Konstruere en rett tangent til to sirkler. Tangent til en sirkel. Komplette leksjoner - Kunnskapshypermarked. Høyeste kvalifikasjonskategori

Utdannings- og vitenskapsdepartementet i Den russiske føderasjonen

Kommunal budsjettutdanningsinstitusjon

byen Novosibirsk "Gymnasium nr. 4"

Seksjon: matematikk

FORSKNING

om dette emnet:

EGENSKAPER TIL TO RØRENDE SIRKLER

Elever i 10. klasse:

Khaziakhmetov Radik Ildarovich

Zubarev Evgeniy Vladimirovich

Veileder:

L.L. Barinova

Matematikklærer

Høyeste kvalifikasjonskategori

§ 1.Innledning………..……………………………….…………………………………………………………3

§ 1.1 Den relative plasseringen av to sirkler………………………………………………………………………3

§ 2 Eiendommer og deres bevis…………………………………………………………..………………………………….…4

§ 2.1 Eiendom 1………………………………………………………………..………………………...….…4

§ 2.2 Eiendom 2………………………………………………………………..………………………………………5

§ 2.3 Eiendom 3………………………………………………………………..…………………………………6

§ 2.4 Eiendom 4…………………………………………………………..…………………………………6

§ 2.5 Eiendom 5………………………………………..…………………………………………………8

§ 2.6 Eiendom 6………………………………………………………..………………………………………9

§ 3 Oppgaver…………………………………………………………..………………………...…………………..…11

Referanser……………………………………………………………………………………………….………….13

§ 1. Introduksjon

Mange problemer som involverer to tangentsirkler kan løses mer kort og enkelt ved å kjenne til noen av egenskapene som vil bli presentert neste.

Den relative plasseringen av to sirkler

Til å begynne med, la oss fastsette den mulige relative plasseringen av de to sirklene. Det kan være 4 forskjellige tilfeller.

1. Sirklene kan ikke krysse hverandre.

2. Kryss.

3. Berør på et punkt på utsiden.

4.Trykk på ett punkt inne.

§ 2. Egenskaper og deres bevis

La oss gå direkte til beviset på egenskapene.

§ 2.1 Eiendom 1

Segmentene mellom skjæringspunktene for tangentene med sirklene er lik hverandre og lik to geometriske gjennomsnittsradier til de gitte sirklene.

Bevis 1. O 1 A 1 og O 2 B 1 – radier trukket til kontaktpunktene.

2. О 1 А 1 ┴ А 1 В 1, О2В1 ┴ А 1 В 1 → О 1 А 1 ║ О 2 В 1. (i henhold til punkt 1)

1. ▲O 1 O 2 D – rektangulær, fordi О 2 D ┴ О 2 В 1
2. О 1 О 2 = R + r, О 2 D = R – r

1. I følge Pythagoras teorem A 1 B 1 = 2√Rr

(O 1 D 2 =(R+r) 2 -(R-r) 2 =R2 +2Rr+r2-R2 +2Rr-r2 =√4Rr=2√Rr)

A 2 B 2 = 2√Rr (bevist på samme måte)

1) La oss tegne radiene ved skjæringspunktene mellom tangentene og sirklene.

2) Disse radiene vil være vinkelrett på tangentene og parallelle med hverandre.

3) La oss senke en perpendikulær fra midten av den mindre sirkelen til radiusen til den større sirkelen.

4) Hypotenusen til den resulterende rettvinklede trekanten er lik summen av radiene til sirklene. Benet er lik deres forskjell.

5) Ved å bruke Pythagoras teorem får vi den nødvendige sammenhengen.

§ 2.2 Eiendom 2

Skjæringspunktene til en rett linje som skjærer tangenspunktet til sirklene og ikke ligger i noen av dem med tangentene deler segmentene til de ytre tangentene, begrenset av tangenspunktene, i deler, hver av dem er lik det geometriske gjennomsnittet av radiene til disse sirklene.

Bevis 1.MS= MA 1 (som tangentsegmenter)

2.MC = MV 1 (som tangentsegmenter)

3.A 1 M = MV 1 = √Rr, A 2 N = NB 2 = √Rr (i henhold til punkt 1 og 2 )

Utsagn brukt i beviset Tangentsegmentene trukket fra ett punkt til en viss sirkel er like. Vi bruker denne egenskapen for begge gitte kretser.

§ 2.3 Eiendom 3

Lengden på segmentet til den indre tangenten innelukket mellom de ytre tangentene er lik lengden på segmentet til den ytre tangenten mellom kontaktpunktene og er lik to geometriske gjennomsnittsradier til de gitte sirklene.

Bevis Denne konklusjonen følger av forrige eiendom.

MN = MC + CN = 2MC = 2A 1 M = A 1 B 1 = 2√Rr

§ 2.4 Eiendom 4

Trekanten dannet av sentrene til tangentsirkler og midtpunktet til tangentsegmentet mellom radiene trukket til kontaktpunktene er rektangulær. Forholdet mellom bena er lik kvotienten av røttene til radiene til disse sirklene.

Bevis 1.MO 1 er halveringslinjen til vinkel A 1 MS, MO 2 er halveringslinjen til vinkel B 1 MS, fordi Sentrum av en sirkel innskrevet i en vinkel ligger på halveringslinjen til denne vinkelen.

2.I henhold til punkt 1 РО 1 MS + РСМО 2 = 0,5(РА1МС + РСМВ 1) = 0,5p = p/2

3.РО 1 MO 2 – rett. MC er høyden på trekanten O 1 MO 2, fordi tangenten MN er vinkelrett på radiene trukket til kontaktpunktene → trekantene O 1 MC og MO 2 C er like.

4.O 1 M / MO 2 = O 1 C / MC = r / √Rr = √r / R (lignende)

Utsagn brukt i beviset 1) Sentrum av en sirkel innskrevet i en vinkel ligger på halveringslinjen til denne vinkelen. Benene til en trekant er halveringslinjene til vinklene.

2) Ved å bruke det faktum at vinklene dannet på denne måten er like, finner vi at vinkelen vi ser etter er en rett vinkel. Vi konkluderer med at denne trekanten faktisk er rettvinklet.

3) Vi beviser likheten til trekantene som høyden (siden tangenten er vinkelrett på radiene trukket til tangenspunktene) deler den rette trekanten inn i, og ved likhet får vi det nødvendige forholdet.

§ 2.5 Eiendom 5

Trekanten dannet av sirklenes kontaktpunkt med hverandre og skjæringspunktene for sirklene med tangenten er rektangulær. Forholdet mellom bena er lik kvotienten av røttene til radiene til disse sirklene.

Bevis

1. ▲A 1 MC og ▲SMV 1 er likebenede → ÐMA 1 C = ÐMSA 1 = α, ÐMV 1 C = ÐMSV 1 = β.

1. 2α + 2β + RA 1 MC + RSMV 1 = 2p → 2α + 2β = 2p - (RA 1 MC + RSMV 1) = 2p - p = p, α + β = p/2

1. Men RA 1 SV 1 = α + β → RA 1 SV 1 – direkte → RA 1 CO 2 = RS 1 O 2 = p/2 – β = α

1. ▲A 1 MC og ▲CO 2 B 1 er like → A 1 C / SV 1 = MC / O 2 B 1 = √Rr / R = √r / R

Utsagn brukt i beviset 1) Vi skriver ned summen av vinklene til trekantene, og utnytter det faktum at de er likebenede. De likebenede trekanter er bevist ved å bruke egenskapen likhet til tangentsegmenter.

2) Etter å ha skrevet summen av vinkler på denne måten finner vi at trekanten det gjelder har en rett vinkel, derfor er den rektangulær. Den første delen av utsagnet er bevist.

3) Ved å bruke likheten til trekanter (for å rettferdiggjøre det bruker vi likhetstegnet ved to vinkler) finner vi forholdet mellom bena i en rettvinklet trekant.

§ 2.6 Eiendom 6

Firkanten dannet av skjæringspunktene mellom sirklene med tangenten er en trapes som en sirkel kan skrives inn i.

Bevis 1.▲A 1 RA 2 og ▲B 1 PB 2 er likebente pga. A 1 P = RA 2 og B 1 P = PB 2 som tangentsegmenter → ▲A 1 RA 2 og ▲B 1 PB 2 – lignende.

2.A 1 A 2 ║ B 1 B 2, fordi de tilsvarende vinklene dannet ved skjæringspunktet mellom sekanten A 1 B 1 er like.

1. MN – midtlinje i henhold til egenskap 2 → A 1 A 2 + B 1 B 2 = 2MN = 4√Rr

1. A 1 B 1 + A 2 B 2 = 2√Rr + 2√Rr = 4√Rr = A 1 A 2 + B 1 B 2 → i trapeset A 2 A 1 B 1 B 2 er summen av basene lik til summen av sidene, og dette er en nødvendig og tilstrekkelig betingelse for eksistensen av en innskrevet sirkel.

Utsagn brukt i beviset 1) La oss igjen bruke egenskapen til tangentsegmenter. Med dens hjelp vil vi bevise likebenede trekanter dannet av skjæringspunktet mellom tangenter og tangenspunkter.

2) Av dette vil det følge at disse trekantene er like og deres base er parallelle. På dette grunnlaget konkluderer vi med at denne firkanten er en trapes.

3) Ved å bruke egenskapen (2) vi beviste tidligere, finner vi midtlinjen til trapesen. Det er lik to geometriske gjennomsnittsradier av sirklene. I den resulterende trapesen er summen av basene lik summen av sidene, og dette er en nødvendig og tilstrekkelig betingelse for eksistensen av en innskrevet sirkel.

§ 3. Problemer

La oss se på et praktisk eksempel på hvordan du kan forenkle løsningen av et problem ved å bruke egenskapene som er skissert ovenfor.

Oppgave 1

I trekant ABC er side AC = 15 cm En sirkel er innskrevet i trekanten. Den andre sirkelen berører den første og sidene AB og BC. På siden AB velges punkt F, og på side BC velges punkt M slik at segment FM er en felles tangent til sirklene. Finn forholdet mellom arealene til trekanten BFM og firkanten AFMC, hvis FM er 4 cm, og punktet M er plassert dobbelt så langt fra sentrum av en sirkel som fra sentrum av den andre.

Gitt: FM-total tangent AC=15cm FM=4cm O 2 M=2О 1 M

Finn S BFM /S AFMC

Løsning:

1)FM=2√Rr,O 1 M/O 2 M=√r/R

2)2√Rr=4, √r/R=0,5 →r=1,R=4; PQ=FM=4

3)▲BO 1 P og ▲BO 2 Q er like → BP/BQ=O 1 P/O 2 Q, BP/(BP+PQ)=r/R,BP/(BP+4)=0,25;BP = 4/3

4)FM+BP=16/3, S FBM =r*P FBM =1*(16/3)=16/3; AC+BQ=15+4/3+4=61/3

5)S ABC =R*P ABC =4*(61/3)=244/3 → S BFM /S AFMC =(16/3):(244/3)=4/61

Oppgave 2

To tangentsirkler med deres felles punkt D og en felles tangent FK som går gjennom dette punktet er innskrevet i en likebenet trekant ABC. Finn avstanden mellom sentrene til disse sirklene hvis basisen til trekanten AC = 9 cm, og segmentet på siden av trekanten som er innelukket mellom tangenspunktene til sirklene er 4 cm.

Gitt: ABC – likebenet trekant; FK - felles tangent for innskrevne sirkler. AC = 9 cm; NØ = 4 cm

Løsning:

La rette linjer AB og CD krysse i punkt O. Da er OA = OD, OB = OC, så CD = = AB = 2√Rr

Punktene O 1 og O 2 ligger på halveringslinjen til vinkel AOD. Halveringslinjen til en likebenet trekant AOD er ​​høyden, så AD ┴ O 1 O 2 og BC ┴ O 1 O 2, som betyr

AD ║ BC og ABCD – likebenet trapes.

Segment MN er midtlinjen, så AD + BC = 2MN = 2AB = AB + CD

Derfor kan en sirkel skrives inn i denne trapesen.

La AP være høyden på trapesen, rettvinklene ARB og O 1 FO 2 er like, derfor er AP/O 1 F = AB/O 1 O 2 .

Herfra finner vi det

Bibliografi

• Bilag til avisen “Første september” “Matematikk” nr. 43, 2003
• Unified State Exam 2010. Matematikk. Oppgave C4. Gordin R.K.

Geometriske konstruksjoner

Konstruere tangenter til sirkler

La oss vurdere problemet som ligger til grunn for løsningen av andre problemer som involverer å tegne tangenter til sirkler.

La fra poengetEN(Fig. 1) det er nødvendig å tegne tangenter til sirkelen med sentrum i punktetOM.

For nøyaktig å konstruere tangenter, er det nødvendig å bestemme tangenspunktene til linjene til sirkelen. For dette punktetENskal kobles sammen med en sømOMog del segmentetOAi halvparten. Fra midten av dette segmentet - poengMED, som fra midten, beskriv en sirkel hvis diameter skal være lik segmentetOA. PoengTIL1 OgTIL2 skjæringspunktet mellom sirkler sentrert i et punktMEDog med sentrum i punktetOMer tangenspunktene til linjeneAK1 OgAK2 til en gitt sirkel.

Riktigheten av løsningen på problemet bekreftes av det faktum at radiusen til sirkelen trukket til kontaktpunktet er vinkelrett på tangenten til sirkelen. VinklerOK1 ENOgOK2 ENer rette fordi de hviler på diameterenJSCsirkel med sentrum i punktetMED.

Ris. 1.

Når man konstruerer tangenter til to sirkler, skilles tangenterinnvendigOgutvendig. Hvis sentrene til de gitte sirklene er plassert på den ene siden av tangenten, regnes den som ekstern, og hvis sentrene til sirklene er på motsatte sider av tangenten, regnes den som intern.

OM1 OgOM2 R1 OgR2 . Det kreves å tegne eksterne tangenter til gitte sirkler.

For nøyaktig konstruksjon er det nødvendig å bestemme tangentpunktene til de rette linjene og de gitte sirklene. Hvis radiene til sirkler med sentreOM1 OgOM2 begynne å redusere suksessivt med samme verdi, så kan du få en serie konsentriske sirkler med mindre diametre. Dessuten, i hvert tilfelle av å redusere radius, vil tangentene til de mindre sirklene være parallelle med de ønskede. Etter å ha redusert begge radiene med størrelsen på den mindre radiusenR2 sirkel med sentrumOM2 blir til et punkt, og sirkelen med sentrumOM1 vil forvandles til en konsentrisk sirkel med en radiusR3 , lik forskjellen mellom radieneR1 OgR2 .

Ved å bruke den tidligere beskrevne metoden, fra punktetOM2 tegne eksterne tangenter til en sirkel med radiusR3 , prikk-til-prikkOM1 OgOM2 , del med en prikkMEDlinjestykkeOM1 OM2 i to og tegn en radiusCO1 en bue, hvis skjæringspunkt med en gitt sirkel vil bestemme tangenspunktene til linjeneOM2 TIL1 OgOM2 TIL2 .

PunktumEN1 OgEN2 tangensen til de nødvendige rette linjene med den større sirkelen er plassert på fortsettelsen av de rette linjeneOM1 TIL1 OgOM1 TIL2 . PoengI1 OgI2 tangentlinjene til den mindre sirkelen er vinkelrette på grunnflatenOM2 henholdsvis til hjelpetangenteneOM2 TIL1 OgOM2 TIL2 . Ved å plassere kontaktpunktene kan du tegne de ønskede rette linjeneEN1 I1 OgEN2 I2 .

Ris. 2.

La to sirkler med sentre ved punkter gisOM1 OgOM2 (fig. 2), med radier hhvR1 OgR2 . Det kreves å tegne interne tangenter til gitte sirkler.

For å bestemme tangenspunktene til rette linjer og sirkler, bruker vi resonnement som ligner på det som ble gitt når vi løser forrige oppgave. Hvis du reduserer radiusenR2 til null, deretter sirkelen med sentrumOM2 gå til poenget. Imidlertid, i dette tilfellet, for å opprettholde parallelliteten til hjelpetangentene med ønsket radiusR1 bør økes med én størrelseR2 og tegn en sirkel med radiusR3 , lik summen av radieneR1 OgR2 .

Fra poengetOM2 tegne tangenter til en sirkel med radiusR3 , hvorfor koble sammen prikkeneOM1 OgOM2 , del med en prikkMEDlinjestykkeOM1 OM2 i to og tegn en sirkelbue med sentrum i punktetMEDog radiusCO1 . Skjæringspunktet mellom en bue med en sirkel med radiusR3 vil bestemme plasseringen av punkteneTIL1 OgTIL2 tangenter til hjelpelinjerOM2 TIL1 OgOM2 TIL2 .

PunktumEN1 OgEN2 R1 er i skjæringspunktet mellom denne sirkelen og segmentetOM1 TIL1 OgOM1 TIL2 . For å definere poengI 1OgAT 2tangens av de nødvendige rette linjene med en sirkel med radiusR2 følger av poengetO2gjenopprette perpendikulære til hjelpelinjerO2K1OgO2K2til den skjærer en gitt sirkel. Etter å ha tangenspunktene mellom de ønskede linjene og de gitte sirklene, tegner vi rette linjerA1B1OgA2B2.

Ris. 3.

Sekant, tangent - alt dette kunne høres hundrevis av ganger i geometritimer. Men skoleavslutningen er bak oss, årene går, og all denne kunnskapen er glemt. Hva bør du huske?

Essens

Begrepet "tangens til en sirkel" er sannsynligvis kjent for alle. Men det er usannsynlig at alle raskt vil kunne formulere definisjonen. I mellomtiden er en tangent en rett linje som ligger i samme plan som en sirkel som bare skjærer den i ett punkt. Det kan være et stort antall av dem, men de har alle de samme egenskapene, som vil bli diskutert nedenfor. Som du kanskje gjetter, er tangenspunktet stedet der sirkelen og den rette linjen krysser hverandre. I hvert enkelt tilfelle er det bare én, men hvis det er flere av dem, vil det være en sekant.

Historie om oppdagelser og studier

Konseptet med en tangent dukket opp i antikken. Konstruksjonen av disse rette linjene, først til en sirkel, og deretter til ellipser, paraboler og hyperbler ved hjelp av en linjal og kompass, ble utført i de innledende stadiene av utviklingen av geometri. Selvfølgelig har historien ikke bevart navnet på oppdageren, men det er åpenbart at selv på den tiden var folk ganske kjent med egenskapene til en tangent til en sirkel.

I moderne tid blusset interessen for dette fenomenet opp igjen - en ny runde med studier av dette konseptet begynte i kombinasjon med oppdagelsen av nye kurver. Dermed introduserte Galileo konseptet med en cykloid, og Fermat og Descartes konstruerte en tangent til det. Når det gjelder sirkler, ser det ut til at det ikke er noen hemmeligheter igjen for de gamle i dette området.

Egenskaper

Radiusen som trekkes til skjæringspunktet vil være Denne

den viktigste, men ikke den eneste egenskapen som en tangent til en sirkel har. En annen viktig funksjon inkluderer to rette linjer. Så gjennom ett punkt som ligger utenfor sirkelen, kan to tangenter tegnes, og deres segmenter vil være like. Det er et annet teorem om dette emnet, men det blir sjelden undervist som en del av et standard skolekurs, selv om det er ekstremt praktisk for å løse noen problemer. Det høres slik ut. Fra ett punkt som ligger utenfor sirkelen, trekkes en tangent og en sekant til den. Segmentene AB, AC og AD dannes. A er skjæringspunktet mellom linjer, B er tangenspunktet, C og D er skjæringspunktet. I dette tilfellet vil følgende likhet være gyldig: lengden på tangenten til sirkelen, kvadratisk, vil være lik produktet av segmentene AC og AD.

Det er en viktig konsekvens av ovenstående. For hvert punkt på sirkelen kan du konstruere en tangent, men bare en. Beviset for dette er ganske enkelt: Ved å teoretisk slippe en vinkelrett fra radiusen på den, finner vi ut at den dannede trekanten ikke kan eksistere. Og dette betyr at tangenten er den eneste.

Konstruksjon

Blant andre problemer i geometri er det en spesiell kategori, som regel ikke

elsket av elever og studenter. For å løse problemer i denne kategorien trenger du bare et kompass og en linjal. Dette er byggeoppgaver. Det finnes også for å konstruere en tangent.

Så gitt en sirkel og et punkt som ligger utenfor dens grenser. Og det er nødvendig å tegne en tangent gjennom dem. Hvordan gjøre dette? Først av alt må du tegne et segment mellom midten av sirkelen O og et gitt punkt. Deretter, bruk et kompass, del det i to. For å gjøre dette må du angi en radius - litt mer enn halvparten av avstanden mellom midten av den opprinnelige sirkelen og dette punktet. Etter dette må du bygge to kryssende buer. Dessuten trenger ikke radiusen til kompasset å endres, og midten av hver del av sirkelen vil være henholdsvis det opprinnelige punktet og O. Kryssene mellom buene må kobles sammen, noe som vil dele segmentet i to. Sett en radius på kompasset lik denne avstanden. Deretter, med sentrum i skjæringspunktet, konstruer en annen sirkel. Både det opprinnelige punktet og O vil ligge på det. I dette tilfellet vil det være ytterligere to skjæringer med sirkelen som er gitt i oppgaven. De vil være kontaktpunktene for det opprinnelig angitte punktet.

Det var konstruksjonen av tangenter til sirkelen som førte til fødselen

differensialregning. Det første arbeidet med dette emnet ble publisert av den berømte tyske matematikeren Leibniz. Den sørget for muligheten for å finne maksima, minima og tangenter uavhengig av brøk- og irrasjonelle størrelser. Vel, nå brukes den til mange andre beregninger.

I tillegg er tangenten til en sirkel relatert til den geometriske betydningen av tangent. Det er her navnet kommer fra. Oversatt fra latin betyr tangens "tangens". Dermed er dette konseptet assosiert ikke bare med geometri og differensialregning, men også med trigonometri.

To sirkler

Tangenten påvirker ikke alltid bare én figur. Hvis et stort antall rette linjer kan trekkes til en sirkel, hvorfor ikke omvendt? Kan. Men oppgaven i dette tilfellet blir alvorlig komplisert, fordi tangenten til to sirkler kanskje ikke passerer gjennom noen punkter, og den relative posisjonen til alle disse figurene kan være veldig

annerledes.

Typer og varianter

Når vi snakker om to sirkler og en eller flere rette linjer, selv om det er kjent at disse er tangenter, er det ikke umiddelbart klart hvordan alle disse figurene er plassert i forhold til hverandre. Basert på dette skilles flere varianter ut. Dermed kan sirkler ha ett eller to felles punkter eller ikke ha dem i det hele tatt. I det første tilfellet vil de krysse hverandre, og i det andre vil de berøre. Og her skilles to varianter. Hvis en sirkel så å si er innebygd i den andre, så kalles tangensen intern, hvis ikke, så er den ekstern. Du kan forstå den relative plasseringen av figurene ikke bare basert på tegningen, men også ha informasjon om summen av radiene deres og avstanden mellom sentrene deres. Hvis disse to mengdene er like, berører sirklene. Hvis den første er større, krysser de hverandre, og hvis den er mindre, har de ikke felles punkter.

Det samme gjelder rette linjer. For to sirkler som ikke har felles punkter, kan du

konstruer fire tangenter. To av dem vil krysse mellom figurene, de kalles interne. Et par andre er eksterne.

Hvis vi snakker om sirkler som har ett felles poeng, så er problemet sterkt forenklet. Faktum er at for enhver relativ posisjon vil de i dette tilfellet bare ha en tangent. Og den vil passere gjennom skjæringspunktet deres. Så bygging vil ikke være vanskelig.

Hvis figurene har to skjæringspunkter, kan en rett linje konstrueres for dem, tangent til sirkelen til både den ene og den andre, men bare ekstern. Løsningen på dette problemet er lik det som vil bli diskutert nedenfor.

Problemløsning

Både den indre og ytre tangenten til to sirkler er ikke så enkle å konstruere, selv om dette problemet kan løses. Faktum er at det brukes en hjelpefigur til dette, så denne metoden må du selv finne på

ganske problematisk. Så, to sirkler med forskjellige radier og sentre O1 og O2 er gitt. For dem må du konstruere to par tangenter.

Først av alt, må du bygge en ekstra en nær midten av den større sirkelen. I dette tilfellet bør forskjellen mellom radiene til de to innledende figurene fastsettes på kompasset. Tangenter til hjelpesirkelen er konstruert fra midten av den mindre sirkelen. Etter dette tegnes perpendikulære fra O1 og O2 til disse linjene til de skjærer de originale figurene. Som følger av den grunnleggende egenskapen til tangenten, er de nødvendige punktene på begge sirkler funnet. Problemet er løst, i hvert fall første del.

For å konstruere interne tangenter, må du løse praktisk

lignende oppgave. Igjen trenger du en hjelpefigur, men denne gangen vil radiusen være lik summen av de opprinnelige. Tangenter er konstruert til den fra midten av en av disse sirklene. Løsningens videre forløp kan forstås fra forrige eksempel.

Tangent til en sirkel eller til og med to eller flere er ikke en så vanskelig oppgave. Selvfølgelig har matematikere for lengst sluttet å løse slike problemer manuelt og overlater beregningene til spesielle programmer. Men du bør ikke tro at nå trenger du ikke å kunne gjøre det selv, fordi for å formulere en oppgave for en datamaskin riktig, må du gjøre og forstå mye. Dessverre er det bekymring for at byggeoppgaver etter den endelige overgangen til en testform for kunnskapskontroll vil påføre elevene stadig flere vanskeligheter.

Når det gjelder å finne felles tangenter for et større antall sirkler, er dette ikke alltid mulig, selv om de ligger i samme plan. Men i noen tilfeller kan du finne en slik rett linje.

Eksempler fra livet

En felles tangent til to sirkler forekommer ofte i praksis, selv om dette ikke alltid er merkbart. Transportører, blokksystemer, remskiver, trådspenning i en symaskin, og til og med bare en sykkelkjede - alt dette er eksempler fra det virkelige liv. Så du bør ikke tro at geometriske problemer bare forblir i teorien: innen ingeniørfag, fysikk, konstruksjon og mange andre felt finner de praktisk anvendelse.

Å opprettholde personvernet ditt er viktig for oss. Av denne grunn har vi utviklet en personvernerklæring som beskriver hvordan vi bruker og lagrer informasjonen din. Se gjennom vår personvernpraksis og gi oss beskjed hvis du har spørsmål.

Innsamling og bruk av personopplysninger

Personopplysninger refererer til data som kan brukes til å identifisere eller kontakte en bestemt person.

Du kan bli bedt om å oppgi din personlige informasjon når som helst når du kontakter oss.

Nedenfor er noen eksempler på hvilke typer personopplysninger vi kan samle inn og hvordan vi kan bruke slik informasjon.

Hvilken personlig informasjon samler vi inn:

• Når du sender inn en søknad på nettstedet, kan vi samle inn ulike opplysninger, inkludert navn, telefonnummer, e-postadresse osv.

Hvordan vi bruker dine personopplysninger:

• Personopplysningene vi samler inn lar oss kontakte deg med unike tilbud, kampanjer og andre arrangementer og kommende arrangementer.
• Fra tid til annen kan vi bruke din personlige informasjon til å sende viktige meldinger og kommunikasjoner.
• Vi kan også bruke personopplysninger til interne formål, som å gjennomføre revisjoner, dataanalyser og ulike undersøkelser for å forbedre tjenestene vi leverer og gi deg anbefalinger angående våre tjenester.
• Hvis du deltar i en premietrekning, konkurranse eller lignende kampanje, kan vi bruke informasjonen du gir til å administrere slike programmer.

Utlevering av informasjon til tredjeparter

Vi utleverer ikke informasjonen mottatt fra deg til tredjeparter.

Unntak:

• Om nødvendig - i samsvar med loven, rettslig prosedyre, i rettslige prosesser og/eller på grunnlag av offentlige forespørsler eller forespørsler fra offentlige myndigheter på territoriet til den russiske føderasjonen - for å avsløre din personlige informasjon. Vi kan også avsløre informasjon om deg hvis vi fastslår at slik avsløring er nødvendig eller hensiktsmessig for sikkerhet, rettshåndhevelse eller andre offentlige viktige formål.
• I tilfelle en omorganisering, fusjon eller salg, kan vi overføre personopplysningene vi samler inn til gjeldende etterfølger tredjepart.

Beskyttelse av personopplysninger

Vi tar forholdsregler - inkludert administrative, tekniske og fysiske - for å beskytte din personlige informasjon mot tap, tyveri og misbruk, samt uautorisert tilgang, avsløring, endring og ødeleggelse.

Respekter personvernet ditt på bedriftsnivå

For å sikre at din personlige informasjon er sikker, kommuniserer vi personvern- og sikkerhetsstandarder til våre ansatte og håndhever strengt personvernpraksis.

Statlig budsjettutdanningsinstitusjon

Gymsal nr. 000

Designarbeid i geometri.

Åtte måter å konstruere en tangent til en sirkel.

9 biologisk-kjemisk klasse

Vitenskapelig leder: ,

visedirektør for akademiske anliggender,

matematikklærer.

Moskva 2012

Introduksjon

Kapittel 1. …………………………………………………………………………………………………4

Konklusjon

Introduksjon

Åndens høyeste manifestasjon er sinnet.

Den høyeste manifestasjonen av fornuft er geometri.

Geometricellen er en trekant. Han også

uuttømmelig, som universet. Sirkelen er geometriens sjel.

Kjenn sirkelen og du kjenner ikke bare sjelen

geometri, men også heve din sjel.

Claudius Ptolemaios
Oppgave.

Konstruer en tangent til en sirkel med sentrum O og radius R, som går gjennom punktet A som ligger utenfor sirkelen

Kapittel 1.

Konstruksjon av en tangent til en sirkel som ikke krever begrunnelse basert på teorien om parallelle linjer.

https://pandia.ru/text/78/156/images/image003_18.gif" width="17" height="16 src=">ABO = 90°. For en sirkel (O; r) OB - radius. OB AB, derfor er AB en tangent i henhold til tangentegenskapen.

På samme måte er AC en tangent til en sirkel.

Konstruksjon nr. 1 er basert på at tangenten til en sirkel er vinkelrett på radiusen som er tegnet til kontaktpunktet.

For en rett linje er det bare ett kontaktpunkt med en sirkel.

Gjennom et gitt punkt på en linje kan kun én vinkelrett linje trekkes.

Bygg nr. 2.

https://pandia.ru/text/78/156/images/image003_18.gif" width="17" height="16"> ABO = 90°

5. OB – radius, ABO = 90°, derfor AB – tangent etter attributt.

6. På samme måte, i den likebenede trekanten AON AC er tangenten (ACO = 90°, OS er radius)

7. Så AB og AC er tangenter

Formasjon nr. 3

https://pandia.ru/text/78/156/images/image003_18.gif" width="17" height="16">ORM = OVA = 90° (som tilsvarende vinkler i like trekanter), derfor AB – tangent basert på tangent.

4. På samme måte er AC en tangent

Konstruksjon №4

https://pandia.ru/text/78/156/images/image008_9.jpg" align="left" width="330" height="743 src=">

Bygg nr. 6.

Konstruksjon:

2. Jeg vil tegne en vilkårlig rett linje gjennom punkt A som skjærer sirkelen (O, r) i punktene M og N.

6. AB og BC er de nødvendige tangentene.

Bevis:

1. Siden trekantene PQN og PQM er innskrevet i en sirkel og siden PQ er diameteren til sirkelen, er disse trekantene rettvinklede.

2. I trekanten PQL er segmentene PM og QN høyder som skjærer hverandre ved punkt K, derfor er KL den tredje høyden..gif" width="17" height="16 src=">.gif" width="17" height="16 src =">AQS =AMS = 180° - https://pandia.ru/text/78/156/images/image003_18.gif" width="17" height="16">PQN = β, deretter |AQ| |AS|ctg β. Derfor |PA| : |AQ| = ctg α: ctg β (2).

5. Ved å sammenligne (1) og (2) får jeg |PD| : |PA| = |DQ| : |AQ|, eller

(|OD| + R)(|OA| - R)=(R-|OD|)(|OA| + R).

Etter å ha åpnet parentesene og forenklet, finner jeg ut at |OD|·|OA|=R².

5. Fra relasjonen |OD|·|OA|=R² følger det at |OD|:R=R: |OA|, dvs. trekanter ODB og OBA er like..gif" width="17" height=" 16"> OBA = 90°. Derfor er rett linje AB ønsket tangent, som var det som måtte bevises.

Bygg nr. 6.

Konstruksjon:

1. Jeg skal konstruere en sirkel (A; |OA|).

2. Jeg vil finne en kompassåpning lik 2R, for hvilken jeg vil velge punkt S på sirkelen (O; R) og plotte tre buer som inneholder 60º hver: SP=PQ=QT=60°. Punktene S og T er diametralt motsatte.

3. Jeg bygger en sirkel (O; ST) som krysser hverandre w 1 Hva slags sirkel er dette? på punktene M og N.

4. Nå skal jeg bygge midten av MO. For å gjøre dette konstruerer jeg sirkler (O; OM) og (M; MO), og for punktene M og O finner vi diametralt motsatte punkter U og V på dem.

6. Til slutt vil jeg konstruere en sirkel (K; KM) og (L; LM), som skjærer i ønsket punkt B - midten av MO.

Bevis:

Trekanter KMV og UMK er likebente og lignende. Derfor, fra det faktum at KM = 0,5 MU, følger det at MB = 0,5 MK = 0,5 R. Så punkt B er ønsket kontaktpunkt. På samme måte kan du finne tangenspunktet C.

Kapittel 3.

Konstruksjon av en tangent til en sirkel basert på egenskapene til sekanter og halveringslinjer.

Formasjon nr. 7

https://pandia.ru/text/78/156/images/image011_7.jpg" align="left" width="440" height="514 src="> Formasjon nr. 8

Konstruksjon:

1. Jeg vil konstruere en sirkel (A;AP) som skjærer rett linje AP i punkt D.

2. Konstruer en sirkel w på diameteren QD

3. Jeg vil skjære den med en vinkelrett på den rette linjen AP ved punkt A og få punktene M og N.

Bevis:

Det er åpenbart at AM²=AN²=AD·AQ=AP·AQ. Deretter skjærer sirkelen (A;AM) (O;R) ved tangentpunktene B og C. AB og AC er de nødvendige tangentene.