Способы решения систем логических уравнений. Логика. Логические функции. Решение уравнений

Тема урока: Решение логических уравнений

Образовательная – изучение способов решения логических уравнений, формирование умений и навыков решения логических уравнений и построения логического выражения по таблице истинности;

Развивающая - создать условия для развития познавательного интереса учащихся, способствовать развитию памяти, внимания, логического мышления;

Воспитательная : способствовать воспитанию умения выслушивать мнение других, воспитание воли и настойчивости для достижения конечных результатов.

Тип урока: комбинированный урок

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, презентация 6.

Ход урока

Повторение и актуализацию опорных знаний. Проверка домашнего задания (10 минут)

На предыдущих уроках мы познакомились с основными законами алгебры логики, научились использовать эти законы для упрощения логических выражений.

Выполним проверку домашнего задания по упрощению логических выражений:

1. Какое из приведенных слов удовлетворяет логическому условию:

(первая буква согласная→вторая буква согласная) ٨ (последняя буква гласная → предпоследняя буква гласная)? Если таких слов несколько, укажите наименьшее из них.

1) АННА 2) МАРИЯ 3) ОЛЕГ 4) СТЕПАН

Введем обозначения:

А – первая буква согласная

В – вторая буква согласная

С – последняя буква гласная

D – предпоследняя буква гласная

Составим выражение:

Составим таблицу:

2. Укажите, какое логическое выражение равносильно выражению

Упростим запись исходного выражения и предложенных вариантов:

3. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F:

Какое выражение соответствует F?

Определим значения этих выражений при указанных значениях аргументов:

Ознакомление с темой урока, изложение нового материала (30 минут)

Мы продолжаем изучать основы логики и тема нашего сегодняшнего урока «Решение логических уравнений». Изучив данную тему, вы узнаете основные способы решения логических уравнений, получите навыки решения этих уравнений путем использования языка алгебры логики и умения составления логического выражения по таблице истинности.

1. Решить логическое уравнение

(¬K  M) → (¬L  M  N) =0

Ответ запишите в виде строки из четырех символов: значений переменных K, L, M и N (в указанном порядке). Так, например, строка 1101 соответствует тому, что K=1, L=1, M=0, N=1.

Решение:

Преобразуем выражение (¬K  M) → (¬L  M  N)

Выражение ложно, когда оба слагаемые ложны. Второе слагаемое равно 0, если M =0, N =0, L =1. В первом слагаемом K =0, так как М=0, а
.

Ответ: 0100

2. Сколько решений имеет уравнение (в ответе укажите только число)?

Решение: преобразуем выражение

(A +B )*(C +D )=1

A +B =1 и C +D =1

2 способ: составление таблицы истинности

3 способ : построение СДНФ – совершенной дизъюнктивной нормальной формы для функции – дизъюнкции полных правильных элементарных конъюнкций.

Преобразуем исходное выражение, раскроем скобки для того, чтобы получить дизъюнкцию конъюнкций:

(A+B)*(C+D)=A*C+B*C+A*D+B*D=

Дополним конъюнкции до полных конъюнкций (произведение всех аргументов), раскроем скобки:

Учтем одинаковые конъюнкции:

В итоге получаем СДНФ, содержащую 9 конъюнкций. Следовательно, таблица истинности для данной функции имеет значение 1 на 9 строках из 2 4 =16 наборов значений переменных.

3. Сколько решений имеет уравнение (в ответе укажите только число)?

Упростим выражение:

3 способ : построение СДНФ

Учтем одинаковые конъюнкции:

В итоге получаем СДНФ, содержащую 5 конъюнкций. Следовательно таблица истинности для данной функции имеет значение 1 на 5 строках из 2 4 =16 наборов значений переменных.

Построение логического выражения по таблице истинности:

для каждой строки таблицы истинности, содержащей 1 составляем произведение аргументов, причем, переменные, равные 0, входят в произведение с отрицанием, а переменные, равные 1 – без отрицания. Искомое выражение F будет составляется из суммы полученных произведений. Затем, если возможно, это выражение необходимо упростить.

Пример: дана таблица истинности выражения. Построить логическое выражение.

Решение:

3. Задание на дом (5 минут)

Решить уравнение:

Сколько решений имеет уравнение (в ответе укажите только число)?

По заданной таблице истинности составить логическое выражение и

упростить его.

Способы решения систем логических уравнений

Киргизова Е.В., Немкова А.Е.

Лесосибирский педагогический институт –

филиал Сибирского федерального университета, Россия

Умение мыслить последовательно, рассуждать доказательно, строить гипотезы, опровергать негативные выводы, не приходит само по себе, это умение развивает наука логика . Логика – это наука, изучающая методы установленияистинности или ложности одних высказываний на основе истинности или ложности других высказываний .

Овладение азами этой науки невозможно без решения логических задач. Проверка сформированности умений применять свои знания в новой ситуации осуществляется за счет сдачи. В частности, это умение решать логические задачи. Задания В15 в ЕГЭ, являются заданиями повышенной сложности, так как они содержат системы логических уравнений. Можно выделить различные способы решения систем логических уравнений. Это сведение к одному уравнению, построение таблицы истинности, декомпозиция, последовательное решение уравнений и т.д.

Задача: Решить систему логических уравнений:

Рассмотрим метод сведения к одному уравнению . Данный метод предполагает преобразование логических уравнений, таким образом, чтобы правые их части были равны истинностному значению (то есть 1). Для этого применяют операцию логического отрицания. Затем, если в уравнениях есть сложные логические операции, заменяем их базовыми: «И», «ИЛИ», «НЕ». Следующим шагом объединяем уравнения в одно, равносильное системе, с помощью логической операции «И». После этого, следует сделать преобразования полученного уравнения на основе законов алгебры логики и получить конкретное решение системы.

Решение 1: Применяем инверсию к обеим частям первого уравнения:

Представим импликацию через базовые операции «ИЛИ», «НЕ»:

Поскольку левые части уравнений равны 1, можно объединить их с помощью операции “И” в одно уравнение, равносильное исходной системе:

Раскрываем первую скобку по закону де Моргана и преобразовываем полученный результат:

Полученное уравнение, имеет одно решение: A =0 , B =0 и C =1 .

Следующий способ – построение таблиц истинности . Поскольку логические величины имеют только два значения, можно просто перебрать все варианты и найти среди них те, при которых выполняется данная система уравнений. То есть, мы строим одну общую таблицу истинности для всех уравнений системы и находим строку с нужными значениями.

Решение 2: Составим таблицу истинности для системы:








0	0	1	1	0	1

Полужирным выделена строчка, для которой выполняются условия задачи. Таким образом, A =0 , B =0 и C =1 .

Способ декомпозиции . Идея состоит в том, чтобы зафиксировать значение одной из переменных (положить ее равной 0 или 1) и за счет этого упростить уравнения. Затем можно зафиксировать значение второй переменной и т.д.

Решение 3: Пусть A = 0, тогда :

Из первого уравнения получаем B =0, а из второго – С=1. Решение системы: A = 0 , B = 0 и C = 1 .

Так же можно воспользоваться методом последовательного решения уравнений , на каждом шаге добавляя по одной переменной в рассматриваемый набор. Для этого необходимо преобразовать уравнения таким образом, что бы переменные вводились в алфавитном порядке. Далее строим дерево решений, последовательно добавляя в него переменные.

Первое уравнение системы зависит только от A и B , а второе уравнение от А и C . Переменная А может принимать 2 значения 0 и 1:

Из первого уравнения следует, что , поэтому при A = 0 п олучаем B = 0 , а при A = 1 имеем B = 1 . Итак, первое уравнение имеет два решения относительно переменных A и B .

Изобразим второе уравнение, из которого определим значения C для каждого варианта. При A =1 импликация не может быть ложной, то есть вторая ветка дерева не имеет решения. При A =0 получаем единственное решение C = 1 :

Таким образом, получили решение системы: A = 0 , B = 0 и C = 1 .

В ЕГЭ по информатике очень часто требуется определить количество решений системы логических уравнений, без нахождения самих решений, для этого тоже существуют определенные методы. Основной способ нахождения количества решений системы логических уравнений – замена переменных . Сначала необходимо максимально упростить каждое из уравнений на основе законов алгебры логики, а затем заменить сложные части уравнений новыми переменными и определить количество решений новой системы. Далее вернуться к замене и определить для нее количество решений.

Задача: Сколько решений имеет уравнение (A → B ) + (C → D ) = 1? Где A, B, C, D – логические переменные.

Решение: Введем новые переменные: X = A → B и Y = C → D . С учетом новых переменных уравнение запишется в виде: X + Y = 1.

Дизъюнкция верна в трех случаях: (0;1), (1;0) и (1;1), при этом X и Y является импликацией, то есть является истинной в трех случаях и ложной – в одном. Поэтому случай (0;1) будет соответствовать трем возможным сочетаниям параметров. Случай (1;1) – будет соответствовать девяти возможным сочетаниям параметров исходного уравнения. Значит, всего возможных решений данного уравнения 3+9=15.

Следующий способ определения количества решений системы логических уравнений – бинарное дерево . Рассмотрим данный метод на примере.

Задача: Сколько различных решений имеет система логических уравнений:

Приведенная система уравнений равносильна уравнению:

( x 1 → x 2 )*( x 2 → x 3 )*…*( x m -1 → x m ) = 1.

Предположим, что x 1 – истинно, тогда из первого уравнения получаем, что x 2 также истинно, из второго - x 3 =1, и так далее до x m = 1. Значит набор (1; 1; …; 1) из m единиц является решением системы. Пусть теперь x 1 =0, тогда из первого уравнения имеем x 2 =0 или x 2 =1.

Когда x 2 истинно получаем, что остальные переменные также истинны, то есть набор (0; 1; …; 1) является решением системы. При x 2 =0 получаем, что x 3 =0 или x 3 =, и так далее. Продолжая до последней переменной, получаем, что решениями уравнения являются следующие наборы переменных (m +1 решение, в каждом решении по m значений переменных):

(1; 1; 1; …; 1)

(0; 1; 1; …; 1)

(0; 0; 0; …; 0)

Такой подход хорошо иллюстрируется с помощью построения бинарного дерева. Количество возможных решений – количество различных ветвей построенного дерева. Легко заметить, что оно равно m +1.

Переменные	Дерево	Количество решений
x 1
x 2
x 3

В случае трудностей в рассуждениях и построении дерева решений можно искать решение с использованием таблиц истинности , для одного – двух уравнений.

Перепишем систему уравнений в виде:

И составим таблицу истинности отдельно для одного уравнения:

x 1	x 2	(x 1 → x 2)

Составим таблицу истинности для двух уравнений:

x 1	x 2	x 3	x 1 → x 2	x 2 → x 3	(x 1 → x 2) (x 2 → x 3)*

Далее можно увидеть, что одно уравнение истинно в следующих трех случаях: (0; 0), (0; 1), (1; 1). Система двух уравнений истина в четырех случаях (0; 0; 0), (0; 0; 1), (0; 1; 1), (1; 1; 1). При этом сразу видно, что существует решение, состоящее из одних нулей и еще m решений, в которых добавляется по одной единице, начиная с последней позиции до заполнения всех возможных мест. Можно предположить, что общее решение будет иметь такой же вид, но чтобы такой подход стал решением, требуется доказательство, что предположение верно.

Подводя итог всему вышесказанному, хочется обратить внимание, на то, что не все рассмотренные методы являются универсальными. При решении каждой системы логических уравнений следует учитывать ее особенности, на основе которых и выбирать метод решения.

Литература:

1. Логические задачи / О.Б. Богомолова – 2-е изд. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006. – 271 с.: ил.

2. Поляков К.Ю. Системы логических уравнений / Учебно-методическая газета для учителей информатики: Информатика №14, 2011 г.

J ∧ ¬K ∧ L ∧ ¬M ∧ (N ∨ ¬N) = 0, где J, K, L, M, N — логические переменные?

Решение.

Выражение (N ∨ ¬N) истинно при любом N, поэтому

J ∧ ¬K ∧ L ∧ ¬M = 0.

Применим отрицание к обеим частям логического уравнения и используем закон де Моргана ¬ (А ∧ В) = ¬ А ∨ ¬ В. Получим ¬J ∨ K ∨ ¬L ∨ M = 1.

Логическая сумма равна 1, если хотя бы одно из составляющих ее высказываний равно 1. Поэтому полученному уравнению удовлетворяют любые комбинации логических переменных кроме случая, когда все входящие в уравнение величины равны 0. Каждая из 4 переменных может быть равна либо 1, либо 0, поэтому всевозможных комбинаций 2·2·2·2 = 16. Следовательно, уравнение имеет 16 −1 = 15 решений.

Осталось заметить, что найденные 15 решений соответствуют любому из двух возможных значений значений логической переменной N, поэтому исходное уравнение имеет 30 решений.

Ответ: 30

Сколько различных решений имеет уравнение

((J → K) → (M ∧ N ∧ L)) ∧ ((J ∧ ¬K) → ¬ (M ∧ N ∧ L)) ∧ (M → J) = 1

где J, K, L, M, N – логические переменные?

В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений J, K, L, M и N, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа нужно указать количество таких наборов.

Решение.

Используем формулы A → B = ¬A ∨ B и ¬(А ∨ В) = ¬А ∧ ¬В

Рассмотрим первую подформулу:

(J → K) → (M ∧ N ∧ L) = ¬(¬J ∨ K) ∨ (M ∧ N ∧ L) = (J ∧ ¬K) ∨ (M ∧ N ∧ L)

Рассмотрим вторую подформулу

(J ∧ ¬K) → ¬(M ∧ N ∧ L) = ¬(J ∧ ¬K) ∨ ¬(M ∧ N ∧ L) = (¬J ∨ K) ∨ ¬M ∨ ¬N ∨ ¬L

Рассмотрим третью подформулу

1) M → J = 1 следовательно,

(J ∧ ¬K) ∨ (M ∧ N ∧ L) = (1 ∧ ¬K) ∨ (1 ∧ N ∧ L) = ¬K ∨ N ∧ L;

(0 ∨ K) ∨ 0 ∨ ¬N ∨ ¬L = K ∨ ¬N ∨ ¬L;

Объединим:

¬K ∨ N ∧ L ∧ K ∨ ¬N ∨ ¬L = 0 ∨ L ∨ 0 ∨ ¬L = L ∨ ¬L = 1 следовательно, 4 решения.

(J ∧ ¬K) ∨ (M ∧ N ∧ L) = (1 ∧ ¬K) ∨ (0 ∧ N ∧ L) = ¬K;

(¬J ∨ K) ∨ ¬M ∨ ¬N ∨ ¬L = (0 ∨ K) ∨ 1 ∨ ¬N ∨ ¬L = K ∨ 1 ∨ ¬N ∨ ¬L

Объединим:

K ∨ 1 ∨ ¬N ∨ ¬L ∧ ¬K = 1 ∨ ¬N ∨ ¬L следовательно, 4 решения.

в) M = 0 J = 0.

(J ∧ ¬K) ∨ (M ∧ N ∧ L) = (0 ∧ ¬K) ∨ (0 ∧ N ∧ L) = 0.

(¬J ∨ K) ∨ ¬M ∨ ¬N ∨ ¬L = (1 ∨ K) ∨ 1 ∨ ¬N ∨ ¬L.

Ответ: 4 + 4 = 8.

Ответ: 8

Сколько различных решений имеет уравнение

((K ∨ L) → (L ∧ M ∧ N)) = 0

где K, L, M, N – логические переменные? В Ответе не нужно перечислять все различные наборы значений K, L, M и N, при которых выполнено данное равенство. В качестве Ответа Вам нужно указать количество таких наборов.

Решение.

перепишем уравнение, используя более простые обозначения операций:

((K + L) → (L · M · N)) = 0

1) из таблицы истинности операции «импликация» (см. первую задачу) следует, что это равенство верно тогда и только тогда, когда одновременно

K + L = 1 и L · M · N = 0

2) из первого уравнения следует, что хотя бы одна из переменных, K или L, равна 1 (или обе вместе); поэтому рассмотрим три случая

3) если K = 1 и L = 0, то второе равенство выполняется при любых М и N; поскольку существует 4 комбинации двух логических переменных (00, 01, 10 и 11), имеем 4 разных решения

4) если K = 1 и L = 1, то второе равенство выполняется при М · N = 0; существует 3 таких комбинации (00, 01 и 10), имеем еще 3 решения

5) если K = 0, то обязательно L = 1 (из первого уравнения); при этом второе равенство выполняется при М · N = 0; существует 3 таких комбинации (00, 01 и 10), имеем еще 3 решения

6) всего получаем 4 + 3 + 3 = 10 решений.

Ответ: 10

Сколько различных решений имеет уравнение

(K ∧ L) ∨ (M ∧ N) = 1

Решение.

Выражение истинно в трех случаях, когда (K ∧ L) и (M ∧ N) равны соответственно 01, 11, 10.

1) "01" K ∧ L = 0; M ∧ N = 1, => M, N равны 1, а K и L любые, кроме как одновременно 1. Следовательно 3 решения.

2) "11" K ∧ L = 1; M ∧ N = 1. => 1 решение.

3) "10" K ∧ L = 1; M ∧ N = 0. => 3 решения.

Ответ: 7.

Ответ: 7

Сколько различных решений имеет уравнение

(X ∧ Y ∨ Z) → (Z ∨ P) = 0

где X, Y, Z, P – логические переменные? В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа вам нужно указать только количество таких наборов.

Решение.

(X ∧ Y ∨ Z) → (Z ∨ P) = 0 =>

¬(X ∧ Y ∨ Z) ∨ (Z ∨ P) = 0;

(¬X ∨ ¬Y ∧ ¬Z) ∨ (Z ∨ P) = 0;

Логическое ИЛИ ложно только в одном случае: когда оба выражения ложны.

Следовательно,

(Z ∨ P) = 0 => Z = 0, P = 0.

¬X ∨ ¬Y ∧ ¬Z = 0 => ¬X ∨ ¬Y ∧ 1 = 0 =>

¬X ∨ ¬Y = 0 => X = 1; Y = 1.

Следовательно, существует только одно решение уравнения.

Ответ: 1

Сколько различных решений имеет уравнение

(K ∨ L) ∧ (M ∨ N) = 1

где K, L, M, N – логические переменные? В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений K, L, M и N, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа вам нужно указать только количество таких наборов.

Решение.

Логическое И истинно только в одном случае: когда все выражения истинны.

K ∨ L = 1, M ∨ N = 1.

Каждое из уравнений дает по 3 решения.

Рассмотрим уравнение А ∧ В = 1 если и А и В принимают истинные значения в трех случаях каждое, то в целом уравнение имеет 9 решений.

Следовательно ответ 9.

Ответ: 9

Сколько различных решений имеет уравнение

((A → B)∧ C) ∨ (D ∧ ¬D)= 1,

где A, B, C, D – логические переменные?

В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений A, B, C, D, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа вам нужно указать количество таких наборов.

Решение.

Логическое "ИЛИ" истинно, когда истинно хотя бы одно из утверждений.

(D ∧ ¬D)= 0 при любых D.

Следовательно,

(A → B)∧ C) = 1 => C = 1; A → B = 1 => ¬ A ∨ B = 1, что дает нам 3 варианта решений при каждом D.

(D ∧ ¬ D)= 0 при любых D, что дает нам два варианта решений (при D = 1, D = 0).

Следовательно: всего решений 2*3 = 6.

Итого 6 решений.

Ответ: 6

Сколько различных решений имеет уравнение

(¬K ∨ ¬L ∨ ¬M) ∧ (L ∨ ¬M ∨ ¬N) = 0

Решение.

Применим отрицание к обеим частям уравнения:

(K ∧ L ∧ M) ∨ (¬L ∧ M ∧ N) = 1

Логическое ИЛИ истинно в трех случаях.

Вариант 1.

K ∧ L ∧ M = 1, тогда K, L, M = 1, а ¬L ∧ M ∧ N = 0. N любое, то есть 2 решения.

Вариант 2.

¬L ∧ M ∧ N = 1, тогда N, M = 1; L = 0, K любое, то есть 2 решения.

Следовательно, ответ 4.

Ответ: 4

A, B и С — целые числа, для которых истинно высказывание

¬ (А = B) ∧ ((A > B)→(B > C)) ∧ ((B > A)→(С > B)).

Чему равно В, если A = 45 и C = 43?

Решение.

Обратим внимание, что это сложное высказывание состоит из трех простых

1) ¬(А = B); (A > B)→(B > C); (B > A)→(С > B);

2) эти простые высказывания связаны операцией ∧ (И, конъюнкция), то есть, они должны выполняться одновременно;

3) из ¬(А = B)=1 сразу следует, что А B;

4) предположим, что A > B, тогда из второго условия получаем 1→(B > C)=1; это выражение может быть истинно тогда и только тогда, когда B > C = 1;

5) поэтому имеем A > B > C, этому условию соответствует только число 44;

6) на всякий случай проверим и вариант A 0 →(B > C)=1;

это выражение истинно при любом B; теперь смотрим третье условие получаем

это выражение может быть истинно тогда и только тогда, когда C > B, и тут мы получили противоречие, потому что нет такого числа B, для которого C > B > A.

Ответ: 44.

Ответ: 44

Составьте таблицу истинности для логической функции

X = (А ↔ B) ∨ ¬(A → (B ∨ C))

в которой столбец значений аргумента А представляет собой двоичную запись числа 27, столбец значений аргумента В — числа 77, столбец значений аргумента С — числа 120. Число в столбце записывается сверху вниз от старшего разряда к младшему(включая нулевой набор). Переведите полученную двоичную запись значений функции X в десятичную систему счисления.

Решение.

Запишем уравнение, используя более простые обозначения операций:

1) это выражение с тремя переменными, поэтому в таблице истинности будет строчек; следовательно, двоичная запись чисел, по которым строятся столбцы таблицы А, В и С, должна состоять из 8 цифр

2) переведем числа 27, 77 и 120 в двоичную систему, сразу дополняя запись до 8 знаков нулями в начале чисел

3) вряд ли вы сможете сразу написать значения функции Х для каждой комбинации, поэтому удобно добавить в таблицу дополнительные столбцы для расчета промежуточных результатов (см. таблицу ниже)

X 0

А	В	С
0	0
0	1	1
0	0	1
1	0	1
1	1	1
0	1	0
1	0	0
1	1	0

4) заполняем столбцы таблицы:

А	В	С					X
0	0	0	1	0	1	0	1
0	1	1	0	1	1	0	0
0	0	1	1	1	1	0	1
1	0	1	0	1	1	0	0
1	1	1	1	1	1	0	1
0	1	0	0	1	1	0	0
1	0	0	0	0	0	1	1
1	1	0	1	1	1	0	1

значение равно 1 только в тех строчках, где А = В

значение равно 1 в тех строчках, где либо В либо С = 1

значение равно 0 только в тех строчках, где А = 1 и В + С = 0

значение — это инверсия предыдущего столбца (0 заменяется на 1, а 1 – на 0)

результат Х (последний столбец) — это логическая сумма двух столбцов и

5) чтобы получить ответ, выписываем биты из столбца Х сверху вниз:

6) переводим это число в десятичную систему:

Ответ: 171

Каково наибольшее целое число X, при котором истинно высказывание (10 (X+1)·(X+2))?

Решение.

Уравнение является операцией импликации между двумя отношениями:

1) Конечно, здесь можно применить тот же способ, что и в примере 2208, однако при этом понадобится решать квадратные уравнения (не хочется…);

2) Заметим, что по условию нас интересуют только целые числа, поэтому можно попытаться как─то преобразовать исходное выражение, получив равносильное высказывание (точные значения корней нас совершенно не интересуют!);

3) Рассмотрим неравенство : очевидно, что может быть как положительным, так и отрицательным числом;

4) Легко проверить, что в области высказывание истинно при всех целых , а в области — при всех целых (чтобы не запутаться, удобнее использовать нестрогие неравенства, и , вместо и );

5) Поэтому для целых можно заменить на равносильное выражение

6) область истинности выражения — объединение двух бесконечных интервалов;

7) Теперь рассмотрим второе неравенство : очевидно, что так же может быть как положительным, так и отрицательным числом;

8) В области высказывание истинно при всех целых , а в области — при всех целых , поэтому для целых можно заменить на равносильное выражение

9) область истинности выражения — закрытый интервал;

10) Заданное выражение истинно везде, кроме областей, где и ;

11) Обратите внимание, что значение уже не подходит, потому что там и , то есть импликация дает 0;

12) При подставлении 2, (10 (2+1) · (2+2)), или 0 → 0 что удовлетворяет условию.

Таким образом, ответ 2.

Ответ: 2

Каково наибольшее целое число X, при котором истинно высказывание

(50 (X+1)·(X+1))?

Решение.

Применим преобразование импликации и преобразуем выражение:

(50 (X+1)·(X+1)) ⇔ ¬(X 2 > 50) ∨ ((X+1) 2) ∨ (|X+1|).

Логическое ИЛИ истинно когда истинно хотя бы одно логическое высказывание. Решив оба неравенства и учитывая, что видим, что наибольшее целое число, при котором выполняется хотя бы одно из них - 7 (на рисунке жёлтым изображено положительное решение второго неравенства, синим - первого).

Ответ: 7

Укажите значения переменных К, L, M, N, при которых логическое выражение

(¬(М ∨ L) ∧ К) → (¬К ∧ ¬М ∨ N)

ложно. Ответ запишите в виде строки из 4 символов: значений переменных К, L, М и N (в указанном порядке). Так, например, строка 1101 соответствует тому, что К=1, L=1, M=0, N=1.

Решение.

Дублирует задание 3584.

Ответ: 1000

(¬K ∨ M) → (¬L ∨ M ∨ N)

Решение.

Применим преобразование импликации:

(K ∧ ¬M) ∨ (¬L ∨ M ∨ N) = 0

Применим отрицание к обоим частям уравнения:

(¬K ∨ M) ∧ L ∧ ¬M ∧ ¬N = 1

Преобразуем:

(¬K ∧ L ∨ M ∧ L) ∧ ¬M ∧ ¬N = 1

Следовательно, M = 0, N = 0, рассмотрим теперь (¬K ∧ L ∨ M ∧ L):

из того, что M = 0, N = 0 следует, что M ∧ L = 0, тогда ¬K ∧ L = 1, то есть K = 0, L = 1.

Ответ: 0100

Укажите значения переменных K, L, M, N, при которых логическое выражение

(¬(M ∨ L) ∧ K) → ((¬K ∧ ¬M) ∨ N)

ложно. Ответ запишите в виде строки из четырех символов: значений переменных K, L, M и N (в указанном порядке). Так, например, строка 1101 соответствует тому, что K=1, L=1, M=0, N=1.

Решение.

Запишем уравнение, используя более простые обозначения операций (условие «выражение ложно» означает, что оно равно логическому нулю):

1) из формулировки условия следует, что выражение должно быть ложно только для одного набора переменных

2) из таблицы истинности операции «импликация» следует, что это выражение ложно тогда и только тогда, когда одновременно

3) первое равенство (логическое произведение равно 1) выполняется тогда и только тогда, когда и ; отсюда следует (логическая сумма равна нулю), что может быть только при ; таким образом, три переменных мы уже определили

4) из второго условия, , при и получаем .

Дублирует задание

Ответ: 1000

Укажите значения логических переменных Р, Q, S, Т, при которых логическое выражение

(Р ∨ ¬Q) ∨ (Q → (S ∨ Т)) ложно.

Ответ запишите в виде строки из четырех символов: значений переменных Р, Q, S, T (в указанном порядке).

Решение.

(1) (Р ∨ ¬Q) = 0

(2) (Q → (S ∨ Т)) = 0

(1) (Р ∨ ¬Q) = 0 => P = 0, Q = 1.

(2) (Q → (S ∨ Т)) = 0 Применим преобразование импликации:

¬Q ∨ S ∨ Т = 0 => S = 0, T = 0.

Ответ: 0100

Укажите значения переменных K, L, M, N, при которых логическое выражение

(K → M) ∨ (L ∧ K) ∨ ¬N

Решение.

Логическое "ИЛИ" ложно тогда и только тогда, когда ложны оба утверждения.

(K → M) = 0, (L ∧ K) ∨ ¬N = 0.

Применим преобразование импликации для первого выражения:

¬K ∨ M = 0 => K = 1, M = 0.

Рассмотрим второе выражение:

(L ∧ K) ∨ ¬N = 0 (см. результат первого выражения) => L ∨ ¬N = 0 => L = 0, N = 1.

Ответ: 1001.

Ответ: 1001

Укажите значения переменных K, L, M, N, при которых логическое выражение

(K → M) ∧ (K → ¬M) ∧ (¬K → (M ∧ ¬L ∧ N))

истинно. Ответ запишите в виде строки из четырех символов: значений переменных K, L, M и N (в указанном порядке). Так, например, строка 1101 соответствует тому, что K=1, L=1, M=0, N=1.

Решение.

Логическое "И" истинно тогда и только тогда, когда истинны оба утверждения.

1) (K → M) = 1 Применим преобразование импликации: ¬K ∨ M = 1

2) (K → ¬M) = 1 Применим преобразование импликации: ¬K ∨ ¬M = 1

Отсюда следует, что K = 0.

3) (¬K → (M ∧ ¬L ∧ N)) = 1 Применим преобразование импликации: K ∨ (M ∧ ¬L ∧ N) = 1 из того что K = 0 получаем.

Назначение сервиса . Онлайн-калькулятор предназначен для построения таблицы истинности для логического выражения .
Таблица истинности – таблица содержащая все возможные комбинации входных переменных и соответствующее им значения на выходе.
Таблица истинности содержит 2 n строк, где n – число входных переменных, и n+m – столбцы, где m – выходные переменные.

Инструкция . При вводе с клавиатуры используйте следующие обозначения:

Например, логическое выражение abc+ab~c+a~bc необходимо ввести так: a*b*c+a*b=c+a=b*c
Для ввода данных в виде логической схемы используйте этот сервис .

Правила ввода логической функции

Вместо символа v (дизъюнкция, ИЛИ) используйте знак + .
Перед логической функцией не надо указывать обозначение функции. Например, вместо F(x,y)=(x|y)=(x^y) необходимо ввести просто (x|y)=(x^y) .
Максимальное количество переменных равно 10 .

Проектирование и анализ логических схем ЭВМ ведётся с помощью специального раздела математики - алгебры логики. В алгебре логики можно выделить три основные логические функции: "НЕ" (отрицание), "И" (конъюнкция), "ИЛИ" (дизъюнкция).
Для создания любого логического устройства необходимо определить зависимость каждой из выходных переменных от действующих входных переменных такая зависимость называется переключательной функцией или функцией алгебры логики.
Функция алгебры логики называется полностью определённой если заданы все 2 n её значения, где n – число выходных переменных.
Если определены не все значения, функция называется частично определённой.
Устройство называется логическим, если его состояние описывается с помощью функции алгебры логики.
Для представления функции алгебры логики используется следующие способы:
По алгебраической форме можно построить схему логического устройства, используя логические элементы.

Рисунок1- Схема логического устройства

Все операции алгебры логики определяются таблицами истинности значений. Таблица истинности определяет результат выполнения операции для всех возможны х логических значений исходных высказываний. Количество вариантов, отражающих результат применения операций, будет зависеть от количества высказываний в логическом выражении. Если число высказываний в логическом выражении N, то таблица истинности будет содержать 2 N строк, так как существует 2 N различных комбинаций возможных значений аргументов.

Операция НЕ - логическое отрицание (инверсия)

Логическая операция НЕ применяется к одному аргументу, в качестве которого может быть и простое, и сложное логическое выражение. Результатом операции НЕ является следующее:

если исходное выражение истинно, то результат его отрицания будет ложным;
если исходное выражение ложно, то результат его отрицания будет истинным.

Для операции отрицания НЕ приняты следующие условные обозначения:
не А, Ā, not A, ¬А, !A
Результат операции отрицания НЕ определяется следующей таблицей истинности:

A	не А
0	1
1	0

Результат операции отрицания истинен, когда исходное высказывание ложно, и наоборот.

Операция ИЛИ - логическое сложение (дизъюнкция, объединение)

Логическая операция ИЛИ выполняет функцию объединения двух высказываний, в качестве которых может быть и простое, и сложное логическое выражение. Высказывания, являющиеся исходными для логической операции, называют аргументами. Результатом операции ИЛИ является выражение, которое будет истинным тогда и только тогда, когда истинно будет хотя бы одно из исходных выражений.
Применяемые обозначения: А или В, А V В, A or B, A||B.
Результат операции ИЛИ определяется следующей таблицей истинности:
Результат операции ИЛИ истинен, когда истинно А, либо истинно В, либо истинно и А и В одновременно, и ложен тогда, когда аргументы А и В - ложны.

Операция И - логическое умножение (конъюнкция)

Логическая операция И выполняет функцию пересечения двух высказываний (аргументов), в качестве которых может быть и простое, и сложное логическое выражение. Результатом операции И является выражение, которое будет истинным тогда и только тогда, когда истинны оба исходных выражения.
Применяемые обозначения: А и В, А Λ В, A & B, A and B.
Результат операции И определяется следующей таблицей истинности:

A	B	А и B
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Результат операции И истинен тогда и только тогда, когда истинны одновременно высказывания А и В, и ложен во всех остальных случаях.

Операция «ЕСЛИ-ТО» - логическое следование (импликация)

Эта операция связывает два простых логических выражения, из которых первое является условием, а второе - следствием из этого условия.
Применяемые обозначения:
если А, то В; А влечет В; if A then В; А→ В.
Таблица истинности:

A	B	А → B
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

Результат операции следования (импликации) ложен только тогда, когда предпосылка А истинна, а заключение В (следствие) ложно.

Операция «А тогда и только тогда, когда В» (эквивалентность, равнозначность)

Применяемое обозначение: А ↔ В, А ~ В.
Таблица истинности:

A	B	А↔B
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Операция «Сложение по модулю 2» (XOR, исключающее или, строгая дизъюнкция)

Применяемое обозначение: А XOR В, А ⊕ В.
Таблица истинности:

A	B	А⊕B
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

Результат операции эквивалентность истинен только тогда, когда А и В одновременно истинны или одновременно ложны.

Приоритет логических операций

Действия в скобках
Инверсия
Конъюнкция (&)
Дизъюнкция (V), Исключающее ИЛИ (XOR), сумма по модулю 2
Импликация (→)
Эквивалентность (↔)

Совершенная дизъюнктивная нормальная форма

Совершенная дизъюнктивная нормальная форма формулы (СДНФ) это равносильная ей формула, представляющая собой дизъюнкцию элементарных конъюнкций, обладающая свойствами:

Каждое логическое слагаемое формулы содержит все переменные, входящие в функцию F(x 1 ,x 2 ,...x n).
Все логические слагаемые формулы различны.
Ни одно логическое слагаемое не содержит переменную и её отрицание.
Ни одно логическое слагаемое формулы не содержит одну и ту же переменную дважды.

СДНФ можно получить или с помощью таблиц истинности или с помощью равносильных преобразований.
Для каждой функции СДНФ и СКНФ определены единственным образом с точностью до перестановки.

Совершенная конъюнктивная нормальная форма

Совершенная конъюнктивная нормальная форма формулы (СКНФ) это равносильная ей формула, представляющая собой конъюнкцию элементарных дизъюнкций, удовлетворяющая свойствам:

Все элементарные дизъюнкции содержат все переменные, входящие в функцию F(x 1 ,x 2 ,...x n).
Все элементарные дизъюнкции различны.
Каждая элементарная дизъюнкция содержит переменную один раз.
Ни одна элементарная дизъюнкция не содержит переменную и её отрицание.

Как решать некоторые задачи разделов A и B экзамена по информатике

Урок №3. Логика. Логические функции. Решение уравнений

Большое количество задач ЕГЭ посвящено логике высказываний. Для решения большинства из них достаточно знания основных законов логики высказываний, знания таблиц истинности логических функций одной и двух переменных. Приведу основные законы логики высказываний.

Коммутативность дизъюнкции и конъюнкции:
a ˅ b ≡ b ˅ a
a ^ b ≡ b ^ a
Дистрибутивный закон относительно дизъюнкции и конъюнкции:
a ˅ (b^с) ≡ (a ˅ b) ^(a ˅ с)
a ^ (b ˅ с) ≡ (a ^ b) ˅ (a ^ с)
Отрицание отрицания:
¬(¬а) ≡ а
Непротиворечивость:
a ^ ¬а ≡ false
Исключающее третье:
a ˅ ¬а ≡ true
Законы де-Моргана:
¬(а ˅ b) ≡ ¬а ˄ ¬b
¬(а ˄ b) ≡ ¬а ˅ ¬b
Упрощение:
a ˄ a ≡ a
a ˅ a ≡ a
a ˄ true ≡ a
a ˄ false ≡ false
Поглощение:
a ˄ (a ˅ b) ≡ a
a ˅ (a ˄ b) ≡ a
Замена импликации
a → b ≡ ¬a ˅ b
Замена тождества
a ≡ b ≡(a ˄ b) ˅ (¬a ˄ ¬b)

Представление логических функций

Любую логическую функцию от n переменных – F(x 1 , x 2 , … x n) можно задать таблицей истинности. Такая таблица содержит 2 n наборов переменных, для каждого из которых задается значение функции на этом наборе. Такой способ хорош, когда число переменных относительно невелико. Уже при n > 5 представление становится плохо обозримым.

Другой способ состоит в том, чтобы задавать функцию некоторой формулой, используя известные достаточно простые функции. Система функций {f 1 , f 2 , … f k } называется полной, если любую логическую функцию можно выразить формулой, содержащей только функции f i .

Полной является система функций {¬, ˄, ˅}. Законы 9 и 10 являются примерами, демонстрирующими, как импликация и тождество выражается через отрицание, конъюнкцию и дизъюнкцию.

Фактически полной является и система из двух функций – отрицания и конъюнкции или отрицания и дизъюнкции. Из законов де-Моргана следуют представления, позволяющие выразить конъюнкцию через отрицание и дизъюнкцию и соответственно выразить дизъюнкцию через отрицание и конъюнкцию:

(а ˅ b) ≡ ¬(¬а ˄ ¬b)
(а ˄ b) ≡ ¬(¬а ˅ ¬b)

Парадоксально, но полной является система, состоящая всего из одной функции. Существуют две бинарные функции – антиконънкция и антидизъюнкция, называемые стрелкой Пирса и штрих Шеффера, представляющие полую систему.

В состав базовых функций языков программирования включают обычно тождество, отрицание, конъюнкцию и дизъюнкцию. В задачах ЕГЭ наряду с этими функциями часто встречается импликация.

Рассмотрим несколько простых задач, связанных с логическими функциями.

Задача 15:

Дан фрагмент таблицы истинности. Какая из трех приведенных функций соответствует этому фрагменту?

X 1	X 2	X 3	X 4	F
1	1	0	0	1
0	1	1	1	1
1	0	0	1	0

(X 1 → X 2) ˄ ¬ X 3 ˅ X 4
(¬ X 1 ˄ X 2) ˅ (¬X 3 ˄ X 4)
¬ X 1 ˅ X 2 ˅ (X 3 ˄ X 4)

Функция под номером 3.

Для решения задачи нужно знать таблицы истинности базовых функций и помнить о приоритетах операций. Напомню, что конъюнкция (логическое умножение) имеет более высокий приоритет и выполняется раньше, чем дизъюнкция (логическое сложение). При вычислениях нетрудно заметить, что функции с номерами 1 и 2 на третьем наборе имеют значение 1 и уже по этой причине фрагменту не соответствуют.

Задача 16:

Какое из приведенных чисел удовлетворяет условию:

(цифры, начиная со старшего разряда, идут в порядке убывания) → (число — четное) ˄ (младшая цифра – четная) ˄ (старшая цифра – нечетная)

Если таких чисел несколько, укажите наибольшее.

13579
97531
24678
15386

Условию удовлетворяет число под номером 4.

Первые два числа условию не удовлетворяют уже по той причине, что младшая цифра является нечетной. Конъюнкция условий ложна, если один из членов конъюнкции ложен. Для третьего числа не выполняется условие для старшей цифры. Для четвертого числа выполняются условия, накладываемые на младшую и старшую цифры числа. Первый член конъюнкции также истинен, поскольку импликация истинна, если ее посылка ложна, что имеет место в данном случае.

Задача 17: Два свидетеля дали следующие показания:

Первый свидетель: Если А виновен, то В и подавно виновен, а С – невиновен.

Второй свидетель: Виновны двое. А точно виновен и виновен один из оставшихся, но кто именно сказать не могу.

Какие заключения о виновности А, В и С можно сделать на основании свидетельских показаний?

Ответ: Из свидетельских показаний следует, что А и В виновны, а С – невиновен.

Решение: Конечно, ответ можно дать, основываясь на здравом смысле. Но давайте рассмотрим, как это можно сделать строго и формально.

Первое, что нужно сделать – это формализовать высказывания. Введем три логические переменные — А, В и С, каждая из которых имеет значение true (1), если соответствующий подозреваемый виновен. Тогда показания первого свидетеля задаются формулой:

A → (B ˄ ¬C)

Показания второго свидетеля задаются формулой:

A ˄ ((B ˄ ¬C) ˅ (¬B ˄ C))

Показания обоих свидетелей полагаются истинными и представляют конъюнкцию соответствующих формул.

Построим таблицу истинности для этих показаний:

A	B	C	F 1	F 2	F 1 ˄ F 2
0	0	0	1	0	0
0	0	1	1	0	0
0	1	0	1	0	0
0	1	1	1	0	0
1	0	0	0	0	0
1	0	1	0	1	0
1	1	0	1	1	1
1	1	1	0	0	0

Суммарные свидетельские показания истинны только в одном случае, приводящие к однозначному ответу – А и В виновны, а С – невиновен.

Из анализа этой таблицы также следует, что показания второго свидетеля более информативны. Из истинности его показания следует только два возможных варианта — А и В виновны, а С – невиновен или А и С виновны, а В – невиновен. Показания первого свидетеля менее информативны – существует 5 различных вариантов, соответствующих его показаниям. Совместно показания обоих свидетелей дают однозначный ответ о виновности подозреваемых.

Логические уравнения и системы уравнений

Пусть F(x 1 , x 2 , …x n) – логическая функция от n переменных. Логическое уравнение имеет вид:

F(x 1 , x 2 , …x n) = С,

Константа С имеет значение 1 или 0.

Логическое уравнение может иметь от 0 до 2 n различных решений. Если С равно 1, то решениями являются все те наборы переменных из таблицы истинности, на которых функция F принимает значение истина (1). Оставшиеся наборы являются решениями уравнения при C, равном нулю. Можно всегда рассматривать только уравнения вида:

F(x 1 , x 2 , …x n) = 1

Действительно, пусть задано уравнение:

F(x 1 , x 2 , …x n) = 0

В этом случае можно перейти к эквивалентному уравнению:

¬F(x 1 , x 2 , …x n) = 1

Рассмотрим систему из k логических уравнений:

F 1 (x 1 , x 2 , …x n) = 1

F 2 (x 1 , x 2 , …x n) = 1

F k (x 1 , x 2 , …x n) = 1

Решением системы является набор переменных, на котором выполняются все уравнения системы. В терминах логических функций для получения решения системы логических уравнений следует найти набор, на котором истинна логическая функция Ф, представляющая конъюнкцию исходных функций F:

Ф = F 1 ˄ F 2 ˄ … F k

Если число переменных невелико, например, менее 5, то нетрудно построить таблицу истинности для функции Ф, что позволяет сказать, сколько решений имеет система и каковы наборы, дающие решения.

В некоторых задачах ЕГЭ по нахождению решений системы логических уравнений число переменных доходит до значения 10. Тогда построить таблицу истинности становится практически неразрешимой задачей. Для решения задачи требуется другой подход. Для произвольной системы уравнений не существует общего способа, отличного от перебора, позволяющего решать такие задачи.

В предлагаемых на экзамене задачах решение обычно основано на учете специфики системы уравнений. Повторяю, кроме перебора всех вариантов набора переменных, общего способа решения задачи нет. Решение нужно строить исходя из специфики системы. Часто полезно провести предварительное упрощение системы уравнений, используя известные законы логики. Другой полезный прием решения этой задачи состоит в следующем. Нам интересны не все наборы, а только те, на которых функция Ф имеет значение 1. Вместо построения полной таблицы истинности будем строить ее аналог — бинарное дерево решений. Каждая ветвь этого дерева соответствует одному решению и задает набор, на котором функция Ф имеет значение 1. Число ветвей в дереве решений совпадает с числом решений системы уравнений.

Что такое бинарное дерево решений и как оно строится, поясню на примерах нескольких задач.

Задача 18

Сколько существует различных наборов значений логических переменных x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5, которые удовлетворяют системе из двух уравнений?

Ответ: Система имеет 36 различных решений.

Решение: Система уравнений включает два уравнения. Найдем число решений для первого уравнения, зависящего от 5 переменных – x 1 , x 2 , …x 5 . Первое уравнение можно в свою очередь рассматривать как систему из 5 уравнений. Как было показано, система уравнений фактически представляет конъюнкцию логических функций. Справедливо и обратное утверждение, — конъюнкцию условий можно рассматривать как систему уравнений.

Построим дерево решений для импликации (x1→ x2) — первого члена конъюнкции, который можно рассматривать как первое уравнение. Вот как выглядит графическое изображение этого дерева:

Дерево состоит из двух уровней по числу переменных уравнения. Первый уровень описывает первую переменную X 1 . Две ветви этого уровня отражают возможные значения этой переменной – 1 и 0. На втором уровне ветви дерева отражают только те возможные значения переменной X 2 , для которых уравнение принимает значение истина. Поскольку уравнение задает импликацию, то ветвь, на которой X 1 имеет значение 1, требует, чтобы на этой ветви X 2 имело значение 1. Ветвь, на которой X 1 имеет значение 0, порождает две ветви со значениями X 2 , равными 0 и 1. Построенное дерево задает три решения, на которых импликация X 1 → X 2 принимает значение 1. На каждой ветви выписан соответствующий набор значений переменных, дающий решение уравнения.

Вот эти наборы: {(1, 1), (0, 1), (0, 0)}

Продолжим построение дерева решений, добавляя следующее уравнение, следующую импликацию X 2 → X 3 . Специфика нашей системы уравнений в том, что каждое новое уравнение системы использует одну переменную из предыдущего уравнения, добавляя одну новую переменную. Поскольку переменная X 2 уже имеет значения на дереве, то на всех ветвях, где переменная X 2 имеет значение 1, переменная X 3 также будет иметь значение 1. Для таких ветвей построение дерева продолжается на следующий уровень, но новые ветви не появляются. Единственная ветвь, где переменная X 2 имеет значение 0, даст разветвление на две ветви, где переменная X 3 получит значения 0 и 1. Таким образом, каждое добавление нового уравнения, учитывая его специфику, добавляет одно решение. Исходное первое уравнение:

(x1→x2) /\ (x2→x3) /\ (x3→x4) /\ (x4→x5) = 1
имеет 6 решений. Вот как выглядит полное дерево решений для этого уравнения:

Второе уравнение нашей системы аналогично первому:

(y1→y2) /\ (y2→y3) /\ (y3→y4) /\ (y4→y5) = 1

Разница лишь в том, что в уравнении используются переменные Y. Это уравнение также имеет 6 решений. Поскольку каждое решение для переменных X i может быть скомбинировано с каждым решением для переменных Y j , то общее число решений равно 36.

Заметьте, построенное дерево решений дает не только число решений (по числу ветвей), но и сами решения, выписанные на каждой ветви дерева.

Задача 19

Сколько существует различных наборов значений логических переменных x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?

(x1→x2) /\ (x2→x3) /\ (x3→x4) /\ (x4→x5) = 1
(y1→y2) /\ (y2→y3) /\ (y3→y4) /\ (y4→y5) = 1
(x1→y1) = 1

Эта задача является модификацией предыдущей задачи. Разница в том, что добавляется еще одно уравнение, связывающее переменные X и Y.

Из уравнения X 1 → Y 1 следует, что когда X 1 имеет значение 1(одно такое решение существует), то и Y 1 имеет значение 1. Таким образом, существует один набор, на котором X 1 и Y 1 имеют значения 1. При X 1 , равном 0, Y 1 может иметь любое значение, как 0, так и 1. Поэтому каждому набору с X 1 , равном 0, а таких наборов 5, соответствует все 6 наборов с переменными Y. Следовательно, общее число решений равно 31.

Задача 20

(¬X 1 ˅ X 2) ˄ (¬X 2 ˅ X 3) ˄ (¬X 3 ˅ X 4) ˄ (¬X 4 ˅ X 5) ˄ (¬X 5 ˅ X 1) = 1

Решение: Вспоминания основные эквивалентности, запишем наше уравнение в виде:

(X 1 → X 2) ˄ (X 2 → X 3) ˄ (X 3 → X 4) ˄ (X 4 → X 5) ˄ (X 5 → X 1) = 1

Циклическая цепочка импликаций означает тождественность переменных, так что наше уравнение эквивалентно уравнению:

X 1 ≡ X 2 ≡ X 3 ≡ X 4 ≡ X 5 = 1

Это уравнение имеет два решения, когда все X i равны либо 1, либо 0.

Задача 21

(X 1 → X 2) ˄ (X 2 → X 3) ˄ (X 3 → X 4) ˄ (X 4 → X 2) ˄ (X 4 → X 5) = 1

Решение: Так же, как и в задаче 20, от циклических импликаций перейдем к тождествам, переписав уравнение в виде:

(X 1 → X 2) ˄ (X 2 ≡ X 3 ≡ X 4) ˄ (X 4 → X 5) = 1

Построим дерево решений для этого уравнения:

Задача 22

Сколько решений имеет следующая система уравнений?

((X 1 ≡ X 2) ˄ (X 3 ≡ X 4)) ˅(¬(X 1 ≡ X 2) ˄ ¬(X 3 ≡ X 4)) = 0

((X 3 ≡ X 4) ˄ (X 5 ≡ X 6)) ˅(¬(X 3 ≡ X 4) ˄ ¬(X 5 ≡ X 6)) = 0

((X 5 ≡ X 6) ˄ (X 7 ≡ X 8)) ˅(¬(X 5 ≡ X 6) ˄ ¬(X 7 ≡ X 8)) = 0

((X 7 ≡ X 8) ˄ (X 9 ≡ X 10)) ˅(¬(X 7 ≡ X 8) ˄ ¬(X 9 ≡ X 10)) = 0

Ответ: 64

Решение: Перейдем от 10 переменных к 5 переменным, введя следующую замену переменных:

Y 1 = (X 1 ≡ X 2); Y 2 = (X 3 ≡ X 4); Y 3 = (X 5 ≡ X 6); Y 4 = (X 7 ≡ X 8); Y 5 = (X 9 ≡ X 10);

Тогда первое уравнение примет вид:

(Y 1 ˄ Y 2) ˅ (¬Y 1 ˄ ¬Y 2) = 0

Уравнение можно упростить, записав его в виде:

(Y 1 ≡ Y 2) = 0

Переходя к традиционной форме, запишем систему после упрощений в виде:

¬(Y 1 ≡ Y 2) = 1

¬(Y 2 ≡ Y 3) = 1

¬(Y 3 ≡ Y 4) = 1

¬(Y 4 ≡ Y 5) = 1

Дерево решений для этой системы простое и состоит из двух ветвей с чередующимися значениями переменных:

Возвращаясь к исходным переменным X, заметим, что каждому значению переменной Y соответствует 2 значения переменных X, поэтому каждое решение в переменных Yпорождает 2 5 решений в переменных X. Две ветви порождают 2 * 2 5 решений, так что общее число решений равно 64.

Как видите, каждая задача на решение системы уравнений требует своего подхода. Общим приемом является выполнение эквивалентных преобразований для упрощения уравнений. Общим приемом является и построение деревьев решений. Применяемый подход частично напоминает построение таблицы истинности с той особенностью, что строятся не все наборы возможных значений переменных, а лишь те, на которых функция принимает значение 1 (истина). Часто в предлагаемых задачах нет необходимости в построении полного дерева решений, поскольку уже на начальном этапе удается установить закономерность появления новых ветвей на каждом следующем уровне, как это сделано, например, в задаче 18.

В целом задачи на нахождение решений системы логических уравнений являются хорошими математическими упражнениями.

Если задачу трудно решить вручную, то можно поручить решение задачи компьютеру, написав соответствующую программу решения уравнений и систем уравнений.

Написать такую программу несложно. Такая программа легко справится со всеми задачами, предлагаемыми в ЕГЭ.

Как это ни странно, но задача нахождения решений систем логических уравнений является сложной и для компьютера, оказывается и у компьютера есть свои пределы. Компьютер может достаточно просто справиться с задачами, где число переменных 20 -30, но начнет надолго задумываться на задачах большего размера. Дело в том, что функция 2 n , задающая число наборов, является экспонентой, быстро растущей с увеличением n. Настолько быстро, что обычный персональный компьютер за сутки не справится с задачей, у которой 40 переменных.

Программа на языке C# для решения логических уравнений

Написать программу для решения логических уравнений полезно по многим причинам, хотя бы потому, что с ее помощью можно проверять правильность собственного решения тестовых задач ЕГЭ. Другая причина в том, что такая программа является прекрасным примером задачи на программирование, соответствующей требованиям, предъявляемым к задачам категории С в ЕГЭ.

Идея построения программы проста, — она основана на полном переборе всех возможных наборов значений переменных. Поскольку для заданного логического уравнения или системы уравнений число переменных n известно, то известно и число наборов – 2 n , которые требуется перебрать. Используя базовые функции языка C# — отрицание, дизъюнкцию, конъюнкцию и тождество, нетрудно написать программу, которая для заданного набора переменных вычисляет значение логической функции, соответствующей логическому уравнению или системе уравнений.

В такой программе нужно построить цикл по числу наборов, в теле цикла по номеру набора сформировать сам набор, вычислить значение функции на этом наборе, и если это значение равно 1, то набор дает решение уравнения.

Единственная сложность, возникающая при реализации программы, связана с задачей формирования по номеру набора самого набора значений переменных. Красота этой задачи в том, что эта, казалось бы, трудная задача, фактически сводится к простой, уже неоднократно возникавшей задаче. Действительно, достаточно понять, что соответствующий числу i набор значений переменных, состоящий из нулей и единиц, представляет двоичную запись числа i. Так что сложная задача получения набора значений переменных по номеру набора сводится к хорошо знакомой задаче перевода числа в двоичную систему.

Вот как выглядит функция на языке C#, решающая нашу задачу:

///

/// программа подсчета числа решений

/// логического уравнения (системы уравнений)

///

/// логическая функция — метод,

/// сигнатура которого задается делегатом DF

///

/// число переменных

/// число решений

static int SolveEquations(DF fun, int n)

bool set = new bool[n];

int m = (int)Math.Pow(2, n); //число наборов

int p = 0, q = 0, k = 0;

//Полный перебор по числу наборов

for (int i = 0; i < m; i++)

//Формирование очередного набора — set,

//заданного двоичным представлением числа i

for (int j = 0; j < n; j++)

k = (int)Math.Pow(2, j);

//Вычисление значения функции на наборе set

Для понимания программы, надеюсь, достаточно сделанных объяснений идеи программы и комментариев в ее тексте. Остановлюсь лишь на пояснении заголовка приведенной функции. У функции SolveEquations два входных параметра. Параметр fun задает логическую функцию, соответствующую решаемому уравнению или системе уравнений. Параметр n задает число переменных функции fun. В качестве результата функция SolveEquations возвращает число решений логической функции, то есть число тех наборов, на которых функция принимает значение true.

Для школьников привычно, когда у некоторой функции F(x) входным параметром x является переменная арифметического, строкового или логического типа. В нашем случае используется более мощная конструкция. Функция SolveEquations относится к функциям высшего порядка – функциям типа F(f), у которых параметрами могут быть не только простые переменные, но и функции.

Класс функций, которые могут передаваться в качестве параметра функции SolveEquations, задается следующим образом:

delegate bool DF(bool vars);

Этому классу принадлежат все функции, которым в качестве параметра передается набор значений логических переменных, заданных массивом vars. В качестве результата возвращается значение булевского типа, представляющее значение функции на этом наборе.

В заключение приведу программу, в которой функция SolveEquations используется для решения нескольких систем логических уравнений. Функция SolveEquations является частью приводимого ниже класса ProgramCommon:

class ProgramCommon

delegate bool DF(bool vars);

static void Main(string args)

Console.WriteLine(«У Функции And решений — » +

SolveEquations(FunAnd, 2));

Console.WriteLine(«У Функции 51 решений — » +

SolveEquations(Fun51, 5));

Console.WriteLine(«У Функции 53 решений — » +

SolveEquations(Fun53, 10));

static bool FunAnd(bool vars)

return vars && vars;

static bool Fun51(bool vars)

f = f && (!vars || vars);

static bool Fun53(bool vars)

f = f && ((vars == vars) || (vars == vars));

f = f && (!((vars == vars) || (vars == vars)));

Вот как выглядят результаты решения по этой программе:

10 задач для самостоятельной работы

Какие из трех функций эквивалентны:
1. (X → Y) ˅ ¬Y
2. ¬(X ˅ ¬Y) ˄ (X → ¬Y)
3. ¬X ˄ Y
Дан фрагмент таблицы истинности:

X 1	X 2	X 3	X 4	F
1	0	0	1	1
0	1	1	1	1
1	0	1	0	0

Какой из трех функций соответствует этот фрагмент:

(X 1 ˅ ¬X 2) ˄ (X 3 → X 4)
(X 1 → X 3) ˄ X 2 ˅ X 4
X 1 ˄ X 2 ˅ (X 3 → (X 1 ˅ X 4))
В состав жюри входят три человека. Решение принимается, если за него голосует председатель жюри, поддержанный хотя бы одним из членов жюри. В противном случае решение не принимается. Постройте логическую функцию, формализующую процесс принятия решения.
X выигрывает у Y, если при четырех бросаниях монеты трижды выпадает «орёл». Задайте логическую функцию, описывающую выигрыш X.
Слова в предложении нумеруются, начиная с единицы. Предложение считается правильно построенным, если выполняются следующие правила:
1. Если четное в нумерации слово заканчивается на гласную, то следующее слово, если оно существует, должно начинаться с гласной.
2. Если нечетное в нумерации слово заканчивается согласной, то следующее слово, если оно существует, должно начинаться с согласной и заканчиваться гласной.
  Какие из следующих предложений правильно построены:
3. Мама мыла Машу мылом.
4. Лидер всегда является образцом.
5. Правда хорошо, а счастье лучше.
Сколько решений имеет уравнение:
(a ˄ ¬ b) ˅ (¬a ˄ b) → (c ˄ d) = 1
Перечислите все решения уравнения:
(a → b) → c = 0
Сколько решений имеет следующая система уравнений:
X 0 → X 1 ˄ X 1 → X 2 = 1
X 2 → X 3 ˄ X 3 → X 4 = 1
X 5 → X 6 ˄ X 6 → X 7 = 1
X 7 → X 8 ˄ X 8 → X 9 = 1
X 0 → X 5 = 1
Сколько решений имеет уравнение:
((((X 0 → X 1) → X 2) → X 3) →X 4) →X 5 = 1

Ответы к задачам:

Эквивалентными являются функции b и c.
Фрагмент соответствует функции b.
Пусть логическая переменная P принимает значение 1, когда председатель жюри голосует «за» принятие решения. Переменные M 1 и M 2 представляют мнение членов жюри. Логическая функция, задающая принятие положительного решения может быть записана так:
P ˄ (M 1 ˅ M 2)
Пусть логическая переменная P i принимает значение 1, когда при i-м бросании монеты выпадает «орёл». Логическая функция, задающая выигрыш X может быть записана так:
¬((¬P 1 ˄ (¬P 2 ˅ ¬P 3 ˅ ¬P 4)) ˅
(¬P 2 ˄ (¬P 3 ˅ ¬P 4)) ˅
(¬P 3 ˄ ¬P 4))
Предложение b.
Уравнение имеет 3 решения: (a = 1; b = 1; c = 0); (a = 0; b = 0; c = 0); (a = 0; b = 1; c = 0)

А	В	С					X
0	0	0	1	0	1	0	1
0	1	1	0	1	1	0	0
0	0	1	1	1	1	0	1
1	0	1	0	1	1	0	0
1	1	1	1	1	1	0	1
0	1	0	0	1	1	0	0
1	0	0	0	0	0	1	1
1	1	0	1	1	1	0	1

А	В	С					X
0	0	0	1	0	1	0	1
0	1	1	0	1	1	0	0
0	0	1	1	1	1	0	1
1	0	1	0	1	1	0	0
1	1	1	1	1	1	0	1
0	1	0	0	1	1	0	0
1	0	0	0	0	0	1	1
1	1	0	1	1	1	0	1

А	В	С					X
0	0	0	1	0	1	0	1
0	1	1	0	1	1	0	0
0	0	1	1	1	1	0	1
1	0	1	0	1	1	0	0
1	1	1	1	1	1	0	1
0	1	0	0	1	1	0	0
1	0	0	0	0	0	1	1
1	1	0	1	1	1	0	1