Применение отрицательных чисел в жизненных ситуациях. Презентация к исследовательской работе по математике "отрицательные числа в современном мире"

Вспомним, какие числа вы уже знаете. Начинали вы изучение с натуральных чисел, тех чисел, которые мы используем при счете, таких как 1, 2, 3, 4... и т. д. Потом выяснили, что таких чисел нам не хватает. Например, если разделить отрезок длины 1 пополам, то длина получившегося отрезка будет не целой. Так мы познакомились с дробными числами, такими как , , . Итак, мы вспомнили, что есть натуральные и есть дробные числа, но выясняется, что и их не хватает. Рассмотрим это на примере.

У вас есть 40 руб. и вы хотите купить мороженое за 20 руб. Сколько денег у вас останется после покупки? (см. рис. 1).

Рис. 1. Мороженое за 20 руб.

Теперь представьте несколько иную ситуацию. У вас есть 20 руб., и вы хотите купить мороженое за 40 руб. Сколько тогда денег у вас останется? (см. рис. 2).

Рис. 2. Мороженое за 40 руб.

Можно решить по аналогии: .

Но 20 меньше 40. И имея 20 руб., мороженое за 40 руб. купить нельзя. Можно занять 20 руб. и только тогда купить мороженое. Но что после этого останется?

Останется долг в 20 руб. Выразить числом этот долг можно, вводя отрицательные числа.

Аналогичные предпосылки возникают и на числовой оси.

Рассмотрим числовую ось (см. рис. 3).

Рис. 3. Числовая ось

На ней отмечены натуральные числа 1, 2, 3 и т. д. и начало в точке ноль. Также на соответствующих отрезках можем отметить числа , , и т. д. (см. рис. 4).

Рис. 4. Числовая ось

Что означает, Это мы к 1 прибавляем три единицы и попадаем в точку 4 (см. рис. 5).

Рис. 5. Числовая ось

Точно так же мы можем сделать шаг в другую сторону. Например, что будет, если мы из 1 вычтем 3: ? Мы попадем в пустоту (см. рис. 6).

Рис. 6. Числовая ось

Здесь и находятся отрицательные числа, которые нам, безусловно, понадобятся (см. рис. 7).

Рис. 7. Числовая ось

Теперь мы можем их ввести. Но как же обозначаются отрицательные числа? Для этого вспомним, как обозначаются натуральные числа, такие как 1, 2, 3, 4 и т. д. (см. рис. 8).

Рис. 8. Числовая ось

Но что показывает число 2? Оно показывает, что от 0 до 2 помещается два единичных отрезка (см. рис. 9).

Рис. 9. Числовая ось

Если отложить такой же отрезок влево, мы получим расстояние от точки 0 ровно в один отрезок. Так мы получаем число 1. Но чтобы не путаться, для чисел слева придумали специальный знак «-», который мы ставим перед числом и получаем . Аналогично, следующее число будет и т. д. То есть, если натуральные числа у нас обозначаются как 1, 2, 3 и т. д., то отрицательные как -1, -2, -3.(см. рис. 10).

Рис. 10. Числовая ось

Есть число , для него существует противоположное число. Оно находится между -2 и -1 и равно - (см. рис. 11).

Рис. 11. Числовая ось

Вернемся к первому примеру. У нас было 20 руб. и мы потратили 40 руб., у нас осталось -20 руб.

Как действовать с отрицательными числами, как их складывать, вычитать и т. д. - это темы более поздних уроков. А сейчас давайте подумаем, где же в реальной жизни применяются отрицательные числа?

На некоторых уличных градусниках температура показывается так: есть планка ноль градусов, есть то, что выше нуля - 1, 2, 3, и т. д, а есть то, что ниже нуля, и обозначается отрицательными числами -1, -2, -3 и т. д. (см. рис. 12).

Рис. 12. Термометр

Еще -1 градус называют 1 градусом мороза, а +1 градус - одним градусом тепла. То есть и там, и там 1, но вместо знака минус мы употребляем слова «мороза». А когда не хотим употреблять, говорим: «Температура воздуха - -20 градусов» (см. рис. 13).

Рис. 13. Температура воздуха

Это и означает минус, что от нуля мы идем не вверх, а вниз.

Уровень воды в реке (см. рис. 14).

Рис. 14. Уровень воды в реке

Как вы знаете, уровень воды в реке может повышаться и понижаться. Так вот, если уровень воды повысился на 5 см, говорят: «Изменился на +5 см» (см. рис. 15).

Рис. 15. Уровень воды в реке

Если же он понизился на 5 см, то говорят «Уровень воды изменился на -5 см» (см. рис. 16).

Рис. 16. Уровень воды в реке

И там, и там уровень воды изменился на 5 см, но, когда он повысился, говорят на +5 см, а, когда понизился - на -5 см.

Как вы видите, отрицательные числа применяются там, где величина может изменяться в обе стороны. То есть, когда мы говорили о денежных расчетах, у вас может оставаться сдача - это «+», а если вы кому-то должны, то это «-». Температура может быть выше нуля - это «+», и ниже нуля - это «-». Уровень воды может повышаться - «+», и понижаться - «-».

Рассмотрим еще один пример.

Предприниматель владеет фирмой по продаже яблок, и в январе он заработал чистой прибыли 500 руб., а в феврале - 800 руб. В марте яблоки покупали хуже, и он остался в убытке, а именно его прибыль составила -200 руб. (см. рис. 17).

Рис. 17. Денежный поток

Рис. 18. Денежный поток

Более подобно о действиях с отрицательными числами можно ознакомиться в следующих уроках.

Сегодня мы выяснили, что тех чисел, которые мы знали до этого - натуральных (1, 2, 3 … и т. д.) и дробных (, , ), не хватает для некоторых практических целей, поэтому мы ввели отрицательные (-1, -2, -3… и т. д.).

Отрицательные числа на числовой оси находятся слева от нуля. Могут быть не только целые отрицательные числа, но и дробные. И мы выяснили, где могут возникать отрицательные числа, а именно там, где величина может быть увеличена и уменьшена. Так было при измерении температуры, уровня воды и измерении доходов и расходов.

Список литературы

Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6. - М.: Мнемозина, 2012.
Мерзляк А.Г., Полонский В.В., Якир М.С. Математика 6 класс. - Гимназия. 2006.
Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. - М.: Просвещение, 1989.
Рурукин А.Н., Чайковский И.В. Задания по курсу математика 5-6 класс. - М.: ЗШ МИФИ, 2011.
Рурукин А.Н., Сочилов С.В., Чайковский К.Г. Математика 5-6. Пособие для учащихся 6-х классов заочной школы МИФИ. - М.: ЗШ МИФИ, 2011.
Шеврин Л.Н., Гейн А.Г., Коряков И.О., Волков М.В. Математика: Учебник-собеседник для 5-6 классов средней школы. - М.: Просвещение, Библиотека учителя математики, 1989.

Таблица 1

3. Птица клест-еловик несет яйца и высиживает птенцов зимой. Даже при температуре воздуха в гнезде температура не ниже . На сколько температура в гнезде выше температуры воздуха?

«История отрицательных и положительных чисел»

Павленко Алина 6 «В» класс

Руководитель: Осмоловская О.А. - учитель математики

Москва, 2014 год

1.Введение…………………………………………………………………………………

2.История положительных и отрицательных чисел…………….……

3. Происхождение слов «плюс» и «минус»…………………….………..

4.Заключение…………………………………………………………………………….

5.Библиография…………………………………………………………………………

ВВЕДЕНИЕ.

«История отрицательных и положительных чисел». Я выбрала эту тему потому, что хочу больше узнать про положительные и отрицательные числа, то есть расширить свой кругозор. Так же я хотела бы узнать про то, как люди научились выполнять действия с положительными и отрицательными числами, когда это произошло, какова история этих чисел, когда впервые появились. Я хочу узнать как можно больше о происхождении чисел, об их значении в нашей жизни. Я хочу показать учащимся, а также и преподавателям красоту и занимательность такого предмета, как математика, выходя за рамки школьного учебника.

Ц ель работы:
Развитие исследовательской компетентности посредствам освоения новых знаний в рамках школьного проекта «Действия с положительными и отрицательными числами».

Задачи:

Формировать навыки самостоятельной работы с учебным материалом;

Использовать знания в реальной жизни;

Формировать способность логически мыслить, последовательно рассуждать и представлять конечный результат

История положительных и отрицательных чисел

Люди долго не могли привыкнуть к отрицательным числам. Отрицательные числа казались им непонятными, ими не пользовались, просто не видели в них особого смысла. Эти числа появились значительно позже натуральных чисел и обыкновенных дробей.
Первые сведения об отрицательных числах встречаются у китайских математиков во II в. до н. э. и то, были известны лишь правила сложения и вычитания положительных и отрицательных чисел; правила умножения и деления не применялись. Положительные количества в китайской математике называли «чен», отрицательные – «фу»; их изображали разными цветами: «чен» - красным, «фу» - черным. Это можно заметить в книге «Арифметика в девяти главах» (Автор Чжан Цань). Такой способ изображения использовался в Китае до середины XII столетия, пока Ли Е не предложил более удобное обозначение отрицательных чисел – цифры, которые изображали отрицательные числа, перечеркивали черточкой наискось справа налево.
Лишь в VII в. индийские математики начали широко использовать отрицательные числа, но относились к ним с некоторым недоверием. Бхасхара прямо писал: "Люди не одобряют отвлеченных отрицательных чисел...". Вот как индийский математик Брахмагупта излагал правила сложения и вычитания: «имущество и имущество есть имущество, сумма двух долгов есть долг; сумма имущества и нуля есть имущество; сумма двух нулей есть нуль… Долг, который отнимают от нуля, становится имуществом, а имущество – долгом. Если нужно отнять имущество от долга, а долг от имущества, то берут их сумму». «Сумма двух имуществ есть имущество».
(+х) + (+у) = +(х + у)‏ (-х) + (-у) = - (х + у)‏
(-х) + (+у) = - (х - у)‏ (-х) + (+у) = +(у - х)‏
0 – (-х) = +х 0 – (+х) = -х
Индийцы называли положительные числа «дхана» или «сва» (имущество), а отрицательные – «рина» или «кшайя» (долг). Индийские ученые, стараясь найти и в жизни образцы такого вычитания, пришли к толкованию его с точки зрения торговых расчетов. Если купец имеет 5000 р. и закупает товара на 3000 р., у него остается 5000 - 3000 = 2000, р. Если же он имеет 3000 р., а закупает на 5000 р., то он остается в долгу на 2000 р. В соответствии с этим считали, что здесь совершается вычитание 3000 - 5000, результатом же является число 2000 с точкой наверху, означающее «две тысячи долга». Толкование это носило искусственный характер, купец никогда не находил сумму долга вычитанием 3000 - 5000, а всегда выполнял вычитание 5000 - 3000.
Чуть позже в Древней Индии и Китае догадались вместо слов "долг в 10 юаней" писать просто "10 юаней", но рисовать эти иероглифы черной тушью. А знаков "+" и "–" в древности не было ни для чисел, ни для действий.
Греки тоже поначалу знаков не использовали. Древнегреческий ученый Диофант вообще не признавал отрицательные числа, и если при решении уравнения получался отрицательные корень, то он отбрасывал его как "недоступный". И Диофант старался так сформулировать задачи и составлять уравнения, чтобы избежать отрицательных корней, но вскоре Диофант Александрийский стал обозначать вычитание знаком.
Правила действий с положительными и отрицательными числами были предложены уже в III веке в Египте. Введение отрицательных величин впервые произошло у Диофанта. Он даже использовал специальный символ для них. В то же время Диофант употребляет такие обороты речи, как «Прибавим к обеим сторонам отрицательное», и даже формулирует правило знаков: «Отрицательное, умноженное на отрицательное, дает положительное, тогда как отрицательное, умноженное на положительное, дает отрицательное».
В Европе отрицательными числами начали пользоваться с XII–XIII вв., но до XVI в. большинство ученых считали их «ложными», «мнимыми» или «абсурдными», в отличие от положительных чисел – “истинных”. Положительные числа так же толковались как «имущество», а отрицательные – как «долг», «недостача». Даже знаменитый математик Блез Паскаль утверждал, что 0 − 4 = 0, так как ничто не может быть меньше, чем ничто. В Европе к идее отрицательного количества достаточно близко подошел в начале XIII столетия Леонардо Фибоначчи Пизанский. На состязании в решении задач с придворными математиками Фридриха II Леонардо Пизанскому было предложено решить задачу: требовалось найти капитал нескольких лиц. Фибоначчи получил отрицательное значение. "Этот случай, - сказал Фибоначчи, - невозможен, разве только принять, что один имел не капитал, а долг". Однако в явном виде отрицательные числа применил впервые в конце XV столетия французский математик Шюке. Автор рукописного трактата по арифметике и алгебре «Наука о числах в трёх частях». Символика Шюке приближается к современной.
Признанию отрицательных чисел способствовали работы французского математика, физика и философа Ренё Декарта. Он предложил геометрическое истолкование положительных и отрицательных чисел – ввел координатную прямую. (1637 г.).
Положительные числа изображаются на числовой оси точками, лежащими вправо от начала 0, отрицательные – влево. Геометрическое истолкование положительных и отрицательных чисел способствовало к их признанию.
В 1544 году немецкий математик Михаил Штифель впервые рассматривает отрицательные числа как числа, меньшие нуля (т. е. « меньшие, чем ничто »). С этого момента отрицательные числа рассматриваются уже не как долг, а совсем по-новому. Сам Штифель писал: «Нуль находится между истинными и абсурдными числами…»

Почти одновременно со Штифелем защищал идею отрицательных чисел Бомбелли Раффаэле (около 1530-1572), итальянский математик и инженер, переоткрывший сочинение Диофанта.
Так же и Жирар считал отрицательные числа вполне допустимыми и полезными, в частности, для обозначения недостачи чего-либо.
Всякий физик постоянно имеет дело с числами: он всегда что-то измеряет, вычисляет, рассчитывает. Везде в его бумагах - числа, числа и числа. Если приглядеться к записям физика, то обнаружится, что при записи чисел он часто использует знаки "+" и "-". (Например: термометр, шкала глубин и высот)
Только в начале XIX в. теория отрицательных чисел закончила свое развитие, и "абсурдные числа" получили всеобщее признание.

Происхождение слов «плюс» и «минус»

Термины произошли от слов plus – «больше», minus – «меньше». Сначала действия обозначали первыми буквами p; m. Многие математики предпочитали или Возникновение современных знаков «+», «–» не совсем ясно. Знак «+», возможно, происходит от сокращенной записи et, т.е. «и». Впрочем, может быть он возник из торговой практики: проданные меры вина отмечались на бочке «–», а при восстановлении запаса их перечеркивали, получался знак «+».
Италии ростовщики, давая деньги в долг, ставили перед именем должника сумму долга и черточку, вроде нашего минуса, а когда должник возвращал деньги, зачеркивали ее, получалось что-то вроде нашего плюса.
Совреме нные знаки «+» и появились в Германии в последнее десятилетие XVв. в книге Видмана, которая была руководством по счету для купцов (1489г.). Чех Ян Видман уже писал «+» и «–» для сложения и вычитания.
Чуть позднее немецкий ученый Михель Штифель написал «Полную Арифметику», которая была напечатана в 1544 году. В ней встречаются такие записи для чисел: 0-2; 0+2; 0-5; 0+7. Числа первого вида он назвал «меньше, чем ничего» или «ниже, чем ничего». Числа второго вида назвал «больше, чем ничего» или «выше, чем ничего». Вам, конечно, понятны эти названия, потому что «ничего» – это 0.
Предлагались и другие обозначения, придумывались изображения.
Объединенные знаки впервые встречаются у Жирара (1626г.) в форме .
Такая запись была вытеснена значками и .

Вторично объединенные изобрел португалец да Кунья (1790), у которого они выглядели так: и .

Заключение

Большинство людей знали отрицательные числа. У всех учёных были разные мнения. Кто-то считал, что это «неправильно», «абсурдно», а некоторые считали это приемлемо и решали с ними задачи и уравнения.

Отрицательные числа больше всего встречаются в точных науках, в математике и в физике.

В физике отрицательные числа возникают в результате измерений, вычислений физических величин. Отрицательное число - показывает величину электрического заряда. В других науках, как географии и истории, отрицательное число можно заменить словами, например, ниже уровня моря, а в истории - 157 лет до н.э.

Библиография:
Интернет
Вигасин А.А,.Годер Г.И., "История древнего мира" учебник 5 класса, 2001г.
Гельфман Э.Г. "Положительные и отрицательные числа", учебное пособие по математике для 6-го класса, 2001.
Детская энциклопедия "Я познаю мир", Москва, "Просвещение", 1995г.
Фридман Л. М.. "Изучаем математику", учебное издание, 1994 г.
Малыгин К.А.
Нурк Э.Р., Тельгмаа А.Э. "Математика 6 класс", Москва, "Просвещение",1989г
Глейзер Г. И. "История математики в школе", Москва, "Просвещение", 1981 г.
Большая математическая энциклопедия. Якушева Г.М. и др.
Возникновение и развитие математической науки: Кн. Для учителя. – М.: Просвещение, 1987.
Глав. ред. М. Д. Аксёнова. – М.: Аванта+,1998.
История математики в школе, IV-VI классы. Г.И. Глейзер, Москва, Просвещение, 1981.
Э.Г. Гельфман и др., Положительные и отрицательные числа в театре Буратино. Учебное пособие по математике для 6 класса. 3-е издание, испр., - Томск: Издательство Томского университета, 1998г.
«Справочник школьника». ИД «ВЕСЬ», Санкт-Петербург. 2003 г.
Учебник 5 класс. Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбурд.
«История математики в древности», Э. Кольман.
«История древнего мира», 5 класс. Колпаков, Селунская.
«Энциклопедия для детей.Математика», Издательство «Аванта»

Положительные

и отрицательные

числа вокруг нас

ученики 6 класса

Батурин Александр, Шатилова Ксения

Художник-оформитель ученица 11 класса

Телякова Ксения

Руководитель

учитель математики

Самофалова Т.П.

Введение

После изучения темы

«Положительные и отрицательные числа»

на уроках математики мы задумались

над вопросом: А встречаются ли отрицательные числа и на других уроках,

и в жизни?

Это и подтолкнуло нас к исследованию данной темы.

АНКЕТА

1)В каких учебных предметах, кроме математики, используются положительные и отрицательные числа?

2)Применяются ли в жизни эти числа?

АКТУАЛЬНОСТЬ

любое число в жизни каждого человека играет важную роль, в том числе и отрицательное.

цЕЛЬ

показать, что отрицательные числа встречаются не только

на страницах школьных учебников, но и в повседневной жизни.

ОБЪЕКТ ИССЛЕДОВАНИЯ

число.

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ:

чтение и анализ используемой литературы;

изучение материалов по данной тематике,

расположенных на интернет-сайтах;

наблюдение.

Задачи:

расширение знаний о положительных и отрицательных числах;

исследование применения отрицательных чисел в физике, географии, истории, биологии, экономике;

повышение заинтересованности в изучении математики;

выступление с презентацией перед одноклассниками.

гипотеза :

отрицательные числа встречаются не только в математике, но и в других науках.

Отрицательные числа

в географии :

Измерение высоты и глубины ещё

с давних времен было интересно человеку .

Записывать результаты измерения удобно с помощью положительных и отрицательных чисел.

МОРСКИЕ ГЛУБИНЫ

Измеряются с помощью отрицательных чисел

ГОРА ЭВЕРЕСТ

Эверест- высочайшая вершина земного шара высотой по разным данным от +8844 до +8852 метров находится в Гималаях.

Расположена на границе Непала и Китая, сама вершина лежит на территории Китая.

Имеет форму пирамиды; южный склон более крутой.

Отрицательные числа в истории

Время, исчисляемое от Рождества Христова, мы называем НАША ЭРА (а пишем сокращённо Н.Э.). Продолжается наша эра 2015 лет.

Отрицательные числа в биологии выражают патологию глаза. Близорукость (миопия) проявляется снижением остроты зрения. Для того чтобы при близорукости глаз мог ясно видеть отдаленные предметы, применяют рассеивающие (отрицательные) линзы.

Отрицательные числа в биологии

Отрицательные числа в физике

С отрицательными числами мы сталкиваемся каждый раз, говоря о температуре воздуха. Если на улице тепло, то температура воздуха выражается положительным числом, а если мороз, то отрицательным числом.

20 C тепла

10 C мороза

ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ И ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА

НА СКОРОСТНОМ ШОССЕ

Скорость автомобилей, движущихся вправо, считать положительной, а влево, - отрицательной. Знак числа будет указывать направление скорости (движения) автомобилей.

Понятие «положительного»

и «отрицательного» заряда

Тела, которые действуют на другие заряженные предметы так же, как стекло, наэлектризованное трением о шёлк

Тела, которые действуют на

другие заряженные предметы

так же, как сургуч,

наэлектризованный трением

о шерсть

Положительно

заряженные атомы – протоны

Отрицательно

заряженные атомы – электроны

Трением лапок о брюшко комар вызывает электричество

Электрические заряды в природе

При поглаживании кошки происходит электризация

Заключение

В ходе проекта мы:

1) выяснили, что положительные и отрицательные числа служат для описания изменений величин. Если величина растет, то говорят, что ее изменение положительно (+), а если она убывает, то изменение называют отрицательным (–)

2) рассмотрели использование положительных и отрицательных чисел не только в математике, но и в других науках - истории, географии, физике, биологии.

Гипотеза подтверждена, цель достигнута, задачи выполнены .