Şartlar 

Metrekare cinsinden daire alanı çevrimiçi hesaplayıcısı. Daire alanı: formül. Bir kare, dik açılı ve ikizkenar üçgen, dik açılı, ikizkenar yamuk içinde çevrelenmiş ve yazılı bir dairenin alanı nedir?

Bir dairenin alanı nasıl bulunur? İlk önce yarıçapı bulun. Basit ve karmaşık problemleri çözmeyi öğrenin.

Bir daire kapalı bir eğridir. Daire çizgisi üzerindeki herhangi bir nokta, merkez noktadan aynı uzaklıkta olacaktır. Bir daire düz bir rakamdır, bu nedenle alanı bulma ile ilgili problemleri çözmek kolaydır. Bu yazıda, üçgen, yamuk, kare ve bu şekillerin etrafında anlatılan bir dairenin alanını nasıl bulacağımıza bakacağız.

Belirli bir şeklin alanını bulmak için yarıçapın, çapın ve π sayısının ne olduğunu bilmeniz gerekir.

yarıçap R dairenin merkezi tarafından sınırlanan mesafedir. Bir dairenin tüm R yarıçaplarının uzunlukları eşit olacaktır.

Çap D merkez noktasından geçen bir çember üzerindeki herhangi iki nokta arasındaki çizgidir. Bu segmentin uzunluğu, R-yarıçapı çarpı 2'nin uzunluğuna eşittir.

Sayı π 3.1415926'ya eşit olan sabit bir değerdir. Matematikte bu sayı genellikle 3,14'e yuvarlanır.

Yarıçapı kullanarak bir dairenin alanını bulma formülü:



R-yarıçapı boyunca bir dairenin S alanını bulmak için görev çözme örnekleri:

Bir görev: Yarıçapı 7 cm ise dairenin alanını bulun.

Çözüm: S=πR², S=3.14*7², S=3.14*49=153.86 cm².

Yanıt vermek: Dairenin alanı 153.86 cm²'dir.

Bir dairenin S alanını D çapı cinsinden bulma formülü:

D biliniyorsa, S'yi bulmak için çözme görevleri örnekleri:

————————————————————————————————————————-

Bir görev: D'si 10 cm ise çemberin S'sini bulunuz.

Çözüm: P=π*d²/4, P=3.14*10²/4=3.14*100/4=314/4=78,5 cm².

Yanıt vermek: Düz yuvarlak bir figürün alanı 78,5 cm²'dir.

Çevresi biliniyorsa S çemberini bulma:

İlk önce yarıçapın ne olduğunu bulun. Çevre şu formülle hesaplanır: sırasıyla L=2πR, R yarıçapı L/2π'ye eşit olacaktır. Şimdi R ile formülü kullanarak dairenin alanını buluyoruz.

Sorunun örneğindeki çözümü düşünün:

———————————————————————————————————————-

Bir görev: L çevresi biliniyorsa dairenin alanını bulun - 12 cm.

Çözüm:Önce yarıçapı buluyoruz: R=L/2π=12/2*3.14=12/6.28=1.91.

Şimdi yarıçap boyunca alanı buluyoruz: S=πR²=3.14*1.91²=3.14*3.65=11.46 cm².

Yanıt vermek: Bir dairenin alanı 11.46 cm²'dir.



Bir kareye yazılmış bir dairenin alanını bulmak kolaydır. Karenin kenarı dairenin çapıdır. Yarıçapı bulmak için kenarı 2'ye bölmeniz gerekir.

Bir kareye yazılmış bir dairenin alanını bulma formülü:

Bir kareye yazılmış bir dairenin alanını bulma ile ilgili problem çözme örnekleri:

———————————————————————————————————————

Görev 1: 6 santimetreye eşit olan kare bir figürün bir kenarı bilinmektedir. Yazılı dairenin S alanını bulun.

Çözüm: S=π(a/2)²=3.14(6/2)²=3.14*9=28.26 cm².

Yanıt vermek: Düz yuvarlak bir figürün alanı 28,26 cm²'dir.

————————————————————————————————————————

2. Görev: Kare şeklinde çizilmiş bir dairenin S'sini ve bir kenarı a=4 cm ise yarıçapını bulun.

böyle karar ver: Önce R=a/2=4/2=2 cm'yi bulun.

Şimdi S=3.14*2²=3.14*4=12.56 cm² çemberinin alanını bulalım.

Yanıt vermek: Düz yuvarlak bir figürün alanı 12.56 cm²'dir.



Bir kare ile çevrelenmiş yuvarlak bir figürün alanını bulmak biraz daha zordur. Ancak formülü bilerek, bu değeri hızlı bir şekilde hesaplayabilirsiniz.

Kare bir şekille çevrelenmiş bir dairenin S'sini bulma formülü:

Kare bir figürün yakınında açıklanan bir dairenin alanını bulmak için çözme görevleri örnekleri:

Bir görev





Üçgen şeklinde çizilmiş bir daire, üçgenin üç kenarına da dokunan bir dairedir. Herhangi bir üçgen şekle bir daire çizilebilir, ancak yalnızca bir tane. Dairenin merkezi, üçgenin açılarının açıortaylarının kesişme noktası olacaktır.

Bir ikizkenar üçgen içine yazılmış bir dairenin alanını bulma formülü:



Yarıçap bilindiğinde, alan şu formül kullanılarak hesaplanabilir: S=πR².

Dik üçgende yazılı bir dairenin alanını bulma formülü:



Görev çözme örnekleri:

Görev 1



Bu problemde yarıçapı 4 cm olan bir dairenin alanını da bulmanız gerekiyorsa, bu şu formül kullanılarak yapılabilir: S=πR²

2. Görev



Çözüm:



Artık yarıçapı bildiğinize göre, dairenin alanını yarıçap cinsinden bulabilirsiniz. Yukarıdaki formüle bakın.

Görev #3



Dik açılı ve ikizkenar üçgenle çevrelenmiş bir dairenin alanı: formül, problem çözme örnekleri

Bir dairenin alanını bulmak için tüm formüller, önce yarıçapını bulmanız gerektiği gerçeğine iner. Yarıçap bilindiğinde, yukarıda açıklandığı gibi alanı bulmak basittir.

Dik açılı ve ikizkenar üçgenin çevrelediği dairenin alanı aşağıdaki formülle bulunur:



Problem çözme örnekleri:



Heron formülünü kullanarak bir problem çözmenin başka bir örneği.



Bu tür sorunları çözmek zordur, ancak tüm formülleri biliyorsanız, bunlarda ustalaşabilirsiniz. Öğrenciler bu tür problemleri 9. sınıfta çözerler.

Dikdörtgen ve ikizkenar yamukta yazılı bir dairenin alanı: formül, problem çözme örnekleri

Bir ikizkenar yamuk iki eşit kenara sahiptir. Dikdörtgen bir yamuğun bir açısı 90º'ye eşittir. Problem çözme örneğini kullanarak dikdörtgen ve ikizkenar yamuk içine yazılmış bir dairenin alanını nasıl bulacağınızı düşünün.

Örneğin, temas noktasında bir tarafı m ve n segmentlerine bölen bir ikizkenar yamukta bir daire çizilir.

Bu sorunu çözmek için aşağıdaki formülleri kullanmanız gerekir:



Dikdörtgen bir yamukta yazılı bir dairenin alanı, aşağıdaki formül kullanılarak bulunur:



Yan taraf biliniyorsa, yarıçapı bu değerden bulabilirsiniz. Yamuğun kenarının yüksekliği dairenin çapına eşittir ve yarıçap çapın yarısıdır. Buna göre yarıçap R=d/2'dir.

Problem çözme örnekleri:



Bir yamuk, zıt açılarının toplamı 180º olduğunda bir daireye yazılabilir. Bu nedenle, yalnızca bir ikizkenar yamuk yazılabilir. Bir dikdörtgen veya ikizkenar yamuk etrafında çevrelenmiş bir dairenin alanını hesaplama yarıçapı, aşağıdaki formüller kullanılarak hesaplanır:





Problem çözme örnekleri:



Çözüm: Bu durumda büyük taban, bir daire içine bir ikizkenar yamuk yazıldığından merkezden geçer. Merkez bu tabanı tam olarak ikiye böler. AB tabanı 12 ise, R yarıçapı şu şekilde bulunabilir: R=12/2=6.

Yanıt vermek: Yarıçap 6'dır.

Geometride formülleri bilmek önemlidir. Ancak hepsini hatırlamak imkansızdır, bu nedenle birçok sınavda bile özel bir form kullanılmasına izin verilir. Ancak, belirli bir sorunu çözmek için doğru formülü bulabilmek önemlidir. Formülleri doğru bir şekilde değiştirebilmek ve doğru cevaplar alabilmek için bir dairenin yarıçapını ve alanını bulmak için farklı problemleri çözme alıştırması yapın.

Video: Matematik | Bir dairenin alanını ve parçalarını hesaplama

  • Çapın uzunluğu - dairenin merkezinden geçen ve dairenin iki zıt noktasını birbirine bağlayan bir segment veya yarıçap - en uç noktalarından biri dairenin merkezinde bulunan bir segment ve ikincisi - dairenin yayında. Böylece çap, yarıçapın uzunluğunun iki ile çarpımına eşittir.
  • π sayısının değeri. Bu değer bir sabittir - sonu olmayan irrasyonel bir kesir. Ancak periyodik değildir. Bu sayı oranı ifade eder çevre yarıçapına kadar. Okul kursunun görevlerinde bir dairenin alanını hesaplamak için, en yakın yüzdeye verilen π değeri kullanılır - 3.14.

Bir dairenin alanını, segmentini veya sektörünü bulmak için formüller

Geometrik problemin koşullarının özelliklerine bağlı olarak, iki bir dairenin alanını bulmak için formüller:

Bir dairenin alanını en kolay şekilde nasıl bulacağınızı belirlemek için görevin koşullarını dikkatlice analiz etmeniz gerekir.

Okul geometri kursu ayrıca, özel formüllerin kullanıldığı bölümlerin veya sektörlerin alanını hesaplama görevlerini de içerir:

  1. Bir sektör, bir daire ve merkezde bulunan tepe noktasıyla bir açı ile sınırlandırılmış bir dairenin parçasıdır. Sektörün alanı şu formülle hesaplanır: S = (π*r 2/360)*А;
    • r yarıçaptır;
    • A, derece cinsinden açıdır.
    • r yarıçaptır;
    • p, yayın uzunluğudur.

    2. Ayrıca ikinci bir seçenek de vardır S = 0,5 * p * r;

  2. Segment - bir daire (akor) ve bir dairenin bir bölümü ile sınırlanan bir kısımdır. Alanı S \u003d (π * r 2 / 360) * A formülüyle bulunabilir. ± S ∆ ;
  • r yarıçaptır;
  • A, derece cinsinden açı değeridir;
  • S ∆, kenarları dairenin yarıçapı ve kirişi olan bir üçgenin alanıdır; köşelerinden biri dairenin merkezinde ve diğer ikisi - dairenin yayının kiriş ile temas noktalarında bulunur. Önemli bir nokta, A'nın değeri 180 dereceden küçükse eksi işaretinin, 180 dereceden büyükse artı işaretinin konulmasıdır.

Geometrik bir problemin çözümünü basitleştirmek için hesaplanabilir. daire alanı çevrimiçi. Özel bir program, hesaplamayı birkaç saniye içinde hızlı ve doğru bir şekilde yapacaktır. Rakamların alanı çevrimiçi olarak nasıl hesaplanır? Bunu yapmak için bilinen ilk verileri girmeniz gerekir: yarıçap, çap, açı.

Bir daire, merkezden aynı uzaklıkta bulunan birçok noktadan oluşan görünür bir koleksiyondur. Alanı bulmak için yarıçap, çap, π sayısı ve çevresinin ne olduğunu bilmeniz gerekir.

Bir dairenin alanını hesaplamada yer alan miktarlar

Çemberin merkez noktası ile çemberin herhangi bir noktasının sınırladığı uzaklığa bu geometrik şeklin yarıçapı denir. Bir dairenin tüm yarıçaplarının uzunlukları aynıdır. Merkez noktasından geçen çember üzerindeki herhangi 2 nokta arasındaki doğru parçasına çap denir. Çapın uzunluğu, yarıçapın uzunluğunun 2 ile çarpımına eşittir.

Bir dairenin alanını hesaplamak için π sayısının değeri kullanılır. Bu değer, çevresinin dairenin çapının uzunluğuna oranına eşittir ve sabit bir değere sahiptir. Π = 3.1415926. Çevre, L=2πR formülü kullanılarak hesaplanır.

Yarıçapı kullanarak bir dairenin alanını bulun

Bu nedenle, bir dairenin alanı, π sayısının ürününe ve 2. kuvvete yükseltilmiş dairenin yarıçapına eşittir. Örnek olarak, dairenin yarıçapının uzunluğunu 5 cm'ye eşit alalım, o zaman S dairesinin alanı 3.14 * 5 ^ 2 = 78,5 metrekare olacaktır. santimetre.


Çap olarak daire alanı

Bir dairenin alanı, dairenin çapı bilinerek de hesaplanabilir. Bu durumda S = (π/4)*d^2, burada d dairenin çapıdır. Yarıçapın 5 cm olduğu aynı örneği alalım.O zaman çapı 5*2=10 cm olacaktır.Dairenin alanı S=3.14/4*10^2=78.5 sq.cm'dir. İlk örnekteki hesaplamaların toplamına eşit olan sonuç, her iki durumda da hesaplamaların doğruluğunu teyit eder.


Çemberin çevresi cinsinden alanı

Bir dairenin yarıçapı çevre boyunca temsil edilirse, formül şöyle görünecektir: R=(L/2)π. Bu ifadeyi bir dairenin alanı için formülde yerine koyun ve sonuç olarak S=(L^2)/4π elde ederiz. Çevrenin 10 cm olduğu bir örnek düşünün, o zaman dairenin alanı S = (10 ^ 2) / 4 * 3.14 = 7.96 metrekaredir. santimetre.

Yazılı bir karenin bir kenar uzunluğu cinsinden bir dairenin alanı

Bir daire içinde bir kare yazılıysa, dairenin çapının uzunluğu karenin köşegeninin uzunluğuna eşittir. Karenin kenarının boyutunu bilerek, dairenin çapını aşağıdaki formülle kolayca bulabilirsiniz: d ^ 2 \u003d 2a ^ 2. Başka bir deyişle, çapın 2 kuvvetine eşittir, karenin kenarının 2 çarpı 2 kuvvetine eşittir.

Bir dairenin çapının uzunluğunun değerini hesapladıktan sonra, yarıçapını da öğrenebilir ve ardından dairenin alanını belirlemek için formüllerden birini kullanabilirsiniz.

Bir dairenin sektör alanı

Bir sektör, 2 yarıçap ve aralarında bir yay ile sınırlanmış bir dairenin parçasıdır. Alanı bulmak için sektörün açısını ölçmeniz gerekir. Bundan sonra, payda sektör açısının değeri olacak ve paydada - 360 olan bir kesir oluşturmak gerekir. Sektörün alanını hesaplamak için, değer kesrin bölünmesi sonucu elde edilen, yukarıdaki formüllerden biri kullanılarak hesaplanan dairenin alanı ile çarpılmalıdır.


geometride etrafında Düzlemdeki tüm noktaların bir kümesine, belirli bir noktadan daha büyük olmayan bir mesafede, merkez adı verilen bir noktadan kaldırılan, yarıçapı adı verilen bir dizi denir. Bu durumda çemberin dış sınırı Daire ve yarıçapın uzunluğu sıfıra eşitse, bir daire bir noktaya kadar dejenere olur.

Bir dairenin alanını belirleme

Eğer gerekliyse bir dairenin alanı formül kullanılarak hesaplanabilir:

S 2. bölüm D2

r- daire yarıçapı

D- daire çapı

S- bir dairenin alanı

π - 3.14

Bu geometrik şekil hem mühendislikte hem de mimaride çok yaygındır. Makine ve mekanizma tasarımcıları, çoğu bölümleri tam olarak doğru olan çeşitli parçalar geliştirir. bir daire. Örneğin bunlar miller, rotlar, rotlar, silindirler, akslar, pistonlar vb. Bu parçaların imalatında çeşitli malzemelerden (metaller, ahşap, plastikler) boşluklar kullanılır, bölümleri de tam olarak temsil edilir. bir daire. Geliştiricilerin genellikle hesaplamak zorunda olduklarını söylemeye gerek yok bir dairenin alanı Bu amaçla eski zamanlarda keşfedilen basit matematiksel formülleri kullanarak çap veya yarıçap aracılığıyla.

tam olarak o zaman yuvarlak elemanlar mimaride aktif ve yaygın olarak kullanılmaya başlanmıştır. Bunun en çarpıcı örneklerinden biri, çeşitli eğlence etkinliklerine ev sahipliği yapmak için tasarlanmış bir tür bina olan sirktir. Arenaları şekilleniyor Daire ve ilk kez antik çağda inşa edilmeye başlandı. çok kelime " Daire"Latincede " bir daire". Antik çağda sirkler tiyatro gösterileri ve gladyatör dövüşlerine ev sahipliği yaptıysa, şimdi sirk gösterilerinin neredeyse sadece hayvan eğitmenleri, akrobatlar, sihirbazlar, palyaçolar vb. Katılımıyla yapıldığı bir yer olarak hizmet veriyorlar. Sirk arenasının standart çapı 13 metredir. , ve bu tamamen tesadüf değil: gerçek şu ki, sirk atlarının dörtnala bir daire içinde koşabileceği, arenada gerekli minimum geometrik parametreleri sağlayan kişidir. hesaplarsak bir dairenin alanıçap boyunca, sirk arenası için bu değerin 113.04 metrekare olduğu ortaya çıkıyor.

Daire şeklini alabilen mimari elemanlar pencerelerdir. Tabii ki, çoğu durumda dikdörtgen veya karedirler (büyük ölçüde hem mimarlar hem de inşaatçılar için daha kolay olduğu için), ancak bazı binalarda yuvarlak pencereler de bulabilirsiniz. Üstelik hava, deniz ve nehir gemileri gibi araçlarda çoğu zaman aynen böyledir.

Masa ve sandalye gibi mobilyaların üretiminde yuvarlak elemanların kullanılması hiç de alışılmadık bir durum değildir. konsept bile var yuvarlak masa”, çeşitli önemli sorunların kapsamlı bir tartışmasının yapıldığı ve bunları çözmenin yollarının geliştirildiği yapıcı bir tartışma anlamına gelir. Yuvarlak bir şekle sahip olan masa tablalarının imalatına gelince, oldukça yüksek niteliklere sahip işçilerin katılımına bağlı olarak, üretimleri için özel alet ve ekipmanlar kullanılmaktadır.

Daireler daha dikkatli bir yaklaşım gerektirir ve B5 görevlerinde çok daha az yaygındır. Aynı zamanda, genel çözüm şeması çokgenler durumunda olduğundan daha basittir (“Koordinat ızgarasındaki çokgen alanları” dersine bakın).

Bu tür görevlerde gerekli olan tek şey, R çemberinin yarıçapını bulmaktır. Daha sonra S = πR 2 formülünü kullanarak dairenin alanını hesaplayabilirsiniz. Bu formülden de çözüm için R2'yi bulmanın yeterli olduğu sonucu çıkar.

Belirtilen değerleri bulmak için, daire üzerinde ızgara çizgilerinin kesişme noktasında bulunan bir noktayı belirtmek yeterlidir. Ve sonra Pisagor teoremini kullanın. Yarıçapı hesaplamanın belirli örneklerini düşünün:

Bir görev. Şekilde gösterilen üç dairenin yarıçaplarını bulun:

Her çemberde ek yapılar yapalım:


Her durumda, daire üzerinde B noktası ızgara çizgilerinin kesişme noktasında yer alacak şekilde seçilir. 1 ve 3 numaralı dairelerdeki C noktası şekli bir dik üçgenle tamamlıyor. Yarıçapları bulmak için kalır:

İlk dairedeki ABC üçgenini düşünün. Pisagor teoremine göre: R 2 \u003d AB 2 \u003d AC 2 + BC 2 \u003d 2 2 + 2 2 \u003d 8.

İkinci daire için her şey açıktır: R = AB = 2.

Üçüncü durum, birincisine benzer. Pisagor teoremine göre ABC üçgeninden: R 2 \u003d AB 2 \u003d AC 2 + BC 2 \u003d 1 2 + 2 2 \u003d 5.

Artık bir dairenin yarıçapını (veya en azından karesini) nasıl bulacağımızı biliyoruz. Bu nedenle, alanı bulabiliriz. Tüm daireyi değil, bir sektörün alanını bulmanın gerekli olduğu görevler vardır. Bu gibi durumlarda dairenin hangi bölümünün bu sektör olduğunu bulmak ve böylece alanı bulmak kolaydır.

Bir görev. Taralı sektörün S alanını bulun. Cevabınızda S / π'yi belirtin.

Açıkçası, sektör çemberin dörtte biri. Bu nedenle, çemberin S = 0.25 S'si.

Dairenin S'sini bulmak için kalır - dairenin alanı. Bunu yapmak için ek bir inşaat yapacağız:

ABC üçgeni bir dik üçgendir. Pisagor teoremine göre: R 2 \u003d AB 2 \u003d AC 2 + BC 2 \u003d 2 2 + 2 2 \u003d 8.

Şimdi dairenin alanını ve sektörü buluyoruz: Dairenin S = πR 2 = 8π; S = 0.25 S daire = 2π.

Son olarak, istenen değer S /π = 2'ye eşittir.

Yarıçapı bilinmeyen sektör alanı

Bu tamamen yeni bir görev türü, 2010-2011'de böyle bir şey yoktu. Koşul olarak, bize belirli bir alana sahip bir daire verilir (yani alan, yarıçap değil!). Daha sonra, bu dairenin içinde, alanı bulunması gereken bir sektör tahsis edilir.

İyi haber şu ki, bu problemler matematikte sınavda olan karedeki tüm problemlerin en kolayı. Ayrıca daire ve sektör her zaman koordinat ızgarasına yerleştirilir. Bu nedenle, bu tür sorunları nasıl çözeceğinizi öğrenmek için resme bir göz atın:

Orijinal dairenin dairenin S alanı = 80 olmasına izin verin. Ardından, her biri S = 40 olan iki sektöre bölünebilir (2. adıma bakın). Benzer şekilde, bu "yarım" sektörlerin her biri tekrar ikiye bölünebilir - her biri S = 20 alanlı dört sektör elde ederiz (3. adıma bakın). Son olarak, bu sektörlerin her birini ikiye daha bölebilirsiniz - 8 sektör elde ediyoruz - "küçük parçalar". Bu "parçaların" her birinin alanı S = 10 olacaktır.

Lütfen dikkat: matematikte herhangi bir KULLANIM görevinde daha küçük bir bölüm yoktur! Böylece, B-3 problemini çözme algoritması aşağıdaki gibidir:

  1. Orijinal daireyi 8 sektöre kesin - "parçalar". Her birinin alanı, tüm dairenin alanının tam olarak 1/8'idir. Örneğin, koşula göre daire, dairenin S alanına sahipse = 240, o zaman “topaklar” S = 240 alanına sahiptir: 8 = 30;
  2. Alanı bulmak istediğiniz orijinal sektöre kaç tane "topak" sığdığını öğrenin. Örneğin sektörümüz alanı 30 olan 3 adet “topak” içeriyorsa istenilen sektörün alanı S=3 30=90 olur. Cevap bu olacaktır.

Bu kadar! Sorun sözlü olarak pratik olarak çözülür. Hala bir şey anlamadıysanız, bir pizza alın ve 8 parçaya bölün. Bu tür her parça aynı sektör olacaktır - daha büyük parçalar halinde birleştirilebilen "yığın".

Şimdi de deneme sınavından örneklere bakalım:

Bir görev. Kareli kağıda alanı 40 olan bir daire çizilir, taralı şeklin alanını bulun.

Yani, dairenin alanı 40'tır. Her biri S = 40: 5 = 8 olan 8 sektöre bölün.

Açıktır ki, gölgeli sektör tam olarak iki "küçük" sektörden oluşmaktadır. Bu nedenle alanı 2 5 = 10'dur. Bütün çözüm bu!

Bir görev. Kareli kağıda alanı 64 olan bir daire çizilir, taralı şeklin alanını bulun.

Yine, tüm daireyi 8 eşit sektöre bölün. Açıkçası, bunlardan birinin alanının bulunması gerekiyor. Bu nedenle alanı S = 64: 8 = 8'dir.

Bir görev. Kareli kağıda alanı 48 olan bir daire çizilir, taralı şeklin alanını bulun.

Yine daireyi 8 eşit sektöre bölün. Her birinin alanı S = 48: 8 = 6'ya eşittir. Tam olarak üç sektör-“küçük” istenen sektöre yerleştirilir (şekle bakın). Bu nedenle istenilen sektörün alanı 3 6 = 18'dir.