Legge til tall med samme grunntall. Regler for subtraksjon og addisjon. Hva er maktuttrykk

Artikler om naturvitenskap og matematikk

Egenskaper til makter med samme base

Det er tre egenskaper til potenser med samme baser og naturlige eksponenter. den

Arbeid sum
Privat to potenser med samme grunntall er lik et uttrykk hvor grunntallet er likt og eksponenten er det forskjell indikatorer for de opprinnelige multiplikatorene.
Å heve en potens av et tall til en potens er lik et uttrykk der grunntallet er det samme tallet og eksponenten er arbeid to grader.

Vær forsiktig! Regler vedr addisjon og subtraksjon krafter med samme base eksisterer ikke.

Vi skriver disse egenskapsreglene i form av formler:

en m? a n = a m+n
en m? a n = a m–n
(am) n = en mn

Vurder dem nå på spesifikke eksempler og prøv å bevise.

5 2 ? 5 3 = 5 5 - her brukte vi regelen; og se for deg hvordan vi ville løst dette eksemplet hvis vi ikke kjente reglene:

5 2 ? 5 3 = 5? 5 ? 5 ? 5 ? 5 \u003d 5 5 - fem i kvadrat er fem ganger fem, og terninger er produktet av tre femmere. Resultatet er et produkt av fem femmere, men dette er noe annet enn fem til femte potens: 5 5 .

3 9 ? 3 5 = 3 9–5 = 3 4 . La oss skrive inndelingen som en brøk:

Den kan forkortes:

Som et resultat får vi:

Dermed beviste vi at når du deler to potenser med samme base, må indikatorene deres trekkes fra.

Men når du deler, er det umulig for divisor å være lik null (siden du ikke kan dele med null). I tillegg, siden vi vurderer grader kun med naturlige indikatorer, kan vi ikke få et tall mindre enn 1 som et resultat av å trekke indikatorene fra. Derfor vil formelen a m ? a n = a m–n restriksjoner pålegges: a ? 0 og m > n.

La oss gå videre til den tredje egenskapen:
(2 2) 4 = 2 2?4 = 2 8

La oss skrive i utvidet form:
(2 2) 4 = (2 ? 2) 4 = (2 ? 2) ? (2 ? 2) ? (2 ? 2) ? (2 ? 2) = 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 = 2 8

Du kan komme til denne konklusjonen og logisk resonnere. Du må gange to i annen fire ganger. Men det er to toere i hver rute, så det blir åtte toere totalt.

scienceland.info

Regler for addisjon og subtraksjon.

1. Fra en endring i stedene for vilkårene, vil summen ikke endres (kommutativ egenskap for addisjon)

13+25=38 kan skrives som: 25+13=38

2. Resultatet av addisjon vil ikke endres hvis tilstøtende termer erstattes med summen deres (en assosiativ egenskap ved addisjon).

10+13+3+5=31 kan skrives som: 23+3+5=31; 26+5=31; 23+8=31 osv.

3. Enheter legger sammen med enere, tiere med tiere, og så videre.

34+11=45 (3 tiere pluss 1 tiere; 4 enere pluss 1 en).

4. Enheter trekkes fra enheter, tiere fra tiere osv.

53-12=41 (3 enheter minus 2 enheter; 5 tiere minus 1 ti)

merk: 10 enheter utgjør en ti. Dette må man huske når man trekker fra, fordi hvis antall enheter av det subtraherte er større enn det reduserte, så kan vi "låne" en ti fra det reduserte.

41-12 \u003d 29 (For å trekke 2 fra 1, må vi først "låne" enheten fra tiere, vi får 11-2 \u003d 9; husk at den reduserte har 1 mindre, derfor er det der er 3 tiere og fra den trekkes 1 tier Svar 29).

5. Hvis en av dem trekkes fra summen av to ledd, vil det andre leddet bli oppnådd.

Dette betyr at addisjon kan kontrolleres ved hjelp av subtraksjon.

For å sjekke, trekkes ett av leddene fra summen: 49-7=42 eller 49-42=7

Hvis du, som et resultat av subtraksjon, ikke fikk et av begrepene, ble det gjort en feil i addisjonen.

6. Hvis du legger til subtrahend til differansen, får du minuend.

Dette betyr at subtraksjon kan kontrolleres ved addisjon.

For å sjekke, legg til subtrahenden til differansen: 19+50=69.

Hvis du, som et resultat av prosedyren beskrevet ovenfor, ikke fikk en reduksjon, ble det gjort en feil i subtraksjonen din.

Addisjon og subtraksjon av rasjonelle tall

Denne leksjonen dekker addisjon og subtraksjon av rasjonelle tall. Temaet er klassifisert som komplekst. Her er det nødvendig å bruke hele arsenalet av tidligere ervervet kunnskap.

Reglene for å addere og subtrahere heltall er også gyldige for rasjonelle tall. Husk at rasjonelle tall er tall som kan representeres som en brøk, hvor en - er telleren av en brøk b er nevneren til brøken. Og b skal ikke være null.

I denne leksjonen vil vi i økende grad referere til brøker og blandede tall som en vanlig setning - rasjonelle tall.

Leksjonsnavigering:

Eksempel 1 Finn verdien av et uttrykk

Vi omslutter hvert rasjonelt tall i parentes sammen med dets tegn. Vi tar hensyn til at plusset som er gitt i uttrykket er tegnet på operasjonen og ikke gjelder for brøker. Denne brøken har sitt eget plusstegn, som er usynlig på grunn av at det ikke er skrevet ned. Men vi vil skrive det ned for klarhet:

Dette er tillegg av rasjonelle tall med forskjellige fortegn. For å legge til rasjonelle tall med forskjellige fortegn, må du trekke det minste fra den større modulen, og sette tegnet hvis modul er større foran svaret. Og for å forstå hvilken modul som er størst og hvilken som er mindre, må du være i stand til å sammenligne modulene til disse brøkene før du beregner dem:

Modulen til et rasjonelt tall er større enn modulen til et rasjonelt tall. Derfor trakk vi fra . Fikk svar. Så, ved å redusere denne brøken med 2, fikk vi det endelige svaret.

Om ønskelig kan enkelte primitive handlinger, som å sette tall i parentes og sette ned moduler, hoppes over. Dette eksemplet kan skrives på en kortere måte:

Eksempel 2 Finn verdien av et uttrykk

Vi omslutter hvert rasjonelt tall i parentes sammen med dets tegn. Vi tar i betraktning at minus som er gitt i uttrykket er tegnet på operasjonen og ikke gjelder for brøker.

Brøken i dette tilfellet er et positivt rasjonelt tall som har et plusstegn, som er usynlig. Men vi vil skrive det ned for klarhet:

La oss erstatte subtraksjon med addisjon. Husk at for dette må du legge til tallet motsatt av subtrahert til minuend:

Vi fikk tillegg av negative rasjonelle tall. For å legge til negative rasjonelle tall, må du legge til modulene deres og sette et minus før svaret:

Eksempel 3 Finn verdien av et uttrykk

I dette uttrykket har brøkene ulike nevnere. For å gjøre det lettere for oss selv, la oss bringe disse brøkene til samme (felles)nevner. Vi vil ikke gå nærmere inn på dette. Hvis du har problemer, sørg for å gå tilbake til brøkleksjonen og gjenta den.

Etter å ha redusert brøkene til en fellesnevner, vil uttrykket ha følgende form:

Dette er tillegg av rasjonelle tall med forskjellige fortegn. Vi trekker den minste fra den større modulen og setter tegnet foran det mottatte svaret, hvis modul er større:

Eksempel 4 Finn verdien av et uttrykk

Vi fikk summen av tre ledd. Finn først verdien av uttrykket, og legg deretter til det mottatte svaret

Første handling:

Andre handling:

Dermed er verdien av uttrykket lik.

Løsningen for dette eksemplet kan skrives kortere

Eksempel 5. Finn verdien av et uttrykk

Sett hvert tall i parentes sammen med sine tegn. For å gjøre dette vil vi midlertidig utvide det blandede antallet

La oss beregne heltallsdelene:

I hoveduttrykket i stedet for skriv den resulterende enheten:

La oss konvertere det resulterende uttrykket. For å gjøre dette utelater vi parentesene og skriver enheten og brøken sammen

Løsningen for dette eksemplet kan skrives kortere:

Eksempel 6 Finn verdien av et uttrykk

Konverter det blandede tallet til en uekte brøk. La oss omskrive resten slik det er:

Vi omslutter hvert rasjonelt tall i parentes sammen med dets tegn:

La oss erstatte subtraksjon med addisjon:

Vi fikk tillegg av negative rasjonelle tall. La oss legge til modulene til disse tallene og sette et minus før det mottatte svaret:

Dermed er verdien av uttrykket .

Løsningen for dette eksemplet kan skrives kortere:

Eksempel 7 Finn verdiuttrykk

La oss skrive det blandede tallet i utvidet form. La oss omskrive resten slik det er:

Sett hvert rasjonelt tall i parentes sammen med dets tegn

La oss erstatte subtraksjon med addisjon der det er mulig:

La oss beregne heltallsdelene:

I hoveduttrykket, i stedet for å skrive det resulterende tallet? 7

Uttrykket er en utvidet form for å skrive et blandet tall. Du kan umiddelbart skrive ned svaret ved å skrive sammen tallene?7 og en brøk (skjuler minus til denne brøken)

Dermed er verdien av uttrykket

Løsningen for dette eksemplet kan skrives mye kortere. Hvis du hopper over noen detaljer, kan det skrives som følger:

Eksempel 8 Finn verdien av et uttrykk

Dette uttrykket kan beregnes på to måter. La oss vurdere hver av dem.

Første vei. Heltalls- og brøkdelene av uttrykket beregnes separat.

La oss først skrive de blandede tallene i utvidet form:

Sett hvert tall i parentes sammen med dets tegn:

La oss erstatte subtraksjon med addisjon der det er mulig:

Vi fikk summen av flere ledd. I følge den assosiative loven om addisjon, hvis et uttrykk inneholder flere termer, vil summen ikke avhenge av rekkefølgen av operasjoner. Dette vil tillate oss å gruppere heltalls- og brøkdelene separat:

La oss beregne heltallsdelene:

I hoveduttrykket, i stedet for å skrive det resulterende tallet? 3

La oss beregne brøkdelene:

I hoveduttrykket, i stedet for å skrive det resulterende blandede tallet

For å evaluere det resulterende uttrykket, må det blandede tallet utvides midlertidig, deretter settes hvert tall i parentes og erstatte subtraksjon med addisjon. Dette må gjøres veldig nøye for ikke å forvirre tegnene på begrepene.

Etter å ha transformert uttrykket har vi et nytt uttrykk som er enkelt å beregne. Et lignende uttrykk var i eksempel 7. Husk at vi la til heltallsdelene separat, og lot brøkdelen være som den er:

Så verdien av uttrykket er

Løsningen for dette eksemplet kan skrives kortere

I en kort løsning hoppes trinnene med å sette tall i parentes, erstatte subtraksjon med addisjon, sette ned moduler. Hvis du er på en skole eller annen utdanningsinstitusjon, vil du bli pålagt å hoppe over disse primitive aktivitetene for å spare tid og plass. Den korte løsningen ovenfor kan skrives enda kortere. Det vil se slik ut:

Derfor, mens du er på skolen eller i en annen utdanningsinstitusjon, vær forberedt på at noen handlinger må utføres i sinnet.

Den andre måten. Blandede tall av uttrykket konverteres til uekte brøker og beregnes som vanlige brøker.

Sett i parentes hvert rasjonelt tall sammen med dets tegn

La oss erstatte subtraksjon med addisjon:

Nå de blandede tallene og oversett til uekte brøker:

Vi fikk tillegg av negative rasjonelle tall. La oss legge til modulene deres og sette et minus før det mottatte svaret:

Fikk samme svar som forrige gang.

Den detaljerte løsningen for den andre måten er som følger:

Eksempel 9 Finn uttrykksuttrykk

Første vei. Legg til heltalls- og brøkdelene separat.

Denne gangen, la oss prøve å hoppe over noen primitive handlinger, som å skrive et uttrykk i utvidet form, sette tall i parentes, erstatte subtraksjon med addisjon, sette ned moduler:

Merk at brøkdelene er redusert til en fellesnevner.

Den andre måten. Konverter blandede tall til uekte brøker og regn som vanlige brøker.

Eksempel 10 Finn verdien av et uttrykk

La oss erstatte subtraksjon med addisjon:

Det resulterende uttrykket inneholder ikke negative tall, som er hovedårsaken til feil. Og siden det ikke er negative tall, kan vi fjerne plusset foran subtrahenden, og også fjerne parentesene. Da får vi det enkleste uttrykket, som er enkelt å regne ut:

I dette eksemplet ble heltalls- og brøkdelene beregnet separat.

Eksempel 11. Finn verdien av et uttrykk

Dette er tillegg av rasjonelle tall med forskjellige fortegn. Vi trekker den minste fra den større modulen og setter tegnet foran det resulterende tallet, hvis modul er større:

Eksempel 12. Finn verdien av et uttrykk

Uttrykket består av flere parametere. I henhold til operasjonsrekkefølgen må du først og fremst utføre handlingene i parentes.

Først beregner vi uttrykket , legger så til uttrykket. De mottatte svarene legges til.

Første handling:

Andre handling:

Tredje handling:

Svar: uttrykksverdi er lik

Eksempel 13 Finn verdien av et uttrykk

La oss erstatte subtraksjon med addisjon:

Fås ved å legge til rasjonelle tall med forskjellige fortegn. Trekk den mindre modulen fra den større og sett tegnet foran svaret, hvor modulen er større. Men vi har å gjøre med blandede tall. For å forstå hvilken modul som er større og hvilken som er mindre, må du sammenligne modulene til disse blandede tallene. Og for å sammenligne modulene med blandede tall, må du konvertere dem til uekte brøker og sammenligne dem som vanlige brøker.

Følgende figur viser alle trinnene for å sammenligne moduler med blandede tall

Når vi vet hvilken modul som er større og hvilken som er mindre, kan vi fortsette beregningen av eksemplet vårt:

Altså verdien av uttrykket er lik

Tenk på addisjon og subtraksjon av desimalbrøker, som også er rasjonelle tall og som kan være både positive og negative.

Eksempel 14 Finn verdien av uttrykket?3.2 + 4.3

Vi omslutter hvert rasjonelt tall i parentes sammen med dets tegn. Vi tar i betraktning at plusset som er gitt i uttrykket er tegnet på operasjonen og ikke gjelder desimalbrøken 4.3. Denne desimalen har sitt eget plusstegn, som er usynlig på grunn av at det ikke er skrevet ned. Men vi vil skrive det ned for klarhet:

Dette er tillegg av rasjonelle tall med forskjellige fortegn. For å legge til rasjonelle tall med forskjellige fortegn, må du trekke det minste fra den større modulen, og sette tegnet hvis modul er større foran svaret. Og for å forstå hvilken modul som er større og hvilken som er mindre, må du være i stand til å sammenligne modulene til disse desimalbrøkene før du beregner dem:

Modulen på 4,3 er større enn modulen på 3,2, så vi trakk 3,2 fra 4,3. Fikk svaret 1.1. Svaret er ja, fordi svaret må inneholde tegnet til den større modulen, det vil si modulen |+4,3|.

Så verdien av uttrykket?3.2 + (+4.3) er 1.1

Eksempel 15 Finn verdien av uttrykket 3,5 + (?8,3)

Dette er tillegg av rasjonelle tall med forskjellige fortegn. Som i forrige eksempel trekker vi den minste fra den større modulen og setter tegnet foran svaret, hvis modul er større

3,5 + (?8,3) = ?(|?8,3| ? |3,5|) = ?(8,3 ? 3,5) = ?(4,8) = ?4,8

Dermed er verdien av uttrykket 3,5 + (?8,3) lik?4,8

Dette eksemplet kan skrives kortere:

Eksempel 16 Finn verdien av uttrykket?7.2 + (?3.11)

Dette er tillegg av negative rasjonelle tall. For å legge til negative rasjonelle tall, må du legge til modulene deres og sette et minus før svaret. Du kan hoppe over oppføringen med moduler for å unngå å rote opp uttrykket:

7,2 + (?3,11) = ?7,20 + (?3,11) = ?(7,20 + 3,11) = ?(10,31) = ?10,31

Dermed er verdien av uttrykket?7.2 + (?3.11)?10.31

Dette eksemplet kan skrives kortere:

Eksempel 17. Finn verdien av uttrykket?0,48 + (?2,7)

Dette er tillegg av negative rasjonelle tall. Vi legger til modulene deres og setter et minustegn foran det mottatte svaret. Du kan hoppe over oppføringen med moduler for å unngå å rote opp uttrykket:

0,48 + (?2,7) = (?0,48) + (?2,70) = ?(0,48 + 2,70) = ?(3,18) = ?3,18

Eksempel 18. Finn verdien av uttrykket?4,9 ? 5.9

Vi omslutter hvert rasjonelt tall i parentes sammen med dets tegn. Vi tar i betraktning at minus som er gitt i uttrykket er tegnet på operasjonen og gjelder ikke for desimalbrøken 5.9. Denne desimalen har sitt eget plusstegn, som er usynlig på grunn av at det ikke er skrevet ned. Men vi vil skrive det ned for klarhet:

La oss erstatte subtraksjon med addisjon:

Vi fikk tillegg av negative rasjonelle tall. Legg til modulene deres og sett et minus foran det mottatte svaret. Du kan hoppe over oppføringen med moduler for å unngå å rote opp uttrykket:

(?4,9) + (?5,9) = ?(4,9 + 5,9) = ?(10,8) = ?10,8

Dermed er verdien av uttrykket 4,9 ? 5,9 tilsvarer?10,8

= ?(4,9 + 5,9) = ?(10,8) = ?10,8

Eksempel 19. Finn verdien av uttrykket 7 ? 9.3

Sett hvert tall i parentes sammen med sine tegn

La oss erstatte subtraksjon med addisjon

Vi fikk tillegg av rasjonelle tall med forskjellige fortegn. Trekk den mindre modulen fra den større og sett tegnet foran svaret, hvor modulen er større. Du kan hoppe over oppføringen med moduler for å unngå å rote opp uttrykket:

(+7) + (?9,3) = ?(9,3 ? 7) = ?(2,3) = ?2,3

Dermed er verdien av uttrykket 7 ? 9,3 tilsvarer?2,3

Den detaljerte løsningen av dette eksemplet er skrevet som følger:

7 ? 9,3 = (+7) ? (+9,3) = (+7) + (?9,3) = ?(|?9,3| ? |+7|) =

En kort løsning vil se slik ut:

Eksempel 20. Finne verdien av uttrykket 0,25 ? (?1,2)

La oss erstatte subtraksjon med addisjon:

Vi fikk tillegg av rasjonelle tall med forskjellige fortegn. Vi trekker den minste fra den større og setter tegnet foran svaret, hvis modul er større:

0,25 + (+1,2) = |+1,2| ? |?0,25| = 1,2 ? 0,25 = 0,95

Den detaljerte løsningen av dette eksemplet er skrevet som følger:

0,25 ? (?1,2) = (?0,25) + (+1,2) = |+1,2| ? |?0,25| = 1,2 ? 0,25 = 0,95

En kort løsning vil se slik ut:

Eksempel 21. Finn verdien av uttrykket?3.5 + (4.1 ? 7.1)

Først av alt, vil vi utføre handlingene i parentes, og deretter legge til svaret mottatt med nummeret? 3.5. La oss hoppe over oppføringen med moduler for ikke å rote til uttrykkene.

Første handling:

4,1 ? 7,1 = (+4,1) ? (+7,1) = (+4,1) + (?7,1) = ?(7,1 ? 4,1) = ?(3,0) = ?3,0

Andre handling:

3,5 + (?3,0) = ?(3,5 + 3,0) = ?(6,5) = ?6,5

Svar: verdien av uttrykket ?3,5 + (4,1 ? 7,1) er ?6,5.

3,5 + (4,1 ? 7,1) = ?3,5 + (?3,0) = ?6,5

Eksempel 22. Finn verdien av uttrykket (3,5 ? 2,9) ? (3,7 x 9,1)

La oss utføre handlingene i parentes, så trekker du fra tallet som viste seg som et resultat av utførelsen av de første parentesene, tallet som viste seg som et resultat av utførelsen av de andre parentesene. La oss hoppe over oppføringen med moduler for ikke å rote til uttrykkene.

Første handling:

3,5 ? 2,9 = (+3,5) ? (+2,9) = (+3,5) + (?2,9) = 3,5 ? 2,9 = 0,6

Andre handling:

3,7 ? 9,1 = (+3,7) ? (+9,1) = (+3,7) + (?9,1) = ?(9,1 ? 3,7) = ?(5,4) = ?5,4

Tredje akt

0,6 ? (?5,4) = (+0,6) + (+5,4) = 0,6 + 5,4 = 6,0 = 6

Svar: verdien av uttrykket (3,5 ? 2,9) ? (3,7 ? 9,1) tilsvarer 6.

En kort løsning på dette eksemplet kan skrives som følger:

(3,5 ? 2,9) ? (3,7 ? 9,1) = 0,6 ? (?5,4) = 6,0 = 6

Eksempel 23. Finn verdien av uttrykket?3,8 + 17,15 ? 6.2? 6.15

Sett i parentes hvert rasjonelt tall sammen med dets tegn

Erstatt subtraksjon med addisjon der det er mulig

Uttrykket består av flere begreper. I følge den assosiative loven om addisjon, hvis uttrykket består av flere ledd, vil summen ikke avhenge av rekkefølgen av handlinger. Dette betyr at vilkårene kan legges til i hvilken som helst rekkefølge.

Vi skal ikke finne opp hjulet på nytt, men legge til alle begrepene fra venstre til høyre i den rekkefølgen de vises:

Første handling:

(?3,8) + (+17,15) = 17,15 ? 3,80 = 13,35

Andre handling:

13,35 + (?6,2) = 13,35 ? ?6,20 = 7,15

Tredje handling:

7,15 + (?6,15) = 7,15 ? 6,15 = 1,00 = 1

Svar: uttrykksverdi 3,8 + 17,15 ? 6.2? 6,15 er lik 1.

En kort løsning på dette eksemplet kan skrives som følger:

3,8 + 17,15 ? 6,2 ? 6,15 = 13,35 + (?6,2) ? 6,15 = 7,15 ? 6,15 = 1,00 = 1

Korte løsninger skaper færre problemer og forvirring, så det er lurt å venne seg til dem.

Eksempel 24. Finn verdien av et uttrykk

La oss konvertere desimalbrøken? 1,8 til et blandet tall. Vi omskriver resten som den er. Hvis du har problemer med å konvertere en desimal til et blandet tall, sørg for å gjenta leksjonen om desimalbrøker.

Eksempel 25. Finn verdien av et uttrykk

La oss erstatte subtraksjon med addisjon. Underveis vil vi oversette desimalbrøken (? 4,4) til en uekte brøk

Det er ingen negative tall i det resulterende uttrykket. Og siden det ikke er negative tall, kan vi fjerne plusset foran det andre tallet, og utelate parentesene. Da får vi et enkelt addisjonsuttrykk, som lett løses

Eksempel 26. Finn verdien av et uttrykk

La oss konvertere det blandede tallet til en uekte brøk, og desimalbrøken? 0,85 til en vanlig brøk. Vi får følgende uttrykk:

Vi fikk tillegg av negative rasjonelle tall. Vi legger til modulene deres og setter et minustegn foran det mottatte svaret. Du kan hoppe over oppføringen med moduler for å unngå å rote opp uttrykket:

Eksempel 27. Finn verdien av et uttrykk

Gjør om begge brøkene til uekte brøker. For å konvertere desimalen 2,05 til en uekte brøk, kan du konvertere den først til et blandet tall og deretter til en uekte brøk:

Etter å ha konvertert begge brøkene til uekte brøker, får vi følgende uttrykk:

Vi fikk tillegg av rasjonelle tall med forskjellige fortegn. Vi trekker den minste fra den større modulen og setter tegnet hvis modul er større foran det mottatte svaret:

Eksempel 28. Finn verdien av et uttrykk

La oss erstatte subtraksjon med addisjon. La oss konvertere en desimal til en vanlig brøk

Eksempel 29. Finn verdien av et uttrykk

La oss konvertere desimalbrøker 0,25 og 1,25 til vanlige brøker, la resten være som den er. Vi får følgende uttrykk:

Du kan først erstatte subtraksjon med addisjon der det er mulig og legge til de rasjonelle tallene en etter en. Det er et annet alternativ: legg først til de rasjonelle tallene og , og trekk deretter det rasjonelle tallet fra det resulterende tallet. Vi vil bruke dette alternativet.

Første handling:

Andre handling:

Svar: uttrykksverdi lik?2.

Eksempel 30. Finn verdien av et uttrykk

Konverter desimalbrøker til vanlige brøker. La oss la resten være som den er.

Vi fikk summen av flere ledd. Hvis summen består av flere ledd, kan uttrykket evalueres i hvilken som helst rekkefølge. Dette følger av den assosiative tilleggsloven.

Derfor kan vi organisere det mest praktiske alternativet for oss. Først av alt kan du legge til de første og siste leddene, nemlig de rasjonelle tallene og . Disse tallene har de samme nevnerne, noe som betyr at dette vil frigjøre oss fra behovet for å bringe dem til det.

Første handling:

Det resulterende tallet kan legges til det andre leddet, nemlig det rasjonelle tallet. Rasjonelle tall har de samme nevnerne i brøkdeler, noe som igjen er en fordel for oss

Andre handling:

Vel, la oss legge til det resulterende tallet?7 med det siste leddet, nemlig med et rasjonelt tall. Det er praktisk at når du beregner dette uttrykket, vil syvene forsvinne, det vil si at summen deres vil være lik null, siden summen av motsatte tall er lik null

Tredje handling:

Svar: verdien av uttrykket er

Likte du leksjonen?
Bli med i vår nye Vkontakte-gruppe og begynn å motta varsler om nye leksjoner

Addisjon og subtraksjon av hele tall

I denne leksjonen skal vi lære addisjon og subtraksjon av hele tall, samt regler for addisjon og subtraksjon.

Husk at heltall alle er positive og negative tall, så vel som tallet 0. For eksempel er følgende tall heltall:

Positive tall kan enkelt adderes og subtraheres, multipliseres og divideres. Dessverre kan dette ikke sies om negative tall, som forvirrer mange nybegynnere med sine minuser før hvert siffer. Som praksis viser, forstyrrer feil gjort på grunn av negative tall studentene mest.

Eksempler på heltall addisjon og subtraksjon

Det første du må lære er å legge til og subtrahere hele tall ved å bruke koordinatlinjen. Det er ikke nødvendig å tegne en koordinatlinje. Det er nok å forestille seg det i tankene dine og se hvor de negative tallene er plassert, og hvor er de positive.

Tenk på det enkleste uttrykket: 1 + 3. Verdien av dette uttrykket er 4:

Dette eksemplet kan forstås ved hjelp av koordinatlinjen. For å gjøre dette, fra punktet hvor nummer 1 er plassert, må du flytte tre trinn til høyre. Som et resultat vil vi befinne oss på punktet hvor tallet 4 befinner seg. På figuren kan du se hvordan dette skjer:

Plusstegnet i uttrykket 1 + 3 forteller oss at vi skal bevege oss til høyre i retning av økende tall.

Eksempel 2 La oss finne verdien av uttrykket 1 ? 3.

Verdien av dette uttrykket er?2

Dette eksemplet kan igjen forstås ved hjelp av koordinatlinjen. For å gjøre dette, fra punktet hvor nummer 1 er plassert, må du flytte tre trinn til venstre. Som et resultat vil vi befinne oss på punktet der det negative tallet?2 er plassert. Figuren viser hvordan dette skjer:

Minustegn i uttrykk 1 ? 3 forteller oss at vi skal bevege oss til venstre i retning av avtagende tall.

Generelt må vi huske at hvis tillegg utføres, må vi bevege oss til høyre i retning av økning. Hvis subtraksjon utføres, må du bevege deg til venstre i retning av reduksjon.

Eksempel 3 Finn verdien av uttrykket?2 + 4

Verdien av dette uttrykket er 2

Dette eksemplet kan igjen forstås ved hjelp av koordinatlinjen. For å gjøre dette, fra punktet der det negative tallet?2 er plassert, må du flytte fire trinn til høyre. Som et resultat vil vi finne oss selv på punktet der det positive tallet 2 er plassert.

Det kan sees at vi har beveget oss fra punktet der det negative tallet?2 er plassert til høyre med fire trinn og havnet på punktet der det positive tallet 2 befinner seg.

Plusstegnet i uttrykket?2 + 4 forteller oss at vi bør bevege oss til høyre i retning av økende tall.

Eksempel 4 Finne verdien av uttrykket?1 ? 3

Verdien av dette uttrykket er?4

Dette eksemplet kan igjen løses ved hjelp av en koordinatlinje. For å gjøre dette, fra punktet der det negative tallet? 1 er plassert, må du flytte tre trinn til venstre. Som et resultat vil vi finne oss selv på punktet der det negative tallet er plassert? 4

Det kan sees at vi har beveget oss fra punktet der det negative tallet 1 er plassert til venstre med tre trinn og havnet på punktet hvor det negative tallet 4 er plassert.

Minustegnet i uttrykket?1 ? 3 forteller oss at vi skal bevege oss til venstre i retning av avtagende tall.

Eksempel 5 Finn verdien av uttrykket?2 + 2

Verdien av dette uttrykket er 0

Dette eksemplet kan løses ved hjelp av en koordinatlinje. For å gjøre dette, fra punktet der det negative tallet? 2 er plassert, må du flytte to trinn til høyre. Som et resultat vil vi finne oss selv på punktet der tallet 0 er plassert

Det kan sees at vi har beveget oss fra punktet der det negative tallet?2 befinner seg til høyre med to trinn og havnet på punktet der tallet 0 befinner seg.

Plusstegnet i uttrykket?2 + 2 forteller oss at vi bør bevege oss til høyre i retning av økende tall.

Regler for å legge til og subtrahere heltall

For å beregne dette eller det uttrykket er det ikke nødvendig å forestille seg koordinatlinjen hver gang, enn si tegne den. Det er mer praktisk å bruke ferdige regler.

Når du bruker reglene, må du være oppmerksom på tegnet på operasjonen og tegnene på tallene som skal legges til eller trekkes fra. Dette avgjør hvilken regel som skal brukes.

Eksempel 1 Finn verdien av uttrykket?2 + 5

Her legges et positivt tall til et negativt tall. Med andre ord, tillegg av tall med forskjellige fortegn utføres. ?2 er negativt og 5 er positivt. For slike tilfeller er følgende regel gitt:

Så la oss se hvilken modul som er større:

Er modulen til 5 større enn modulen til tallet?2. Regelen krever å trekke den minste fra den større modulen. Derfor må vi trekke 2 fra 5, og før det mottatte svaret settes tegnet hvis modul er større.

Tallet 5 har en større modul, så tegnet til dette tallet vil være i svaret. Det vil si at svaret vil være positivt:

Er det vanligvis skrevet kortere? 2 + 5 = 3

Eksempel 2 Finn verdien av uttrykket 3 + (?2)

Her, som i forrige eksempel, utføres tillegg av tall med forskjellige fortegn. 3 er et positivt tall og ?2 er negativt. Merk at tallet?2 er omsluttet av parentes for å gjøre uttrykket klarere og penere. Dette uttrykket er mye lettere å forstå enn uttrykket 3+?2.

Så vi bruker regelen om å legge til tall med forskjellige tegn. Som i forrige eksempel trekker vi den mindre modulen fra den større modulen og setter tegnet foran svaret, hvis modul er større:

3 + (?2) = |3| ? |?2| = 3 ? 2 = 1

Modulen til tallet 3 er større enn modulen til tallet?2, så vi trakk 2 fra 3, og satte tegnet på modulen, som er større, foran det mottatte svaret. Tallet 3 har en større modul, så tegnet til dette tallet settes i svaret. Det vil si at svaret er ja.

Vanligvis skrevet kortere 3 + (? 2) = 1

Eksempel 3 Finn verdien av uttrykket 3 ? 7

I dette uttrykket trekkes det større tallet fra det mindre tallet. For et slikt tilfelle er følgende regel gitt:

For å trekke et større tall fra et mindre tall, må du trekke det mindre tallet fra det større tallet og sette et minus foran det mottatte svaret.

Det er en liten hake i dette uttrykket. Husk at likhetstegnet (=) er plassert mellom verdier og uttrykk når de er like med hverandre.

Verdien av uttrykk 3 ? 7 hvordan visste vi like?4. Dette betyr at eventuelle transformasjoner som vi skal utføre i dette uttrykket må være like?4

Men vi ser at det andre trinnet inneholder uttrykket 7 ? 3, som ikke er lik?4.

For å bøte på denne situasjonen, uttrykket 7 ? 3 må tas i parentes og sette et minus foran denne parentes:

3 ? 7 = ? (7 ? 3) = ? (4) = ?4

I dette tilfellet vil likhet bli observert på hvert trinn:

Etter at uttrykket er evaluert, kan parentesene fjernes, noe vi gjorde.

Så for å være mer presis, bør løsningen se slik ut:

3 ? 7 = ? (7 ? 3) = ? (4) = ? 4

Denne regelen kan skrives ved hjelp av variabler. Det vil se slik ut:

en? b=? (b? a)

Et stort antall braketter og operasjonsskilt kan komplisere løsningen av en tilsynelatende veldig enkel oppgave, så det er mer hensiktsmessig å lære å skrive slike eksempler kort, for eksempel 3 ? 7=? fire.

Faktisk reduseres addisjon og subtraksjon av heltall til bare addisjon. Hva betyr dette? Dette betyr at hvis du vil trekke fra tall, kan denne operasjonen erstattes med addisjon.

Så la oss bli kjent med den nye regelen:

Å subtrahere ett tall fra et annet betyr å legge til minuenden et tall som vil være det motsatte av det subtraherte.

Tenk for eksempel på det enkleste uttrykket 5 ? 3. På de innledende stadiene av å lære matematikk satte vi ganske enkelt et likhetstegn og skrev ned svaret:

Men nå går vi videre i læringen, så vi må tilpasse oss de nye reglene. Den nye regelen sier at å trekke ett tall fra et annet betyr å legge til minuend et tall som vil være det motsatte av det subtraherte.

Ved å bruke uttrykket 5?3 som eksempel, la oss prøve å forstå denne regelen. Det som reduseres i dette uttrykket er 5, og det som trekkes fra er 3. Regelen sier at for å trekke 3 fra 5, må du legge til 5 et tall som vil være motsatt av 3. Det motsatte tallet for tallet 3 er? 3. Vi skriver et nytt uttrykk:

Og vi vet allerede hvordan vi finner verdier for slike uttrykk. Dette er tillegg av tall med forskjellige tegn, som vi diskuterte ovenfor. For å legge til tall med forskjellige fortegn, må du trekke det minste fra den større modulen, og sette tegnet hvis modul er større foran svaret mottatt:

5 + (?3) = |5| ? |?3| = 5 ? 3 = 2

Er modulen til 5 større enn modulen til tallet?3. Derfor trakk vi 3 fra 5 og fikk 2. Tallet 5 har større modul, så tegnet til dette tallet ble satt i svaret. Det vil si at svaret er positivt.

Til å begynne med er det ikke alle som lykkes med å raskt erstatte subtraksjon med addisjon. Dette er fordi positive tall skrives uten plusstegnet.

For eksempel i uttrykket 3 ? 1 minustegnet som indikerer subtraksjon er tegnet på operasjonen og refererer ikke til en. Enheten i dette tilfellet er et positivt tall og den har sitt eget plusstegn, men vi ser det ikke, fordi pluss tradisjonelt ikke er skrevet før positive tall.

Og så, for klarhetens skyld, kan dette uttrykket skrives som følger:

For enkelhets skyld er numre med deres tegn vedlagt i parentes. I dette tilfellet er det mye enklere å erstatte subtraksjon med addisjon. I dette tilfellet trekkes tallet (+1), og det motsatte tallet (?1) fra. La oss erstatte operasjonen av subtraksjon med addisjon og i stedet for subtrahend (+1) skriver vi ned det motsatte tallet (? 1)

(+3) ? (+1) = (+3) + (?1) = |+3| ? |?1| = 3 ? 1 = 2

Ved første øyekast ser det ut til hva som er poenget med disse ekstra bevegelsene, hvis du kan bruke den gode gamle metoden til å sette et likhetstegn og umiddelbart skrive ned svar 2. Faktisk vil denne regelen hjelpe oss mer enn én gang.

La oss løse forrige eksempel 3 ? 7 ved å bruke subtraksjonsregelen. Først bringer vi uttrykket til normal form, og plasserer hvert tall med sine tegn. Tre har et plusstegn fordi det er et positivt tall. Minus som indikerer subtraksjon gjelder ikke for de syv. Sju har et plusstegn fordi det også er et positivt tall:

La oss erstatte subtraksjon med addisjon:

Ytterligere beregning er ikke vanskelig:

Eksempel 7 Finne verdien av uttrykket?4 ? 5

Foran oss er operasjonen med subtraksjon igjen. Denne operasjonen må erstattes med tillegg. Til den reduserte (?4) legger vi til tallet motsatt av det subtraherte (+5). Det motsatte tallet for subtrahenden (+5) er tallet (?5).

Vi har kommet i en situasjon hvor vi må legge til negative tall. For slike tilfeller er følgende regel gitt:

For å legge til negative tall, må du legge til modulene deres, og sette et minus foran det mottatte svaret.

Så la oss legge til modulene med tall, som regelen krever at vi gjør, og sette et minus foran det mottatte svaret:

(?4) ? (+5) = (?4) + (?5) = |?4| + |?5| = 4 + 5 = ?9

Oppføringen med moduler skal vedtas i parentes og settes et minus foran disse parentesene. Så vi gir et minus, som bør komme før svaret:

(?4) ? (+5) = (?4) + (?5) = ?(|?4| + |?5|) = ?(4 + 5) = ?(9) = ?9

Løsningen for dette eksemplet kan skrives kortere:

Eksempel 8 Finne verdien av uttrykket?3 ? 5 ? 7? 9

La oss bringe uttrykket til en klar form. Her er alle tall unntatt tallet?3 positive, så de vil ha plusstegn:

La oss erstatte subtraksjonsoperasjonene med addisjonsoperasjonene. Alle minuser (bortsett fra minus, som er foran de tre) vil endres til plusser og alle positive tall vil endres til det motsatte:

Bruk nå regelen for å legge til negative tall. For å legge til negative tall, må du legge til modulene deres og sette et minus foran det mottatte svaret:

= ?(|?3| + |?5| + |?7| + |?9|) = ?(3 + 5 + 7 + 9) = ?(24) = ?24

Løsningen for dette eksemplet kan skrives kortere:

3 ? 5 ? 7 ? 9 = ?(3 + 5 + 7 + 9) = ?24

Eksempel 9 Finn verdien av uttrykket?10 + 6 ? 15 + 11? 7

La oss bringe uttrykket til en klar form:

Det er to operasjoner her: addisjon og subtraksjon. Vi lar addisjon være som den er, og erstatter subtraksjon med addisjon:

(?10) + (+6) ? (+15) + (+11) ? (+7) = (?10) + (+6) + (?15) + (+11) + (?7)

Etter handlingsrekkefølgen vil vi utføre hver handling etter tur, basert på de tidligere studerte reglene. Oppføringer med moduler kan hoppes over:

Første handling:

(?10) + (+6) = ? (10 ? 6) = ? (4) = ? 4

Andre handling:

(?4) + (?15) = ? (4 + 15) = ? (19) = ? 19

Tredje handling:

(?19) + (+11) = ? (19 ? 11) = ? (8) = ?8

Fjerde handling:

(?8) + (?7) = ? (8 + 7) = ? (15) = ? 15

Så verdien av uttrykket ?10 + 6 ? 15 + 11? 7 er lik?15

Merk. Det er ikke nødvendig å bringe uttrykket til en klar form ved å sette tall i parentes. Når du blir vant til negative tall, kan denne handlingen hoppes over, siden det tar tid og kan være forvirrende.

Så for å legge til og trekke fra heltall, må du huske følgende regler:

For å legge til tall med forskjellige fortegn, må du trekke en mindre modul fra en større modul, og sette tegnet hvis modul er større foran svaret.

For å trekke et større tall fra et mindre tall, må du trekke det mindre tallet fra det større tallet og sette et minustegn foran det mottatte svaret.

Å subtrahere ett tall fra et annet betyr å legge til det reduserte tallet det motsatte av det subtraherte.

For å legge til negative tall, må du legge til modulene deres, og sette et minustegn foran det mottatte svaret.

Hockey uten regler VKontakte Spillet ble utgitt i september 2012, og har allerede fått nesten 700 000 brukere. Det er to spillmoduser og mange muligheter for lagbygging. Kampforløpet i Ultimate Hockey VKontakte minner om de tidlige spillene i NHL-serien fra Electronic Arts. 3 spillere på […]
Omaha Holdem Poker Regler Omaha Hi-Lo og Omaha Five Card Omaha Holdem (Omaha Hold "Em) er en liten modifikasjon av Texas Hold'em. Hvis du er ny på denne mest populære typen poker, studer reglene for Texas Hold'em på lenken; kunnskapen deres er nødvendig for å forstå reglene i Omaha . Alle […]
Løse problemer i genetikk ved hjelp av Mendels lover 1 og 2 Forelesning 8 Julia Kjahrenova 1. - presentasjon Presentasjonen ble publisert for 3 år siden av Alina Artemyeva ." […]
5-7 regelalgebra En numerisk sekvens, hvor hvert medlem, fra den andre, er lik den forrige, lagt til med samme tall d for denne sekvensen, kalles en aritmetisk progresjon. Tallet d kalles differansen av en aritmetisk progresjon. I aritmetisk progresjon, dvs. i […]
Vi bestemmer transportavgiftssatsen for varebiler og andre atypiske kjøretøy med kategori "B" Vi fanger opp nødvendig informasjon fra tittelen ) trenger ikke å tas i betraktning. Tross alt betyr ikke kategorien "B" i det hele tatt […]
Vurdering av forsikringsselskaper OSAGO OSAGO refererer til obligatorisk forsikring, den er gyldig ikke bare i Russland, men også i andre land i nær utlandet. Disse forsikringene er utstedt av mange forsikringsselskaper som har fått den nødvendige lisensen til å utføre slike aktiviteter. Men, […]
Overnatting Ufa hotell Minihotell i Ufa 5 Fem rom Vi inviterer hovedstadens gjester til et koselig og komfortabelt hotell som ligger i sentrum av Ufa langs Komsomolskaya gate 159/1. I umiddelbar nærhet av hotellet er det Iskra IMAX kinokompleks, et sirkus, en restaurant-klubb En kafé, en Beer Berry-restaurant, en […]
Regler for bruk av presens på engelsk Present Simple Tense er en grammatisk tid som regnes som en av de enkleste å forstå, siden presens enkel tid finnes på alle språk. På slaviske språk er dette sant. Hvis du leser denne artikkelen, betyr det at du bare er […]

Begrepet grad i matematikk introduseres allerede i 7. klasse i en algebratime. Og i fremtiden, gjennom løpet av matematikkstudiet, blir dette konseptet aktivt brukt i sine forskjellige former. Grader er et ganske vanskelig emne, som krever memorering av verdier og evnen til å telle riktig og raskt. For raskere og bedre arbeid med matematikkgrader kom de opp med egenskapene til en grad. De bidrar til å kutte ned på store beregninger, for å konvertere et stort eksempel til et enkelt tall til en viss grad. Det er ikke så mange egenskaper, og alle er enkle å huske og bruke i praksis. Derfor diskuterer artikkelen hovedegenskapene til graden, samt hvor de brukes.

gradsegenskaper

Vi vil vurdere 12 egenskaper av en grad, inkludert egenskaper til potenser med samme base, og gi et eksempel for hver egenskap. Hver av disse egenskapene vil hjelpe deg med å løse problemer med grader raskere, samt spare deg for en rekke beregningsfeil.

1. eiendom.

Mange mennesker glemmer ofte denne egenskapen, gjør feil, og representerer et tall i null grad som null.

2. eiendom.

3. eiendom.

Det må huskes at denne egenskapen kun kan brukes når man multipliserer tall, den fungerer ikke med summen! Og vi må ikke glemme at denne og de følgende egenskapene gjelder bare for krefter med samme base.

4. eiendom.

Hvis tallet i nevneren heves til en negativ potens, blir graden av nevneren tatt i parentes ved subtrahering for å erstatte tegnet korrekt i videre beregninger.

Egenskapen fungerer kun ved deling, ikke ved subtrahering!

5. eiendom.

6. eiendom.

Denne egenskapen kan også brukes omvendt. En enhet delt på et tall til en viss grad er dette tallet i negativ potens.

7. eiendom.

Denne egenskapen kan ikke brukes på sum og forskjell! Når man hever en sum eller forskjell til en potens, brukes forkortede multiplikasjonsformler, ikke egenskapene til potensen.

8. eiendom.

9. eiendom.

Denne egenskapen fungerer for enhver brøkgrad med en teller lik én, formelen vil være den samme, bare graden av roten vil endre seg avhengig av nevneren til graden.

Dessuten brukes denne egenskapen ofte i omvendt rekkefølge. Roten til enhver potens av et tall kan representeres som dette tallet til potensen av en dividert med rotens potens. Denne egenskapen er veldig nyttig i tilfeller der roten av tallet ikke trekkes ut.

10. eiendom.

Denne egenskapen fungerer ikke bare med kvadratroten og andregraden. Hvis graden av roten og graden av denne roten heves er den samme, vil svaret være et radikalt uttrykk.

11. eiendom.

Du må være i stand til å se denne egenskapen i tide når du løser den for å redde deg selv fra store beregninger.

12. eiendom.

Hver av disse egenskapene vil møte deg mer enn én gang i oppgaver, den kan gis i sin rene form, eller den kan kreve noen transformasjoner og bruk av andre formler. Derfor, for den riktige løsningen, er det ikke nok å bare kjenne egenskapene, du må øve og koble sammen resten av matematisk kunnskap.

Anvendelse av grader og deres egenskaper

De brukes aktivt i algebra og geometri. Grader i matematikk har en egen, viktig plass. Med deres hjelp løses eksponentielle ligninger og ulikheter, i tillegg til at potens kompliserer ofte ligninger og eksempler relatert til andre deler av matematikken. Eksponenter bidrar til å unngå store og lange beregninger, det er lettere å redusere og beregne eksponentene. Men for å jobbe med store krefter, eller med krefter av store tall, må du ikke bare kjenne til egenskapene til graden, men også kompetent jobbe med basene, være i stand til å dekomponere dem for å gjøre oppgaven din enklere. For enkelhets skyld bør du også vite betydningen av tall hevet til en potens. Dette vil redusere tiden din til å løse ved å eliminere behovet for lange beregninger.

Gradbegrepet spiller en spesiell rolle i logaritmer. Siden logaritmen i hovedsak er kraften til et tall.

Forkortede multiplikasjonsformler er et annet eksempel på bruk av potenser. De kan ikke bruke egenskapene til grader, de dekomponeres etter spesielle regler, men i hver forkortet multiplikasjonsformel er det alltid grader.

Grader brukes også aktivt i fysikk og informatikk. Alle oversettelser til SI-systemet gjøres ved hjelp av grader, og i fremtiden, når du løser problemer, brukes gradens egenskaper. I informatikk brukes potenser av to aktivt, for å gjøre det lettere å telle og forenkle oppfatningen av tall. Ytterligere beregninger for omregninger av måleenheter eller beregninger av problemer, akkurat som i fysikk, skjer ved bruk av gradens egenskaper.

Grader er også svært nyttige i astronomi, hvor man sjelden kan finne bruken av egenskapene til en grad, men selve gradene brukes aktivt til å forkorte registreringen av ulike mengder og avstander.

Grader brukes også i hverdagen, når man beregner arealer, volumer, avstander.

Ved hjelp av grader er veldig store og veldig små verdier skrevet innen ethvert vitenskapsfelt.

eksponentielle ligninger og ulikheter

Gradegenskaper opptar en spesiell plass nettopp i eksponentielle ligninger og ulikheter. Disse oppgavene er svært vanlige, både i skoleløpet og på eksamen. Alle løses ved å bruke gradens egenskaper. Det ukjente er alltid i selve graden, derfor, ved å kjenne alle egenskapene, vil det ikke være vanskelig å løse en slik ligning eller ulikhet.

Leksjon om emnet: "Regler for å multiplisere og dele potenser med samme og forskjellige eksponenter. Eksempler"

Ytterligere materialer
Kjære brukere, ikke glem å legge igjen kommentarer, tilbakemeldinger, forslag. Alt materiale kontrolleres av et antivirusprogram.

Læremidler og simulatorer i nettbutikken "Integral" for 7. klasse
Manual for læreboken Yu.N. Makarycheva Manual for læreboken A.G. Mordkovich

Hensikten med leksjonen: lære hvordan du utfører operasjoner med potenser av et tall.

Til å begynne med, la oss huske konseptet "kraften til et tall". Et uttrykk som $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$ kan representeres som $a^n$.

Det motsatte er også sant: $a^n= \underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$.

Denne likestillingen kalles «registrering av graden som et produkt». Det vil hjelpe oss å bestemme hvordan vi skal multiplisere og dele potenser.
Huske:
en- grunnlaget for graden.
n- eksponent.
Hvis en n=1, som betyr tallet en tatt en gang og henholdsvis: $a^n= a$.
Hvis en n=0, deretter $a^0= 1$.

Hvorfor dette skjer, kan vi finne ut når vi gjør oss kjent med reglene for multiplikasjon og deling av potenser.

multiplikasjonsregler

a) Hvis potenser med samme grunntall multipliseres.
Til $a^n * a^m$ skriver vi potensene som et produkt: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( a * a * \ldots * a )_ (m )$.
Figuren viser at tallet en har tatt n+m ganger, da $a^n * a^m = a^(n + m)$.

Eksempel.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.

Denne egenskapen er praktisk å bruke for å forenkle arbeidet når du hever et tall til en stor makt.
Eksempel.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.

b) Hvis potenser multipliseres med en annen grunntall, men samme eksponent.
Til $a^n * b^n$ skriver vi potensene som et produkt: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( b * b * \ldots * b )_ (m )$.
Hvis vi bytter om faktorene og teller de resulterende parene, får vi: $\underbrace( (a * b) * (a * b) * \ldots * (a * b) )_(n)$.

Så $a^n * b^n= (a * b)^n$.

Eksempel.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.

delingsregler

a) Grunnlaget for graden er den samme, eksponentene er forskjellige.
Vurder å dele en grad med en større eksponent ved å dele en grad med en mindre eksponent.

Så det er nødvendig $\frac(a^n)(a^m)$, hvor n>m.

Vi skriver gradene som en brøk:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(m))$.

For enkelhets skyld skriver vi inndelingen som en enkel brøk.

La oss nå redusere brøkdelen.

Det viser seg: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n-m)= a^(n-m)$.
Midler, $\frac(a^n)(a^m)=a^(n-m)$.

Denne egenskapen vil hjelpe til med å forklare situasjonen med å heve et tall til en potens av null. La oss anta det n=m, deretter $a^0= a^(n-n)=\frac(a^n)(a^n) =1$.

Eksempler.
$\frac(3^3)(3^2)=3^(3-2)=3^1=3$.

$\frac(2^2)(2^2)=2^(2-2)=2^0=1$.

b) Gradsgrunnlagene er forskjellige, indikatorene er de samme.
La oss si at du trenger $\frac(a^n)( b^n)$. Vi skriver potensene til tall som en brøk:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( b * b * \ldots * b )_(n))$.

La oss forestille oss for enkelhets skyld.

Ved å bruke egenskapen til brøk deler vi en stor brøk i et produkt av små, får vi.
$\underbrace( \frac(a)(b) * \frac(a)(b) * \ldots * \frac(a)(b) )_(n)$.
Følgelig: $\frac(a^n)( b^n)=(\frac(a)(b))^n$.

Eksempel.
$\frac(4^3)( 2^3)= (\frac(4)(2))^3=2^3=8$.

Tydeligvis kan tall med potenser legges til som andre mengder , ved å legge dem til en etter en med skiltene deres.

Så summen av a 3 og b 2 er a 3 + b 2 .
Summen av a 3 - b n og h 5 -d 4 er a 3 - b n + h 5 - d 4 .

Odds samme potenser av de samme variablene kan legges til eller trekkes fra.

Så summen av 2a 2 og 3a 2 er 5a 2 .

Det er også åpenbart at hvis vi tar to ruter a, eller tre ruter a, eller fem ruter a.

Men grader ulike variabler og ulike grader identiske variabler, må legges til ved å legge dem til skiltene deres.

Så summen av en 2 og en 3 er summen av en 2 + en 3 .

Det er åpenbart at kvadratet av a, og terningen av a, ikke er to ganger kvadratet av a, men to ganger terningen av a.

Summen av a 3 b n og 3a 5 b 6 er a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Subtraksjon krefter utføres på samme måte som addisjon, bortsett fra at tegnene til subtrahend må endres tilsvarende.

Eller:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3t 2 b 6 - 4t 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Potensmultiplikasjon

Tall med potenser kan multipliseres som andre størrelser ved å skrive dem etter hverandre, med eller uten multiplikasjonstegnet mellom dem.

Så resultatet av å multiplisere a 3 med b 2 er a 3 b 2 eller aaabb.

Eller:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Resultatet i det siste eksemplet kan bestilles ved å legge til de samme variablene.
Uttrykket vil ha formen: a 5 b 5 y 3 .

Ved å sammenligne flere tall (variabler) med potenser, kan vi se at hvis to av dem multipliseres, så er resultatet et tall (variabel) med potens lik sum grader av termer.

Så, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Her er 5 potensen til resultatet av multiplikasjonen, lik 2 + 3, summen av potensene til leddene.

Så, a n.a m = a m+n.

For a n tas a som en faktor like mange ganger som potensen til n er;

Og a m , tas som en faktor like mange ganger som graden m er lik;

Derfor, potenser med samme grunntall kan multipliseres ved å legge til eksponentene.

Så a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Og x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Eller:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Multipliser (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Svar: x 4 - y 4.
Multipliser (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Denne regelen gjelder også for tall hvis eksponenter er - negativ.

1. Altså a -2 .a -3 = a -5 . Dette kan skrives som (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n y-m = y-n-m.

3. a -n .a m = a m-n .

Hvis a + b multipliseres med a - b, blir resultatet a 2 - b 2: altså

Resultatet av å multiplisere summen eller differansen av to tall er lik summen eller differansen av kvadratene deres.

Hvis summen og differansen av to tall hevet til torget, vil resultatet være lik summen eller differansen av disse tallene i fjerde grad.

Så, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .

Inndeling av grader

Tall med potenser kan deles som andre tall ved å trekke fra divisoren, eller ved å sette dem i form av en brøk.

Så a 3 b 2 delt på b 2 er a 3 .

Eller:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

Å skrive en 5 delt på en 3 ser ut som $\frac(a^5)(a^3)$. Men dette er lik en 2 . I en rekke tall
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
et hvilket som helst tall kan deles på et annet, og eksponenten vil være lik forskjell indikatorer på delbare tall.

Når du deler potenser med samme grunntall, trekkes eksponentene deres fra..

Så y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . Det vil si $\frac(yyy)(yy) = y$.

Og a n+1:a = a n+1-1 = a n . Det vil si $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

Eller:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

Regelen gjelder også for tall med negativ gradsverdier.
Resultatet av å dele en -5 med en -3 er en -2 .
Også $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 eller $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

Det er nødvendig å mestre multiplikasjon og deling av potenser veldig godt, siden slike operasjoner er veldig mye brukt i algebra.

Eksempler på å løse eksempler med brøker som inneholder tall med potenser

1. Reduser eksponentene i $\frac(5a^4)(3a^2)$ Svar: $\frac(5a^2)(3)$.

2. Reduser eksponentene i $\frac(6x^6)(3x^5)$. Svar: $\frac(2x)(1)$ eller 2x.

3. Reduser eksponentene a 2 / a 3 og a -3 / a -4 og bring til en fellesnevner.
a 2 .a -4 er en -2 første teller.
a 3 .a -3 er a 0 = 1, den andre telleren.
a 3 .a -4 er en -1 , den vanlige telleren.
Etter forenkling: a -2 /a -1 og 1/a -1 .

4. Reduser eksponentene 2a 4 /5a 3 og 2 /a 4 og kom med til en fellesnevner.
Svar: 2a 3 / 5a 7 og 5a 5 / 5a 7 eller 2a 3 / 5a 2 og 5/5a 2.

5. Multipliser (a 3 + b)/b 4 med (a - b)/3.

6. Multipliser (a 5 + 1)/x 2 med (b 2 - 1)/(x + a).

7. Multipliser b 4 /a -2 med h -3 /x og a n /y -3 .

8. Del a 4 /y 3 med a 3 /y 2 . Svar: a/y.

9. Del (h 3 - 1)/d 4 med (d n + 1)/t.

Hvis vi ikke tar hensyn til åttende grad, hva ser vi her? La oss ta en titt på programmet for 7. klasse. Så, husker du? Dette er den forkortede multiplikasjonsformelen, nemlig forskjellen på kvadrater! Vi får:

Vi ser nøye på nevneren. Det ser mye ut som en av tellerfaktorene, men hva er galt? Feil rekkefølge på vilkårene. Hvis de ble byttet, kan regelen gjelde.

Men hvordan gjøre det? Det viser seg at det er veldig enkelt: den jevne graden av nevneren hjelper oss her.

Begrepene har på magisk vis endret plass. Dette "fenomenet" gjelder alle uttrykk i jevn grad: vi kan fritt endre tegnene i parentes.

Men det er viktig å huske: alle tegn endres samtidig!

La oss gå tilbake til eksemplet:

Og igjen formelen:

hel vi navngir de naturlige tallene, deres motsetninger (det vil si tatt med tegnet "") og tallet.

positivt heltall, og det er ikke forskjellig fra naturlig, så ser alt ut akkurat som i forrige seksjon.

La oss nå se på nye saker. La oss starte med en indikator lik.

Ethvert tall i null potens er lik en:

Som alltid spør vi oss selv: hvorfor er det slik?

Tenk på litt kraft med en base. Ta for eksempel og multipliser med:

Så vi multipliserte tallet med, og fikk det samme som det var -. Hvilket tall må multipliseres med slik at ingenting endres? Det stemmer, på. Midler.

Vi kan gjøre det samme med et vilkårlig tall:

La oss gjenta regelen:

Ethvert tall i null potens er lik en.

Men det finnes unntak fra mange regler. Og her er det også der - dette er et tall (som en base).

På den ene siden må det være lik i hvilken som helst grad - uansett hvor mye du multipliserer null med seg selv, får du fortsatt null, dette er klart. Men på den annen side, som ethvert tall til null grad, må det være likt. Så hva er sannheten i dette? Matematikere bestemte seg for ikke å bli involvert og nektet å heve null til null potens. Det vil si at nå kan vi ikke bare dele med null, men også heve den til null potens.

La oss gå videre. I tillegg til naturlige tall og tall inkluderer heltall negative tall. For å forstå hva en negativ grad er, la oss gjøre det samme som forrige gang: vi multipliserer et normalt tall med det samme i en negativ grad:

Herfra er det allerede lett å uttrykke ønsket:

Nå utvider vi den resulterende regelen til en vilkårlig grad:

Så la oss formulere regelen:

Et tall i negativ potens er inversen av samme tall til en positiv potens. Men samtidig base kan ikke være null:(fordi det er umulig å dele).

La oss oppsummere:

I. Uttrykk er ikke definert i kasus. Hvis da.

II. Ethvert tall i nullpotens er lik én: .

III. Et tall som ikke er lik null til en negativ potens er inversen av samme tall til en positiv potens: .

Oppgaver for selvstendig løsning:

Vel, som vanlig, eksempler for en uavhengig løsning:

Analyse av oppgaver for selvstendig løsning:

Jeg vet, jeg vet, tallene er skumle, men på eksamen må du være klar for hva som helst! Løs disse eksemplene eller analyser løsningen deres hvis du ikke kunne løse den, og du vil lære hvordan du enkelt kan håndtere dem i eksamen!

La oss fortsette å utvide sirkelen av tall "egnet" som eksponent.

Vurder nå rasjonelle tall. Hvilke tall kalles rasjonelle?

Svar: alt som kan representeres som en brøk, hvor og er dessuten heltall.

For å forstå hva som er "brøkdel grad" La oss vurdere en brøkdel:

La oss heve begge sider av ligningen til en potens:

Husk nå regelen "grad til grad":

Hvilket tall må heves til en makt for å få?

Denne formuleringen er definisjonen av roten til th grad.

La meg minne deg på: roten av den te potensen til et tall () er et tall som, når det heves til en potens, er lik.

Det vil si at roten til th grad er den inverse operasjonen av eksponentiering: .

Det viser seg at. Selvfølgelig kan dette spesielle tilfellet utvides: .

Legg nå til telleren: hva er det? Svaret er lett å få med makt-til-makt-regelen:

Men kan basen være et hvilket som helst tall? Tross alt kan ikke roten trekkes ut fra alle tall.

Ingen!

Husk regelen: ethvert tall hevet til en partall er et positivt tall. Det vil si at det er umulig å trekke ut røtter av jevn grad fra negative tall!

Og dette betyr at slike tall ikke kan heves til en brøkpotens med en jevn nevner, det vil si at uttrykket ikke gir mening.

Hva med uttrykk?

Men her oppstår et problem.

Tallet kan representeres som andre, reduserte brøker, for eksempel, eller.

Og det viser seg at det eksisterer, men ikke eksisterer, og dette er bare to forskjellige poster med samme nummer.

Eller et annet eksempel: en gang, så kan du skrive det ned. Men så snart vi skriver indikatoren på en annen måte, får vi igjen problemer: (det vil si at vi fikk et helt annet resultat!).

For å unngå slike paradokser, vurder bare positiv baseeksponent med brøkeksponent.

Så hvis:

- naturlig tall;
er et heltall;

Eksempler:

Potenser med en rasjonell eksponent er veldig nyttige for å transformere uttrykk med røtter, for eksempel:

5 øvelseseksempler

Analyse av 5 eksempler for trening

1. Ikke glem de vanlige egenskapene til grader:

2. . Her husker vi at vi glemte å lære gradertabellen:

tross alt - dette eller. Løsningen blir funnet automatisk: .

Vel, nå - det vanskeligste. Nå skal vi analysere grad med en irrasjonell eksponent.

Alle reglene og egenskapene til grader her er nøyaktig de samme som for grader med en rasjonell eksponent, med unntak av

Faktisk, per definisjon, er irrasjonelle tall tall som ikke kan representeres som en brøk, hvor og er heltall (det vil si at irrasjonelle tall er alle reelle tall unntatt rasjonelle).

Når vi studerer grader med en naturlig, heltall og rasjonell indikator, har vi hver gang laget et bestemt "bilde", "analogi" eller beskrivelse i mer kjente termer.

For eksempel er en naturlig eksponent et tall multiplisert med seg selv flere ganger;

...null kraft- dette er, som det var, et tall multiplisert med seg selv en gang, det vil si at det ennå ikke har begynt å multipliseres, noe som betyr at selve tallet ikke en gang har dukket opp ennå - derfor er resultatet bare et visst "tallblankt" , nemlig nummeret;

...negativ heltallseksponent- det er som om en viss "omvendt prosess" har funnet sted, det vil si at tallet ikke ble multiplisert med seg selv, men delt.

Forresten, vitenskapen bruker ofte en grad med en kompleks eksponent, det vil si at en eksponent ikke engang er et reelt tall.

Men på skolen tenker vi ikke på slike vanskeligheter; du vil ha muligheten til å forstå disse nye konseptene ved instituttet.

HVOR ER VI SIKRE AT DU GÅR! (hvis du lærer hvordan du løser slike eksempler :))

For eksempel:

Bestem selv:

Analyse av løsninger:

1. La oss starte med den allerede vanlige regelen for å heve en grad til en grad:

Se nå på poengsummen. Minner han deg om noe? Vi husker formelen for forkortet multiplikasjon av kvadratforskjellen:

I dette tilfellet,

Det viser seg at:

Svar: .

2. Vi bringer brøker i eksponenter til samme form: enten begge desimaler eller begge ordinære. Vi får for eksempel:

Svar: 16

3. Ikke noe spesielt, vi bruker de vanlige egenskapene til grader:

AVANSERT NIVÅ

Definisjon av grad

Graden er et uttrykk for formen: , hvor:

— base av grad;
- eksponent.

Grad med naturlig eksponent (n = 1, 2, 3,...)

Å heve et tall til den naturlige potensen n betyr å multiplisere tallet med seg selv ganger:

Potens med heltallseksponent (0, ±1, ±2,...)

Hvis eksponenten er positivt heltall Antall:

ereksjon til null effekt:

Uttrykket er ubestemt, fordi på den ene siden, i hvilken som helst grad er dette, og på den annen side, et hvilket som helst tall i den th grad er dette.

Hvis eksponenten er heltall negativ Antall:

(fordi det er umulig å dele).

En gang til om null: uttrykket er ikke definert i saken. Hvis da.

Eksempler:

Grad med rasjonell eksponent

- naturlig tall;
er et heltall;

Eksempler:

Gradsegenskaper

For å gjøre det lettere å løse problemer, la oss prøve å forstå: hvor kom disse egenskapene fra? La oss bevise dem.

La oss se: hva er og?

Per definisjon:

Så på høyre side av dette uttrykket oppnås følgende produkt:

Men per definisjon er dette en potens av et tall med en eksponent, det vil si:

Q.E.D.

Eksempel : Forenkle uttrykket.

Løsning : .

Eksempel : Forenkle uttrykket.

Løsning : Det er viktig å merke seg at i vår regel nødvendigvis må ha samme grunnlag. Derfor kombinerer vi gradene med basen, men forblir en egen faktor:

En annen viktig merknad: denne regelen - bare for produkter av makt!

Jeg skal ikke under noen omstendigheter skrive det.

Akkurat som med den forrige egenskapen, la oss gå til definisjonen av graden:

La oss omorganisere det slik:

Det viser seg at uttrykket multipliseres med seg selv en gang, det vil si, ifølge definisjonen, er dette den -te potensen til tallet:

Faktisk kan dette kalles "braketering av indikatoren". Men du kan aldri gjøre dette totalt:!

La oss huske formlene for forkortet multiplikasjon: hvor mange ganger ønsket vi å skrive? Men det er ikke sant, egentlig.

Kraft med negativ base.

Frem til dette punktet har vi bare diskutert hva som bør være indeks grad. Men hva skal ligge til grunn? I grader fra naturlig indikator grunnlaget kan være hvilket som helst tall .

Faktisk kan vi multiplisere alle tall med hverandre, enten de er positive, negative eller partall. La oss tenke på hvilke tegn (" " eller "") vil ha grader av positive og negative tall?

Vil tallet for eksempel være positivt eller negativt? MEN? ?

Med det første er alt klart: uansett hvor mange positive tall vi multipliserer med hverandre, vil resultatet være positivt.

Men de negative er litt mer interessante. Tross alt husker vi en enkel regel fra 6. klasse: "et minus ganger et minus gir et pluss." Det vil si eller. Men hvis vi multipliserer med (), får vi -.

Og så videre i det uendelige: med hver påfølgende multiplikasjon vil tegnet endres. Du kan formulere disse enkle reglene:

til og med grad, - antall positivt.
Negativt tall hevet til merkelig grad, - antall negativ.
Et positivt tall til enhver potens er et positivt tall.
Null til enhver potens er lik null.

Bestem selv hvilket tegn følgende uttrykk vil ha:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Klarte du deg? Her er svarene:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

I de fire første eksemplene håper jeg at alt er klart? Vi ser ganske enkelt på basen og eksponenten, og bruker den passende regelen.

I eksempel 5) er ikke alt så skummelt som det ser ut til: det spiller ingen rolle hva basen er lik - graden er jevn, noe som betyr at resultatet alltid vil være positivt. Vel, bortsett fra når basen er null. Basen er vel ikke den samme? Åpenbart ikke, siden (fordi).

Eksempel 6) er ikke lenger så enkelt. Her må du finne ut hva som er mindre: eller? Hvis du husker det, blir det klart det, som betyr at grunntallet er mindre enn null. Det vil si at vi bruker regel 2: resultatet blir negativt.

Og igjen bruker vi definisjonen av grad:

Alt er som vanlig - vi skriver ned definisjonen av grader og deler dem inn i hverandre, deler dem inn i par og får:

Før vi analyserer den siste regelen, la oss løse noen eksempler.

Beregn verdiene til uttrykk:

Løsninger :

Vi får:

Vi ser nøye på nevneren. Det ser mye ut som en av tellerfaktorene, men hva er galt? Feil rekkefølge på vilkårene. Hvis de ble reversert, kunne regel 3 brukes. Men hvordan gjør jeg dette? Det viser seg at det er veldig enkelt: den jevne graden av nevneren hjelper oss her.

Hvis du ganger det med, endres ingenting, ikke sant? Men nå ser det slik ut:

Begrepene har på magisk vis endret plass. Dette "fenomenet" gjelder alle uttrykk i jevn grad: vi kan fritt endre tegnene i parentes. Men det er viktig å huske: alle tegn endres samtidig! Det kan ikke erstattes av ved å endre bare ett kritikkverdig minus for oss!

La oss gå tilbake til eksemplet:

Og igjen formelen:

Så nå siste regel:

Hvordan skal vi bevise det? Selvfølgelig, som vanlig: la oss utvide begrepet grad og forenkle:

Vel, la oss nå åpne parentesene. Hvor mange bokstaver blir det? ganger med multiplikatorer - hvordan ser det ut? Dette er ikke annet enn definisjonen av en operasjon multiplikasjon: totalt viste det seg å være multiplikatorer. Det vil si at det per definisjon er en potens av et tall med en eksponent:

Eksempel:

Grad med irrasjonell eksponent

I tillegg til informasjon om gradene for gjennomsnittsnivået, vil vi analysere graden med en irrasjonell indikator. Alle reglene og egenskapene til grader her er nøyaktig de samme som for en grad med en rasjonell eksponent, med unntak - tross alt, per definisjon, er irrasjonelle tall tall som ikke kan representeres som en brøk, hvor og er heltall (det vil si , irrasjonelle tall er alle reelle tall unntatt rasjonelle).

Når vi studerer grader med en naturlig, heltall og rasjonell indikator, har vi hver gang laget et bestemt "bilde", "analogi" eller beskrivelse i mer kjente termer. For eksempel er en naturlig eksponent et tall multiplisert med seg selv flere ganger; et tall i nullgrad er så å si et tall multiplisert med seg selv én gang, det vil si at det ennå ikke har begynt å multipliseres, noe som betyr at selve tallet ikke en gang har dukket opp enda - derfor er resultatet bare en viss "utarbeidelse av et nummer", nemlig et nummer; en grad med en negativ heltallsindikator - det er som om en viss "omvendt prosess" har skjedd, det vil si at tallet ikke ble multiplisert med seg selv, men delt.

Det er ekstremt vanskelig å forestille seg en grad med en irrasjonell eksponent (akkurat som det er vanskelig å forestille seg et 4-dimensjonalt rom). Snarere er det et rent matematisk objekt som matematikere har laget for å utvide begrepet en grad til hele tallrommet.

Forresten, vitenskapen bruker ofte en grad med en kompleks eksponent, det vil si at en eksponent ikke engang er et reelt tall. Men på skolen tenker vi ikke på slike vanskeligheter; du vil ha muligheten til å forstå disse nye konseptene ved instituttet.

Så hva gjør vi hvis vi ser en irrasjonell eksponent? Vi prøver så godt vi kan å bli kvitt det! :)

For eksempel:

Bestem selv:

Svar:

Husk formelen for forskjellen på kvadrater. Svar: .
Vi bringer brøker til samme form: enten begge desimaler, eller begge vanlige. Vi får for eksempel: .
Ikke noe spesielt, vi bruker de vanlige egenskapene til grader:

SEKSJONSAMMENDRAG OG GRUNNLEGGENDE FORMEL

Grad kalles et uttrykk for formen: , hvor:

Grad med heltallseksponent

grad, hvis eksponent er et naturlig tall (dvs. heltall og positivt).

Grad med rasjonell eksponent

grad, indikatoren som er negative og brøktall.

Grad med irrasjonell eksponent

eksponent hvis eksponent er en uendelig desimalbrøk eller rot.

Gradsegenskaper

Funksjoner av grader.

Negativt tall hevet til til og med grad, - antall positivt.
Negativt tall hevet til merkelig grad, - antall negativ.
Et positivt tall til enhver potens er et positivt tall.
Null er lik enhver potens.
Ethvert tall i null potens er lik.

NÅ HAR DU ET ORD...

Hvordan liker du artikkelen? Gi meg beskjed i kommentarene nedenfor om du likte det eller ikke.

Fortell oss om din erfaring med kraftegenskapene.

Kanskje du har spørsmål. Eller forslag.

Skriv i kommentarfeltet.

Og lykke til med eksamen!