familiepsykologi 

Addisjon og subtraksjon av vanlige brøker. Addisjon av brøker med hele tall og ulike nevnere

Vanlige brøktall møter først skolebarn i 5. klasse og følger dem gjennom hele livet, siden det i hverdagen ofte er nødvendig å vurdere eller bruke en gjenstand ikke helt, men i separate deler. Begynnelsen av studiet av dette emnet - del. Aksjer er like deler som et objekt er delt inn i. Tross alt er det ikke alltid mulig å uttrykke for eksempel lengden eller prisen på et produkt som et heltall; man bør ta hensyn til deler eller andeler av ethvert mål. Dannet fra verbet "å knuse" - å dele inn i deler og ha arabiske røtter, i det VIII århundre dukket selve ordet "brøk" opp på russisk.

Brøkuttrykk har lenge vært ansett som den vanskeligste delen av matematikken. På 1600-tallet, da de første lærebøkene i matematikk dukket opp, ble de kalt «ødelagte tall», noe som var svært vanskelig å vise i folks forståelse.

Den moderne formen for enkle brøkrester, hvorav deler er adskilt nøyaktig med en horisontal linje, ble først fremmet av Fibonacci - Leonardo fra Pisa. Hans skrifter er datert 1202. Men hensikten med denne artikkelen er å enkelt og tydelig forklare leseren hvordan multiplikasjonen av blandede brøker med ulike nevnere skjer.

Multiplisere brøker med forskjellige nevnere

I utgangspunktet er det nødvendig å bestemme varianter av fraksjoner:

  • riktig;
  • feil;
  • blandet.

Deretter må du huske hvordan brøktall med de samme nevnerne multipliseres. Selve regelen for denne prosessen er lett å formulere uavhengig: resultatet av å multiplisere enkle brøker med de samme nevnerne er et brøkuttrykk, hvis teller er produktet av tellerne, og nevneren er produktet av nevnerne til disse brøkene. . Det vil si at den nye nevneren i utgangspunktet er kvadratet på en av de eksisterende.

Ved multiplikasjon enkle brøker med ulike nevnere for to eller flere faktorer endres ikke regelen:

en/b * c/d = a*c / b*d.

Den eneste forskjellen er at det dannede tallet under brøklinjen vil være produktet av forskjellige tall, og det kan naturligvis ikke kalles kvadratet av ett numerisk uttrykk.

Det er verdt å vurdere multiplikasjonen av brøker med forskjellige nevnere ved å bruke eksempler:

  • 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
  • 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

Eksemplene bruker måter å redusere brøkuttrykk på. Du kan redusere bare tallene til telleren med tallene til nevneren; tilstøtende faktorer over eller under brøkstreken kan ikke reduseres.

Sammen med enkle brøktall er det begrepet blandede brøker. Et blandet tall består av et heltall og en brøkdel, det vil si at det er summen av disse tallene:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

Hvordan fungerer multiplikasjon?

Flere eksempler er gitt for vurdering.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

Eksemplet bruker multiplikasjon av et tall med vanlig brøkdel, kan du skrive ned regelen for denne handlingen med formelen:

en * b/c = a*b /c.

Faktisk er et slikt produkt summen av identiske brøkrester, og antall ledd indikerer dette naturlige tallet. Spesielt tilfelle:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

Det er et annet alternativ for å løse multiplikasjonen av et tall med en brøkrest. Du trenger bare å dele nevneren med dette tallet:

d* e/f = e/f: d.

Det er nyttig å bruke denne teknikken når nevneren er delt med et naturlig tall uten en rest eller, som de sier, helt.

Konverter blandede tall til uekte brøker og få produktet på den tidligere beskrevne måten:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

Dette eksemplet innebærer en måte å representere en blandet brøk på som en uekte brøk, det kan også representeres som en generell formel:

en bc = a*b+ c / c, hvor nevneren til den nye brøken dannes ved å multiplisere heltallsdelen med nevneren og legge den til telleren til den opprinnelige brøkresten, og nevneren forblir den samme.

Denne prosessen fungerer også omvendt. For å velge heltallsdelen og brøkresten, må du dele telleren til en uekte brøk med nevneren med et "hjørne".

Multiplikasjon av uekte brøker produsert på vanlig måte. Når oppføringen går under en enkelt brøklinje, etter behov, må du redusere brøkene for å redusere tallene ved å bruke denne metoden, og det er lettere å beregne resultatet.

Det er mange assistenter på Internett for å løse selv komplekse matematiske problemer i ulike programvariasjoner. Et tilstrekkelig antall slike tjenester tilbyr sin hjelp til å beregne multiplikasjonen av brøker med forskjellige tall i nevnerne - de såkalte online-kalkulatorene for beregning av brøker. De er i stand til ikke bare å multiplisere, men også til å utføre alle andre enkle aritmetiske operasjoner med vanlige brøker og blandede tall. Det er ikke vanskelig å jobbe med det, de tilsvarende feltene fylles ut på sidesiden, tegnet på den matematiske handlingen er valgt og "beregn" trykkes. Programmet teller automatisk.

Temaet regneoperasjoner med brøktall er aktuelt gjennom hele utdanningen til mellom- og ungdomsskoleelever. På videregående vurderer de ikke lenger den enkleste arten, men heltallsbrøkuttrykk, men kunnskapen om reglene for transformasjon og beregninger, oppnådd tidligere, brukes i sin opprinnelige form. Godt innlært grunnleggende kunnskap gir full tillit til en vellykket løsning av de mest komplekse oppgavene.

Avslutningsvis er det fornuftig å sitere ordene til Leo Tolstoy, som skrev: «Mennesket er en brøkdel. Det er ikke i menneskets makt å øke sin teller - sine egne fortjenester, men enhver kan redusere sin nevner - sin mening om seg selv, og ved denne nedgangen komme nærmere sin perfeksjon.

Leksjonens innhold

Legge til brøker med samme nevnere

Å legge til brøker er av to typer:

  1. Legge til brøker med samme nevnere
  2. Legge til brøker med forskjellige nevnere

La oss starte med å legge til brøker med de samme nevnerne. Alt er enkelt her. For å legge til brøker med de samme nevnerne, må du legge til deres tellere, og la nevneren være uendret. La oss for eksempel legge til brøkene og . Vi legger til tellerne, og lar nevneren være uendret:

Dette eksemplet kan lett forstås hvis vi tenker på en pizza som er delt i fire deler. Legger du pizza til pizza, får du pizza:

Eksempel 2 Legg til brøker og .

Svaret er en uekte brøk. Hvis slutten av oppgaven kommer, er det vanlig å kvitte seg med upassende brøker. For å bli kvitt en upassende brøkdel, må du velge hele delen i den. I vårt tilfelle tildeles heltallsdelen enkelt - to delt på to er lik en:

Dette eksemplet kan lett forstås hvis vi tenker på en pizza som er delt i to. Legger du til flere pizzaer til pizzaen, får du en hel pizza:

Eksempel 3. Legg til brøker og .

Igjen, legg til tellerne, og la nevneren være uendret:

Dette eksemplet kan lett forstås hvis vi tenker på en pizza som er delt i tre deler. Legger du til flere pizzaer til pizza, får du pizza:

Eksempel 4 Finn verdien av et uttrykk

Dette eksemplet er løst på nøyaktig samme måte som de forrige. Tellerne må legges til og nevneren forbli uendret:

La oss prøve å skildre løsningen vår ved hjelp av et bilde. Legger du pizza til en pizza og legger til flere pizzaer, får du 1 hel pizza og flere pizzaer.

Som du kan se, er det ikke vanskelig å legge til brøker med de samme nevnerne. Det er nok å forstå følgende regler:

  1. For å legge til brøker med samme nevner, må du legge til deres tellere, og la nevneren være uendret;

Legge til brøker med forskjellige nevnere

Nå skal vi lære å legge til brøker med forskjellige nevnere. Når du legger til brøker, må nevnerne til disse brøkene være de samme. Men de er ikke alltid like.

For eksempel kan brøker legges til fordi de har de samme nevnerne.

Men brøker kan ikke legges til på en gang, fordi disse brøkene har forskjellige nevnere. I slike tilfeller må brøker reduseres til samme (felles)nevner.

Det er flere måter å redusere brøker til samme nevner. I dag vil vi vurdere bare en av dem, siden resten av metodene kan virke kompliserte for en nybegynner.

Essensen av denne metoden ligger i det faktum at først (LCM) av nevnerne til begge brøkene søkes. Deretter divideres LCM med nevneren til den første brøken og den første tilleggsfaktoren oppnås. De gjør det samme med den andre brøken - LCM deles på nevneren til den andre brøken og den andre tilleggsfaktoren oppnås.

Deretter multipliseres tellerne og nevnerne til brøkene med tilleggsfaktorene deres. Som et resultat av disse handlingene blir brøker som har forskjellige nevnere, til brøker som har samme nevner. Og vi vet allerede hvordan vi legger til slike brøker.

Eksempel 1. Legg til brøker og

Først og fremst finner vi det minste felles multiplum av nevnerne til begge brøkene. Nevneren til den første brøken er tallet 3, og nevneren til den andre brøken er tallet 2. Minste felles multiplum av disse tallene er 6

LCM (2 og 3) = 6

Nå tilbake til brøker og . Først deler vi LCM med nevneren til den første brøken og får den første tilleggsfaktoren. LCM er tallet 6, og nevneren til den første brøken er tallet 3. Del 6 med 3, vi får 2.

Det resulterende tallet 2 er den første tilleggsfaktoren. Vi skriver det ned til første brøk. For å gjøre dette lager vi en liten skrå linje over brøken og skriver ned den funnet ekstra faktoren over den:

Vi gjør det samme med den andre brøken. Vi deler LCM med nevneren til den andre brøken og får den andre tilleggsfaktoren. LCM er tallet 6, og nevneren til den andre brøken er tallet 2. Del 6 med 2, vi får 3.

Det resulterende tallet 3 er den andre tilleggsfaktoren. Vi skriver det til den andre brøken. Igjen lager vi en liten skrå linje over den andre brøken og skriver den funnet tilleggsfaktoren over den:

Nå er vi klare til å legge til. Det gjenstår å multiplisere tellerne og nevnerne av brøker med deres tilleggsfaktorer:

Se nøye på hva vi har kommet til. Vi kom til den konklusjonen at brøker som hadde forskjellige nevnere ble til brøker som hadde samme nevner. Og vi vet allerede hvordan vi legger til slike brøker. La oss fullføre dette eksemplet til slutten:

Dermed slutter eksemplet. Å legge til viser det seg.

La oss prøve å skildre løsningen vår ved hjelp av et bilde. Legger du pizza til en pizza, får du en hel pizza og en annen sjettedel av en pizza:

Reduksjon av brøker til samme (felles)nevner kan også avbildes ved hjelp av et bilde. Ved å bringe brøkene og til en fellesnevner, får vi brøkene og . Disse to fraksjonene vil være representert av de samme skivene med pizza. Den eneste forskjellen vil være at de denne gangen deles i like deler (redusert til samme nevner).

Den første tegningen viser en brøk (fire stykker av seks) og det andre bildet viser en brøk (tre stykker av seks). Setter vi disse bitene sammen får vi (syv av seks). Denne brøken er feil, så vi har markert heltallsdelen i den. Resultatet ble (en hel pizza og en annen sjette pizza).

Legg merke til at vi har malt dette eksemplet for detaljert. I utdanningsinstitusjoner er det ikke vanlig å skrive på en så detaljert måte. Du må raskt kunne finne LCM for både nevnerne og tilleggsfaktorene til dem, samt raskt multiplisere tilleggsfaktorene funnet med tellerne og nevnerne. Mens vi er på skolen, må vi skrive dette eksemplet som følger:

Men det er også den andre siden av mynten. Hvis det ikke gjøres detaljerte notater på de første stadiene av å studere matematikk, så spørsmål av typen "Hvor kommer det tallet fra?", "Hvorfor blir brøker plutselig til helt andre brøker? «.

For å gjøre det enklere å legge til brøker med forskjellige nevnere, kan du bruke følgende trinnvise instruksjoner:

  1. Finn LCM for nevnerne til brøker;
  2. Del LCM med nevneren for hver brøk og få en ekstra multiplikator for hver brøk;
  3. Multipliser tellerne og nevnerne til brøker med tilleggsfaktorene deres;
  4. Legg til brøker som har samme nevnere;
  5. Hvis svaret viste seg å være en upassende brøkdel, velg hele delen;

Eksempel 2 Finn verdien av et uttrykk .

La oss bruke instruksjonene ovenfor.

Trinn 1. Finn LCM for nevnerne til brøker

Finn LCM for nevnerne til begge brøkene. Nevnerne til brøkene er tallene 2, 3 og 4

Trinn 2. Del LCM med nevneren for hver brøk og få en ekstra multiplikator for hver brøk

Del LCM med nevneren til den første brøken. LCM er tallet 12, og nevneren til den første brøken er tallet 2. Del 12 med 2, vi får 6. Vi fikk den første tilleggsfaktoren 6. Vi skriver den over den første brøken:

Nå deler vi LCM med nevneren til den andre brøken. LCM er tallet 12, og nevneren for den andre brøken er tallet 3. Vi deler 12 på 3, vi får 4. Vi fikk den andre tilleggsfaktoren 4. Vi skriver den over den andre brøken:

Nå deler vi LCM med nevneren til den tredje brøken. LCM er tallet 12, og nevneren til den tredje brøken er tallet 4. Del 12 med 4, vi får 3. Vi fikk den tredje tilleggsfaktoren 3. Vi skriver den over den tredje brøken:

Trinn 3. Multipliser tellerne og nevnerne for brøker med tilleggsfaktorene dine

Vi multipliserer tellerne og nevnerne med våre tilleggsfaktorer:

Trinn 4. Legg til brøker som har samme nevnere

Vi kom frem til at brøker som hadde forskjellige nevnere ble til brøker som har samme (felles)nevnere. Det gjenstår å legge til disse brøkene. Legg sammen:

Addisjonen passet ikke på én linje, så vi flyttet det gjenværende uttrykket til neste linje. Dette er tillatt i matematikk. Når et uttrykk ikke passer på en linje, overføres det til neste linje, og det er nødvendig å sette et likhetstegn (=) på slutten av den første linjen og i begynnelsen av en ny linje. Likhetstegnet på den andre linjen indikerer at dette er en fortsettelse av uttrykket som var på den første linjen.

Trinn 5. Hvis svaret viste seg å være en upassende brøkdel, velg hele delen i den

Svaret vårt er en uekte brøkdel. Vi må skille ut hele delen av det. Vi fremhever:

Fikk svar

Subtraksjon av brøker med samme nevnere

Det er to typer brøksubtraksjon:

  1. Subtraksjon av brøker med samme nevnere
  2. Subtraksjon av brøker med ulike nevnere

La oss først lære hvordan du trekker fra brøker med de samme nevnerne. Alt er enkelt her. For å trekke en annen fra én brøk, må du trekke fra telleren til den andre brøken fra telleren til den første brøken, og la nevneren være den samme.

La oss for eksempel finne verdien av uttrykket . For å løse dette eksemplet er det nødvendig å trekke fra telleren til den andre brøken fra telleren til den første brøken, og la nevneren være uendret. La oss gjøre dette:

Dette eksemplet kan lett forstås hvis vi tenker på en pizza som er delt i fire deler. Hvis du kutter pizza fra en pizza, får du pizza:

Eksempel 2 Finn verdien av uttrykket.

Igjen, fra telleren til den første brøken, trekk fra telleren til den andre brøken, og la nevneren være uendret:

Dette eksemplet kan lett forstås hvis vi tenker på en pizza som er delt i tre deler. Hvis du kutter pizza fra en pizza, får du pizza:

Eksempel 3 Finn verdien av et uttrykk

Dette eksemplet er løst på nøyaktig samme måte som de forrige. Fra telleren til den første brøken må du trekke fra tellerne til de gjenværende brøkene:

Som du kan se, er det ikke noe komplisert i å trekke fra brøker med de samme nevnerne. Det er nok å forstå følgende regler:

  1. For å trekke en annen fra en brøk, må du trekke fra telleren til den andre brøken fra telleren til den første brøken, og la nevneren være uendret;
  2. Hvis svaret viste seg å være en upassende brøkdel, må du velge hele delen i den.

Subtraksjon av brøker med ulike nevnere

For eksempel kan en brøk trekkes fra en brøk, siden disse brøkene har de samme nevnerne. Men en brøk kan ikke trekkes fra en brøk, fordi disse brøkene har forskjellige nevnere. I slike tilfeller må brøker reduseres til samme (felles)nevner.

Fellesnevneren finnes etter samme prinsipp som vi brukte når vi adderte brøker med ulike nevnere. Først av alt, finn LCM for nevnerne til begge brøkene. Deretter divideres LCM med nevneren til den første brøken og den første tilleggsfaktoren oppnås, som skrives over den første brøken. På samme måte deles LCM med nevneren til den andre brøken og en andre tilleggsfaktor oppnås, som skrives over den andre brøken.

Brøkene multipliseres deretter med tilleggsfaktorene. Som et resultat av disse operasjonene blir brøker som hadde forskjellige nevnere til brøker som har samme nevner. Og vi vet allerede hvordan man trekker fra slike brøker.

Eksempel 1 Finn verdien av et uttrykk:

Disse brøkene har forskjellige nevnere, så du må bringe dem til den samme (felles) nevneren.

Først finner vi LCM for nevnerne til begge brøkene. Nevneren til den første brøken er tallet 3, og nevneren til den andre brøken er tallet 4. Minste felles multiplum av disse tallene er 12

LCM (3 og 4) = 12

Nå tilbake til brøker og

La oss finne en tilleggsfaktor for den første brøken. For å gjøre dette deler vi LCM med nevneren til den første brøken. LCM er tallet 12, og nevneren til den første brøken er tallet 3. Del 12 på 3, vi får 4. Vi skriver de fire over den første brøken:

Vi gjør det samme med den andre brøken. Vi deler LCM med nevneren til den andre brøken. LCM er tallet 12, og nevneren til den andre brøken er tallet 4. Del 12 på 4, vi får 3. Skriv en trippel over den andre brøken:

Nå er vi klare for subtraksjon. Det gjenstår å multiplisere brøkene med deres tilleggsfaktorer:

Vi kom til den konklusjonen at brøker som hadde forskjellige nevnere ble til brøker som hadde samme nevner. Og vi vet allerede hvordan man trekker fra slike brøker. La oss fullføre dette eksemplet til slutten:

Fikk svar

La oss prøve å skildre løsningen vår ved hjelp av et bilde. Hvis du kutter pizza fra en pizza, får du pizza.

Dette er den detaljerte versjonen av løsningen. Når vi er på skolen, må vi løse dette eksempelet på en kortere måte. En slik løsning vil se slik ut:

Reduksjon av brøker og til en fellesnevner kan også avbildes ved hjelp av et bilde. Ved å bringe disse brøkene til en fellesnevner, får vi brøkene og . Disse brøkene vil bli representert av de samme pizzaskivene, men denne gangen vil de bli delt inn i de samme brøkene (redusert til samme nevner):

Den første tegningen viser en brøk (åtte stykker av tolv), og det andre bildet viser en brøk (tre stykker av tolv). Ved å kutte av tre stykker fra åtte stykker får vi fem stykker av tolv. Brøken beskriver disse fem stykkene.

Eksempel 2 Finn verdien av et uttrykk

Disse brøkene har forskjellige nevnere, så du må først bringe dem til den samme (felles) nevneren.

Finn LCM for nevnerne til disse brøkene.

Nevnerne til brøkene er tallene 10, 3 og 5. Minste felles multiplum av disse tallene er 30

LCM(10; 3; 5) = 30

Nå finner vi tilleggsfaktorer for hver brøk. For å gjøre dette deler vi LCM med nevneren for hver brøk.

La oss finne en tilleggsfaktor for den første brøken. LCM er tallet 30, og nevneren til den første brøken er tallet 10. Del 30 med 10, vi får den første tilleggsfaktoren 3. Vi skriver den over den første brøken:

Nå finner vi en tilleggsfaktor for den andre brøken. Del LCM med nevneren til den andre brøken. LCM er tallet 30, og nevneren til den andre brøken er tallet 3. Del 30 med 3, vi får den andre tilleggsfaktoren 10. Vi skriver den over den andre brøken:

Nå finner vi en tilleggsfaktor for den tredje brøken. Del LCM med nevneren til den tredje brøken. LCM er tallet 30, og nevneren til den tredje brøken er tallet 5. Del 30 med 5, vi får den tredje tilleggsfaktoren 6. Vi skriver den over den tredje brøken:

Nå er alt klart for subtraksjon. Det gjenstår å multiplisere brøkene med deres tilleggsfaktorer:

Vi kom frem til at brøker som hadde forskjellige nevnere ble til brøker som har samme (felles)nevnere. Og vi vet allerede hvordan man trekker fra slike brøker. La oss avslutte dette eksemplet.

Fortsettelsen av eksemplet vil ikke passe på én linje, så vi flytter fortsettelsen til neste linje. Ikke glem likhetstegnet (=) på den nye linjen:

Svaret viste seg å være en riktig brøk, og alt ser ut til å passe oss, men det er for tungvint og stygt. Vi bør gjøre det enklere. Hva kan bli gjort? Du kan redusere denne brøkdelen.

For å redusere en brøk, må du dele dens teller og nevner med (gcd) tallene 20 og 30.

Så vi finner GCD for tallene 20 og 30:

Nå går vi tilbake til vårt eksempel og deler telleren og nevneren av brøken med den funnet GCD, det vil si med 10

Fikk svar

Multiplisere en brøk med et tall

For å multiplisere en brøk med et tall, må du multiplisere telleren til den gitte brøken med dette tallet, og la nevneren være den samme.

Eksempel 1. Multipliser brøken med tallet 1.

Multipliser telleren av brøken med tallet 1

Inngangen kan forstås som å ta halv 1 gang. For eksempel, hvis du tar pizza 1 gang, får du pizza

Fra lovene om multiplikasjon vet vi at hvis multiplikatoren og multiplikatoren byttes om, vil ikke produktet endres. Hvis uttrykket er skrevet som , vil produktet fortsatt være lik . Igjen fungerer regelen for å multiplisere et heltall og en brøk:

Denne oppføringen kan forstås som å ta halvparten av enheten. For eksempel, hvis det er 1 hel pizza og vi tar halvparten av den, vil vi ha pizza:

Eksempel 2. Finn verdien av et uttrykk

Multipliser telleren til brøken med 4

Svaret er en uekte brøk. La oss ta en hel del av det:

Uttrykket kan forstås som å ta to kvarter 4 ganger. Tar du for eksempel pizza 4 ganger, får du to hele pizzaer.

Og hvis vi bytter multiplikanten og multiplikatoren på steder, får vi uttrykket. Det vil også være lik 2. Dette uttrykket kan forstås som å ta to pizzaer fra fire hele pizzaer:

Multiplikasjon av brøker

For å multiplisere brøker, må du multiplisere deres tellere og nevnere. Hvis svaret er en uekte brøkdel, må du velge hele delen i den.

Eksempel 1 Finn verdien av uttrykket.

Fikk svar. Det er ønskelig å redusere denne fraksjonen. Fraksjonen kan reduseres med 2. Da vil den endelige løsningen ha følgende form:

Uttrykket kan forstås som å ta en pizza fra en halv pizza. La oss si at vi har en halv pizza:

Hvordan ta to tredjedeler fra denne halvdelen? Først må du dele denne halvdelen i tre like deler:

Og ta to fra disse tre delene:

Vi henter pizza. Husk hvordan en pizza ser ut delt inn i tre deler:

En skive fra denne pizzaen og de to skivene vi tok vil ha samme dimensjoner:

Med andre ord, vi snakker omtrent like stor pizza. Derfor er verdien av uttrykket

Eksempel 2. Finn verdien av et uttrykk

Multipliser telleren til den første brøken med telleren til den andre brøken, og nevneren til den første brøken med nevneren til den andre brøken:

Svaret er en uekte brøk. La oss ta en hel del av det:

Eksempel 3 Finn verdien av et uttrykk

Multipliser telleren til den første brøken med telleren til den andre brøken, og nevneren til den første brøken med nevneren til den andre brøken:

Svaret viste seg å være en riktig brøk, men det vil være bra om det reduseres. For å redusere denne brøken, må du dele telleren og nevneren til denne brøken med den største felles divisor (GCD) av tallene 105 og 450.

Så la oss finne GCD for tallene 105 og 450:

Nå deler vi telleren og nevneren for svaret vårt på GCD som vi nå har funnet, det vil si med 15

Representerer et heltall som en brøk

Ethvert heltall kan representeres som en brøk. For eksempel kan tallet 5 representeres som . Fra dette vil de fem ikke endre betydningen, siden uttrykket betyr "tallet fem delt på en", og dette er, som du vet, lik fem:

Omvendt tall

Nå skal vi bli kjent med et veldig interessant emne i matematikk. Det kalles "omvendte tall".

Definisjon. Tilbake til nummeren er tallet som multiplisert meden gir en enhet.

La oss erstatte i denne definisjonen i stedet for en variabel en nummer 5 og prøv å lese definisjonen:

Tilbake til nummer 5 er tallet som multiplisert med 5 gir en enhet.

Er det mulig å finne et tall som, multiplisert med 5, gir ett? Det viser seg at du kan. La oss representere fem som en brøk:

Multipliser deretter denne brøken med seg selv, bare bytt om teller og nevner. Med andre ord, la oss multiplisere brøken med seg selv, bare invertert:

Hva blir resultatet av dette? Hvis vi fortsetter å løse dette eksemplet, får vi ett:

Dette betyr at inversen av tallet 5 er tallet, siden når 5 multipliseres med én, oppnås en.

Det gjensidige kan også finnes for et hvilket som helst annet heltall.

Du kan også finne den gjensidige for enhver annen brøk. For å gjøre dette er det nok å snu den.

Divisjon av en brøk med et tall

La oss si at vi har en halv pizza:

La oss dele det likt mellom to. Hvor mange pizzaer får hver?

Det kan sees at etter å ha delt halvparten av pizzaen, ble det oppnådd to like biter som hver utgjør en pizza. Så alle får en pizza.

Deling av brøker gjøres ved å bruke resiproke. Gjensidige lar deg erstatte divisjon med multiplikasjon.

For å dele en brøk med et tall, må du multiplisere denne brøken med den resiproke av divisoren.

Ved å bruke denne regelen vil vi skrive ned delingen av vår halvdel av pizzaen i to deler.

Så du må dele brøken med tallet 2. Her er utbyttet en brøk og divisor er 2.

For å dele en brøk med tallet 2, må du multiplisere denne brøken med den resiproke av divisor 2. Den resiproke av divisor 2 er en brøk. Så du må gange med

Merk! Før du skriver et endelig svar, se om du kan redusere brøkdelen du mottok.

Subtraksjon av brøker med samme nevnere eksempler:

,

,

Trekke en egen brøk fra en.

Hvis det er nødvendig å trekke fra enheten en brøk som er riktig, konverteres enheten til form av en uekte brøk, dens nevner er lik nevneren til den subtraherte brøken.

Et eksempel på å trekke en egen brøk fra en:

Nevneren til brøken som skal trekkes fra = 7 , det vil si at vi representerer enheten som en uekte brøk 7/7 og trekker fra i henhold til regelen for å trekke fra brøker med de samme nevnerne.

Trekke en egenbrøk fra et helt tall.

Regler for å trekke fra brøker - korrekt fra heltall (naturlig nummer):

  • Vi oversetter de gitte brøkene, som inneholder en heltallsdel, til uekte. Vi får normale termer (det spiller ingen rolle om de har forskjellige nevnere), som vi vurderer etter reglene gitt ovenfor;
  • Deretter beregner vi forskjellen mellom brøkene vi mottok. Som et resultat vil vi nesten finne svaret;
  • Vi utfører den inverse transformasjonen, det vil si at vi blir kvitt den upassende brøken - vi velger heltallsdelen i brøken.

Trekk en egenbrøk fra et helt tall: vi representerer et naturlig tall som et blandet tall. De. vi tar en enhet i et naturlig tall og oversetter den til form av en uekte brøk, nevneren er den samme som for den subtraherte brøken.

Eksempel på brøksubtraksjon:

I eksemplet erstattet vi enheten med en uekte brøk 7/7 og i stedet for 3 skrev vi ned et blandet tall og trakk en brøk fra brøkdelen.

Subtraksjon av brøker med ulike nevnere.

Eller for å si det på en annen måte, subtraksjon av forskjellige brøker.

Regel for å trekke fra brøker med ulike nevnere. For å trekke fra brøker med forskjellige nevnere, er det først nødvendig å bringe disse brøkene til laveste fellesnevner (LCD), og først etter det å trekke fra som med brøker med samme nevner.

Fellesnevneren for flere brøker er LCM (minst felles multiplum) naturlige tall som er nevnerne til de gitte brøkene.

Merk følgende! Hvis telleren og nevneren i den siste brøken har felles faktorer, må brøken reduseres. En uekte brøk er best representert som en blandet brøk. Å forlate resultatet av subtraksjonen uten å redusere brøken der det er mulig er en uferdig løsning på eksemplet!

Fremgangsmåte for å trekke fra brøker med ulike nevnere.

  • finn LCM for alle nevnere;
  • sette ekstra multiplikatorer for alle brøker;
  • multipliser alle tellere med en tilleggsfaktor;
  • vi skriver de resulterende produktene i telleren, og signerer en fellesnevner under alle brøker;
  • trekk fra tellerne av brøker, signer fellesnevneren under differansen.

På samme måte utføres addisjon og subtraksjon av brøker i nærvær av bokstaver i telleren.

Subtraksjon av brøker, eksempler:

Subtraksjon av blandede fraksjoner.

På subtraksjon av blandede brøker (tall) separat trekkes heltallsdelen fra heltallsdelen, og brøkdelen trekkes fra brøkdelen.

Det første alternativet er å trekke fra blandede brøker.

Hvis brøkdelene det samme nevnere og teller for brøkdelen av minuenden (vi trekker fra den) ≥ telleren til brøkdelen av subtrahenden (vi trekker den fra).

For eksempel:

Det andre alternativet er å trekke fra blandede brøker.

Når brøkdelene diverse nevnere. Til å begynne med reduserer vi brøkdelene til en fellesnevner, og så trekker vi heltallsdelen fra heltallet, og brøkdelen fra brøkdelen.

For eksempel:

Det tredje alternativet er å trekke fra blandede brøker.

Brøkdelen av minuenden er mindre enn brøkdelen av subtrahenden.

Eksempel:

Fordi brøkdeler har forskjellige nevnere, noe som betyr at vi, som i det andre alternativet, først bringer vanlige brøker til en fellesnevner.

Telleren for brøkdelen av minuenden er mindre enn telleren til brøkdelen av subtrahenden.3 < 14. Så vi tar en enhet fra heltallsdelen og bringer denne enheten til form av en uekte brøk med samme nevner og teller = 18.

I telleren fra høyre side skriver vi summen av tellerne, så åpner vi parentesene i telleren fra høyre side, det vil si at vi multipliserer alt og gir lignende. Vi åpner ikke parentes i nevneren. Det er vanlig å la produktet stå i nevnerne. Vi får:

Reglene for å legge til brøker med forskjellige nevnere er veldig enkle.

Vurder reglene for å legge til brøker med forskjellige nevnere i trinn:

1. Finn LCM (minste felles multiplum) av nevnerne. Den resulterende LCM vil være fellesnevneren for brøkene;

2. Bring brøker til en fellesnevner;

3. Legg til brøker redusert til en fellesnevner.

Ved å bruke et enkelt eksempel vil vi lære hvordan vi bruker reglene for å legge til brøker med forskjellige nevnere.

Eksempel

Et eksempel på å legge til brøker med forskjellige nevnere.

Legg til brøker med forskjellige nevnere:

1 + 5
6 12

La oss bestemme trinn for trinn.

1. Finn LCM (minste felles multiplum) av nevnerne.

Tallet 12 er delelig med 6.

Fra dette konkluderer vi med at 12 er det minste felles multiplum av tallene 6 og 12.

Svar: nok for tallene 6 og 12 er 12:

LCM(6; 12) = 12

Den resulterende NOC vil være fellesnevneren for de to brøkene 1/6 og 5/12.

2. Ta med brøker til en fellesnevner.

I vårt eksempel er det bare den første brøken som må reduseres til en fellesnevner på 12, fordi den andre brøken allerede har en nevner på 12.

Del fellesnevneren av 12 med nevneren til den første brøken:

2 har en ekstra multiplikator.

Multipliser telleren og nevneren til den første brøken (1/6) med en tilleggsfaktor på 2.

En av de viktigste vitenskapene, hvis anvendelse kan sees i disipliner som kjemi, fysikk og til og med biologi, er matematikk. Studiet av denne vitenskapen lar deg utvikle noen mentale egenskaper, forbedre konsentrasjonsevnen. Et av temaene som fortjener spesiell oppmerksomhet i kurset "Matematikk" er addisjon og subtraksjon av brøker. Mange studenter synes det er vanskelig å studere. Kanskje artikkelen vår vil hjelpe deg med å forstå dette emnet bedre.

Hvordan trekke fra brøker hvis nevnere er de samme

Brøker er de samme tallene som du kan utføre ulike handlinger med. Deres forskjell fra heltall ligger i nærværet av en nevner. Det er derfor når du utfører handlinger med brøker, må du studere noen av funksjonene og reglene deres. Det enkleste tilfellet er subtraksjon av vanlige brøker, hvis nevnere er representert som samme tall. Det vil ikke være vanskelig å utføre denne handlingen hvis du kjenner en enkel regel:

  • For å subtrahere en andre brøk fra en, er det nødvendig å trekke fra telleren til brøken som skal trekkes fra telleren til den reduserte brøken. Vi skriver dette tallet inn i telleren av differansen, og lar nevneren være den samme: k / m - b / m = (k-b) / m.

Eksempler på å trekke fra brøker med nevnere de samme

7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.

Fra telleren til den reduserte brøken "7" trekker telleren til den subtraherte brøken "3", får vi "4". Vi skriver dette tallet i telleren til svaret, og setter i nevneren det samme tallet som var i nevnerne til første og andre brøk - "19".

Bildet under viser noen flere slike eksempler.

Tenk på et mer komplekst eksempel der brøker med samme nevner trekkes fra:

29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.

Fra telleren til den reduserte brøken "29" ved å trekke fra i sin tur tellerne for alle påfølgende brøker - "3", "8", "2", "7". Som et resultat får vi resultatet "9", som vi skriver i telleren til svaret, og i nevneren skriver vi tallet som er i nevnerne til alle disse brøkene - "47".

Legge til brøker med samme nevner

Addisjon og subtraksjon av vanlige brøker utføres etter samme prinsipp.

  • For å legge til brøker med de samme nevnerne, må du legge til tellerne. Det resulterende tallet er telleren av summen, og nevneren forblir den samme: k/m + b/m = (k + b)/m.

La oss se hvordan det ser ut i et eksempel:

1/4 + 2/4 = 3/4.

Til telleren til det første leddet i brøken - "1" - legger vi til telleren til det andre leddet i brøken - "2". Resultatet - "3" - skrives i telleren av beløpet, og nevneren blir den samme som den som var til stede i brøkene - "4".

Brøker med ulike nevnere og deres subtraksjon

Vi har allerede vurdert handlingen med brøker som har samme nevner. Som du kan se, er det ganske enkelt å kjenne til enkle regler, å løse slike eksempler. Men hva om du trenger å utføre en handling med brøker som har forskjellige nevnere? Mange videregående elever blir forvirret av slike eksempler. Men selv her, hvis du kjenner prinsippet for løsningen, vil eksemplene ikke lenger være vanskelige for deg. Det er også en regel her, uten hvilken løsningen av slike brøker rett og slett er umulig.

    For å trekke fra brøker med forskjellige nevner, må de reduseres til samme minste nevner.

    Vi vil snakke mer detaljert om hvordan du gjør dette.

    Brøkegenskap

    For å redusere flere brøker til samme nevner, må du bruke hovedegenskapen til brøken i løsningen: etter å ha delt eller multiplisert telleren og nevneren med samme tall, får du en brøk lik den gitte.

    Så for eksempel kan brøken 2/3 ha nevnere som "6", "9", "12" osv., det vil si at den kan se ut som et hvilket som helst tall som er et multiplum av "3". Etter at vi har multiplisert telleren og nevneren med "2", får vi en brøkdel av 4/6. Etter at vi har multiplisert telleren og nevneren til den opprinnelige brøken med "3", får vi 6/9, og hvis vi utfører en lignende handling med tallet "4", får vi 8/12. I en ligning kan dette skrives som:

    2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…

    Hvordan bringe flere brøker til samme nevner

    Vurder hvordan du reduserer flere brøker til samme nevner. Ta for eksempel brøkene vist på bildet nedenfor. Først må du bestemme hvilket tall som kan bli nevneren for dem alle. For å gjøre det enklere, la oss dekomponere de tilgjengelige nevnerne i faktorer.

    Nevneren til brøken 1/2 og brøken 2/3 kan ikke faktoriseres. Nevneren til 7/9 har to faktorer 7/9 = 7/(3 x 3), nevneren til brøken 5/6 = 5/(2 x 3). Nå må du bestemme hvilke faktorer som vil være de minste for alle disse fire brøkene. Siden den første brøken har tallet «2» i nevneren, betyr det at den må være tilstede i alle nevnerne, i brøken 7/9 er det to trippel, som betyr at de også må være tilstede i nevneren. Gitt ovenstående, bestemmer vi at nevneren består av tre faktorer: 3, 2, 3 og er lik 3 x 2 x 3 = 18.

    Tenk på den første brøken - 1/2. Dens nevner inneholder "2", men det er ikke en eneste "3", men det skal være to. For å gjøre dette multipliserer vi nevneren med to trippel, men i henhold til egenskapen til brøken må vi multiplisere telleren med to trippel:
    1/2 = (1 x 3 x 3)/(2 x 3 x 3) = 9/18.

    På samme måte utfører vi handlinger med de resterende brøkene.

    • 2/3 - en tre og en to mangler i nevneren:
      2/3 = (2 x 3 x 2)/(3 x 3 x 2) = 12/18.
    • 7/9 eller 7/(3 x 3) - nevneren mangler to:
      7/9 = (7 x 2)/(9 x 2) = 14/18.
    • 5/6 eller 5/(2 x 3) - nevneren mangler en trippel:
      5/6 = (5 x 3)/(6 x 3) = 15/18.

    Alt sammen ser det slik ut:

    Hvordan trekke fra og legge til brøker med forskjellige nevnere

    Som nevnt ovenfor, for å addere eller subtrahere brøker med forskjellige nevner, må de reduseres til samme nevner, og deretter bruke reglene for å subtrahere brøker med samme nevner, som allerede er beskrevet.

    Tenk på dette med et eksempel: 4/18 - 3/15.

    Finne multipler av 18 og 15:

    • Tallet 18 består av 3 x 2 x 3.
    • Tallet 15 består av 5 x 3.
    • Felles multiplum vil bestå av følgende faktorer 5 x 3 x 3 x 2 = 90.

    Etter at nevneren er funnet, er det nødvendig å beregne en faktor som vil være forskjellig for hver brøk, det vil si tallet som det vil være nødvendig å multiplisere ikke bare nevneren, men også telleren. For å gjøre dette deler vi tallet vi fant (felles multiplum) med nevneren til brøken som tilleggsfaktorer må bestemmes for.

    • 90 delt på 15. Det resulterende tallet "6" vil være en multiplikator for 3/15.
    • 90 delt på 18. Det resulterende tallet "5" vil være en multiplikator for 4/18.

    Neste trinn i løsningen vår er å bringe hver brøk til nevneren "90".

    Vi har allerede diskutert hvordan dette gjøres. La oss se hvordan dette er skrevet i et eksempel:

    (4 x 5) / (18 x 5) - (3 x 6) / (15 x 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45.

    Hvis brøker med små tall, kan du bestemme fellesnevneren, som i eksemplet vist på bildet nedenfor.

    Produsert på samme måte og har forskjellige nevnere.

    Subtraksjon og ha heltallsdeler

    Subtraksjon av brøker og deres addisjon har vi allerede analysert i detalj. Men hvordan trekke fra hvis brøken har en heltallsdel? Igjen, la oss bruke noen få regler:

    • Konverter alle brøker som har en heltallsdel til uekte. Med enkle ord, fjern hele delen. For å gjøre dette multipliseres tallet på heltallsdelen med nevneren til brøken, det resulterende produktet legges til telleren. Tallet som vil bli oppnådd etter disse handlingene er telleren for en uekte brøk. Nevneren forblir uendret.
    • Hvis brøker har forskjellige nevnere, bør de reduseres til det samme.
    • Utfør addisjon eller subtraksjon med de samme nevnerne.
    • Når du mottar en upassende brøkdel, velg hele delen.

    Det er en annen måte du kan legge til og trekke fra brøker med heltallsdeler på. For dette utføres handlinger separat med heltallsdeler, og separat med brøker, og resultatene registreres sammen.

    Eksempelet ovenfor består av brøker som har samme nevner. I tilfelle når nevnerne er forskjellige, må de reduseres til det samme, og deretter følge trinnene som vist i eksempelet.

    Å trekke fra brøker fra et helt tall

    En annen av variantene av handlinger med brøker er tilfellet når brøken må trekkes fra Ved første øyekast virker et slikt eksempel vanskelig å løse. Men alt er ganske enkelt her. For å løse det er det nødvendig å konvertere et heltall til en brøk, og med en slik nevner, som er i brøken som skal trekkes fra. Deretter utfører vi en subtraksjon som ligner på subtraksjon med de samme nevnerne. For eksempel ser det slik ut:

    7 - 4/9 = (7 x 9)/9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9.

    Subtraksjonen av brøker gitt i denne artikkelen (grad 6) er grunnlaget for å løse mer komplekse eksempler, som vurderes i påfølgende klasser. Kunnskap om dette emnet brukes senere til å løse funksjoner, deriverte og så videre. Derfor er det veldig viktig å forstå og forstå handlingene med brøker diskutert ovenfor.