Bir sayının en küçük katı nasıl bulunur. En küçük ortak kat nasıl bulunur, ancak iki veya daha fazla sayı için
Aşağıda sunulan materyal, LCM - en küçük ortak kat, tanım, örnekler, LCM ve GCD arasındaki ilişki başlığı altındaki makaledeki teorinin mantıklı bir devamıdır. Burada hakkında konuşacağız en küçük ortak katı bulma (LCM) ve örnek çözmeye özellikle dikkat edin. Önce iki sayının LCM'sinin bu sayıların GCD'si cinsinden nasıl hesaplandığını gösterelim. Ardından, sayıları asal çarpanlara ayırarak en küçük ortak katı bulmayı düşünün. Bundan sonra, üç veya daha fazla sayının LCM'sini bulmaya odaklanacağız ve ayrıca negatif sayıların LCM'sinin hesaplanmasına da dikkat edeceğiz.
Sayfa gezintisi.
gcd aracılığıyla en küçük ortak katın (LCM) hesaplanması
En az ortak katı bulmanın bir yolu, LCM ve GCD arasındaki ilişkiye dayanmaktadır. LCM ve GCD arasındaki mevcut ilişki, bilinen en büyük ortak bölen aracılığıyla iki pozitif tamsayının en küçük ortak katını hesaplamanıza olanak tanır. Karşılık gelen formül forma sahiptir LCM(a, b)=a b: GCM(a, b) . Yukarıdaki formüle göre LCM bulma örneklerini düşünün.
Misal.
126 ve 70 sayılarının en küçük ortak katını bulun.
Karar.
Bu örnekte a=126 , b=70 . LCM ve GCD arasındaki formülle ifade edilen ilişkiyi kullanalım. LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). Yani önce 70 ve 126 sayılarının en büyük ortak bölenini bulmalıyız, ardından bu sayıların LCM'sini yazılı formüle göre hesaplayabiliriz.
Euclid'in algoritmasını kullanarak gcd(126, 70)'i bulun: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , dolayısıyla gcd(126, 70)=14 .
Şimdi gerekli en küçük ortak katı buluyoruz: LCM(126, 70)=126 70: GCM(126, 70)= 126 70:14=630 .
Cevap:
LCM(126, 70)=630.
Misal.
LCM(68, 34) nedir?
Karar.
Gibi 68, 34 ile eşit olarak bölünebilir, ardından gcd(68, 34)=34 . Şimdi en küçük ortak katı hesaplıyoruz: LCM(68, 34)=68 34: LCM(68, 34)= 68 34:34=68 .
Cevap:
LCM(68, 34)=68 .
Önceki örneğin, pozitif a ve b tam sayıları için LCM'yi bulmak için aşağıdaki kurala uyduğunu unutmayın: a sayısı b ile bölünebiliyorsa, bu sayıların en küçük ortak katı a'dır.
Sayıları Asal Faktörlere Ayırarak LCM'yi Bulma
En küçük ortak katı bulmanın başka bir yolu da sayıları asal çarpanlara ayırmaktır. Bu sayıların tüm asal çarpanlarının çarpımını yaparsak, sonra bu sayıların açılımlarında bulunan tüm ortak asal çarpanları bu çarpımdan çıkarırsak, elde edilen çarpım bu sayıların en küçük ortak katına eşit olacaktır.
LCM'yi bulmak için ilan edilen kural eşitlikten kaynaklanmaktadır. LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). Gerçekten de, a ve b sayılarının çarpımı, a ve b sayılarının açılımlarında yer alan tüm faktörlerin çarpımına eşittir. Sırasıyla, gcd(a, b), a ve b sayılarının açılımlarında aynı anda mevcut olan tüm asal faktörlerin ürününe eşittir (sayıların asal faktörlere ayrıştırılmasını kullanarak gcd'yi bulma bölümünde açıklanmıştır). ).
Bir örnek alalım. 75=3 5 5 ve 210=2 3 5 7 olduğunu bilelim. Bu açılımların tüm faktörlerinin çarpımını oluşturun: 2 3 3 5 5 5 7 . Şimdi hem 75 sayısının açılımında hem de 210 sayısının açılımında mevcut olan tüm faktörleri (bu çarpanlar 3 ve 5'tir) bu üründen çıkarıyoruz, o zaman ürün 2 3 5 5 7 şeklini alacaktır. Bu çarpım değeri 75 ve 210 sayılarının en küçük ortak katına eşittir. LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050.
Misal.
441 ve 700 sayılarını asal çarpanlarına ayırdıktan sonra, bu sayıların en küçük ortak katını bulun.
Karar.
441 ve 700 sayılarını asal çarpanlarına ayıralım:
441=3 3 7 7 ve 700=2 2 5 5 7 elde ederiz.
Şimdi bu sayıların açılımlarında yer alan tüm faktörlerin bir çarpımını yapalım: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Her iki açılımda da aynı anda mevcut olan tüm faktörleri bu üründen çıkaralım (böyle bir faktör var - bu 7 sayısı): 2 2 3 3 5 5 7 7 . Böylece, LCM(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100.
Cevap:
LCM(441, 700)= 44 100 .
Sayıların asal faktörlere ayrıştırılmasını kullanarak LCM'yi bulma kuralı biraz farklı formüle edilebilir. b sayısının açılımından eksik çarpanları a sayısının ayrıştırılmasından elde edilen çarpanlara eklersek, elde edilen ürünün değeri a ve b sayılarının en küçük ortak katına eşit olacaktır..
Örneğin, 75 ve 210 numaralı aynı sayıları alalım, bunların asal çarpanlarına açılımları şu şekildedir: 75=3 5 5 ve 210=2 3 5 7 . 75 sayısının açılımından 3, 5 ve 5 çarpanlarına, 210 sayısının açılımından eksik 2 ve 7 çarpanlarını ekliyoruz, değeri LCM(75) olan 2 3 5 5 7 ürününü elde ediyoruz. , 210) .
Misal.
84 ve 648'in en küçük ortak katını bulun.
Karar.
Önce 84 ve 648 sayılarının asal çarpanlarına ayrıştırılmasını elde ederiz. 84=2 2 3 7 ve 648=2 2 2 3 3 3 3 gibi görünüyorlar. 84 sayısının açılımından 2 , 2 , 3 ve 7 çarpanlarına 648 sayısının açılımından eksik çarpanlar 2 , 3 , 3 ve 3'ü ekliyoruz , 2 2 2 3 3 3 3 7 ürününü elde ediyoruz , 4 536'ya eşittir. Böylece 84 ve 648 sayılarının en küçük ortak katı istenen en küçük ortak kat 4,536'dır.
Cevap:
LCM(84, 648)=4 536 .
Üç veya daha fazla sayının LCM'sini bulma
Üç veya daha fazla sayının en küçük ortak katı, iki sayının LCM'sini art arda bularak bulunabilir. Üç veya daha fazla sayının LCM'sini bulmanın bir yolunu veren ilgili teoremi hatırlayın.
Teorem.
a 1 , a 2 , …, a k pozitif tam sayıları verilsin, bu sayıların en küçük ortak katı m k sıralı hesaplamada bulunur m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k =LCM(m k−1 , a k) .
Dört sayının en küçük ortak katını bulma örneğinde bu teoremin uygulamasını düşünün.
Misal.
140 , 9 , 54 ve 250 dört sayısının LCM'sini bulun .
Karar.
Bu örnekte a 1=140 , a 2 =9 , a 3 =54 , a 4 =250 .
ilk biz buluruz m 2 \u003d LCM (a 1, a 2) \u003d LCM (140, 9). Bunu yapmak için Öklid algoritmasını kullanarak gcd(140, 9) saptarız, elimizde 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , dolayısıyla gcd( 140, 9)=1 , nereden LCM(140, 9)=140 9: LCM(140, 9)= 140 9:1=1 260 . Yani, m 2 =1 260 .
şimdi buluyoruz m 3 \u003d LCM (m 2, a 3) \u003d LCM (1 260, 54). Öklid algoritması tarafından da belirlenen gcd(1 260, 54) üzerinden hesaplayalım: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Sonra gcd(1 260, 54)=18 , buradan LCM(1 260, 54)= 1 260 54:gcd(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 . Yani, m 3 \u003d 3 780.
Bulmak için sol m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250). Bunu yapmak için Öklid algoritmasını kullanarak OBÜ(3 780, 250) buluyoruz: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Bu nedenle, gcd(3 780, 250)=10 , buradan gcd(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500 . Yani, m 4 \u003d 94 500.
Yani orijinal dört sayının en küçük ortak katı 94.500'dür.
Cevap:
LCM(140, 9, 54, 250)=94.500.
Çoğu durumda, üç veya daha fazla sayının en küçük ortak katı, verilen sayıların asal çarpanlarına ayırmaları kullanılarak kolayca bulunur. Bu durumda aşağıdaki kurala uyulmalıdır. Birkaç sayının en küçük ortak katı, çarpımına eşittir, bu şu şekilde oluşur: ikinci sayının açılımından gelen eksik çarpanlar, birinci sayının açılımından gelen tüm çarpanlara, eksik çarpanlar, açılımından gelen tüm çarpanlara eklenir. üçüncü sayı elde edilen faktörlere eklenir, vb.
Sayıların asal faktörlere ayrıştırılmasını kullanarak en küçük ortak katı bulma örneğini ele alalım.
Misal.
84 , 6 , 48 , 7 , 143 beş sayının en küçük ortak katını bulun.
Karar.
İlk olarak, bu sayıların asal çarpanlara açılımlarını elde ederiz: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 asal çarpan) ve 143=11 13 .
Bu sayıların LCM'sini bulmak için, ilk sayının 84 çarpanlarına (bunlar 2 , 2 , 3 ve 7 ) ikinci sayının 6 açılımından eksik çarpanları eklemeniz gerekir. 6 sayısının açılımı eksik çarpanları içermez, çünkü hem 2 hem de 3 birinci sayının 84 açılımında zaten mevcuttur. 2 , 2 , 3 ve 7 faktörlerine ek olarak , üçüncü sayı 48'in ayrıştırılmasından 2 ve 2 eksik faktörleri ekliyoruz , bir dizi faktör 2 , 2 , 2 , 2 , 3 ve 7 elde ediyoruz . 7 zaten içinde bulunduğundan, bir sonraki adımda bu kümeye faktör eklemeye gerek yoktur. Son olarak, 2 , 2 , 2 , 2 , 3 ve 7 çarpanlarına 143 sayısının açılımından eksik olan 11 ve 13 çarpanlarını ekliyoruz . 48 048'e eşit olan 2 2 2 2 3 7 11 13 ürününü elde ederiz.
En büyük ortak bölen ve en küçük ortak kat, sıradan kesirlerle kolayca işlem yapmanızı sağlayan temel aritmetik kavramlardır. LCM ve çoğunlukla birkaç kesrin ortak paydasını bulmak için kullanılır.
Temel konseptler
Bir X tamsayının böleni, X'in kalansız bölünebildiği başka bir Y tamsayıdır. Örneğin, 4'ün böleni 2'dir ve 36, 4, 6, 9'dur. X tamsayısının bir katı, X'e kalansız bölünebilen bir Y sayısıdır. Örneğin, 3, 15'in katıdır ve 6, 12'nin katıdır.
Herhangi bir sayı çiftinin ortak bölenlerini ve katlarını bulabiliriz. Örneğin, 6 ve 9 için ortak kat 18'dir ve ortak bölen 3'tür. Açıkçası, çiftlerin birkaç böleni ve katı olabilir, bu nedenle hesaplamalarda OBEB'nin en büyük böleni ve LCM'nin en küçük katı kullanılır. .
Herhangi bir sayı için her zaman bir olduğu için en küçük bölen anlamlı değildir. En büyük kat da anlamsızdır, çünkü katların dizisi sonsuzluğa meyleder.
GCD'yi bulma
En büyük ortak böleni bulmak için birçok yöntem vardır ve bunlardan en ünlüleri şunlardır:
- bölenlerin sıralı sayımı, bir çift için ortak olanların seçimi ve en büyüğünün aranması;
- sayıların bölünemez çarpanlara ayrılması;
- Euclid'in algoritması;
- ikili algoritma.
Bugün, eğitim kurumlarında, asal faktörlere ayrıştırmanın en popüler yöntemleri ve Öklid algoritması. İkincisi, sırayla, Diophantine denklemlerinin çözümünde kullanılır: denklemi tamsayılarda çözme olasılığını kontrol etmek için GCD'nin aranması gerekir.
NOC'yi bulma
En küçük ortak kat da tam olarak numaralandırma veya bölünmez faktörlere ayırma ile belirlenir. Ayrıca, en büyük bölen zaten belirlenmişse, LCM'yi bulmak kolaydır. X ve Y sayıları için, LCM ve GCD aşağıdaki bağıntıyla ilişkilidir:
LCM(X,Y) = X × Y / GCM(X,Y).
Örneğin, gcd(15,18) = 3 ise, LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. LCM'nin en belirgin kullanımı, ortak paydanın en küçük ortak katı olan ortak paydayı bulmaktır. verilen kesirler.
asal sayılar
Bir sayı çiftinin ortak böleni yoksa, böyle bir sayı çiftine asal denir. Bu tür çiftler için GCM her zaman bire eşittir ve bölenlerin ve katların bağlantısına dayalı olarak, ortak asal için GCM, bunların çarpımına eşittir. Örneğin, 25 ve 28 sayıları ortak bölenleri olmadığı için aralarında asaldır ve LCM(25, 28) = 700, bunların çarpımına karşılık gelir. Bölünemeyen herhangi iki sayı her zaman aralarında asal olacaktır.
Ortak Bölen ve Çoklu Hesap Makinesi
Hesaplayıcımızla, aralarından seçim yapabileceğiniz herhangi bir sayı için GCD ve LCM'yi hesaplayabilirsiniz. Ortak bölenleri ve katları hesaplama görevleri 5. ve 6. sınıfların aritmetiğinde bulunur, ancak GCD ve LCM matematiğin temel kavramlarıdır ve sayı teorisi, planimetri ve iletişimsel cebirde kullanılır.
Gerçek hayattan örnekler
Kesirlerin ortak paydası
En küçük ortak kat, birkaç kesrin ortak paydasını bulurken kullanılır. Bir aritmetik probleminde 5 kesrin toplanması gerekir:
1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.
Kesirler eklemek için ifadenin ortak bir paydaya indirgenmesi gerekir, bu da LCM'yi bulma sorununu azaltır. Bunu yapmak için hesap makinesinde 5 sayı seçin ve uygun hücrelere payda değerlerini girin. Program LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360'ı hesaplayacaktır. Şimdi her kesir için LCM'nin paydaya oranı olarak tanımlanan ek faktörleri hesaplamanız gerekiyor. Böylece ekstra çarpanlar şöyle görünür:
- 360/8 = 45
- 360/9 = 40
- 360/12 = 30
- 360/15 = 24
- 360/18 = 20.
Bundan sonra, tüm kesirleri karşılık gelen ek faktörle çarparız ve şunu elde ederiz:
45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.
Bu tür kesirleri kolayca ekleyebilir ve sonucu 159/360 şeklinde alabiliriz. Kesri 3 azaltıyoruz ve son cevabı görüyoruz - 53/120.
Lineer Diophant denklemlerinin çözümü
Doğrusal Diofant denklemleri, ax + by = d formunun ifadeleridir. d / gcd(a, b) oranı bir tam sayı ise, denklem tam sayılarda çözülebilir. Bir tamsayı çözüm olasılığı için birkaç denklemi kontrol edelim. Önce 150x + 8y = 37 denklemini kontrol edin. Bir hesap makinesi kullanarak gcd (150.8) = 2'yi buluruz. 37/2 = 18.5'i bölün. Sayı bir tamsayı değildir, bu nedenle denklemin tamsayı kökleri yoktur.
1320x + 1760y = 10120 denklemini kontrol edelim. gcd(1320, 1760) = 440'ı bulmak için bir hesap makinesi kullanın. 10120/440 = 23'ü bölün. Sonuç olarak, bir tamsayı elde ederiz, bu nedenle Diophant denklemi tamsayı katsayılarında çözülebilir .
Çözüm
GCD ve LCM, sayı teorisinde önemli bir rol oynamaktadır ve kavramların kendileri matematiğin çeşitli alanlarında yaygın olarak kullanılmaktadır. Herhangi bir sayının en büyük bölenlerini ve en küçük katlarını hesaplamak için hesap makinemizi kullanın.
LCM - En Küçük Ortak Kat, Tanım, Örnekler bölümünde başladığımız en küçük ortak kat ile ilgili tartışmaya devam edelim. Bu konumuzda, üç veya daha fazla sayı için LCM'yi bulmanın yollarına bakacağız, negatif bir sayının LCM'sini nasıl bulacağımız sorusunu analiz edeceğiz.
Yandex.RTB R-A-339285-1
gcd aracılığıyla en küçük ortak katın (LCM) hesaplanması
En küçük ortak kat ile en büyük ortak bölen arasındaki ilişkiyi zaten kurduk. Şimdi LCM'yi GCD üzerinden nasıl tanımlayacağımızı öğrenelim. İlk olarak, pozitif sayılar için bunu nasıl yapacağımızı bulalım.
tanım 1
LCM (a, b) \u003d a b: GCD (a, b) formülünü kullanarak en büyük ortak bölen aracılığıyla en küçük ortak katı bulabilirsiniz.
örnek 1
126 ve 70 sayılarının LCM'sini bulmak gerekir.
Karar
a = 126 , b = 70 alalım. En büyük ortak bölen LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) aracılığıyla en küçük ortak katı hesaplamak için formüldeki değerleri değiştirin.
70 ve 126 sayılarının GCD'sini bulur. Bunun için Öklid algoritmasına ihtiyacımız var: 126 = 70 1 + 56 , 70 = 56 1 + 14 , 56 = 14 4 , dolayısıyla gcd (126 , 70) = 14 .
LCM'yi hesaplayalım: LCM (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.
Cevap: LCM (126, 70) = 630.
Örnek 2
68 ve 34 sayılarının nokunu bulun.
Karar
Bu durumda GCD'yi bulmak kolaydır, çünkü 68, 34'e bölünebilir. LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68 formülünü kullanarak en küçük ortak katı hesaplayın.
Cevap: LCM(68, 34) = 68.
Bu örnekte, a ve b pozitif tam sayılarının en küçük ortak katını bulmak için kuralı kullandık: eğer ilk sayı ikinciye bölünebiliyorsa, bu sayıların LCM'si ilk sayıya eşit olacaktır.
Sayıları Asal Faktörlere Ayırarak LCM'yi Bulma
Şimdi sayıların asal faktörlere ayrıştırılmasına dayanan LCM'yi bulmanın bir yoluna bakalım.
tanım 2
En küçük ortak katı bulmak için birkaç basit adım uygulamamız gerekir:
- LCM'yi bulmamız gereken tüm asal çarpanların çarpımını oluşturuyoruz;
- tüm asal faktörleri elde edilen ürünlerden hariç tutuyoruz;
- ortak asal çarpanları elendikten sonra elde edilen ürün, verilen sayıların LCM'sine eşit olacaktır.
En küçük ortak katı bulmanın bu yolu, LCM (a , b) = a b: GCD (a , b) eşitliğine dayanır. Formüle bakarsanız, netleşecektir: a ve b sayılarının çarpımı, bu iki sayının açılımında yer alan tüm faktörlerin çarpımına eşittir. Bu durumda, iki sayının EBOB'u, bu iki sayının çarpanlarına ayırmalarında aynı anda bulunan tüm asal çarpanların çarpımına eşittir.
Örnek 3
75 ve 210 olmak üzere iki numaramız var. Bunları şu şekilde ayırabiliriz: 75 = 3 5 5 ve 210 = 2 3 5 7. İki orijinal sayının tüm çarpanlarının çarpımını yaparsanız, şunu elde edersiniz: 2 3 3 5 5 5 7.
Hem 3 hem de 5 sayıları için ortak faktörleri hariç tutarsak, aşağıdaki biçimde bir ürün elde ederiz: 2 3 5 5 7 = 1050. Bu ürün, 75 ve 210 numaralar için LCM'miz olacaktır.
Örnek 4
Sayıların LCM'sini bulun 441 ve 700 , her iki sayıyı da asal faktörlere ayrıştırmak.
Karar
Bu durumda verilen sayıların tüm asal çarpanlarını bulalım:
441 147 49 7 1 3 3 7 7
700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7
İki sayı zinciri elde ederiz: 441 = 3 3 7 7 ve 700 = 2 2 5 5 7 .
Bu sayıların genişlemesine katılan tüm faktörlerin ürünü şöyle görünecektir: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Ortak çarpanları bulalım. Bu sayı 7'dir. Genel üründen hariç tutuyoruz: 2 2 3 3 5 5 7 7. Görünüşe göre NOC (441 , 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.
Cevap: LCM (441 , 700) = 44 100 .
Sayıları asal çarpanlara ayırarak LCM'yi bulma yönteminin bir formülünü daha verelim.
tanım 3
Daha önce, her iki sayı için ortak olan toplam faktör sayısından çıkarmıştık. Şimdi bunu farklı yapacağız:
- Her iki sayıyı da asal çarpanlarına ayıralım:
- birinci sayının asal çarpanlarının çarpımına ikinci sayının eksik çarpanlarını ekleyin;
- iki sayının istenen LCM'si olacak ürünü elde ederiz.
Örnek 5
Önceki örneklerden birinde LCM'yi aradığımız 75 ve 210 sayılarına geri dönelim. Bunları basit faktörlere ayıralım: 75 = 3 5 5 ve 210 = 2 3 5 7. 3 , 5 ve çarpanlarının çarpımı için 5 75 numara eksik faktörleri ekleyin 2 ve 7 sayılar 210 Alırız: 2 3 5 5 7 . Bu, 75 ve 210 sayılarının LCM'sidir.
Örnek 6
84 ve 648 sayılarının LCM'sini hesaplamak gerekir.
Karar
Koşuldaki sayıları asal çarpanlara ayıralım: 84 = 2 2 3 7 ve 648 = 2 2 2 3 3 3 3. 2 , 2 , 3 ve çarpanlarının çarpımına ekleyin 7
sayılar 84 eksik çarpanlar 2 , 3 , 3 ve
3
sayılar 648 . ürünü alıyoruz 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536 . Bu, 84 ve 648'in en küçük ortak katıdır.
Cevap: LCM (84, 648) = 4536.
Üç veya daha fazla sayının LCM'sini bulma
Kaç sayı ile uğraştığımıza bakılmaksızın, eylemlerimizin algoritması her zaman aynı olacaktır: sürekli olarak iki sayının LCM'sini bulacağız. Bu durum için bir teorem var.
teorem 1
Diyelim ki tamsayılarımız var bir 1 , bir 2 , … , bir k. NOC mk bu sayıların bir tanesi sıralı hesaplamada bulunur m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k = LCM (m k − 1 , a k) .
Şimdi teoremin belirli problemlere nasıl uygulanabileceğine bakalım.
Örnek 7
140 , 9 , 54 ve dört sayının en küçük ortak katını hesaplamanız gerekir. 250 .
Karar
Gösterimi tanıtalım: 1 \u003d 140, 2 \u003d 9, 3 \u003d 54, 4 \u003d 250.
m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140 , 9) değerini hesaplayarak başlayalım. 140 ve 9 sayılarının GCD'sini hesaplamak için Öklid algoritmasını kullanalım: 140 = 9 15 + 5 , 9 = 5 1 + 4 , 5 = 4 1 + 1 , 4 = 1 4 . Şunu elde ederiz: OBEB(140, 9) = 1, LCM(140, 9) = 140 9: OBEB(140, 9) = 140 9: 1 = 1260. Bu nedenle, m 2 = 1 260 .
Şimdi aynı algoritmaya göre hesaplayalım m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260 , 54) . Hesaplamalar sırasında m 3 = 3 780 elde ederiz.
Bize m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250) hesaplamak kalıyor. Aynı algoritmaya göre hareket ediyoruz. m 4 \u003d 94 500 alıyoruz.
Örnek koşuldaki dört sayının LCM'si 94500'dür.
Cevap: LCM (140, 9, 54, 250) = 94.500.
Gördüğünüz gibi, hesaplamalar basit ama oldukça zahmetli. Zaman kazanmak için diğer tarafa gidebilirsiniz.
tanım 4
Size aşağıdaki eylem algoritmasını sunuyoruz:
- tüm sayıları asal çarpanlara ayırın;
- birinci sayının çarpanlarının çarpımına, ikinci sayının çarpımından eksik çarpanları ekleyin;
- önceki aşamada elde edilen ürüne üçüncü sayının eksik çarpanlarını ekleyin, vb.;
- elde edilen ürün, koşuldaki tüm sayıların en küçük ortak katı olacaktır.
Örnek 8
84 , 6 , 48 , 7 , 143 beş sayının LCM'sini bulmak gerekir .
Karar
Beş sayıyı da asal çarpanlarına ayıralım: 84 = 2 2 3 7 , 6 = 2 3 , 48 = 2 2 2 2 3 , 7 , 143 = 11 13 . 7 sayısı olan asal sayılar asal çarpanlara ayrılamaz. Bu tür sayılar, asal faktörlere ayrışmalarıyla örtüşür.
Şimdi 84 sayısının 2, 2, 3 ve 7 asal çarpanlarının çarpımını alalım ve onlara ikinci sayının eksik çarpanlarını ekleyelim. 6 sayısını 2 ve 3'e ayırdık. Bu faktörler zaten ilk sayının ürünündedir. Bu nedenle, onları atlıyoruz.
Eksik çarpanları eklemeye devam ediyoruz. 2 ve 2'yi aldığımız asal çarpanların çarpımından 48 sayısına dönüyoruz. Sonra dördüncü sayıdan basit bir 7 çarpanı ve beşinci sayının 11 ve 13'ünün çarpanlarını ekliyoruz. Şunu elde ederiz: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48.048. Bu, beş orijinal sayının en küçük ortak katıdır.
Cevap: LCM (84, 6, 48, 7, 143) = 48.048.
Negatif Sayıların En Küçük Ortak Katını Bulma
Negatif sayıların en küçük ortak katını bulmak için bu sayıların önce zıt işaretli sayılarla değiştirilmesi, ardından hesaplamaların yukarıdaki algoritmalara göre yapılması gerekir.
Örnek 9
LCM(54, −34) = LCM(54, 34) ve LCM(−622,−46, −54,−888) = LCM(622, 46, 54, 888) .
Kabul edildiği takdirde, bu tür eylemlere izin verilir. a ve - bir- zıt sayılar
sonra katlar kümesi a bir sayının katları kümesiyle çakışır - bir.
Örnek 10
Negatif sayıların LCM'sini hesaplamak gerekir − 145 ve − 45 .
Karar
sayıları değiştirelim − 145 ve − 45 onların zıt sayılarına 145 ve 45 . Şimdi, algoritmayı kullanarak, daha önce Öklid algoritmasını kullanarak GCD'yi belirledikten sonra, LCM (145 , 45) = 145 45: GCD (145 , 45) = 145 45: 5 = 1 305'i hesaplıyoruz.
− 145 sayılarının LCM'sini ve − 45 eşittir 1 305 .
Cevap: LCM (− 145 , − 45) = 1 305 .
Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.
Ancak birçok doğal sayı, diğer doğal sayılara eşit olarak bölünebilir.
örneğin:
12 sayısı 1'e, 2'ye, 3'e, 4'e, 6'ya, 12'ye bölünür;
36 sayısı 1'e, 2'ye, 3'e, 4'e, 6'ya, 12'ye, 18'e, 36'ya tam bölünür.
Sayının bölünebildiği sayılara (12 için 1, 2, 3, 4, 6 ve 12'dir) denir. sayı bölenleri. Bir doğal sayının böleni a verilen sayıyı bölen doğal sayıdır a iz bırakmadan. İkiden fazla çarpanı olan doğal sayılara denir bileşik .
12 ve 36 sayılarının ortak bölenleri olduğuna dikkat edin. Bunlar sayılardır: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Bu sayıların en büyük böleni 12'dir. Bu iki sayının ortak böleni a ve b Verilen her iki sayının da kalansız bölünebildiği sayıdır a ve b.
Ortak çoklu birkaç sayıya bu sayıların her birine bölünebilen sayı denir. örneğin, 9, 18 ve 45 sayılarının ortak katı 180'dir. Ancak 90 ve 360 da ortak katlarıdır. Tüm ortak katlar arasında her zaman en küçüğü vardır, bu durumda 90'dır. Bu sayıya denir. en azortak kat (LCM).
LCM her zaman, tanımlandığı sayıların en büyüğünden büyük olması gereken doğal bir sayıdır.
En küçük ortak kat (LCM). Özellikleri.
Değişebilirlik:
ilişkilendirme:
Özellikle, eğer ve asal sayılarsa , o zaman:
İki tamsayının en küçük ortak katı m ve n diğer tüm ortak katların bir bölenidir m ve n. Ayrıca ortak katlar kümesi m,n LCM( m,n).
için asimptotikler, bazı teorik sayılarla ifade edilebilir.
Böyle, Chebyshev işlevi. Birlikte:
Bu, Landau fonksiyonunun tanımından ve özelliklerinden kaynaklanmaktadır. g(n).
Asal sayıların dağılım yasasından çıkan sonuç.
En küçük ortak katı (LCM) bulma.
NOC( bir, b) birkaç yolla hesaplanabilir:
1. En büyük ortak bölen biliniyorsa, LCM ile ilişkisini kullanabilirsiniz:
2. Her iki sayının da asal çarpanlarına kanonik olarak ayrıştırılmasının bilinmesine izin verin:
nerede p 1 ,...,p kçeşitli asal sayılardır ve g 1 ,...,dk ve e 1 ,...,ek negatif olmayan tam sayılardır (ilgili asal sayı genişlemede değilse, sıfır olabilirler).
Daha sonra LCM ( a,b) şu formülle hesaplanır:
Başka bir deyişle, LCM ayrıştırması, sayıların ayrıştırılmasından en az birinde görünen tüm asal faktörleri içerir. bir, b, ve bu faktörün iki üssünden en büyüğü alınır.
Misal:
Birkaç sayının en küçük ortak katının hesaplanması, iki sayının LCM'sinin birkaç ardışık hesaplamasına indirgenebilir:
Kural. Bir sayı dizisinin LCM'sini bulmak için şunlara ihtiyacınız vardır:
- sayıları asal çarpanlara ayırmak;
- en büyük açılımı istenen ürünün çarpanlarına aktarın (verilenlerin en büyük sayısının çarpanlarının çarpımı) ve ardından ilk sayıda olmayan veya içinde bulunan diğer sayıların açılımından çarpanları ekleyin daha az sayıda;
- asal faktörlerin ortaya çıkan ürünü, verilen sayıların LCM'si olacaktır.
Herhangi iki veya daha fazla doğal sayının kendi LCM'si vardır. Sayılar birbirinin katı değilse veya genişlemede aynı çarpanlara sahip değilse, LCM'leri bu sayıların çarpımına eşittir.
28 sayısının (2, 2, 7) asal çarpanları 3 çarpanıyla (21 sayısı) tamamlanırsa, ortaya çıkan ürün (84) 21 ve 28 ile bölünebilen en küçük sayı olacaktır.
En büyük 30 sayısının asal çarpanları 25 sayısının 5 katı ile tamamlanmıştır, elde edilen 150 çarpımı en büyük 30 sayısından büyüktür ve verilen tüm sayılara kalansız bölünebilir. Bu, verilen tüm sayıların katları olan mümkün olan en küçük çarpımdır (150, 250, 300...).
2,3,11,37 sayıları asaldır, dolayısıyla LCM'leri verilen sayıların çarpımına eşittir.
kural. Asal sayıların LCM'sini hesaplamak için tüm bu sayıları birlikte çarpmanız gerekir.
Başka seçenek:
Birkaç sayının en küçük ortak katını (LCM) bulmak için ihtiyacınız olan:
1) her sayıyı asal faktörlerinin bir ürünü olarak temsil eder, örneğin:
504 \u003d 2 2 2 3 3 7,
2) tüm asal faktörlerin güçlerini yazın:
504 \u003d 2 2 2 3 3 7 \u003d 2 3 3 2 7 1,
3) bu sayıların her birinin tüm asal bölenlerini (çarpanlarını) yazın;
4) bu sayıların tüm açılımlarında bulunan her birinin en büyük derecesini seçin;
5) bu güçleri çarpın.
Misal. Sayıların LCM'sini bulun: 168, 180 ve 3024.
Karar. 168 \u003d 2 2 2 3 7 \u003d 2 3 3 1 7 1,
180 \u003d 2 2 3 3 5 \u003d 2 2 3 2 5 1,
3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1 .
Tüm asal bölenlerin en büyük kuvvetlerini yazıp çarpıyoruz:
LCM = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.
Tanım. a ve b sayılarının kalansız bölünebildiği en büyük doğal sayıya denir en büyük ortak bölen (gcd) bu sayılar.
24 ve 35 sayılarının en büyük ortak bölenini bulalım.
24'ün bölenleri 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, 35'in bölenleri 1, 5, 7, 35 sayıları olacak.
24 ve 35 sayılarının yalnızca bir ortak böleni olduğunu görüyoruz - 1 sayısı. asal.
Tanım. Doğal sayılar denir asal en büyük ortak bölenleri (gcd) 1 ise.
En Büyük Ortak Bölen (GCD) Verilen sayıların tüm bölenleri yazılmadan bulunabilir.
48 ve 36 sayılarını çarpanlarına ayırarak şunu elde ederiz:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Bu sayıların ilkinin genişlemesine dahil olan faktörlerden, ikinci sayının genişlemesine dahil olmayanları (yani iki ikili) siliyoruz.
2*2*3 çarpanları kalır.Çarmı 12'dir.Bu sayı 48 ve 36 sayılarının en büyük ortak bölenidir.Üç veya daha fazla sayının en büyük ortak böleni de bulunur.
Bulmak en büyük ortak böleni
2) bu sayılardan birinin açılımında yer alan faktörlerden, diğer sayıların açılımında yer almayanları çizin;
3) Kalan çarpanların çarpımını bulunuz.
Verilen tüm sayılar bunlardan birine bölünebiliyorsa, bu sayı en büyük ortak böleni verilen sayılar.
Örneğin, 15, 45, 75 ve 180 sayılarının en büyük ortak böleni 15'tir, çünkü diğer tüm sayıları böler: 45, 75 ve 180.
En küçük ortak kat (LCM)
Tanım. En küçük ortak kat (LCM) a ve b doğal sayıları hem a hem de b'nin katı olan en küçük doğal sayılardır. 75 ve 60 sayılarının en küçük ortak katı (LCM), bu sayıların katlarını arka arkaya yazmadan bulunabilir. Bunu yapmak için 75 ve 60'ı basit faktörlere ayırıyoruz: 75 \u003d 3 * 5 * 5 ve 60 \u003d 2 * 2 * 3 * 5.
Bu sayıların ilkinin genişlemesine dahil olan faktörleri yazıyoruz ve onlara ikinci sayının genişlemesinden eksik olan 2 ve 2 faktörlerini ekliyoruz (yani faktörleri birleştiriyoruz).
Çarpımı 300 olan 2*2*3*5*5 5 çarpanını elde ederiz. Bu sayı 75 ve 60 sayılarının en küçük ortak katıdır.
Ayrıca üç veya daha fazla sayının en küçük ortak katını bulun.
İle en küçük ortak katı bul birkaç doğal sayı, ihtiyacınız olan:
1) onları asal faktörlere ayırın;
2) sayılardan birinin açılımında yer alan faktörleri yazın;
3) onlara kalan sayıların açılımlarından eksik faktörleri ekleyin;
4) Ortaya çıkan faktörlerin ürününü bulun.
Bu sayılardan biri diğer tüm sayılara bölünebiliyorsa, bu sayının bu sayıların en küçük ortak katı olduğuna dikkat edin.
Örneğin, 12, 15, 20 ve 60'ın en küçük ortak katı 60 olur, çünkü verilen tüm sayılara bölünebilir.
Pisagor (MÖ VI. Yüzyıl) ve öğrencileri sayıların bölünebilirliği konusunu incelediler. Tüm bölenlerinin toplamına eşit bir sayı (sayı olmadan), mükemmel sayı olarak adlandırdılar. Örneğin 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) sayıları mükemmeldir. Sonraki mükemmel sayılar 496, 8128, 33,550,336'dır.Pisagorcular sadece ilk üç mükemmel sayıyı biliyorlardı. Dördüncü - 8128 - 1. yüzyılda tanındı. n. e. Beşinci - 33 550 336 - 15. yüzyılda bulundu. 1983'te 27 mükemmel sayı zaten biliniyordu. Ancak şimdiye kadar bilim adamları, tek mükemmel sayıların olup olmadığını, en büyük mükemmel sayının olup olmadığını bilmiyorlar.
Eski matematikçilerin asal sayılara olan ilgisi, herhangi bir sayının ya asal olması ya da asal sayıların bir ürünü olarak temsil edilebilmesi gerçeğinden kaynaklanmaktadır, yani asal sayılar, geri kalan doğal sayıların yapıldığı tuğla gibidir.
Muhtemelen, doğal sayılar dizisindeki asal sayıların eşit olmayan bir şekilde oluştuğunu fark etmişsinizdir - dizinin bazı bölümlerinde daha fazla, bazılarında daha az - daha az. Ancak sayı dizisinde ne kadar ileri gidersek, asal sayılar o kadar nadir olur. Soru ortaya çıkıyor: son (en büyük) asal sayı var mı? Eski Yunan matematikçi Öklid (MÖ 3. yüzyıl), iki bin yıl boyunca matematiğin ana ders kitabı olan "Başlangıçlar" adlı kitabında, sonsuz sayıda asal sayı olduğunu, yani her asal sayının arkasında bir çift olduğunu kanıtladı. daha büyük asal sayı
Aynı zamanda bir başka Yunan matematikçi olan Eratosthenes, asal sayıları bulmak için böyle bir yöntem geliştirdi. 1'den bir sayıya kadar olan tüm sayıları yazdı ve sonra ne asal ne de bileşik sayı olan birimin üzerini çizdi, sonra 2'den sonraki tüm sayıların üzerini çizdi (2'nin katı olan sayılar, yani 4, 6, 8, vb.). 2'den sonra kalan ilk sayı 3'tür. Ardından, ikiden sonra, 3'ten sonraki tüm sayıların üzeri çizilmiştir (3'ün katı olan sayılar, yani 6, 9, 12, vb.). sonunda, yalnızca asal sayılar üstü çizilmemiş olarak kaldı.