Uklar logikk - matematisk grunnlag. Teori om uklare sett

Merknad: Forelesningen presenterer metoder for å modellere økonomiske problemer ved bruk av fuzzy sett i Mathcad-miljøet. De grunnleggende begrepene i teorien om fuzzy setter introduseres. Eksemplene viser operasjoner på sett, beregning av egenskaper. Opprinnelige problemer vurderes der en fuzzy-multiple-tilnærming brukes i beslutningsprosessen. Modelleringsteknikken implementeres ved hjelp av matrisene til Mathcad-programmet.

Hensikten med foredraget. Introduser uklare sett. For å lære hvordan du setter en oppgave for å bygge en fuzzy-multiple-modell. Vis hvordan du bygger uklare sett og bruker dem i Mathcad. Presentere metoder for å løse en fuzzy-multiple modell i prosessen med å løse problemer.

6.1 Fuzzy-multiple modellering

Når du modellerer en bred klasse av virkelige objekter, blir det nødvendig å ta beslutninger under forhold med ufullstendig uklar informasjon. Moderne perspektiv retning av modellering annen type usikkerheter er teorien om uklare sett. Innenfor rammen av fuzzy set theory er det utviklet metoder for å formalisere og modellere menneskelige resonnementer, slike begreper som «mer eller mindre høy inflasjon», «stabil posisjon i markedet», «mer verdifull» osv.

For første gang ble konseptet uklare sett foreslått av den amerikanske vitenskapsmannen L.A. Zade (1965). Ideene hans tjente til å utvikle uklar logikk. I motsetning til standardlogikk med to binære tilstander (1/0, Ja/Nei, Sant/False), lar fuzzy logic deg definere mellomverdier mellom standardskårer. Eksempler på slike vurderinger er: "mer sannsynlig enn ikke", "sannsynligvis ja", "litt til høyre", "skarpt til venstre" i motsetning til de vanlige: "til høyre" eller "til venstre", "ja". I teorien om uklare sett blir uklare tall introdusert som uklare delmengder av en spesialisert type, tilsvarende utsagn som "verdien av variabelen er omtrent lik a". Som et eksempel, vurder et trekantet fuzzy tall , der tre poeng er tildelt: minimum mulig, mest forventet og maksimum mulig mening faktor a. Trekanttall er den mest brukte typen fuzzy tall i praksis, dessuten brukes de oftest som prediktive parameterverdier. For eksempel forventet inflasjonsverdi for neste år. La den mest sannsynlige verdien være 10%, den minste mulige verdien være 5%, og den maksimalt mulige verdien være 20%, så kan alle disse verdiene reduseres til form av en fuzzy delmengde eller fuzzy tall A: A: ( 5, 10, 20)

Med introduksjonen av uklare tall, viste det seg å være mulig å forutsi fremtidige verdier av parametere som endres innenfor det etablerte beregnede området. Det introduseres et sett med operasjoner på uklare tall, som reduseres til algebraiske operasjoner med vanlige tall når et visst konfidensintervall (medlemsnivå) er spesifisert. Bruken av uklare tall lar deg angi den estimerte korridoren for verdiene til de forutsagte parameterne. Da estimeres også forventet effekt av eksperten som et uklart tall med egen beregnet spredning (grad av uklarhet).

Fuzzy logic, som en modell av menneskelige tankeprosesser, er innebygd i kunstige intelligenssystemer og automatiserte støtteverktøy beslutningstaking(spesielt i kontrollsystemer teknologiske prosesser).

6.2 Grunnleggende begreper i fuzzy set theory

Et sett er et udefinerbart matematikkbegrep. Georg Cantor (1845-1918) tysk matematiker hvis arbeid underbygget moderne teori sett, gir et slikt konsept: "... et sett er mye, tenkelig som ett."

Et sett som inkluderer alle objekter som vurderes i oppgaven kalles et universelt sett. Universal sett er vanligvis merket med bokstaven. Universal sett er et maksimalt sett i den forstand at alle objekter er dets elementer, dvs. utsagnet i problemet er alltid sant. Minimumssettet er tomt sett– som ikke inneholder noe element. Alle andre sett i problemet under vurdering er undersett av settet. Husk at et sett kalles en delmengde av et sett hvis alle elementene også er elementer av . Tilordningen av et sett er en regel som lar en entydig bestemme, med hensyn til ethvert element i et universelt sett, om det tilhører settet eller ikke. Med andre ord er det en regel for å bestemme hvilken av to påstander, eller , som er sann og hvilken som er usann. En av måtene å definere sett på er å bruke en karakteristisk funksjon.

Den karakteristiske funksjonen til et sett er en funksjon definert på et universelt sett og tar verdien en på de elementene i settet som tilhører, og verdien null på de elementene som ikke tilhører:

(6.1)

Tenk som et eksempel universalsett og dets to delmengder: - settet med tall mindre enn 7, og - settet med tall litt mindre enn 7. Den karakteristiske funksjonen til settet har formen

(6.2)

Satt i dette eksemplet er det vanlige settet.

Det er umulig å skrive den karakteristiske funksjonen til settet med bare 0 og 1. Skal for eksempel tallene 1 og 2 inkluderes? Er 3 mindre enn 7 "mye" eller "ikke mye"? Svar på disse og lignende spørsmål kan fås avhengig av betingelsene for problemet som settene og brukes i, samt det subjektive synet til den som løser dette problemet. Settet kalles fuzzy-settet. Når du kompilerer den karakteristiske funksjonen til et fuzzy sett problemløsning(ekspert) kan si sin mening om i hvilken grad hvert av tallene i settet tilhører settet. Som graden av medlemskap kan du velge hvilket som helst tall fra segmentet. Samtidig betyr det ekspertens fulle tillit som - er like full tillit, som gjør at eksperten har vanskelig for å svare på spørsmålet om han tilhører settet eller ikke. Hvis en , så er eksperten tilbøyelig til å referere til settet, hvis , da ikke tilbøyelig.

Medlemskapsfunksjonen til et fuzzy sett er en funksjon som

En slik funksjon kalles medlemsfunksjon uklar sett. - Maksimal verdi medlemsfunksjon, tilstede i settet - den øvre grensen - kalles supremum. Medlemskapsfunksjon reflekterer det subjektive synet til en spesialist på oppgaven, bringer individualitet til løsningen.

Den karakteristiske funksjonen til et vanlig sett kan betraktes som en funksjon av medlemskap i dette settet, men i motsetning til et fuzzy sett, tar det bare to verdier: 0 eller 1.

Et fuzzy sett er et par , hvor - universalsett, - medlemsfunksjon uklar sett.

Et bæresett eller en bærer av et fuzzy sett er en undergruppe av settet som består av elementer som .

Overgangspunktet til et fuzzy sett kalles sett element, hvorpå .

I eksemplet under vurdering, der , er settet med tall mindre enn 7, er settet med tall litt mindre enn 7, velger vi subjektivt verdiene for settet som skal utgjøre medlemsfunksjonen. Tabell 6.1 viser medlemsfunksjonene for og for og .

Tabell 6.1.

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	1	1	1	1	1	0	0	0	0
0	0	0,5	0,6	0,8	0,9	0	0	0	0

En mer kompakt notasjon av endelige eller tellbare fuzzy sett brukes ofte. Så i stedet for den ovennevnte tabellrepresentasjonen av delmengder og , kan disse delmengdene skrives på følgende måte.

Hei innbyggere og innbyggere. På oppdrag fra venstre hæl bestemte jeg meg for å starte en serie populærvitenskapelige artikler, hvor jeg vil forklare det grunnleggende om kunstig intelligens. Derfor vil jeg i fremtiden prøve meg på rollen som gjesteforeleser, og fortelle om hvordan romskip pløye viddene til Bolshoi Theatre.

Jeg kan ikke publisere én artikkel om dagen, så jeg vil ikke love noe, for ikke å bli flau over disse forpliktelsene. Det eneste: Jeg vil ikke plage andre med en overflod av matematikk, jeg vil prøve å oppgi alt så tilgjengelig som mulig, men uten banning. Jeg vil starte syklusen med apparatet til fuzzy logic, hvor jeg vil forklare hva som er intellektualiteten til det.

Å starte kort digresjon i settteori. Et sett er en samling av flere objekter som har en bestemt egenskap. For eksempel settet av alle mennesker på planeten vår. Et sett med Audi-biler med RGB-fargekoordinater (255, 165, 0). Settet med alle hannkakaduer som sitter på en gren på en pote nøyaktig 15:39 GMT. Essensen av skarpe sett ligger i deres absolutte kategorisitet. Det vil si at for å avgjøre om et objekt tilhører et sett, er det nødvendig å svare på spørsmålet om det har en egenskap som definerer dette settet. Ikke egentlig. Intet mer, intet mindre. Er enheten større enn null? Ja. Så det tilhører settet med positive tall.

La oss gå nærmere kroppen, til teorien om uklare sett. Den ble laget av en amerikansk vitenskapsmann av aserbajdsjansk opprinnelse Lotfi Zadeh for å tilpasse teorien om sett til måten å tenke på. Tross alt, hvordan tenker et menneske? Hvis du, på stranden, spør en svømmer: "Fortell meg, kjære mann, hvilken temperatur har vannet på Fahrenheit-skalaen, til nærmeste tiendedel av en grad?" - vil han se på deg som om du var mentalt jeg vil. Og hvis du stiller spørsmålet: "Hvordan er vannet i dag?", vil han si: "Kaldt / varmt / varmt", eller mumle "vått", hvis i dag ikke er i ånden. Hele tiden er at " kaldt vann" er en ganske vag formulering. Den ene vil sole seg i lykke der den andre vil løpe til land for å sole seg om to minutter. Dette er hvordan en person fungerer, subjektivisme og mangel på klare grenser– dette handler om oss.

Noen har allerede klart å finne ut hvorfor uklare sett. Det er ekstremt vanskelig å fastslå hvor mange som har eiendommen "høy". For meg er en to meter kjekk mann, skråfavn i skuldrene, høy i hvert fall ikke lavere enn nivået på øret mitt. Og en kort mann på halvannen meter vil se på en person med en høyde på 170 cm med hodet opp - for ham begynner høy vekst mye tidligere. Dette handler om subjektivitet.

Den andre vanskeligheten ligger i uskarpheten av grensene. Er det mulig å spesifisere nøyaktig antall centimeter som vil skille en person med gjennomsnittlig høyde fra en kort? 170 og et halvt? 172 og trekvart? Delingen er veldig, veldig betinget. Så vi har kommet nær forskjellen mellom uklare sett og klare.

Trommerull, Mkhatovs pause... Så uklare sett skiller seg fra skarpe ved at objekter som tilhører uklare sett kan ha en egenskap som definerer dem i ulik grad. Vi ble enige om å vurdere denne graden av medlemskap som å ligge i området fra null til én, men hvis det er mer praktisk for noen, kan han gange med 100, og du vil få prosenter.

La oss si at du drikker brennende kaffe, koppen ryker. Med en sikkerhet på 0,99 (99 prosent – første og siste gang jeg gjør jobben for deg), kan det hevdes at kaffe har egenskapen «hot». Hvis den (kaffe, i betydningen) har en temperatur på 50 grader Celsius, vil graden av besittelse av eiendommen "varm" være mye lavere, for eksempel 0,76 (tell nå for deg selv). Samtidig er det objekter som tilhører det "varme" settet med null eller én grad. For eksempel kan halvfrossen kaffe bare kalles varm av en galning, eller en som ikke kan det russiske språket, og koking er hundre pund varmt. Det finnes et uendelig antall eksempler, heldigvis er nesten enhver menneskelig kategori som brukes i hverdagen uklar. Stole på din rike fantasi, forlater jeg oppgaven med å finne andre eksempler for uavhengig løsning.

Hvorfor var opprettelsen av en slik teori så viktig, hvorfor ble den viet så stor oppmerksomhet? Svaret er enkelt: det er en gullgruve gjemt her. Enorme bruksbredde. La oss si at du er ingeniør og din oppgave er å designe en mikrobølgeovn. Til hvilken temperatur vil en person varme opp mat? Opp til 40,2°C? Faen der. Opp til varmt at det er en uklar sett. Og oppgaven til mikrobølgeovnen er å gi muffinsen en temperatur som med en enkelt grad av sikkerhet vil tilhøre settet "varm".

Så begynner det morsomste, skulker av matematikktimer kan strø til sidene med et hyl. MEN? Hva? Lovet jeg å klare meg uten? Som gamle Arnie sa i kjent film- "Jeg løy". Graden av medlemskap er vanligvis betegnet med den greske bokstaven "mu" - μ. For ikke å kjede oss, la oss introdusere konseptet med en språklig variabel - dette er en slik variabel som kan få en verdi i form av ord på et menneskelig språk. Det vil si at den språklige variabelen "vekst" kan få følgende verdier: "høy", "middels", "lav". Verdiene til den språklige variabelen vil bli kalt term-sett, jeg gjør deg oppmerksom på det faktum at de er uklare. Og til slutt er det konseptet med et universelt sett - et vanlig, skarpt sett som inneholder alle verdiene som en vanlig variabel kan ta. Den vanlige variabelen "høyde på en person" kan ta verdier fra null til "hvor mange det er en Guinness-rekord, husker jeg ikke."

Oppgaven til medlemsfunksjonen (FP) er å bestemme i hvilken grad en ordinær variabel tilhører verdien av en språklig variabel. Siden jeg begynte å tråkke på temaet høyde, vil jeg utvikle: FP bestemmer i hvilken grad en person med en høyde på 184 cm tilhører det "gjennomsnittlige" termsettet. Så, la oss se ut som bestemødre. Vi har en språklig variabel. Vi har flere av verdiene, som hver er et uklar sett. Til slutt har vi et universelt sett - settet med numeriske verdier av en vanlig variabel. Vi står overfor følgende mål: å bestemme for hver av de uklare settene sin egen medlemsfunksjon, dvs. for hvert av elementene i det universelle settet, spesifiser graden av medlemskap i det tilsvarende fuzzy-settet. Deretter kan vi pirke på en bestemt verdi av variabelen og se i hvilken grad den tilhører et fuzzy sett. Alt, stormen har passert, du kan tørke av svetten og slappe av en stund. Så går det morsomme bilder, etterpå skal vi fortsette å ha det gøy en stund. På bildene skal jeg illustrere betydningen av medlemsfunksjonen, vise hvilke typer disse dyrene er, hva de spiser med, og forklare hvordan man bygger disse dyrene. La oss gå tilbake til favorittemnet ditt om menneskelig vekst. La oss ta "gjennomsnittlig" settet som et eksempel og plotte medlemskapsfunksjonsgrafen.

Nå, bevæpnet med en spisset blyant, kan du velge hvilken som helst verdi på "x" og se i hvilken grad denne x tilfredsstiller betingelsen om gjennomsnittlig høyde. Det faktum at åtti meter er jern. Meter syttito - med en grad på 0,5. Veksten på en meter femti er ikke gjennomsnittlig, så graden av tilhørighet er null. Og så videre. Merk at den reduserte funksjonen kalles trekantet. Det er vanskelig å tro, men likevel.

Men vi tok en ferdig funksjon som noen (noen!) vennlig ga oss. Hvordan bygge en lignende funksjon selv? Det er to måter: enkel og med problemer. Av åpenbare grunner vil jeg bare beskrive en enkel. Først må du sette sammen en gruppe eksperter. Vel, det vil si de ledige som tror at de forstår alt og vet hvordan verden faktisk fungerer. Gi hver ekspert en blyant og notisblokk. List deretter verdiene til variabelen og be om å sette "1" (pinne, kryss - valgfritt) foran denne verdien, hvis eksperten mener at verdien til variabelen tilhører det uklare settet. Null - ellers. Deretter, for hver verdi av variabelen, summerer du nullene og enerne og tar gjennomsnittet - det vil si del den resulterende mengden med antall ledige. Den resulterende verdien vil ligge i området fra null til én (begge verdiene er inkludert). Noen vil kanskje gjette at vi fikk verdien av medlemskapsfunksjonen for en bestemt verdi av variabelen. Etter å ha mottatt FP-verdiene for alle verdiene til variabelen x, kan du bygge en graf. Eller ikke bygg hvis du er for lat.

Matematisk teori om uklare sett, opprettet på 60-tallet. for å løse et snevert utilitaristisk problem med mønstergjenkjenning, har for tiden mest bruksområder ulike felt vitenskapelig og Økonomisk aktivitet- fra arbeid med å skape kunstig intelligens i femte generasjons datamaskiner til styring av komplekse teknologiske prosesser.
Denne teorien er basert på begrepene fuzzy set og medlemskapsfunksjon, definisjonen av disse er gitt nedenfor.

La E være en mengde, tellbar eller ikke, deres: - et element av E. Deretter defineres en uklar delmengde A av settet E som et sett med ordnede par - karakteristisk medlemskapsfunksjon, som tar verdiene i en brønn- bestilt sett M, som indikerer graden av medlemskap av elementet x i delmengden A. Mengden M kalles medlemskapsmengden.
Vi vil illustrere anvendelsen av teorien om uklare sett i økonomi ved å beregne det potensielle sortimentet til en grossistbedrift i én produktprofil med et fast handelsområde. Under det lovende området i denne saken forstås som et sett med varer som absolutt vil være etterspurt blant forbrukere - i dette tilfellet detaljhandelsbedrifter inkludert i området for effektiv kommersiell aktivitet til grossistorganisasjonen. Å finne et lovende sortiment garanterer grossistorganisasjonen dannelsen av en sortimentskjerne som vil bli solgt på markedet med minimal risiko, og bidrar også til å reflektere de generelle trendene i det forbruker marked som organisasjonen Engroshandel utfører sin kommersielle virksomhet.
Vellykket løsning oppgaven med å finne et lovende sortiment lar deg ta en beslutning om å inngå en avtale når du analyserer den innkommende kommersielt tilbud.
Gitt:
X = \xr x2,..., xn) - et sett med varer som er tilgjengelig på lageret til en grossistforetak eller fremsatt som kommersielle tilbud.
Y = (åå y2,..., yur) er settet med attributter til varer.
Z = (zr z2,., zm) er settet med betraktede detaljhandelsbedrifter - forbrukere av grossistorganisasjonen.
Det er påkrevd å bestemme det potensielle sortimentet til engroshandelsorganisasjonen, dvs. sett x; for å tilfredsstille antatte forespørsler fra Z.
Modellen er bygget under følgende forutsetninger:

det er leverandører og forbrukere på markedet - henholdsvis engros- og detaljhandelsorganisasjoner;
kommersielle forespørsler fra forhandlere zt, z2,..., zm vurderes og, hvis mulig, tilfredsstilles, uavhengig av tidspunktet for mottak.
transaksjoner mellom grossister og detaljister bransjeorganisasjoner har en annen rekkefølge, som bestemmes av vektfunksjonen til detaljhandelsorganisasjoner som bruker eks
kollegavurdering basert på resultatene av tidligere kommersielle aktiviteter;
varer xp x2,...,xn er preget av p funksjoner;
graden av tilhørighet av attributtene yy y2,...,ur til varer varierer mellom individuelle varer xp x2,..., xn;
en vare foretrekkes fremfor en annen når dens egenskaper er v. når det gjelder betydning er nærmere vurderingen av forbruker z. (detaljist).

La l x Y -gt; - medlemskapsfunksjon av fuzzy binær relasjon R, bestemt ved hjelp av en ekspert.
Forholdet R er representert i matriseform som følger:
.U, U2 " * * Ur ¦

%r(xi' Y i)^r(xpY2) ^r(xi" Ur)

X2
*„1,іzh(\'Uі) y2-gt; fav.
I denne matrisen uttrykker elementene i hver rad den relative graden av tilhørighet av funksjoner til visse varer. Jo høyere verdi, desto viktigere er egenskapen.
La fs:7xZ-gt; er medlemskapsfunksjonen til den uklare binære relasjonen S. For alle y є Y og alle zeZ er φ5(y, z) lik graden av kompatibilitet til detaljhandelsbedriften z med attributtet y. Jo høyere verdien av funksjonen er, desto mer er denne funksjonen kompatibel med en bestemt bedrift. detaljhandel.
I matriseform har dette forholdet formen:
Verdien av matrisen S gjenspeiler den relative betydningen av funksjonene Yt når foretaket tar en beslutning
på kjøp av et parti av ethvert produkt fra grossisten vi vurderer.

Z, ... Z
2 s
Fra matrisene R og S får vi matrisen T:
hvis elementer bestemmes av medlemsfunksjonen
? IR(X, Y) -f(Y, Z,)
Pl/Xgt; zi) =¦
, for alle xe X, ye Y, zi Z.
Summen 2, fv(x, y) er lik graden av den uklare delmengden,
På
angir antallet av de viktigste funksjonene y, som er iboende i produktet d: fra forhandlerens synspunkt. Følgende matrise er bygget:
^A,(xl'zl) L 1*A7(X1-z2gt; - Iі L /*/¦ zm-l) L Ml (xl'zm)\
‘*m-i t
Jeg
\!lAt(xn‘Zl)^ltA7(xn-z2) - ,(xn-zm-l) L TA (xn-zm)\
"1*t-1t"
hvor konjunksjonen A betyr den parvise minimumsoperasjonen. Terskelen for divisjon/rekkevidde er begrenset av tilstanden
i.j X ЯІ ‘ Aj 3
Etter at terskelen I er valgt, er det mulig å bestemme nivået som er satt for enhver z:
M\ \u003d (x \ u, (x) gt; tіptachtіn (u (x, z), u (x, z))),
I 1 L, j x I 1 L] J
YxeMr
La oj(z) være en vektingsfunksjon som gir hver forhandler sin vekt basert på tidligere kommersiell aktivitet.

Sortimentet til en grossistforetak er beskrevet av fagforeningen av nivåsett:
m = U 0)(z)Mr
І
Den potensielle sortimentsberegningen hjelper grossisten med å bestemme:
hvordan optimalisere produktutvalget (hvilke produkter må holdes på lager samtidig som den eksisterende strukturen til forbrukerne opprettholdes);
hvordan endre sortimentskonsept for en gitt endring i tjenesteområdet, dvs. hvilke strategiske handlinger som skal iverksettes i tilfelle avslutning fra antall betjente forbrukere av individuelle detaljhandelsorganisasjoner;
hvordan man kan optimalisere tjenesteområdet (i vårt tilfelle er dette området for effektiv kommersiell aktivitet) mens man ekskluderer fra sortimentet de varene hvis egenskaper ikke tilfredsstiller grossistorganisasjonen, eller inkluderer de varene hvis egenskaper passer den).
For å illustrere dette problemet kan du vurdere et forenklet numerisk eksempel.
La grossistorganisasjonen ha 6 forbruksvarer på lager (x „ x2, ..., x6) og levere til tre forbrukere - Zj (stort varehus), z2 ( liten butikk) og z3 (telt).
La oss ta følgende som egenskapene til varer som vurderes:
yt - "pris", y3 - "utseende"
y2-"kvalitet", y4-"sesongvariasjon",
y5-"-stadiet Livssyklus varer".
La: X x Y -gt; og f5: Y x Z-gt; [O, 1] er gitt av følgende matriser:

1	0,8	0,5	1	0,2		1	0,5	Om
0,8	0,7	1	0,1	0,7		1	0,5	0
0,5	0,5 0,3		1	0,7	gt;	1	0,3	1
0,5	0,3	0,9	0,1	0,2	5 =	0	1	0.5
0,3	0,4 0,1		0	0		1	0	0,5
0,5 0,5		1	1	0,5/		,		і

og verdiene til vektfunksjonen er:
co(Zj) = 30, w(z) = 20, co(z,) = 15.

Egenskapene til varene i matrisen R indikerer for eksempel at produktet x er dyrt, av høy kvalitet, utad diskret, tilsvarer sesongen, men er noe utdatert teknisk sett (eller omvendt bare kommer inn på markedet og er fortsatt ukjent for kjøpere).
Kjennetegnene til butikker i matrise 5 indikerer for eksempel at den andre forbrukeren, butikk z2, er trang i varehus og derfor foretrekker å handle med varer tilsvarende en gitt sesong, som følger av verdien av funksjonen φ$(y4, zJ.
Vi beregner matrisen T:

/0,714	0,586	0,314
0,97	0,348	0,41
0,667	0,53	0,234
0,95	0,34	0,525
1	0,475	0,125
\ 0,714	0,514	0,5

Vi bemerker på forhånd for den oppmerksomme leseren at allerede på dette stadiet kan det antas at produkt x6, som følger fra siste rad i matrisen T, mest sannsynlig vil bli kjøpt av alle tre forbrukerne.
Ved parvis informasjon får vi matrisen W:

(0,586	0,314	0,314
0,348	0,41	0,348
0,53	0,234	0,234
0,34	0,525	0,34
0,475	0,125	0,125
№,514	0,5	0,5

På dette stadiet av beregningene blir det tatt hensyn til konkurranse mellom forbrukerbutikker zr z2 og z).
Deretter finner vi de maksimale elementene i hver av kolonnene i matrisen W:
maxmin(nAi(x, zl)tjiAJx, z2))= 0,586; maxmm(nA](x, zl),nAJx, z3)) =0,525; maxminfnAJx, r2),cA](x, z))) = 0,5.

(x, x2, x3, x4, x), x6,) ,
(Xg x3, xy x6),
(x4,x6,),
Dermed har det store zt-varehuset gode muligheter til å handle hele utvalget av produkter som tilbys i bulk, z2-butikken slipper på grunn av mangel på lagringsplass å kjøpe varer som vil ta lang tid å selge, og z3-teltet tar kun prangende og relativt rimelige varer. Den høye etterspørselen etter x6-produktet er ikke tilfeldig, det er virkelig et produkt med strålende egenskaper: det har en lav pris med gjennomsnittlig kvalitet, ser bra ut, tilsvarer sesongen og er ganske godt kjent for detaljhandelen.
Ved å bruke verdiene til vektfunksjonen får vi verdiene til sortimentet:
M = (50xp 30x2, 50x3, 45x4, 50x), 105x6)
Resultatene av denne oppgaven er enkle å bruke når du tar en beslutning om å inngå en avtale (når du analyserer et innkommende kommersielt tilbud).
For å gjøre dette, etter å ha bestemt medlemskapsfunksjonen til det foreslåtte produktet xn +, utfør beregningen i henhold til algoritmen ovenfor, og bestem i hvilken grad dette produktet tilhører varesettet i det lovende sortimentet, og hvis det gjør det, så om det vil fortrenge noen varer fra settet xr, ..., xn allerede på lageret til grossisten.
Basert på denne vurderingen kan den ansvarlige for å fullføre transaksjonen ta en positiv, forventningsfull eller negativ beslutning.

K. Hirota (Institutt for stat og lov)

Mer enn et kvart århundre har gått siden L. A. Zade fra University of California foreslo teorien om uklare sett. Denne teorien har utviklet seg i mange retninger, så det vil ta ganske lang tid å absorbere alle ideene. For å bruke det på et spesifikt område er det imidlertid tilstrekkelig med et lite antall konsepter. Hovedbestemmelsene i teorien om uklare sett vurderes nedenfor for raskt å mestre den i det anvendte feltet. Først av alt vil vi studere teorien om skarpe sett og to-verdi boolsk logikk. Deretter, basert på dem, går vi videre til begrepene fuzzy set theory og fuzzy logic. I tillegg, la oss ta hensyn til uklare konklusjoner, som er spesielt viktige med tanke på å bruke denne teorien, samt uklare produksjonsregler og uklare relasjoner.

2.1. Tøm SET

Det engelske ordet fuzz, som adjektivet fuzzy (fuzzy) er avledet fra, betyr "haug" - et spesielt begrep som definerer egenskapen til stoffer. Når vi ser på en tegning på et fleecy stoff, virker det uskarpt for oss, så når vi sier "fuzzy", vil vi bety "uklart", "uskarpt". Et fuzzy sett, for eksempel, vil vi kalle alle japanske skjønnheter. Betydningen av denne definisjonen er klar for oss, men det er vanskelig for oss å si om denne eller den jenta tilhører dette settet entydig, bare ved hjelp av ordene "ja" eller "nei"; dermed har vi å gjøre med ubestemte, ikke-strenge egenskaper ved studieobjektene.

I kontrast, verden, hvis egenskaper kan defineres strengt i to ord, for eksempel "mann eller kvinne?", La oss kalle en klar verden. Derfor vil logikken til datamaskiner som omhandler 0 og 1 bli kalt

klar logikk, og vanlige sett - klare sett. Som en forlengelse av disse konseptene kan man vurdere fuzzy logic og fuzzy sets. For å forberede oss på en forståelse av disse konseptene, vil vi først studere teorien om skarpe sett.

Teorien om skarpe sett inkluderer generelt aksiomatisk settteori og elementær settteori. Den første er en av de grunnleggende teoriene i matematikk, den krever nok høy level filosofisk tenkning. Men her er det nok for oss å utvide begrepet et sett, studert på skolen, til begrepene elementær settteori. I tillegg, for å forstå teorien om uklare sett, trenger vi konseptet med en karakteristisk funksjon.

Først, la oss forklare noen grunnleggende termer og notasjon. Store bokstaver (for eksempel X) vil betegne et sett med objekter som vi skal håndtere, og små bokstaver (for eksempel x) - individuelle strukturelle elementer. I dette tilfellet introduserer vi notasjonen

Krøllete seler betyr en samling av gjenstander. Selve samlingen (her X) vil bli kalt emneområdet, komplett rom eller hjelpesett. etternavn spesielt ofte brukt innen fuzzy-kontroll. (Ordet "hjelpemiddel" i matematisk analyse og en rekke andre områder har en litt annen nyanse, så vi tar hensyn til dette.) Individuelle strukturelle elementer vil ganske enkelt kalles elementer eller objekter. Det faktum at x er et element av X er betegnet som følger:

I et komplett rom X definerer vi et sett (klart sett). Som navn (etiketter) på sett vi skal bruke store bokstaver A, B, C. La for eksempel hele settet bestå av ti sifre

da er settet med partall A settet

Samtidig er antallet strukturelle elementer vi vil ringe kraften til settet eller kardinalnummeret; la oss introdusere notasjonen for det. I eksemplene ovenfor

I tilfelle vil vi kalle det en singleton. En mengde med endelig kalles en endelig mengde, alle elementer i en slik mengde kan skrives som i formlene (2.3) og (2.4), men for eksempel i tilfelle av naturlige eller reelle tall, dvs. uendelige mengder, dette kan ikke gjøres. I dette tilfellet brukes ofte en opptaksmetode, der alle egenskapene til settet er skrevet til høyre for den vertikale linjen. For eksempel kan formel (2.4) skrives som

I tillegg brukes ofte Venn-diagram for å betegne et konsept i form av et bilde (fig. 2.1).

I tillegg til metodene ovenfor for å definere konseptene til et skarpt sett, er det en definisjonsmetode som bruker den karakteristiske funksjonen. Den karakteristiske funksjonen som definerer settet A i hele rommet X er en tilordning der X er definisjonsdomenet, og (toverdisett med 0 og 1) er verdidomenet:

Dessuten, hvis elementet tilfredsstiller egenskapene A, og 0 hvis det ikke gjør det. Derfor, hvis vi setter X på den horisontale og på den vertikale aksen, får vi en grafisk representasjon vist i fig. 2.2.

I hele rommet X kan man vurdere forskjellige sett, for eksempel A med noen egenskaper og B med andre egenskaper. Foreningen av alle slike sett kalles en potensmengde og betegnes For eksempel la

da er strømsettet

Ris. 2.1. Representerer et sett ved hjelp av et Wain-diagram.

Ris. 2.2. Definisjon av et sett ved hjelp av den karakteristiske funksjonen.

Her er 0 et spesielt sett uten elementer, det kalles det tomme settet. Dens karakteristiske funksjon

Her kalles V den universelle kvantifisereren, den kan leses som "alle". (Foruten det er det en eksistensiell kvantifiserer 3 i betydningen "det er...".) Disse kvantifikatorene brukes ofte i logikk og kunstig intelligens. I motsetning til det tomme settet har den karakteristiske funksjonen til det fulle settet X formen

I tillegg, for kardinaliteten til et sett, i det generelle tilfellet, uttalelsen

Dette kan lett utledes fra formlene (2.8) og (2.9).

La oss nå studere noen operasjoner på sett (fig. 2.3). Først av alt, forholdet til nesting av sett: hvis elementer av A nødvendigvis er elementer av B, kalles A en delmengde av B (eller B er et supersett av A), som er betegnet som (også sant for , hvis , men , da kalles A en riktig delmengde av B). Hvis vi definerer A c: B gjennom den karakteristiske funksjonen, får vi følgende ulikhet:

For innbyggingsforholdet til sett kan man bevise

Ris. 2.3. Innebygging (a), komplement (b), produkt (c) og summen av sett

gyldigheten av tre egenskaper:

1) refleksivitet

2) antisymmetri

3) transitivitet

Vi kan si at det danner et delvis ordnet sett, eller (For en innbyggingsrelasjon av sett, vanligvis for vilkårlig A, B, er det ikke alltid sant A med B eller B a A, så vårt sett er ikke en lineært ordnet eller fullstendig bestilt sett.)

Ved hjelp av fuzzy sett er det mulig å formelt definere unøyaktige og polysemantiske begreper, som "høy temperatur", "ung mann", "gjennomsnittlig høyde" eller " Stor by". Før du formulerer definisjonen av et fuzzy sett, er det nødvendig å definere det såkalte diskursuniverset. I tilfellet med det tvetydige konseptet «mye penger», vil ett beløp bli anerkjent som stort hvis vi begrenser oss til rekkevidden og helt andre - i rekkevidden. Området for resonnement, heretter kalt mellomrom eller sett, vil oftest betegnes med symbolet . Det må huskes at er et klart sett.

Definisjon 3.1

Et uklart sett i et (ikke-tomt) rom , som er betegnet som , er et sett med par

, (3.1)

Fuzzy Set-medlemskapsfunksjon. Denne funksjonen tildeler hvert element graden av dets tilhørighet til et fuzzy sett, mens tre tilfeller kan skilles:

1) betyr at elementet tilhører fuzzy-settet, dvs. ;

2) betyr fraværet av et element som tilhører et fuzzy sett, dvs.;

3) betyr delvis tilhørighet av et element til et fuzzy sett.

I litteraturen brukes en symbolsk beskrivelse av uklare sett. Hvis er et rom med et begrenset antall elementer, dvs. , så skrives fuzzy-settet som

Oppføringen ovenfor er symbolsk. "–"-tegnet betyr ikke deling, men betyr å tildele grader av medlemskap til spesifikke elementer . Med andre ord, oppføringen

betyr par

På samme måte betyr "+"-tegnet i uttrykk (3.3) ikke operasjonen av addisjon, men tolkes som multippel summering av elementer (3.5). Det skal bemerkes at skarpe sett også kan skrives på lignende måte. For eksempel kan et sett med skolekarakterer representeres symbolsk som

, (3.6)

som er det samme som å skrive

Hvis er et mellomrom med et uendelig antall elementer, er det uklare settet symbolsk skrevet som

. (3.8)

Eksempel 3.1

La oss si at det er et sett naturlige tall. La oss definere konseptet med settet med naturlige tall "nær tallet 7". Dette kan gjøres ved å definere følgende fuzzy sett:

Eksempel 3.2

Hvis , hvor er settet med reelle tall, kan settet med reelle tall "nær tallet 7" bestemmes av skjemaets medlemsfunksjon

. (3.10)

Derfor er det uklare settet med reelle tall "nær tallet 7" beskrevet av uttrykket

. (3.11)

Merknad 3.1

Uklare sett med naturlige eller reelle tall "nær tallet 7" kan skrives på forskjellige måter. For eksempel kan medlemskapsfunksjonen (3.10) erstattes av uttrykket

(3.12)

På fig. Figurene 3.1a og 3.1b viser to medlemskapsfunksjoner for et uklart sett med reelle tall "nær 7".

Ris. 3.1. Illustrasjon for eksempel 3.2: medlemskapsfunksjoner til et uklart sett med reelle tall "nær tallet 7".

Eksempel 3.3

La oss formalisere den upresise definisjonen av "egnet temperatur for bading i Østersjøen". La oss sette resonnementområdet i form av et sett . Hviler jeg, som føler meg best ved en temperatur på 21°C, vil definere det uklare settet for seg selv

Resting II, som foretrekker en temperatur på 20°, vil tilby en annen definisjon av dette settet:

Ved hjelp av uklare sett formaliserte vi en unøyaktig definisjon av konseptet "egnet temperatur for svømming i Østersjøen". Noen applikasjoner bruker standardskjemaer medlemsfunksjoner. La oss konkretisere disse funksjonene og vurdere deres grafiske tolkninger.

1. Klassemedlemskapsfunksjonen (Fig. 3.2) er definert som

(3.15)

hvor . Medlemskapsfunksjonen som tilhører denne klassen har en grafisk representasjon (fig. 3.2), som ligner bokstaven "", og dens form avhenger av valget av parametere , og . På punktet klassemedlemskapsfunksjonen tar en verdi lik 0,5.

2. Klassemedlemskapsfunksjonen (fig. 3.3) er definert gjennom klassemedlemskapsfunksjonen:

(3.16)

Ris. 3.2. Klassemedlemsfunksjon.

Ris. 3.3. Klassemedlemsfunksjon.

Klassemedlemskapsfunksjonen tar null verdier for og . I poeng er verdien 0,5.

3. Klassemedlemskapsfunksjonen (fig. 3.4) er gitt av uttrykket

(3.17)

Leseren vil lett legge merke til analogien mellom formene for medlemsfunksjoner til klasser og .

4. Klassemedlemskapsfunksjonen (fig. 3.5) er definert som

(3.18)

Ris. 3.4. Klassemedlemsfunksjon.

Ris. 3.5. Klassemedlemsfunksjon.

I noen applikasjoner kan medlemskapsfunksjonen til en klasse være et alternativ til medlemskapsfunksjonen til klassen.

5. Klassemedlemskapsfunksjonen (fig. 3.6) er definert av uttrykket

(3.19)

Eksempel 3.4

Tenk på tre upresise formuleringer:

1) "lav kjøretøyhastighet";

2) " gjennomsnittshastighet bil";

3) "høy hastighet på bilen."

Som et område for resonnement tar vi rekkevidden , hvor er maksimal hastighet. På fig. 3.7 presenterer uklare sett , og , tilsvarende de gitte formuleringene. Merk at medlemskapsfunksjonen til et sett har type, sett har type og sett har type. Ved et fast punkt km/t tar medlemsfunksjonen til fuzzy-settet "lav kjøretøyhastighet" verdien 0,5, dvs. . Den samme verdien tas av medlemskapsfunksjonen til fuzzy-settet "gjennomsnittlig kjøretøyhastighet", dvs. , mens .

Eksempel 3.5

På fig. 3.8 viser medlemsfunksjonen til det uklare settet "store penger". Dette er en klassefunksjon, og , , .

Ris. 3.6. Klassemedlemsfunksjon.

Ris. 3.7. Illustrasjon for eksempel 3.4: medlemskapsfunksjoner til fuzzy sett "liten", "middels", "stor" bilhastighet.

Ris. 3.8. Illustrasjon for eksempel 3.5: Medlemskapsfunksjonen til fuzzy settet "store penger".

Derfor kan beløp som overstiger 10 000 rubler definitivt betraktes som "store", siden verdiene til medlemskapsfunksjonen blir lik 1. Sum mindre enn 1000 rubler tilhører ikke "stor", siden de tilsvarende verdiene til medlemskapet funksjon er lik 0. Selvfølgelig er en slik definisjon av det uklare settet "store penger" subjektiv. Leseren kan ha sin egen idé om det tvetydige konseptet "store penger". Denne representasjonen vil bli reflektert av andre verdier av parametrene og funksjonene til klassen.

Definisjon 3.2

Settet med elementer i rommet , for hvilket , kalles bæreren til det uklare settet og er betegnet med (støtte). Dens formelle notasjon har formen

. (3.20)

Definisjon 3.3

Høyden på et fuzzy sett er betegnet og definert som

. (3.21)

Eksempel 3.6

Hvis en og

, (3.22)

deretter .

, (3.23)

Definisjon 3.4

Et fuzzy sett kalles normalt hvis og bare hvis . Hvis fuzzy-settet ikke er normalt, kan det normaliseres ved hjelp av transformasjonen

, (3.24)

hvor er høyden på dette settet.

Eksempel 3.7

uklar sett

(3.25)

etter normalisering tar form

. (3.26)

Definisjon 3.5

Et fuzzy sett kalles tomt og betegnes hvis og bare hvis for hver .

Definisjon 3.6

Fuzzy-settet er inneholdt i fuzzy-settet , som er skrevet som , if og bare hvis

(3.27)

for alle .

Et eksempel på inkludering (innhold) av et fuzzy sett i et fuzzy sett er illustrert i fig. 3.9. I litteraturen er det også begrepet graden av inkludering av fuzzy sett. Graden av inkludering av et fuzzy sett i et fuzzy sett i fig. 3,9 er lik 1 (full inkludering). De uklare settene presentert i fig. 3.10 tilfredsstiller ikke avhengighet (3.27), derfor er det ingen inkludering i betydningen definisjon (3.6). Imidlertid er fuzzy-settet til en viss grad inneholdt i fuzzy-settet

, (3.28)

, tilstanden

Ris. 3.12. Fuzzy konveks sett.

Ris. 3.13. Fuzzy konkavt sett.

Ris. 3.13 illustrerer et uklart konkavt sett. Det er lett å sjekke at et fuzzy sett er konveks (konkav) hvis og bare hvis alle -kuttene er konvekse (konkave).