Biografier 

Løse ligninger på eksamen. Irrasjonelle ligninger. Omfattende guide. Opplegg for å løse komplekse ligninger

Ligninger, del $C$

En likhet som inneholder et ukjent tall, angitt med en bokstav, kalles en ligning. Uttrykket til venstre for likhetstegnet kalles venstre side av ligningen, og uttrykket til høyre kalles høyre side av ligningen.

Opplegg for å løse komplekse ligninger:

  1. Før du løser en ligning, er det nødvendig å skrive ned rekkevidden av tillatte verdier (ADV) for den.
  2. Løs ligningen.
  3. Velg fra de oppnådde røttene til ligningen de som tilfredsstiller ODZ.

ODZ av forskjellige uttrykk (med uttrykk mener vi alfanumerisk notasjon):

1. Uttrykket i nevneren må ikke være lik null.

$(f(x))/(g(x)); g(x)≠0$

2. Det radikale uttrykket må ikke være negativt.

$√(g(x)); g(x) ≥ 0$.

3. Det radikale uttrykket i nevneren må være positivt.

$(f(x))/(√(g(x))); g(x) > 0$

4. For en logaritme: det sublogaritmiske uttrykket må være positivt; grunnlaget må være positivt; Grunnlaget kan ikke tilsvare en.

$log_(f(x))g(x)\tabell\(\g(x) > 0;\ f(x) > 0;\ f(x)≠1;$

Logaritmiske ligninger

Logaritmiske ligninger er ligninger av formen $log_(a)f(x)=log_(a)g(x)$, der $a$ er positivt tall, forskjellig fra $1$, og ligninger som kan reduseres til denne formen.

For å løse logaritmiske ligninger må du kjenne egenskapene til logaritmer: vi vil vurdere alle egenskapene til logaritmer for $a > 0, a≠ 1, b> 0, c> 0, m$ – et hvilket som helst reelt tall.

1. For alle reelle tall $m$ og $n$ er likhetene sanne:

$log_(a)b^m=mlog_(a)b;$

$log_(a^m)b=(1)/(m)log_(a)b.$

$log_(a^n)b^m=(m)/(n)log_(a)b$

$log_(3)3^(10)=10log_(3)3=10;$

$log_(5^3)7=(1)/(3)log_(5)7;$

$log_(3^7)4^5=(5)/(7)log_(3)4;$

2. Logaritmen til produktet er lik summen av logaritmene til samme grunn av hver faktor.

$log_a(bc)=log_(a)b+log_(a)c$

3. Logaritmen til en kvotient er lik differansen mellom logaritmene til telleren og nevneren ved bruk av samme grunntall

$log_(a)(b)/(c)=log_(a)b-log_(a)c$

4. Når du multipliserer to logaritmer, kan du bytte basene deres

$log_(a)b∙log_(c)d=log_(c)b∙log_(a)d$, hvis $a, b, c$ og $d > 0, a≠1, b≠1.$

5. $c^(log_(a)b)=b^(log_(a)b)$, hvor $a, b, c > 0, a≠1$

6. Formel for å flytte til en ny base

$log_(a)b=(log_(c)b)/(log_(c)a)$

7. Spesielt hvis det er nødvendig å bytte base og sublogaritmiske uttrykk

$log_(a)b=(1)/(log_(b)a)$

Det er flere hovedtyper av logaritmiske ligninger:

De enkleste logaritmiske ligningene: $log_(a)x=b$. Løsningen på denne typen ligninger følger av definisjonen av logaritmen, dvs. $x=a^b$ og $x > 0$

La oss representere begge sider av ligningen som en logaritme for å basere $2$

$log_(2)x=log_(2)2^3$

Hvis logaritmer med samme grunntall er like, så er de sublogaritmiske uttrykkene også like.

Svar: $x = 8$

Ligninger av formen: $log_(a)f(x)=log_(a)g(x)$. Fordi basene er de samme, så setter vi likhetstegn mellom de sublogaritmiske uttrykkene og tar hensyn til ODZ:

$\tabell\(\ f(x)=g(x);\ f(x)>0;\ g(x) > 0, а > 0, а≠1;$

$log_(3)(x^2-3x-5)=log_(3)(7-2x)$

Fordi basene er like, så setter vi likhetstegn mellom de sublogaritmiske uttrykkene

La oss flytte alle leddene til venstre side av ligningen og presentere lignende termer

La oss sjekke de funnet røttene i henhold til betingelsene $\table\(\ x^2-3x-5>0;\ 7-2x>0;$

Når du erstatter den andre ulikheten, tilfredsstiller ikke roten $x=4$ betingelsen, derfor er den en fremmed rot

Svar: $x=-3$

  • Variabel erstatningsmetode.

I denne metoden trenger du:

  1. Skriv ned ODZ-ligningene.
  2. Ved å bruke egenskapene til logaritmer, sørg for at ligningene produserer identiske logaritmer.
  3. Erstatt $log_(a)f(x)$ med en hvilken som helst variabel.
  4. Løs ligningen for den nye variabelen.
  5. Gå tilbake til trinn 3, bytt inn verdien for variabelen og få den enkleste ligningen på skjemaet: $log_(a)x=b$
  6. Løs den enkleste ligningen.
  7. Etter å ha funnet røttene logaritmisk ligning det er nødvendig å sette dem i avsnitt 1 og sjekke tilstanden til ODZ.

Løs ligningen $log_(2)√x+2log_(√x)2-3=0$

1. La oss skrive ned ODZ-ligningen:

$\tabell\(\ x>0,\text"siden den er under tegnet til roten og logaritmen";\ √x≠1→x≠1;$

2. La oss lage logaritmer til grunntallet $2$, for dette vil vi bruke regelen for å flytte til en ny base i andre ledd:

$log_(2)√x+(2)/(log_(2)√x)-3=0$

4. Vi får en rasjonell brøkligning for variabelen t

La oss redusere alle ledd til en fellesnevner $t$.

$(t^2+2-3t)/(t)=0$

En brøk er lik null når telleren er null og nevneren ikke er null.

$t^2+2-3t=0$, $t≠0$

5. La oss løse resultatet kvadratisk ligning i følge Vietas teorem:

6. La oss gå tilbake til trinn 3, gjøre den omvendte erstatningen og få to enkle logaritmiske ligninger:

$log_(2)√x=1$, $log_(2)√x=2$

La oss logaritme høyresiden av ligningene

$log_(2)√x=log_(2)2$, $log_(2)√x=log_(2)4$

La oss sette likhetstegn mellom de sublogaritmiske uttrykkene

$√x=2$, $√x=4$

For å bli kvitt roten, kvadrerer vi begge sider av ligningen

$х_1=4$, $х_2= 16$

7. La oss erstatte røttene til den logaritmiske ligningen i trinn 1 og sjekke ODZ-betingelsen.

$\(\tabell\ 4 >0; \4≠1;$

Den første roten tilfredsstiller ODZ.

$\(\table\ 16 >0; \16≠1;$ Den andre roten tilfredsstiller også ODZ.

Svar: $4; $16

  • Ligninger av formen $log_(a^2)x+log_(a)x+c=0$. Slike ligninger løses ved å introdusere en ny variabel og gå over til en ordinær andregradsligning. Etter at røttene til ligningen er funnet, må de velges under hensyntagen til ODZ.

Fraksjonelle rasjonelle ligninger

  • Hvis en brøk er null, er telleren null og nevneren er ikke null.
  • Hvis minst én del av en rasjonell ligning inneholder en brøk, kalles ligningen brøk-rasjonell.

For å løse en rasjonell brøkligning, må du:

  1. Finn verdiene til variabelen der ligningen ikke gir mening (ODZ)
  2. Finn fellesnevneren til brøkene som inngår i ligningen;
  3. Multipliser begge sider av ligningen med fellesnevneren;
  4. Løs den resulterende hele ligningen;
  5. Ekskluder fra røttene de som ikke tilfredsstiller ODZ-betingelsen.
  • Hvis en ligning involverer to brøker og tellerne er deres like uttrykk, kan nevnerne likestilles med hverandre og den resulterende ligningen kan løses uten å ta hensyn til tellerne. MEN tar hensyn til ODZ for hele den opprinnelige ligningen.

Eksponentialligninger

Eksponentialligninger er de der det ukjente er inneholdt i eksponenten.

Når vi løser eksponentielle ligninger, brukes egenskapene til potenser, la oss huske noen av dem:

1. Når potenser multipliseres med de samme grunnene, forblir grunntallet det samme, og eksponentene legges til.

$a^n·a^m=a^(n+m)$

2. Når du deler grader med de samme basene, forblir basen den samme, og eksponentene trekkes fra

$a^n:a^m=a^(n-m)$

3. Når du hever en grad til en potens, forblir basen den samme, men eksponentene multipliseres

$(a^n)^m=a^(n∙m)$

4. Når man hever et produkt til en makt, blir hver faktor hevet til denne makten

$(a b)^n=a^n b^n$

5. Når du hever en brøk til en potens, heves telleren og nevneren til denne potensen

$((a)/(b))^n=(a^n)/(b^n)$

6. Når en base heves til en null eksponent, er resultatet lik én

7. En base i en hvilken som helst negativ eksponent kan representeres som en base i den samme positive eksponenten ved å endre posisjonen til basen i forhold til streken til brøken

$a^(-n)=(1)/(a^n)$

$(a^(-n))/(b^(-k))=(b^k)/(a^n)$

8. En radikal (rot) kan representeres som en potens med en brøkeksponent

$√^n(a^k)=a^((k)/(n))$

Typer eksponentialligninger:

1. Enkle eksponentialligninger:

a) Formen $a^(f(x))=a^(g(x))$, der $a >0, a≠1, x$ er ukjent. For å løse slike ligninger bruker vi egenskapen til grader: grader med samme grunnlag($a >0, a≠1$) er like bare hvis eksponentene deres er like.

b) Ligning av formen $a^(f(x))=b, b>0$

For å løse slike ligninger må begge sider tas logaritmisk til grunntallet $a$, viser det seg

$log_(a)a^(f(x))=log_(a)b$

2. Grunnnivelleringsmetode.

3. Metode for faktorisering og variabel erstatning.

  • For denne metoden, i hele ligningen, i henhold til egenskapen til potenser, er det nødvendig å transformere potensene til en form $a^(f(x))$.
  • Gjør en endring av variabelen $a^(f(x))=t, t > 0$.
  • Vi får en rasjonell ligning som må løses ved å faktorisere uttrykket.
  • Vi gjør omvendte erstatninger under hensyntagen til det faktum at $t >

Løs ligningen $2^(3x)-7 2^(2x-1)+7 2^(x-1)-1=0$

Ved å bruke egenskapen potenser transformerer vi uttrykket slik at vi får potensen 2^x.

$(2^x)^3-(7·(2^x)^2)/(2)+(7·2^x)/(2-1)=0$

La oss endre variabelen $2^x=t; t>0$

Vi får en kubikkligning av formen

$t^3-(7 t^2)/(2)+(7 t)/(2)-1=0$

Multipliser hele ligningen med $2$ for å bli kvitt nevnerne

$2t^3-7 t^2+7 t-2=0$

La oss utvide venstre side av ligningen ved å bruke grupperingsmetoden

$(2t^3-2)-(7 t^2-7 t)=0$

La oss ta ut den felles faktoren $2$ fra den første parentesen og $7t$ fra den andre

$2(t^3-1)-7t(t-1)=0$

I tillegg, i den første parentesen ser vi formelforskjellen til kuber

$(t-1)(2t^2+2t+2-7t)=0$

Produktet er null når minst én av faktorene er null

1) $(t-1)=0;$ 2) $2t^2+2t+2-7t=0$

La oss løse den første ligningen

La oss løse den andre ligningen gjennom diskriminanten

$D=25-4·2·2=9=3^2$

$t_2=(5-3)/(4)=(1)/(2)$

$t_3=(5+3)/(4)=2$

$2^x=1; 2^x=(1)/(2); 2^x=2$

$2^x=2^0; 2^x=2^(-1); 2^x=2^1$

$x_1=0; x_2=-1; x_3=1$

Svar: $-1; 0; 1$

4. Metode for konvertering av kvadratisk ligning

  • Vi har en ligning på formen $A·a^(2f(x))+B·a^(f(x))+C=0$, der $A, B$ og $C$ er koeffisienter.
  • Vi gjør erstatningen $a^(f(x))=t, t > 0$.
  • Resultatet er en andregradsligning av formen $A·t^2+B·t+С=0$. Vi løser den resulterende ligningen.
  • Vi gjør den omvendte substitusjonen med tanke på at $t > 0$. Vi får det enkleste eksponentiell ligning$a^(f(x))=t$, løs det og skriv resultatet i svaret.

Faktoriseringsmetoder:

  • Å ta den felles faktoren ut av parentes.

For å faktorisere et polynom ved å ta fellesfaktoren ut av parentes, må du:

  1. Bestem den felles faktoren.
  2. Del det gitte polynomet med det.
  3. Skriv ned produktet av fellesfaktoren og den resulterende kvotienten (omslutt denne kvotienten i parentes).

Faktor polynomet: $10a^(3)b-8a^(2)b^2+2a$.

Fellesfaktoren for dette polynomet er $2a$, siden alle ledd er delbare med $2$ og "a". Deretter finner vi kvotienten for å dele det opprinnelige polynomet med "2a", vi får:

$10a^(3)b-8a^(2)b^2+2a=2a((10a^(3)b)/(2a)-(8a^(2)b^2)/(2a)+( 2a)/(2a))=2a(5a^(2)b-4ab^2+1)$

Dette er det endelige resultatet av faktorisering.

Bruke forkortede multiplikasjonsformler

1. Kvadraten av summen dekomponeres i kvadratet av det første tallet pluss to ganger produktet av det første tallet og det andre tallet og pluss kvadratet av det andre tallet.

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

2. Kvadraten av forskjellen dekomponeres i kvadratet av det første tallet minus to ganger produktet av det første tallet og det andre og pluss kvadratet av det andre tallet.

$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

3. Differansen av kvadrater dekomponeres i produktet av forskjellen av tall og summen deres.

$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$

4. Sum kube lik kube det første tallet pluss tredoble produktet av kvadratet av det første tallet med det andre tallet pluss tredoble produktet av det første med kvadratet av det andre tallet pluss terningen av det andre tallet.

$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$

5. Terningen av forskjellen er lik kuben av det første tallet minus trippelproduktet av kvadratet av det første tallet med det andre tallet pluss trippelproduktet av det første med kvadratet av det andre tallet og minus kuben av det andre tallet.

$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$

6. Summen av terninger er lik produktet av summen av tall og partialkvadraten av differansen.

$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$

7. Differansen av terninger er lik produktet av forskjellen av tall og det ufullstendige kvadratet av summen.

$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

Grupperingsmetode

Grupperingsmetoden er praktisk å bruke når det er nødvendig å faktorisere et polynom med et partall av ledd. I denne metoden det er nødvendig å samle begrepene i grupper og ta den felles faktoren ut av hver gruppe. Etter å ha plassert dem i parentes, skal flere grupper få identiske uttrykk, så tar vi denne parentesen frem som en felles faktor og multipliserer den med parentesen til den resulterende kvotienten.

Faktor polynomet $2a^3-a^2+4a-2$

For å dekomponere dette polynomet vil vi bruke metoden for å gruppere ledd, for dette vil vi gruppere de to første og to siste leddene, og det er viktig å plassere tegnet riktig foran den andre grupperingen, vi vil sette +-tegnet og skriv derfor vilkårene med deres tegn i parentes.

$(2a^3-a^2)+(4a-2)=a^2(2a-1)+2(2a-1)$

Etter å ha tatt ut fellesfaktorene, fikk vi et par identiske parenteser. Nå tar vi denne braketten ut som en felles faktor.

$a^2(2a-1)+2(2a-1)=(2a-1)(a^2+2)$

Produktet av disse parentesene er det endelige resultatet av faktorisering.

Bruke den kvadratiske trinomialformelen.

Hvis det er et kvadratisk trinomium av formen $ax^2+bx+c$, kan det utvides i henhold til formelen

$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$, der $x_1$ og $x_2$ er røttene til det kvadratiske trinomialet

Å opprettholde personvernet ditt er viktig for oss. Av denne grunn har vi utviklet en personvernerklæring som beskriver hvordan vi bruker og lagrer informasjonen din. Se gjennom vår personvernpraksis og gi oss beskjed hvis du har spørsmål.

Innsamling og bruk av personopplysninger

Personopplysninger refererer til data som kan brukes til å identifisere eller kontakte en bestemt person.

Du kan bli bedt om å oppgi din personlige informasjon når som helst når du kontakter oss.

Nedenfor er noen eksempler på hvilke typer personopplysninger vi kan samle inn og hvordan vi kan bruke slik informasjon.

Hvilken personlig informasjon samler vi inn:

  • Når du sender inn en søknad på nettstedet, kan vi samle inn ulike opplysninger, inkludert navn, telefonnummer, e-postadresse osv.

Hvordan vi bruker dine personopplysninger:

  • Samlet av oss personlig informasjon lar oss kontakte deg og informere deg om unike tilbud, kampanjer og andre arrangementer og kommende arrangementer.
  • Fra tid til annen kan vi bruke din personlige informasjon til å sende viktige meldinger og kommunikasjoner.
  • Vi kan også bruke personopplysninger til interne formål, som å gjennomføre revisjoner, dataanalyser og ulike undersøkelser for å forbedre tjenestene vi leverer og gi deg anbefalinger angående våre tjenester.
  • Hvis du deltar i en premietrekning, konkurranse eller lignende kampanje, kan vi bruke informasjonen du gir til å administrere slike programmer.

Utlevering av informasjon til tredjeparter

Vi utleverer ikke informasjonen mottatt fra deg til tredjeparter.

Unntak:

  • Om nødvendig, i samsvar med loven, rettslig prosedyre, i rettslige prosesser, og/eller basert på offentlige henvendelser eller forespørsler fra offentlige etater på den russiske føderasjonens territorium - oppgi din personlige informasjon. Vi kan også avsløre informasjon om deg hvis vi fastslår at slik avsløring er nødvendig eller hensiktsmessig for sikkerhet, rettshåndhevelse eller andre offentlige viktige formål.
  • I tilfelle en omorganisering, fusjon eller salg, kan vi overføre personopplysningene vi samler inn til gjeldende etterfølger tredjepart.

Beskyttelse av personopplysninger

Vi tar forholdsregler - inkludert administrative, tekniske og fysiske - for å beskytte din personlige informasjon mot tap, tyveri og misbruk, samt uautorisert tilgang, avsløring, endring og ødeleggelse.

Respekter ditt privatliv på bedriftsnivå

For å sikre at din personlige informasjon er sikker, kommuniserer vi personvern- og sikkerhetsstandarder til våre ansatte og håndhever strengt personvernpraksis.

I dag skal vi trene ferdighetene til å løse oppgave 5 i Unified State Exam - finn roten til ligningen. La oss se etter roten til ligningen. La oss se på eksempler på løsning av denne typen oppgaver. Men først, la oss huske hva det betyr å finne roten til en ligning?

Dette betyr å finne et tall kryptert under x, som vi vil erstatte i stedet for x og ligningen vår vil være en ekte likhet.

For eksempel er 3x=9 en ligning, og 3 . 3=9 er allerede en ekte likhet. Det vil si i i dette tilfellet, vi erstattet tallet 3 i stedet for x - vi fikk riktig uttrykk eller likhet, dette betyr at vi har løst ligningen, det vil si at vi har funnet det gitte tallet x=3, som gjør ligningen til en sann likhet.

Dette er hva vi skal gjøre - vi skal finne roten til ligningen.

Oppgave 1 - finn roten til ligning 2 1-4x =32

Dette er en eksponentiell ligning. Det blir løst på følgende måte- det er nødvendig at både til venstre og til høyre for likhetstegnet er det en grad med samme base.

Til venstre har vi en base på grad 2, og til høyre er det ingen grad i det hele tatt. Men vi vet at 32 er 2 til femte potens. Det vil si 32=2 5

Derfor vil ligningen vår se slik ut: 2 1-4x = 2 5

På venstre og høyre side er eksponentene våre like, noe som betyr at for at vi skal ha likhet, må eksponentene også være like:

Vi får en vanlig ligning. La oss bestemme på vanlig måte— vi forlater alle de ukjente til venstre, og flytter de kjente til høyre, får vi:

La oss sjekke: 2 1-4(-1) =32

Vi har funnet roten til ligningen. Svar: x=-1.

Finn roten til ligningen selv i følgende oppgaver:

b) 2 1-3x =128

Oppgave 2 - finn roten til ligningen

Vi løser ligningen på lignende måte - ved å redusere venstre og høyre side av ligningen til samme potensbase. I vårt tilfelle - til grunnlaget for grad 2.

Vi bruker neste eiendom grader:

Ved å bruke denne egenskapen får vi høyre side av ligningen vår:

Hvis basisene til graden er like, er eksponentene like:

Svar: x=9.

La oss gjøre en sjekk - erstatte den funnet verdien av x i den opprinnelige ligningen - hvis vi får riktig likhet, har vi løst ligningen riktig.

Vi fant roten til ligningen riktig.

Oppgave 3 - finn roten til ligningen

Merk at til høyre har vi 1/8, og 1/8 er

Da vil ligningen vår bli skrevet som:

Hvis basisene til graden er like, så er eksponentene like, får vi en enkel ligning:

Svar: x=5. Gjør sjekken selv.

Oppgave 4 - finn roten til ligningen log 3 (15'er)=log 3 2

Denne ligningen kan løses på samme måte som den eksponentielle. Vi trenger at basisene til logaritmene til venstre og høyre for likhetstegnet skal være like. Nå er de de samme, noe som betyr at vi setter likhetstegn mellom de uttrykkene som er under tegnet til logaritmer:

Svar: x=13

Oppgave 5 - finn roten til ligningen log 3 (3-x)=3

Tallet 3 er log 3 27. For å gjøre det tydelig, er det under tegningen under logaritmetegnet tallet som heves til potensen, i vårt tilfelle er 3 under logaritmetegnet tallet som ble oppnådd når det ble hevet til potensen - dette er 27, og selve logaritmen er eksponent som 3 må heves til for å få 27.

Se på bildet:

Dermed kan et hvilket som helst tall skrives som en logaritme. I dette tilfellet er det veldig praktisk å skrive tallet 3 som en logaritme med grunntallet 3. Vi får:

log 3 (3-x)=log 3 27

Basene til logaritmene er like, noe som betyr at tallene under logaritmetegnet er like:

La oss sjekke:

log 3 (3-(-24))=log 3 27

log 3 (3+24)= log 3 27

logg 3 27=logg 3 27

Svar: x=-24.

Finn roten til ligningen. Oppgave 6.

log 2 (x+3)=log 2 (3x-15)

Sjekk: logg 2 (9+3)=logg 2 (27-15)

logg 2 12=logg 2 12

Svar: x=9.

Finn roten til ligningen. Oppgave 7.

log 2 (14-2x)=2log 2 3

log 2 (14-2x) = log 2 3 2

Sjekk: log 2 (14-5)=2log 2 3

log 2 9=2log 2 3

log 2 3 2 =2 log 2 3

2log 2 3=2log 2 3

Svar: x=2,5

Forbered deg til Unified State-eksamenen og Unified State-eksamenen - se på de tidligere emnene og.