet. Eksempel: løse andregradsligninger ved å bruke Vietas teorem. Den er oppkalt etter en mann som levde i Frankrike på 1500-tallet og hadde en strålende karriere takket være hans matematiske talent og forbindelser ved hoffet. Portrettet hans kan sees i artikkelen.

Mønsteret som den berømte franskmannen la merke til var som følger. Han beviste at summen av røttene til ligningen er lik -p=b/a, og produktet deres tilsvarer q=c/a.

La oss nå se på spesifikke oppgaver.

3x2 + 21x - 54 = 0

For enkelhets skyld, la oss transformere uttrykket:

x 2 + 7x - 18 = 0

Ved å bruke Vieta-setningen vil dette gi oss følgende: summen av røttene er -7, og produktet deres er -18. Herfra får vi at røttene til ligningen er tallene -9 og 2. Etter å ha foretatt en sjekk vil vi sørge for at disse verdiene til variablene virkelig passer inn i uttrykket.

Graf og ligning av en parabel

Begrepene en andregradsfunksjon og andregradsligninger er nært beslektet. Eksempler på dette er allerede gitt tidligere. La oss nå se litt mer detaljert på noen matematiske gåter. Enhver ligning av den beskrevne typen kan representeres visuelt. En slik avhengighet, tegnet i form av en graf, kalles en parabel. De forskjellige typene er vist i figuren nedenfor.

Enhver parabel har et toppunkt, det vil si et punkt der grenene kommer ut. Hvis a>0, går de høyt til uendelig, og når a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Visuelle representasjoner av funksjoner hjelper til med å løse alle ligninger, inkludert kvadratiske. Denne metoden kalles grafisk. Og verdien av x-variabelen er abscissekoordinaten i punktene der graflinjen skjærer 0x. Koordinatene til toppunktet kan bli funnet ved formelen som nettopp er gitt x 0 = -b / 2a. Og ved å erstatte den resulterende verdien i den opprinnelige ligningen til funksjonen, kan du finne ut y 0, det vil si den andre koordinaten til parabelens toppunkt som tilhører y-aksen.

Skjæringspunktet mellom grenene til parabelen med abscisseaksen

Det er mange eksempler på løsning av andregradsligninger, men det er også generelle mønstre. La oss vurdere dem. Det er klart at skjæringspunktet mellom grafen og 0x-aksen for a>0 bare er mulig hvis y 0 tar negative verdier. Og for en<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Ellers D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Fra grafen til en parabel kan du også bestemme røttene. Det motsatte er også sant. Det vil si at hvis det ikke er lett å få en visuell representasjon av en kvadratisk funksjon, kan du likestille høyre side av uttrykket til 0 og løse den resulterende ligningen. Og når du kjenner skjæringspunktene med 0x-aksen, er det lettere å plotte.

Fra historien

Ved hjelp av ligninger som inneholder en kvadratisk variabel, i gamle dager, gjorde ikke bare matematiske beregninger og bestemte arealet av geometriske former. De gamle trengte slike beregninger for grandiose funn innen fysikk og astronomi, samt for å lage astrologiske prognoser.

Som moderne vitenskapsmenn foreslår, var innbyggerne i Babylon blant de første som løste kvadratiske ligninger. Det skjedde fire århundrer før ankomsten av vår tidsregning. Selvfølgelig var deres beregninger fundamentalt forskjellige fra de som for tiden er akseptert og viste seg å være mye mer primitive. For eksempel hadde mesopotamiske matematikere ingen anelse om eksistensen av negative tall. De var også ukjente med andre finesser av de kjente for enhver student i vår tid.

Kanskje enda tidligere enn forskerne i Babylon, tok vismannen fra India, Baudhayama, opp løsningen av kvadratiske ligninger. Dette skjedde omtrent åtte århundrer før Kristi æra kom. Riktignok var andreordens ligningene, metodene for å løse som han ga, de enkleste. I tillegg til ham var kinesiske matematikere også interessert i lignende spørsmål i gamle dager. I Europa begynte kvadratiske ligninger å bli løst først på begynnelsen av 1200-tallet, men senere ble de brukt i deres arbeid av så store forskere som Newton, Descartes og mange andre.