Hvordan finne avstanden mellom parallelle linjer. Gjensidig arrangement av linjer i rommet. Problemer med en rett linje i rommet
Et parallellogram er en firkant hvis motsatte sider er parallelle, det vil si at de ligger på parallelle linjer (fig. 1).
Teorem 1. Om egenskapene til sider og vinkler til et parallellogram. I et parallellogram er motsatte sider like, motsatte vinkler er like, og summen av vinklene ved siden av den ene siden av parallellogrammet er 180°.
Bevis. I dette parallellogrammet ABCD tegner du en diagonal AC og får to trekanter ABC og ADC (fig. 2).
Disse trekantene er like, siden ∠ 1 = ∠ 4, ∠ 2 = ∠ 3 (tverrliggende vinkler ved parallelle linjer), og siden AC er vanlig. Fra likheten Δ ABC = Δ ADC følger det at AB = CD, BC = AD, ∠ B = ∠ D. Summen av vinklene ved siden av den ene siden, for eksempel vinklene A og D, er lik 180 ° som én -sidet med parallelle linjer. Teoremet er bevist.
Kommentar. Likheten til de motsatte sidene av et parallellogram betyr at segmentene til de parallelle avskåret av de parallelle er like.
Konsekvens 1. Hvis to linjer er parallelle, er alle punktene på den ene linjen i samme avstand fra den andre linjen.
Bevis. Faktisk, la en || b (fig. 3).
La oss tegne fra noen to punkter B og C på linjen b perpendikulære BA og CD til linjen a. Siden AB || CD, da er tallet ABCD et parallellogram, og derfor er AB = CD.
Avstanden mellom to parallelle linjer er avstanden fra et vilkårlig punkt på en av linjene til den andre linjen.
Etter det som er bevist, er det lik lengden på perpendikulæren trukket fra et punkt på en av de parallelle linjene til den andre linjen.
Eksempel 1 Omkretsen til parallellogrammet er 122 cm. Den ene siden er 25 cm lengre enn den andre Finn sidene til parallellogrammet.
Løsning. Ved teorem 1 er motsatte sider av et parallellogram like. La oss betegne den ene siden av parallellogrammet som x, den andre som y. Deretter ved betingelse $$\venstre\(\begin(matrise) 2x + 2y = 122 \\x - y = 25 \end(matrise)\right.$$ Ved å løse dette systemet får vi x = 43, y = 18. Dermed Dermed er sidene av parallellogrammet 18, 43, 18 og 43 cm.
Eksempel 2
Løsning. La figur 4 samsvare med tilstanden til problemet.
Angi AB med x og BC med y. Etter betingelse er omkretsen av parallellogrammet 10 cm, dvs. 2(x + y) = 10, eller x + y = 5. Omkretsen til trekanten ABD er 8 cm. Og siden AB + AD = x + y = 5 , så BD = 8 - 5 = 3 . Så BD = 3 cm.
Eksempel 3 Finn vinklene til parallellogrammet, vel vitende om at en av dem er 50° større enn den andre.
Løsning. La figur 5 samsvare med tilstanden til problemet.
La oss betegne gradmålet for vinkel A som x. Da er gradmålet for vinkelen D x + 50°.
Vinklene BAD og ADC er indre ensidig med parallelle linjer AB og DC og sekant AD. Da vil summen av disse navngitte vinklene være 180°, dvs.
x + x + 50° = 180°, eller x = 65°. Dermed er ∠ A = ∠ C = 65°, a ∠ B = ∠ D = 115°.
Eksempel 4 Sidene av parallellogrammet er 4,5 dm og 1,2 dm. En halveringslinje tegnes fra toppunktet til en spiss vinkel. Hvilke deler deler den langsiden av parallellogrammet i?
Løsning. La figur 6 samsvare med tilstanden til problemet.
AE er halveringslinjen til den spisse vinkelen til parallellogrammet. Derfor er ∠ 1 = ∠ 2.
I denne artikkelen rettes oppmerksomheten mot å finne avstanden mellom skjeve linjer ved hjelp av koordinatmetoden. Først er definisjonen av avstanden mellom skjeve linjer gitt. Deretter oppnås en algoritme som lar deg finne avstanden mellom skjeve linjer. Avslutningsvis analyseres løsningen av eksempelet i detalj.
Sidenavigering.
Avstanden mellom skjeve linjer er en definisjon.
Før vi gir en definisjon av avstanden mellom skjeve linjer, husker vi definisjonen av skjeve linjer og beviser et teorem relatert til skjeve linjer.
Definisjon.
er avstanden mellom en av de kryssende linjene og et plan parallelt med den som går gjennom den andre linjen.
I sin tur er avstanden mellom en linje og et plan parallelt med den avstanden fra et punkt på linjen til planet. Da er følgende formulering av definisjonen av avstanden mellom skjeve linjer gyldig.
Definisjon.
Avstand mellom kryssende linjer er avstanden fra et punkt på en av skjevlinjene til et plan som går gjennom den andre linjen parallelt med den første linjen.
Vurder kryssende linjene a og b. Vi markerer et bestemt punkt M 1 på linjen a, gjennom linjen b tegner vi et plan parallelt med linjen a, og fra punktet M 1 slipper vi vinkelrett M 1 H 1 på planet. Lengden på perpendikulæren M 1 H 1 er avstanden mellom de kryssende linjene a og b.
Finne avstanden mellom kryssende linjer - teori, eksempler, løsninger.
Når man skal finne avstanden mellom kryssende linjer, ligger hovedvanskeligheten ofte i å se eller konstruere et segment hvis lengde er lik ønsket avstand. Hvis et slikt segment er konstruert, kan lengden, avhengig av problemets betingelser, bli funnet ved å bruke Pythagoras teorem, tegn på likhet eller likhet i trekanter, etc. Det er dette vi gjør når vi skal finne avstanden mellom kryssende linjer i geometritimene på 10-11 klassetrinn.
Hvis Oxyz er introdusert i tredimensjonalt rom og skjeve linjer a og b er gitt i det, så tillater koordinatmetoden å takle oppgaven med å beregne avstanden mellom de gitte skjeve linjene. La oss analysere det i detalj.
La være et plan som går gjennom linjen b, parallelt med linjen a. Da er ønsket avstand mellom de kryssende linjene a og b per definisjon lik avstanden fra et punkt M 1 som ligger på linjen a til planet. Således, hvis vi bestemmer koordinatene til et punkt M 1 som ligger på linjen a, og får normalligningen til planet i formen, så kan vi beregne avstanden fra punktet 
til planet med formelen (denne formelen ble oppnådd i artikkelen som fant avstanden fra et punkt til et plan). Og denne avstanden er lik ønsket avstand mellom skjevlinjene.
Nå i detalj.
Oppgaven reduseres til å finne koordinatene til punktet M 1 som ligger på linjen a, og til å finne normalligningen til planet.
Det er ingen vanskeligheter med å bestemme koordinatene til punktet M 1 hvis du kjenner godt til hovedtypene av rettlinjeligninger i rommet. Men det er verdt å dvele ved å skaffe flyets ligning mer detaljert.
Hvis vi bestemmer koordinatene til et punkt M 2 som planet passerer gjennom, og også får normalvektoren til planet i formen 
, så kan vi skrive den generelle ligningen til planet som .
Som et punkt M 2 kan du ta et hvilket som helst punkt som ligger på linjen b, siden flyet går gjennom linjen b. Dermed kan koordinatene til punktet M 2 anses som funnet.
Det gjenstår å få koordinatene til normalvektoren til planet. La oss gjøre det.
Flyet går gjennom linje b og er parallelt med linje a. Derfor er normalvektoren til planet vinkelrett på både retningsvektoren til den rette linjen a (la oss betegne det ) og retningsvektoren til den rette linjen b (la oss betegne den ). Da kan vi ta og som en vektor, det vil si . Etter å ha bestemt koordinatene og retningsvektorene til linjene a og b og beregnet 
, vil vi finne koordinatene til normalvektoren til planet .
Så vi har den generelle ligningen for planet: .
Det gjenstår bare å bringe den generelle ligningen til planet til normal form og beregne ønsket avstand mellom de kryssende linjene a og b ved å bruke formelen.
På denne måten, for å finne avstanden mellom kryssende linjer a og b trenger du:
La oss ta en titt på et eksempel på en løsning.
Eksempel.
I tredimensjonalt rom i et rektangulært koordinatsystem Oxyz er det gitt to kryssende rette linjer a og b. Linjen a er definert
Avstand
pek til linje
Avstand mellom parallelle linjer
Geometri, 7. klasse
Til læreboken til L.S. Atanasyan
matematikklærer av høyeste kategori
MOU "Upshinskaya main omfattende skole»
Orsha-distriktet i republikken Mari El
Vinkelrett lengde trukket fra et punkt til en linje, kalt avstand fra dette punktet til rett.
AN ⏊ en
M є a, M er forskjellig fra H
Vinkelrett trukket fra et punkt til en linje, mindre noen skrå trukket fra samme punkt til denne linjen.
ER – skrå, trukket fra punkt A til linje a
AN ER
AN - skrå
AN AN
AN AK
AK - skrå
Avstand fra punkt til linje
M
Avstanden fra punkt M til linje c er ...
N
Avstanden fra punkt N til linje c er ...
Med
Avstanden fra punkt K til linje c er ...
K
Avstanden fra punkt F til linje c er ...
F
Avstand fra punkt til linje
AN ⏊ en
AN= 5,2 cm
VC ⏊ en
VC= 2,8 cm
Teorem.
Alle punktene til hver av to parallelle linjer er like langt fra den andre linjen
Gitt: a ǁ b
A є a, B є a,
Bevis: avstandene fra punktene A og B til linje a er like.
AN ⏊ b, BK ⏊ b,
Bevis: AH = BK
Δ ANC = ΔVKA(Hvorfor?)
Fra trekanters likhet følger AN = VK
Avstanden fra et vilkårlig punkt på en av de parallelle linjene til en annen linje kalles avstanden mellom disse linjene.
Invers teorem.
Alle punkter i et plan som er på samme side av en gitt linje og er like langt fra den, ligger på en linje parallelt med den gitte linjen.
AN ⏊ b, BK ⏊ b,
AH = BK
Bevis: AB ǁ b
Δ ANC = ΔKVA(Hvorfor?)
Fra trekantenes likhet følger det … , men dette er indre tverrliggende vinkler dannet av … , så AB ǁ NK
Hva er avstanden mellom linjene b og c hvis avstanden mellom linjene en og b er 4, og mellom linjene en og c er 5?
en ǁ b ǁ c
Hva er avstanden mellom linjene b og a hvis avstanden mellom linjene b og c er 7, og mellom linjene en og c er 2?
Hva er avstanden mellom linjene en og c, hvis avstanden mellom linjene b og c er 10, og mellom linjene b og en lik 6?
Hva er mengden av alle punkter i et plan like langt fra to gitte parallelle linjer?
en ǁ b
Svar: En linje parallelt med de gitte linjene og i lik avstand fra dem.
Hva er mengden av alle punkter i et plan i en gitt avstand fra en gitt linje?
Svar: To linjer parallelle med en gitt linje og plassert i en gitt avstand på motsatte sider av den.
Oh-oh-oh-oh-oh ... vel, det er blikkt, som om du leser setningen for deg selv =) Men da vil avslapning hjelpe, spesielt siden jeg kjøpte passende tilbehør i dag. Derfor, la oss fortsette til den første delen, håper jeg, ved slutten av artikkelen vil jeg holde et muntert humør.
Gjensidig arrangement av to rette linjer
Saken når salen synger med i kor. To linjer kan:
1) match;
2) være parallell: ;
3) eller kryss på et enkelt punkt: .
Hjelp til dummies : Vennligst husk matematisk tegn kryss, vil det forekomme svært ofte. Oppføringen betyr at linjen skjærer linjen i punktet.
Hvordan bestemme den relative plasseringen av to linjer?
La oss starte med det første tilfellet:
To linjer faller sammen hvis og bare hvis deres respektive koeffisienter er proporsjonale, det vil si at det er et slikt tall «lambda» at likestillingene
La oss vurdere rette linjer og komponere tre likninger fra de tilsvarende koeffisientene: . Fra hver ligning følger det at derfor disse linjene faller sammen.
Faktisk, hvis alle koeffisientene til ligningen 
multipliser med -1 (endre fortegn), og alle koeffisientene til ligningen 
reduser med 2, du får samme ligning:.
Det andre tilfellet når linjene er parallelle:
To linjer er parallelle hvis og bare hvis koeffisientene ved variablene er proporsjonale: 
, men.
Som et eksempel, tenk på to rette linjer. Vi sjekker proporsjonaliteten til de tilsvarende koeffisientene for variablene: 
Det er imidlertid klart at.
Og det tredje tilfellet, når linjene krysser hverandre:
To linjer krysser hverandre hvis og bare hvis koeffisientene til variablene IKKE er proporsjonale, det vil si at det IKKE er en slik verdi av «lambda» at likestillingene oppfylles 
Så for rette linjer vil vi komponere et system: 
Fra den første ligningen følger det at , og fra den andre ligningen: , derav, systemet er inkonsekvent(ingen løsninger). Dermed er koeffisientene ved variablene ikke proporsjonale.
Konklusjon: linjer krysser hverandre
PÅ praktiske oppgaver løsningsskjemaet som nettopp er omtalt kan brukes. Den er forresten veldig lik algoritmen for å sjekke vektorer for kollinearitet, som vi vurderte i leksjonen. Konseptet med lineær (ikke) avhengighet av vektorer. Vektor basis. Men det er en mer sivilisert pakke:
Eksempel 1
Finn ut den relative plasseringen av linjene: 
Løsning basert på studiet av retningsvektorer av rette linjer:
a) Fra ligningene finner vi retningsvektorene til linjene: 
.
, så vektorene er ikke kollineære og linjene krysser hverandre.
I tilfelle vil jeg sette en stein med pekere ved veikrysset:
Resten hopper over steinen og følger videre, rett til Kashchei the Deathless =)
b) Finn retningsvektorene til linjene: 
Linjene har samme retningsvektor, noe som betyr at de enten er parallelle eller like. Her er ikke determinanten nødvendig.
Selvfølgelig er koeffisientene til de ukjente proporsjonale, mens .
La oss finne ut om likheten er sann: 
På denne måten,
c) Finn retningsvektorene til linjene: 
La oss beregne determinanten, sammensatt av koordinatene til disse vektorene: 
, derfor er retningsvektorene kollineære. Linjene er enten parallelle eller sammenfallende.
Proporsjonalitetsfaktoren "lambda" er lett å se direkte fra forholdet mellom kollineære retningsvektorer. Imidlertid kan det også bli funnet gjennom koeffisientene til selve ligningene: 
.
La oss nå finne ut om likheten er sann. Begge gratisvilkårene er null, så:
Den resulterende verdien tilfredsstiller denne ligningen (hvilket som helst tall tilfredsstiller den vanligvis).
Dermed faller linjene sammen.
Svar:
Svært snart vil du lære (eller til og med allerede har lært) å løse det vurderte problemet verbalt bokstavelig talt i løpet av sekunder. I denne forbindelse ser jeg ingen grunn til å tilby noe for uavhengig løsning, det er bedre å legge en annen viktig murstein i det geometriske fundamentet:
Hvordan tegne en linje parallelt med en gitt?
For uvitenhet om dette den enkleste oppgaven straffer nattergalen røveren hardt.
Eksempel 2
Den rette linjen er gitt av ligningen. Skriv en ligning for en parallell linje som går gjennom punktet.
Løsning: Angi den ukjente linjen med bokstaven . Hva sier tilstanden om det? Linjen går gjennom punktet. Og hvis linjene er parallelle, så er det åpenbart at retningsvektoren til linjen "ce" også er egnet for å konstruere linjen "te".
Vi tar ut retningsvektoren fra ligningen:
Svar:
Geometrien til eksemplet ser enkel ut: 
Analytisk verifisering består av følgende trinn:
1) Vi sjekker at linjene har samme retningsvektor (hvis likningen til linjen ikke er riktig forenklet, vil vektorene være kollineære).
2) Sjekk om punktet tilfredsstiller den resulterende ligningen.
Analytisk verifisering er i de fleste tilfeller lett å utføre verbalt. Se på de to ligningene, og mange av dere vil raskt finne ut hvordan linjene er parallelle uten noen tegning.
Eksempler på selvløsning i dag vil være kreative. For du må fortsatt konkurrere med Baba Yaga, og hun, du vet, elsker alle slags gåter.
Eksempel 3
Skriv en ligning for en linje som går gjennom et punkt parallelt med linjen if
Det er en rasjonell og lite rasjonell måte å løse på. Den korteste veien er på slutten av leksjonen.
Vi jobbet litt med parallelle linjer og kommer tilbake til dem senere. Tilfellet med sammenfallende linjer er av liten interesse, så vurder et problem som er godt kjent for deg fra skolepensum:
Hvordan finne skjæringspunktet mellom to linjer?
Hvis rett 
skjærer hverandre i punktet , så er koordinatene løsningen systemer av lineære ligninger 
Hvordan finne skjæringspunktet mellom linjer? Løs systemet.
Her er til deg geometrisk betydning av systemet av to lineære ligninger med to ukjente er to kryssende (oftest) rette linjer på et plan.
Eksempel 4
Finn skjæringspunktet mellom linjer
Løsning: Det er to måter å løse - grafisk og analytisk.
Den grafiske måten er å ganske enkelt tegne de gitte linjene og finne ut skjæringspunktet direkte fra tegningen: 
Her er poenget vårt:. For å sjekke, bør du erstatte koordinatene i hver ligning på en rett linje, de skal passe både der og der. Med andre ord er koordinatene til et punkt løsningen av systemet. Faktisk vurderte vi en grafisk måte å løse på systemer av lineære ligninger med to ligninger, to ukjente.
Den grafiske metoden er selvfølgelig ikke dårlig, men det er merkbare ulemper. Nei, poenget er ikke at sjuendeklassinger bestemmer seg på denne måten, poenget er at det vil ta tid å lage en riktig og NØYAKTIG tegning. I tillegg er noen linjer ikke så enkle å konstruere, og selve skjæringspunktet kan være et sted i det trettiende rike utenfor notatbokarket.
Derfor er det mer hensiktsmessig å søke etter skjæringspunktet ved hjelp av den analytiske metoden. La oss løse systemet: 
For å løse systemet ble metoden med termvis addisjon av ligninger brukt. For å utvikle de relevante ferdighetene, besøk leksjonen Hvordan løse et ligningssystem?
Svar:
Verifikasjonen er triviell - koordinatene til skjæringspunktet må tilfredsstille hver likning i systemet.
Eksempel 5
Finn skjæringspunktet for linjene hvis de skjærer hverandre.
Dette er et gjør-det-selv eksempel. Det er praktisk å dele problemet inn i flere stadier. Analyse av tilstanden tyder på at det er nødvendig:
1) Skriv ligningen til en rett linje.
2) Skriv ligningen til en rett linje.
3) Finn ut den relative plasseringen av linjene.
4) Hvis linjene skjærer hverandre, finn skjæringspunktet.
Utviklingen av en handlingsalgoritme er typisk for mange geometriske problemer, og jeg vil gjentatte ganger fokusere på dette.
Komplett løsning og svaret på slutten av leksjonen:
Et par sko er ennå ikke utslitt, da vi kom til den andre delen av leksjonen:
Vinkelrette linjer. Avstanden fra et punkt til en linje.
Vinkel mellom linjene
La oss starte med en typisk og veldig viktig oppgave. I den første delen lærte vi hvordan vi bygger en rett linje parallelt med den gitte, og nå vil hytta på kyllingbein snu 90 grader:
Hvordan tegne en linje vinkelrett på en gitt?
Eksempel 6
Den rette linjen er gitt av ligningen. Skriv en likning for en vinkelrett linje som går gjennom et punkt.
Løsning: Det er kjent ved å anta at . Det ville vært fint å finne retningsvektoren til den rette linjen. Siden linjene er vinkelrette, er trikset enkelt:
Fra ligningen "fjerner" vi normalvektoren: , som vil være retningsvektoren til den rette linjen.
Vi komponerer likningen av en rett linje med et punkt og en retningsvektor:
Svar: 
La oss brette ut den geometriske skissen:
Hmmm... Oransje himmel, oransje hav, oransje kamel.
Analytisk verifisering av løsningen:
1) Trekk ut retningsvektorene fra ligningene 
og med hjelp prikkprodukt av vektorer vi konkluderer med at linjene faktisk er vinkelrette: .
Du kan forresten bruke vanlige vektorer, det er enda enklere.
2) Sjekk om punktet tilfredsstiller den resulterende ligningen 
.
Verifisering, igjen, er enkel å utføre verbalt.
Eksempel 7
Finn skjæringspunktet mellom vinkelrette linjer, hvis ligningen er kjent 
og prikk.
Dette er et gjør-det-selv eksempel. Det er flere handlinger i oppgaven, så det er praktisk å ordne løsningen punkt for punkt.
Våre en morsom tur fortsetter:
Avstand fra punkt til linje
Foran oss ligger en rett stripe av elven og vår oppgave er å nå den på korteste vei. Det er ingen hindringer, og den mest optimale ruten vil være bevegelse langs perpendikulæren. Det vil si at avstanden fra et punkt til en linje er lengden på det vinkelrette segmentet.
Avstand i geometri er tradisjonelt betegnet Gresk bokstav"ro", for eksempel: - avstanden fra punktet "em" til den rette linjen "de".
Avstand fra punkt til linje 
uttrykkes med formelen
Eksempel 8
Finn avstanden fra et punkt til en linje 
Løsning: alt du trenger er å erstatte tallene nøye i formelen og gjøre beregningene:
Svar: 
La oss utføre tegningen: 
Avstanden funnet fra punktet til linjen er nøyaktig lengden på det røde segmentet. Hvis du lager en tegning på rutete papir i en skala på 1 enhet. \u003d 1 cm (2 celler), så kan avstanden måles med en vanlig linjal.
Vurder en annen oppgave i henhold til samme tegning:
Oppgaven er å finne koordinatene til punktet, som er symmetrisk med punktet i forhold til linjen 
. Jeg foreslår å utføre handlingene på egen hånd, men jeg vil skissere løsningsalgoritmen med mellomresultater:
1) Finn en linje som er vinkelrett på en linje.
2) Finn skjæringspunktet mellom linjene: 
.
Begge handlingene diskuteres i detalj i denne leksjonen.
3) Punktet er midtpunktet i segmentet. Vi kjenner koordinatene til midten og en av endene. Av formler for koordinatene til midten av segmentet finne.
Det vil ikke være overflødig å kontrollere at avstanden også er lik 2,2 enheter.
Vanskeligheter her kan oppstå i beregninger, men i tårnet hjelper en mikrokalkulator mye, slik at du kan telle vanlige brøker. Har gitt råd mange ganger og vil anbefale igjen.
Hvordan finne avstanden mellom to parallelle linjer?
Eksempel 9
Finn avstanden mellom to parallelle linjer
Dette er nok et eksempel på en uavhengig løsning. Et lite hint: det er uendelig mange måter å løse på. Debriefing på slutten av leksjonen, men prøv å gjette selv, jeg tror du klarte å spre oppfinnsomheten din godt.
Vinkel mellom to linjer
Uansett hjørne, så jamben: 
I geometri tas vinkelen mellom to rette linjer MINDRE vinkel, som automatisk innebærer at det ikke kan være dumt. På figuren regnes ikke vinkelen angitt av den røde buen som vinkelen mellom kryssende linjer. Og dens "grønne" nabo eller motsatt orientert crimson hjørne.
Hvis linjene er vinkelrette, kan en hvilken som helst av de 4 vinklene tas som vinkelen mellom dem.
Hvordan er vinklene forskjellige? Orientering. For det første er retningen for å "rulle" hjørnet grunnleggende viktig. For det andre skrives en negativt orientert vinkel med et minustegn, for eksempel hvis .
Hvorfor sa jeg dette? Det ser ut til at du kan klare deg med det vanlige konseptet med en vinkel. Faktum er at i formlene som vi vil finne vinklene med, kan et negativt resultat lett oppnås, og dette bør ikke overraske deg. En vinkel med et minustegn er ikke verre, og har en veldig spesifikk geometrisk betydning. På tegningen for en negativ vinkel er det viktig å angi orienteringen (med klokken) med en pil.
Hvordan finne vinkelen mellom to linjer? Det er to arbeidsformler:
Eksempel 10
Finn vinkelen mellom linjene
Løsning og Metode én
Tenk på to linjer gitt av ligninger i generelt syn:
Hvis rett ikke vinkelrett, deretter orientert vinkelen mellom dem kan beregnes ved hjelp av formelen: 
La oss følge nøye med på nevneren - dette er nøyaktig skalært produkt retningsvektorer for rette linjer:
Hvis , så forsvinner nevneren til formelen, og vektorene vil være ortogonale og linjene vil være vinkelrette. Det er derfor tatt forbehold om at linjene i formuleringen ikke er vinkelrett.
Basert på det foregående er løsningen praktisk formalisert i to trinn:
1) Beregn skalært produkt retningsvektorer for rette linjer:
så linjene er ikke vinkelrette.
2) Vi finner vinkelen mellom linjene ved formelen:
Ved bruk av invers funksjon lett å finne selve hjørnet. I dette tilfellet bruker vi oddeligheten til buetangensen (se fig. Grafer og egenskaper til elementære funksjoner):
Svar: 
Angi i svaret eksakt verdi, samt en omtrentlig verdi (gjerne i både grader og radianer) beregnet ved hjelp av en kalkulator.
Vel, minus, så minus, det er greit. Her er en geometrisk illustrasjon: 
Det er ikke overraskende at vinkelen viste seg å ha en negativ orientering, fordi i tilstanden til problemet er det første tallet en rett linje og "vridningen" av vinkelen begynte nøyaktig fra den.
Hvis du virkelig ønsker å få en positiv vinkel, må du bytte de rette linjene, det vil si ta koeffisientene fra den andre ligningen 
, og ta koeffisientene fra den første ligningen. Kort sagt, du må begynne med en direkte 
.
Leksjonsoversikt
Trekantsummen av vinkler teorem
1. Fullt navn: Sayfetdinova Gulnara Vasilevna
2. Arbeidssted: Kommunal budsjettutdanningsinstitusjon "Knyazevskaya ungdomsskole" Tukaevsky-distriktet i republikken Tatarstan
3. Jobbtittel: matematikklærer
4. Emne: geometri
5. Klasse: 7. klasse
6. Leksjonens tema: Avstanden fra et punkt til en linje. Avstand mellom parallelle linjer.
7. Grunnleggende opplæring: Geometri.7-9 klassetrinn: en lærebok for utdanningsinstitusjoner/ utg. L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov,
S.B. Kadomtsev et al., 2010
8.Formål:
Aktivitetsmål: skape forhold for uavhengig formulering og bevis på egenskapene til skrå og perpedikulær utelatt fra et punkt til en linje, teoremet om ekvidistansen til punkter på parallelle linjer; organisere elevenes aktiviteter i oppfatning, forståelse og primær konsolidering av ny kunnskap og aktivitetsmetoder.
Emne:
anvende begrepene avstand fra et punkt til en linje, avstand mellom linjer når du løser problemer
Metaemne:
Regulatorisk UUD:
Kognitiv UUD:
Kommunikativ UUD:
Personlig UUD:
10.
Læringsmetoder: problem, forskning.
11. Organiseringsformer av utdanningsvirksomhet: frontal, gruppe, par, individuell, læringsstrukturer.
12. Utstyr, spesifikasjoner:
datamaskin, projektor, lerret, internett, programvare: Microsoft Power Point, sitteplasser i klasserommet - 4 personer ved bordet.
13. Leksjonens varighet: 45 min
14. Leksjonsplan
Jeg . Organisering av tid.
II . Kunnskapsoppdatering.
III . Sette målet for leksjonen . Introduksjon av nytt materiale.
VI. Oppsummering. Speilbilde.
Jeg . Organisering av tid.
Mål: forberede elevene til arbeid, aktivere oppmerksomhet for rask inkludering i aktiviteter.
Lærer : Hei folkens? Hvordan føler du deg? Og la oss ta det opp og starte leksjonen med et smil! La oss smile til partneren vår! La oss smile til vår skulderpartner!
II . Kunnskapsoppdatering.
Lærer : Du har studert i seks måneder ny gjenstand geometri og vet sannsynligvis hva et teorem er. Hvilke bevismetoder kjenner du til?
Mulige elevsvar: Kontradiksjonsmetode, konstruktiv metode, bevismetode basert på aksiomer og tidligere påviste teoremer (lysbilde nr. 2).
Lærer: Gutter, hva er dine assosiasjoner til ordet - avstand?
Mulige elevsvar: Avstand mellom byer, avstand mellom poler, avstand fra noe til noe (lysbilde nummer 3).
Lærer: Hva kalles avstanden mellom to punkter?
Mulige elevsvar: Kutt lengde (lysbilde nummer 4).
Lærer: Skriv inn teknologisk kart i paragraf 1
Lærer: Merk at i geometri refererer avstand til den korteste avstanden. Skriv inn i det teknologiske kartet i trinn 2
Lærer: Hva kan sies om den relative plasseringen av linjen AH og linjen a?
Lærer: Hva heter disse linjene?
Lærer: MEN Hva er navnet på segmentet AN?
Lærer: Husk: Vinkelrett er et linjestykke. Skriv inn i det teknologiske kartet i trinn 3.
III. Sette målet for leksjonen.Introduksjon av nytt materiale.
Lærer: Praktisk oppgave:
Vi er på jordet, veien går gjennom åkeren. bilde matematisk modell situasjoner. Vi må på veien. Tegn en bane (lysbilde nummer 6).
Lærer: Og hvordan kan denne banen defineres i matematisk språk? Mulige elevsvar: Vinkelrett
Lærer: Hvorfor ikke? -
Prøv å gi den et navn (lysbilde nummer 7).
Mulige elevsvar: Tilbøyelig.
Lærer: Hvor mange bakker kan trekkes fra dette punktet?
Mulige elevsvar: Masse av.
(lysbilde nummer 7).
Lærer: Så du tror det den korteste veien er den vinkelrett? Bevis det.
Lærer: Bevis nå at enhver skrå er større enn en perpendikulær.
Hva ser vi på bildet?
Mulige elevsvar: rettvinklet (lysbilde nummer 8).
Lærer: Hva heter vinkelrett og skrå i denne trekanten? Mulige elevsvar: ben og hypotenuse.
Lærer: Hvorfor er hypotenusen lengre enn benet?
Mulige elevsvar: Motsatt den større vinkelen ligger den større siden. Den største vinkelen i høyre trekant- rett. Motsatt den ligger hypotenusen.
Lærer. Hva er et annet navn for segment AC? Og hvis vi kommer tilbake til innholdet i oppgaven?
Mulige elevsvar: Avstand fra punkt til linje .
Lærer: Formuler en definisjon: "Avstanden fra et punkt til en linje er ... (lengden på perpendikulæren som faller fra dette punktet til linjen)" (lysbilde nr. 9). Skriv inn i det teknologiske kartet i trinn 4.
Lærer: Praktisk oppgave.
Finn avstanden fra punkt B til linje A D ogDC ved hjelp av en tegnetrekant og linjal (lysbilde nr. 10).teknologisk kart s. 6
Lærer: Praktisk oppgave. Konstruer to parallelle linjer a og b . Marker punkt A på linjen a. Slipp perpendikulæren fra punkt A til linje b. Plasser punkt B ved bunnen av perpendikulæren.
Hva kan du si om segment AB? (lysbilde nummer 11).
Den er vinkelrett på både linje a og linje b.
Lærer: Derfor kalles den felles perpendikulær (slide nr. 13). Skriv inn i det teknologiske kartet i avsnitt 5
Lærer: Skriv inn i det teknologiske kartet i avsnitt 6
Lærer: En oppgave. Det er påkrevd å legge linoleum i en lang korridor på gulvet. Det er kjent at to motsatte vegger er parallelle. En felles perpendikulær ble tegnet i den ene enden av korridoren, og lengden viste seg å være 4 m. Er det verdt å dobbeltsjekke lengdene på felles perpendikulære andre steder i korridoren? (lysbilde nummer 14).
Mulige elevsvar: Ikke nødvendig, lengdene deres vil også være lik 4.
Lærer: Bevis det. Men først, tegn en matematisk modell av denne situasjonen. For å bevise høydepunktet, hva som er kjent, hva som må bevises.
Hvordan er likheten mellom segmenter og vinkler vanligvis bevist i geometri?
Mulige elevsvar: Gjennom likheten av trekanter som inneholder disse segmentene og vinklene. Kom opp med en konstruksjon som vil tillate oss å bevise likheten til disse trekantene.
Struktur EnkeltRundRobin:
2. Fire elever i et team svarer én gang.
Lærer: Bevis likhet segmentene AB og CD gjennom likestilling av trekanter . På signaltavlen skriver du ned de tre betingelsene for trekanters likhetstegnet.
1. Læreren stiller et spørsmål og gir tid til å tenke
Elevene utfører tilleggskonstruksjoner, beviser likheten til trekanter, trekker en konklusjon om likheten til segmentene AB og CD (lysbilde nr. 15-17).
Lærer: Segmenter AB og CD er like. Hva kan sies om punktene A og C i forhold til linjen BD?
Mulige elevsvar: De er på lik avstand. De er like langt (lysbilde nummer 18).
Lærer: Holder denne egenskapen noen poeng?
Mulige elevsvar: Ja
Lærer: La oss prøve å formulere denne egenskapen. Hva er en eiendomspåstand?
Mulige elevsvar: Fra tilstand og konklusjon (lysbilde nr. 19,20).
Mulige elevsvar: Hvis punktene ligger på en av de parallelle linjene, er de like langt fra den andre linjen.
Lærer: Rediger denne egenskapen uten konjunksjoner: if, then (lysbilde nummer 21).
Mulige elevsvar: Punkter som ligger på en av de parallelle linjene er like langt fra den andre linjen.
Tenk-Skriv-Round Robin-struktur:
1. Læreren stiller et spørsmål og gir tid til å tenke
2. Elevene tenker og skriver ned svaret på papiret sitt
3. Elevene bytter på å lese svaret sitt fra et stykke papir.
Lærer: Hva er det motsatte utsagnet?
Mulige elevsvar: Hvis betingelsen og konklusjonen byttes om.
Lærer: Formuler det omvendte utsagnet (lysbilde nummer 22).
Mulige elevsvar: Hvis punktene som ligger på en av to linjer er like langt fra den andre linjen, så er linjene parallelle.
Lærer: Skriv inn i det teknologiske kartet i avsnitt 7.8.
Lærer: Er det mulig å definere et slikt konsept som avstanden mellom parallelle linjer?
Mulige elevsvar: Ja
Lærer: Hva er avstanden mellom parallelle linjer
Mulige elevsvar: Lengden på den vanlige perpendikulæren. Skriv inn i det teknologiske kartet i avsnitt 5.
IV. Anvendelse av teoremet, oppfyllelse av npraktisk jobb.
Lærer: Praktisk jobb. Finn bredden på stripen.
Hva er det matematiske konseptet - bredden på stripen?
Lærer: Hvor i praktisk liv Gjelder disse teoremene fortsatt?
VI. Oppsummering. Speilbilde.
Lærer: Hvilke nye konsepter fikk du?
Hva lærte du i timen?
Hvor i livet skal vi bruke det?
(lysbilde №№26-28)
Lærer: Skriv inn i det teknologiske kartet i avsnitt 9
Hjemmelekser nr. 276.279 - bevis på omvendt teoremet.
Introspeksjon av leksjonen
Mål:
Aktivitetsmål: skape betingelser for uavhengig formulering og bevis på egenskapene til skrå og vinkelrett droppet fra et punkt til en linje, skape betingelser for å bevise teoremet om ekvidistansen til punkter på parallelle linjer; organisere elevenes aktiviteter i oppfatning, forståelse og primær konsolidering av ny kunnskap og aktivitetsmetoder.
Utdanningsformål: utvikle kunnskapen om at perpendikulæren er mindre enn noen skrå trukket fra ett punkt til en rett linje, alle punktene på hver av de to parallelle linjene er like langt fra den andre linjen.
Emne: Studenten vil få mulighet til å lære:
bruke teoremet til å løse praktiske problemer
analysere, sammenligne, generalisere, trekke konklusjoner for å løse praktiske problemer.
Metaemne:
Regulatorisk UUD:
evnen til å selvstendig sette mål, velge og lage algoritmer for å løse pedagogiske matematiske problemer;
evne til å planlegge og gjennomføre aktiviteter rettet mot å løse forskningsproblemer.
Kognitiv UUD:
evnen til å etablere årsak-virkning-forhold, bygge logiske resonnementer, slutninger, konklusjoner;
evnen til å lage hypoteser ved løsning Læringsmål og forstå behovet for deres verifisering; evnen til å anvende induktive og deduktive metoder for resonnement, å se ulike strategier for å løse problemer;
utvikle innledende ideer om ideer og metoder for matematikk som et universelt vitenskapsspråk, et middel til å modellere fenomener og prosesser;
evnen til å forstå og bruke tegninger og tegninger til å illustrere, tolke, argumentere.
Kommunikativ UUD:
evnen til å organisere pedagogisk samarbeid og felles aktiviteter med lærer og studenter, bestemme mål, fordele funksjoner og roller til deltakere, generelle måter å jobbe på;
evne til å jobbe i gruppe: finne felles vedtak og løse konflikter på bakgrunn av å koordinere standpunkter og ta hensyn til interesser, lytte til en partner, formulere, argumentere og forsvare sin mening.
Personlig UUD:
formasjon kommunikativ kompetanse i kommunikasjon og samarbeid i fellestrening og forskningsaktiviteter;
utvikling av evnen til klart, nøyaktig, kompetent uttrykke sine tanker muntlig og skriving forstå betydningen av oppgaven, bygge argumenter, gi eksempler og moteksempler;
utvikling av kritisk tenkning, evnen til å gjenkjenne logisk ukorrekte utsagn, for å skille en hypotese fra et faktum;
utvikle kreativ tenkning, initiativ, ressurssterke, aktivitet i å løse geometriske problemer.
Strukturen til leksjonsfragmentet samsvarte med typen - leksjonen om å oppdage ny kunnskap. I samsvar med målene og innholdet i materialet ble leksjonen bygget i henhold til følgende stadier:
Jeg . Organisering av tid.
II . Kunnskapsoppdatering.
III . Sette målet for leksjonen . Introduksjon av nytt materiale.
IV. Anvendelse av teoremet, utførelse praktisk jobb.
VI. Oppsummering.
Alle strukturelle elementer leksjonene ble holdt. Organisasjon pedagogisk prosess bygget etter aktivitetsmetoden.
Målet med den første etappendet gikk raskt å gjøre elevene om til en forretningsrytme.
På andre trinn kunnskapen som er nødvendig for å arbeide med nytt materiale ble oppdatert.
På tredje trinnFor å definere begrepene avstand fra et punkt til en rett linje, tiltrakk begrepet en skråning barn til praktiske aktiviteter med søkeelementer. Først, på et intuitivt nivå, la elevene frem en hypotese, og beviste deretter uavhengig egenskapen til en vinkelrett og en skrå trukket fra ett punkt til en rett linje.
Som regel praktiske oppgaver Jeg brukte den gjennom hele leksjonen, inkludert under den innledende fiksingen. De bidrar til å tiltrekke studenter til selvstendig kognitiv aktivitet, og løser problemene med en kompetansebasert tilnærming til læring.
For å formulere og bevise teoremet om ekvidistansen til punkter på parallelle linjer, brukte jeg en problematisk oppgave, som bidro til å fremsette en hypotese om egenskapene til objektene som vurderes, og med det påfølgende søket etter bevis for gyldigheten av de foreslåtte antagelse.
Ved å organisere arbeidet med formuleringen av teoremet, og deretter den inverse teoremet, oppnådde jeg måletutvikling av innledende ideer om ideer og metoder for matematikk som et universelt vitenskapsspråk, et middel til å modellere fenomener og prosesser.
Pedagogisk og kognitiv aktivitet ble organisert gjennom frontalt arbeid, individuelt, gruppearbeid. En slik organisasjon tillot hver student å være aktivt involvert i å nå målet. Elevene samarbeidet med hverandre for å hjelpe hverandre.
Tiden tror jeg ble fordelt rasjonelt. I en kort periode var det mulig å introdusere begrepene avstand fra et punkt til en rett linje, en skrå linje, avstanden mellom parallelle linjer, formulere to teoremer og bevise, vurdere anvendelsen av teoremet i praksis.
For klarhets skyld ble det brukt en presentasjon i timen. Brukte et spesielt program for demonstrasjon for å sammenligne lengden på skrå og vinkelrett, der geometriske figurer komme til live. I løpet av timen brukte jeg arbeidet til elevene på signaltavlen, som løser problemene med lik deltakelse av studenter i timen, kontroll over assimileringen av materialet og, selvfølgelig, aktiverer eleven i leksjonen.
Elevene var aktive i timen, jeg klarte å involvere dem i forskningsaktiviteter, kreativ aktivitet, med en konstruktiv metode for å bevise et teorem, formulere et teorem
På slutten av timen formulerte elevene selv temaet.
Speilbilde