Kwenye sine ya pembe kati yao. Nadharia za cosines na sines
Eneo la pembetatu ni sawa na nusu ya bidhaa za pande zake na sine ya pembe kati yao.
Uthibitisho:
Fikiria pembetatu ya kiholela ABC. Acha upande BC = a ndani yake, upande wa CA = b na S uwe eneo la pembetatu hii. Inahitajika kuthibitisha hilo S = (1/2)*a*b*dhambi(C).
Kuanza, tunaanzisha mfumo wa kuratibu wa mstatili na kuweka asili kwenye hatua C. Hebu tuweke mfumo wetu wa kuratibu ili hatua B iko kwenye mwelekeo mzuri wa mhimili wa Cx, na uhakika A ungekuwa na uratibu mzuri.
Ikiwa kila kitu kimefanywa kwa usahihi, unapaswa kupata takwimu ifuatayo.
Eneo la pembetatu fulani linaweza kuhesabiwa kwa kutumia fomula ifuatayo: S = (1/2)*a*h, ambapo h ni urefu wa pembetatu. Kwa upande wetu, urefu wa pembetatu h ni sawa na uratibu wa hatua A, ambayo ni, h \u003d b * dhambi (C).
Kwa kuzingatia matokeo yaliyopatikana, fomula ya eneo la pembetatu inaweza kuandikwa tena kama ifuatavyo: S = (1/2)*a*b*sin(C). Q.E.D.
Kutatua tatizo
Kazi ya 1. Tafuta eneo la pembetatu ABC ikiwa a) AB = 6*√8 cm, AC = 4 cm, angle A = digrii 60 b) BC = 3 cm, AB = 18*√2 cm, angle B= 45 digrii c ) AC = 14 cm, CB = 7 cm, angle C = 48 digrii.
Kulingana na nadharia iliyothibitishwa hapo juu, eneo S la pembetatu ABC ni sawa na:
S = (1/2)*AB*AC*dhambi(A).
Wacha tufanye mahesabu:
a) S = ((1/2) *6*√8*4*dhambi(60˚)) = 12*√6 cm^2.
b) S = (1/2)*BC*BA*dhambi(B)=((1/2)* 3*18*√2 *(√2/2)) = 27 cm^2.
c) S = (1/2)*CA*CB*sin(C) = ½*14*7*sin48˚ cm^2.
Tunahesabu thamani ya sine ya pembe kwenye calculator au kutumia maadili kutoka kwa jedwali la maadili ya pembe za trigonometric. Jibu:
a) 12*√6 cm^2.
c) takriban 36.41 cm^2.
Tatizo 2. Eneo la pembetatu ABC ni 60 cm^2. Tafuta upande wa AB ikiwa AC = 15 cm, pembe A = 30˚.
Acha S iwe eneo la pembetatu ABC. Kwa nadharia ya eneo la pembetatu, tunayo:
S = (1/2)*AB*AC*dhambi(A).
Badilisha maadili tuliyo nayo ndani yake:
60 = (1/2)*AB*15*sin30˚ = (1/2)*15*(1/2)*AB=(15/4)*AB.
Kutoka hapa tunaeleza urefu wa upande AB: AB = (60*4)/15 = 16.
upande pembetatu inaweza kugunduliwa sio tu kando ya eneo na eneo, lakini pia kando ya upande na pembe. Kwa hili, kazi za trigonometric hutumiwa - sinus na ushirikiano sinus. Matatizo na maombi yao yanapatikana katika kozi ya shule ya jiometri, na pia katika kozi ya chuo kikuu cha jiometri ya uchambuzi na algebra ya mstari.
Maagizo
1. Ikiwa moja ya pande za pembetatu na pembe kati yake na upande wake mwingine ni maarufu, tumia kazi za trigonometric - sinus om na ushirikiano sinus ohm. Hebu fikiria pembetatu ya kulia ya HBC, ambayo ina pembe? ni sawa na digrii 60. Pembetatu ya HBC imeonyeshwa kwenye takwimu. Kwa sababu ya sinus, kama unavyojua, ni uwiano wa mguu kinyume na hypotenuse, na kwa sinus- uwiano wa mguu wa karibu na hypotenuse, ili kutatua tatizo, tumia uhusiano zaidi kati ya vigezo hivi: dhambi?=HB/BCIvyo hivyo, ikiwa unataka kujua mguu wa pembetatu ya kulia, eleza kupitia hypotenuse katika njia ifuatayo:
2. Ikiwa, kinyume chake, mguu wa pembetatu hutolewa katika hali ya shida, pata hypotenuse yake, ikiongozwa na uhusiano zaidi kati ya maadili yaliyotolewa: BC \u003d HB / dhambi?Kwa mlinganisho, pata pande za pembetatu. na kutumia sinus a, kubadilisha usemi wa awali kwa njia ifuatayo: cos ?=HC/BC
3. Katika hisabati ya msingi kuna uwakilishi wa nadharia sinus ov. Kuongozwa na ukweli kwamba theorem hii inaelezea, inawezekana pia kupata pande za pembetatu. Kwa kuongeza, inakuwezesha kupata pande za pembetatu iliyoandikwa kwenye mduara, ikiwa unajua radius ya mwisho. Ili kufanya hivyo, tumia uhusiano ulio hapa chini: a/sin ?=b/sin b=c/sin y=2R .
4. Zaidi ya nadharia sinus ov, pia kuna nadharia inayofanana nayo kwa asili sinus ov, ambayo, kama ile iliyotangulia, inatumika pia kwa pembetatu za aina zote 3: zenye pembe-kulia, zenye pembe za papo hapo na zenye pembe-butu. Kuongozwa na ukweli unaothibitisha nadharia hii, inawezekana kupata kiasi kisichojulikana kwa kutumia mahusiano yafuatayo kati yao: c^2=a^2+b^2-2ab*cos ?
Mchoro wa kijiometri unaojumuisha pointi tatu ambazo si za mstari huo huo, unaoitwa wima, na sehemu tatu za jozi zinazounganisha, zinazoitwa pande, huitwa pembetatu. Kuna shida nyingi za kupata pande na pembe za pembetatu kwa kupewa idadi ndogo ya data ya awali, moja ya shida hizi ni kupata upande wa pembetatu iliyopewa moja ya pande zake na mbili. pembe .
Maagizo
1. Acha pembetatu ijengwe?ABC na maarufu - BC upande na pembe ?? na ??. Inajulikana kuwa jumla ya pembe za pembetatu yoyote ni 180? itakuwa sawa? = 180? – (?? + ??).Inawezekana kupata pande za AC na AB kwa kutumia theorem ya sine, inayosoma AB/sin?? = BC/dhambi?? = AC/dhambi?? \u003d 2 * R, wapi R ni radius ya pembetatu iliyozungushwa? Mduara wa ABC, kisha tunapata R \u003d BC / dhambi??, AB \u003d 2 * R * dhambi??, AC \u003d 2 * R * dhambi ??. Nadharia ya sine inaweza kutumika kwa pembe 2 na upande wowote.
2. Pande za pembetatu iliyopewa inaweza kupatikana kwa kuhesabu eneo lake kwa kutumia formula S \u003d 2 * R? *dhambi?? *dhambi?? * dhambi??, wapi R inakokotolewa kwa fomula R = BC / dhambi??, R ni radius ya pembetatu iliyozungushwa? ABC kutoka hapaKisha upande AB inaweza kupatikana kwa kuhesabu urefu ulioshuka juu yake h = BC * dhambi ??, kutoka kwa formula S = 1/2 * h * AB tuna AB = 2 * S / h upande AC.
3. Ikiwa pembe za nje za pembetatu zinatolewa kama pembe? na ??, basi inawezekana kuchunguza pembe za ndani kwa msaada wa mahusiano yanayofanana? = 180? -??,?? = 180? -??,?? = 180? – (?? + ??). Kisha tunatenda kama pointi mbili za kwanza.
Uelewa wa pembetatu umefanywa na wanahisabati kwa milenia kadhaa. Sayansi ya pembetatu - trigonometry - hutumia kiasi maalum: sine na cosine.
Pembetatu ya kulia
Hapo awali, sine na cosine zilionekana kwa sababu ya hitaji la kuhesabu idadi katika pembetatu sahihi. Iligunduliwa kwamba ikiwa thamani ya kipimo cha digrii ya pembe katika pembetatu ya kulia haibadilishwa, basi uwiano wa kipengele, haijalishi ni kiasi gani pande hizi hubadilika kwa urefu, hubakia kufanana kila wakati.Hivi ndivyo jinsi viwakilishi vya sine na kosine vilianzishwa. Sine ya pembe ya papo hapo katika pembetatu ya kulia ni uwiano wa mguu kinyume na hypotenuse, na cosine ni uwiano wa mguu wa karibu na hypotenuse.
Nadharia za cosines na sines
Lakini cosines na sines zinaweza kutumika sio tu katika pembetatu sahihi. Ili kujua thamani ya pembe iliyofifia au ya papo hapo, upande wa pembetatu yoyote, inatosha kutumia theorem ya cosine na sine. Nadharia ya cosine ni ya zamani kabisa: "Mraba wa upande wa pembetatu ni sawa na jumla ya miraba ya pande 2 nyingine ukiondoa bidhaa mbili za pande hizi kwa kosini ya pembe kati yazo.” Kuna tafsiri mbili za nadharia ya sine: ndogo na iliyopanuliwa. Kulingana na ndogo: "Katika pembetatu, pembe ni sawia na pande tofauti." Nadharia hii mara nyingi hupanuliwa kutokana na mali ya mduara iliyozunguka juu ya pembetatu: "Katika pembetatu, pembe ni sawia na pande tofauti, na uwiano wao ni sawa na kipenyo cha mduara uliozunguka."
Viingilio
Derivative ni zana ya hisabati ambayo inaonyesha jinsi utendaji hubadilika haraka kuhusiana na urekebishaji wa hoja yake. Derivatives hutumiwa katika aljebra, jiometri, uchumi na fizikia, na katika idadi ya taaluma za kiufundi. Wakati wa kutatua shida, unahitaji kujua maadili ya tabular ya derivatives ya kazi za trigonometric: sine na cosine. Derivative ya sine ni kosine, na derivative ya kosine ni sine, lakini yenye ishara minus.
Maombi katika hisabati
Hasa mara nyingi, sines na cosines hutumiwa katika kutatua pembetatu za kulia na matatizo yanayohusiana nao. Urahisi wa sines na cosines ulipata kutafakari kwake katika teknolojia. Ilikuwa ya awali kukadiria pembe na pande kwa kutumia nadharia za kosine na sine, kuvunja takwimu na vitu vigumu kuwa pembetatu "zamani". Wahandisi na wasanifu, mara nyingi wanaohusika na mahesabu ya uwiano wa vipengele na hatua za digrii, walitumia muda mwingi na jitihada za kuhesabu cosines na sines za pembe zisizo za meza. Kisha meza za Bradis zilikuja kuwaokoa, zilizo na maelfu ya maadili ya sines, cosines, tangents na cotangents ya pembe mbalimbali. Katika nyakati za Soviet, walimu wengine walilazimisha kata zao kukariri kurasa za meza za Bradis.
Sine ni mojawapo ya kazi za msingi za trigonometric, matumizi ambayo sio mdogo kwa jiometri pekee. Jedwali za kuhesabu kazi za trigonometric, kama vile vikokotoo vya uhandisi, hazipo karibu kila wakati, na hesabu ya sine wakati mwingine ni muhimu ili kutatua matatizo mbalimbali. Kwa ujumla, hesabu ya sine itasaidia kuunganisha ujuzi wa kuchora na ujuzi wa utambulisho wa trigonometric.
Michezo ya mtawala na penseli
Kazi rahisi: jinsi ya kupata sine ya pembe iliyochorwa kwenye karatasi? Ili kutatua, unahitaji mtawala wa kawaida, pembetatu (au dira) na penseli. Njia rahisi zaidi ya kuhesabu sine ya pembe ni kugawanya mguu wa mbali wa pembetatu na pembe ya kulia kwa upande mrefu - hypotenuse. Kwa hivyo, kwanza unahitaji kukamilisha pembe ya papo hapo kwa takwimu ya pembetatu ya kulia kwa kuchora mstari wa perpendicular kwa moja ya mionzi kwa umbali wa kiholela kutoka kwa vertex ya angle. Itakuwa muhimu kuchunguza angle ya 90 ° hasa, ambayo tunahitaji pembetatu ya clerical.
Kutumia dira ni sahihi zaidi, lakini itachukua muda mrefu zaidi. Kwenye moja ya mionzi, unahitaji kuweka alama 2 kwa umbali fulani, kuweka radius kwenye dira takriban sawa na umbali kati ya pointi, na kuchora semicircles na vituo katika pointi hizi mpaka mistari hii inapita. Kwa kuunganisha pointi za makutano ya miduara yetu kwa kila mmoja, tunapata perpendicular kali kwa ray ya angle yetu, inabakia tu kupanua mstari mpaka inaingiliana na ray nyingine.
Katika pembetatu inayosababisha, unahitaji kupima upande ulio kinyume na kona na upande mrefu kwenye moja ya mionzi yenye mtawala. Uwiano wa kipimo cha kwanza hadi cha pili itakuwa thamani inayotakiwa ya sine ya pembe ya papo hapo.
Tafuta sine kwa pembe kubwa kuliko 90°
Kwa pembe iliyo wazi, kazi sio ngumu zaidi. Inahitajika kuteka ray kutoka kwa vertex kwa mwelekeo kinyume kwa kutumia mtawala ili kuunda mstari wa moja kwa moja na moja ya mionzi ya pembe tunayopendezwa nayo. Kwa pembe ya papo hapo inayosababisha, unapaswa kuendelea kama ilivyoelezwa hapo juu, sines za pembe za karibu, na kutengeneza pamoja angle ya maendeleo ya 180 °, ni sawa.
Kukokotoa sine kutoka kwa vitendaji vingine vya trigonometric
Pia, hesabu ya sine inawezekana ikiwa maadili ya kazi zingine za trigonometric za pembe au angalau urefu wa pande za pembetatu zinajulikana. Vitambulisho vya Trigonometric vitatusaidia na hili. Hebu tuangalie mifano ya kawaida.
Jinsi ya kupata sine na cosine inayojulikana ya pembe? Utambulisho wa kwanza wa trigonometric, unaotoka kwa nadharia ya Pythagorean, inasema kwamba jumla ya miraba ya sine na cosine ya pembe sawa ni sawa na moja.
Jinsi ya kupata sine na tangent inayojulikana ya pembe? Tangent hupatikana kwa kugawanya mguu wa mbali na wa karibu au kwa kugawanya sine na cosine. Kwa hivyo, sine itakuwa bidhaa ya cosine na tangent, na mraba wa sine itakuwa mraba wa bidhaa hii. Tunabadilisha cosine ya mraba na tofauti kati ya umoja na sine ya mraba kulingana na kitambulisho cha kwanza cha trigonometric na, kwa njia ya udanganyifu rahisi, tunaleta equation ili kuhesabu sine ya mraba kupitia tangent, kwa mtiririko huo, kuhesabu sine, itabidi toa mzizi kutoka kwa matokeo yaliyopatikana.
Jinsi ya kupata sine na cotangent inayojulikana ya pembe? Thamani ya kotanjenti inaweza kuhesabiwa kwa kugawa urefu wa mguu wa karibu kutoka kwa pembe ya mguu kwa urefu wa moja ya mbali, na pia kugawanya kosine na sine, yaani, cotangent ni kazi ya kinyume ya tangent kwa heshima. kwa nambari 1. Ili kuhesabu sine, unaweza kuhesabu tangent kwa kutumia formula tg α \u003d 1 / ctg α na kutumia formula katika chaguo la pili. Unaweza pia kupata formula ya moja kwa moja kwa mlinganisho na tangent, ambayo itaonekana kama hii.
Jinsi ya kupata sine ya pande tatu za pembetatu
Kuna fomula ya kutafuta urefu wa upande usiojulikana wa pembetatu yoyote, si tu pembetatu ya kulia, kutokana na pande mbili zinazojulikana kwa kutumia kazi ya trigonometric ya kosine ya pembe tofauti. Anaonekana hivi.
Katika maisha, mara nyingi tunapaswa kukabiliana na matatizo ya hesabu: shuleni, chuo kikuu, na kisha kumsaidia mtoto wetu na kazi za nyumbani. Watu wa fani fulani watakutana na hisabati kila siku. Kwa hivyo, ni muhimu kukariri au kukumbuka sheria za hisabati. Katika makala hii, tutachambua mmoja wao: kutafuta mguu wa pembetatu ya kulia.
Pembetatu ya kulia ni nini
Kwanza, hebu tukumbuke pembetatu sahihi ni nini. Pembetatu ya kulia ni takwimu ya kijiometri ya sehemu tatu zinazounganisha pointi ambazo hazilala kwenye mstari sawa sawa, na moja ya pembe za takwimu hii ni digrii 90. Pande zinazounda pembe ya kulia huitwa miguu, na upande ulio kinyume na pembe ya kulia huitwa hypotenuse.
Kutafuta mguu wa pembetatu ya kulia
Kuna njia kadhaa za kujua urefu wa mguu. Ningependa kuzizingatia kwa undani zaidi.
Nadharia ya Pythagorean kupata mguu wa pembetatu ya kulia
Ikiwa tunajua hypotenuse na mguu, basi tunaweza kupata urefu wa mguu usiojulikana kwa kutumia theorem ya Pythagorean. Inaonekana kama hii: "Mraba wa hypotenuse ni sawa na jumla ya miraba ya miguu." Mfumo: c²=a²+b², ambapo c ni hypotenuse, a na b ni miguu. Tunabadilisha fomula na kupata: a²=c²-b².
Mfano. Hypotenuse ni sentimita 5, na mguu ni sentimita 3. Tunabadilisha fomula: c²=a²+b² → a²=c²-b². Kisha, tunaamua: a²=5²-3²; a²=25-9; a²=16; a=√16; a=4 (cm).
Mahusiano ya trigonometric kupata mguu wa pembetatu ya kulia
Inawezekana pia kupata mguu usiojulikana ikiwa upande mwingine wowote na pembe ya papo hapo ya pembetatu ya kulia hujulikana. Kuna chaguzi nne za kupata mguu kwa kutumia kazi za trigonometric: na sine, cosine, tangent, cotangent. Ili kutatua matatizo, jedwali hapa chini litatusaidia. Hebu fikiria chaguzi hizi.
Tafuta mguu wa pembetatu ya kulia kwa kutumia sine
Sini ya pembe (dhambi) ni uwiano wa mguu kinyume na hypotenuse. Mfumo: dhambi \u003d a / c, ambapo a ni mguu kinyume na pembe iliyotolewa, na c ni hypotenuse. Ifuatayo, tunabadilisha fomula na kupata: a=sin*c.
Mfano. Hypotenuse ni 10 cm na angle A ni 30 digrii. Kulingana na jedwali, tunahesabu sine ya angle A, ni sawa na 1/2. Kisha, kwa kutumia fomula iliyobadilishwa, tunatatua: a=sin∠A*c; a=1/2*10; a=5 (cm).
Tafuta mguu wa pembetatu ya kulia kwa kutumia cosine
Cosine ya pembe (cos) ni uwiano wa mguu wa karibu na hypotenuse. Mfumo: cos \u003d b / c, ambapo b ni mguu karibu na pembe iliyotolewa, na c ni hypotenuse. Wacha tubadilishe fomula na tupate: b=cos*c.
Mfano. Angle A ni digrii 60, hypotenuse ni cm 10. Kulingana na meza, tunahesabu cosine ya angle A, ni sawa na 1/2. Kisha, tunatatua: b=cos∠A*c; b=1/2*10, b=5 (cm).
Tafuta mguu wa pembetatu ya kulia kwa kutumia tangent
Tangent ya pembe (tg) ni uwiano wa mguu wa kinyume na ule ulio karibu. Mfumo: tg \u003d a / b, ambapo a ni mguu kinyume na kona, na b iko karibu. Wacha tubadilishe fomula na tupate: a=tg*b.
Mfano. Angle A ni digrii 45, hypotenuse ni cm 10. Kwa mujibu wa meza, tunahesabu tangent ya angle A, ni sawa na Tatua: a=tg∠A*b; a=1*10; a=10 (cm).
Tafuta mguu wa pembetatu ya kulia kwa kutumia cotangent
Cotangent ya pembe (ctg) ni uwiano wa mguu wa karibu na mguu wa kinyume. Mfumo: ctg \u003d b / a, ambapo b ni mguu karibu na kona, na ni kinyume. Kwa maneno mengine, cotangent ni "tangent inverted". Tunapata: b=ctg*a.
Mfano. Angle A ni digrii 30, mguu wa kinyume ni cm 5. Kulingana na meza, tangent ya angle A ni √3. Kokotoa: b=ctg∠A*a; b=√3*5; b=5√3 (cm).
Kwa hiyo, sasa unajua jinsi ya kupata mguu katika pembetatu ya kulia. Kama unaweza kuona, sio ngumu sana, jambo kuu ni kukumbuka kanuni.
Ikiwa shida imepewa urefu wa pande mbili za pembetatu na pembe kati yao, basi unaweza kutumia fomula ya eneo la pembetatu kupitia sine.
Mfano wa kuhesabu eneo la pembetatu kwa kutumia sine. Iliyopewa pande a = 3, b = 4, na angle γ = 30 °. Sini ya pembe ya 30 ° ni 0.5 
Eneo la pembetatu litakuwa 3 sq. sentimita.
Kunaweza pia kuwa na masharti mengine. Ikiwa urefu wa upande mmoja na pembe hutolewa, basi kwanza unahitaji kuhesabu angle ya kukosa. Kwa sababu jumla ya pembe zote za pembetatu ni 180 °, basi:
Eneo litakuwa sawa na nusu ya mraba wa upande uliozidishwa na sehemu. Katika nambari yake ni bidhaa ya sines ya pembe za karibu, na katika denominator ni sine ya pembe kinyume. Sasa tunahesabu eneo kwa kutumia fomula zifuatazo:
Kwa mfano, ukipewa pembetatu yenye upande a=3 na pembe γ=60°, β=60°. Kuhesabu pembe ya tatu: 
Kubadilisha data kwenye fomula
Tunapata kwamba eneo la pembetatu ni mita za mraba 3.87. sentimita.
II. Eneo la pembetatu kwa suala la cosine
Ili kupata eneo la pembetatu, unahitaji kujua urefu wa pande zote. Kwa theorem ya cosine, unaweza kupata pande zisizojulikana, na kisha tu kutumia.
Kwa mujibu wa sheria ya cosines, mraba wa upande usiojulikana wa pembetatu ni sawa na jumla ya mraba wa pande zilizobaki minus mara mbili ya bidhaa za pande hizi kwa cosine ya pembe kati yao.
Kutoka kwa nadharia tunapata fomula za kupata urefu wa upande usiojulikana:
Kujua jinsi ya kupata upande uliopotea, kuwa na pande mbili na pembe kati yao, unaweza kuhesabu eneo hilo kwa urahisi. Njia ya eneo la pembetatu kwa suala la cosine hukusaidia kupata suluhisho la shida anuwai haraka na kwa urahisi.
Mfano wa kuhesabu formula ya eneo la pembetatu kupitia cosine
Imepewa pembetatu yenye pande zinazojulikana a = 3, b = 4, na angle γ = 45 °. Tutafute sehemu iliyokosekana kwanza. kutoka. Kwa kosine 45°=0.7. Ili kufanya hivyo, tunabadilisha data kwenye mlinganyo unaotokana na nadharia ya cosine.
Sasa kwa kutumia formula, tunapata