Притяжение тел друг к другу. Все тела притягиваются друг к другу. Но почему? Описание закона всемирного тяготения

Вопросы.

1. Что было названо всемирным тяготением?

Всемирным тяготением было названо взаимное притяжение всех тел во Вселенной.

2. Как иначе называются силы всемирного тяготения?

Силы всемирного тяготения иначе называются гравитационными (от латинского gravitas- "тяжесть").

3. Кто и в каком веке открыл закон всемирного тяготения?

Закон всемирного тяготения был открыт Исааком Ньютоном в XVII веке.

4. Как читается закон всемирного тяготения?

Два любых тела притягиваются друг к другу с силой, прямо пропорциональной произведению их масс, и обратно пропорционально квадрату расстояния между ними.

5. Запишите формулу, выражающую закон всемирного тяготения.

6. В каких случаях следует применять эту формулу для расчета гравитационных сил?

Формулу можно применить для расчета гравитационных сил, если тела можно принять за материальные точки: 1) если размеры тел много меньше, чем расстояния между ними; 2) если два тела имеют шарообразную форму и однородны; 3) если одно тело, шарообразной формы во много раз больше по массе и размеру второго.

7. Притягивается ли Земля к висящему на ветке яблоку?

В соответствии с законом всемирного тяготения яблоко притягивает Землю с такой же силой, что и Земля яблоко, только противоположно направленной.

Упражнения.

1. Приведите примеры проявления силы тяготения.

Падение тел на землю под действием силы тяжести, притяжение небесных тел (Земли, Луны, солнца, планет, комет, метеоритов) друг к другу.

2. Космическая станция летит от Земли к Луне. Как меняется при этом модуль вектора силы её притяжения к Земле? к Луне? С одинаковыми или различными по модулю силами притягивается станция к Земле и Луне, когда она находится посередине между ними? Все три ответа обоснуйте. (Известно, что масса Земли примерно в 81 раз больше массы Луны).

3. Известно, что масса Солнца в 330 000 раз больше массы Земли. Верно ли, что Солнце притягивает Землю в 330 000 раз сильней, чем Земля притягивает Солнце? Ответ поясните.

Нет, тела притягивают друг друга с одинаковыми силами, т.к. сила притяжения пропорциональна произведению их масс.

4. Мяч, подброшенный мальчиком, в течение некоторого времени двигался вверх. При этом его скорость всё время уменьшалась, пока не стала равной нулю. Затем мяч стал падать вниз, с возрастающей скоростью. Объясните: а) действовала ли на мяч сила притяжения к Земле, во время его движения вверх; вниз; б) что послужило причиной уменьшения скорости мяча при его движении вверх; увеличения его скорости при движении вниз; в) почему при движении мяча вверх его скорость уменьшалась, а при движении вниз - увеличивалась.

а) да, сила притяжения действовала на всем пути; б) всемирная сила тяготения (притяжение Земли); в) при движении вверх скорость и ускорение тела разнонаправлены, а при движении вниз - сонаправлены.

5. Притягивается ли к Луне человек, стоящий на Земле? Если да, то к чему он притягивается сильнее: к Луне или к Земле? Притягивается ли Луна к этому человеку? Ответы обоснуйте.

Да, все тела притягиваются друг к другу, но сила притяжения человека к Луне, много меньше чем к Земле, т.к. Луна находится значительно дальше.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Закон всемирного тяготения открыл И. Ньютоном:

Два тела притягиваются друг к другу с , прямо пропорциональной произведению их и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними:

Описание закона всемирного тяготения

Коэффициент — это гравитационная постоянная. В системе СИ гравитационная постоянная имеет значение:

Эта постоянная, как видно, очень мала, поэтому силы тяготения между телами, имеющими небольшие массы, тоже малы и практически не ощущаются. Однако движение космических тел полностью определяется гравитацией. Наличие всемирного тяготения или, другими словами, гравитационного взаимодействия объясняет, на чем «держатся» Земля и планеты, и почему они двигаются вокруг Солнца по определенным траекториям, а не улетают от него прочь. Закон всемирного тяготения позволяет определить многие характеристики небесных тел – массы планет, звезд, галактик и даже черных дыр. Этот закон позволяет с большой точностью рассчитать орбиты планет и создать математическую модель Вселенной.

С помощью закона всемирного тяготения также можно рассчитать космические скорости. Например, минимальная скорость, при которой тело, движущееся горизонтально над поверхностью Земли, не упадёт на неё, а будет двигаться по круговой орбите – 7,9 км/с (первая космическая скорость). Для того, чтобы покинуть Землю, т.е. преодолеть ее гравитационное притяжение, тело должно иметь скорость 11,2 км/с, (вторая космическая скорость).

Гравитация является одним из самых удивительных феноменов природы. В отсутствии сил гравитации существование Вселенной было бы невозможно, Вселенная не могла бы даже возникнуть. Гравитация ответственна за многие процессы во Вселенной – ее рождение, существование порядка вместо хаоса. Природа гравитации до сих пор до конца неразгаданна. До настоящего времени никто не смог разработать достойный механизм и модель гравитационного взаимодействия.

Сила тяжести

Частным случаем проявления гравитационных сил является сила тяжести.

Сила тяжести всегда направлена вертикально вниз (по направлению к центру Земли).

Если на тело действует сила тяжести, то тело совершает . Вид движения зависит от направления и модуля начальной скорости.

С действием силы тяжести мы сталкиваемся каждый день. , через некоторое время оказывается на земле. Книга, выпущенная из рук, падает вниз. Подпрыгнув, человек не улетает в открытый космос, а опускается вниз, на землю.

Рассматривая свободное падение тела вблизи поверхности Земли как результат гравитационного взаимодействия этого тела с Землей, можно записать:

откуда ускорение свободного падения:

Ускорение свободного падения не зависит от массы тела, а зависит от высоты тела над Землей. Земной шар немного сплюснут у полюсов, поэтому тела, находящиеся около полюсов, расположены немного ближе к центру Земли. В связи с этим ускорение свободного падения зависит от широты местности: на полюсе оно немного больше, чем на экваторе и других широтах (на экваторе м/с , на Северном полюсе экваторе м/с .

Эта же формула позволяет найти ускорение свободного падения на поверхности любой планеты массой и радиусом .

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1 (задача о «взвешивании» Земли)

Задание	Радиус Земли км, ускорение свободного падения на поверхности планеты м/с . Используя эти данные, оценить приближенно массу Земли.
Решение	Ускорение свободного падения у поверхности Земли: откуда масса Земли: В системе Си радиус Земли м. Подставив в формулу численные значения физических величин, оценим массу Земли:
Ответ	Масса Земли кг.

ПРИМЕР 2

Задание

Спутник Земли движется по круговой орбите на высоте 1000 км от поверхности Земли. С какой скоростью движется спутник? За какое время спутник совершит один полный оборот вокруг Земли?

Решение

По , сила, действующая на спутник со стороны Земли, равна произведению массы спутника на ускорение, с которым он движется: Со стороны земли на спутник действует сила гравитационного притяжения, которая по закону всемирного тяготения равна: где и массы спутника и Земли соответственно. Так как спутник находится на некоторой высоте над поверхностью Земли, расстояние от него до центра Земли: где радиус Земли.

где G=6,67×10 -11 Н×м 2 /кг 2 – универсальная гравитационная постоянная.

Этот закон называется законом всемирного тяготения.

Силу, с которой тела притягиваются к Земле, называли силой тяжести. Главной особенностью силы тяжести является тот опытный факт, что эта сила всем телам, независимо от их массы , сообщает одинаковое ускорение, направленное к центру Земли.

Из этого следует, что древнегреческий философ Аристотель был неправ, когда утверждал, что тяжелые тела падают на Землю быстрее, чем легкие. Он не учитывал, что помимо силы тяжести на тело действует сила сопротивления о воздух, которая зависит от формы тела.

Мушкетная пуля и тяжелое ядро, брошенные итальянским физиком Галилео Галилеем со знаменитой башни высотой 54,5 м, находящейся в городе Пиза, достигали поверхности Земли практически одновременно, т.е. падали с одинаковым ускорением (рис.4.27).

Расчеты, проведенные Г.Галилеем показали, что ускорение, приобретаемое телами под действием притяжения Земли, равно 9,8 м/с 2 .

Дальнейшие более точные опыты были проведены И.Ньютоном. Он брал длинную стеклянную трубку, в которую помещал свинцовый шарик, пробку и перышком (рис.4.28).

Эту трубку сейчас называют «трубкой Ньютона». Переворачивая трубку, он видел, что первым падал шарик, затем пробка и лишь потом перышко. Если же из трубки предварительно откачать воздух с помощью насоса, то после переворачивания трубки все тела упадут на дно трубки одновременно. А это означает, что во втором случае все тела увеличивали свою скорость одинаково, т.е. получали одинаковое ускорение. И это ускорение им сообщала единственная сила – сила притяжения тел к Земле, т.е. сила тяжести. Расчеты, произведенные Ньютоном, подтвердили правильность расчетов Г.Галилея, так как он тоже получил значение ускорения, приобретаемого свободно падающими телами в «трубке Ньютона», равное 9,8 м/с 2 . Это постоянное ускорение называется ускорением свободного падения на Земле и обозначается буквой g (от латинского слова «gravitas» - тяжесть), т.е. g = 9,8 м/с 2 .

Под свободным падением понимают движение тела, происходящее под действием одной единственной силы – силы тяжести (силы сопротивления о воздух не учитываются).

На других планетах или звездах значение этого ускорения другое, так оно зависит от масс и радиусов планет и звезд.

Приводим значения ускорения свободного падения на некоторых планетах Солнечной системы и на Луне:

1. Солнце g = 274 Н/кг

2. Венера g = 8,69Н/кг

3. Марс g = 3,86 Н/кг

4. Юпитер g = 23 Н/кг

5. Сатурн g = 9,44 Н/кг

6. Луна (спутник Земли) g = 1,623 Н/кг

Как же можно объяснить тот факт, что ускорение у всех тел, свободно падающих на Землю, одинаково? Ведь чем больше масса тела, тем большая сила тяжести действует на него. Мы с вами знаем, что 1 Н – это сила, которая сообщает телу массой 1 кг ускорение равное 1 м/с 2 . В то же время опыты Г.Галилея и И.Ньютона показали, что сила тяжести меняет скорость любого тела в 9,8 раз больше. Следовательно, на тело массой 1 кг действует сила 9,8 Н, а на тело массой 2 кг будет действовать сила тяжести равная 19,6 Н и т.д. То есть, чем больше масса тела, тем большая сила тяжести будет действовать на него, а коэффициентом пропорциональности будет величина равная 9,8 Н/кг. Тогда формула для вычисления силы тяжести будет иметь вид или в общем виде:

Точные измерения показали, что ускорение свободного падения уменьшается с высотой и незначительно меняется с изменением широты местности в связи с тем, что Земля не является строго шарообразным телом (она немного сплющена у полюсов). Кроме этого она может зависеть от географического места на планете, так как плотность пород, из которых слагается поверхностный слой Земли, разная. Последний факт позволяет обнаруживать залежи полезных ископаемых.

Приводим некоторые значения ускорения свободного падения на Земле:

1. На Северном полюсе g = 9,832 Н/кг

2. На экваторе g = 9,780 Н/кг

3. На широте 45 о g = 9,806 Н/кг

4. На уровне моря g = 9,8066 Н/кг

5. На пике Хан-Тенгри, высотой 7 км, g = 9,78 Н/кг

6. На глубине 12 км g = 9,82 Н/кг

7. На глубине 3000 км g = 10,20 Н/кг

8. На глубине 4500 км g = 6,9 Н/кг

9. В центре Земли g = 0 Н/кг

Притяжение Луны приводит к образованию на Земле приливов и отливов в морях и океанах. Величина прилива в открытом океане около 1 м, а у берегов залива Фанди в Атлантическом океане достигает 18 метров.

Расстояние от Земли до Луны огромно: около 384000 км. Но сила тяготения между Землей и Луной велика и составляет 2×10 20 Н. это связано с тем, что массы Земли и Луны велики.

При решении задач, если нет специальных оговорок, величину 9,8 Н/кг можно округлять до 10 Н/кг.

Отставание маятников часов, синхронизированных на первом этаже высотного здания, связано с изменением величины g . Так как величина g с ростом высоты уменьшается, то часы на последнем этаже начнут отставать.

Пример. Определить силу, с которой стальное ведро массой 500 г, объемом 12 л, полностью заполненное водой, давит на опору.

Сила тяжести равна сумме силы тяжести самого ведра, равной F тяж1 =m 1 g , и силы тяжести воды, налитой в ведро, равной F тяж1 =m 2 g = ρ 2 V 2 g , т.е.

F тяж = m 1 g + ρ 2 V 2 g

Подставляя численные значения, получим:

F тяж =0,5кг·10Н/кг+10 3 кг/м 3 ·12·10 -3 м 3 ·10Н/кг= = 125 Н.

Ответ: F тяж = 125 Н

Вопросы для самоконтроля:

1. Какая сила называется гравитационной? Какова причина появления этой силы?

2. О чем гласит закон всемирного тяготения?

3. Какая сила называется силой тяжести? В чем состоит ее главная особенность?

4. Существует ли сила тяжести на других планетах? Ответ обоснуйте.

5. С какой целью Г.Галилей проводил опыты на Пизанской башне?

6. Что нам доказывают опыты, которые проводил Ньютон с «трубкой Ньютона»?

7. Какое ускорение называется ускорением свободного падения?

8. У вас имеются два одинаковых листа бумаги. Почему скомканный лист упадет на землю быстрее, несмотря на то, что на каждый лист действует одинаковая сила тяжести?

9. В чем состоит принципиальная разница в объяснении свободного падения Аристотелем и Ньютоном?

10. Сделайте сообщение о том, как изучали свободное падение Аристотель, Галилей и Ньютон.

Сэр Исаак Ньютон, получив по голове яблоком, вывел закон всемирного тяготения, который гласит:

Любые два тела притягиваются друг к другу с силой прямо пропорциональной произведению масс тела и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними:

F = (Gm 1 m 2)/R 2 , где

m1, m2 - массы тел
R - расстояние между центрами тел
G = 6,67·10 -11 Нм 2 /кг - константа

Определим ускорение свободного падения на поверхности Земли:

F g = m тела g = (Gm тела m Земли)/R 2

R (радиус Земли) = 6,38·10 6 м
m Земли = 5,97·10 24 кг

m тела g = (Gm тела m Земли)/R 2 или g = (Gm Земли)/R 2

Обратите внимание, что ускорение свободного падения не зависит от массы тела!

g = 6,67·10 -11 ·5,97·10 24 /(6,38·10 6) = 398,2/40,7 = 9,8 м/с 2

Мы говорили ранее, что силу тяжести (гравитационное притяжение) называют весом .

На поверхности Земли вес и масса тела имеют одинаковое значение. Но по мере удаления от Земли вес тела будет уменьшаться (т.к. будет увеличиваться расстояние между центром Земли и телом), а масса будет оставаться постоянной (поскольку масса - это выражение инерции тела). Масса измеряется в килограммах , вес - в ньютонах .

Благодаря силе гравитации, небесные тела вращаются друг относительно друга: Луна вокруг Земли; Земля вокруг Солнца; Солнце вокруг центра нашей Галактики и т.д. При этом тела удерживаются центробежной силой, которую обеспечивает сила гравитации.

Это же относится и к искусственным телам (спутникам), вращающимся вокруг Земли. Окружность по которой спутник вращается, называется орбитой вращения.

При этом на спутник действует центробежная сила:

F ц = (m спутника V 2)/R

Сила гравитации:

F g = (Gm спутника m Земли)/R 2

F ц = F g = (m спутника V 2)/R = (Gm спутника m Земли)/R 2

V2 = (Gm Земли)/R; V = √(Gm Земли)/R

По этой формуле можно вычислить скорость любого тела, вращающегося по орбите с радиусом R вокруг Земли.

Естественным спутником Земли является Луна. Определим ее линейную скорость на орбите:

Масса Земли = 5,97·10 24 кг

R - это расстояние между центром Земли и центром Луны. Чтобы определить это расстояние, нам надо сложить три величины: радиус Земли; радиус Луны; расстояние от Земли до Луны.

R луны = 1738 км = 1,74·10 6 м
R земли = 6371 км = 6,37·10 6 м
R зл = 384400 км = 384,4·10 6 м

Общее расстояние между центрами планет: R = 392,5·10 6 м

Линейная скорость Луны:

V = √(Gm Земли)/R = √6,67·10 -11 ·5,98·10 24 /392,5·10 6 = 1000 м/с = 3600 км/ч

Луна движется по круговой орбите вокруг Земли с линейной скоростью в 3600 км/ч !

Определим теперь период обращения Луны вокруг Земли. За период обращения Луна преодолевает расстояние, равное длине орбиты - 2πR . Орбитальная скорость Луны: V = 2πR/T ; с другой стороны: V = √(Gm Земли)/R :

2πR/T = √(Gm Земли)/R отсюда T = 2π√R 3 /Gm Земли

T = 6,28·√(60,7·10 24)/6,67·10 -11 ·5,98·10 24 = 3,9·10 5 с

Период обращения Луны вокруг Земли составляет 2 449 200 секунд, или 40 820 минут, или 680 часов, или 28,3 суток.

1. Вертикальное вращение

Ранее в цирках был очень популярным трюк в котором велосипедист (мотоциклист) делал полный оборот внутри окружности, расположенной вертикально.

Какой же минимальной скоростью должен обладать трюкач, чтобы в верхней точке не свалиться вниз?

Для прохождения верхней точки без падения тело должно обладать скоростью, создающей такую центробежную силу, которая бы компенсировала силу тяжести.

Центробежная сила: F ц = mV 2 /R

Сила тяжести: F g = mg

F ц = F g ; mV 2 /R = mg; V = √Rg

И опять обратите внимание, что в расчетах отсутствует масса тела! Следует учесть, что это скорость, которой должно обладать тело в верхней точке!

Допустим, что на арене цирка установлена окружность с радиусом 10 метров. Рассчитаем безопасную скорость для трюка:

V = √Rg = √10·9,8 = 10 м/с = 36 км/ч

Этот закон, называемый законом всемирного тяготения, в математической форме записывается следующим образом:

где m 1 и m 2 – массы тел, R – расстояние между ними (см. рис. 11а), а G - гравитационная постоянная, равная 6,67.10-11 Н.м 2 /кг2.

Закон всемирного тяготения был впервые сформулирован И. Ньютоном, когда он пытался объяснить один из законов И. Кеплера, утверждающий, что для всех планет отношение куба их расстояния R до Солнца к квадрату периода T обращения вокруг него одинаково, т.е.

Выведем закон всемирного тяготения так, как сделал это Ньютон, считая, что планеты движутся по окружностям. Тогда по второму закону Ньютона на планету массой mПл, движущуюся по окружности радиуса R со скоростью v и центростремительным ускорением v2/R должна действовать сила F, направленная к Солнцу (см. рис. 11б) и равная:

Скорость v планеты можно выразить через радиус R орбиты и период обращения T:

Подставляя (11.4) в (11.3) получаем следующее выражение для F:

Из закона Кеплера (11.2) следует, что T2 = const.R3 . Следовательно, (11.5) можно преобразовать в:

Таким образом, Солнце притягивает планету с силой прямо пропорциональной массе планеты и обратно пропорционально квадрату расстояния между ними. Формула (11.6) очень похожа на (11.1), не хватает лишь массы Солнца в числителе дроби справа. Однако если сила притяжения между Солнцем и планетой зависит от массы планеты, то эта сила должна зависеть также и от массы Солнца, а значит, константа в правой части (11.6) содержит массу Солнца в качестве одного из сомножителей. Поэтому Ньютон выдвинул своё знаменитое предположение, что гравитационная сила должна зависеть от произведения масс тел и закон стал таким, каким мы его записали в (11.1).

Закон всемирного тяготения и третий закон Ньютона не противоречат друг другу. По формуле (11.1) сила, с которой тело 1 притягивает тело 2, равно силе, с которой тело 2 притягивает тело 1.

Для тел обычных размеров гравитационные силы очень малы. Так, два рядом стоящих легковых автомобиля притягиваются друг к другу с силой, равной весу капли дождя. С тех пор, как Г. Кавендиш в 1798 г. определил значение гравитационной постоянной, формула (11.1) помогла совершить очень много открытий в «мире огромных масс и расстояний». Например, зная величину ускорения свободного падения (g=9,8 м/с2) и радиус Земли (R=6,4.106 м), можно вычислить её массу mЗ следующим образом. На каждое тело массой m1 вблизи поверхности Земли (т.е. на расстоянии R от её центра) действует гравитационная сила её притяжения, равная m1g, подстановка которой в (11.1) вместо F даёт:

откуда получаем, что m З = 6.1024 кг.

Вопросы для повторения:

· Сформулируйте закон всемирного тяготения?

· Что такое гравитационная постоянная?

Рис. 11. (а) – к формулировке закона всемирного тяготения; (б) – к выводу закона всемирного тяготения из закона Кеплера.

§ 12. СИЛА ТЯЖЕСТИ. ВЕС. НЕВЕСОМОСТЬ. ПЕРВАЯ КОСМИЧЕСКАЯ СКОРОСТЬ.