Kenarları denklem tarafından verilen bir üçgenin köşelerini bulun. Analitik geometride problem çözmeyi nasıl öğrenebilirim? Düzlemde bir üçgenle ilgili tipik bir problem. Bilmeniz gerekenler ve geometrideki problemleri başarıyla çözebilmeniz

Analitik geometride problem çözmeyi nasıl öğrenebilirim?
Uçakta üçgenle ilgili tipik sorun

Bu ders, düzlem geometrisi ile uzay geometrisi arasındaki ekvatora yaklaşım üzerine oluşturulmuştur. Şu anda, biriken bilgileri sistematize etmeye ve çok önemli bir soruyu cevaplamaya ihtiyaç var: Analitik geometride problem çözmeyi nasıl öğrenebilirim? Zorluk, geometride sonsuz sayıda problem olması ve hiçbir ders kitabının bu kadar çok ve çeşitli örnekleri içerememesi gerçeğinde yatmaktadır. Değil fonksiyon türevi beş farklılaşma kuralı, bir tablo ve birkaç teknikle...

Bir çözüm var! Bir tür görkemli teknik geliştirdiğimi yüksek sesle söylemeyeceğim, ancak bence, söz konusu soruna tam bir su ısıtıcısının bile iyi ve mükemmel sonuçlar elde etmesini sağlayan etkili bir yaklaşım var. En azından, geometrik problemleri çözmek için genel algoritma kafamda çok net bir şekilde şekillendi.

BİLMENİZ VE YAPABİLMEMİZ GEREKENLER
geometrideki problemleri başarıyla çözmek için?

Bundan kaçış yok - burnunuzla rastgele düğmeleri dürtmemek için analitik geometrinin temellerine hakim olmanız gerekir. Bu nedenle, geometri çalışmaya yeni başladıysanız veya tamamen unuttuysanız, lütfen derse başlayın. Aptallar için vektörler. Vektörlere ve bunlarla ilgili eylemlere ek olarak, özellikle düzlem geometrisinin temel kavramlarını bilmeniz gerekir, düzlemde bir doğrunun denklemi ve . Uzayın geometrisi makalelerle temsil edilir düzlem denklemi, Uzayda düz bir çizginin denklemleri, Bir çizgide ve bir düzlemde temel görevler ve diğer bazı dersler. İkinci derecenin eğri çizgileri ve uzaysal yüzeyleri biraz ayrıdır ve bunlarla ilgili çok fazla spesifik problem yoktur.

Bir öğrencinin analitik geometrinin en basit problemlerini çözmede zaten temel bilgi ve becerilere sahip olduğunu varsayalım. Ama bu şöyle olur: sorunun durumunu okursunuz ve ... her şeyi tamamen kapatmak, uzak bir köşeye atmak ve korkunç bir rüya gibi unutmak istersiniz. Ayrıca, bu temelde niteliklerinizin düzeyine bağlı değildir, zaman zaman kendim çözümün açık olmadığı görevlerle karşılaşıyorum. Bu gibi durumlarda nasıl hareket edilir? Anlamadığınız bir görevden korkmanıza gerek yok!

Her şeyden önce, olarak ayarlanmalıdır "düzlemsel" mi yoksa uzamsal bir problem mi?Örneğin, koşulda iki koordinatlı vektörler görünüyorsa, bu, elbette, düzlemin geometrisidir. Ve eğer öğretmen minnettar dinleyiciye bir piramit yüklediyse, o zaman açıkça uzayın geometrisi vardır. İlk adımın sonuçları zaten oldukça iyi, çünkü bu görev için gereksiz olan büyük miktarda bilgiyi kesmeyi başardık!

İkinci. Durum, kural olarak, sizi bazı geometrik şekillerle ilgilendirecektir. Gerçekten de, yerel üniversitenizin koridorlarında yürüyün ve birçok endişeli yüz göreceksiniz.

"Düz" problemlerde, bariz noktalar ve çizgiler bir yana, en popüler şekil bir üçgendir. Bunu çok detaylı bir şekilde analiz edeceğiz. Daha sonra paralelkenar gelir ve dikdörtgen, kare, eşkenar dörtgen, daire ve diğer şekiller çok daha az yaygındır.

Mekansal görevlerde, aynı düz figürler + uçakların kendileri ve paralel yüzlü ortak üçgen piramitler uçabilir.

Soru iki - Bu rakam hakkında her şeyi biliyor musunuz? Durumun bir ikizkenar üçgenle ilgili olduğunu ve ne tür bir üçgen olduğunu çok belirsiz hatırladığınızı varsayalım. Bir okul ders kitabı açıp bir ikizkenar üçgeni okuyoruz. Ne yapmalı... doktor eşkenar dörtgen dedi, yani eşkenar dörtgen. Analitik geometri analitik geometridir, ancak problem, şekillerin geometrik özelliklerini çözmeye yardımcı olacaktır. okul müfredatından bize tanıdık. Bir üçgenin açılarının toplamının ne olduğunu bilmiyorsanız, uzun süre acı çekebilirsiniz.

Üçüncü. HER ZAMAN planı takip etmeye çalışın(taslakta / temiz / zihinsel olarak), bu durum şart olmasa bile. "Düz" görevlerde, Euclid'in kendisi, yalnızca durumu anlamak için değil, aynı zamanda kendi kendini test etmek amacıyla da elinde kurşun kalemle bir cetvel almayı emretti. Bu durumda en uygun ölçek 1 birim = 1 cm'dir (2 tetrad hücre). İhmalkar öğrencilerden ve mezarlarında dönen matematikçilerden bahsetmeyelim - bu tür problemlerde hata yapmak neredeyse imkansız. Mekansal görevler için, durumu analiz etmeye de yardımcı olacak şematik bir çizim yapıyoruz.

Bir çizim veya şematik çizim genellikle sorunu çözmenin yolunu hemen görmenizi sağlar. Tabii ki, bunun için geometrinin temelini bilmeniz ve geometrik şekillerin özelliklerini kesmeniz gerekir (önceki paragrafa bakın).

dördüncü. Bir çözüm algoritmasının geliştirilmesi. Birçok geometri problemi çok geçişlidir, bu nedenle çözümü ve tasarımını noktalara bölmek çok uygundur. Genellikle, koşulu okuduktan veya çizimi tamamladıktan sonra algoritma hemen akla gelir. Zorluk durumunda, sorunun SORUSU ile başlıyoruz. Örneğin, "düz bir çizgi inşa etmek gerekiyor ..." koşuluna göre. Burada en mantıklı soru şudur: “Bu hattı inşa etmek için ne bilmek yeterlidir?”. Diyelim ki, "noktayı biliyoruz, yön vektörünü bilmemiz gerekiyor." Şu soruyu soruyoruz: “Bu yön vektörü nasıl bulunur? Neresi?" vb.

Bazen bir "fiş" vardır - görev çözülmedi ve hepsi bu. Durdurucunun nedenleri aşağıdakiler olabilir:

- Temel bilgilerde ciddi bir boşluk. Başka bir deyişle, çok basit bir şeyi bilmiyorsunuz veya (ve) görmüyorsunuz.

- Geometrik şekillerin özelliklerinin bilinmemesi.

- Görev zordu. Evet, olur. Saatlerce buğulamanın ve bir mendilde gözyaşı toplamanın bir anlamı yok. Öğretmeninize, diğer öğrencilere sorun veya tavsiye için forumda bir soru sorun. Ayrıca, açıklamasını somut hale getirmek daha iyidir - çözümün anlamadığınız kısmı hakkında. "Sorun nasıl çözülür?" Şeklinde bir çığlık. iyi görünmüyor... ve her şeyden önce kendi itibarınız için.

Beşinci aşama. Çöz-kontrol et, çöz-kontrol et, çöz-kontrol et-cevap veriyoruz. Görevin her bir maddesini kontrol etmekte fayda var. yapıldıktan hemen sonra. Bu, hatayı hemen bulmanıza yardımcı olacaktır. Doğal olarak, hiç kimse sorunun tamamını hızlı bir şekilde çözmeyi yasaklamaz, ancak her şeyi yeniden yazma riski vardır (genellikle birkaç sayfa).

Burada, belki de, sorunları çözerken rehberlik edilmesinin tavsiye edildiği tüm ana hususlardır.

Dersin pratik kısmı bir düzlemde geometri ile temsil edilir. Sadece iki örnek olacak ama yeterli görünmeyecek =)

Küçük bilimsel çalışmamda az önce gözden geçirdiğim algoritmanın konusunu inceleyelim:

örnek 1

Bir paralelkenarın üç köşesi verilmiştir. Üst bulun.

Bunu anlamaya başlayalım:

Adım bir: “düz” bir problemden bahsettiğimiz açık.

ikinci adım: Sorun bir paralelkenarla ilgili. Herkes böyle bir paralelkenar figürünü hatırlıyor mu? Gülmeye gerek yok, birçok insan 30-40-50 yaş ve üzerinde eğitim alıyor, bu yüzden basit gerçekler bile hafızalardan silinebiliyor. Paralelkenarın tanımı dersin 3 No'lu örneğinde bulunur. Vektörlerin doğrusal (olmayan) bağımlılığı. vektör tabanı.

Adım üç: Bilinen üç köşeyi işaretlediğimiz bir çizim yapalım. İstenen noktayı hemen oluşturmanın kolay olması komik:

İnşa etmek elbette iyidir, ancak çözüm analitik olarak resmileştirilmelidir.

Adım dört: Bir çözüm algoritmasının geliştirilmesi. Akla gelen ilk şey, bir noktanın doğruların kesişimi olarak bulunabileceğidir. Denklemleri bizim için bilinmiyor, bu yüzden bu konuyla ilgilenmemiz gerekiyor:

1) Karşılıklı kenarları paraleldir. Puana göre bu kenarların yön vektörünü bulun. Bu, derste ele alınan en basit görevdir. Aptallar için vektörler.

Not: “Bir kenar içeren düz bir çizginin denklemi” demek daha doğrudur, ancak bundan sonra kısaca “bir kenar denklemi”, “bir kenarın yönlendirici vektörü” vb. ifadeleri kullanacağım.

3) Karşılıklı kenarları paraleldir. Noktalardan bu kenarların yön vektörünü buluruz.

4) Bir nokta ve bir yön vektörü ile düz bir çizginin denklemini oluşturun

1-2 ve 3-4 paragraflarında aslında aynı sorunu iki kez çözdük, bu arada dersin 3 numaralı örneğinde analiz ediliyor Uçakta düz bir çizgi ile ilgili en basit problemler. Daha uzun bir yol kat etmek mümkündü - önce çizgilerin denklemlerini bulun ve ancak o zaman yön vektörlerini onlardan “çek”.

5) Artık doğruların denklemleri biliniyor. Karşılık gelen doğrusal denklem sistemini oluşturmak ve çözmek için kalır (aynı dersin 4, 5 numaralı örneklerine bakın). Uçakta düz bir çizgi ile ilgili en basit problemler).

Nokta bulundu.

Görev oldukça basit ve çözümü açık, ancak daha kısa bir yolu var!

Çözmenin ikinci yolu:

Bir paralelkenarın köşegenleri, kesişme noktalarına göre ikiye bölünür. Noktayı işaretledim ama çizimi karıştırmamak için köşegenleri kendim çizmedim.

Yanların denklemini noktalara göre yapalım:

Zihinsel olarak veya bir taslak üzerinde kontrol etmek için, ortaya çıkan denklemdeki her noktanın koordinatlarını değiştirin. Şimdi eğimi bulalım. Bunu yapmak için, genel denklemi eğimli bir denklem şeklinde yeniden yazıyoruz:

Yani eğim faktörü:

Benzer şekilde, tarafların denklemlerini buluyoruz. Aynı şeyi boyamanın pek bir anlamı yok, bu yüzden hemen bitmiş sonucu vereceğim:

2) Kenar uzunluğunu bulun. Bu, derste tartışılan en basit görevdir. Aptallar için vektörler. Puan için formülü kullanıyoruz:

Aynı formülü kullanarak diğer kenarların uzunluklarını bulmak kolaydır. Kontrol, normal bir cetvelle çok hızlı bir şekilde gerçekleştirilir.

formülü kullanıyoruz .

Şimdi vektörleri bulalım:

Böylece:

Bu arada, yol boyunca kenarların uzunluklarını bulduk.

Sonuç olarak:

Doğru gibi görünüyor, ikna için köşeye bir iletki ekleyebilirsiniz.

Dikkat! Bir üçgenin açısını düz çizgiler arasındaki açıyla karıştırmayın. Bir üçgenin açısı geniş olabilir, ancak düz çizgiler arasındaki açı geniş değildir (makalenin son paragrafına bakınız). Uçakta düz bir çizgi ile ilgili en basit problemler). Bununla birlikte, bir üçgenin açısını bulmak için yukarıdaki dersin formüllerini de kullanabilirsiniz, ancak pürüzlülük, bu formüllerin her zaman bir dar açı vermesidir. Onların yardımıyla bu sorunu bir taslak üzerinde çözdüm ve sonucu aldım. Ve temiz kopyaya, bunun için ek mazeretler yazmanız gerekir.

4) Doğruya paralel bir noktadan geçen doğrunun denklemini yazınız.

Dersin 2 numaralı örneğinde ayrıntılı olarak tartışılan standart görev Uçakta düz bir çizgi ile ilgili en basit problemler. Düz bir çizginin genel denkleminden yön vektörünü dışarı çekin. Düz bir çizginin denklemini bir nokta ve bir yönlendirici vektörle oluşturalım:

Bir üçgenin yüksekliği nasıl bulunur?

5) Yükseklik denklemini yapalım ve uzunluğunu bulalım.

Kesin tanımlardan kaçış yoktur, bu yüzden bir okul ders kitabından çalmanız gerekir:

üçgen yüksekliği üçgenin tepe noktasından karşı tarafı içeren doğruya çizilen dikme denir.

Yani köşeden yana çizilen dikin denklemini oluşturmak gerekir. Bu görev, dersin 6, 7 numaralı örneklerinde ele alınmaktadır. Uçakta düz bir çizgi ile ilgili en basit problemler. denklemden normal vektörü kaldırın. Nokta ve yön vektörü için yükseklik denklemini oluşturacağız:

Lütfen noktanın koordinatlarını bilmediğimizi unutmayın.

Bazen yükseklik denklemi, dik doğruların eğimlerinin oranından bulunur: . Bu durumda, o zaman: . Bir nokta ve bir eğim için yükseklik denklemini oluşturacağız (dersin başlangıcına bakınız). Düz bir çizginin düzlemde denklemi):

Yüksekliğin uzunluğu iki şekilde bulunabilir.

Döner bir yol var:

a) bul - yükseklik ve kenarın kesişme noktası;
b) bilinen iki nokta ile doğru parçasının uzunluğunu bulun.

ama sınıfta Uçakta düz bir çizgi ile ilgili en basit problemler bir noktadan bir doğruya olan uzaklık için uygun bir formül düşünülmüştür. Nokta biliniyor: , doğrunun denklemi de biliniyor: , Böylece:

6) Üçgenin alanını hesaplayın. Uzayda, bir üçgenin alanı geleneksel olarak kullanılarak hesaplanır. vektörlerin çapraz çarpımı, ancak burada düzlemde bir üçgen verilmiştir. Okul formülünü kullanıyoruz:
Bir üçgenin alanı, tabanının çarpımının yüksekliğinin yarısıdır.

Bu durumda:

Bir üçgenin medyanı nasıl bulunur?

7) Medyan denklemini oluşturun.

üçgen ortanca Bir üçgenin tepe noktasını karşı tarafın orta noktasıyla birleştiren doğru parçasına denir.

a) Bir nokta bulun - kenarın orta noktası. Kullanırız orta nokta koordinat formülleri. Segmentin uçlarının koordinatları bilinmektedir: , sonra ortanın koordinatları:

Böylece:

Medyan denklemi noktalara göre oluşturuyoruz :

Denklemi kontrol etmek için, içine noktaların koordinatlarını koymanız gerekir.

8) Yükseklik ve medyanın kesişim noktasını bulun. Sanırım herkes artistik patinajın bu unsurunu düşmeden nasıl yapacağını çoktan öğrendi:

BölümV. DÜĞMEDE ANALİTİK GEOMETRİ

VE UZAYDA

Bu bölüm, "Bir düzlemde ve uzayda analitik geometri" konusunda ele alınan görevleri içerir: bir düzlemde ve uzayda çeşitli çizgi denklemlerinin çizilmesi; düz çizgilerin düzlem üzerindeki göreli konumlarının belirlenmesi, düz çizgiler, düz çizgi ve düzlem, uzaydaki düzlemler; ikinci dereceden eğrilerin görüntüsü. Bu bölümün, çözümünde bir düzlemde analitik geometriden elde edilen bilgilerin kullanıldığı ekonomik içerikli problemler sunduğuna dikkat edilmelidir.

Analitik geometri problemlerini çözerken, aşağıdaki yazarların ders kitaplarının kullanılması tavsiye edilir: D.V. Kletenika, N. Sh. Kremera, D.T. Yazılı V.I. Malikhin, çünkü bu literatür, bu konuda kendi kendine çalışma için kullanılabilecek daha geniş bir görev yelpazesini kapsar. Analitik geometrinin ekonomik problemlerin çözümüne uygulanması, M.S.'nin eğitim yayınlarında açıklanmaktadır. Crass ve V.I. Ermakov.

Sorun 5.1. Üçgenin köşelerinin koordinatları verildiğindeABC . Gerekli

a) üçgenin kenarlarının denklemlerini yazın;

b) bir tepe noktasından çizilen bir üçgenin yüksekliği için denklemi yazınİle yanaAB ve uzunluğunu bulun;

c) Köşeden çizilen üçgenin medyanının denklemini yazınAT yanaAC ;

d) üçgenin açılarını bulun ve türünü (dikdörtgen, dar açılı, geniş açılı) belirleyin;

e) üçgenin kenarlarının uzunluklarını bulun ve türünü (skalen, ikizkenar, eşkenar) belirleyin;

f) üçgenin ağırlık merkezinin (medyanların kesişme noktası) koordinatlarını bulunABC ;

g) üçgenin ortomerkezinin (yüksekliklerin kesişme noktası) koordinatlarını bulunABC .

Kararın a) - c) noktalarının her biri için koordinat sisteminde çizimler yapın. Şekillerde, problemin noktalarına karşılık gelen çizgileri ve noktaları işaretleyin.

Örnek 5.1

Üçgenin köşelerinin koordinatları verildiğindeABC : . a) Üçgenin kenarlarının denklemlerini yazmak gereklidir; b) bir tepe noktasından çizilen bir üçgenin yüksekliği için denklemi yazın İle yanaAB ve uzunluğunu bulun; c) Köşeden çizilen üçgenin medyanının denklemini yazınAT yanaAC ; d) üçgenin kenarlarının uzunluklarını bulun ve türünü (skalen, ikizkenar, eşkenar) belirleyin; e) üçgenin açılarını bulun ve türünü (dikdörtgen, dar açılı, geniş açılı) belirleyin; f) üçgenin ağırlık merkezinin (medyanların kesişme noktası) koordinatlarını bulun ABC ; g) üçgenin ortomerkezinin (yüksekliklerin kesişme noktası) koordinatlarını bulunABC .

Karar

a)Üçgenin her bir kenarı için, istenen doğrular üzerinde bulunan iki noktanın koordinatları bilinmektedir, yani üçgenin kenarlarının denklemleri, verilen iki noktadan geçen doğruların denklemleridir.

,

nerede
ve
karşılık gelen nokta koordinatları.

Böylece, formül (5.1)'de karşılık gelen düz noktaların koordinatlarını değiştirerek elde ederiz.

,
,
,

burada, dönüşümlerden sonra, tarafların denklemlerini yazıyoruz.

Şek. 7 üçgenin karşılık gelen taraflarını gösterir
Düz.

Cevap:

b)İzin vermek
- üstten çizilen yükseklik yana
. kadarıyla
bir noktadan geçer vektöre dik
, sonra aşağıdaki formüle göre düz bir çizginin denklemini oluştururuz

nerede
istenen çizgiye dik vektörün koordinatlarıdır,
bu doğruya ait bir noktanın koordinatlarıdır. Düz bir çizgiye dik bir vektörün koordinatlarını bulun
, ve formül (5.2) ile değiştirin

,
,

.

Yüksekliğin uzunluğunu bulun CH noktadan uzaklık olarak düz

,

nerede
- düz bir çizginin denklemi
,
- nokta koordinatları .

Önceki paragrafta bulundu

Verileri formül (5.3) ile değiştirerek elde ederiz.

,

Şek. 8 bir üçgen ve bulunan yüksekliği çizin CH.

Cevap: .

R dır-dir. sekiz

içinde) medyan
üçgen
tarafı böler
iki eşit parçaya, yani nokta segmentin orta noktasıdır
. Buna göre koordinatları bulabilirsiniz.
puan

, ,

nerede
ve
ve , hangi formülleri (5.4) yerine koyarsak, elde ederiz

;
.

medyan denklemi
üçgen
noktalardan geçen düz bir çizginin denklemi olarak oluşturun
ve
formül (5.1) ile

,

.

Cevap:(Şek. 9).

R dır-dir. dokuz

G)Üçgenin kenarlarının uzunluklarını, karşılık gelen vektörlerin uzunlukları olarak buluruz, yani.

,
,
.

partiler
ve
üçgen
eşittir, yani üçgen tabanı olan ikizkenardır
.

Cevap:üçgen
tabanı olan ikizkenar
;

,
.

e) Bir üçgenin açıları
Verilen üçgenin karşılık gelen köşelerinden çıkan vektörler arasındaki açıları buluruz, yani.

,
,
.

Üçgen bir tabanı olan ikizkenar olduğundan
, o zamanlar

,

Vektörler arasındaki açıları, vektörlerin skaler ürünlerini gerektiren formül (4.4) ile hesaplıyoruz.
,
.

Açıları hesaplamak için gerekli vektörlerin koordinatlarını ve modüllerini bulun

,
;

,
,
.

Bulunan verileri formül (4.4) ile değiştirerek,

,

Bulunan tüm açıların kosinüs değerleri pozitif olduğundan, üçgen
akut.

Cevap:üçgen
dar açılı;

,
,
.

e)İzin vermek

, ardından koordinatlar
puan
formüller (5.5) ile bulunabilir

, ,

nerede
,
ve
sırasıyla noktaların koordinatlarıdır , ve , buradan,

,
.

Cevap:
- üçgenin ağırlık merkezi
.

g)İzin vermek üçgenin ortomerkezidir
. Bir noktanın koordinatlarını bulun üçgenin yüksekliklerinin kesişme noktasının koordinatları olarak. Yükseklik Denklemi
noktada bulundu b). yükseklik denklemini bulalım
:

,
,

.

kadarıyla
, daha sonra sistemin çözümü

noktanın koordinatları bulduğumuz yerden
.

Cevap:
üçgenin ortomerkezidir
.

Sorun 5.2. Bazı ürünlerin piyasaya sürülmesi için işletmedeki sabit maliyetlerF V 0 ovmak. çıktı birimi başına, gelir iseR 0 ovmak. üretilen ürün birimi başına. Bir kar fonksiyonu oluşturunP (q ) (q

Seçeneklere karşılık gelen görev koşulu için veriler:

Örnek 5.2

Bazı ürünlerin piyasaya sürülmesi için işletmedeki sabit maliyetler
ovmak. aylık, değişken maliyetler -
ovmak. çıktı birimi başına, gelir ise
ovmak. üretilen ürün birimi başına. Bir kar fonksiyonu oluşturunP (q ) (q - üretilen ürün sayısı); grafiğini oluşturun ve başa baş noktasını belirleyin.

Karar

Yayın için toplam üretim maliyetlerini hesaplayalım q bazı ürünlerin birimleri

satılmışsa qçıktı birimleri, o zaman toplam gelir

Toplam gelir ve toplam maliyetlerin elde edilen fonksiyonlarına dayanarak, kar fonksiyonunu buluyoruz.

,

.

Başa Baş Noktası - Karın sıfır olduğu nokta veya toplam maliyetin toplam gelire eşit olduğu nokta

,

,

nerede bulacağız

- başabaş noktası.

Kâr fonksiyonunun bir grafiğini (Şekil 10) oluşturmak için bir nokta daha bulacağız.

Cevap: kar fonksiyonu
, başabaş noktası
.

Sorun 5.3. Belirli bir meta için arz ve talep yasaları sırasıyla denklemlerle belirlenir.p = p D (q ), p = p S (q ), neredep - malların fiyatı,q - mal miktarı. Talebin yalnızca piyasadaki malların fiyatı tarafından belirlendiği varsayılmaktadır.p İle ve teklif - sadece fiyatap S tedarikçiler tarafından alınır. Gerekli

a) piyasa dengesi noktasını belirlemek;

b) eşit bir verginin getirilmesinden sonraki denge noktasıt . Denge satış hacmindeki fiyat artışını ve azalışını belirleyin;

c) destek bulmaks tarafından satışların artmasına neden olacakq 0 birimler aslına göre (a paragrafında tanımlanmıştır));

d) fiyatla orantılı ve eşit bir vergi getirirken yeni bir denge noktası ve devlet geliri bulmakN %;

e) Hükümetin fazlalığı satın almak için ne kadar para harcayacağını belirlerken, buna eşit bir minimum fiyat belirler. p 0 .

Her karar noktası için koordinat sisteminde bir çizim çizin. Şekilde, problemin maddesine karşılık gelen çizgileri ve noktaları işaretleyiniz.

Seçeneklere karşılık gelen görev koşulu için veriler:

Geometride, genellikle "üçgenin tepe noktası" gibi bir kavram düşünülür. Bu, bu şeklin iki tarafının kesişme noktasıdır. Bu kavramla hemen hemen her görevde karşılaşılır, bu nedenle daha ayrıntılı olarak ele almak mantıklıdır.

Bir üçgenin tepe noktasını belirleme

Bir üçgende, kenarların üç açı oluşturan üç kesişme noktası vardır. Köşeler denir ve üzerinde durdukları kenarlara üçgenin kenarları denir.

Pirinç. 1. Bir üçgende tepe noktası.

Üçgenlerdeki köşeler büyük Latin harfleriyle gösterilir. Bu nedenle, en sık matematikte, taraflar, taraflara dahil olan köşelerin adına göre iki büyük Latin harfiyle gösterilir. Örneğin AB kenarı, A ve B köşelerini birleştiren bir üçgenin kenarıdır.

Pirinç. 2. Bir üçgende köşelerin belirlenmesi.

Konsept özellikleri

Bir düzlemde keyfi olarak yönlendirilmiş bir üçgen alırsak, pratikte geometrik özelliklerini bu şeklin köşelerinin koordinatları cinsinden ifade etmek çok uygundur. Böylece, bir üçgenin köşesi A, belirli sayısal parametreler A(x; y) ile bir nokta olarak ifade edilebilir.

Üçgenin köşelerinin koordinatlarını bilerek, medyanların kesişme noktalarını, şeklin kenarlarından birine indirilen yüksekliğin uzunluğunu ve üçgenin alanını bulabilirsiniz.

Bunun için Kartezyen koordinat sisteminde gösterilen vektörlerin özellikleri kullanılır, çünkü üçgenin kenarının uzunluğu, bu şeklin karşılık gelen köşelerinin bulunduğu noktalara sahip vektörün uzunluğu aracılığıyla belirlenir.

Bir üçgenin tepe noktasını kullanma

Bir üçgenin herhangi bir köşesinde, söz konusu şeklin iç açısına bitişik olacak bir açı bulabilirsiniz. Bunu yapmak için üçgenin kenarlarından birini uzatmanız gerekecek. Her köşede iki kenar olduğundan, her köşede iki dış açı vardır. Bir dış açı, kendisine bitişik olmayan bir üçgenin iki iç açısının toplamına eşittir.

Pirinç. 3. Bir üçgenin dış açısının özelliği.

Bir köşede iki dış açı oluşturursanız, bunlar dikey olanlar gibi eşit olacaktır.

Ne öğrendik?

Farklı üçgen türleri düşünüldüğünde geometrinin önemli kavramlarından biri tepe noktasıdır. Bu, belirli bir geometrik şeklin açısının iki tarafının kesiştiği noktadır. Latin alfabesinin büyük harflerinden biri ile gösterilir. Bir üçgenin tepe noktası x ve y koordinatları cinsinden ifade edilebilir, bu üçgenin kenar uzunluğunu bir vektörün uzunluğu olarak tanımlamaya yardımcı olur.

Konu testi

Makale değerlendirmesi

Ortalama puanı: 4.2. Alınan toplam puan: 153.