Finn toppunktene til en trekant hvis sider er gitt av ligningen. Hvordan lære å løse problemer i analytisk geometri? Typisk problem med en trekant på et plan. Hva du trenger å vite og kunne gjøre for å lykkes med å løse geometriproblemer

Hvordan lære å løse problemer i analytisk geometri?
Typisk problem med en trekant på et plan

Denne leksjonen er laget om tilnærmingen til ekvator mellom planets geometri og rommets geometri. For øyeblikket er det behov for å systematisere den akkumulerte informasjonen og svare på et veldig viktig spørsmål: hvordan lære å løse problemer i analytisk geometri? Vanskeligheten er at du kan komme opp med et uendelig antall problemer i geometri, og ingen lærebok vil inneholde all mangfoldet og mangfoldet av eksempler. Er ikke avledet av en funksjon med fem regler for differensiering, en tabell og flere teknikker...

Det finnes en løsning! Jeg vil ikke snakke høyt om det faktum at jeg har utviklet en slags grandiose teknikk, men etter min mening er det en effektiv tilnærming til problemet under vurdering, som lar selv en komplett dummy oppnå gode og utmerkede resultater. I det minste tok den generelle algoritmen for å løse geometriske problemer form veldig tydelig i hodet mitt.

HVA DU MÅ VITE OG KUNNE GJØRE
for å lykkes med å løse geometriproblemer?

Det er ingen flukt fra dette - for ikke å stikke knappene tilfeldig med nesen din, må du mestre det grunnleggende om analytisk geometri. Derfor, hvis du nettopp har begynt å studere geometri eller har glemt det helt, vennligst start med leksjonen Vektorer for dummies. I tillegg til vektorer og handlinger med dem, må du kjenne til de grunnleggende konseptene for plangeometri, spesielt, ligning av en linje i et plan Og . Geometrien til rommet er presentert i artikler Planligning, Ligninger av en linje i rommet, Grunnleggende problemer på en rett linje og et fly og noen andre leksjoner. Buede linjer og romlige overflater av andre orden skiller seg noe fra hverandre, og det er ikke så mange spesifikke problemer med dem.

La oss anta at studenten allerede har grunnleggende kunnskaper og ferdigheter i å løse de enkleste problemene innen analytisk geometri. Men det skjer slik: du leser erklæringen om problemet, og ... du vil lukke hele greia, kaste det i et langt hjørne og glemme det, som en vond drøm. Dessuten avhenger dette fundamentalt ikke av kvalifikasjonsnivået fra tid til annen jeg selv kommer over oppgaver som løsningen ikke er åpenbar for. Hva skal man gjøre i slike tilfeller? Det er ingen grunn til å være redd for en oppgave du ikke forstår!

for det første, bør installeres - Er dette et "flat" eller romlig problem? For eksempel, hvis betingelsen inkluderer vektorer med to koordinater, så er dette selvfølgelig geometrien til et plan. Og hvis læreren lastet den takknemlige lytteren med en pyramide, så er det helt klart rommets geometri. Resultatene av det første trinnet er allerede ganske gode, fordi vi klarte å kutte av en enorm mengde informasjon som var unødvendig for denne oppgaven!

Sekund. Tilstanden vil vanligvis bekymre deg med en eller annen geometrisk figur. Faktisk, gå langs korridorene til ditt hjemlige universitet, og du vil se mange bekymrede ansikter.

I "flate" problemer, for ikke å nevne de åpenbare punktene og linjene, er den mest populære figuren en trekant. Vi vil analysere det i stor detalj. Deretter kommer parallellogrammet, og mye mindre vanlig er rektangel, firkant, rombe, sirkel og andre former.

I romlige problemer kan de samme flate figurene + selve flyene og vanlige trekantede pyramider med parallellepiped fly.

Spørsmål to - Vet du alt om denne figuren? Anta at tilstanden snakker om en likebenet trekant, og du husker veldig vagt hva slags trekant det er. Vi åpner en skolebok og leser om en likebenet trekant. Hva skal jeg gjøre... legen sa en rombe, det betyr en rombe. Analytisk geometri er analytisk geometri, men problemet vil bli løst av de geometriske egenskapene til selve figurene, kjent for oss fra skolens læreplan. Hvis du ikke vet hva summen av vinklene til en trekant er, kan du lide i lang tid.

Tredje. Prøv ALLTID å følge tegningen(på utkast/ferdigkopi/mentalt), selv om dette ikke kreves av betingelsen. I "flate" problemer beordret Euclid selv å plukke opp en linjal og en blyant - og ikke bare for å forstå tilstanden, men også for selvtesting. I dette tilfellet er den mest praktiske skalaen 1 enhet = 1 cm (2 bærbare celler). La oss ikke snakke om uforsiktige elever og matematikere som spinner i gravene deres – det er nesten umulig å gjøre feil i slike problemer. For romlige oppgaver utfører vi en skjematisk tegning, som også vil bidra til å analysere tilstanden.

En tegning eller skjematisk tegning lar deg ofte umiddelbart se hvordan du løser et problem. Selvfølgelig, for dette må du kjenne grunnlaget for geometri og forstå egenskapene til geometriske former (se forrige avsnitt).

Fjerde. Utvikling av en løsningsalgoritme. Mange geometriproblemer er flertrinns, så løsningen og dens design er veldig praktisk å dele opp i punkter. Ofte dukker algoritmen opp umiddelbart etter at du har lest betingelsen eller fullført tegningen. Ved vanskeligheter starter vi med SPØRSMÅLET til oppgaven. For eksempel, i henhold til betingelsen "du må konstruere en rett linje ...". Her er det mest logiske spørsmålet: "Hva er nok å vite for å konstruere denne rette linjen?" Anta at "vi vet poenget, vi trenger å kjenne retningsvektoren." Vi stiller følgende spørsmål: "Hvordan finner jeg denne retningsvektoren? Hvor?" etc.

Noen ganger er det en "feil" - problemet er ikke løst, og det er det. Årsakene til stoppet kan være følgende:

– Alvorlig hull i grunnleggende kunnskap. Med andre ord, du vet ikke og/eller ser ikke en veldig enkel ting.

– Uvitenhet om egenskapene til geometriske figurer.

– Oppgaven var vanskelig. Ja, det skjer. Det nytter ikke å dampe i timevis og samle tårer i et lommetørkle. Søk råd fra læreren din, medstudenter, eller still et spørsmål på forumet. Dessuten er det bedre å gjøre uttalelsen konkret - om den delen av løsningen du ikke forstår. Et rop i form av "Hvordan løser jeg problemet?" ser ikke veldig bra ut... og fremfor alt for ditt eget rykte.

Etappe fem. Vi bestemmer-sjekker, bestemmer-sjekker, bestemmer-sjekker-gir svar. Det er en fordel å sjekke hvert punkt i oppgaven umiddelbart etter at den er fullført. Dette vil hjelpe deg å oppdage feilen umiddelbart. Naturligvis er det ingen som forbyr å raskt løse hele problemet, men det er en risiko for å omskrive alt på nytt (ofte flere sider).

Dette er kanskje alle hovedhensynene som bør følges når man løser problemer.

Den praktiske delen av leksjonen presenteres i plangeometri. Det vil bare være to eksempler, men det virker ikke nok =)

La oss gå gjennom tråden til algoritmen som jeg nettopp så på i mitt lille vitenskapelige arbeid:

Eksempel 1

Tre hjørner av et parallellogram er gitt. Finn toppen.

La oss begynne å forstå:

Steg en: Det er åpenbart at vi snakker om et "flat" problem.

Trinn to: Oppgaven omhandler et parallellogram. Husker alle denne parallellogramfiguren? Det er ingen grunn til å smile, mange mennesker får utdannelsen ved 30-40-50 år eller mer, så selv enkle fakta kan slettes fra hukommelsen. Definisjonen av et parallellogram finnes i eksempel nr. 3 i leksjonen Lineær (ikke) avhengighet av vektorer. Grunnlag for vektorer.

Trinn tre: La oss lage en tegning der vi markerer tre kjente hjørner. Det er morsomt at det ikke er vanskelig å umiddelbart konstruere ønsket punkt:

Å konstruere det er selvfølgelig bra, men løsningen må formuleres analytisk.

Trinn fire: Utvikling av en løsningsalgoritme. Det første du tenker på er at et punkt kan bli funnet som skjæringspunktet mellom linjer. Vi kjenner ikke ligningene deres, så vi må forholde oss til dette problemet:

1) Motstående sider er parallelle. Etter poeng La oss finne retningsvektoren til disse sidene. Dette er det enkleste problemet som ble diskutert i klassen. Vektorer for dummies.

Merk: det er mer korrekt å si "ligningen til en linje som inneholder en side," men her og videre for korthets skyld vil jeg bruke setningene "likning av en side," "retningsvektor for en side," etc.

3) Motstående sider er parallelle. Ved hjelp av punktene finner vi retningsvektoren til disse sidene.

4) La oss lage en ligning av en rett linje ved hjelp av et punkt og en retningsvektor

I avsnitt 1-2 og 3-4 løste vi faktisk det samme problemet to ganger, det ble diskutert i eksempel nr. 3 i leksjonen De enkleste problemene med en rett linje på et fly. Det var mulig å ta en lengre rute - finn først likningene til linjene og først deretter "trekk ut" retningsvektorene fra dem.

5) Nå er likningene til linjene kjent. Alt som gjenstår er å komponere og løse det tilsvarende systemet med lineære ligninger (se eksempel nr. 4, 5 i samme leksjon De enkleste problemene med en rett linje på et fly).

Poenget er funnet.

Oppgaven er ganske enkel og løsningen er åpenbar, men det er en kortere vei!

Andre løsning:

Diagonalene til et parallellogram er todelt etter skjæringspunktet. Jeg markerte poenget, men for ikke å rote tegningen, tegnet jeg ikke selve diagonalene.

La oss lage en ligning for siden punkt for punkt:

For å sjekke, bør du mentalt eller på et utkast erstatte koordinatene til hvert punkt i den resulterende ligningen. La oss nå finne skråningen. For å gjøre dette, omskriver vi den generelle ligningen i form av en ligning med en helningskoeffisient:

Dermed er helningen:

På samme måte finner vi likningene til sidene. Jeg ser ikke så mye poeng i å beskrive det samme, så jeg vil umiddelbart gi det ferdige resultatet:

2) Finn lengden på siden. Dette er det enkleste problemet dekket i klassen. Vektorer for dummies. For poeng vi bruker formelen:

Ved å bruke samme formel er det enkelt å finne lengdene på andre sider. Kontrollen kan gjøres veldig raskt med en vanlig linjal.

Vi bruker formelen .

La oss finne vektorene:

Dermed:

Underveis fant vi forresten lengdene på sidene.

Som et resultat:

Vel, det ser ut til å være sant; for å være overbevisende kan du feste en gradskive til hjørnet.

Merk følgende! Ikke forveksle vinkelen til en trekant med vinkelen mellom rette linjer. Vinkelen til en trekant kan være stump, men vinkelen mellom rette linjer kan ikke (se siste avsnitt i artikkelen De enkleste problemene med en rett linje på et fly). For å finne vinkelen til en trekant kan du imidlertid også bruke formlene fra leksjonen ovenfor, men grovheten er at disse formlene alltid gir en spiss vinkel. Med deres hjelp løste jeg dette problemet i utkast og fikk resultatet. Og på den endelige kopien måtte jeg skrive ned flere unnskyldninger, det .

4) Skriv en ligning for en linje som går gjennom et punkt parallelt med linjen.

Standardoppgave, omtalt i detalj i eksempel nr. 2 i leksjonen De enkleste problemene med en rett linje på et fly. Fra den generelle ligningen til linjen La oss ta ut guidevektoren. La oss lage en likning av en rett linje ved å bruke et punkt og en retningsvektor:

Hvordan finne høyden på en trekant?

5) La oss lage en ligning for høyden og finne lengden.

Det er ingen flukt fra strenge definisjoner, så du må stjele fra en skolebok:

Trekanthøyde kalles vinkelrett trukket fra toppunktet i trekanten til linjen som inneholder motsatt side.

Det vil si at det er nødvendig å lage en ligning for en vinkelrett trukket fra toppunktet til siden. Denne oppgaven er omtalt i eksempel nr. 6, 7 i leksjonen De enkleste problemene med en rett linje på et fly. Fra Eq. fjern normalvektoren. La oss komponere høydeligningen ved å bruke et punkt og en retningsvektor:

Vær oppmerksom på at vi ikke kjenner koordinatene til punktet.

Noen ganger er høydeligningen funnet fra forholdet mellom vinkelkoeffisientene til vinkelrette linjer: . I dette tilfellet: . La oss komponere høydeligningen ved å bruke et punkt og en vinkelkoeffisient (se begynnelsen av leksjonen Ligning av en rett linje på et plan):

Høydelengden kan finnes på to måter.

Det er en rundkjøring:

a) funn – skjæringspunktet mellom høyde og side;
b) finn lengden på segmentet ved å bruke to kjente punkter.

Men i klassen De enkleste problemene med en rett linje på et fly en praktisk formel for avstanden fra et punkt til en linje ble vurdert. Poenget er kjent: , linjens ligning er også kjent: , Dermed:

6) Beregn arealet av trekanten. I verdensrommet beregnes arealet av en trekant tradisjonelt ved hjelp av vektorprodukt av vektorer, men her får vi en trekant på et plan. Vi bruker skoleformelen:
– Arealet av en trekant er lik halvparten av produktet av basen og høyden.

I dette tilfellet:

Hvordan finne medianen til en trekant?

7) La oss lage en ligning for medianen.

Median av en trekant kalt et segment som forbinder toppunktet i en trekant med midten av motsatt side.

a) Finn punktet - midten av siden. Vi bruker formler for koordinatene til midtpunktet i et segment. Koordinatene til endene av segmentet er kjent: , deretter koordinatene til midten:

Dermed:

La oss komponere medianligningen punkt for punkt :

For å sjekke ligningen må du sette inn koordinatene til punktene i den.

8) Finn skjæringspunktet mellom høyden og medianen. Jeg tror alle allerede har lært hvordan man utfører dette elementet av kunstløp uten å falle:

KapittelV. ANALYTISK GEOMETRI PÅ FLYET

OG I ROMMET

Avsnittet inkluderer oppgaver som diskuteres i emnet "Analytisk geometri på planet og i rommet": tegne opp ulike ligninger av rette linjer på planet og i rommet; bestemme den relative plasseringen av linjer på et plan, rette linjer, en rett linje og et plan, plan i rommet; bilde av andre ordens kurver. Det skal bemerkes at denne delen presenterer problemer med økonomisk innhold, hvis løsning bruker informasjon fra analytisk geometri på et plan.

Når du løser problemer med analytisk geometri, er det tilrådelig å bruke lærebøker fra følgende forfattere: D.V. Kletenika, N. Sh Kremer, D.T. Skrevet av V.I. Malykhina, fordi Denne litteraturen dekker et bredere spekter av oppgaver som kan brukes til selvstudium om dette emnet. Anvendelsen av analytisk geometri for å løse økonomiske problemer er presentert i pedagogiske publikasjoner av M.S. Krass og V.I. Ermakova.

Oppgave 5.1. Gitt koordinatene til toppunktene i trekantenABC . Nødvendig

a) skriv likningene til sidene i trekanten;

b) skriv ligningen for høyden til en trekant trukket fra toppunktetMED til sidenAB og finn dens lengde;

c) skriv ligningen for medianen til en trekant trukket fra toppunktetI til sidenAC ;

d) finn vinklene til trekanten og fastslå dens type (rektangulær, spiss, stump);

e) finn lengdene på sidene i trekanten og bestem dens type (skala, likebenet, likesidet);

e) finn koordinatene til tyngdepunktet (skjæringspunktet mellom medianene) til trekantenABC ;

g) finn koordinatene til ortosenteret (skjæringspunktet mellom høyder) til trekantenABC .

For hvert av punktene a) – c) i løsningen, lag tegninger i et koordinatsystem. På bildene markerer du linjene og punktene som tilsvarer punktene i oppgaven.

Eksempel 5.1

Gitt koordinatene til toppunktene i trekantenABC : . Det er nødvendig å a) skrive likningene til sidene i trekanten; b) skriv ligningen for høyden til en trekant trukket fra toppunktet MED til sidenAB og finn dens lengde; c) skriv ligningen for medianen til en trekant trukket fra toppunktetI til sidenAC ; d) finn lengdene på sidene i trekanten og bestem dens type (skala, likebenet, likesidet); e) finn vinklene til trekanten og fastslå dens type (rektangulær, spiss, stump); e) finn koordinatene til tyngdepunktet (skjæringspunktet mellom medianene) til trekanten ABC ; g) finn koordinatene til ortosenteret (skjæringspunktet mellom høyder) til trekantenABC .

Løsning

EN) For hver side av trekanten er koordinatene til to punkter som ligger på de nødvendige linjene kjent, noe som betyr at likningene til sidene i trekanten er likningene til linjer som går gjennom to gitte punkter

,

Hvor
Og
de tilsvarende koordinatene til punktene.

Ved å erstatte koordinatene til punktene som tilsvarer de rette linjene i formel (5.1), får vi altså

,
,
,

hvorfra vi etter transformasjoner skriver ned likningene til sidene

I fig. 7 viser vi de tilsvarende sidene av trekanten
rett.

Svar:

b) La
– høyde trukket fra toppunktet til siden
. Fordi det
går gjennom et punkt vinkelrett på vektoren
, så vil vi komponere ligningen til den rette linjen ved hjelp av følgende formel

Hvor
- koordinater til vektoren vinkelrett på ønsket linje,
– koordinater til et punkt som tilhører denne linjen. Finn koordinatene til vektoren vinkelrett på linjen
, og bytt inn i formel (5.2)

,
,

.

Finn lengden på høyden CH som avstand fra punkt til en rett linje

,

Hvor
– ligning av en rett linje
,
– punktkoordinater .

I forrige avsnitt ble det funnet

Ved å erstatte dataene i formel (5.3), får vi

,

I fig. 8 tegn en trekant og den funnet høyden CH.

Svar: .

R er.

8 V)
median
triangel
deler siden i to like deler, dvs. punktum
er midtpunktet av segmentet
. Ut fra dette kan du finne koordinatene

, ,

Hvor
Og
Og poeng

;
.

, erstatter som i formlene (5.4), får vi
median
Median ligning
Og
La oss skrive det som en ligning av en linje som går gjennom punktene

,

.

Svar: i henhold til formel (5.1)

R (Fig. 9).

er. 9

,
,
.

G)
Og
median
Vi finner lengdene på sidene i trekanten som lengdene til de tilsvarende vektorene, dvs.
.

Svar: Fester
likebenet med base
;

,
.

d) Vinkler av en trekant
la oss finne vinklene mellom vektorene som kommer fra de tilsvarende toppunktene i en gitt trekant, dvs.

,
,
.

Siden trekanten er likebenet med en base
, Det

,

Vi beregner vinklene mellom vektorene ved hjelp av formel (4.4), som krever skalarprodukter av vektorer
,
.

La oss finne koordinatene og størrelsene til vektorene som er nødvendige for å beregne vinklene

,
;

,
,
.

Ved å erstatte de funnet dataene i formel (4.4), får vi

,

Siden cosinusene til alle vinkler funnet er positive, er trekanten
er spissvinklet.

Svar: Fester
spissvinklet;

,
,
.

e) La

, deretter koordinatene
. Ut fra dette kan du finne koordinatene
kan bli funnet ved hjelp av formler (5.5)

, ,

Hvor
,
Og
– koordinater til punktene hhv , Og , derfor,

,
.

Svar:
– trekantens tyngdepunkt
.

og) La – ortosenter av trekanten
. Finn koordinatene til punktet som koordinatene til skjæringspunktet mellom høydene til trekanten. Høydeligning
ble funnet kl b). La oss finne høydeligningen
:

,
,

.

Fordi det
, deretter løsningen av systemet

er koordinatene til punktet , hvor vi finner
.

Svar:
– ortosenter av trekanten
.

Oppgave 5.2. Faste kostnader ved en bedrift ved å produsere noen produkter erF V 0 gni. per produksjonsenhet, med inntekter påR 0 gni. per enhet produsert produkt. Lag en profittfunksjonP (q ) (q

Data for problemtilstanden som tilsvarer alternativene:

Eksempel 5.2

Faste kostnader ved en bedrift ved å produsere noen produkter er
gni. per måned, variable kostnader –
gni. per produksjonsenhet, med omsetning på
gni. per enhet produsert produkt. Lag en profittfunksjonP (q ) (q – mengde produserte produkter); bygge grafen og bestemme break-even-punktet.

Løsning

La oss beregne de totale produksjonskostnadene ved utgivelse q enheter av noen produkter

Hvis solgt q produksjonsenheter, så blir totalinntekten

Basert på de oppnådde funksjonene av totale inntekter og totale kostnader finner vi profittfunksjonen

,

.

Break-even punkt – punktet der fortjenesten er null, eller punktet der totale kostnader er lik total inntekt

,

,

hvor finner vi det fra?

- break even.

For å plotte en graf (fig. 10) av profittfunksjonen, finner vi ett punkt til

Svar: profittfunksjon
, break even
.

Oppgave 5.3. Lovene for tilbud og etterspørsel for et bestemt produkt bestemmes av likningenes = s D (q ), s = s S (q ), Hvors - prisen på produktet,q - mengde varer. Det antas at etterspørselen kun bestemmes av prisen på produktet på markedets MED , og tilbudet er kun etter priss S mottatt av leverandører. Nødvendig

a) bestemme markedslikevektspunktet;

b) likevektspunktet etter innføring av en skatt likt . Bestem økningen i pris og nedgang i likevektssalgsvolum;

c) finne et tilskudds , som vil føre til en økning i salget medq 0 enheter i forhold til originalen (definert i avsnitt a));

d) finne et nytt likevektspunkt og statlig inntekt ved innføring av en skatt proporsjonal med prisen og likN %;

e) bestemme hvor mye penger staten vil bruke på å kjøpe opp overskuddet ved å sette en minstepris lik s 0 .

For hvert løsningspunkt lager du en tegning i koordinatsystemet. I figuren markerer du linjene og punktene som tilsvarer oppgavepunktet.

Data for problemtilstanden som tilsvarer alternativene:

I geometri vurderes ofte konseptet "toppunktet til en trekant". Dette er skjæringspunktet mellom to sider av en gitt figur. Dette konseptet vises i nesten alle problemer, så det er fornuftig å vurdere det mer detaljert.

Bestemme toppunktet til en trekant

I en trekant er det tre punkter der sidene skjærer hverandre og danner tre vinkler. De kalles toppunkter, og sidene de hviler på kalles sider av trekanten.

Ris. 1. Toppunkt i en trekant.

Toppene i trekanter er angitt med store bokstaver. Derfor, oftest i matematikk, er sider betegnet med to store latinske bokstaver, etter navnene på hjørnene som kommer inn i sidene. For eksempel er side AB siden av en trekant som forbinder hjørnene A og B.

Ris. 2. Betegnelse på toppunkter i en trekant.

Kjennetegn ved konseptet

Hvis vi tar en trekant vilkårlig orientert i et plan, er det i praksis veldig praktisk å uttrykke dens geometriske egenskaper gjennom koordinatene til toppunktene til denne figuren. Dermed kan toppunktet A i en trekant uttrykkes som et punkt med visse numeriske parametere A(x; y).

Når du kjenner koordinatene til trekantens hjørner, kan du finne skjæringspunktene til medianene, lengden på høyden senket til en av sidene av figuren, og arealet av trekanten.

For å gjøre dette brukes egenskapene til vektorer som er avbildet i det kartesiske koordinatsystemet, fordi lengden på siden av en trekant bestemmes gjennom lengden på vektoren med punktene der de tilsvarende toppunktene til denne figuren er plassert.

Bruke toppunktet til en trekant

For et hvilket som helst toppunkt i en trekant kan du finne en vinkel som vil være ved siden av den indre vinkelen til den aktuelle figuren. For å gjøre dette, må du forlenge en av sidene av trekanten. Siden det er to sider ved hvert toppunkt, er det to ytre vinkler ved hvert toppunkt. En ytre vinkel er lik summen av to indre vinkler i en trekant som ikke er ved siden av den.

Ris. 3. Egenskapen til den ytre vinkelen til en trekant.

Hvis du konstruerer to ytre vinkler ved ett toppunkt, vil de være like, som vertikale.

Hva har vi lært?

Et av de viktige geometribegrepene når man ser på forskjellige typer trekanter er toppunktet. Dette er punktet der de to sidene av vinkelen til en gitt geometrisk figur krysser hverandre. Det er merket med en av de store bokstavene i det latinske alfabetet. Toppunktet til en trekant kan uttrykkes i form av x- og y-koordinater, dette hjelper med å definere sidelengden til trekanten som lengden til en vektor.

Test om emnet

Artikkelvurdering

Gjennomsnittlig rangering: 4.2. Totale vurderinger mottatt: 153.