Тесты 

Решение с1. Проект "Методы решения заданий С1 ЕГЭ по математике". Блокировка регламентных заданий

Иримиа Регина

В работе рассмотрены методы решения заданий С1 ЕГЭ по математике, приведены примеры.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com


Подписи к слайдам:

Методы решения заданий С1 ЕГЭ по математике

Формулы записи решений простейших тригонометрических уравнений. В большинстве учебников для записи решений простейших уравнений используются следующие формулы:

При повторении формул решения уравнений следует обратить внимание на то, что формулы задают множества чисел, которые образованы по закону арифметической прогрессии с разностью 2 π или π . С другой стороны использование общей формулы серий решений не всегда является удобной при отборе корней, в частности, на числовой окружности. В этом случае как раз удобнее не объединять серии решений тригонометрических уравнений, а представлять их совокупностью, выделяя разность 2 π соответствующих прогрессий.

Для тригонометрических уравнений применимы общие методы решения (разложение на множители, замена переменной, функционально-графические) и равносильные преобразования общего характера. Решение тригонометрических уравнений

В данном пункте рассмотрим уравнения, содержащие синус, косинус, тангенс и котангенс степени не выше первой. Уравнения данного вида сводятся к простейшим путем замены f(x)=t . Часто задача осложняется тем, что требуется найти все решения уравнения, принадлежащие указанному промежутку.

Решение. Положив 4x=t , будем искать корни уравнения cost =3 , принадлежащие другому промежутку . Решения задаются формулами: В тех случаях, когда промежутки привязаны к четвертям тригонометрической окружности, для отбора корней удобно использовать модель тригонометрической окружности. Так как и  то неравенство справедливо при k=0 и k=1 . Соответственно, неравенство, справедливо при k=1 и k=2 . Возвращаясь к исходной переменной, получим:

На числовой окружности (см. Рис. 21) получаем два числа, удовлетворяющие условию задачи: В некоторых простых случаях замена не обязательна.

Решение. Используя нечетность синуса, перепишем уравнение в виде Последнее равенство выполняется в двух случаях: Отсюда получаем

Тренировочные упражнения 1. Найдите корни уравнения удовлетворяющие условию 2. Найдите корни уравнения принадлежащие промежутку 3. Найдите корни уравнения удовлетворяющие условию

Тренировочные упражнения 4. Найдите корни уравнения удовлетворяющие условию 5. Найдите корни уравнения удовлетворяющие условию 6. Найдите корни уравнения удовлетворяющие условию

Решение. Среди значений x , для которых cos x = 0 , корней уравнения нет (если cos x = 0 , то из уравнения следует, что и sin x = 0 , а одновременно эти два равенства выполняться не могут). Значит, деление обеих частей уравнения на cos x не приведет к потере корней. Разделив, получим уравнение:

Решение. Разделим обе части уравнения на Уравнение примет вид

Тренировочные упражнения Решите уравнения: 1. 2. 3. Дано уравнение а) Решите уравнение. б) Укажите корни, принадлежащие отрезку 4 . Найдите корни уравнения принадлежащие отрезку . 5. Найдите корни уравнения на отрезке

Тригонометрические уравнения, сводящиеся к алгебраическим уравнениям с помощью замены В тех случаях, когда исходное уравнение может быть приведено к виду то заменой уравнение сводится к решению уравнения Далее для каждого полученного корня необходимо решить уравнение

В тех случаях, когда множество значений функции g (x) известно, то пишется ограничение на новую переменную.

Иногда при решении уравнений часть «посторонних» решений возникающих в результате замены могут быть удалены по причине несоответствия их области определения или множеству значений тригонометрических и обратных тригонометрических функций. Напомним их и покажем на примерах как ограничение, связанное с новой переменной, позволяет проводить проверку на промежуточном этапе решения.

Решение. Обозначим где Полученное квадратное уравнение имеет корни (не удовлетворяет

Решение. Положим arccosx =t . Так как множество значений функции arccosx – отрезок , найдем решения уравнения удовлетворяющие условию Такой корень один: Если, то, откуда

Сведение тригонометрических уравнений к алгебраическим путем замены переменной - одна из наиболее плодотворных идей, используемая для решения тригонометрических уравнений. Рассмотрим несколько типичных ситуаций введения новой переменной. Уравнения, сводящиеся к многочлену от одной тригонометрической функции. Рассмотрим уравнения, сводящиеся к квадратным относительно синуса, косинуса, тангенса или котангенса. Решение. Используя основное тригонометрическое тождество, приведем уравнение к виду:

Заметим, что все решения можно представить одной формулой:

Решение. Воспользовавшись основным тригонометрическим тождеством, перепишем уравнение в виде:

Решение. Если записать условие sin 2x

Решение уравнений, однородных относительно синуса и косинуса в которых сумма показателей степеней у sinx и cosx (степень уравнения) во всех членах уравнения одинакова. Например,

В частности, уравнения вида приводятся к однородным путем представления правой части в виде:

Решение. Преобразуем обе части уравнения, воспользовавшись тождествами: Заметим, что среди значений x , для которых cos x=0 , корней уравнения нет, поскольку, если cos x=0 , то из уравнения следует, что и sinx=0 , а одновременно эти два равенства выполняться не могут. Значит, можно разделить обе части уравнения на, не опасаясь потери корней. После деления получим уравнение Последовательно имеем: Решив его как квадратное относительно tgx , найдем: tg x=0,5 , tgx=3 , откуда

Симметрические уравнения Рассмотрим тригонометрические уравнения f (x)=0 , левая часть которых представляет собой рациональное выражение от переменных t= sinx+cosx (или t= sinx-cosx) и v= sinx * cosx . Поскольку Следовательно, исходное уравнение сводится к алгебраическому относительно переменной t . Так как то поиск корней алгебраического уравнения можно ограничить промежутком

Решение. Введем новую переменную С учетом равенства перепишем уравнение в виде или Последнее уравнение имеет два корня из которых только первый удовлетворяет условию Вернемся к переменной x . Получим или откуда

Решение. Воспользовавшись формулой разности кубов Положим Тогда и, значит, Таким образом, после замены получим уравнение

Отсюда Условию удовлетворяет только одно из найденных значений: Возвратимся к исходной переменной. Получим или Откуда или Таким образом, исходное уравнение имеет две серии решений:

Уравнения f (x) =0, левая часть которых может быть представлена как многочлен от tg x+ctg x , сводятся к алгебраическим заменой t g x +ct g x=t . Решение. Положим t g x + ctg x=t . Заметим, что Последнее уравнение имеет два корня t=1 и t =2 , из которых только второй удовлетворяет условию t ≥ 2 . Если t=2 , то tg x + ctg x =2 , или sin 2 x =1 , откуда

Применение универсальной тригонометрической подстановки Так как выражаются через, то уравнение вида подстановкой часто удается свести к алгебраическому уравнению. При этом следует иметь в виду, что замена на и на ведет к сужению области определения уравнения, поскольку из рассмотрения исключаются значения x , при которых т.е. при которых

Поэтому при применении универсальной тригонометрической подстановки необходимо дополнительно выяснить, являются или нет исключаемые из рассмотрения значения x корнями исходного уравнения.

Решение. Преобразовав уравнение к виду введем новую переменную Так как исходное уравнение не определено для то такая замена не может привести к потере корней. Заменив на получим уравнение которое равносильно каждому следующему уравнению: Получаем и, возвращаясь к переменной x , решаем уравнение

Тренировочные упражнения Решите уравнение: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Тренировочные упражнения Решите уравнение: 1. 2. 3. 4. 5.

Метод разложения на множители Один из основных подходов к решению тригонометрических уравнений состоит в их последовательном упрощении с целью сведения к одному или нескольким простейшим. Для упрощения используются тригонометрические формулы. Универсального ответа на вопрос, какие формулы следует применить в том или ином случае, нет, однако есть ряд приемов, которые полезно иметь в виду при поиске решения.

Довольно часто в результате преобразований удается привести уравнение к виду В этом случае дальнейшее решение сводится к поиску корней уравнений и дальнейшему отбору тех из них, которые принадлежат области определения исходного уравнения. Такой подход к решению уравнений, известный как метод разложения на множители, является универсальным (его применяют при решении рациональных, иррациональных, показательных и логарифмических уравнений).

Решение. Воспользуемся формулой синуса двойного аргумента Так как то последнее уравнение равносильно системе

Решение. Так как общий наименьший период функций tg x и sin x равен 2 π , то отбор корней удобно проводить на промежутке .


Решение:


1) Запишем уравнение иначе:

(tg 2 x+1)+3tgx-5=0;

Tg 2 x+3tgx-4=0;

tgx=1 или tgx=-4.

Следовательно, x=π/4+πk или x=-arctg4+πk. Отрезку [-π; π/2] принадлежат корни -3π/4, -arctg4,π/ 4.

Ответ: -3π/4,-arctg4,π/4.

Решите уравнение:

(4sin 2 (x)-3)/(2cos(x)+1)=0

Решение:

Знаменатель не должен обращаться в ноль:
2cos(x)+1 ≠ 0
cos(x) ≠ -1/2
(1) x ≠ ±2π/3 + 2πn, n ∈ Z
Числитель должен обращаться в ноль:
4sin 2 (x)-3 = 0

Sin(x) = ± √3/2

X = ±π/3 + πn, n ∈ Z или, что то же самое,

{x = ±2π/3 + 2πn; x = ±π/3 + 2πn}, n ∈ Z.

Принимая во внимание (1), получаем ответ:
x = ±π/3 + 2πn, n ∈ Z

Ответ:

Задание C1: Тригонометрическое уравнение

Условие:

(cosx+sqrt(2)/2)(tg(x-π/4)-1)=0

Сколько корней на отрезке

Решение:

1. система
cos(x)+sqrt(2)/2 = 0
x-pi/4 не равно pi/2+pi*n

x = (+/-)3*pi/4 + 2*pi*n
x не равно 3*pi/4 + pi*n

x = -3*pi/4 + 2*pi*n

2. уравнение

Tg(x - pi/4) = 1
x - pi/4 = pi/4 + pi*n

x = pi/2 + pi*n
Значит, все корни уравнения:

x = -3*pi/4 + 2*pi*n, x = pi/2 + pi*n

На отрезке будет три корня: pi/2, 5*pi/4 и 3*pi/2.>Ответ: 3

Решение заданий С1 по математике (Задание 1)

Решите систему уравнений




Во втором уравнении системы произведение двух множителей равно нулю. Это возможно, если один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл. Рассмотрим два возможных случая:


Решение заданий С1 по математике (Задание 2)

Решите систему уравнений




Решение заданий С1 по математике (Задание 3)

Решите систему уравнений




Решение заданий С1 по математике (Задание 4)

Решите уравнение



Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель определен и не равен нулю.



(см. рис 1).

Необходимо «перебрать» корни и выбрать углы, большие . Воспользуемся ед. окружностью.



Решение заданий С1 по математике (Задание 5)

Решите уравнение



На единичной окружности есть две точки, абсциссы которых равны (см. рис.2). Этим точкам соответствует множество углов. Из всех этих углов необходимо выбрать углы, большие чем . Рассмотрим две серии корней:

Решение заданий С1 по математике (Задание 6)

Решите уравнение



Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель определен и не равен нулю.



Решать это уравнение лучше не по формуле, а с помощью окружности, учитывая при этом, что тангенс угла отрицателен, если угол лежит во II или в IV четверти (см.рис.3).



Решением уравнения являются две серии корней, но, поскольку тангенсы углов, лежащих в I четверти, положительны, то решением системы является одна серия корней

Ответ:

Решение заданий С1 по математике (Задание 7)

Решите уравнение





Математика. ЕГЭ 2010. Задания типа С1-С6. Методы решения. Корянов А.Г.

Брянск, 2010 - 177 с.

Корянов Анатолий Георгиевич. С 1999 года работает методистом по математике в городском информационно-методическом Центре (ГИМЦ) г. Брянска. За это время проведены десятки семинаров для учителей математики по различным темам школьного курса математики. Выпущены статьи и методические пособия.

В 2000-2005 годах - эксперт городской медальной комиссии, с 2009 года - член апелляционной комиссии по ЕГЭ. С 2009 года поддерживает сайт "Компьютерные программы по математике".

Формат: pdf / zip

Размер: 3,4 Мб

/ Download файл

Задания С 2 РАССТОЯНИЯ И УГЛЫ В ПРОСТРАНСТВЕ
Методы решения задач
1. Поэтапно-вычислительный метод
2. Координатный метод
3. Координатно-векторный метод
4. Векторный метод
5. Метод объемов
6. Метод ключевых задач
Ключевые задачи (примеры с решениями)
1. Расстояние между двумя точками
2. Расстояние от точки до прямой
3. Расстояние от точки до плоскости
4. Расстояние между скрещивающимися прямыми
5. Угол между двумя прямыми
6. Угол между прямой и плоскостью
7. Угол между плоскостями
8. Разные задачи
9. Координатный метод
10. Координатно-векторный метод
11. Векторный метод
12. Метод объемов
13. Метод ключевых задач

Задания С3
 Методы решения
1. Сведение неравенства к равносильной системе или совокупности систем
а) иррациональные неравенства;
б) показательные неравенства;
в) логарифмические неравенства;
г) неравенства, содержащие знак модуля
2. Расщепление неравенств
3. Метод перебора
4. Метод интервалов
5. Введение новой переменной
6. Метод рационализации
7. Использование свойств функции
а) область определения функции;
б) ограниченность функции;
в) монотонность функции;
Упражнения

Задания С4
 Многовариантные задачи по планиметрии
1. Взаимное расположение элементов фигуры:
а) выбор линейного элемента;
б) выбор углового элемента;
в) выбор отношения отрезков, площадей фигур.
2. Взаимное расположение двух фигур:
а) точки и прямой (расположение точки на прямой или в одной из полуплоскостей);
б) точки и двух параллельных прямых;
в) точки и отрезка, лежащих на одной прямой (или трех точек, лежащих на одной прямой);
г) точки и окружности;
д) точки и многоугольника;
е) вписанный угол, опирающийся на хорду (вид угла – острый, прямой или тупой);
ж) треугольник, вписанный в окружность (расположение центра окружности относительно треугольника);
з) трапеция, вписанная в окружность (расположение центра окружности относительно трапеции);
и) касающиеся окружности (внутреннее или внешнее касание);
к) непересекающиеся окружности и касательные (внутренние или внешние);
л) пересекающиеся окружности (расположение центров окружностей относительно их общей хорды)
Примеры решения задач:
Выбор средней линии треугольника
Выбор оснований трапеции
Выбор отношения отрезков, площадей
Выбор угла треугольника
Выбор угла параллелограмма
Выбор угла трапеции
Вид угла (острый, прямой, тупой)
Взаимное расположение точки и отрезка, лежащие на одной прямой
Взаимное расположение точки и окружности
Расположение вершины вписанного угла относительно хорды
Расположение центра окружности относительно параллельных хорд
Расположение центра описанной окружности относительно треугольника
Расположение центра описанной окружности относительно трапеции
Расположение центра окружности относительно касательной
Вписанная или вневписанная окружность
Расположение точки касания на прямой
Внешняя или внутренняя касательная непересекающихся окружностей
Касающиеся окружности (внешнее или внутреннее касание)
Расположение центров пересекающихся окружностей относительно их общей хорды
Окружность, касающаяся одной из двух дуг другой окружности
Тематические задачи Медианы треугольника
Метод площадей
Отношение отрезков и площадей
Метод вспомогательной окружности
Высоты треугольника
Окружность и треугольник
Параллелограмм
Ромб
Прямоугольник
Трапеция
Касающиеся окружности
Упражнения

Задания С5 ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ
Аналитические методы
1. Линейные уравнения
2. Квадратные уравнения
3. Уравнения высшей степени
4. Уравнения с модулем

6. Иррациональные уравнения
7. Показательные уравнения
8. Логарифмические уравнения
9. Тригонометрические уравнения
10. Уравнения смешанного типа
11. Линейные неравенства
12. Квадратные неравенства
13. Неравенства высшей степени
14. Неравенства с модулем
15. Дробно-рациональные неравенства
16. Иррациональные неравенства
17. Показательные неравенства
18. Логарифмические неравенства
19. Неравенства смешанного типа
20. Инвариантность
21. Функции
Функционально-графические методы
Координатная плоскость хOу
22. Параллельный перенос вдоль оси у
23. Параллельный перенос вдоль оси х
24. Поворот
25. Гомотетия
Координатная плоскость аОх
26. Уравнения
27. Неравенства (метод областей)
Указания и решения
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ
1. Графики функций и уравнений
1.1. Прямая на плоскости
1.2. Две прямые на плоскости
1.3. Окружность (эллипс)
1.4. Парабола
1.5. Гипербола
1.6. Параллелограмм
2. Преобразование графиков
3. Решение неравенств с двумя переменными
3.1. Графическое решение неравенств
3.2. Области знакопостоянства линейного многочлена F(x;y) = px + qy + r
3.3. Метод областей и его обобщения
3.4. Области знакопостоянства многочленов F(x; y) второй степени
3.5. Области знакопостоянства выражений, содержащих знак модуля
3.6. Рационализация неравенств
3.7. Аналитическое задание области решения неравенств
3.8. Решение неравенств с параметром

Задания С6 УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
Линейные уравнения
1. Метод прямого перебора
2. Использование неравенств
3. Использование отношения делимости
4. Выделение целой части
5. Метод остатков
6. Метод «спуска»
7. Метод последовательного уменьшения коэффициентов по модулю
8. Использование формул
9. Использование конечных цепных дробей
Нелинейные уравнения
1. Метод разложения на множители
а) вынесение общих множителей за скобку
б) применение формул сокращенного умножения
в) способ группировки
г) разложение квадратного трехчлена
д) использование параметра
2. Метод решения относительно одной переменной
а) выделение целой части
б) использование дискриминанта (неотрицательность)
в) использование дискриминанта (полный квадрат)
3. Метод оценки
а) использование известных неравенств
б) приведение к сумме неотрицательных выражений
4. Метод остатков
5. Метод «спуска»
а) конечного «спуска»
б) бесконечного «спуска»
6. Метод от противного
7. Параметризация уравнения
8. Функционально-графический метод
Неравенства
1. Метод математической индукции
2. Использование области определения
3. Использование монотонности
4. Использование ограниченности
5. Метод интервалов
6. Функционально-графический метод
УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
1. Уравнение с одной неизвестной
2. Уравнения первой степени с несколькими неизвестными
3. Уравнения второй степени с несколькими неизвестными
4. Уравнения высшей степени
5. Дробно-рациональные уравнения
6. Иррациональные уравнения
7. Показательные уравнения
8. Уравнения смешанного типа
9. Уравнения, содержащие знак факториала
10. Уравнения с простыми числами
11. Неразрешимость уравнений
12. Текстовые задачи
13. Уравнения, содержащие функцию «целая часть числа» [х]
14. Неравенства
15. Задачи с параметром
Указания и решения

На данном сайте представлена информация обо всех отраслевых и специализированных решениях "1С:Предприятие 8", издаваемых фирмой "1С".

Типовые решения

Типовые прикладные решения фирмы "1С" предназначены для автоматизации типовых задач учета и управления предприятий. При разработке типовых прикладных решений фирмой "1С" учитывались как современные международные методики управления (MRP II, CRM, SCM, ERP, ERP II и др.), так и реальные потребности предприятий, не укладывающиеся в стандартный набор функциональности этих методик, а также опыт успешной автоматизации, накопленный фирмой "1С" и партнерским сообществом. Состав функциональности, включаемой в типовые решения, тщательно проработан. Фирма "1С" анализирует опыт пользователей, применяющих программы системы "1С:Предприятие" и отслеживает изменение их потребностей.

Решения 1С-Совместно

Фирмой "1С" совместно с партнерами осуществляется выпуск отраслевых и специализированных решений на платформе "1С:Предприятие 8". Это направление является одним из ключевых направлений стратегии развития и продвижения программ экономического назначения фирмы "1С".

В качестве основы для выпуска совместных решений используются индустриальные стандарты разработки фирмы "1С", применяемые при выпуске тиражных продуктов, а также наработки и передовые методологии компетентных партнеров. Все это помогает создавать качественные решения 1С-Совместно для эффективного решения задач конечных пользователей. .

Партнерские решения, тиражируемые фирмой 1С на платформе 1С:Предприятие 8

Для удобства пользователей фирма "1С" издает наиболее популярные партнерские решения, имеющие сертификат "1С:Совместимо", на платформе "1С:Предприятие 8". Это коробочные продукты для автоматизации различных отраслей и областей деятельности предприятий, в состав которых включена конфигурация, разработанная партнером, и лицензии на платформу "1С:Предприятие 8". Имущественные и авторские права на тиражируемую конфигурацию принадлежат фирме-разработчику, на платформу 1С:Предприятие 8 - фирме "1С". Консультационную и технологическую поддержку по конфигурации оказывает фирма-разработчик, по платформе 1С:Предприятие 8 - фирма "1С".

Локализованные решения

Локализованные прикладные решения на платформе "1С:Предприятие 8" разрабатываются зарубежными партнерами по заказу фирмы "1С". Решения обеспечивают ведение учета, формирование первичных документов и отчетности в соответствии с требованиями национального законодательства.

Преимущества внедрения отраслевых и специализированных решений

Отраслевые и специализированные решения системы программ "1С:Предприятие 8" нацелены на максимальное соответствие потребностям в автоматизации наиболее важных для предприятий бизнес-процессов, позволяют сокращать издержки потребителей при внедрениях за счет того, что поставляются в качестве готовых решений. Продукты распространяются и внедряются партнерской сетью фирмы "1С", обладающей большим опытом автоматизации предприятий и технологией стандартного внедрения.

Этот сайт поможет Вам:

  • Найти программу для любой отрасли и задачи. Раздел "Каталог продуктов" .
  • Рассчитать стоимость поставки продукта в зависимости от числа рабочих мест, планируемых к автоматизации.