Finn cosinus til vinkelen mellom to rette linjer på nettet. Vinkelen mellom to rette linjer. Hvordan finne avstanden mellom to parallelle linjer
Oppgave 1
Finn cosinus til vinkelen mellom linjene $\frac(x+3)(5) =\frac(y-2)(-3) =\frac(z-1)(4) $ og $\venstre\( \begin(array )(c) (x=2\cdot t-3) \\ (y=-t+1) \\ (z=3\cdot t+5) \end(array)\right $.
La to linjer gis i rommet: $\frac(x-x_(1) )(m_(1) ) =\frac(y-y_(1) )(n_(1) ) =\frac(z-z_( 1 ) )(p_(1) ) $ og $\frac(x-x_(2) )(m_(2) ) =\frac(y-y_(2) )(n_(2) ) =\frac(z - z_(2) )(p_(2) ) $. La oss velge et vilkårlig punkt i rommet og trekke gjennom det to hjelpelinjer parallelt med dataene. Vinkelen mellom disse linjene er hvilken som helst av de to tilstøtende vinklene som dannes av hjelpelinjene. Cosinus til en av vinklene mellom rette linjer finner du ved å bruke den velkjente formelen $\cos \phi =\frac(m_(1) \cdot m_(2) +n_(1) \cdot n_(2) + p_(1) \cdot p_( 2) )(\sqrt(m_(1)^(2) +n_(1)^(2) +p_(1)^(2) ) \cdot \sqrt(m_(2) )^(2) +n_( 2)^(2) +p_(2)^(2) ) ) $. Hvis verdien $\cos \phi >0$, oppnås en spiss vinkel mellom linjene, hvis $\cos \phi
Kanoniske ligninger for den første linjen: $\frac(x+3)(5) =\frac(y-2)(-3) =\frac(z-1)(4) $.
De kanoniske ligningene til den andre linjen kan fås fra de parametriske:
\ \ \
Dermed er de kanoniske ligningene til denne linjen: $\frac(x+3)(2) =\frac(y-1)(-1) =\frac(z-5)(3) $.
Vi beregner:
\[\cos \phi =\frac(5\cdot 2+\venstre(-3\høyre)\cdot \venstre(-1\høyre)+4\cdot 3)(\sqrt(5^(2) +\ venstre(-3\høyre)^(2) +4^(2) ) \cdot \sqrt(2^(2) +\venstre(-1\høyre)^(2) +3^(2)) = \ frac(25)(\sqrt(50) \cdot \sqrt(14) ) \ca. 0,9449.\]
Oppgave 2
Den første linjen går gjennom de gitte punktene $A\left(2,-4,-1\right)$ og $B\left(-3,5,6\right)$, den andre linjen går gjennom de gitte punktene $ C\venstre (1,-2,8\høyre)$ og $D\venstre(6,7,-2\høyre)$. Finn avstanden mellom disse linjene.
La en viss linje være vinkelrett på linjene $AB$ og $CD$ og skjær dem i punktene $M$ og $N$, henholdsvis. Under disse forholdene er lengden på segmentet $MN$ lik avstanden mellom linjene $AB$ og $CD$.
Vi konstruerer vektoren $\overline(AB)$:
\[\overline(AB)=\venstre(-3-2\høyre)\cdot \bar(i)+\venstre(5-\venstre(-4\høyre)\høyre)\cdot \bar(j)+ \venstre(6-\venstre(-1\høyre)\høyre)\cdot \bar(k)=-5\cdot \bar(i)+9\cdot \bar(j)+7\cdot \bar(k) ).\]
La segmentet som viser avstanden mellom linjene passere gjennom punktet $M\venstre(x_(M) ,y_(M) ,z_(M) \right)$ på linjen $AB$.
Vi konstruerer vektoren $\overline(AM)$:
\[\overline(AM)=\venstre(x_(M) -2\høyre)\cdot \bar(i)+\venstre(y_(M) -\venstre(-4\høyre)\høyre)\cdot \ bar(j)+\venstre(z_(M) -\venstre(-1\høyre)\høyre)\cdot \bar(k)=\] \[=\venstre(x_(M) -2\høyre)\ cdot \bar(i)+\venstre(y_(M) +4\høyre)\cdot \bar(j)+\venstre(z_(M) +1\høyre)\cdot \bar(k).\]
Vektorene $\overline(AB)$ og $\overline(AM)$ er de samme, derfor er de kollineære.
Det er kjent at hvis vektorene $\overline(a)=x_(1) \cdot \overline(i)+y_(1) \cdot \overline(j)+z_(1) \cdot \overline(k)$ og $ \overline(b)=x_(2) \cdot \overline(i)+y_(2) \cdot \overline(j)+z_(2) \cdot \overline(k)$ er kollineære, deretter deres koordinater er proporsjonale, så er det $\frac(x_((\it 2)) )((\it x)_((\it 1)) ) =\frac(y_((\it 2)) )((\ it y)_( (\it 1)) ) =\frac(z_((\it 2)) )((\it z)_((\it 1))) $.
$\frac(x_(M) -2)(-5) =\frac(y_(M) +4)(9) =\frac(z_(M) +1)(7) =m$, hvor $m $ er resultatet av divisjon.
Herfra får vi: $x_(M) -2=-5\cdot m$; $y_(M) +4=9\cdot m$; $z_(M) +1=7\cdot m$.
Vi får til slutt uttrykk for koordinatene til punktet $M$:
Vi konstruerer vektoren $\overline(CD)$:
\[\overline(CD)=\venstre(6-1\høyre)\cdot \bar(i)+\venstre(7-\venstre(-2\høyre)\høyre)\cdot \bar(j)+\ venstre(-2-8\høyre)\cdot \bar(k)=5\cdot \bar(i)+9\cdot \bar(j)-10\cdot \bar(k).\]
La segmentet som representerer avstanden mellom linjene passere gjennom punktet $N\venstre(x_(N) ,y_(N) ,z_(N) \right)$ på linjen $CD$.
Vi konstruerer vektoren $\overline(CN)$:
\[\overline(CN)=\venstre(x_(N) -1\høyre)\cdot \bar(i)+\venstre(y_(N) -\venstre(-2\høyre)\høyre)\cdot \ bar(j)+\venstre(z_(N) -8\høyre)\cdot \bar(k)=\] \[=\venstre(x_(N) -1\høyre)\cdot \bar(i)+ \venstre(y_(N) +2\høyre)\cdot \bar(j)+\venstre(z_(N) -8\høyre)\cdot \bar(k).\]
Vektorene $\overline(CD)$ og $\overline(CN)$ faller sammen, derfor er de kollineære. Vi bruker betingelsen for kollinearitet av vektorer:
$\frac(x_(N) -1)(5) =\frac(y_(N) +2)(9) =\frac(z_(N) -8)(-10) =n$, hvor $n $ er resultatet av divisjon.
Herfra får vi: $x_(N) -1=5\cdot n$; $y_(N) +2=9\cdot n$; $z_(N) -8=-10\cdot n$.
Vi får til slutt uttrykk for koordinatene til punktet $N$:
Vi konstruerer vektoren $\overline(MN)$:
\[\overline(MN)=\venstre(x_(N) -x_(M) \right)\cdot \bar(i)+\left(y_(N) -y_(M) \right)\cdot \bar (j)+\venstre(z_(N) -z_(M) \høyre)\cdot \bar(k).\]
Vi erstatter uttrykk for koordinatene til punktene $M$ og $N$:
\[\overline(MN)=\venstre(1+5\cdot n-\venstre(2-5\cdot m\høyre)\høyre)\cdot \bar(i)+\] \[+\venstre(- 2+9\cdot n-\venstre(-4+9\cdot m\høyre)\høyre)\cdot \bar(j)+\venstre(8-10\cdot n-\venstre(-1+7\cdot m\høyre)\høyre)\cdot \bar(k).\]
Etter å ha fullført trinnene får vi:
\[\overline(MN)=\venstre(-1+5\cdot n+5\cdot m\right)\cdot \bar(i)+\left(2+9\cdot n-9\cdot m\right )\cdot \bar(j)+\venstre(9-10\cdot n-7\cdot m\right)\cdot \bar(k).\]
Siden linjene $AB$ og $MN$ er vinkelrette, er skalarproduktet av de tilsvarende vektorene lik null, det vil si $\overline(AB)\cdot \overline(MN)=0$:
\[-5\cdot \left(-1+5\cdot n+5\cdot m\right)+9\cdot \left(2+9\cdot n-9\cdot m\right)+7\cdot \ venstre(9-10\cdot n-7\cdot m\right)=0;\] \
Etter å ha fullført trinnene, får vi den første ligningen for å bestemme $m$ og $n$: $155\cdot m+14\cdot n=86$.
Siden linjene $CD$ og $MN$ er vinkelrette, er skalarproduktet av de tilsvarende vektorene lik null, det vil si $\overline(CD)\cdot \overline(MN)=0$:
\ \[-5+25\cdot n+25\cdot m+18+81\cdot n-81\cdot m-90+100\cdot n+70\cdot m=0.\]
Etter å ha fullført trinnene, får vi den andre ligningen for å bestemme $m$ og $n$: $14\cdot m+206\cdot n=77$.
Vi finner $m$ og $n$ ved å løse ligningssystemet $\left\(\begin(array)(c) (155\cdot m+14\cdot n=86) \\ (14\cdot m+206) \cdot n =77)\end(array)\right$.
Vi bruker Cramer-metoden:
\[\Delta =\venstre|\begin(array)(cc) (155) & (14) \\ (14) & (206) \end(array)\right|=31734; \] \[\Delta _(m) =\venstre|\begin(array)(cc) (86) & (14) \\ (77) & (206) \end(array)\right|=16638; \] \[\Delta _(n) =\venstre|\begin(array)(cc) (155) & (86) \\ (14) & (77) \end(array)\right|=10731;\ ]\
Finn koordinatene til punktene $M$ og $N$:
\ \
Endelig:
Til slutt skriver vi vektoren $\overline(MN)$:
$\overline(MN)=\left(2.691-\left(-0.6215\right)\right)\cdot \bar(i)+\left(1.0438-0.7187\right)\cdot \bar (j)+\venstre (4.618-2.6701\right)\cdot \bar(k)$ eller $\overline(MN)=3.3125\cdot \bar(i)+0.3251\cdot \bar( j)+1.9479\cdot \bar(k)$ .
Avstanden mellom linjene $AB$ og $CD$ er lengden på vektoren $\overline(MN)$:$d=\sqrt(3.3125^(2) +0.3251^(2) +1.9479^( 2) ) \ ca 3,8565$ lin. enheter
Definisjon
En geometrisk figur som består av alle punkter i planet innelukket mellom to stråler som kommer fra ett punkt kalles flat vinkel.
Definisjon
Vinkelen mellom to kryssende rett er verdien av den minste planvinkelen i skjæringspunktet mellom disse linjene. Hvis to linjer er parallelle, blir vinkelen mellom dem tatt til å være null.
Vinkelen mellom to kryssende linjer (hvis planvinkler måles i radianer) kan ta verdier fra null til $\dfrac(\pi)(2)$.
Definisjon
Vinkelen mellom to kryssende linjer er en størrelse lik vinkelen mellom to kryssende linjer parallelt med de kryssende. Vinkelen mellom linjene $a$ og $b$ er merket med $\angle (a, b)$.
Riktigheten av den introduserte definisjonen følger av følgende teorem.
Teorem om plane vinkler med parallelle sider
Størrelsen på to konvekse planvinkler med henholdsvis parallelle og identisk rettede sider er like.
Bevis
Hvis vinklene er rette, er de begge lik $\pi$. Hvis de ikke er utfoldet, plotter vi like segmenter $ON=O_1ON_1$ og $OM=O_1M_1$ på de tilsvarende sidene av vinklene $\angle AOB$ og $\angle A_1O_1B_1$.
Firkanten $O_1N_1NO$ er et parallellogram fordi dens motsatte sider $ON$ og $O_1N_1$ er like og parallelle. På samme måte er firkanten $O_1M_1MO$ et parallellogram. Derfor $NN_1 = OO_1 = MM_1$ og $NN_1 \parallell OO_1 \parallell MM_1$, derfor $NN_1=MM_1$ og $NN_1 \parallell MM_1$ ved transitivitet. Firkanten $N_1M_1MN$ er et parallellogram, siden dens motsatte sider er like og parallelle. Dette betyr at segmentene $NM$ og $N_1M_1$ er like. Trekanter $ONM$ og $O_1N_1M_1$ er like i henhold til det tredje kriteriet for trekanters likhet, som betyr at de tilsvarende vinklene $\angle NOM$ og $\angle N_1O_1M_1$ er like.
Definisjon. Hvis to linjer er gitt y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, vil den spisse vinkelen mellom disse linjene bli definert som
To linjer er parallelle hvis k 1 = k 2. To linjer er vinkelrette hvis k 1 = -1/ k 2.
Teorem. Linjene Ax + Bу + C = 0 og A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 er parallelle når koeffisientene A 1 = λA, B 1 = λB er proporsjonale. Hvis også C 1 = λC, så faller linjene sammen. Koordinatene til skjæringspunktet mellom to linjer er funnet som en løsning på likningssystemet til disse linjene.
Ligning av en linje som går gjennom et gitt punkt
Vinkelrett på en gitt linje
Definisjon. En rett linje som går gjennom punktet M 1 (x 1, y 1) og vinkelrett på den rette linjen y = kx + b er representert ved ligningen:
Avstand fra punkt til linje
Teorem. Hvis et punkt M(x 0, y 0) er gitt, blir avstanden til linjen Ax + Bу + C = 0 bestemt som
.
Bevis. La punktet M 1 (x 1, y 1) være bunnen av perpendikulæren som faller fra punkt M til en gitt rett linje. Da er avstanden mellom punktene M og M 1:
(1)
Koordinatene x 1 og y 1 kan bli funnet ved å løse ligningssystemet:
Den andre ligningen til systemet er ligningen til en linje som går gjennom et gitt punkt M 0 vinkelrett på en gitt linje. Hvis vi transformerer den første ligningen i systemet til formen:
A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + Ved 0 + C = 0,
så når vi løser, får vi:
Ved å erstatte disse uttrykkene i ligning (1), finner vi:
Teoremet er bevist.
Eksempel. Bestem vinkelen mellom linjene: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.
k 1 = -3; k2 = 2; tgφ = 
; φ= p /4.
Eksempel. Vis at linjene 3x – 5y + 7 = 0 og 10x + 6y – 3 = 0 er vinkelrette.
Løsning. Vi finner: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, derfor er linjene vinkelrette.
Eksempel. Oppgitt er toppunktene til trekanten A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Finn ligningen for høyden trukket fra toppunktet C.
Løsning. Vi finner ligningen til siden AB: 
; 4 x = 6 y – 6;
2 x – 3 y + 3 = 0;
Den nødvendige høydeligningen har formen: Ax + By + C = 0 eller y = kx + b. k = . Da er y = . Fordi høyden går gjennom punkt C, så tilfredsstiller koordinatene denne ligningen: 
fra hvor b = 17. Totalt:. 
Svar: 3 x + 2 år – 34 = 0.
Ligningen til en linje som går gjennom et gitt punkt i en gitt retning. Ligning av en linje som går gjennom to gitte punkter. Vinkelen mellom to rette linjer. Betingelsen for parallellitet og perpendikularitet av to rette linjer. Bestemme skjæringspunktet mellom to linjer
1. Ligning av en linje som går gjennom et gitt punkt EN(x 1 , y 1) i en gitt retning, bestemt av helningen k,
y - y 1 = k(x - x 1). (1)
Denne ligningen definerer en blyant av linjer som går gjennom et punkt EN(x 1 , y 1), som kalles strålesenteret.
2. Ligning av en linje som går gjennom to punkter: EN(x 1 , y 1) og B(x 2 , y 2), skrevet slik:
Vinkelkoeffisienten til en rett linje som går gjennom to gitte punkter, bestemmes av formelen
3. Vinkel mellom rette linjer EN Og B er vinkelen som den første rette linjen må roteres med EN rundt skjæringspunktet for disse linjene mot klokken til det faller sammen med den andre linjen B. Hvis to linjer er gitt ved ligninger med en helning
y = k 1 x + B 1 ,
y = k 2 x + B 2 , (4)
da bestemmes vinkelen mellom dem av formelen
Det skal bemerkes at i telleren til brøken trekkes helningen til den første linjen fra helningen til den andre linjen.
Hvis likningene til en linje er gitt i generell form
EN 1 x + B 1 y + C 1 = 0,
EN 2 x + B 2 y + C 2 = 0, (6)
vinkelen mellom dem bestemmes av formelen
4. Betingelser for parallellitet av to linjer:
a) Hvis linjene er gitt av ligningene (4) med en vinkelkoeffisient, så er den nødvendige og tilstrekkelige betingelsen for deres parallellitet likheten mellom deres vinkelkoeffisienter:
k 1 = k 2 . (8)
b) For det tilfellet når linjene er gitt ved likninger i generell form (6), er en nødvendig og tilstrekkelig betingelse for deres parallellitet at koeffisientene for de tilsvarende strømkoordinatene i deres likninger er proporsjonale, dvs.
5. Betingelser for perpendikularitet av to rette linjer:
a) I tilfellet når linjene er gitt av ligninger (4) med en vinkelkoeffisient, er en nødvendig og tilstrekkelig betingelse for deres perpendikularitet at deres vinkelkoeffisienter er inverse i størrelse og motsatt i fortegn, dvs.
Denne betingelsen kan også skrives i skjemaet
k 1 k 2 = -1. (11)
b) Hvis linjelikningene er gitt i generell form (6), så er betingelsen for deres perpendikularitet (nødvendig og tilstrekkelig) å tilfredsstille likheten
EN 1 EN 2 + B 1 B 2 = 0. (12)
6. Koordinatene til skjæringspunktet mellom to linjer finner man ved å løse ligningssystemet (6). Linjer (6) krysser hvis og bare hvis
1. Skriv likningene til linjer som går gjennom punktet M, hvorav den ene er parallell og den andre vinkelrett på den gitte linjen l.
La rette linjer gis i rommet l Og m. Gjennom et punkt A i rommet tegner vi rette linjer l 1 || l Og m 1 || m(Fig. 138).
Merk at punkt A kan velges vilkårlig spesielt, det kan ligge på en av disse linjene. Hvis rett l Og m skjæringspunktet, så kan A tas som skjæringspunktet for disse linjene ( l 1 = l Og m 1 = m).
Vinkel mellom ikke-parallelle linjer l Og m er verdien av den minste av tilstøtende vinkler dannet av kryssende linjer l 1 Og m 1 (l 1 || l, m 1 || m). Vinkelen mellom parallelle linjer regnes som lik null.
Vinkel mellom rette linjer l Og m angitt med \(\widehat((l;m))\). Av definisjonen følger det at hvis det måles i grader, så 0° < \(\widehat((l;m)) \) < 90°, og hvis i radianer, så 0 < \(\widehat((l;m)) \) < π / 2 .
Oppgave. Gitt en kube ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 (Fig. 139).
Finn vinkelen mellom rette linjer AB og DC 1.
Direkte linjer AB og DC 1 krysser. Siden rett linje DC er parallell med rett linje AB, er vinkelen mellom rette linjer AB og DC 1, ifølge definisjonen, lik \(\widehat(C_(1)DC)\).
Derfor er \(\widehat((AB;DC_1))\) = 45°.
Direkte l Og m er kalt vinkelrett, hvis \(\widehat((l;m)) \) = π / 2. For eksempel i en kube
Beregning av vinkelen mellom rette linjer.
Problemet med å beregne vinkelen mellom to rette linjer i rommet løses på samme måte som i et plan. La oss angi med φ størrelsen på vinkelen mellom linjene l 1 Og l 2, og gjennom ψ - størrelsen på vinkelen mellom retningsvektorene EN Og b disse rette linjene.
Så hvis
ψ <90° (рис. 206, а), то φ = ψ; если же ψ >90° (fig. 206.6), så φ = 180° - ψ. I begge tilfeller er det åpenbart likheten cos φ = |cos ψ|. I henhold til formelen (cosinus til vinkelen mellom ikke-null vektorer a og b er lik skalarproduktet av disse vektorene delt på produktet av deres lengder) har vi
$$ cos\psi = cos\widehat((a; b)) = \frac(a\cdot b)(|a|\cdot |b|) $$
derfor,
$$ cos\phi = \frac(|a\cdot b|)(|a|\cdot |b|) $$
La linjene være gitt av deres kanoniske ligninger
$$ \frac(x-x_1)(a_1)=\frac(y-y_1)(a_2)=\frac(z-z_1)(a_3) \;\; Og \;\; \frac(x-x_2)(b_1)=\frac(y-y_2)(b_2)=\frac(z-z_2)(b_3) $$
Deretter bestemmes vinkelen φ mellom linjene ved hjelp av formelen
$$ cos\phi = \frac(|a_(1)b_1+a_(2)b_2+a_(3)b_3|)(\sqrt((a_1)^2+(a_2)^2+(a_3)^2 )\sqrt((b_1)^2+(b_2)^2+(b_3)^2)) (1)$$
Hvis en av linjene (eller begge) er gitt av ikke-kanoniske ligninger, må du finne koordinatene til retningsvektorene til disse linjene for å beregne vinkelen, og deretter bruke formel (1).
Oppgave 1. Regn ut vinkelen mellom linjene
$$ \frac(x+3)(-\sqrt2)=\frac(y)(\sqrt2)=\frac(z-7)(-2) \;\;og\;\; \frac(x)(\sqrt3)=\frac(y+1)(\sqrt3)=\frac(z-1)(\sqrt6) $$
Retningsvektorer for rette linjer har koordinater:
a = (-√2 ; √2 ; -2), b = (√3 ; √3 ; √6 ).
Ved å bruke formel (1) finner vi
$$ cos\phi = \frac(|-\sqrt6+\sqrt6-2\sqrt6|)(\sqrt(2+2+4)\sqrt(3+3+6))=\frac(2\sqrt6)( 2\sqrt2\cdot 2\sqrt3)=\frac(1)(2) $$
Derfor er vinkelen mellom disse linjene 60°.
Oppgave 2. Regn ut vinkelen mellom linjene
$$ \begin(cases)3x-12z+7=0\\x+y-3z-1=0\end(cases) og \begin(cases)4x-y+z=0\\y+z+1 =0\end(cases) $$
Bak guidevektoren EN På den første linjen tar vi vektorproduktet av normale vektorer n 1 = (3; 0; -12) og n 2 = (1; 1; -3) plan som definerer denne linjen. Ved å bruke formelen \(=\begin(vmatrix) i & j & k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end(vmatrix) \) får vi
$$ a==\begin(vmatrix) i & j & k \\ 3 & 0 & -12 \\ 1 & 1 & -3 \end(vmatrix)=12i-3i+3k $$
På samme måte finner vi retningsvektoren til den andre rette linjen:
$$ b=\begin(vmatrix) i & j & k \\ 4 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end(vmatrix)=-2i-4i+4k $$
Men ved å bruke formel (1) beregner vi cosinus til ønsket vinkel:
$$ cos\phi = \frac(|12\cdot (-2)-3(-4)+3\cdot 4|)(\sqrt(12^2+3^2+3^2)\sqrt(2) ^2+4^2+4^2))=0 $$
Derfor er vinkelen mellom disse linjene 90°.
Oppgave 3. I den trekantede pyramiden MABC er kantene MA, MB og MC innbyrdes perpendikulære (fig. 207);
deres lengder er henholdsvis 4, 3, 6. Punkt D er midten [MA]. Finn vinkelen φ mellom linjene CA og DB.
La CA og DB være retningsvektorene til rette linjer CA og DB.
La oss ta punkt M som opprinnelsen til koordinatene. Ved betingelsen til ligningen har vi A (4; 0; 0), B(0; 0; 3), C(0; 6; 0), D (2; 0; 0). Derfor \(\overrightarrow(CA)\) = (4; - 6;0), \(\overrightarrow(DB)\)= (-2; 0; 3). La oss bruke formel (1):
$$ cos\phi=\frac(|4\cdot (-2)+(-6)\cdot 0+0\cdot 3|)(\sqrt(16+36+0)\sqrt(4+0+9 )) $$
Ved å bruke cosinustabellen finner vi at vinkelen mellom rette linjer CA og DB er omtrent 72°.
EN. La to rette linjer gis Disse rette linjene, som angitt i kapittel 1, danner ulike positive og negative vinkler, som enten kan være spisse eller stumpe. Når vi kjenner en av disse vinklene, kan vi lett finne en annen.
For alle disse vinklene er den numeriske verdien av tangenten den samme, forskjellen kan bare være i tegnet
Ligninger av linjer. Tallene er projeksjonene av retningsvektorene til den første og andre rette linjen. Vinkelen mellom disse vektorene er lik en av vinklene som dannes av rette linjer. Derfor kommer problemet ned til å bestemme vinkelen mellom vektorene vi får
For enkelhets skyld kan vi bli enige om at vinkelen mellom to rette linjer forstås som en spiss positiv vinkel (som f.eks. i fig. 53).
Da vil tangenten til denne vinkelen alltid være positiv. Derfor, hvis det er et minustegn på høyre side av formel (1), må vi forkaste det, dvs. lagre bare den absolutte verdien.
Eksempel. Bestem vinkelen mellom rette linjer
I henhold til formel (1) har vi
Med. Hvis det er indikert hvilken av sidene av vinkelen som er dens begynnelse og hvilken som er slutten, kan vi, alltid telle retningen til vinkelen mot klokken, trekke ut noe mer fra formel (1). Som det lett kan ses av fig. 53, vil tegnet oppnådd på høyre side av formel (1) indikere hva slags vinkel - spiss eller stump - den andre rette linjen danner med den første.
(Faktisk, fra fig. 53 ser vi at vinkelen mellom den første og andre retningsvektoren enten er lik den ønskede vinkelen mellom de rette linjene, eller skiller seg fra den med ±180°.)
d. Hvis linjene er parallelle, er retningsvektorene deres parallelle.
Dette er en nødvendig og tilstrekkelig betingelse for parallelliteten til to linjer.
Eksempel. Direkte
er parallelle fordi
e. Hvis linjene er vinkelrette, er retningsvektorene deres også vinkelrette. Ved å anvende betingelsen for perpendikularitet til to vektorer, får vi betingelsen for perpendikularitet til to rette linjer, nemlig
Eksempel. Direkte
er vinkelrett på grunn av det faktum at
I forbindelse med betingelsene for parallellitet og perpendikularitet vil vi løse følgende to problemer.
f. Tegn en linje gjennom et punkt parallelt med den gitte linjen
Løsningen utføres slik. Siden den ønskede linjen er parallell med denne, kan vi for retningsvektoren ta den samme som den til den gitte linjen, dvs. en vektor med projeksjoner A og B. Og så vil ligningen til den ønskede linjen skrives i skjemaet (§ 1)
Eksempel. Ligning av en linje som går gjennom punktet (1; 3) parallelt med linjen
det blir neste!
g. Tegn en linje gjennom et punkt vinkelrett på den gitte linjen
Her er det ikke lenger egnet å ta vektoren med projeksjoner A og som ledevektor, men det er nødvendig å ta vektoren vinkelrett på denne. Projeksjonene til denne vektoren må derfor velges i henhold til betingelsen for perpendikularitet til begge vektorer, dvs. i henhold til tilstanden
Denne betingelsen kan oppfylles på utallige måter, siden her er en ligning med to ukjente. Men den enkleste måten er å ta den
Eksempel. Ligning av en linje som går gjennom punktet (-7; 2) i en vinkelrett linje
det vil være følgende (i henhold til den andre formelen)!
h. I tilfellet når linjene er gitt ved formlikninger
å omskrive disse ligningene annerledes, har vi