Mga hindi pagkakapantay-pantay ng numero at ang kanilang mga katangian. Mga linear na hindi pagkakapantay-pantay. Detalyadong teorya na may mga halimbawa Koleksyon at paggamit ng personal na impormasyon

Ang larangan ng mga tunay na numero ay may pag-aari ng pagkakasunud-sunod (item 6, p. 35): para sa anumang mga numerong a, b, isa at isa lamang sa tatlong mga ugnayan ang nagtataglay: o . Sa kasong ito, ang notasyon a > b ay nangangahulugan na ang pagkakaiba ay positibo, at ang pagkakaiba sa notasyon ay negatibo. Hindi tulad ng larangan ng tunay na mga numero, ang larangan ng kumplikadong mga numero ay hindi inayos: para sa mga kumplikadong numero, ang mga konseptong "mas malaki kaysa sa" at "mas mababa sa" ay hindi tinukoy; samakatuwid, ang kabanatang ito ay tumatalakay lamang sa mga tunay na numero.

Tinatawag namin ang mga relasyon na hindi pagkakapantay-pantay, ang mga numerong a at b ay mga miyembro (o bahagi) ng hindi pagkakapantay-pantay, ang mga palatandaan > (mas malaki kaysa) at Hindi pagkakapantay-pantay a > b at c > d ay tinatawag na hindi pagkakapantay-pantay ng pareho (o pareho) na kahulugan; hindi pagkakapantay-pantay a > b at c Kaagad itong sumusunod mula sa kahulugan ng hindi pagkakapantay-pantay na

1) anumang positibong numero na higit sa zero;

2) anumang negatibong numero na mas mababa sa zero;

3) anumang positibong numero ay mas malaki kaysa sa anumang negatibong numero;

4) ng dalawang negatibong numero, ang isa na ang absolute value ay mas maliit ay mas malaki.

Ang lahat ng mga pahayag na ito ay umamin ng isang simpleng geometric na interpretasyon. Hayaang pumunta ang positibong direksyon ng axis ng numero sa kanan ng panimulang punto; pagkatapos, anuman ang mga palatandaan ng mga numero, ang mas malaki sa kanila ay kinakatawan ng isang puntong nakahiga sa kanan ng puntong kumakatawan sa mas maliit na bilang.

Ang mga hindi pagkakapantay-pantay ay may mga sumusunod na pangunahing katangian.

1. Asymmetry (irreversibility): kung , pagkatapos , at kabaliktaran.

Sa katunayan, kung ang pagkakaiba ay positibo, kung gayon ang pagkakaiba ay negatibo. Sinasabi nila na kapag ang mga tuntunin ng hindi pagkakapantay-pantay ay muling inayos, ang kahulugan ng hindi pagkakapantay-pantay ay dapat baguhin sa kabaligtaran.

2. Transitivity: kung , pagkatapos . Sa katunayan, ang pagiging positibo ng mga pagkakaiba ay nagpapahiwatig ng pagiging positibo

Bilang karagdagan sa mga palatandaan ng hindi pagkakapantay-pantay, mga palatandaan ng hindi pagkakapantay-pantay at ginagamit din. Ang mga ito ay tinukoy bilang mga sumusunod: ang isang tala ay nangangahulugan na alinman o Samakatuwid, halimbawa, maaari kang sumulat at gayundin. Karaniwan, ang mga hindi pagkakapantay-pantay na nakasulat na may mga palatandaan ay tinatawag na mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay, at ang mga nakasulat na may mga palatandaan ay tinatawag na hindi mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay. Alinsunod dito, ang mga palatandaan mismo ay tinatawag na mga palatandaan ng mahigpit o hindi mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay. Ang mga katangian 1 at 2 na tinalakay sa itaas ay totoo rin para sa mga hindi mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay.

Isaalang-alang ngayon ang mga operasyon na maaaring isagawa sa isa o higit pang mga hindi pagkakapantay-pantay.

3. Mula sa pagdaragdag ng parehong bilang sa mga miyembro ng hindi pagkakapantay-pantay, ang kahulugan ng hindi pagkakapantay-pantay ay hindi nagbabago.

Patunay. Hayaang magbigay ng hindi pagkakapantay-pantay at isang di-makatwirang numero. Sa pamamagitan ng kahulugan, ang pagkakaiba ay positibo. Idinagdag namin sa numerong ito ang dalawang kabaligtaran na mga numero kung saan hindi ito magbabago, i.e.

Ang pagkakapantay-pantay na ito ay maaaring muling isulat nang ganito:

Ito ay sumusunod mula dito na ang pagkakaiba ay positibo, iyon ay, iyon

at ito ay dapat patunayan.

Ito ang batayan para sa posibilidad na i-skew ang anumang termino ng hindi pagkakapantay-pantay mula sa isa sa mga bahagi nito patungo sa isa pa na may kabaligtaran na tanda. Halimbawa, mula sa hindi pagkakapantay-pantay

sinusundan iyon

4. Kapag pinarami ang mga tuntunin ng hindi pagkakapantay-pantay sa parehong positibong numero, ang kahulugan ng hindi pagkakapantay-pantay ay hindi nagbabago; kapag ang mga tuntunin ng hindi pagkakapantay-pantay ay pinarami ng parehong negatibong numero, ang kahulugan ng hindi pagkakapantay-pantay ay nagbabago sa kabaligtaran.

Patunay. Let then If then since positive ang product ng positive numbers. Ang pagpapalawak ng mga bracket sa kaliwang bahagi ng huling hindi pagkakapantay-pantay, makuha namin ang , ibig sabihin. Ang kaso ay isinasaalang-alang sa katulad na paraan.

Ang eksaktong parehong konklusyon ay maaaring iguguhit tungkol sa paghahati ng mga bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay ng ilang di-zero na numero, dahil ang paghahati sa isang numero ay katumbas ng pag-multiply sa isang numero at ang mga numero ay may parehong mga palatandaan.

5. Hayaang maging positibo ang mga tuntunin ng hindi pagkakapantay-pantay. Pagkatapos, kapag ang mga miyembro nito ay itinaas sa parehong positibong kapangyarihan, ang kahulugan ng hindi pagkakapantay-pantay ay hindi nagbabago.

Patunay. Hayaan sa kasong ito, sa pamamagitan ng pag-aari ng transitivity, at . Pagkatapos, dahil sa monotonic na pagtaas ng power function sa at positibo, mayroon kami

Sa partikular, kung nasaan ang isang natural na numero, pagkatapos ay makuha namin

ibig sabihin, kapag kinukuha ang ugat mula sa magkabilang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay na may mga positibong termino, hindi nagbabago ang kahulugan ng hindi pagkakapantay-pantay.

Hayaang maging negatibo ang mga tuntunin ng hindi pagkakapantay-pantay. Pagkatapos ay madaling patunayan na kapag ang mga miyembro nito ay itinaas sa isang kakaibang likas na kapangyarihan, ang kahulugan ng hindi pagkakapantay-pantay ay hindi nagbabago, at kapag ito ay itinaas sa isang natural na kapangyarihan, ito ay nagbabago sa kabaligtaran. Mula sa mga hindi pagkakapantay-pantay na may mga negatibong termino, maaari mo ring kunin ang ugat ng isang kakaibang antas.

Hayaan, higit pa, ang mga tuntunin ng hindi pagkakapantay-pantay ay may iba't ibang mga palatandaan. Pagkatapos, kapag ito ay itinaas sa isang kakaibang kapangyarihan, ang kahulugan ng hindi pagkakapantay-pantay ay hindi nagbabago, at kapag ito ay itinaas sa isang pantay na kapangyarihan, walang tiyak na masasabi sa pangkalahatang kaso tungkol sa kahulugan ng nagresultang hindi pagkakapantay-pantay. Sa katunayan, kapag ang isang numero ay itinaas sa isang kakaibang kapangyarihan, ang tanda ng numero ay napanatili at samakatuwid ang kahulugan ng hindi pagkakapantay-pantay ay hindi nagbabago. Kapag itinaas ang hindi pagkakapantay-pantay sa isang pantay na kapangyarihan, ang isang hindi pagkakapantay-pantay na may mga positibong termino ay nabuo, at ang kahulugan nito ay nakasalalay sa ganap na mga halaga ng mga tuntunin ng orihinal na hindi pagkakapantay-pantay, isang hindi pagkakapantay-pantay ng parehong kahulugan ng orihinal, isang hindi pagkakapantay-pantay ng ang kabaligtaran na kahulugan, at maging ang pagkakapantay-pantay!

Lahat ng sinabi tungkol sa pagtataas ng hindi pagkakapantay-pantay sa isang kapangyarihan ay kapaki-pakinabang upang suriin ang sumusunod na halimbawa.

Halimbawa 1. Itaas ang mga sumusunod na hindi pagkakapantay-pantay sa ipinahiwatig na kapangyarihan, palitan ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay sa kabaligtaran o sa pantay na tanda, kung kinakailangan.

a) 3 > 2 sa kapangyarihan ng 4; b) sa kapangyarihan ng 3;

c) sa kapangyarihan ng 3; d) sa kapangyarihan ng 2;

e) sa kapangyarihan ng 5; e) sa kapangyarihan ng 4;

g) 2 > -3 sa kapangyarihan ng 2; h) sa kapangyarihan ng 2,

6. Mula sa hindi pagkakapantay-pantay, maaari kang pumunta sa hindi pagkakapantay-pantay sa pagitan ng kung ang mga termino ng hindi pagkakapantay-pantay ay parehong positibo o parehong negatibo, pagkatapos ay sa pagitan ng kanilang mga kapalit ay mayroong hindi pagkakapantay-pantay ng kabaligtaran na kahulugan:

Patunay. Kung ang a at b ay magkaparehong tanda, kung gayon ang kanilang produkto ay positibo. Hatiin sa hindi pagkakapantay-pantay

ibig sabihin, na kinakailangan upang makuha.

Kung ang mga termino ng hindi pagkakapantay-pantay ay may magkasalungat na mga palatandaan, kung gayon ang hindi pagkakapantay-pantay sa pagitan ng kanilang mga katumbas ay may parehong kahulugan, dahil ang mga palatandaan ng mga katumbas ay pareho sa mga palatandaan ng mga dami mismo.

Halimbawa 2. Suriin ang huling property 6 sa mga sumusunod na hindi pagkakapantay-pantay:

7. Ang logarithm ng hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring gawin lamang sa kaso kapag ang mga tuntunin ng hindi pagkakapantay-pantay ay positibo (negatibong mga numero at zero ay walang logarithms).

Hayaan . Pagkatapos ay kailan

at kailan

Ang kawastuhan ng mga pahayag na ito ay batay sa monotonicity ng logarithmic function, na tumataas kung ang base at bumababa kung

Kaya, kapag kinuha ang logarithm ng isang hindi pagkakapantay-pantay na binubuo ng mga positibong termino, na may isang base na mas malaki kaysa sa isa, isang hindi pagkakapantay-pantay ng parehong kahulugan tulad ng ibinigay na isa ay nabuo, at kapag kinuha ang logarithm nito na may positibong base na mas mababa sa isa, isang hindi pagkakapantay-pantay ng nabuo ang kasalungat na kahulugan.

8. Kung , kung gayon kung , ngunit , kung gayon .

Kaagad itong sumusunod mula sa mga monotonicity na katangian ng exponential function (Sec. 42), na tumataas sa case at bumababa kung

Kapag nagdaragdag ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng parehong kahulugan ng termino sa pamamagitan ng termino, ang isang hindi pagkakapantay-pantay ng parehong kahulugan bilang ang data ay nabuo.

Patunay. Patunayan natin ang pahayag na ito para sa dalawang hindi pagkakapantay-pantay, bagama't ito ay totoo para sa anumang bilang ng mga summed inequalities. Hayaan ang mga hindi pagkakapantay-pantay

Sa pamamagitan ng kahulugan, ang mga numero ay magiging positibo; tapos positive din yung sum nila, i.e.

Ang pag-grupo ng mga termino sa ibang paraan, nakukuha namin

at samakatuwid

at ito ay dapat patunayan.

Walang tiyak na masasabi sa pangkalahatang kaso tungkol sa kahulugan ng hindi pagkakapantay-pantay na nagreresulta mula sa pagdaragdag ng dalawa o higit pang hindi pagkakapantay-pantay ng magkakaibang kahulugan.

10. Kung ang isa pang hindi pagkakapantay-pantay ng kabaligtaran na kahulugan ay ibawas ng termino sa pamamagitan ng termino mula sa isang hindi pagkakapantay-pantay, pagkatapos ay isang hindi pagkakapantay-pantay ng parehong kahulugan bilang ang una ay nabuo.

Patunay. Hayaang ibigay ang dalawang hindi pagkakapantay-pantay na magkaibang kahulugan. Ang pangalawa sa kanila, sa pamamagitan ng pag-aari ng hindi maibabalik, ay maaaring muling isulat tulad ng sumusunod: d > c. Idagdag natin ngayon ang dalawang hindi pagkakapantay-pantay ng parehong kahulugan at makuha ang hindi pagkakapantay-pantay

ang parehong kahulugan. Mula sa huli nahanap namin

at ito ay dapat patunayan.

Walang tiyak na masasabi sa pangkalahatang kaso tungkol sa kahulugan ng isang hindi pagkakapantay-pantay na nakuha sa pamamagitan ng pagbabawas ng isa pang hindi pagkakapantay-pantay ng parehong kahulugan mula sa isang hindi pagkakapantay-pantay.

Nakaugalian na tawagan ang isang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay bilang isang talaan ng ilang mga hindi pagkakapantay-pantay sa ilalim ng tanda ng isang kulot na bracket (sa kasong ito, ang bilang at uri ng mga hindi pagkakapantay-pantay na kasama sa sistema ay maaaring arbitraryo).

Upang malutas ang sistema, kinakailangan upang mahanap ang intersection ng mga solusyon ng lahat ng mga hindi pagkakapantay-pantay na kasama dito. Ang isang solusyon sa isang hindi pagkakapantay-pantay sa matematika ay anumang halaga ng isang variable kung saan ang ibinigay na hindi pagkakapantay-pantay ay totoo. Sa madaling salita, kinakailangan upang mahanap ang hanay ng lahat ng mga solusyon nito - ito ay tatawaging sagot. Bilang halimbawa, subukan nating matutunan kung paano lutasin ang isang sistema ng mga hindi pagkakapantay-pantay gamit ang paraan ng agwat.

Mga katangian ng hindi pagkakapantay-pantay

Upang malutas ang problema, mahalagang malaman ang mga pangunahing katangian na likas sa hindi pagkakapantay-pantay, na maaaring mabuo bilang mga sumusunod:

• Sa parehong bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay, ang isa at ang parehong function ay maaaring idagdag, na tinukoy sa lugar ng mga ​admissible values ​​(ODV) ng hindi pagkakapantay-pantay na ito;
• Kung ang f(x) > g(x) at h(x) ay anumang function na tinukoy sa DDE ng hindi pagkakapantay-pantay, kung gayon ang f(x) + h(x) > g(x) + h(x);
• Kung ang parehong bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay ay i-multiply sa isang positibong function na tinukoy sa ODZ ng hindi pagkakapantay-pantay na ito (o sa pamamagitan ng isang positibong numero), pagkatapos ay makakakuha tayo ng hindi pagkakapantay-pantay na katumbas ng orihinal;
• Kung ang parehong bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay ay pinarami ng negatibong function na tinukoy sa ODZ ng ibinigay na hindi pagkakapantay-pantay (o sa pamamagitan ng isang negatibong numero) at ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay ay nabaligtad, kung gayon ang nagresultang hindi pagkakapantay-pantay ay katumbas ng ibinigay na hindi pagkakapantay-pantay;
• Ang mga hindi pagkakapantay-pantay ng parehong kahulugan ay maaaring idagdag ng termino sa pamamagitan ng termino, at ang mga hindi pagkakapantay-pantay ng kabaligtaran na kahulugan ay maaaring ibawas ng termino sa pamamagitan ng termino;
• Ang mga hindi pagkakapantay-pantay ng parehong kahulugan na may mga positibong bahagi ay maaaring i-multiply ng termino sa pamamagitan ng termino, at ang mga hindi pagkakapantay-pantay na nabuo ng mga di-negatibong function ay maaaring itaas ang termino sa pamamagitan ng termino sa isang positibong kapangyarihan.

Upang malutas ang isang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay, kailangan mong lutasin ang bawat hindi pagkakapantay-pantay nang hiwalay, at pagkatapos ay ihambing ang mga ito. Bilang resulta, isang positibo o negatibong sagot ang matatanggap, na nangangahulugan kung ang sistema ay may solusyon o wala.

Paraan ng espasyo

Kapag nilulutas ang isang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay, madalas na ginagamit ng mga matematiko ang paraan ng agwat, bilang isa sa mga pinaka-epektibo. Ito ay nagpapahintulot sa amin na bawasan ang solusyon ng hindi pagkakapantay-pantay f(x) > 0 (<, <, >) sa solusyon ng equation na f(x) = 0.

Ang kakanyahan ng pamamaraan ay ang mga sumusunod:

• Hanapin ang hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga ng hindi pagkakapantay-pantay;
• Bawasan ang hindi pagkakapantay-pantay sa anyong f(x) > 0(<, <, >), iyon ay, ilipat ang kanang bahagi sa kaliwa at pasimplehin;
• Lutasin ang equation f(x) = 0;
• Gumuhit ng diagram ng isang function sa isang number line. Ang lahat ng mga puntos na minarkahan sa ODZ at nililimitahan ito ay hatiin ang set na ito sa tinatawag na mga pagitan ng pare-parehong pag-sign. Sa bawat ganoong pagitan, ang tanda ng function na f(x) ay tinutukoy;
• Isulat ang sagot bilang isang unyon ng magkahiwalay na set kung saan ang f(x) ay may katumbas na sign. Ang mga puntos ng ODZ na hangganan ay kasama (o hindi kasama) sa sagot pagkatapos ng karagdagang pagsusuri.

Hindi pagkakapantay-pantay ay isang notasyon kung saan ang mga numero, variable o expression ay konektado sa pamamagitan ng isang tanda<, >, o . Ibig sabihin, ang hindi pagkakapantay-pantay ay matatawag na paghahambing ng mga numero, variable o expression. Palatandaan < , > , ⩽ At ⩾ tinawag mga palatandaan ng hindi pagkakapantay-pantay.

Mga uri ng hindi pagkakapantay-pantay at kung paano ito binabasa:

Tulad ng makikita mula sa mga halimbawa, ang lahat ng hindi pagkakapantay-pantay ay binubuo ng dalawang bahagi: kaliwa at kanan, na konektado ng isa sa mga palatandaan ng hindi pagkakapantay-pantay. Depende sa sign na nagkokonekta sa mga bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay, nahahati sila sa mahigpit at hindi mahigpit.

Mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay- mga hindi pagkakapantay-pantay na ang mga bahagi ay konektado sa pamamagitan ng isang palatandaan< или >. Hindi mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay- mga hindi pagkakapantay-pantay na ang mga bahagi ay konektado sa pamamagitan ng tanda o .

Isaalang-alang ang mga pangunahing tuntunin ng paghahambing sa algebra:

• Anumang positibong numero na higit sa zero.
• Ang anumang negatibong numero ay mas mababa sa zero.
• Sa dalawang negatibong numero, mas malaki ang may mas maliit na absolute value. Halimbawa, -1 > -7.
• a At b positibo:

  a - b > 0,

  yun a higit pa b (a > b).

• Kung ang pagkakaiba ng dalawang hindi pantay na numero a At b negatibo:

  a - b < 0,

  yun a mas kaunti b (a < b).

• Kung ang numero ay mas malaki kaysa sa zero, ito ay positibo:

  a> 0 ibig sabihin a ay isang positibong numero.

• Kung ang numero ay mas mababa sa zero, kung gayon ito ay negatibo:

  a < 0, значит a- isang negatibong numero.

Mga katumbas na hindi pagkakapantay-pantay- mga hindi pagkakapantay-pantay na bunga ng isa pang hindi pagkakapantay-pantay. Halimbawa, kung a mas kaunti b, pagkatapos b higit pa a:

a < b At b > a- katumbas na hindi pagkakapantay-pantay

Mga katangian ng hindi pagkakapantay-pantay

1. Kung ang parehong numero ay idinagdag sa parehong bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay o ang parehong bilang ay ibabawas mula sa parehong mga bahagi, pagkatapos ay isang katumbas na hindi pagkakapantay-pantay ay makukuha, iyon ay,

   kung a > b, pagkatapos a + c > b + c At a - c > b - c

   Ito ay sumusunod mula dito na posible na ilipat ang mga tuntunin ng hindi pagkakapantay-pantay mula sa isang bahagi patungo sa isa pa na may kabaligtaran na tanda. Halimbawa, pagdaragdag sa magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay a - b > c - d sa d, nakukuha natin:

   a - b > c - d

   a - b + d > c - d + d

   a - b + d > c

2. Kung ang parehong bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay ay pinarami o hinati sa parehong positibong numero, kung gayon ang isang katumbas na hindi pagkakapantay-pantay ay makukuha, iyon ay,
3. Kung ang parehong mga bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay ay pinarami o hinati sa parehong negatibong numero, kung gayon ang hindi pagkakapantay-pantay na kabaligtaran ng ibinigay na isa ay makukuha, iyon ay, samakatuwid, kapag pinarami o hinahati ang parehong bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay sa isang negatibong numero, ang hindi pagkakapantay-pantay na palatandaan dapat baguhin sa kabaligtaran.

   Maaaring gamitin ang property na ito upang baguhin ang mga senyales ng lahat ng termino ng hindi pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng pagpaparami ng magkabilang panig sa -1 at pag-reverse ng sign ng hindi pagkakapantay-pantay:

   -a + b > -c

   (-a + b) · -isa< (-c) · -isa

   a - b < c

   Hindi pagkakapantay-pantay -a + b > -c ay katumbas ng hindi pagkakapantay-pantay a - b < c

1 . Kung a > b, pagkatapos b< a ; vice versa kung ngunit< b , pagkatapos b > a.

Halimbawa. Kung 5x - 1 > 2x + 1, pagkatapos 2x +1< 5x — 1 .

2 . Kung a > b At b > c, pagkatapos a > c. Katulad, ngunit< b At b< с , pagkatapos a< с .

Halimbawa. Mula sa hindi pagkakapantay-pantay x > 2y, 2y > 10 sinusundan iyon x>10.

3 . Kung a > b pagkatapos a + c > b + c At a - c > b - c. Kung ngunit< b , pagkatapos a + c At a-c , mga. maaari mong idagdag (o ibawas) ang parehong halaga sa magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay

Halimbawa 1. Dahil sa hindi pagkakapantay-pantay x + 8>3. Ang pagbabawas ng numero 8 mula sa parehong bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay, nakita namin x > - 5.

Halimbawa 2. Dahil sa hindi pagkakapantay-pantay x - 6< — 2 . Pagdaragdag ng 6 sa parehong bahagi, nakita namin X< 4 .

4 . Kung a > b At c > d pagkatapos a + c > b + d; eksaktong pareho kung ngunit< b At mula sa< d , pagkatapos a + c< b + d , ibig sabihin, dalawang hindi pagkakapantay-pantay ng parehong kahulugan) ay maaaring idagdag ng termino sa pamamagitan ng termino. Ito ay totoo para sa anumang bilang ng mga hindi pagkakapantay-pantay, halimbawa, kung a1 > b1, a2 > b2, a3 > b3, pagkatapos a1 + a2 + a3 > b1+b2 +b3.

Halimbawa 1. hindi pagkakapantay-pantay — 8 > — 10 At 5 > 2 ay totoo. Ang pagdaragdag sa kanila ng termino sa pamamagitan ng termino, nakita namin ang tamang hindi pagkakapantay-pantay — 3 > — 8 .

Halimbawa 2. Dahil sa isang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay ( 1/2)x + (1/2)y< 18 ; (1/2)x - (1/2)y< 4 . Ang pagdaragdag sa kanila ng termino sa pamamagitan ng termino, nakita namin x< 22 .

Magkomento. Ang dalawang hindi pagkakapantay-pantay ng parehong kahulugan ay hindi maaaring ibawas ng termino sa bawat isa, dahil ang resulta ay maaaring totoo, ngunit maaari rin itong mali. Halimbawa, kung mula sa hindi pagkakapantay-pantay 10 > 8 2 > 1 , pagkatapos ay makukuha natin ang tamang hindi pagkakapantay-pantay 8 > 7 ngunit kung mula sa parehong hindi pagkakapantay-pantay 10 > 8 ibawas ang hindi pagkakapantay-pantay na termino sa pamamagitan ng termino 6 > 1 , pagkatapos ay nakakakuha tayo ng isang kahangalan. Ihambing ang susunod na item.

5 . Kung a > b At c< d , pagkatapos a - c > b - d; kung ngunit< b At c - d, pagkatapos a - c< b — d , ibig sabihin, ang isang hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring ibawas ng termino sa pamamagitan ng isang hindi pagkakapantay-pantay ng kabaligtaran na kahulugan), na nag-iiwan ng tanda ng hindi pagkakapantay-pantay kung saan ang iba ay ibinawas.

Halimbawa 1. hindi pagkakapantay-pantay 12 < 20 At 15 > 7 ay totoo. Ang pagbabawas ng termino sa pamamagitan ng termino ng pangalawa mula sa una at pag-iwan sa tanda ng una, nakuha natin ang tamang hindi pagkakapantay-pantay — 3 < 13 . Ang pagbabawas ng termino sa pamamagitan ng termino ang una mula sa pangalawa at iniiwan ang tanda ng pangalawa, makikita natin ang tamang hindi pagkakapantay-pantay 3 > — 13 .

Halimbawa 2. Dahil sa isang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay (1/2)x + (1/2)y< 18; (1/2)х — (1/2)у > 8 . Ang pagbabawas ng pangalawa mula sa unang hindi pagkakapantay-pantay, nakita namin y< 10 .

6 . Kung a > b At m ay isang positibong numero, kung gayon ma > mb At a/n > b/n, ibig sabihin, ang parehong bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring hatiin o i-multiply sa parehong positibong numero (ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay ay nananatiling pareho). Kung a > b At n ay isang negatibong numero, kung gayon na< nb At a/n< b/n , ibig sabihin, ang parehong bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring i-multiply o hatiin sa parehong negatibong numero, ngunit ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay ay dapat na baligtarin.

Halimbawa 1. Paghahati sa magkabilang panig ng tunay na hindi pagkakapantay-pantay 25 > 20 sa 5 , nakukuha natin ang tamang hindi pagkakapantay-pantay 5 > 4 . Kung hahatiin natin ang magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay 25 > 20 sa — 5 , pagkatapos ay kailangan mong baguhin ang sign > sa < , at pagkatapos ay makukuha natin ang tamang hindi pagkakapantay-pantay — 5 < — 4 .

Halimbawa 2. Mula sa hindi pagkakapantay-pantay 2x< 12 sinusundan iyon X< 6 .

Halimbawa 3. Mula sa hindi pagkakapantay-pantay -(1/3)x - (1/3)x > 4 sinusundan iyon x< — 12 .

Halimbawa 4. Dahil sa hindi pagkakapantay-pantay x/k > y/l; kasunod nito lx > ky kung mga palatandaan ng mga numero l At k ay pareho at iyon lx< ky kung mga palatandaan ng mga numero l At k ay kabaligtaran.

Mahalaga sa amin ang iyong privacy. Para sa kadahilanang ito, bumuo kami ng Patakaran sa Privacy na naglalarawan kung paano namin ginagamit at iniimbak ang iyong impormasyon. Mangyaring basahin ang aming patakaran sa privacy at ipaalam sa amin kung mayroon kang anumang mga katanungan.

Pagkolekta at paggamit ng personal na impormasyon

Ang personal na impormasyon ay tumutukoy sa data na maaaring magamit upang makilala o makipag-ugnayan sa isang partikular na tao.

Maaaring hilingin sa iyo na ibigay ang iyong personal na impormasyon anumang oras kapag nakipag-ugnayan ka sa amin.

Ang mga sumusunod ay ilang halimbawa ng mga uri ng personal na impormasyon na maaari naming kolektahin at kung paano namin magagamit ang naturang impormasyon.

Anong personal na impormasyon ang aming kinokolekta:

• Kapag nagsumite ka ng aplikasyon sa site, maaari kaming mangolekta ng iba't ibang impormasyon, kabilang ang iyong pangalan, numero ng telepono, email address, atbp.

Paano namin ginagamit ang iyong personal na impormasyon:

• Ang personal na impormasyong kinokolekta namin ay nagpapahintulot sa amin na makipag-ugnayan sa iyo at ipaalam sa iyo ang tungkol sa mga natatanging alok, promosyon at iba pang mga kaganapan at paparating na mga kaganapan.
• Paminsan-minsan, maaari naming gamitin ang iyong personal na impormasyon upang magpadala sa iyo ng mahahalagang paunawa at komunikasyon.
• Maaari rin kaming gumamit ng personal na impormasyon para sa mga panloob na layunin, tulad ng pagsasagawa ng mga pag-audit, pagsusuri ng data at iba't ibang pananaliksik upang mapabuti ang mga serbisyong ibinibigay namin at mabigyan ka ng mga rekomendasyon tungkol sa aming mga serbisyo.
• Kung sasali ka sa isang premyo na draw, paligsahan o katulad na insentibo, maaari naming gamitin ang impormasyong ibibigay mo upang pangasiwaan ang mga naturang programa.

Pagbubunyag sa mga ikatlong partido

Hindi namin ibinubunyag ang impormasyong natanggap mula sa iyo sa mga ikatlong partido.

Mga pagbubukod:

• Kung kinakailangan - alinsunod sa batas, utos ng hudikatura, sa mga ligal na paglilitis, at / o batay sa mga pampublikong kahilingan o kahilingan mula sa mga katawan ng estado sa teritoryo ng Russian Federation - ibunyag ang iyong personal na impormasyon. Maaari rin kaming magbunyag ng impormasyon tungkol sa iyo kung matukoy namin na ang naturang pagbubunyag ay kinakailangan o naaangkop para sa seguridad, pagpapatupad ng batas, o iba pang layunin ng pampublikong interes.
• Kung sakaling magkaroon ng muling pagsasaayos, pagsasanib o pagbebenta, maaari naming ilipat ang personal na impormasyong kinokolekta namin sa may-katuturang kahalili ng third party.

Proteksyon ng personal na impormasyon

Gumagawa kami ng mga pag-iingat - kabilang ang administratibo, teknikal at pisikal - upang protektahan ang iyong personal na impormasyon mula sa pagkawala, pagnanakaw, at maling paggamit, pati na rin mula sa hindi awtorisadong pag-access, pagsisiwalat, pagbabago at pagkasira.

Pagpapanatili ng iyong privacy sa antas ng kumpanya

Upang matiyak na ligtas ang iyong personal na impormasyon, ipinapaalam namin ang mga kasanayan sa privacy at seguridad sa aming mga empleyado at mahigpit na ipinapatupad ang mga kasanayan sa privacy.