erkekler hakkında 

İki daireye doğrudan teğet inşaatı. Bir daireye teğet. Tam dersler - Bilgi Hipermarketi. En yüksek yeterlilik kategorisi

Rusya Federasyonu Eğitim ve Bilim Bakanlığı

Belediye bütçe eğitim kurumu

Novosibirsk şehri "4 Nolu Spor Salonu"

Bölüm: matematik

ARAŞTIRMA

Bu konuda:

İKİ DOKUNAN DAİRE ÖZELLİKLERİ

10. sınıf öğrencileri:

Khaziakhmetov Radik Ildarovich

Zubarev Evgeny Vladimirovich

Süpervizör:

LL. Barinova

matematik öğretmeni

En yüksek yeterlilik kategorisi

§ 1.Giriş………..………………………….……………………………………………………3

§ 1.1 İki dairenin karşılıklı düzenlenmesi……………………………………………………3

§ 2 Mülkler ve kanıtları………………………………………..…………….....….…4

§ 2.1 Mülk 1……………………………………………………..……………………….…4

§ 2.2 Mülk 2………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………

§ 2.3 Mülk 3…………………………………………………..………………………………6

§ 2.4 Mülk 4………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………….

§ 2.5 Mülk 5…………………………………..………………………………………………8

§ 2.6 Mülk 6……………………………………………………………………………………………9

§ 3 Görevler………………………………………………..…………………………………..…11

Kaynaklar……………………………………………………………….………….13

§ 1. Tanıtım

İki teğet çemberi içeren birçok problem, daha sonra sunulacak olan bazı özelliklerin bilinmesiyle daha kısa ve basit bir şekilde çözülebilir.

İki dairenin karşılıklı düzenlenmesi

Başlangıç ​​olarak, iki dairenin olası karşılıklı düzenini tartışacağız. 4 farklı durum olabilir.

1. Daireler kesişmeyebilir.

2. Çapraz.


3. Dışarıda bir noktada öğesine dokunun.

4. İçeride bir noktaya dokunun.


§ 2. Özellikler ve kanıtları

Doğrudan özelliklerin ispatına geçelim.

§ 2.1 Mülk 1

Teğetlerin dairelerle kesişme noktaları arasındaki doğru parçaları birbirine ve bu dairelerin iki geometrik ortalama yarıçapına eşittir.

Kanıt 1. O 1 A 1 ve O 2 V 1 - temas noktalarına çizilen yarıçaplar.

2. O 1 A 1 ┴ A 1 V 1, O2V1 ┴ A 1 V 1 → O 1 A 1 ║ O 2 V 1. (1. paragrafa göre)



  1. ▲O 1 O 2 D - dikdörtgen, çünkü O 2 D ┴ O 2 V 1
  2. O 1 O 2 \u003d R + r, O 2 D \u003d R - r

  1. Pisagor teoremi ile А 1 В 1 = 2√Rr

(O 1 D 2 =(R+r) 2 -(R-r) 2 =R 2 +2Rr+r2-R 2 +2Rr-r 2 =√4Rr=2√Rr)

A 2 B 2 = 2√Rr (benzer şekilde kanıtlanmıştır)

1) Teğetlerin çemberlerle kesiştiği noktalara yarıçapları çizin.

2) Bu yarıçaplar teğetlere dik ve birbirine paralel olacaktır.

3) Küçük dairenin merkezinden büyük dairenin yarıçapına dik açıyı bırakın.

4) Ortaya çıkan dik üçgenin hipotenüsü, dairelerin yarıçaplarının toplamına eşittir. Bacak onların farkına eşittir.

5) Pisagor teoremi ile istenen ilişkiyi elde ederiz.

§ 2.2 Mülk 2

Dairelerin teğet noktasıyla kesişen ve hiçbirinde yer almayan çizginin kesişme noktaları, teğetlerle sınırlanan dış teğetlerin parçalarını, her biri eşit olan parçalara böler. bu dairelerin yarıçaplarının geometrik ortalaması.

Kanıt 1.HANIM= MA 1 (tanjant segmentleri olarak)

2.MS = MV 1 (tanjant segmentleri olarak)

3.A 1 M \u003d MV 1 \u003d √Rr, A 2 N \u003d NB 2 \u003d √Rr (paragraf 1 ve 2'ye göre) )

Kanıtta kullanılan ifadeler Bir noktadan bir çembere çizilen teğetlerin parçaları eşittir. Bu özelliği verilen her iki daire için de kullanırız.

§ 2.3 Mülk 3

Dış teğetler arasında bulunan iç teğet parçasının uzunluğu, temas noktaları arasındaki dış tanjant parçasının uzunluğuna ve bu dairelerin iki geometrik ortalama yarıçapına eşittir.

Kanıt Bu sonuç önceki mülkten kaynaklanmaktadır.

MN = MC + CN = 2MC = 2A 1 M = A 1 B 1 = 2√Rr

§ 2.4 Mülk 4

Teğet çemberlerin merkezleri ile teğet noktalarına çizilen yarıçaplar arasındaki teğet doğru parçasının orta noktasının oluşturduğu üçgen dikdörtgendir. Bacaklarının oranı, bu dairelerin yarıçaplarının köklerinin bölümüne eşittir.

Kanıt 1.MO 1, A 1 MC açısının açıortayıdır, MO 2, B 1 MC açısının açıortayıdır, çünkü Bir açıyla işaretlenmiş bir dairenin merkezi, o açının açıortayı üzerinde bulunur.

2. Paragraf 1'e göre РО 1 МS + РСМО 2 = 0,5 (РА1МС + РСМВ 1) = 0,5p = p/2

3.РО 1 MO 2 - düz. MS - O 1 MO 2 üçgeninin yüksekliği, çünkü MN tanjantı temas noktalarına çizilen yarıçaplara diktir → О 1 МС ve MO 2 С üçgenleri benzerdir.

4.O 1 M / MO 2 \u003d O 1 C / MS \u003d r / √Rr \u003d √r / R (benzerliğe göre)

Kanıtta kullanılan ifadeler 1) Bir açıyla çizilen dairenin merkezi, o açının açıortayı üzerindedir. Bir üçgenin bacakları, açıların açıortaylarıdır.

2) Bu şekilde oluşan açıların eşit olduğundan, aradığımız açının dik açı olduğunu elde ederiz. Bu üçgenin gerçekten de bir dik üçgen olduğu sonucuna varıyoruz.

3) Yüksekliğin (tanjant, temas noktalarında çizilen yarıçaplara dik olduğu için) dik üçgeni böldüğü üçgenlerin benzerliğini kanıtlıyoruz ve benzerlikle istenen oranı elde ediyoruz.

§ 2.5 Mülk 5

Dairelerin birbirleriyle temas noktaları ve dairelerin teğet ile kesişme noktalarının oluşturduğu üçgen bir dik üçgendir. Bacaklarının oranı, bu dairelerin yarıçaplarının köklerinin bölümüne eşittir.

Kanıt

  1. ▲А 1 МС ve ▲СМВ 1 ikizkenardır → РМА 1 С = РМСА 1 = α, РМВ 1 С = РМСВ 1 = β.

  1. 2α + 2β + РА 1 MS + РСМВ 1 = 2p → 2α + 2β = 2p - (РА 1 МS + РСМВ 1) = 2p - p = p, α + β = p/2

  1. Ancak RA 1 SV 1 = α + β → RA 1 SV 1 - doğrudan → РВ 1 CO 2 = РSV 1 О 2 = p/2 - β = α

  1. ▲A 1 MS ve ▲CO 2 B 1 benzer → A 1 C / SV 1 = MS / O 2 B 1 = √Rr / R = √r / R

Kanıtta kullanılan ifadeler 1) İkizkenar oldukları gerçeğini kullanarak üçgenlerin açılarının toplamını boyarız. İkizkenar üçgenler, teğet bölümlerinin eşitliği ile ilgili özellik kullanılarak kanıtlanır.

2) Açıların toplamını bu şekilde boyadıktan sonra, söz konusu üçgende bir dik açı olduğunu, dolayısıyla dikdörtgen olduğunu anlıyoruz. İfadenin ilk kısmı kanıtlanmıştır.

3) Üçgenlerin benzerliği ile (bunu haklı çıkarırken, iki açıda benzerlik işaretini kullanırız) bir dik üçgenin bacaklarının oranını buluruz.

§ 2.6 Mülkiyet 6

Dairelerin teğet ile kesişme noktalarının oluşturduğu dörtgen, içine dairenin yazılabileceği bir yamuktur.

Kanıt 1.▲A 1 RA 2 ve ▲B 1 RV 2 ikizkenardır çünkü Teğet segmentleri olarak A 1 P \u003d RA 2 ve B 1 P \u003d PB 2 → ▲A 1 RA 2 ve ▲B 1 PB 2 benzerdir.

2.A 1 A 2 ║ B 1 B 2, çünkü A 1 B 1 sekantının kesişiminde oluşan karşılık gelen açılar eşittir.

  1. MN - 2 özelliğine göre orta çizgi → A 1 A 2 + B 1 B 2 = 2MN = 4√Rr

  1. A 1 B 1 + A 2 B 2 \u003d 2 √ Rr + 2 √ Rr \u003d 4 √ Rr \u003d A 1 A 2 + B 1 B 2 → bir yamukta A 2 A 1 B 1 B 2 toplamı tabanlar, kenarların toplamına eşittir ve bu, yazılı bir dairenin varlığı için gerekli ve yeterli bir koşuldur.

Kanıtta kullanılan ifadeler 1) Teğet segmentlerin özelliğini tekrar kullanalım. Onun yardımıyla, teğet noktalarının ve teğet noktalarının kesişme noktalarından oluşan ikizkenar üçgenleri kanıtlayacağız.

2) Bundan, bu üçgenlerin benzerliği ve tabanlarının paralelliği ortaya çıkacaktır. Bu temelde, bu dörtgenin bir yamuk olduğu sonucuna varıyoruz.

3) Daha önce kanıtladığımız (2) özelliğine göre, yamuğun ortanca doğrusunu buluyoruz. Dairelerin iki geometrik ortalama yarıçapına eşittir. Ortaya çıkan yamukta, tabanların toplamı, kenarların toplamına eşittir ve bu, yazılı bir dairenin varlığı için gerekli ve yeterli bir koşuldur.

§ 3. Görevler

Pratik bir örnek kullanarak, yukarıdaki özellikler kullanılarak problemin çözümünün nasıl basitleştirilebileceğini düşünün.

Görev 1

ABC üçgeninde, AC kenarı = 15 cm Üçgenin içine bir daire çizilmiştir. İkinci daire birinciye ve AB ve BC kenarlarına dokunuyor. AB tarafında F noktası ve BC tarafında M noktası seçildiği için FM doğru parçası çemberlere ortak bir teğet olsun. FM 4 cm ise ve M noktası bir dairenin merkezinden diğerinin merkezinden iki kat daha uzaktaysa, BFM üçgeni ile AFMC dörtgeninin alanlarının oranını bulun.

Verilen: FM ortak tanjantı AC=15cm FM=4cm O 2 M=2O 1 M

S BFM /S AFMC'yi bulun

Çözüm:

1)FM=2√Rr,O 1 M/O 2 M=√r/R

2)2√Rr=4, √r/R=0.5 →r=1,R=4; PQ=FM=4

3)▲BO 1 P ve ▲BO 2 Q benzer → BP/BQ=O 1 P/O 2 Q, BP/(BP+PQ)=r/R,BP/(BP+4)=0.25;BP = 4/3

4)FM+BP=16/3, S FBM=r*P FBM=1*(16/3)=16/3; AC+BQ=15+4/3+4=61/3

5) S ABC \u003d R * R ABC \u003d 4 * (61/3) \u003d 244/3 → S BFM / S AFMC \u003d (16/3): (244/3) \u003d 4/61

Görev 2

Ortak noktaları D ve bu noktadan geçen bir ortak teğet FK olan iki teğet daire bir ABC ikizkenar üçgeninde yazılmıştır. AC üçgeninin tabanı = 9 cm ise ve dairelerin temas noktaları arasında kalan üçgenin yan kenarının parçası 4 cm ise bu dairelerin merkezleri arasındaki mesafeyi bulun.

Verilen: ABC bir ikizkenar üçgendir; FK, yazılı dairelerin ortak tanjantıdır. AC = 9 cm; KD = 4 cm

Çözüm:

AB ve CD doğruları O noktasında kesişsin. O zaman OA = OD, OB = OC, yani CD = AB = 2√Rr

O 1 ve O 2 noktaları AOD açısının açıortayı üzerinde bulunur. Bir ikizkenar üçgenin açıortayı AOD yüksekliğidir, yani AD ┴ O 1 O 2 ve BC ┴ O 1 O 2, yani

AD ║ BC ve ABCD bir ikizkenar yamuktur.

MN segmenti orta çizgisidir, yani AD + BC = 2MN = 2AB = AB + CD

Bu nedenle, bu yamuğun içine bir daire çizilebilir.

AP yamuğun yüksekliği olsun, АРВ ve О 1 FO 2 dik üçgenleri benzerdir, bu nedenle АР/О 1 F = АВ/О 1 О 2 .

Buradan şunu buluyoruz

bibliyografya

  • 43 Sayılı "Birinci Eylül" "Matematik" gazetesine ek, 2003
  • KULLANIM 2010. Matematik. Görev C4. Gordin R.K.

geometrik yapılar

Çemberlere teğetlerin inşası

Çemberlere teğet çizme ile ilgili diğer problemlerin çözümünün altında yatan problemi düşünün.

noktadan izin verFAKAT(Şek. 1) bir noktada ortalanmış bir daireye teğet çizmek gerekirHAKKINDA.

Teğetleri doğru bir şekilde oluşturmak için doğruların daireye teğet noktalarını belirlemek gerekir. Bu nokta içinFAKATbir nokta ile bağlanmalıdırHAKKINDAve segmenti bölAEyarısında. Bu segmentin ortasından - puanİTİBAREN, çapı segmente eşit olması gereken merkezden bir daire nasıl tarif edilirAE. puanİLE1 VeİLE2 bir noktada ortalanmış dairelerin kesişimleriİTİBARENve bir noktada ortalanmışHAKKINDAhatların temas noktalarıdırAK1 VeAK2 verilen bir daireye.

Problemin çözümünün doğruluğu, temas noktasına çizilen dairenin yarıçapının daireye teğet olana dik olması ile teyit edilir. köşelerTamam1 FAKATVeTamam2 FAKATdüz çünkü çapa güveniyorlarJSCbir noktada ortalanmış daireİTİBAREN.

Pirinç. 1.

İki daireye teğet oluştururken, teğetler ayırt ediliryerelVeharici. Verilen dairelerin merkezleri teğetin bir tarafında bulunuyorsa dış, dairelerin merkezleri teğetin zıt taraflarında ise iç kabul edilir.

HAKKINDA1 VeHAKKINDA2 r1 Ver2 . Verilen çemberlere dış teğetlerin çizilmesi gerekir.

Kesin yapı için, çizgiler ve verilen daireler arasındaki temas noktalarının belirlenmesi gerekir. Merkezleri olan dairelerin yarıçapları iseHAKKINDA1 VeHAKKINDA2 aynı değerde art arda azalmaya başlayın, ardından daha küçük çaplı bir dizi eşmerkezli daire elde edebilirsiniz. Ayrıca, yarıçaptaki her azalma durumunda, daha küçük dairelerin teğetleri istenenlere paralel olacaktır. Her iki yarıçapı da daha küçük yarıçapın boyutuna göre küçülttükten sonrar2 merkezi olan daireHAKKINDA2 bir noktaya ve merkezi olan bir daireye dönüşecekHAKKINDA1 yarıçaplı eşmerkezli bir daireye dönüştürülecekr3 , yarıçap farkına eşitr1 Ver2 .

Daha önce açıklanan yöntemi kullanarak, noktadanHAKKINDA2 yarıçaplı bir daireye dış teğet çizinr3 , noktaları birleştirHAKKINDA1 VeHAKKINDA2 , nokta ile bölünürİTİBARENBölümHAKKINDA1 HAKKINDA2 yarıya ve bir yarıçap çizinBÖYLE1 belirli bir daire ile kesişimi çizgilerin temas noktalarını belirleyecek olan bir yayHAKKINDA2 İLE1 VeHAKKINDA2 İLE2 .

NoktaFAKAT1 VeFAKAT2 istenilen çizgilerin daha büyük bir daire ile teması çizgilerin devamında yer alırHAKKINDA1 İLE1 VeHAKKINDA1 İLE2 . puanİÇİNDE1 VeİÇİNDE2 daha küçük daireli doğruların teğetleri tabana diktirHAKKINDA2 sırasıyla yardımcı teğetlereHAKKINDA2 İLE1 VeHAKKINDA2 İLE2 . Temas noktalarına sahip olmak istediğiniz çizgileri çizebilirsiniz.FAKAT1 İÇİNDE1 VeFAKAT2 İÇİNDE2 .

Pirinç. 2.

Noktalarında merkezleri olan iki daire olsunHAKKINDA1 VeHAKKINDA2 (Şekil 2), sırasıyla yarıçaplara sahipr1 Ver2 . Verilen çemberlere iç teğetlerin çizilmesi gerekir.

Çizgiler ve daireler arasındaki temas noktalarını belirlemek için, önceki problemin çözümünde verilenlere benzer argümanlar kullanırız. yarıçapı azaltırsakr2 sıfıra, sonra merkezi olan daireHAKKINDA2 noktaya çevirin. Ancak bu durumda, yardımcı teğetlerin gerekli olanlarla paralelliğini korumak için yarıçapr1 büyütülmelir2 ve yarıçaplı bir daire çizinr3 , yarıçapların toplamına eşitr1 Ver2 .

bir noktadanHAKKINDA2 yarıçaplı bir daireye teğet çizinr3 , bunun için noktaları birleştiriyoruzHAKKINDA1 VeHAKKINDA2 , nokta ile bölünürİTİBARENBölümHAKKINDA1 HAKKINDA2 yarıya ve bir noktada ortalanmış bir dairenin yayı çizinİTİBARENve yarıçapBÖYLE1 . Yarıçapı çemberi ile bir yayın kesişimir3 noktaların konumunu belirleyecekİLE1 VeİLE2 yardımcı hatların teğetliğiHAKKINDA2 İLE1 VeHAKKINDA2 İLE2 .

NoktaFAKAT1 VeFAKAT2 r1 bu dairenin segment ile kesiştiği noktadaHAKKINDA1 İLE1 VeHAKKINDA1 İLE2 . noktaları tanımlamak için1 İÇİNDEVe2 İÇİNDEyarıçaplı bir daire ile istenen çizgilerin teğetliğir2 noktadan takip ederO2yardımcı hatlara dik açılar kurunO2K1VeO2K2belirli bir daire ile kesişene kadar. İstenilen doğruların ve verilen dairelerin teğet noktalarına sahip olarak, doğruları çiziyoruz.A1B1VeA2B2.

Pirinç. 3.

Geçişler, teğetler - tüm bunlar geometri derslerinde yüzlerce kez duyulabilirdi. Ancak okuldan mezuniyet biter, yıllar geçer ve tüm bu bilgiler unutulur. Ne hatırlanmalıdır?

Öz

"Bir daireye teğet" terimi muhtemelen herkese tanıdık geliyor. Ancak herkesin tanımını hızlı bir şekilde formüle etmesi pek olası değildir. Bu arada, bir teğet, onu yalnızca bir noktada kesen bir daire ile aynı düzlemde uzanan düz bir çizgidir. Çok çeşitli olabilir, ancak hepsi aşağıda tartışılacak olan aynı özelliklere sahiptir. Tahmin edebileceğiniz gibi, temas noktası daire ve çizginin kesiştiği yerdir. Her durumda, birdir, ancak daha fazlası varsa, o zaman bir sekant olacaktır.

Keşif ve çalışma tarihi

Teğet kavramı antik çağda ortaya çıktı. Bu düz çizgilerin, önce bir daireye, daha sonra bir cetvel ve bir pergel yardımıyla elips, parabol ve hiperbollere yapımı, geometrinin gelişiminin ilk aşamalarında bile gerçekleştirildi. Tabii ki, tarih keşfedenin adını korumadı, ancak o zaman bile insanların bir daireye teğetin özelliklerinin oldukça farkında olduğu açıktır.

Modern zamanlarda, bu fenomene ilgi yeniden alevlendi - yeni eğrilerin keşfi ile birlikte bu kavramın yeni bir inceleme turu başladı. Böylece Galileo bir sikloid kavramını tanıttı ve Fermat ve Descartes ona bir teğet oluşturdu. Çemberlere gelince, bu alanda eskiler için hiçbir sır kalmamış gibi görünüyor.

Özellikleri

Kesişme noktasına çizilen yarıçap,

ana, ancak bir daireye teğetin sahip olduğu tek özellik değil. Bir diğer önemli özellik ise halihazırda iki düz çizgiyi içeriyor. Böylece, çemberin dışında kalan bir noktadan iki teğet çizilebilir ve bölümleri eşit olacaktır. Bu konuda başka bir teorem daha var, ancak bazı problemleri çözmek için son derece uygun olmasına rağmen, nadiren standart bir okul kursu çerçevesinde ele alınmaktadır. Kulağa böyle geliyor. Çemberin dışında bulunan bir noktadan, ona bir teğet ve bir sekant çizilir. AB, AC ve AD segmentleri oluşturulur. A, çizgilerin kesişimi, B temas noktası, C ve D kesişme noktalarıdır. Bu durumda, aşağıdaki eşitlik geçerli olacaktır: Çembere teğetin uzunluğu, karesi, AC ve AD doğru parçalarının çarpımına eşit olacaktır.

Yukarıdakilerin önemli bir sonucu vardır. Çemberin her noktası için bir teğet oluşturabilirsiniz, ancak yalnızca bir tane. Bunun ispatı oldukça basittir: Teorik olarak yarıçaptan onun üzerine bir dik açı bırakarak, oluşan üçgenin var olamayacağını öğreniyoruz. Bu da teğetin benzersiz olduğu anlamına gelir.

Bina

Geometrideki diğer görevler arasında, kural olarak değil, özel bir kategori vardır.

öğrenciler ve öğrenciler tarafından tercih edilmektedir. Bu kategorideki görevleri çözmek için sadece bir pusulaya ve bir cetvele ihtiyacınız var. Bunlar inşaat işleridir. Bir teğet oluşturmak için de yöntemler vardır.

Böylece, bir daire ve sınırlarının dışında kalan bir nokta verildi. Ve içlerinden bir teğet çizmek gerekiyor. Nasıl yapılır? Her şeyden önce, O çemberinin merkezi ile belirli bir nokta arasında bir doğru parçası çizmeniz gerekir. Ardından, bir pusula kullanarak ikiye bölün. Bunu yapmak için, yarıçapı ayarlamanız gerekir - orijinal dairenin merkezi ile verilen nokta arasındaki mesafenin yarısından biraz fazla. Bundan sonra, kesişen iki yay oluşturmanız gerekir. Ayrıca, pusulanın yarıçapının değiştirilmesine gerek yoktur ve dairenin her bir parçasının merkezi sırasıyla başlangıç ​​noktası ve O olacaktır. Yayların kesişme noktaları, segmenti ikiye bölecek şekilde bağlanmalıdır. Pusulada bu mesafeye eşit bir yarıçap ayarlayın. Ardından, merkez kesişme noktasında olacak şekilde başka bir daire çizin. Hem başlangıç ​​noktası hem de O üzerinde duracaktır.Bu durumda problemde verilen daire ile iki kesişme daha olacaktır. Bunlar, başlangıçta verilen nokta için temas noktaları olacaktır.

Doğuma yol açan daireye teğetlerin inşasıydı.

diferansiyel hesap. Bu konudaki ilk çalışma ünlü Alman matematikçi Leibniz tarafından yayınlandı. Kesirli ve irrasyonel değerlerden bağımsız olarak maksimum, minimum ve teğet bulma imkanı sağladı. Eh, şimdi diğer birçok hesaplama için de kullanılıyor.

Ayrıca çemberin teğeti, tanjantın geometrik anlamı ile ilişkilidir. Adı da buradan gelmektedir. Latince'den tercüme edilen tangens, "tanjant" anlamına gelir. Böylece, bu kavram sadece geometri ve diferansiyel hesap ile değil, aynı zamanda trigonometri ile de bağlantılıdır.

iki daire

Bir teğet her zaman sadece bir rakamı etkilemez. Bir daireye çok sayıda düz çizgi çizilebiliyorsa, neden tam tersi olmasın? Olabilmek. Ancak bu durumda görev ciddi şekilde karmaşıktır, çünkü iki dairenin teğeti hiçbir noktadan geçemez ve tüm bu şekillerin göreceli konumu çok olabilir.

farklı.

Çeşitleri ve çeşitleri

İki daire ve bir veya daha fazla düz çizgi söz konusu olduğunda, bunların teğet olduğu bilinse bile, tüm bu şekillerin birbirine göre nasıl konumlandığı hemen ortaya çıkmaz. Buna dayanarak, birkaç çeşit var. Yani çemberlerin bir veya iki ortak noktası olabilir veya hiç olmayabilir. İlk durumda kesişecekler ve ikincisinde dokunacaklar. Ve burada iki çeşit var. Bir daire olduğu gibi ikinciye gömülüyse, dokunmaya dahili, değilse harici denir. Şekillerin göreceli konumlarını sadece çizime göre değil, aynı zamanda yarıçaplarının toplamı ve merkezleri arasındaki mesafe hakkında da bilgi sahibi olarak anlayabilirsiniz. Bu iki miktar eşitse, daireler birbirine dokunur. Birincisi daha büyükse kesişirler ve daha azsa ortak noktaları yoktur.

Düz çizgilerle aynı. Ortak noktaları olmayan herhangi iki çember için,

dört teğet oluşturun. İkisi rakamlar arasında kesişecek, bunlara iç denir. Birkaç kişi daha harici.

Bir ortak noktası olan dairelerden bahsediyorsak, görev büyük ölçüde basitleştirilmiştir. Gerçek şu ki, bu durumda herhangi bir karşılıklı düzenleme için yalnızca bir teğete sahip olacaklardır. Ve onların kesiştiği noktadan geçecek. Bu yüzden inşaat zorluğuna neden olmaz.

Şekillerin iki kesişme noktası varsa, onlar için hem bir hem de ikinci daireye teğet, ancak yalnızca dış olan düz bir çizgi oluşturulabilir. Bu sorunun çözümü, aşağıda tartışılacak olana benzer.

Problem çözme

Bu problem çözülebilse de, iki daireye hem iç hem de dış teğetlerin yapımı o kadar basit değildir. Gerçek şu ki, bunun için yardımcı bir figür kullanılıyor, bu yüzden bu yöntemi kendiniz düşünün.

oldukça sorunlu. Böylece, O1 ve O2 merkezleri ve yarıçapları farklı olan iki daire verilmiştir. Onlar için iki çift teğet oluşturmanız gerekir.

Her şeyden önce, daha büyük dairenin merkezine yakın bir yerde yardımcı bir tane oluşturmanız gerekir. Bu durumda, ilk iki rakamın yarıçapları arasındaki fark pusula üzerinde belirlenmelidir. Yardımcı daireye teğetler, daha küçük dairenin merkezinden oluşturulur. Bundan sonra, O1 ve O2'den, orijinal şekillerle kesişene kadar bu doğrulara dikler çizilir. Teğetin ana özelliğinden aşağıdaki gibi, her iki çember üzerinde de istenilen noktalar bulunur. Sorun çözüldü, en azından ilk kısmı.

İç teğetleri oluşturmak için pratik olarak çözmek gerekir.

benzer bir görev. Yine yardımcı bir şekle ihtiyaç vardır, ancak bu sefer yarıçapı orijinallerin toplamına eşit olacaktır. Verilen çemberlerden birinin merkezinden ona teğetler oluşturulur. Çözümün daha sonraki seyri, önceki örnekten anlaşılabilir.

Bir daireye teğet, hatta iki veya daha fazla o kadar zor bir iş değil. Tabii ki, matematikçiler bu tür problemleri manuel olarak çözmeyi çoktan bıraktılar ve hesaplamaları özel programlara emanet ettiler. Ancak şimdi bunu kendiniz yapabilmenin gerekli olmadığını düşünmeyin, çünkü bir bilgisayar için bir görevi doğru bir şekilde formüle etmek için çok şey yapmanız ve anlamanız gerekir. Ne yazık ki, bilgi kontrolünün test formuna son geçişten sonra, inşaat görevlerinin öğrenciler için giderek daha fazla zorluğa neden olacağına dair korkular var.

Daha fazla daire için ortak teğet bulmaya gelince, aynı düzlemde olsalar bile bu her zaman mümkün değildir. Ancak bazı durumlarda böyle bir çizgi bulmak mümkündür.

Gerçek hayattan örnekler

Pratikte iki çembere ortak bir teğet ile karşılaşılır, ancak bu her zaman fark edilmez. Konveyörler, blok sistemleri, kasnak iletim kayışları, bir dikiş makinesindeki iplik gerginliği ve hatta sadece bir bisiklet zinciri - bunların hepsi hayattan örnekler. Bu yüzden geometrik problemlerin sadece teoride kaldığını düşünmeyin: mühendislik, fizik, inşaat ve diğer birçok alanda pratik uygulama bulurlar.

Gizliliğiniz bizim için önemlidir. Bu nedenle, bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik politikamızı okuyun ve herhangi bir sorunuz olursa bize bildirin.

Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması

Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya onunla iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.

Bizimle iletişime geçtiğinizde herhangi bir zamanda kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.

Aşağıda, toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize ilişkin bazı örnekler verilmiştir.

Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:

  • Siteye bir başvuru yaptığınızda, adınız, telefon numaranız, e-posta adresiniz vb. dahil olmak üzere çeşitli bilgiler toplayabiliriz.

Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:

  • Topladığımız kişisel bilgiler, sizinle iletişim kurmamıza ve benzersiz teklifler, promosyonlar ve diğer etkinlikler ve yaklaşan etkinlikler hakkında sizi bilgilendirmemize olanak tanır.
  • Zaman zaman, size önemli bildirimler ve iletişimler göndermek için kişisel bilgilerinizi kullanabiliriz.
  • Kişisel bilgileri, sunduğumuz hizmetleri iyileştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili önerilerde bulunmak için denetimler, veri analizleri ve çeşitli araştırmalar yapmak gibi dahili amaçlarla da kullanabiliriz.
  • Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir teşvike girerseniz, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.

Üçüncü şahıslara açıklama

Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara ifşa etmiyoruz.

İstisnalar:

  • Gerekli olması durumunda - yasaya, yargı düzenine, yasal işlemlere ve / veya Rusya Federasyonu topraklarındaki devlet organlarının kamuya açık taleplerine veya taleplerine dayanarak - kişisel bilgilerinizi ifşa edin. Güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu yararı nedenleriyle bu tür bir açıklamanın gerekli veya uygun olduğunu belirlersek de sizinle ilgili bilgileri ifşa edebiliriz.
  • Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda, topladığımız kişisel bilgileri ilgili üçüncü taraf halefine aktarabiliriz.

Kişisel bilgilerin korunması

Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişim, ifşa, değişiklik ve imhadan korumak için - idari, teknik ve fiziksel dahil olmak üzere - önlemler alıyoruz.

Şirket düzeyinde gizliliğinizi korumak

Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için, çalışanlarımıza gizlilik ve güvenlik uygulamalarını iletiriz ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uygularız.

Devlet bütçeli eğitim kurumu

Spor Salonu No. 000

Geometri üzerine tasarım çalışması.

Bir daireye teğet oluşturmanın sekiz yolu.

9 biyolojik ve kimyasal sınıf

Bilim danışmanı: ,

Akademik İşlerden Sorumlu Müdür Yardımcısı,

Matematik öğretmeni.

Moskova 2012

Tanıtım

Bölüm 1. ………………………………………………………………4

Sonuç (sonuç)

Tanıtım

Ruhun en yüksek tezahürü akıldır.

Zihnin en yüksek tezahürü geometridir.

Geometri hücresi bir üçgendir. O aynı

tükenmez, evren gibi. Daire, geometrinin ruhudur.

Çevreyi bil ve sadece ruhu bilmeyeceksin

geometri değil, aynı zamanda ruhunuzu da yüceltin.

Claudius Batlamyus
Bir görev.

O merkezli ve yarıçapı R olan ve çemberin dışında kalan bir A noktasından geçen çembere bir teğet oluşturun.

Bölüm 1.

Paralel çizgiler teorisine dayalı olarak gerekçelendirme gerektirmeyen bir daireye teğet yapıları.

https://pandia.ru/text/78/156/images/image003_18.gif" width="17" height="16 src=">ABO =90°. Bir daire için (O; r) OB - yarıçap. OB AB, bu nedenle, AB bir tanjant temelinde bir tanjanttır.

Benzer şekilde, AC bir daireye teğettir.

1 No'lu yapı, bir dairenin tanjantının, teğet noktasına çizilen yarıçapa dik olduğu gerçeğine dayanmaktadır.

Bir çizgi için çemberle yalnızca bir temas noktası vardır.

Bir doğru üzerinde verilen bir noktadan sadece bir dik doğru çizilebilir.

Bina numarası 2.

https://pandia.ru/text/78/156/images/image003_18.gif" width="17" height="16"> ABO = 90°

5. OB - yarıçap, ABO = 90°, bu nedenle, AB - temelde teğet.

6. Benzer şekilde, bir ikizkenar üçgen AON'da, AC bir tanjanttır (ACO \u003d 90 °, OS bir yarıçaptır)

7. Yani, AB ve AC teğettir

3 numaralı bina

https://pandia.ru/text/78/156/images/image003_18.gif" width="17" height="16">OPM = OVA= 90° (eşit üçgenlerde karşılık gelen açılar olarak), dolayısıyla AB - teğet bazında teğet.

4. Benzer şekilde, AC bir tanjanttır

Bina №4

https://pandia.ru/text/78/156/images/image008_9.jpg" align="left" width="330" height="743 src=">

Bina numarası 6.

Bina:

2. A noktasından geçen çemberi (O, r) M ve N noktalarında kesen rastgele bir doğru çizin.

6. AB ve BC istenen teğetlerdir.

Kanıt:

1. PQN ve PQM üçgenleri bir daire içinde yazılı olduğundan ve PQ kenarı dairenin çapı olduğundan, bu üçgenler dik üçgenlerdir.

2. PQL üçgeninde, PM ve QN segmentleri K noktasında kesişen yüksekliklerdir, dolayısıyla KL üçüncü yüksekliktir..gif" width="17" height="16 src=">.gif" width="17" height="16 src =">AQS =AMS = 180° - https://pandia.ru/text/78/156/images/image003_18.gif" width="17" height="16">PQN = β, ardından |AQ| = |AS|ctg β Bu nedenle |PA| : |AQ| = ctg α: ctg β (2).

5. (1) ve (2)'yi karşılaştırdığımızda |PD| : |PA| = |DQ| : |AQ| veya

(|OD| + R)(|OA| - R)=(R -|OD|)(|OA| + R).

Parantezleri açıp sadeleştirdikten sonra, |OD|·|OA|=R²'yi buluyorum.

5. |OD|·|OA|=R² ilişkisinden |OD|:R=R: |OA|, yani ODB ve OBA üçgenleri benzerdir..gif" width="17" height=" 16"> OBA=90°. Bu nedenle, AB doğrusu kanıtlanması gereken gerekli tanjanttır.

Bina numarası 6.

Bina:

1. Bir daire çizin (A; |OA|).

2. 2R'ye eşit bir pusula açıklığı bulacağım, bunun için daire (O; R) üzerinde bir S noktası seçeceğim ve her biri 60º içeren üç yayı bir kenara koyacağım: SP=PQ=QT=60°. S ve T noktaları taban tabana zıttır.

3. Kesişen bir daire (O; ST) oluşturuyorum w 1Bu çember nedir? M ve N noktalarında

4. Şimdi orta MO'yu yapacağım. Bunu yapmak için (O; OM) ve (M; MO) daireleri oluşturuyorum ve sonra M ve O noktaları için üzerlerinde taban tabana zıt U ve V noktaları buluyoruz.

6. Son olarak, istenen B noktasında - MO'nun ortasında kesişen bir daire (K; KM) ve (L; LM) oluşturacağım.

Kanıt:

KMV ve UMK üçgenleri ikizkenar ve benzerleridir. Bu nedenle, KM \u003d 0.5MU gerçeğinden, MB \u003d 0.5MK \u003d 0.5R olduğunu takip eder. Yani B noktası istenen temas noktasıdır. Benzer şekilde, C temas noktasını da bulabilirsiniz.

Bölüm 3

Kesenlerin, açıortayların özelliklerine dayalı bir daireye teğet inşaatı.

7 numaralı bina

https://pandia.ru/text/78/156/images/image011_7.jpg" align="left" width="440" height="514 src="> Bina #8

Bina:

1. AP doğrusunu D noktasında kesen bir daire (A; AP) oluşturun.

2. QD çapında bir daire w oluşturun

3. AR doğrusuna dik bir açıyla A noktasında onu keseceğim ve M ve N noktalarını alacağım.

Kanıt:

Açıkçası, AM²=AN²=AD·AQ=AP·AQ. Daha sonra (A; AM) çemberi (O; R) B ve C temas noktalarında kesişir. AB ve AC istenen teğetlerdir.