Koordinatlarda bir noktadan bir çizgiye olan mesafe. Uçakta düz bir çizgi ile ilgili en basit problemler. Çizgilerin karşılıklı düzenlenmesi. çizgiler arasındaki açı

155*. Genel konumda düz bir çizginin AB segmentinin gerçek boyutunu belirleyin (Şek. 153, a).

Karar. Bildiğiniz gibi, herhangi bir düzlemde düz bir çizgi parçasının izdüşümü, bu düzleme paralel ise, parçanın kendisine (çizim ölçeği dikkate alınarak) eşittir.

(Şek. 153, b). Bundan, çizimi dönüştürerek bu segment pl'nin paralelliğini elde etmenin gerekli olduğu sonucu çıkar. V veya pl. H veya V, H sistemini kareye dik başka bir düzlemle tamamlayın. V veya pl. H ve aynı zamanda verilen segmente paralel.

Şek. 153, c kareye dik olan ek bir S düzleminin girişini göstermektedir. H ve verilen AB segmentine paralel.

a s b s izdüşüm, AB segmentinin doğal değerine eşittir.

Şek. 153, d başka bir yöntemi gösterir: AB parçası, B noktasından geçen ve kareye dik olan düz bir çizgi etrafında döndürülür. H, bir konuma paralel

metrekare V. Bu durumda, B noktası yerinde kalır ve A noktası yeni bir A1 konumunu işgal eder. Ufuk yeni konumunda. projeksiyon a 1 b || x ekseni. a "1 b" projeksiyonu, AB segmentinin doğal değerine eşittir.

156. Piramit SABCD verilmiştir (Şekil 154). Projeksiyon düzlemlerini değiştirme yöntemini kullanarak AS ve CS piramit kenarlarının ve döndürme yöntemini kullanarak BS ve DS kenarlarının doğal boyutunu belirleyin ve kareye dik dönme eksenini alın. H.

157*. A noktasından BC düz çizgisine olan mesafeyi belirleyin (Şek. 155, a).

Karar. Bir noktadan bir doğruya olan mesafe, bir noktadan bir doğruya çizilen bir dikin parçası ile ölçülür.

Çizgi herhangi bir düzleme dik ise (Şekil 155.6), noktadan çizgiye olan mesafe, noktanın izdüşümü ile çizginin bu düzlemdeki izdüşüm noktası arasındaki mesafe ile ölçülür. Bir düz çizgi V, H sisteminde genel bir konuma sahipse, projeksiyon düzlemlerini değiştirerek bir noktadan düz bir çizgiye olan mesafeyi belirlemek için V, H sistemine iki ek düzlem daha eklenmelidir.

İlk önce (Şekil 155, c) kareye giriyoruz. S, BC segmentine paralel (yeni S/H ekseni bс projeksiyonuna paraleldir) ve b s c s ve a s projeksiyonlarını oluşturuyoruz. Sonra (Şekil 155, d) başka bir kare tanıtıyoruz. BC çizgisine dik T (b s c s'ye dik yeni T/S ekseni). Düz bir çizgi ve bir noktanın projeksiyonlarını oluşturuyoruz - t (b t) ve a t ile. a t ve c t (b t) noktaları arasındaki uzaklık, A noktasından BC doğrusuna l uzaklığına eşittir.

Şek. 155e'de aynı görev, paralel hareket yöntemi olarak adlandırılan kendi biçimindeki döndürme yöntemi ile gerçekleştirilmektedir. İlk olarak, BC çizgisi ve A noktası, karşılıklı konumlarını değiştirmeden, kareye dik bir çizgi (çizimde gösterilmemiştir) etrafında dönerler. H, öyle ki BC düz çizgisi kareye paralel olsun. V. Bu, kareye paralel düzlemlerde A, B, C noktalarının hareket etmesine eşdeğerdir. H. Aynı zamanda ufuk. belirli bir sistemin (BC + A) izdüşümü büyüklük veya konfigürasyonda değişmez, sadece x eksenine göre konumu değişir. Ufuk ayarlayın. BC düz çizgisinin x eksenine paralel izdüşümü (b 1 c 1 konumu) ve c 1 1 1 \u003d c-1 ve 1 1 1 \u003d a-1 ve a'yı bir kenara bırakarak a 1 projeksiyonunu belirleyin ve a 1 1 1 ⊥ c 1 1 1. x eksenine paralel b "b" 1, a "a" 1, c "c" 1 düz çizgiler çizerek önlerini buluyoruz. projeksiyonlar b "1, a" 1, c "1. Ardından, B 2 C 2 elde etmek için V karesine paralel düzlemlerde B 1, C 1 ve A 1 noktalarını hareket ettiririz (ayrıca göreceli konumlarını değiştirmeden), ⊥ kare H. Bu durumda, düz çizginin öne izdüşümü x, b 2 c "2 = b" 1 c "1 eksenine dik olacaktır ve a" 2 izdüşümünü oluşturmak için yapmanız gereken b "2 2" 2 = b "1 2" 1 , 2 "a" 2 ⊥ b "2 c" 2 çizin ve bir "2 2" 2 \u003d a "1 2" 1'i erteleyin. Şimdi, c harcadıktan sonra 1 c 2 ve a 1 a 2 || x 1, b 2 s 2 ve a 2 projeksiyonlarını ve A noktasından BC çizgisine istenen l mesafesini alıyoruz. Tanımlanan düzlemi çevirerek A'dan BC'ye olan mesafeyi belirleyebilirsiniz. A noktası ve BC çizgisi ile bu düzlemin yatay çevresinde T || pl.H konumuna (Şekil 155, e).

A noktasının ve BC düz çizgisinin verdiği düzlemde, yatay bir A-1 çizgisi çiziyoruz (Şekil 155, g) ve B noktasını onun etrafında döndürüyoruz.B noktası kareye hareket ediyor. R (R h'yi izleyen çizimde verilmiştir), A-1'e dik; O noktasında B noktasının dönme merkezidir. Şimdi VO'nun dönme yarıçapının doğal değerini belirliyoruz (Şekil 155, c). Gerekli pozisyonda, yani pl. A noktası ve BC doğrusu tarafından tanımlanan T, || metrekare H, B noktası, O noktasından Ob 1 mesafesinde R h üzerinde dönecektir (aynı R h yolunda, ancak O'nun diğer tarafında başka bir konum olabilir). B 1 noktası ufuktur. A noktası ve BC düz çizgisi tarafından tanımlanan düzlem T konumunu aldığında, uzayda B1 konumuna hareket ettirdikten sonra B noktasının izdüşümü.

Düz b 1 1 çizgisini çizerek (Şek. 155 ve) ufku elde ederiz. önceden yerleştirilmiş BC düz çizgisinin izdüşümü || metrekare H, A ile aynı düzlemdedir. Bu konumda, a'dan b 1 1'e olan mesafe, istenen l mesafesine eşittir. Verilen elemanların bulunduğu P düzlemi kare ile birleştirilebilir. H (Şek. 155, j), kareyi döndürür. P onun ufkunun etrafında. iz. Düzlemi A noktası ve BC çizgisi ile ayarlamaktan BC ve A-1 çizgilerini ayarlamaktan (Şek. 155, l) geçtikten sonra, bu çizgilerin izlerini buluyor ve bunların içinden P ϑ ve P h izlerini çiziyoruz. Kare ile birlikte (Şek. 155, m) inşa ediyoruz. H konumu ön. iz - P ϑ0 .

A noktasından geçen ufku çizin. önden projeksiyon; birleşik ön, Р ϑ0'a paralel Р h izindeki 2 noktasından geçer. A Noktası 0 - pl ile birlikte. H, A noktasının konumudur. Benzer şekilde, B 0 noktasını buluruz. Pl ile birlikte doğrudan güneş. H konumu B 0 noktasından ve m noktasından geçer (düz bir çizginin yatay izi).

A 0 noktasından B 0 C 0 düz çizgisine olan mesafe, istenen l mesafesine eşittir.

Belirtilen yapıyı yalnızca bir P h izi bularak yapmak mümkündür (Şek. 155, n ve o). Bütün yapı yatayın etrafında dönmeye benzer (bkz. Şekil 155, f, c, i): P h izi, karenin yatay çizgilerinden biridir. R.

Bu sorunu çözmek için verilen bir çizimi dönüştürme yöntemlerinden yatay veya önden döndürme yöntemi tercih edilir.

158. Piramit SABC verilmiştir (Şekil 156). Mesafeleri belirleyin:

a) paralel hareket yöntemiyle tabanın B tepesinden AC tarafına;

b) piramidin tepesinden S'den tabanın BC ve AB kenarlarına yatay etrafında dönme yoluyla;

c) projeksiyon düzlemlerini değiştirerek tabanın S tepesinden AC tarafına.

159. Verilen bir prizma (Şekil 157). Mesafeleri belirleyin:

a) projeksiyon düzlemlerini değiştirerek AD ve CF kenarları arasında;

b) önden döndürülerek BE ve CF nervürleri arasında;

c) paralel hareket yöntemiyle AD ve BE kenarları arasında.

160. ABCD dörtgeninin gerçek boyutunu (Şekil 158) kare ile birleştirerek belirleyin. N. Düzlemin yalnızca yatay izini kullanın.

161*. Kesişen AB ve CD çizgileri arasındaki mesafeyi belirleyin (Şek. 159, a) ve bunlara ortak dik olanın izdüşümlerini oluşturun.

Karar. Kesişen çizgiler arasındaki mesafe, her iki çizgiye dik olan segment (MN) ile ölçülür (Şekil 159, b). Açıkçası, çizgilerden biri herhangi bir kareye dik olarak yerleştirilirse. o zaman

her iki çizgiye dik olan MN parçası kareye paralel olacaktır. Bu düzlemdeki projeksiyonu gerekli mesafeyi gösterecektir. MN n AB ana ekseninin dik açısının kareye izdüşümü. T aynı zamanda m t n t ve a t b t arasında bir dik açı olduğu ortaya çıkıyor, çünkü AMN, yani MN dik açısının kenarlarından biri. kareye paralel. T.

Şek. 159, c ve d, istenen mesafe l, projeksiyon düzlemlerini değiştirme yöntemiyle belirlenir. İlk olarak, ek bir kare tanıtıyoruz. kareye dik çıkıntılar S. H ve düz çizgi CD'ye paralel (Şekil 159, c). Sonra başka bir ek kare tanıtıyoruz. T, kareye dik. S ve aynı çizgiye dik CD (Şek. 159, d). Şimdi, t t (d t) noktasından m t n t'yi at t b t izdüşümüne dik olarak çizerek ortak dikin izdüşümünü oluşturabilirsiniz. m t ve n t noktaları, bu dikin AB ve CD doğrularıyla kesişme noktalarının izdüşümleridir. m t noktasından (Şekil 159, e) a s b s üzerinde m s buluyoruz: m s n s projeksiyonu T / S eksenine paralel olmalıdır. Ayrıca, ms ve n s'den ab ve cd'de m ve n'yi ve onlardan "b" ve c "d"de m "ve n"yi buluruz.

Şek. 159, paralel hareketler yöntemiyle bu sorunun çözümünü göstermektedir. İlk önce düz çizgi CD'yi kareye paralel koyuyoruz. V: projeksiyon c 1 d 1 || X. Ardından, CD ve AB çizgilerini C 1 D 1 ve A 1 B 1 konumlarından C 2 B 2 ve A 2 B 2 konumlarına taşırız, böylece C 2 D 2 H'ye dik olur: izdüşüm c "2 d" 2 ⊥ x. İstenen dikin parçası bulunur || metrekare H ve dolayısıyla m 2 n 2, AB ile CD arasındaki gerekli l uzaklığını ifade eder. a "2 b" 2 ve c "2 d" 2 üzerindeki m "2 ve n" 2 projeksiyonlarının konumunu, ardından projeksiyonları ve m 1 ve m "1, n 1 ve n" 1, son olarak, projeksiyonlar m "ve n", m ve n.

162. Piramit SABC verilmiştir (Şekil 160). Piramidin tabanının SB kenarı ile AC kenarı arasındaki mesafeyi belirleyin ve izdüşüm düzlemlerini değiştirme yöntemini kullanarak SB ve AC'ye ortak dikin izdüşümlerini oluşturun.

163. Piramit SABC verilmiştir (Şekil 161). SH kenarı ile piramidin tabanının BC kenarı arasındaki mesafeyi belirleyin ve paralel yer değiştirme yöntemini kullanarak SX ve BC'ye ortak dikin izdüşümlerini oluşturun.

164*. Düzlemin verildiği durumlarda A noktasından düzleme olan mesafeyi belirleyin: a) BCD üçgeni ile (Şekil 162, a); b) izler (Şekil 162, b).

Karar. Bildiğiniz gibi, bir noktanın bir düzleme olan uzaklığı, noktadan düzleme çizilen dikmenin büyüklüğü ile ölçülür. Bu mesafe herhangi bir kareye yansıtılır. Verilen düzlem kareye dik ise, gerçek boyutlu projeksiyonlar. projeksiyonlar (Şekil 162, c). Bu durum, örneğin kareyi değiştirerek çizimi dönüştürerek elde edilebilir. projeksiyonlar. Meydanı tanıtalım. S (Şekil 16ts, d), kareye dik. üçgen BCD. Bunu yapmak için meydanda harcıyoruz. yatay B-1 üçgenini çizin ve S projeksiyonlarının eksenini b-1 yatay projeksiyonuna dik olarak konumlandırın. Bir noktanın ve bir düzlemin - a s ve bir c s d s segmentinin projeksiyonlarını oluşturuyoruz . a s ile c s d s arasındaki mesafe, noktanın düzleme olan istenen mesafesine l eşittir.

Rio'da. 162, d paralel hareket yöntemi uygulanır. Düzlemin B-1 yatayı V düzlemine dik olana kadar tüm sistemi hareket ettiririz: b 1 1 1 projeksiyonu x eksenine dik olmalıdır. Bu konumda, üçgenin düzlemi öne doğru çıkıntı yapacak ve A noktasından bu noktaya olan l mesafesi kare olacaktır. V bozulma olmadan.

Şek. 162b düzlem iz ile verilmiştir. (Şekil 162, e) ek bir kare tanıtıyoruz. S, kareye dik. P: S/H ekseni P h'ye diktir. Gerisi çizimden belli. Şek. 162, sorun bir yer değiştirme yardımıyla çözüldü: pl. P, P 1 konumuna girer, yani önden çıkıntılı hale gelir. Izlemek. P 1h, x eksenine diktir. Uçağın bu konumunda bir cephe inşa ediyoruz. yatay iz n "1, n 1 noktasıdır. P 1ϑ izi P 1x ve n 1'den geçecektir. a" 1 ile P 1ϑ arasındaki mesafe, istenen l mesafesine eşittir.

165. Piramit SABC verilmiştir (bakınız şekil 160). Paralel yer değiştirme yöntemini kullanarak piramidin A noktasından SBC yüzüne olan uzaklığını belirleyin.

166. Piramit SABC verilmiştir (bakınız şekil 161). Paralel yer değiştirme yöntemini kullanarak piramidin yüksekliğini belirleyin.

167*. Kesişen AB ve CD çizgileri arasındaki mesafeyi (bkz. Şekil 159, a) bu çizgiler boyunca çizilen paralel düzlemler arasındaki mesafe olarak belirleyin.

Karar. Şek. 163 ve P ve Q düzlemleri birbirine paralel olarak gösterilmiştir, bunlardan pl. Q, AB'ye paralel CD'den çizilir ve pl. P - AB'den kareye paralel. S. Bu tür düzlemler arasındaki mesafe, AB ve CD eğri çizgileri arasındaki mesafe olarak kabul edilir. Bununla birlikte, kendinizi AB'ye paralel yalnızca bir düzlem, örneğin Q, inşa etmekle sınırlayabilir ve ardından en azından A noktasından bu düzleme olan mesafeyi belirleyebilirsiniz.

Şek. 163c, AB'ye paralel olarak CD'den geçen Q düzlemini gösterir; "e" ile yapılan projeksiyonlarda || a"b" ve se || ab. Kare değiştirme yöntemini kullanma. projeksiyonlar (Şekil 163, c), ek bir kare tanıtıyoruz. S, kareye dik. V ve aynı anda

kareye dik. Q. S / V eksenini çizmek için bu düzlemde ön D-1'i alıyoruz. Şimdi d "1" e dik S / V çiziyoruz (Şek. 163, c). Pl. Q karede görüntülenecektir. S, s d s ile düz bir çizgi olarak. Gerisi çizimden belli.

168. Piramit SABC verilmiştir (bkz. Şekil 160). SC ve AB kenarları arasındaki mesafeyi belirleyin Uygulayın: 1) alanı değiştirme yöntemi. projeksiyonlar, 2) paralel hareket yöntemi.

169*. Biri AB ve AC düz çizgileri, diğeri DE ve DF düz çizgileri ile verilen paralel düzlemler arasındaki mesafeyi belirleyin (Şekil 164, a). Ayrıca uçakların izlerle verildiği durum için inşaat yapın (Şek. 164, b).

Karar. Paralel düzlemler arasındaki mesafe (Şekil 164, c), bir düzlemin herhangi bir noktasından diğerine bir dik çizilerek belirlenebilir. Şek. 164, g ek bir kare ekledi. S kareye dik. H ve verilen her iki düzleme. S.H ekseni ufka diktir. düzlemlerden birinde çizilen yatay bir çizginin izdüşümü. Bu düzlemin bir izdüşümünü oluşturuyoruz ve başka bir düzlemde Sq. 5. d s noktasının l s a s doğrusuna uzaklığı, paralel düzlemler arasında istenen uzaklığa eşittir.

Şek. 164, d başka bir yapı verilmiştir (paralel hareket yöntemine göre). Kesişen AB ve AC doğrularıyla ifade edilen düzlemin kareye dik olması için. V, ufuk. bu düzlemin yatay izdüşümünü x eksenine dik olarak ayarladık: 1 1 2 1 ⊥ x. Ön arasındaki mesafe. D noktasının d "1 izdüşümü ve a" 1 2 "1 düz çizgisi (düzlemin önden izdüşümü) düzlemler arasında istenen mesafeye eşittir.

Şek. 164, e, ek bir karenin girişini gösterir. S, pl.H'ye ve verilen P ve Q düzlemlerine dik (S/H ekseni, P h ve Q h izlerine diktir). Р s ve Q s izlerini oluşturuyoruz. Aralarındaki mesafe (bkz. Şekil 164, c), P ve Q düzlemleri arasındaki istenen mesafe l'ye eşittir.

Şek. 164, g, P 1 n Q 1 düzlemlerinin, ufukta P 1 ve Q 1 konumuna hareketini gösterir. izler x eksenine dik çıkıyor. Yeni cephe arasındaki mesafe. P 1ϑ ve Q 1ϑ izleri gerekli l mesafesine eşittir.

170. Paralel uçlu bir ABCDEFGH verilmiş (Şekil 165). Mesafeleri belirleyin: a) paralel borunun tabanları arasındaki - l 1; b) ABFE ve DCGH - l 2 yüzleri arasında; c) ADHE ve BCGF-1 3 yüzleri arasında.

Bu makale konu hakkında konuşuyor « noktadan çizgiye uzaklık », bir noktadan bir çizgiye olan mesafenin tanımları, koordinatlar yöntemiyle resimli örneklerle ele alınmaktadır. Sondaki her teori bloğu, benzer problemlerin çözümüne ilişkin örnekler göstermiştir.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Bir noktadan bir çizgiye olan mesafe, bir noktadan bir noktaya olan mesafeyi belirleyerek bulunur. Daha ayrıntılı olarak düşünelim.

Verilen doğruya ait olmayan bir a doğrusu ve bir M1 noktası olsun. A çizgisine dik bloklu bir çizgi çizin. Doğruların kesişim noktasını H 1 olarak alınız. M 1 H 1'in M 1 noktasından a çizgisine indirilen bir dik olduğunu elde ederiz.

tanım 1

M 1 noktasından a düz çizgisine olan mesafe M 1 ve H 1 noktaları arasındaki uzaklığa denir.

Dikey uzunluk figürü ile tanımın kayıtları vardır.

tanım 2

Noktadan çizgiye uzaklık verilen bir noktadan belirli bir doğruya çizilen dikmenin uzunluğudur.

Tanımlar eşdeğerdir. Aşağıdaki şekli düşünün.

Bir noktadan düz bir çizgiye olan mesafenin mümkün olan en küçük mesafe olduğu bilinmektedir. Buna bir örnekle bakalım.

A çizgisi üzerinde yatan ve M1 noktasıyla çakışmayan Q noktasını alırsak, M1 Q segmentinin M1'den a çizgisine indirilen eğik olarak adlandırıldığını alırız. M1 noktasından dik olanın, noktadan düz çizgiye çizilen diğer eğiklerden daha küçük olduğunu belirtmek gerekir.

Bunu kanıtlamak için, M 1 Q 1'in hipotenüs olduğu M 1 Q 1 H 1 üçgenini düşünün. Uzunluğunun her zaman bacakların uzunluğundan daha büyük olduğu bilinmektedir. Dolayısıyla, elimizdeki M 1 H 1< M 1 Q . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Bir noktadan düz bir çizgiye bulmak için ilk veriler, birkaç çözüm yönteminin kullanılmasına izin verir: Pisagor teoremi, sinüs tanımları, kosinüs, bir açının tanjantı ve diğerleri. Bu tür görevlerin çoğu okulda geometri derslerinde çözülür.

Bir noktadan bir çizgiye olan mesafeyi bulurken, dikdörtgen bir koordinat sistemine girmek mümkün olduğunda, koordinat yöntemi kullanılır. Bu paragrafta, belirli bir noktadan istenen mesafeyi bulmak için ana iki yöntemi ele alıyoruz.

İlk yöntem, mesafeyi M1'den a çizgisine çizilen bir dik olarak bulmayı içerir. İkinci yöntem, gerekli mesafeyi bulmak için a düz çizgisinin normal denklemini kullanır.

Düzlemde dikdörtgen bir koordinat sisteminde yer alan M 1 (x 1, y 1) koordinatlarına sahip bir nokta varsa, düz bir a çizgisi varsa ve M 1 H 1 mesafesini bulmanız gerekiyorsa, iki şekilde hesaplayabilirsiniz. Onları düşünelim.

ilk yol

H 1 noktasının x 2, y 2'ye eşit koordinatları varsa, noktadan çizgiye olan mesafe, M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y) formülündeki koordinatlardan hesaplanır. 2 - y 1) 2.

Şimdi H 1 noktasının koordinatlarını bulmaya geçelim.

O x y'deki düz bir çizginin, bir düzlemdeki düz bir çizginin denklemine karşılık geldiği bilinmektedir. Düz bir çizginin genel bir denklemini veya eğimli bir denklemi yazarak bir düz çizgi a tanımlamanın bir yolunu alalım. Verilen bir a doğrusuna dik M1 noktasından geçen düz bir doğrunun denklemini oluşturuyoruz. Çizgiyi kayın b ile gösterelim. H 1, a ve b çizgilerinin kesişme noktasıdır, bu nedenle koordinatları belirlemek için, iki çizginin kesişme noktalarının koordinatlarıyla ilgilenen makaleyi kullanmalısınız.

Belirli bir M 1 noktasından (x 1, y 1) düz çizgi a'ya olan mesafeyi bulma algoritmasının noktalara göre gerçekleştirildiği görülebilir:

tanım 3

• düz çizginin genel denklemini bulma a , A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 formuna sahip veya y \u003d k 1 x + b 1 formuna sahip eğim katsayısına sahip bir denklem;
• A 2 x + B 2 y + C 2 \u003d 0 şeklinde olan b satırının genel denklemini veya b çizgisi M 1 noktasıyla kesişirse y \u003d k 2 x + b 2 eğimli bir denklemi elde etmek ve verilen doğru a'ya diktir;
• a ve b'nin kesişme noktası olan H 1 noktasının x 2, y 2 koordinatlarının belirlenmesi, bunun için lineer denklem sistemi çözülür A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 veya y = k 1 x + b 1 y = k 2 x + b 2 ;
• M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 formülü kullanılarak bir noktadan düz bir çizgiye gerekli mesafenin hesaplanması.

ikinci yol

Teorem, bir düzlemde belirli bir noktadan belirli bir doğruya olan mesafeyi bulma sorusunu yanıtlamaya yardımcı olabilir.

teorem

Dikdörtgen bir koordinat sistemi O x y'ye sahiptir, M 1 (x 1, y 1) noktasına sahiptir, buradan düz bir çizgi çizilir a düzlemine, düzlemin normal denklemi tarafından verilen, forma sahip cos α x + cos β y - p \u003d 0, modulo'ya eşit, normal düz çizgi denkleminin sol tarafında elde edilen değer, x = x 1, y = y 1'de hesaplandı, M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos anlamına gelir β · y 1 - s.

Kanıt

a çizgisi, cos α x + cos β y - p = 0, daha sonra n → = (cos α , cos β) formuna sahip olan düzlemin normal denklemine karşılık gelir. orijinden a doğrusuna olan uzaklık p birimli . Şekildeki tüm verileri göstermek, M 1 (x 1, y 1) koordinatlarına sahip bir nokta eklemek gerekir, burada M 1 - O M 1 → = (x 1 , y 1) noktasının yarıçap vektörü . Bir noktadan düz bir çizgiye düz bir çizgi çizmek gerekir, bunu M 1 H 1 ile göstereceğiz. M1 ve H2 noktalarının M2 ve H2 izdüşümlerini O noktasından geçen düz bir çizgi üzerinde n → = (cos α , cos β) biçiminde bir yönlendirme vektörü ile göstermek gerekir ve biz şunu ifade ederiz: vektörün O M 1 → = (x 1 , y 1) olarak n → = (cos α , cos β) yönüne n p n → O M 1 → olarak sayısal izdüşümü.

Varyasyonlar, M1 noktasının kendisinin konumuna bağlıdır. Aşağıdaki şekli düşünün.

Sonuçları M 1 H 1 = n p n → O M → 1 - p formülünü kullanarak sabitleriz. Sonra eşitliği bu forma getiriyoruz M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p n p n → O M → 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 .

Vektörlerin skaler çarpımı, n → , O M → 1 = n → n p n → O M 1 → = 1 n p n → O M 1 → = n p n → O M 1 → biçiminde dönüştürülmüş bir formülle sonuçlanır; form n → , O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . Dolayısıyla, n p n → O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 elde ederiz. M 1 H 1 = n p n → O M 1 → - p = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p . Teorem kanıtlanmıştır.

Düzlemde M 1 (x 1, y 1) noktasından düz a çizgisine olan mesafeyi bulmak için birkaç eylem gerçekleştirilmelidir:

tanım 4

• a cos α · x + cos β · y - p = 0 doğrusunun normal denklemini elde etmek, görevde olmaması şartıyla;
• cos α · x 1 + cos β · y 1 - p ifadesinin hesaplanması, burada elde edilen değer M 1 H 1'dir.

Bir noktadan bir düzleme olan mesafeyi bulma problemlerini çözmek için bu yöntemleri uygulayalım.

örnek 1

M 1 (- 1 , 2) koordinatlarına sahip noktadan 4 x - 3 y + 35 = 0 doğrusuna olan uzaklığı bulun.

Karar

Çözmek için ilk yöntemi kullanalım.

Bunu yapmak için, 4 x - 3 y + 35 = 0 doğrusuna dik olarak verilen bir M 1 (- 1 , 2) noktasından geçen b doğrusu için genel denklemi bulmanız gerekir. b çizgisinin a çizgisine dik olması koşulundan görülebilir, o zaman yön vektörünün koordinatları (4, - 3) 'e eşittir. Böylece b doğrusuna ait M1 noktasının koordinatları olduğu için b doğrusuna ait kanonik denklemi düzlemde yazma imkanına sahibiz. B doğrusunun yönlendirici vektörünün koordinatlarını belirleyelim. x - (- 1) 4 = y - 2 - 3 ⇔ x + 1 4 = y - 2 - 3'ü elde ederiz. Ortaya çıkan kanonik denklem genel bir denkleme dönüştürülmelidir. O zaman bunu alırız

x + 1 4 = y - 2 - 3 ⇔ - 3 (x + 1) = 4 (y - 2) ⇔ 3 x + 4 y - 5 = 0

H 1 ataması olarak alacağımız çizgilerin kesişme noktalarının koordinatlarını bulalım. Dönüşümler şöyle görünür:

4 x - 3 y + 35 = 0 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 3 4 y - 35 4 + 4 y - 5 = 0 ⇔ ⇔ x = 3 4 y - 35 4 y = 5 ⇔ x = 3 4 5 - 35 4 y = 5 ⇔ x = - 5 y = 5

Yukarıdan, H 1 noktasının koordinatları (- 5; 5) .

M1 noktasından düz çizgi a'ya olan mesafeyi hesaplamak gerekir. M 1 (- 1, 2) ve H 1 (- 5, 5) noktalarının koordinatlarına sahibiz, sonra mesafeyi bulmak için formülü yerine koyarız ve bunu elde ederiz.

M 1 H 1 \u003d (- 5 - (- 1) 2 + (5 - 2) 2 \u003d 25 \u003d 5

İkinci çözüm.

Başka bir şekilde çözmek için düz bir çizginin normal denklemini elde etmek gerekir. Normalleştirme faktörünün değerini hesaplıyoruz ve denklemin her iki tarafını 4 x - 3 y + 35 = 0 ile çarpıyoruz. Buradan, normalleştirme faktörünün - 1 4 2 + (- 3) 2 = - 1 5 olduğunu ve normal denklemin - 1 5 4 x - 3 y + 35 = - 1 5 0 ⇔ - şeklinde olacağını elde ederiz. 4 5 x + 3 5 y - 7 = 0 .

Hesaplama algoritmasına göre düz bir çizginin normal denklemini elde etmek ve x = - 1 , y = 2 değerleri ile hesaplamak gerekir. O zaman bunu alırız

4 5 - 1 + 3 5 2 - 7 = - 5

Buradan, M 1 (- 1 , 2) noktasından verilen 4 x - 3 y + 35 = 0 doğrusuna olan uzaklığın - 5 = 5 değerine sahip olduğunu elde ederiz.

Cevap: 5 .

Bu yöntemde en kısa yöntem olduğu için düz bir çizginin normal denkleminin kullanılmasının önemli olduğu görülebilir. Ancak ilk yöntem, daha fazla hesaplama noktasına sahip olmasına rağmen tutarlı ve mantıklı olması açısından uygundur.

Örnek 2

Düzlemde, M 1 (8, 0) noktalı ve y = 1 2 x + 1 düz çizgili O x y dikdörtgen koordinat sistemi vardır. Belirli bir noktadan düz bir çizgiye olan mesafeyi bulun.

Karar

İlk yoldaki çözüm, eğim katsayısına sahip belirli bir denklemin genel bir denkleme indirgenmesi anlamına gelir. Basitleştirmek için, farklı şekilde yapabilirsiniz.

Dik doğruların eğimlerinin çarpımı - 1 ise, verilen y = 1 2 x + 1'e dik olan doğrunun eğimi 2'dir. Şimdi koordinatları M 1 (8, 0) olan bir noktadan geçen düz bir çizginin denklemini elde ederiz. Elimizde y - 0 = - 2 (x - 8) ⇔ y = - 2 x + 16 var.

H 1 noktasının koordinatlarını, yani y \u003d - 2 x + 16 ve y \u003d 1 2 x + 1 kesişim noktalarını bulmaya devam ediyoruz. Bir denklem sistemi oluşturuyoruz ve şunu elde ediyoruz:

y = 1 2 x + 1 y = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 2 x + 1 = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 x = 6 ⇔ ⇔ y = 1 2 6 + 1 x \u003d 6 \u003d y \u003d 4 x \u003d 6 ⇒ H 1 (6, 4)

M 1 (8 , 0) koordinatlarına sahip noktadan y = 1 2 x + 1 doğrusuna olan uzaklığın, M 1 (8 , 0) ve H koordinatlarına sahip başlangıç ​​noktası ve bitiş noktası arasındaki mesafeye eşit olduğu sonucu çıkar. 1 (6 , 4) . M 1 H 1 = 6 - 8 2 + (4 - 0) 2 20 = 2 5 olduğunu hesaplayalım ve elde edelim.

İkinci yoldaki çözüm, katsayılı denklemden normal formuna geçmektir. Yani, y \u003d 1 2 x + 1 ⇔ 1 2 x - y + 1 \u003d 0 alırız, o zaman normalleştirme faktörünün değeri - 1 1 2 2 + (- 1) 2 \u003d - 2 5 olur . Düz bir çizginin normal denkleminin - 2 5 1 2 x - y + 1 = - 2 5 0 ⇔ - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0 şeklini aldığı sonucu çıkar. M 1 8 , 0 noktasından - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0 şeklindeki düz bir doğruya hesaplayalım. Alırız:

M 1 H 1 \u003d - 1 5 8 + 2 5 0 - 2 5 \u003d - 10 5 \u003d 2 5

Cevap: 2 5 .

Örnek 3

M 1 (- 2 , 4) koordinatlarına sahip noktadan 2 x - 3 = 0 ve y + 1 = 0 düz çizgilerine olan mesafeyi hesaplamak gerekir.

Karar

2 x - 3 = 0 doğrusunun normal formunun denklemini elde ederiz:

2 x - 3 = 0 ⇔ 1 2 2 x - 3 = 1 2 0 ⇔ x - 3 2 = 0

Ardından M 1 - 2, 4 noktasından x - 3 2 = 0 düz çizgisine olan mesafeyi hesaplamaya devam ediyoruz. Alırız:

M 1 H 1 = - 2 - 3 2 = 3 1 2

Düz çizgi denklemi y + 1 = 0, -1 değerinde bir normalleştirme faktörüne sahiptir. Bu, denklemin - y - 1 = 0 şeklini alacağı anlamına gelir. M 1 (- 2 , 4) noktasından - y - 1 = 0 düz çizgisine olan mesafeyi hesaplamaya devam ediyoruz. - 4 - 1 = 5'e eşit olduğunu anlıyoruz.

Cevap: 3 1 2 ve 5 .

Düzlemin belirli bir noktasından O x ve O y koordinat eksenlerine olan mesafenin belirlenmesini ayrıntılı olarak ele alalım.

Dikdörtgen bir koordinat sisteminde, O y ekseni, eksik olan ve x \u003d 0 ve O x - y \u003d 0 biçimine sahip düz bir çizgi denklemine sahiptir. Denklemler koordinat eksenleri için normaldir, o zaman M 1 x 1 , y 1 koordinatlarına sahip noktadan düz çizgilere olan mesafeyi bulmak gerekir. Bu, M 1 H 1 = x 1 ve M 1 H 1 = y 1 formüllerine göre yapılır. Aşağıdaki şekli düşünün.

Örnek 4

M 1 (6, - 7) noktasından O x y düzleminde bulunan koordinat çizgilerine olan mesafeyi bulun.

Karar

Y \u003d 0 denklemi O x çizgisini ifade ettiğinden, verilen koordinatlarla M 1'den bu çizgiye olan mesafeyi formülü kullanarak bulabilirsiniz. 6 = 6 elde ederiz.

X \u003d 0 denklemi O y çizgisini ifade ettiğinden, formülü kullanarak M 1'den bu çizgiye olan mesafeyi bulabilirsiniz. O zaman bunu elde ederiz - 7 = 7 .

Cevap: M 1'den O x'e olan mesafenin değeri 6'dır ve M 1'den O y'ye olan mesafenin değeri 7'dir.

Üç boyutlu uzayda M 1 (x 1, y 1, z 1) koordinatlarına sahip bir noktamız olduğunda, A noktasından a çizgisine olan mesafeyi bulmak gerekir.

Uzayda bulunan bir noktadan düz bir çizgiye olan mesafeyi hesaplamanıza izin veren iki yolu düşünün. İlk durum, M1 noktasından çizgiye olan mesafeyi dikkate alır, burada çizgi üzerindeki nokta H 1 olarak adlandırılır ve M1 noktasından a çizgisine çizilen dikmenin tabanıdır. İkinci durum, bu düzlemin noktalarının paralelkenarın yüksekliği olarak aranması gerektiğini önermektedir.

ilk yol

Tanımdan, a düz çizgisi üzerinde bulunan M 1 noktasından olan mesafenin M 1 H 1 dikinin uzunluğu olduğuna sahibiz, sonra bunu H 1 noktasının bulunan koordinatlarıyla elde ederiz, sonra mesafeyi buluruz M 1 (x 1, y 1, z 1 ) ile H 1 (x 1, y 1, z 1) arasında M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z formülüne göre 2 - z 1 2 .

Bütün çözümün, M1'den a doğrusuna çizilen dikmenin tabanının koordinatlarını bulmaya gittiğini anlıyoruz. Bu şu şekilde yapılır: H 1, verilen noktadan geçen düzlem ile a doğrusunun kesiştiği noktadır.

Bu, M1 (x 1, y 1, z 1) noktasından uzayın düz çizgisi a'ya olan mesafeyi belirleme algoritmasının birkaç noktayı ima ettiği anlamına gelir:

tanım 5

• düzlemin denklemini, çizgiye dik verilen bir noktadan geçen düzlemin bir denklemi olarak çizmek;
• a doğrusu ile χ düzleminin kesişme noktası olan H 1 noktasına ait (x 2 , y 2 , z 2) koordinatlarının belirlenmesi;
• M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2 formülü kullanılarak bir noktadan bir çizgiye olan mesafenin hesaplanması .

ikinci yol

Bir a hattımız olduğu koşulundan, x 3, y 3, z 3 koordinatlarıyla ve a hattına ait belirli bir M3 noktasıyla a → = a x, a y, a z yön vektörünü belirleyebiliriz. M 1 (x 1 , y 1) ve M 3 x 3 , y 3 , z 3 , M 3 M 1 → noktalarının koordinatları verildiğinde hesaplanabilir:

M 3 M 1 → = (x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3)

a → \u003d a x, a y, a z ve M 3 M 1 → \u003d x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3 vektörlerini M 3 noktasından ertelemek, bağlanın ve alın bir paralelkenar figürü. M 1 H 1 paralelkenarın yüksekliğidir.

Aşağıdaki şekli düşünün.

M 1 H 1 yüksekliğinin istenen mesafe olduğuna sahibiz, o zaman formülü kullanarak bulmanız gerekir. Yani, arıyoruz M 1 H 1 .

Paralelkenarın alanını S harfi ile belirtin, a → = (a x , a y , a z) ve M 3 M 1 → = x 1 - x 3 vektörünü kullanan formülle bulunur. y 1 - y 3 , z 1 - z 3 . Alan formülü S = a → × M 3 M 1 → şeklindedir. Ayrıca, şeklin alanı, kenarlarının uzunluklarının ve yüksekliğinin ürününe eşittir, S \u003d a → M 1 H 1'i a → \u003d a x 2 + a y 2 + ile elde ederiz. a z 2, paralelkenarın kenarına eşit olan a → \u003d (a x, a y, a z) vektörünün uzunluğudur. Dolayısıyla M 1 H 1 noktadan çizgiye olan mesafedir. M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → formülüyle bulunur.

M 1 (x 1, y 1, z 1) koordinatlarına sahip bir noktadan uzayda düz bir a çizgisine olan mesafeyi bulmak için, algoritmanın birkaç noktasını gerçekleştirmeniz gerekir:

tanım 6

• a - a → = (a x , a y , a z) doğrusunun yön vektörünün belirlenmesi ;
• yön vektörünün uzunluğunun hesaplanması a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 ;
• a doğrusu üzerinde bulunan M3 noktasına ait x 3 , y 3 , z3 koordinatlarının elde edilmesi;
• vektörünün koordinatlarının hesaplanması M 3 M 1 → ;
• a → (a x, a y, a z) ve M 3 M 1 → = x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3 vektörlerinin çapraz çarpımını a → × M 3 M 1 → = i olarak bulma → j → k → a x a y a z x 1 - x 3 y 1 - y 3 z 1 - z 3 uzunluğu elde etmek için a → × M 3 M 1 → ;
• bir noktadan bir doğruya olan mesafenin hesaplanması M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .

Uzayda belirli bir noktadan belirli bir düz çizgiye olan mesafeyi bulma problemlerini çözme

Örnek 5

M 1 2 , - 4 , - 1 koordinatlarına sahip noktadan x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 doğrusuna olan uzaklığı bulun .

Karar

İlk yöntem, M 1'den geçen ve verilen bir noktaya dik olan χ düzleminin denkleminin yazılmasıyla başlar. Aşağıdaki gibi bir ifade elde ederiz:

2 (x - 2) - 1 (y - (- 4)) + 5 (z - (- 1)) = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0

Koşulun verdiği doğru ile χ düzleminin kesişme noktası olan H 1 noktasının koordinatlarını bulmak gerekir. Kanonik biçimden kesişen biçime geçmek gerekir. Sonra formun bir denklem sistemi elde ederiz:

x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 ⇔ - 1 (x + 1) = 2 y 5 (x + 1) = 2 (z + 5) 5 y = - 1 (z + 5) ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

Sistemi hesaplamak gerekiyor x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = - 1 5 x - 2 z = 5 Cramer yöntemiyle 2 x - y + 5 z = 3, o zaman şunu elde ederiz:

∆ = 1 2 0 5 0 - 2 2 - 1 5 = - 60 ∆ x = - 1 2 0 5 0 - 2 3 - 1 5 = - 60 ⇔ x = ∆ x ∆ = - 60 - 60 = 1 ∆ y = 1 - 1 0 5 5 2 2 3 5 = 60 ⇒ y = ∆ y ∆ = 60 - 60 = - 1 ∆ z = 1 2 - 1 5 0 5 2 - 1 3 = 0 ⇒ z = ∆ z ∆ = 0 - 60 = 0

Dolayısıyla elimizde H 1 (1, - 1, 0) var.

M 1 H 1 \u003d 1 - 2 2 + - 1 - - 4 2 + 0 - - 1 2 \u003d 11

İkinci yöntem, kanonik denklemde koordinatlar aranarak başlatılmalıdır. Bunu yapmak için, kesrin paydalarına dikkat edin. O halde a → = 2 , - 1 , 5 x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 doğrusunun yön vektörüdür. Uzunluğu a → = 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 30 formülünü kullanarak hesaplamak gerekir.

x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 doğrusunun M 3 (- 1 , 0 , - 5) noktasıyla kesiştiği açıktır, dolayısıyla M 3 (- 1 , 0) orijinli vektöre sahibiz , - 5) ve M 1 2 , - 4 , - 1 noktasındaki sonu M 3 M 1 → = 3 , - 4 , 4'tür. a → = (2, - 1, 5) ve M 3 M 1 → = (3, - 4, 4) vektör ürününü bulun.

a → × M 3 M 1 → = i → j → k → 2 - 1 5 3 - 4 4 = - 4 i → + 15 j → - 8 k → + 20 i → - 8 j şeklinde bir ifade elde ederiz. → = 16 ben → + 7 j → - 5k →

çapraz ürünün uzunluğunun a → × M 3 M 1 → = 16 2 + 7 2 + - 5 2 = 330 olduğunu elde ederiz.

Düz bir çizgi için bir noktadan uzaklığı hesaplamak için formülü kullanmak için tüm verilere sahibiz, bu yüzden onu uygular ve şunu elde ederiz:

M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → bir → = 330 30 = 11

Cevap: 11 .

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Belirli bir M noktasından L çizgisine olan mesafeyi hesaplamak için farklı yöntemler kullanılabilir. Örneğin, L doğrusu üzerinde keyfi bir M 0 noktası alırsak, tanımlayabiliriz. M 0 M vektörünün düz çizginin normal vektörünün yönüne dik izdüşümü. Bu izdüşüm, bir işarete kadar, gerekli mesafedir.

Bir noktadan bir çizgiye olan mesafeyi hesaplamanın başka bir yolu da kullanmaktır. düz bir çizginin normal denklemi. L doğrusu normal denklem (4.23) ile verilsin. M(x; y) noktası L doğrusu üzerinde değilse, ortogonal izdüşüm pr n OM yarıçap-vektör L düz çizgisinin birim normal vektörünün n yönüne M noktası, OM ve n vektörlerinin skaler ürününe eşittir, yani. x cosφ + y günahφ. Aynı izdüşüm, orijinden düz çizgiye olan p mesafesinin toplamına ve bir miktar δ değerine eşittir (Şekil 4.10). Mutlak değerdeki δ değeri, M noktasından düz çizgiye olan mesafeye eşittir. Bu durumda, M ve O noktaları düz çizginin zıt taraflarındaysa δ > 0 ve δ M noktasının düz çizgiden sapmasıdır.

M(x; y) noktası için L hattından sapma δ, izdüşüm pr n OM ile orijinden çizgiye olan p mesafesi arasındaki fark olarak hesaplanır (bkz. Şekil 4.10), yani. δ \u003d x cosφ + y günahφ - s.

Bu formülü kullanarak, M(x; y) noktasından L doğrusuna olan p(M, L) uzaklığı da normal denklem tarafından verilen elde edilebilir: p(M, L) = |δ | = |x cosφ + y sinφ - p|.

2 Bitişik iki açı toplamı 180°'ye ulaşır

Yukarıdaki dönüştürme prosedürü göz önüne alındığında bir doğrunun genel denklemi normal denkleminde, M(x; y) noktasından L doğrusuna olan uzaklık için genel denklemi tarafından verilen bir formül elde ederiz:

Örnek 4.8. A köşesinden çıkan ABC üçgeninin AH yüksekliği, medyan AM ve AD açıortayı için genel denklemleri bulalım. A(-1;-3), B(7; 3 üçgeninin köşelerinin koordinatları) ), C(1;7) bilinmektedir.

Her şeyden önce, örneğin durumunu açıklığa kavuşturalım: belirtilen denklemler, belirtilen üçgenin AH yüksekliğinin, medyan AM'nin ve AD açıortayının bulunduğu L AH, L AM ve L AD çizgilerinin denklemleri anlamına gelir, sırasıyla (Şekil 4.11).

L AM düz çizgisinin denklemini bulmak için, medyanın üçgenin karşı tarafını ikiye böldüğü gerçeğini kullanırız. BC x 1 = (7 + 1)/2 = 4, y 1 = (3 + 7)/2 = 5 tarafının ortasının koordinatlarını (x 1; y 1) bulduktan sonra, L için denklemi yazıyoruz. formda AM iki noktadan geçen bir doğrunun denklemi,(x + 1)/(4 + 1) = (y + 3)/(5 + 3). Dönüşümlerden sonra, medyan 8x - 5y - 7 \u003d 0./p> genel denklemini elde ederiz.

L AH yüksekliğinin denklemini bulmak için, yüksekliğin üçgenin karşı tarafına dik olduğu gerçeğini kullanırız. Bu nedenle, BC vektörü AH yüksekliğine diktir ve L AH çizgisinin normal vektörü olarak seçilebilir. Bu doğrunun denklemi (4.15)'ten, A noktasının koordinatları ile L AH çizgisinin normal vektörü yer değiştirilerek elde edilir:

(-6)(x + 1) + 4(y + 3) = 0.

Dönüşümlerden sonra, 3x - 2y - 3 = 0 yüksekliği için genel denklemi elde ederiz.

L AD bisektörünün denklemini bulmak için, AD bisektörünün L AB ve L AC doğrularından eşit uzaklıkta olan N(x; y) noktaları kümesine ait olduğu gerçeğini kullanırız. Bu kümenin denklemi şu şekildedir:

P(N, L AB) = P(N, LAC), (4.28)

ve A noktasından geçen ve L AB ve L AC doğruları arasındaki açıları ikiye bölen iki doğru tanımlar. İki noktadan geçen düz bir çizginin denklemini kullanarak, L AB ve L AC çizgilerinin genel denklemlerini buluruz:

L AB: (x + 1)/(7 + 1) = (y + 3)/(3 + 3), L AC: (x + 1)/(1 + 1) = (y + 3)/(7 + 3)

Dönüşümlerden sonra, L AB: 3x - 4y - 9 \u003d 0, L AC: 5x - y + 2 \u003d 0 elde ederiz. Bir noktadan düz bir çizgiye olan mesafeyi hesaplamak için formül (4.27) kullanılarak denklem (4.28), şeklinde yazıyoruz

Modülleri genişleterek dönüştürelim:

Sonuç olarak, iki satırın genel denklemlerini elde ederiz.

(3 ± 25/√26)x + (-4 ± 5/√26)y + (-9 ± 10/√26) = 0

Onlardan bisektör denklemini seçmek için, üçgenin B ve C köşelerinin istenen çizginin karşı taraflarında bulunduğunu ve bu nedenle koordinatlarını L AD'nin genel denkleminin sol tarafına koyarak, AD'nin vermesi gerektiğini dikkate alıyoruz. farklı işaretlere sahip değerler. Üst işarete karşılık gelen denklemi seçiyoruz, yani.

(3 - 25/√26)x + (-4 + 5/√26)y + (-9 - 10/√26) = 0

B noktasının koordinatlarını bu denklemin sol tarafına koymak negatif bir değer verir çünkü

(3 - 25/√26)7 + (-4 + 5/√26)3 + (-9 - 10/√26) = 21 - 12 - 9 + (-175 + 15 - 10)/√26 = -170/√26

ve aynı işaret C noktasının koordinatları için elde edilir, çünkü

(3 - 25/√26)1 + (-4 + 5/√26)7 + (-9 - 10/√26) = 3 - 28 - 9 + (-25 + 35 - 10)/√26 = -34

Bu nedenle, B ve C köşeleri, seçilen denklemle düz çizginin aynı tarafında bulunur ve bu nedenle açıortay denklemi

(3 + 25/√26)x + (-4 - 5/√26)y + (-9 + 10/√26) = 0.

İlk seviye

Koordinatlar ve vektörler. Kapsamlı Kılavuz (2019)

Bu makalede, geometrideki birçok problemi basit aritmetiğe indirgemenizi sağlayacak bir "sihirli değnek" hakkında bir tartışmaya başlayacağız. Bu "asa", özellikle mekansal figürler, bölümler vb. oluştururken kendinizi güvensiz hissettiğinizde hayatınızı çok daha kolaylaştırabilir. Bütün bunlar belirli bir hayal gücü ve pratik beceriler gerektirir. Burada ele almaya başlayacağımız yöntem, her türlü geometrik yapıdan ve akıl yürütmeden neredeyse tamamen soyutlamanıza izin verecektir. Yöntem denir "koordinat yöntemi". Bu yazıda aşağıdaki soruları ele alacağız:

1. Koordinat uçağı
2. Uçaktaki noktalar ve vektörler
3. İki noktadan vektör oluşturma
4. Vektör uzunluğu (iki nokta arasındaki mesafe)​
5. orta nokta koordinatları
6. Vektörlerin nokta çarpımı​
7. iki vektör arasındaki açı

Sanırım koordinat yönteminin neden böyle adlandırıldığını tahmin ettiniz mi? Geometrik nesnelerle değil, sayısal özellikleriyle (koordinatları) çalıştığı için böyle bir isim aldığı doğrudur. Ve geometriden cebire geçmeyi mümkün kılan dönüşümün kendisi, bir koordinat sisteminin tanıtılmasından ibarettir. Orijinal şekil düzse, koordinatlar iki boyutludur ve şekil üç boyutluysa, koordinatlar üç boyutludur. Bu yazıda sadece iki boyutlu durumu ele alacağız. Ve makalenin ana amacı, size koordinat yönteminin bazı temel tekniklerini nasıl kullanacağınızı öğretmektir (Birleşik Devlet Sınavının B bölümünde planimetrideki problemleri çözerken bazen faydalı oldukları ortaya çıkar). Bu konuyla ilgili aşağıdaki iki bölüm, C2 problemlerini (stereometri problemi) çözme yöntemlerinin tartışılmasına ayrılmıştır.

Koordinat yöntemini tartışmaya nereden başlamak mantıklı olur? Muhtemelen bir koordinat sistemi konseptiyle. Onunla ilk tanıştığın zamanı hatırla. Bana öyle geliyor ki 7. sınıfta, örneğin doğrusal bir fonksiyonun varlığını öğrendiğinizde. Nokta nokta inşa ettiğinizi hatırlatmama izin verin. Hatırlıyor musun? Rastgele bir sayı seçtiniz, onu formüle yerleştirdiniz ve bu şekilde hesapladınız. Örneğin, eğer, o zaman, eğer, o zaman, vb. Sonuç olarak ne elde ettiniz? Ve koordinatları olan puanlar aldınız: ve. Daha sonra bir “çapraz” (koordinat sistemi) çizdiniz, üzerinde bir ölçek seçtiniz (tek parça olarak kaç hücreniz olacak) ve aldığınız noktaları üzerine işaretlediniz, ardından düz bir çizgi ile birleştirdiniz, ortaya çıkan çizgi fonksiyonun grafiğidir.

Size biraz daha ayrıntılı olarak açıklanması gereken birkaç şey var:

1. Kolaylık sağlamak için tek bir segment seçersiniz, böylece her şey resme güzel ve kompakt bir şekilde sığar

2. Eksenin soldan sağa, eksenin aşağıdan yukarıya gittiği varsayılır.

3. Dik açıyla kesişirler ve kesişme noktalarına orijin denir. Bir harf ile işaretlenmiştir.

4. Bir noktanın koordinat kaydında, örneğin, parantez içinde solda, eksen boyunca ve sağda, eksen boyunca noktanın koordinatı bulunur. Özellikle, basitçe şu anlama gelir:

5. Koordinat ekseninde herhangi bir noktayı ayarlamak için koordinatlarını belirtmeniz gerekir (2 sayı)

6. Eksen üzerinde bulunan herhangi bir nokta için,

7. Eksen üzerinde bulunan herhangi bir nokta için,

8. Eksene x ekseni denir

9. Eksene y ekseni denir

Şimdi sizinle bir sonraki adımı atalım: iki noktayı işaretleyin. Bu iki noktayı bir çizgi ile birleştirin. Ve oku bir noktadan noktaya çiziyormuş gibi koyalım: yani segmentimizi yönlendirilmiş hale getireceğiz!

Yönlendirilmiş bir segment için başka bir adın ne olduğunu hatırlıyor musunuz? Bu doğru, buna vektör denir!

Böylece, bir noktayı bir noktaya bağlarsak, ve başlangıç ​​A noktası olacak ve son B noktası olacak, sonra bir vektör elde ederiz. Bu inşaatı 8. sınıfta da yapmıştın, hatırladın mı?

Noktalar gibi vektörlerin iki sayı ile gösterilebileceği ortaya çıktı: bu sayılara vektörün koordinatları denir. Soru: Vektörün koordinatlarını bulmak için başlangıç ​​ve bitiş koordinatlarını bilmemiz sizce yeterli mi? Görünüşe göre evet! Ve bunu yapmak çok kolay:

Böylece, vektörde nokta başlangıç ​​ve bitiş olduğundan, vektör aşağıdaki koordinatlara sahiptir:

Örneğin, eğer, o zaman vektörün koordinatları

Şimdi tersini yapalım, vektörün koordinatlarını bulalım. Bunun için neyi değiştirmemiz gerekiyor? Evet, başlangıcı ve bitişi değiştirmelisiniz: şimdi vektörün başlangıcı bir noktada ve bitiş bir noktada olacaktır. Sonra:

Yakından bakın, vektörler ve arasındaki fark nedir? Tek farkları koordinatlardaki işaretlerdir. Onlar zıt. Bu gerçek şöyle yazılmıştır:

Bazen, hangi noktanın vektörün başlangıcı ve hangisinin son olduğu özellikle belirtilmemişse, vektörler iki büyük harfle değil, bir küçük harfle gösterilir, örneğin:, vb.

şimdi biraz uygulama ve aşağıdaki vektörlerin koordinatlarını bulun:

muayene:

Şimdi sorunu biraz daha zor çözün:

Bir noktada hurda üzerinde olan bir vektör simit sizinle birlikte veya di-üzerindedir. Bul-di-te abs-cis-su noktaları.

Hepsi aynı, oldukça sıkıcı: Noktanın koordinatları olsun. Sonra

Bir vektörün koordinatlarının ne olduğunu belirleyerek sistemi derledim. O zaman noktanın koordinatları vardır. Apsis ile ilgileniyoruz. Sonra

Cevap:

Vektörlerle başka neler yapabilirsiniz? Evet, hemen hemen her şey sıradan sayılarla aynıdır (bölemezsiniz, ancak iki şekilde çarpabilirsiniz, bunlardan birini biraz sonra tartışacağız)

1. Vektörler birbirleriyle istiflenebilir
2. Vektörler birbirinden çıkarılabilir
3. Vektörler keyfi sıfır olmayan bir sayı ile çarpılabilir (veya bölünebilir)
4. Vektörler birbirleriyle çarpılabilir

Tüm bu işlemler oldukça görsel bir geometrik temsile sahiptir. Örneğin, toplama ve çıkarma için üçgen (veya paralelkenar) kuralı:

Bir vektör, bir sayı ile çarpıldığında veya bölündüğünde uzar veya küçülür veya yön değiştirir:

Ancak burada koordinatlara ne olduğu sorusuyla ilgileneceğiz.

1. İki vektörü eklerken (çıkarırken), koordinatlarını eleman eleman ekleriz (çıkarırız). yani:

2. Bir vektörü bir sayı ile çarparken (bölerken), tüm koordinatları bu sayı ile çarpılır (bölünür):

Örneğin:

· Yüzyıldan-raya ko-or-di-nat toplamını bul.

Önce vektörlerin her birinin koordinatlarını bulalım. Her ikisinin de kökeni aynıdır - başlangıç ​​noktası. Onların sonları farklıdır. Sonra, . Şimdi vektörün koordinatlarını hesaplıyoruz Sonra ortaya çıkan vektörün koordinatlarının toplamı eşittir.

Cevap:

Şimdi aşağıdaki sorunu kendiniz çözün:

· Vektörün koordinatlarının toplamını bulun

Kontrol ediyoruz:

Şimdi aşağıdaki problemi ele alalım: koordinat düzleminde iki noktamız var. Aralarındaki mesafe nasıl bulunur? İlk nokta ve ikincisi olsun. Aralarındaki mesafeyi olarak gösterelim. Netlik için aşağıdaki çizimi yapalım:

Ne yaptım? Önce noktaları birleştirdim ve ayrıca noktadan eksene paralel bir doğru çizdim ve noktadan eksene paralel bir doğru çizdim. Bir noktada kesişerek harika bir figür mü oluşturdular? O neden harika? Evet, sen ve ben bir dik üçgen hakkında neredeyse her şeyi biliyoruz. Pekala, Pisagor teoremi, kesinlikle. İstenen segment bu üçgenin hipotenüsü ve segmentler bacaklardır. Noktanın koordinatları nelerdir? Evet, resimden bulmak kolaydır: Segmentler eksenlere paralel olduğundan ve sırasıyla uzunluklarını bulmak kolaydır: sırasıyla segmentlerin uzunluklarını belirtirsek, o zaman

Şimdi Pisagor teoremini kullanalım. Bacakların uzunluklarını biliyoruz, hipotenüsü bulacağız:

Böylece, iki nokta arasındaki uzaklık, koordinatlardan karesi alınmış farkların kök toplamıdır. Veya - iki nokta arasındaki mesafe, onları birleştiren parçanın uzunluğudur. Noktalar arasındaki mesafenin yöne bağlı olmadığını görmek kolaydır. Sonra:

Bundan üç sonuç çıkarıyoruz:

İki nokta arasındaki mesafeyi hesaplama konusunda biraz pratik yapalım:

Örneğin, eğer, o zaman ve arasındaki mesafe

Ya da farklı gidelim: vektörün koordinatlarını bulun

Ve vektörün uzunluğunu bulun:

Gördüğünüz gibi, aynı!

Şimdi kendi başınıza biraz pratik yapın:

Görev: verilen noktalar arasındaki mesafeyi bulun:

Kontrol ediyoruz:

Kulağa biraz farklı gelse de, aynı formül için birkaç problem daha var:

1. Göz kapağı-ra uzunluğunun karesini bulun.

2. Nai-di-te kare göz kapağı uzunluğu-ra

Sanırım bunlarla kolayca başa çıkabilirsin? Kontrol ediyoruz:

1. Ve bu dikkat için) Daha önce vektörlerin koordinatlarını bulduk: . O zaman vektörün koordinatları vardır. Uzunluğunun karesi şöyle olacaktır:

2. Vektörün koordinatlarını bulun

O halde uzunluğunun karesi

Karmaşık bir şey yok, değil mi? Basit aritmetik, başka bir şey değil.

Aşağıdaki bulmacalar açık bir şekilde sınıflandırılamaz, daha çok genel bilgi ve basit resimler çizme yeteneği içindir.

1. Kesimden-klon-on-on-on açının sinüsünü bulun, apsis ekseni ile n'inci noktayı birleştirin.

ve

Burada nasıl yapacağız? Aradaki açının sinüsünü ve ekseni bulmanız gerekir. Ve sinüsü nerede arayabiliriz? Bu doğru, bir dik üçgende. Peki ne yapmamız gerekiyor? Bu üçgeni oluşturun!

Noktanın koordinatları ve daha sonra segment eşit olduğundan ve segment. Açının sinüsünü bulmamız gerekiyor. Size hatırlatmama izin verin, sinüs karşı bacağın hipotenüse oranıdır, o zaman

Yapmamız gereken ne kaldı? Hipotenüsü bulun. Bunu iki şekilde yapabilirsiniz: Pisagor teoremini kullanarak (bacaklar biliniyor!) veya iki nokta arasındaki mesafe formülünü kullanarak (aslında ilk yöntemle aynı!). Ben ikinci yoldan gideceğim:

Cevap:

Bir sonraki görev size daha da kolay gelecek. O - noktanın koordinatlarında.

Görev 2. Noktadan, per-pen-di-ku-lar, abs-ciss eksenine indirilir. Nai-di-te abs-cis-su os-no-va-niya per-pen-di-ku-la-ra.

Bir çizim yapalım:

Dikin tabanı x eksenini (ekseni) kestiği noktadır benim için bu bir noktadır. Şekil, koordinatlara sahip olduğunu gösterir: . Apsis ile ilgileniyoruz - yani "X" bileşeni. O eşittir.

Cevap: .

Görev 3.Önceki problemin koşulları altında, noktadan koordinat eksenlerine olan mesafelerin toplamını bulun.

Bir noktadan eksenlere olan mesafenin ne olduğunu biliyorsanız, görev genellikle temeldir. Biliyorsun? Umarım ama yine de hatırlatırım:

Yani, biraz daha yüksekte bulunan çizimimde, zaten böyle bir dik tasvir ettim mi? Hangi eksen? eksene. Ve o zaman uzunluğu nedir? O eşittir. Şimdi eksene bir dik çizin ve uzunluğunu bulun. Eşit olacak, değil mi? O zaman toplamları eşittir.

Cevap: .

Görev 4. 2. problemin koşullarında, x ekseni etrafındaki noktaya simetrik olan noktanın ordinatını bulun.

Simetrinin ne olduğunu sezgisel olarak anladığınızı düşünüyorum? Pek çok nesne buna sahiptir: birçok bina, masa, düzlem, birçok geometrik şekil: bir top, bir silindir, bir kare, bir eşkenar dörtgen, vb. Kabaca söylemek gerekirse, simetri şu şekilde anlaşılabilir: bir şekil iki (veya daha fazla) oluşur. özdeş yarılar. Bu simetriye eksenel denir. O zaman eksen nedir? Bu tam olarak, şeklin göreceli olarak aynı yarılara "kesilebileceği" çizgidir (bu resimde simetri ekseni düzdür):

Şimdi görevimize geri dönelim. Eksene göre simetrik olan bir nokta aradığımızı biliyoruz. O halde bu eksen simetri eksenidir. Yani, eksenin parçayı iki eşit parçaya ayırması için bir noktayı işaretlememiz gerekiyor. Böyle bir noktayı kendiniz işaretlemeye çalışın. Şimdi benim çözümümle karşılaştırın:

Sen de aynısını yaptın mı? İyi! Bulunan noktada, ordinatla ilgileniyoruz. o eşittir

Cevap:

Şimdi söyle bana, bir saniye düşündükten sonra, y eksenine göre A noktasına simetrik olan noktanın apsisi ne olacak? Cevabınız nedir? Doğru cevap: .

Genel olarak, kural şu ​​şekilde yazılabilir:

x ekseni etrafında bir noktaya simetrik olan bir noktanın koordinatları:

Y ekseni etrafında bir noktaya simetrik olan bir noktanın koordinatları vardır:

Şimdi gerçekten korkutucu. görev: Bir noktaya simetrik olan bir noktanın orijine göre koordinatlarını bulun. Önce kendin düşün, sonra çizimime bak!

Cevap:

Şimdi paralelkenar sorunu:

Görev 5: Puanlar ver-shi-na-mi-pa-ral-le-lo-gram-ma'dır. Dee-te veya dee-on-tu noktalarını bulun.

Bu sorunu iki şekilde çözebilirsiniz: mantık ve koordinat yöntemi. Önce koordinat yöntemini uygulayacağım, sonra size nasıl farklı şekilde karar verebileceğinizi anlatacağım.

Noktanın apsisinin eşit olduğu oldukça açıktır. (noktadan x eksenine çizilen dikme üzerinde bulunur). Ordinatı bulmamız gerekiyor. Figürümüzün bir paralelkenar olduğu gerçeğinden yararlanalım, bu şu anlama geliyor. İki nokta arasındaki uzaklık formülünü kullanarak parçanın uzunluğunu bulun:

Noktayı eksene bağlayan dikeyi indiriyoruz. Kavşak noktası bir harf ile gösterilir.

Segmentin uzunluğu eşittir. (bu anı tartıştığımız sorunu kendiniz bulun), o zaman Pisagor teoremini kullanarak segmentin uzunluğunu bulacağız:

Parçanın uzunluğu, koordinatıyla tamamen aynıdır.

Cevap: .

Başka bir çözüm (sadece onu gösteren bir resim sağlayacağım)

Çözüm ilerlemesi:

1. Harcama

2. Nokta koordinatlarını ve uzunluğunu bulun

3. Bunu kanıtlayın.

Bir diğeri kesme uzunluğu sorunu:

Noktalar-la-yut-xia top-shi-on-mi tri-açı-no-ka. Orta hattının uzunluğunu bulun, par-ral-lel-noy.

Bir üçgenin orta çizgisinin ne olduğunu hatırlıyor musunuz? O zaman sizin için bu görev temeldir. Hatırlamıyorsanız, size hatırlatacağım: Bir üçgenin orta çizgisi, karşıt kenarların orta noktalarını birleştiren bir çizgidir. Tabana paralel ve yarısına eşittir.

Baz bir segmenttir. Daha önce uzunluğunu aramak zorunda kaldık, eşittir. O zaman orta çizginin uzunluğu yarısı kadar uzun ve eşittir.

Cevap: .

Yorum: Bu sorun, biraz sonra döneceğimiz başka bir şekilde çözülebilir.

Bu arada, işte size birkaç görev, üzerlerinde pratik yapın, oldukça basitler, ancak koordinat yöntemini kullanarak “elinizi çekmenize” yardımcı oluyorlar!

1. Noktalar görünüyor-la-yut-xia top-shi-on-mi tra-pe-tion. Orta hattının uzunluğunu bulun.

2. Puanlar ve yav-la-yut-xia ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Dee-te veya dee-on-tu noktalarını bulun.

3. Kesimden uzunluğu bulun, ikinci noktayı bağlayın ve

4. Ko-or-di-nat-noy düzleminde kırmızı-shen-noy figürü için alanı bulun.

5. na-cha-le ko-or-di-nat merkezli bir daire bir noktadan geçiyor. Bıyığını bul.

6. Nai-di-te ra-di-us daire-no-sti, sağ-açı-no-ka yakınında tarif-san-noy, bir şey-ro-go'nun üstleri-shi-ny'si ortak-ya da - di-na-sen-yanıttan-ama

Çözümler:

1. Bir yamuğun orta çizgisinin, tabanlarının toplamının yarısına eşit olduğu bilinmektedir. Taban eşittir, ancak taban. Sonra

Cevap:

2. Bu sorunu çözmenin en kolay yolu şunu fark etmektir (paralelkenar kuralı). Vektörlerin koordinatlarını hesaplayın ve zor değil: . Vektörler eklenirken koordinatlar eklenir. Sonra koordinatları var. Nokta aynı koordinatlara sahiptir, çünkü vektörün başlangıcı koordinatları olan bir noktadır. Ordinatla ilgileniyoruz. O eşittir.

Cevap:

3. İki nokta arasındaki uzaklık formülüne göre hemen hareket ediyoruz:

Cevap:

4. Resme bakın ve taralı alan hangi iki şekil arasında “sıkıştırılıyor”? İki kare arasına sıkıştırılmıştır. Daha sonra istenen şeklin alanı, büyük karenin alanından küçük karenin alanının çıkarılmasına eşittir. Küçük karenin kenarı, noktaları birleştiren bir parçadır ve uzunluğu

O halde küçük karenin alanı

Aynı şeyi büyük bir kare ile yapıyoruz: kenarı noktaları birleştiren bir segment ve uzunluğu eşittir

O halde büyük karenin alanı

İstenilen şeklin alanı şu formülle bulunur:

Cevap:

5. Dairenin merkezi orijine sahipse ve bir noktadan geçiyorsa, yarıçapı tam olarak doğru parçasının uzunluğuna eşit olacaktır (çizim yapın ve bunun neden açık olduğunu anlayacaksınız). Bu parçanın uzunluğunu bulun:

Cevap:

6. Bir dikdörtgenin çevresinde çevrelenen bir dairenin yarıçapının, köşegeninin yarısına eşit olduğu bilinmektedir. İki köşegenin herhangi birinin uzunluğunu bulalım (sonuçta bir dikdörtgende eşittirler!)

Cevap:

Peki, her şeyi başardın mı? Bunu anlamak o kadar da zor olmadı, değil mi? Burada tek bir kural var - görsel bir resim yapabilmek ve ondan tüm verileri basitçe “okumak”.

Çok az kaldı. Aslında tartışmak istediğim iki nokta daha var.

Bu basit sorunu çözmeye çalışalım. İki puan verilsin. Parçanın ortasının koordinatlarını bulun. Bu sorunun çözümü şu şekildedir: noktanın istenen orta olmasına izin verin, sonra koordinatları vardır:

yani: parçanın ortasının koordinatları = parçanın uçlarının karşılık gelen koordinatlarının aritmetik ortalaması.

Bu kural çok basittir ve genellikle öğrenciler için zorluk yaratmaz. Bakalım hangi problemlerde ve nasıl kullanılıyor:

1. Kesimden-di-te veya-di-na-tu se-re-di-us, connect-nya-yu-th-th noktasından ve

2. Puanlar yav-la-yut-xia ver-shi-na-mi-che-you-reh-coal-no-ka. Dia-go-on-lei'sinin yeniden-se-che-niya'sının di-te veya-di-na-tu noktalarını bulun.

3. Dairenin merkezinin abs-cis-su'sunu bulun, dikdörtgenin yakınında san-noy'u tanımlayın-no-ka, üstler-shi-bir şey-ro-go-ko-veya-di- na-siz-ve-stvenno-ama.

Çözümler:

1. İlk görev sadece bir klasik. Segmentin orta noktasını belirleyerek hemen harekete geçiyoruz. Koordinatları var. Ordinat eşittir.

Cevap:

2. Verilen dörtgenin bir paralelkenar (hatta bir eşkenar dörtgen!) olduğunu görmek kolaydır. Kenar uzunluklarını hesaplayarak ve birbirleriyle karşılaştırarak bunu kendiniz kanıtlayabilirsiniz. Paralelkenar hakkında ne biliyorum? Köşegenleri kesişme noktası tarafından ikiye bölünmüştür! Aha! Öyleyse köşegenlerin kesişme noktası nedir? Bu köşegenlerden herhangi birinin ortasıdır! Özellikle köşegeni seçeceğim. O zaman noktanın koordinatları vardır.Noktanın ordinatı eşittir.

Cevap:

3. Dikdörtgenin etrafındaki çevrelenmiş dairenin merkezi nedir? Köşegenlerinin kesişme noktası ile çakışır. Bir dikdörtgenin köşegenleri hakkında ne biliyorsun? Eşittirler ve kesişme noktası ikiye bölünmüştür. Görev bir öncekine düşürüldü. Örneğin, köşegeni alın. O zaman, çevrelenmiş dairenin merkezi ise, o zaman ortasıdır. Koordinatları arıyorum: Apsis eşittir.

Cevap:

Şimdi biraz kendi başınıza pratik yapın, kendinizi kontrol edebilmeniz için her sorunun cevabını vereceğim.

1. Nai-di-te ra-di-us daire-no-sti, tarif-san-noy üçgeninin yakınında-no-ka, birisi-ro-go'nun üstlerinde ko-or-di -hayır baylar var

2. Dairenin merkezini bulun veya di-na-tu, üçgenin yanındaki san-noy'u tanımlayın-no-ka, tops-shi-bir şey-ro-go koordinatlarımız var

3. Apsis eksenine değmesi için bir noktada merkezi olan bir daire nasıl bir ra-di-y-sa olmalıdır?

4. Eksenin yeniden-se-che-ing'inin o noktasında-di-te veya-di-on-kesiminden, nya-th-th-noktasını bağlayın ve

Yanıtlar:

Her şey yoluna girdi mi? Bunu gerçekten umuyorum! Şimdi - son itme. Şimdi özellikle dikkatli olun. Şimdi açıklayacağım malzeme sadece Kısım B'deki basit koordinat yöntemi problemleriyle ilgili değil, aynı zamanda Problem C2'de her yerde mevcuttur.

Hangi sözlerimi henüz tutmadım? Vektörler üzerinde hangi işlemleri tanıtmaya söz verdiğimi ve sonunda hangilerini tanıttığımı hatırlıyor musunuz? Hiçbir şey unutmadığıma emin miyim? Unutmuş olmak! Vektörlerin çarpımının ne anlama geldiğini açıklamayı unuttum.

Bir vektörü bir vektörle çarpmanın iki yolu vardır. Seçilen yönteme bağlı olarak, farklı nitelikte nesneler elde edeceğiz:

Vektör ürünü oldukça zor. Nasıl yapılır ve neden gerekli olduğunu, bir sonraki makalede sizinle tartışacağız. Ve bunda skaler ürüne odaklanacağız.

Bunu hesaplamamıza izin veren iki yol var:

Tahmin ettiğiniz gibi, sonuç aynı olmalı! O halde önce ilk yola bakalım:

Koordinatlar aracılığıyla nokta çarpımı

Bul: - nokta çarpımı için ortak gösterim

Hesaplama formülü aşağıdaki gibidir:

Yani nokta çarpım = vektörlerin koordinatlarının çarpımlarının toplamı!

Misal:

Bul-dee-te

Karar:

Vektörlerin her birinin koordinatlarını bulun:

Skaler ürünü aşağıdaki formülle hesaplıyoruz:

Cevap:

Görüyorsun, kesinlikle karmaşık bir şey yok!

Peki, şimdi kendin dene:

Bul-di-te skaler-noe yanlısı-ve-de-nie yüzyıldan hendeğe ve

Becerebildin mi? Belki küçük bir numara fark etmiştir? Hadi kontrol edelim:

Vektör koordinatları, önceki görevde olduğu gibi! Cevap: .

Koordinata ek olarak, vektörlerin uzunlukları ve aralarındaki açının kosinüsü aracılığıyla skaler ürünü hesaplamanın başka bir yolu daha vardır:

ve vektörleri arasındaki açıyı belirtir.

Yani, skaler ürün, vektörlerin uzunluklarının ürününe ve aralarındaki açının kosinüsüne eşittir.

Neden bu ikinci formüle ihtiyacımız var, eğer birincisine sahipsek, ki bu çok daha basit, en azından içinde kosinüs yok. Ve buna ihtiyacımız var, böylece birinci ve ikinci formüllerden vektörler arasındaki açıyı nasıl bulacağımızı çıkarabiliriz!

O zaman bir vektörün uzunluk formülünü hatırlayalım!

Sonra bu verileri nokta çarpım formülüne eklersem şunu elde ederim:

Ama diğer tarafta:

Peki elimizde ne var? Artık iki vektör arasındaki açıyı hesaplamak için bir formülümüz var! Bazen, kısaca, şu şekilde de yazılır:

Yani, vektörler arasındaki açıyı hesaplama algoritması aşağıdaki gibidir:

1. Skaler ürünü koordinatlarla hesaplıyoruz
2. Vektörlerin uzunluklarını bulun ve çarpın
3. 1. noktanın sonucunu 2. noktanın sonucuna bölün

Örneklerle pratik yapalım:

1. Göz kapakları-ra-mi ve arasındaki açıyı bulun. Cevabınızı derece cinsinden verin.

2. Önceki problemin koşulları altında, vektörler arasındaki kosinüsü bulun.

Şunu yapalım: İlk problemi çözmene yardım edeceğim ve ikincisini kendin yapmaya çalışacağım! Kabul ediyorum? O zaman başlayalım!

1. Bu vektörler eski dostlarımızdır. Onların skaler çarpımını zaten düşündük ve bu eşitti. Koordinatları: , . Sonra uzunluklarını buluruz:

Sonra vektörler arasındaki kosinüsü arıyoruz:

açının kosinüsü nedir? Burası köşe.

Cevap:

Peki, şimdi ikinci sorunu kendin çöz ve sonra karşılaştır! Sadece çok kısa bir çözüm vereceğim:

2. koordinatları vardır, koordinatları vardır.

Vektörler arasındaki açı olsun ve sonra

Cevap:

Sınav kağıdının B bölümündeki doğrudan vektörler ve koordinat yöntemi üzerindeki görevlerin oldukça nadir olduğuna dikkat edilmelidir. Bununla birlikte, C2 problemlerinin büyük çoğunluğu bir koordinat sistemi tanıtılarak kolayca çözülebilir. Bu nedenle, bu makaleyi, karmaşık sorunları çözmek için ihtiyaç duyacağımız oldukça zor yapılar yapacağımız bir temel olarak düşünebilirsiniz.

KOORDİNATLAR VE VEKTÖRLER. ORTA DÜZEY

Sen ve ben koordinat yöntemini incelemeye devam ediyoruz. Son bölümde, aşağıdakilere izin veren bir dizi önemli formül türettik:

1. Vektör koordinatlarını bulun
2. Bir vektörün uzunluğunu bulun (alternatif olarak: iki nokta arasındaki mesafe)
3. Vektörleri ekleyin, çıkarın. Onları gerçek bir sayı ile çarpın
4. Bir segmentin orta noktasını bulun
5. Vektörlerin nokta çarpımını hesaplayın
6. Vektörler arasındaki açıyı bulun

Elbette tüm koordinat yöntemi bu 6 noktaya sığmaz. Üniversitede tanışacağınız analitik geometri gibi bir bilimin temelini oluşturur. Sadece sorunları tek bir eyalette çözmenize izin verecek bir temel oluşturmak istiyorum. sınav. B bölümünün görevlerini çözdük Şimdi niteliksel olarak yeni bir seviyeye geçme zamanı! Bu makale, koordinat yöntemine geçmenin makul olacağı bu C2 problemlerini çözme yöntemine ayrılacaktır. Bu makullük, problemde bulunması gereken ve verilen rakam tarafından belirlenir. Bu nedenle, sorular şuysa koordinat yöntemini kullanırdım:

1. İki düzlem arasındaki açıyı bulun
2. Bir doğru ile bir düzlem arasındaki açıyı bulun
3. İki doğru arasındaki açıyı bulun
4. Bir noktadan bir düzleme olan mesafeyi bulun
5. Bir noktadan bir çizgiye olan mesafeyi bulun
6. Düz bir çizgiden bir düzleme olan mesafeyi bulun
7. İki çizgi arasındaki mesafeyi bulun

Problemin durumunda verilen şekil bir dönüş cismi ise (bilye, silindir, koni...)

Koordinat yöntemi için uygun rakamlar şunlardır:

1. küboid
2. Piramit (üçgen, dörtgen, altıgen)

ayrıca benim tecrübemde için koordinat yöntemini kullanmak uygun değildir.:

1. Bölümlerin alanlarını bulma
2. Vücut hacimlerinin hesaplanması

Bununla birlikte, koordinat yöntemi için üç “olumsuz” durumun pratikte oldukça nadir olduğu hemen belirtilmelidir. Çoğu görevde, özellikle üç boyutlu yapılarda (bazen oldukça karmaşık olan) çok güçlü değilseniz, kurtarıcınız olabilir.

Yukarıda listelediğim tüm rakamlar nelerdir? Artık kare, üçgen, daire gibi düz değil, hacimlidirler! Buna göre, iki boyutlu değil, üç boyutlu bir koordinat sistemi düşünmemiz gerekiyor. Oldukça kolay inşa edilir: Apsis ve koordinatlara ek olarak, başka bir eksen, uygulama ekseni tanıtacağız. Şekil, göreceli konumlarını şematik olarak göstermektedir:

Hepsi birbirine diktir, orijin diyeceğimiz bir noktada kesişir. Apsis ekseni, daha önce olduğu gibi, ordinat ekseni - ve tanıtılan uygulama ekseni - ile gösterilecektir.

Daha önce düzlemdeki her nokta iki sayı ile karakterize edildiyse - apsis ve ordinat, o zaman uzaydaki her nokta zaten üç sayı ile tanımlanır - apsis, ordinat, uygulama. Örneğin:

Buna göre noktanın apsisi eşittir, ordinat 'dir ve uygulama 'dir.

Bazen bir noktanın apsisi, noktanın apsis eksenine izdüşümü olarak da adlandırılır, ordinat noktanın y eksenine izdüşümüdür ve aplikasyon, noktanın aplikasyon eksenine izdüşümüdür. Buna göre, bir nokta verilirse, koordinatları olan bir nokta:

bir noktanın düzlem üzerine izdüşümü denir

bir noktanın düzlem üzerine izdüşümü denir

Doğal bir soru ortaya çıkıyor: iki boyutlu durum için türetilen tüm formüller uzayda geçerli mi? Cevap evet, onlar sadece ve aynı görünüme sahipler. Küçük bir detay için. Sanırım hangisi olduğunu zaten tahmin ettiniz. Tüm formüllerde, uygulama ekseninden sorumlu bir terim daha eklemek zorunda kalacağız. Yani.

1. İki nokta verilirse: , o zaman:

• Vektör koordinatları:
• İki nokta arasındaki mesafe (veya vektör uzunluğu)
• Segmentin ortasında koordinatlar var

2. İki vektör verilirse: ve, o zaman:

• Nokta çarpımı:
• Vektörler arasındaki açının kosinüsü:

Ancak, uzay o kadar basit değil. Anladığınız gibi, bir koordinatın daha eklenmesi, bu uzayda "yaşayan" figürlerin yelpazesinde önemli bir çeşitlilik getirir. Ve daha fazla anlatım için, kabaca konuşursak, düz çizginin bazı "genellemelerini" tanıtmam gerekiyor. Bu "genelleme" bir düzlem olacaktır. Uçak hakkında ne biliyorsun? Soruyu cevaplamaya çalışın, uçak nedir? Söylemesi çok zor. Ancak, hepimiz sezgisel olarak neye benzediğini hayal ederiz:

Kabaca söylemek gerekirse, bu bir tür sonsuz "yaprak" uzaya itilir. "Sonsuz", düzlemin her yöne uzandığı, yani alanının sonsuzluğa eşit olduğu anlaşılmalıdır. Ancak "parmaklardaki" bu açıklama, uçağın yapısı hakkında en ufak bir fikir vermemektedir. Ve onunla ilgileneceğiz.

Geometrinin temel aksiyomlarından birini hatırlayalım:

• Düz bir çizgi, bir düzlemde iki farklı noktadan geçer, ayrıca yalnızca bir noktadan geçer:

Veya uzaydaki analogu:

Elbette, verilen iki noktadan düz bir çizginin denklemini nasıl türeteceğinizi hatırlıyorsunuz, bu hiç de zor değil: ilk noktanın koordinatları varsa: ve ikincisi, o zaman düz çizginin denklemi aşağıdaki gibi olacaktır:

Bunu 7. sınıfta yaşadın. Uzayda, düz bir çizginin denklemi şöyle görünür: koordinatları olan iki noktamız olsun: , o zaman onlardan geçen düz bir çizginin denklemi şu şekilde olur:

Örneğin, bir çizgi noktalardan geçer:

Bu nasıl anlaşılmalı? Bu şu şekilde anlaşılmalıdır: koordinatları aşağıdaki sistemi sağlıyorsa bir nokta bir çizgi üzerindedir:

Düz bir çizginin denklemiyle pek ilgilenmeyeceğiz, ancak çok önemli bir düz çizginin yönlendirici vektörü kavramına dikkat etmemiz gerekiyor. - belirli bir doğru üzerinde veya ona paralel uzanan sıfır olmayan herhangi bir vektör.

Örneğin, her iki vektör de düz bir çizginin yön vektörleridir. Düz bir çizgi üzerinde uzanan bir nokta olsun ve yönlendirici vektörü olsun. Daha sonra düz bir çizginin denklemi aşağıdaki biçimde yazılabilir:

Bir kez daha, düz bir çizginin denklemi ile pek ilgilenmeyeceğim, ancak bir yön vektörünün ne olduğunu hatırlamanıza gerçekten ihtiyacım var! Tekrar: bir doğru üzerinde veya ona paralel olan HERHANGİ sıfır olmayan bir vektördür.

Geri çekilmek bir düzlemin üç noktalı denklemi artık o kadar önemsiz değil ve genellikle bir lise kursunda yer almıyor. Ama boşuna! Bu teknik, karmaşık problemleri çözmek için koordinat yöntemine başvurduğumuzda hayati önem taşır. Ancak, yeni bir şey öğrenme arzusuyla dolu olduğunuzu varsayıyorum? Ayrıca, genellikle analitik geometri dersinde çalışılan tekniği nasıl kullanacağınızı zaten bildiğiniz ortaya çıktığında, üniversitedeki öğretmeninizi etkileyebileceksiniz. Öyleyse başlayalım.

Bir düzlemin denklemi, bir düzlemdeki düz bir çizginin denkleminden çok farklı değildir, yani şu şekle sahiptir:

bazı sayılar (hepsi sıfıra eşit değildir), ancak değişkenler, örneğin: vb. Gördüğünüz gibi, bir düzlemin denklemi düz bir çizginin denkleminden (doğrusal fonksiyon) çok farklı değildir. Ancak, seninle ne tartıştığımızı hatırlıyor musun? Tek bir doğru üzerinde yer almayan üç noktamız varsa, o zaman düzlemin denklemi onlardan benzersiz bir şekilde geri yüklenir dedik. Ama nasıl? Sana açıklamaya çalışacağım.

Düzlem denklemi olduğundan:

Ve noktalar bu düzleme aittir, o zaman her noktanın koordinatlarını düzlemin denkleminde yerine koyarken, doğru kimliği elde etmeliyiz:

Bu nedenle, zaten bilinmeyenleri olan üç denklemi çözmeye ihtiyaç var! İkilem! Ancak, bunu her zaman varsayabiliriz (bunun için bölmemiz gerekir). Böylece, üç bilinmeyenli üç denklem elde ederiz:

Ancak böyle bir sistemi çözmeyeceğiz, ondan çıkan şifreli ifadeyi yazacağız:

Verilen üç noktadan geçen bir düzlemin denklemi

\[\sol| (\begin(array)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(dizi)) \sağ| = 0\]

Durmak! Bu başka nedir? Çok sıra dışı bir modül! Ancak önünüzde gördüğünüz cismin modülle alakası yok. Bu nesneye üçüncü dereceden determinant denir. Şu andan itibaren, bir düzlemde koordinat yöntemiyle uğraşırken, sıklıkla bu belirleyicilerle karşılaşacaksınız. Üçüncü dereceden bir determinant nedir? İşin garibi, bu sadece bir sayı. Belirleyici ile hangi belirli sayıyı karşılaştıracağımızı anlamak için kalır.

İlk önce üçüncü dereceden determinantı daha fazla yazalım Genel görünüm:

Bazı sayılar nerede. Ayrıca, ilk dizin ile satır numarasını ve dizin ile - sütun numarasını kastediyoruz. Örneğin, verilen sayının ikinci satır ile üçüncü sütunun kesişim noktasında olduğu anlamına gelir. Şu soruyu soralım: Böyle bir determinantı tam olarak nasıl hesaplayacağız? Yani, hangi belirli sayı ile karşılaştıracağız? Kesin olarak üçüncü mertebenin determinantı için bir buluşsal (görsel) üçgen kuralı vardır, şöyle görünür:

1. Ana köşegenin elemanlarının çarpımı (sol üstten sağ alta) Birinci üçgeni oluşturan elemanların çarpımı ana köşegene "dik" ikinci üçgeni oluşturan elemanların çarpımı Ana köşegene "dik" diyagonal
2. İkincil köşegen elemanlarının çarpımı (sağ üstten sol alta) birinci üçgeni oluşturan elemanların çarpımı ikinci köşegene "dik" ikinci üçgeni oluşturan elemanların çarpımı ikinci üçgeni oluşturan elemanların çarpımı ikincil köşegen
3. Daha sonra determinant, adımda elde edilen değerler arasındaki farka eşittir ve

Tüm bunları sayılarla yazarsak, aşağıdaki ifadeyi alırız:

Bununla birlikte, bu formdaki hesaplama yöntemini ezberlemenize gerek yoktur, sadece üçgenleri kafanızda tutmanız ve neyin neye eklendiği ve neyin daha sonra neyin çıkarıldığı fikrini tutmanız yeterlidir).

Üçgen yöntemini bir örnekle açıklayalım:

1. Determinantı hesaplayın:

Ne eklediğimizi ve neyi çıkardığımızı bulalım:

"Artı" ile gelen terimler:

Bu ana köşegendir: elemanların çarpımı

İlk üçgen, "ana köşegene dik: elemanların çarpımı

İkinci üçgen, "ana köşegene dik: elemanların çarpımı

Üç sayı ekliyoruz:

"Eksi" ile gelen terimler

Bu bir yan köşegendir: elemanların çarpımı

Birinci üçgen, "ikincil köşegene dik: elemanların çarpımı

İkinci üçgen, "ikincil köşegene dik: elemanların çarpımı

Üç sayı ekliyoruz:

Geriye kalan tek şey, artı terimlerin toplamından eksi terimlerin toplamını çıkarmaktır:

Böylece,

Gördüğünüz gibi, üçüncü dereceden belirleyicilerin hesaplanmasında karmaşık ve doğaüstü hiçbir şey yoktur. Sadece üçgenleri hatırlamak ve aritmetik hatalar yapmamak önemlidir. Şimdi kendiniz hesaplamaya çalışın:

Kontrol ediyoruz:

1. Ana köşegene dik olan ilk üçgen:
2. Ana köşegene dik olan ikinci üçgen:
3. Artı terimlerin toplamı:
4. Kenar köşegenine dik olan ilk üçgen:
5. Yan köşegenine dik olan ikinci üçgen:
6. Eksi ile terimlerin toplamı:
7. Artı terimlerin toplamı eksi eksi terimlerin toplamı:

İşte size birkaç belirleyici daha, değerlerini kendiniz hesaplayın ve cevaplarla karşılaştırın:

Yanıtlar:

Peki, her şey uyumlu muydu? Harika, o zaman devam edebilirsin! Zorluklar varsa, o zaman benim tavsiyem şudur: İnternette determinantı çevrimiçi olarak hesaplamak için bir sürü program var. Tek ihtiyacınız olan kendi determinantınızı bulmak, bunu kendiniz hesaplamak ve sonra onu programın hesapladığıyla karşılaştırmak. Ve böylece sonuçlar eşleşmeye başlayana kadar. Eminim bu anın gelmesi uzun sürmeyecektir!

Şimdi, verilen üç noktadan geçen bir düzlemin denkleminden bahsettiğimde yazdığım determinanta dönelim:

Tek yapmanız gereken, değerini doğrudan (üçgen yöntemini kullanarak) hesaplamak ve sonucu sıfıra eşitlemek. Doğal olarak, değişkenler oldukları için onlara bağlı bazı ifadeler elde edeceksiniz. Bir doğru üzerinde yer almayan üç noktadan geçen bir düzlemin denklemi bu ifade olacaktır!

Bunu basit bir örnekle açıklayalım:

1. Noktalardan geçen düzlemin denklemini kurunuz.

Bu üç nokta için bir determinant oluşturuyoruz:

Basitleştirme:

Şimdi doğrudan üçgen kuralına göre hesaplıyoruz:

\[(\left| (\begin(dizi)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\end(dizi)) \ sağ| = \left((x + 3) \sağ) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \left((z + 1) \sağ) + \left((y - 2) \sağ) \cdot 5 \cdot 6 - )\]

Böylece noktalardan geçen düzlemin denklemi şu şekildedir:

Şimdi bir sorunu kendiniz çözmeye çalışın, sonra onu tartışacağız:

2. Noktalardan geçen düzlemin denklemini bulunuz.

Peki, şimdi çözümü tartışalım:

Bir determinant yapıyoruz:

Ve değerini hesaplayın:

O zaman düzlemin denklemi şu şekildedir:

Veya azaltarak şunu elde ederiz:

Şimdi kendi kendini kontrol etmek için iki görev:

1. Üç noktadan geçen bir düzlemin denklemini oluşturun:

Yanıtlar:

Her şey eşleşti mi? Yine, bazı zorluklar varsa, o zaman benim tavsiyem şudur: kafanızdan üç puan alın (yüksek olasılıkla tek bir düz çizgide uzanmazlar), üzerlerine bir uçak inşa edin. Ve sonra çevrimiçi olarak kendinizi kontrol edin. Örneğin, sitede:

Ancak determinantların yardımıyla sadece düzlemin denklemini oluşturmayacağız. Unutma, sana vektörler için sadece nokta çarpım tanımlanmadığını söylemiştim. Karışık bir ürünün yanı sıra bir vektör de vardır. Ve eğer iki vektörün skaler çarpımı bir sayı olacaksa, o zaman iki vektörün vektör çarpımı bir vektör olacak ve bu vektör verilenlere dik olacaktır:

Ayrıca, modülü ve vektörleri üzerine inşa edilen paralelkenarın alanına eşit olacaktır. Bir noktadan bir çizgiye olan mesafeyi hesaplamak için bu vektöre ihtiyacımız olacak. Vektörlerin çapraz çarpımını nasıl hesaplayabiliriz ve eğer koordinatları verilirse? Üçüncü mertebenin determinantı yine yardımımıza geliyor. Ancak, çapraz çarpımı hesaplamak için algoritmaya geçmeden önce, küçük bir lirik arasöz yapmak zorundayım.

Bu digresyon, temel vektörlerle ilgilidir.

Şematik olarak şekilde gösterilmiştir:

Sizce neden temel olarak adlandırılıyorlar? Gerçek şu ki :

Veya resimde:

Bu formülün geçerliliği açıktır, çünkü:

vektör ürün

Şimdi çapraz ürünü tanıtmaya başlayabilirim:

İki vektörün vektör çarpımı, aşağıdaki kurala göre hesaplanan bir vektördür:

Şimdi çapraz çarpım hesaplamaya bazı örnekler verelim:

Örnek 1: Vektörlerin çapraz çarpımını bulun:

Çözüm: Bir determinant yapıyorum:

Ve hesaplıyorum:

Şimdi, temel vektörler aracılığıyla yazmaktan normal vektör gösterimine döneceğim:

Böylece:

Şimdi dene.

Hazır? Kontrol ediyoruz:

ve geleneksel olarak iki kontrol edilecek görevler:

1. Aşağıdaki vektörlerin çarpımını bulun:
2. Aşağıdaki vektörlerin çarpımını bulun:

Yanıtlar:

Üç vektörün karışık çarpımı

İhtiyacım olan son yapı, üç vektörün karışık çarpımı. Bir skaler gibi, bir sayıdır. Bunu hesaplamanın iki yolu vardır. - determinant aracılığıyla, - karışık ürün aracılığıyla.

Diyelim ki üç vektörümüz var:

Daha sonra ile gösterilen üç vektörün karışık ürünü şu şekilde hesaplanabilir:

1. - yani, karışık ürün bir vektörün skaler çarpımı ve diğer iki vektörün vektör çarpımıdır.

Örneğin, üç vektörün karışık ürünü:

Vektör çarpımını kullanarak kendiniz hesaplamaya çalışın ve sonuçların eşleştiğinden emin olun!

Ve yine - bağımsız bir karar için iki örnek:

Yanıtlar:

Koordinat sistemi seçimi

Pekala, şimdi geometrideki karmaşık stereometrik problemleri çözmek için gerekli tüm bilgi temeline sahibiz. Ancak, bunları çözmek için doğrudan örneklere ve algoritmalara geçmeden önce şu soru üzerinde durmanın faydalı olacağına inanıyorum: tam olarak nasıl? belirli bir şekil için bir koordinat sistemi seçin. Sonuçta, hesaplamaların ne kadar hantal olacağını nihai olarak belirleyecek olan koordinat sisteminin göreli konumunun ve uzaydaki şeklin seçimidir.

Bu bölümde aşağıdaki rakamları dikkate aldığımızı hatırlatırım:

1. küboid
2. Düz prizma (üçgen, altıgen…)
3. Piramit (üçgen, dörtgen)
4. Dörtyüzlü (üçgen piramit ile aynı)

Bir küboid veya küp için aşağıdaki yapıyı öneririm:

Yani, figürü “köşeye” yerleştireceğim. Küp ve kutu çok iyi rakamlar. Onlar için köşelerinin koordinatlarını her zaman kolayca bulabilirsiniz. Örneğin, eğer (resimde gösterildiği gibi)

o zaman köşe koordinatları:

Tabii ki, bunu hatırlamanıza gerek yok, ancak bir küpün veya dikdörtgen bir kutunun en iyi nasıl yerleştirileceğini hatırlamak arzu edilir.

düz prizma

Prizma daha zararlı bir figürdür. Uzayda farklı şekillerde düzenleyebilirsiniz. Ancak, aşağıdakilerin en iyi seçenek olduğunu düşünüyorum:

Üçgen prizma:

Yani, üçgenin kenarlarından birini tamamen eksene koyarız ve köşelerden biri orijine denk gelir.

Altıgen prizma:

Yani, köşelerden biri orijine denk gelir ve kenarlardan biri eksen üzerinde bulunur.

Dörtgen ve altıgen piramit:

Küpe benzer bir durum: Tabanın iki tarafını koordinat eksenleriyle birleştiririz, köşelerden birini orijiyle birleştiririz. Tek küçük zorluk, noktanın koordinatlarını hesaplamak olacaktır.

Altıgen bir piramit için - altıgen bir prizma ile aynı. Ana görev yine tepe noktasının koordinatlarını bulmak olacaktır.

Dörtyüzlü (üçgen piramit)

Durum üçgen prizma için verdiğime çok benziyor: bir köşe orijine denk geliyor, bir taraf koordinat ekseninde yatıyor.

Pekala, şimdi sen ve ben nihayet sorunları çözmeye başladık. Makalenin en başında söylediklerimden şu sonucu çıkarabilirsiniz: C2 problemlerinin çoğu 2 kategoriye ayrılır: açı problemleri ve mesafe problemleri. İlk olarak, bir açı bulma problemlerini ele alacağız. Sırasıyla aşağıdaki kategorilere ayrılırlar (karmaşıklık arttıkça):

Köşe bulma sorunları

1. İki doğru arasındaki açıyı bulma
2. İki düzlem arasındaki açıyı bulma

Bu sorunları sırayla ele alalım: iki düz çizgi arasındaki açıyı bularak başlayalım. Hadi ama hatırla, sen ve ben daha önce buna benzer örnekleri çözmüş müydük? Hatırlarsınız, çünkü zaten benzer bir şeyimiz vardı... İki vektör arasında bir açı arıyorduk. Size hatırlatırım, eğer iki vektör verilirse: ve aralarındaki açı bağıntıdan bulunur:

Şimdi bir hedefimiz var - iki düz çizgi arasındaki açıyı bulmak. "Düz resme" dönelim:

İki doğru kesiştiğinde kaç açı elde ederiz? Zaten şeyler. Doğru, sadece ikisi eşit değil, diğerleri ise onlara dikey (ve bu nedenle onlarla çakışıyor). Öyleyse iki düz çizgi arasındaki açıyı hangi açı olarak düşünmeliyiz: veya? İşte kural: iki düz çizgi arasındaki açı her zaman dereceden fazla değildir. Yani iki açıdan her zaman derece ölçüsü en küçük olan açıyı seçeceğiz. Yani bu resimde iki doğru arasındaki açı eşittir. Her seferinde iki açıdan en küçüğünü bulmakla uğraşmamak için kurnaz matematikçiler modülü kullanmayı önerdiler. Böylece, iki düz çizgi arasındaki açı şu formülle belirlenir:

Dikkatli bir okuyucu olarak sizin bir sorunuz olmalı: Aslında, bir açının kosinüsünü hesaplamak için ihtiyaç duyduğumuz bu sayıları nereden alıyoruz? Cevap: Onları doğruların yön vektörlerinden alacağız! Böylece, iki çizgi arasındaki açıyı bulma algoritması aşağıdaki gibidir:

1. Formül 1'i uyguluyoruz.

Veya daha ayrıntılı olarak:

1. İlk düz çizginin yön vektörünün koordinatlarını arıyoruz
2. İkinci satırın yön vektörünün koordinatlarını arıyoruz.
3. Skaler çarpımlarının modülünü hesaplayın
4. İlk vektörün uzunluğunu arıyoruz
5. İkinci vektörün uzunluğunu arıyoruz
6. 4. noktanın sonuçlarını 5. noktanın sonuçlarıyla çarpın
7. 3. noktanın sonucunu 6. noktanın sonucuna böleriz. Doğrular arasındaki açının kosinüsünü elde ederiz.
8. Bu sonuç açıyı tam olarak hesaplamamıza izin veriyorsa, onu ararız.
9. Aksi takdirde, arkkosinüs aracılığıyla yazarız

Pekala, şimdi görevlere geçme zamanı: İlk ikisinin çözümünü ayrıntılı olarak göstereceğim, diğerinin çözümünü kısaca sunacağım ve sadece son iki görevin cevaplarını vereceğim, yapmanız gerekenler onlar için tüm hesaplamaları kendin yap.

Görevler:

1. Sağ tet-ra-ed-re'de, tet-ra-ed-ra ile me-di-a-noy bo-ko-how tarafı arasındaki açıyı bulun.

2. Sağ ileri altı kömür-pi-ra-mi-de, yüz-ro-na-os-no-va-niya bir şekilde eşittir ve yan kaburgalar eşittir, düz arasındaki açıyı bulun çizgiler ve.

3. Sağ elini kullanan dört-sen-kömür-noy pi-ra-mi-dy'nin tüm kenarlarının uzunlukları birbirine eşittir. Düz çizgiler arasındaki açıyı bulun ve pi-ra-mi-dy'den re-zok - sen-so-bu verilmişse, nokta onun bo-ko-th kaburgasında se-re-di-dir

4. Küpün kenarında bir noktadan-me-che-den düz çizgiler arasındaki açıyı bul-di-te ve

5. Nokta - se-re-di-küpün kenarlarında Nai-di-te düz çizgiler ve arasındaki açı.

Görevleri bu sıraya koymam tesadüf değil. Koordinat yönteminde gezinmeye başlamak için henüz zamanınız olmasa da, kendim en “sorunlu” rakamları analiz edeceğim ve sizi en basit küple uğraşmaya bırakacağım! Yavaş yavaş tüm rakamlarla nasıl çalışılacağını öğrenmelisin, konuların karmaşıklığını konudan konuya artıracağım.

Sorunları çözmeye başlayalım:

1. Bir tetrahedron çizin, daha önce önerdiğim gibi koordinat sistemine yerleştirin. Tetrahedron düzenli olduğundan, tüm yüzleri (taban dahil) düzgün üçgenlerdir. Kenarın uzunluğu bize verilmediği için eşit alabilirim. Sanırım açının gerçekten tetrahedronumuzun ne kadar "gerileceğine" bağlı olmayacağını anlıyorsunuz? Ayrıca tetrahedrondaki yüksekliği ve medyanı çizeceğim. Yol boyunca tabanını çizeceğim (bizim için de kullanışlı olacak).

ve arasındaki açıyı bulmam gerekiyor. Biz ne biliyoruz? Sadece noktanın koordinatını biliyoruz. Yani, noktaların daha fazla koordinatını bulmamız gerekiyor. Şimdi düşünüyoruz: bir nokta, bir üçgenin yüksekliklerinin (veya açıortaylarının veya medyanlarının) kesişme noktasıdır. Nokta yükseltilmiş bir noktadır. Nokta, segmentin orta noktasıdır. O zaman nihayet bulmamız gerekiyor: noktaların koordinatları: .

En basitinden başlayalım: nokta koordinatları. Şekle bakın: Bir noktanın uygulamasının sıfıra eşit olduğu açıktır (nokta bir düzlem üzerindedir). Ordinatı eşittir (çünkü ortancadır). Onun apsisini bulmak daha zordur. Ancak bu, Pisagor teoremi temelinde kolayca yapılabilir: Bir üçgen düşünün. Hipotenüsü eşittir ve bacaklardan biri eşittir O zaman:

Sonunda elimizde:

Şimdi noktanın koordinatlarını bulalım. Aplikasyonunun yine sıfıra eşit olduğu ve ordinatının bir noktanınkiyle aynı olduğu açıktır, yani. Onun apsisini bulalım. Bunu hatırlarsanız, bu oldukça önemsiz bir şekilde yapılır. bir eşkenar üçgenin yükseklikleri, orantıdaki kesişme noktasına bölünür tepeden saymak. Çünkü:, o zaman, parçanın uzunluğuna eşit olan noktanın istenen apsisi, şuna eşittir:. Böylece, noktanın koordinatları:

Noktanın koordinatlarını bulalım. Apsis ve ordinatının noktanın apsisi ve ordinatıyla örtüştüğü açıktır. Ve aplike, segmentin uzunluğuna eşittir. - bu üçgenin bacaklarından biri. Bir üçgenin hipotenüsü bir segmenttir - bir bacak. Kalın harflerle vurguladığım sebepler aranıyor:

Nokta, segmentin orta noktasıdır. O zaman segmentin ortasının koordinatları için formülü hatırlamamız gerekiyor:

İşte bu, şimdi yön vektörlerinin koordinatlarını arayabiliriz:

Her şey hazır: tüm verileri formüle yerleştiriyoruz:

Böylece,

Cevap:

Bu tür "korkunç" yanıtlardan korkmamalısınız: C2 sorunları için bu yaygın bir uygulamadır. Bu bölümdeki "güzel" cevaba şaşırmayı tercih ederim. Ayrıca, belirttiğiniz gibi, pratikte Pisagor teoremi ve bir eşkenar üçgenin yüksekliklerinin özelliğinden başka bir şeye başvurmadım. Yani, stereometrik sorunu çözmek için en düşük stereometriyi kullandım. Buradaki kazanç, oldukça hantal hesaplamalarla kısmen "söndü". Ama oldukça algoritmikler!

2. Koordinat sistemi ve tabanıyla birlikte düzenli bir altıgen piramit çizin:

Çizgiler arasındaki açıyı bulmamız gerekiyor ve. Böylece, görevimiz noktaların koordinatlarını bulmaya indirgenir: . Küçük çizimden son üçün koordinatlarını bulacağız ve noktanın koordinatından tepenin koordinatını bulacağız. Çok iş var ama başlamam gerek!

a) Koordinat: Aplikasyonu ve ordinatının sıfır olduğu açıktır. Absisi bulalım. Bunu yapmak için bir dik üçgen düşünün. Ne yazık ki, içinde sadece eşit olan hipotenüsü biliyoruz. Bacağı bulmaya çalışacağız (çünkü bacağın iki katının bize noktanın apsisini vereceği açıktır). Nasıl arayabiliriz? Piramidin tabanında nasıl bir figürümüz olduğunu hatırlayalım mı? Bu normal bir altıgen. Bu ne anlama geliyor? Bu, tüm kenarların ve tüm açıların eşit olduğu anlamına gelir. Böyle bir köşe bulmalıyız. Herhangi bir fikir? Birçok fikir var, ancak bir formül var:

Düzgün bir n-genin açılarının toplamı .

Yani düzgün altıgenin açıları toplamı derecedir. O zaman açıların her biri şuna eşittir:

Şimdi resme tekrar bakalım. Segmentin açının açıortay olduğu açıktır. O zaman açı derecedir. Sonra:

Sonra nereye.

yani koordinatları var

b) Şimdi noktanın koordinatını kolayca bulabiliriz: .

c) Noktanın koordinatlarını bulunuz. Apsisi segmentin uzunluğuna denk geldiği için eşittir. Ordinatı bulmak da çok zor değil: noktaları birleştirirsek ve çizginin kesişme noktasını belirtirsek, diyelim ki için. (kendin yap basit inşaat). O halde B noktasının ordinatı, doğru parçalarının uzunluklarının toplamına eşittir. Şimdi üçgene tekrar bakalım. Sonra

O zamandan beri noktanın koordinatları var

d) Şimdi noktanın koordinatlarını bulun. Bir dikdörtgen düşünün ve bunu kanıtlayın. Böylece, noktanın koordinatları:

e) Köşenin koordinatlarını bulmak için kalır. Apsis ve ordinatının noktanın apsisi ve ordinatıyla örtüştüğü açıktır. Bir uygulama bulalım. O zamandan beri. Bir dik üçgen düşünün. Sorunun durumuna göre, yan kenar. Bu benim üçgenimin hipotenüsü. O zaman piramidin yüksekliği bacaktır.

O zaman noktanın koordinatları vardır:

İşte bu, ilgimi çeken tüm noktaların koordinatlarına sahibim. Düz çizgilerin yönlendirici vektörlerinin koordinatlarını arıyorum:

Bu vektörler arasındaki açıyı arıyoruz:

Cevap:

Yine, bu problemi çözerken, normal bir n-genin açılarının toplamı formülü ve bir dik üçgenin kosinüs ve sinüsünün tanımı dışında herhangi bir karmaşık numara kullanmadım.

3. Piramidin kenarlarının uzunlukları yine bize verilmediği için onları bire eşit sayacağım. Böylece, sadece yanlar değil, TÜM kenarlar birbirine eşit olduğundan, piramidin tabanında ve ben bir kare bulunur ve yan yüzler düzgün üçgenlerdir. Problem metninde verilen tüm verileri işaretleyerek böyle bir piramidin yanı sıra bir düzlemdeki tabanını gösterelim:

ve arasındaki açıyı arıyoruz. Noktaların koordinatlarını ararken çok kısa hesaplar yapacağım. Bunları "şifresini çözmeniz" gerekecek:

b) - segmentin ortası. Koordinatları:

c) Bir üçgende Pisagor teoremini kullanarak doğru parçasının uzunluğunu bulacağım. Pisagor teoremiyle bir üçgende bulacağım.

Koordinatlar:

d) - segmentin ortası. Koordinatları

e) Vektör koordinatları

f) Vektör koordinatları

g) Bir açı aramak:

Küp en basit şekildir. Eminim kendi başına çözebilirsin. 4. ve 5. soruların cevapları aşağıdaki gibidir:

Bir doğru ile bir düzlem arasındaki açıyı bulma

Eh, basit bulmacaların zamanı bitti! Şimdi örnekler daha da zor olacak. Bir doğru ile bir düzlem arasındaki açıyı bulmak için aşağıdaki gibi ilerleyeceğiz:

1. Üç nokta kullanarak düzlemin denklemini oluşturuyoruz
   ,
   üçüncü dereceden bir determinant kullanarak.
2. İki nokta ile düz çizginin yönlendirici vektörünün koordinatlarını arıyoruz:
3. Düz bir çizgi ile bir düzlem arasındaki açıyı hesaplamak için formülü uygularız:

Gördüğünüz gibi, bu formül iki doğru arasındaki açıları bulmak için kullandığımız formüle çok benziyor. Sağ tarafın yapısı tamamen aynıdır ve solda şimdi eskisi gibi bir kosinüs değil, bir sinüs arıyoruz. Pekala, kötü bir eylem eklendi - uçağın denkleminin aranması.

rafa kaldırmayalım çözme örnekleri:

1. Os-no-va-ni-em düz-benim ödülüm-biz-la-et-xia eşit-ama-fakir-ren-ny üçgeni-sizi-bu-ödül-biz-eşitiz. Düz çizgi ile düzlem arasındaki açıyı bulun

2. Batı Nai-di-te'den dikdörtgen bir pa-ral-le-le-pi-pe-de'de düz çizgi ile düzlem arasındaki açı

3. Sağ elini kullanan altı kömürlü prizmada tüm kenarlar eşittir. Düz çizgi ile düzlem arasındaki açıyı bulun.

4. Sağ üçgen pi-ra-mi-de ile kaburganın batısından os-but-va-ni-em ile Nai-di-te açısı, os'nin ob-ra-zo-van -ny düzlemi -no-va-niya ve düz-my, kaburgaların se-re-di-na'sından geçerek ve

5. Sağdaki dörtgen pi-ra-mi-dy'nin üst kısmı ile tüm kenarlarının uzunlukları birbirine eşittir. Nokta pi-ra-mi-dy'nin bo-ko-in-inci kenarında se-re-di- ise, düz çizgi ile düzlem arasındaki açıyı bulun.

Yine ilk iki problemi detaylı, üçüncüsünü kısaca çözeceğim ve son ikisini kendi başınıza çözmeniz için size bırakıyorum. Ek olarak, zaten üçgen ve dörtgen piramitler ile uğraşmak zorunda kaldınız, ancak henüz prizmalarla uğraşmadınız.

Çözümler:

1. Tabanının yanı sıra bir prizma çizin. Bunu koordinat sistemi ile birleştirelim ve problem ifadesinde verilen tüm verileri işaretleyelim:

Bazı oranlara uyulmadığı için özür dilerim, ancak sorunu çözmek için bu aslında o kadar önemli değil. Uçak sadece prizmamın "arka duvarı". Böyle bir düzlemin denkleminin şu şekilde olduğunu tahmin etmek yeterlidir:

Ancak, bu doğrudan da gösterilebilir:

Bu düzlemde rastgele üç nokta seçiyoruz: örneğin, .

Düzlemin denklemini yapalım:

Sizin için egzersiz yapın: Bu determinantı kendiniz hesaplayın. Başardın mı? O zaman düzlemin denklemi şu şekildedir:

Ya da sadece

Böylece,

Örneği çözmek için doğrunun yönlendirici vektörünün koordinatlarını bulmam gerekiyor. Nokta orijin ile çakıştığı için vektörün koordinatları basitçe noktanın koordinatlarıyla çakışacaktır.Bunu yapmak için önce noktanın koordinatlarını buluyoruz.

Bunu yapmak için bir üçgen düşünün. Yukarıdan bir yükseklik çizelim (aynı zamanda bir medyan ve bir açıortaydır). O zamandan beri, noktanın ordinatı eşittir. Bu noktanın apsisini bulmak için doğru parçasının uzunluğunu hesaplamamız gerekir. Pisagor teoremi ile elimizde:

O zaman noktanın koordinatları vardır:

Nokta, noktadaki "yükseltilmiş" bir noktadır:

Sonra vektörün koordinatları:

Cevap:

Gördüğünüz gibi, bu tür sorunları çözmede temelde zor bir şey yoktur. Aslında prizma gibi bir figürün “düzlüğü” süreci biraz daha kolaylaştırıyor. Şimdi bir sonraki örneğe geçelim:

2. Paralel uçlu bir çizgi çiziyoruz, içine bir düzlem ve düz bir çizgi çiziyoruz ve ayrıca alt tabanını ayrı ayrı çiziyoruz:

İlk olarak, düzlemin denklemini buluyoruz: İçinde yatan üç noktanın koordinatları:

(ilk iki koordinat bariz bir şekilde elde edilir ve noktadan son koordinatı resimden kolayca bulabilirsiniz). Sonra düzlemin denklemini oluştururuz:

Hesaplıyoruz:

Yön vektörünün koordinatlarını arıyoruz: Koordinatlarının noktanın koordinatlarıyla çakıştığı açık, değil mi? Koordinatlar nasıl bulunur? Bunlar, aplikasyon ekseni boyunca birer birer yükseltilmiş noktanın koordinatlarıdır! . Sonra istenen açıyı arıyoruz:

Cevap:

3. Düzenli bir altıgen piramit çizin ve ardından içine bir düzlem ve düz bir çizgi çizin.

Burada bir düzlem çizmek bile sorunlu, bu sorunun çözümünden bahsetmiyorum bile, ancak koordinat yönteminin umurunda değil! Ana avantajı çok yönlülüğünde yatmaktadır!

Uçak üç noktadan geçer: . Koordinatlarını arıyoruz:

1) . Son iki noktanın koordinatlarını kendiniz görüntüleyin. Bunun için altıgen bir piramit ile problemi çözmeniz gerekecek!

2) Uçağın denklemini oluşturuyoruz:

Vektörün koordinatlarını arıyoruz: . (Üçgen piramit problemine tekrar bakın!)

3) Bir açı arıyoruz:

Cevap:

Gördüğünüz gibi, bu görevlerde doğaüstü zor bir şey yok. Sadece köklere çok dikkat etmeniz gerekiyor. Son iki soruna sadece cevap vereceğim:

Gördüğünüz gibi, problem çözme tekniği her yerde aynıdır: asıl görev, köşelerin koordinatlarını bulmak ve bunları bazı formüllerde değiştirmek. Geriye, açıları hesaplamak için bir başka problem sınıfını düşünmek kalıyor, yani:

İki düzlem arasındaki açıları hesaplama

Çözüm algoritması aşağıdaki gibi olacaktır:

1. Üç nokta için birinci düzlemin denklemini arıyoruz:
2. Diğer üç nokta için ikinci düzlemin denklemini arıyoruz:
3. Formülü uyguluyoruz:

Gördüğünüz gibi, formül, düz çizgiler arasında ve düz bir çizgi ile bir düzlem arasındaki açıları aradığımız önceki ikisine çok benzer. Bu yüzden bunu hatırlamak sizin için zor olmayacak. Hemen soruna geçelim:

1. Yüz-ro-sağ üçgen prizma temelinde eşittir ve yan yüzün köşegeni eşittir. Ödül tabanının düzlemi ile düzlemi arasındaki açıyı bulun.

2. Sağda dört-sen-re-kömür-noy pi-ra-mi-de, birinin tüm kenarları eşittir, içinden geçen düzlem ile Ko-Stu düzlemi arasındaki açının sinüsünü bulun başına-pen-di-ku-lyar-ama düz-benim noktası.

3. Düzenli bir dört kömürlü prizmada, os-no-van-nia'nın kenarları eşittir ve yan kenarlar eşittir. Kenarda-me-che-noktasına öyle ki. Düzlemler arasındaki açıyı bulun ve

4. Sağdaki dörtgen prizmada tabanların kenarları eşittir ve yan kenarlar eşittir. Kenarda-me-che-bir noktaya yani düzlemler arasındaki açıyı bulun ve.

5. Küpte, düzlemler arasındaki açının ko-si-nus'unu bulun ve

Sorun çözümleri:

1. Düzenli (tabanda - bir eşkenar üçgen) üçgen prizma çiziyorum ve üzerinde problem durumunda görünen düzlemleri işaretliyorum:

İki düzlemin denklemlerini bulmamız gerekiyor: Temel denklem önemsiz bir şekilde elde edilir: üç nokta için karşılık gelen determinantı yapabilirsiniz, ancak denklemi hemen yapacağım:

Şimdi denklemi bulalım Noktanın koordinatları var Nokta - Ortanca ve üçgenin yüksekliği olduğundan, bir üçgende Pisagor teoremi ile bulmak kolaydır. O zaman noktanın koordinatları vardır: Noktanın uygulamasını bulun Bunu yapmak için bir dik üçgen düşünün

Sonra aşağıdaki koordinatları elde ederiz: Düzlemin denklemini oluşturuyoruz.

Uçaklar arasındaki açıyı hesaplıyoruz:

Cevap:

2. Çizim yapmak:

En zor şey, bir noktadan dik olarak geçen, nasıl bir gizemli düzlem olduğunu anlamaktır. Peki, asıl mesele nedir? Ana şey dikkat! Doğrusu, çizgi diktir. Çizgi de diktir. Daha sonra bu iki çizgiden geçen düzlem çizgiye dik olacak ve bu arada noktadan geçecektir. Bu uçak aynı zamanda piramidin tepesinden de geçer. Sonra istenen uçak - Ve uçak zaten bize verildi. Noktaların koordinatlarını arıyoruz.

Noktadan geçen noktanın koordinatını buluruz. Küçük bir çizimden noktanın koordinatlarının aşağıdaki gibi olacağı sonucunu çıkarmak kolaydır: Piramidin tepesinin koordinatlarını bulmak için şimdi geriye ne kaldı? Hala yüksekliğini hesaplamanız gerekiyor. Bu, aynı Pisagor teoremi kullanılarak yapılır: ilk önce, bunu kanıtlayın (önemsiz bir şekilde, tabanda bir kare oluşturan küçük üçgenlerden). Koşul gereği, elimizde:

Artık her şey hazır: köşe koordinatları:

Uçağın denklemini oluşturuyoruz:

Belirleyicileri hesaplama konusunda zaten bir uzmansınız. Kolayca alacaksınız:

Veya aksi halde (eğer iki parçayı da ikinin köküyle çarparsak)

Şimdi düzlemin denklemini bulalım:

(Uçağın denklemini nasıl elde ettiğimizi unutmadın, değil mi? Bu eksi birin nereden geldiğini anlamadıysan, o zaman düzlemin denkleminin tanımına geri dön! Hep ondan önce çıktı. uçağımın orijine ait olduğunu!)

Determinantı hesaplıyoruz:

(Uçağın denkleminin noktalardan geçen doğrunun denklemiyle çakıştığını fark etmişsinizdir ve! Nedenini bir düşünün!)

Şimdi açıyı hesaplıyoruz:

Sinüs'ü bulmamız gerekiyor:

Cevap:

3. Zor bir soru: Dikdörtgen prizma nedir, ne düşünüyorsunuz? Bu sadece sizin için iyi bilinen bir paralelyüz! Hemen çiz! Tabanı ayrı ayrı tasvir bile edemezsiniz, burada çok az kullanımı vardır:

Uçak, daha önce belirttiğimiz gibi bir denklem olarak yazılır:

Şimdi bir uçak yapıyoruz

Hemen uçağın denklemini oluşturuyoruz:

bir açı arıyorum

Şimdi son iki sorunun cevapları:

Pekala, şimdi ara verme zamanı, çünkü sen ve ben harikayız ve harika bir iş çıkardık!

Koordinatlar ve vektörler. İleri düzey

Bu yazıda, koordinat yöntemi kullanılarak çözülebilecek başka bir problem sınıfını sizinle tartışacağız: uzaklık problemleri. Yani, aşağıdaki durumları ele alacağız:

1. Eğri çizgiler arasındaki mesafeyi hesaplama.

Verilen görevleri karmaşıklıkları arttıkça sıraladım. En kolayı bulmak noktadan düzleme uzaklık ve en zor kısmı bulmak kesişen çizgiler arasındaki mesafe. Tabii ki, hiçbir şey imkansız olmasa da! Ertelemeyelim ve hemen birinci sınıf problemlerin değerlendirmesine geçelim:

Bir noktadan bir düzleme olan mesafeyi hesaplama

Bu sorunu çözmek için neye ihtiyacımız var?

1. Nokta koordinatları

Bu nedenle, gerekli tüm verileri alır almaz formülü uygularız:

Son bölümde analiz ettiğim önceki problemlerden uçağın denklemini nasıl oluşturduğumuzu zaten biliyor olmalısınız. Hemen işe başlayalım. Şema şu şekildedir: 1, 2 - Karar vermenize yardımcı oluyorum ve biraz ayrıntılı olarak, 3, 4 - sadece cevap, kararı kendiniz veriyorsunuz ve karşılaştırıyorsunuz. Başladı!

Görevler:

1. Bir küp verildi. Küpün kenar uzunluğu Kesimden düze se-re-di-ny'den bul-te mesafesi

2. Sağ-vil-naya verilen dört-sen-rekh-kömür-naya pi-ra-mi-da Bo-ko-voe kenar yüz-ro-on os-no-van-nia eşittir. Bir noktadan bir düzleme olan bu mesafeleri bulun - burada - kenarlarda yeniden-di.

3. Os-but-va-ni-em ile sağ üçgen pi-ra-mi-de'de, diğer kenar eşittir ve yüz-ro-on os-no-vaniya eşittir. Tepeden düzleme olan mesafeleri bulun.

4. Sağ elini kullanan altı kömürlü prizmada tüm kenarlar eşittir. Bir noktadan bir düzleme olan uzaklıkları bulun.

Çözümler:

1. Tek kenarlı bir küp çizin, bir parça ve bir düzlem oluşturun, parçanın ortasını harfle belirtin

.

İlk önce kolay olanla başlayalım: bir noktanın koordinatlarını bulun. O zamandan beri (parçanın ortasının koordinatlarını hatırla!)

Şimdi uçağın denklemini üç noktada oluşturuyoruz

\[\sol| (\begin(dizi)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\end(dizi)) \sağ| = 0\]

Şimdi mesafeyi bulmaya başlayabilirim:

2. Tüm verileri işaretlediğimiz bir çizimle tekrar başlıyoruz!

Bir piramit için tabanını ayrı ayrı çizmek faydalı olacaktır.

Tavuk pençesi gibi çizmem bile bu sorunu kolayca çözmemize engel olmayacak!

Artık bir noktanın koordinatlarını bulmak çok kolay

Noktanın koordinatları olduğundan

2. a noktasının koordinatları doğru parçasının ortası olduğuna göre

Düzlemde iki noktanın daha koordinatlarını kolayca bulabiliriz, düzlemin denklemini oluşturur ve sadeleştiririz:

\[\sol| (\left| (\begin(dizi)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\end(dizi)) \sağ|) \sağ| = 0\]

Noktanın koordinatları: olduğundan, mesafeyi hesaplarız:

Cevap (çok nadir!):

Peki anladın mı? Bana öyle geliyor ki, buradaki her şey, önceki bölümde sizinle birlikte ele aldığımız örneklerdeki kadar teknik. Bu nedenle, bu materyalde ustalaştıysanız, kalan iki sorunu çözmenizin zor olmayacağından eminim. Sadece cevapları vereceğim:

Bir Doğrudan Bir Düzleme Mesafeyi Hesaplama

Aslında burada yeni bir şey yok. Bir doğru ve bir düzlem birbirine göre nasıl yerleştirilebilir? Tüm olanaklara sahipler: kesişmek veya düz bir çizgi düzleme paralel. Sizce doğrunun, verilen doğrunun kesiştiği düzleme olan uzaklığı nedir? Bana öyle geliyor ki, böyle bir mesafenin sıfıra eşit olduğu açık. İlginç bir durum.

İkinci durum daha zor: burada mesafe zaten sıfır değil. Ancak doğru düzleme paralel olduğundan, doğrunun her noktası bu düzlemden eşit uzaklıktadır:

Böylece:

Ve bu, görevimin bir öncekine indirgendiği anlamına geliyor: Doğru üzerindeki herhangi bir noktanın koordinatlarını arıyoruz, düzlemin denklemini arıyoruz, noktadan düzleme olan mesafeyi hesaplıyoruz. Aslında, sınavdaki bu tür görevler son derece nadirdir. Sadece bir sorun bulmayı başardım ve içindeki veriler öyleydi ki koordinat yöntemi ona pek uygulanabilir değildi!

Şimdi çok daha önemli başka bir problem sınıfına geçelim:

Bir Noktanın Bir Doğruya Uzaklığını Hesaplama

Neye ihtiyacımız olacak?

1. Uzaklığı aradığımız noktanın koordinatları:

2. Düz bir çizgi üzerinde bulunan herhangi bir noktanın koordinatları

3. Düz doğrunun yön vektör koordinatları

Hangi formülü kullanıyoruz?

Bu kesrin paydası sizin için ne anlama geliyor ve bu yüzden açık olmalı: bu, doğrunun yönlendirici vektörünün uzunluğudur. İşte çok zor bir numara! İfade, vektörlerin vektör ürününün modülü (uzunluğu) anlamına gelir ve çalışmanın önceki bölümünde incelediğimiz vektör ürünü nasıl hesaplanır. Bilginizi tazeleyin, şimdi bizim için çok faydalı olacak!

Böylece, problem çözme algoritması aşağıdaki gibi olacaktır:

1. Uzaklığı aradığımız noktanın koordinatlarını arıyoruz:

2. Mesafeyi aradığımız doğru üzerinde herhangi bir noktanın koordinatlarını arıyoruz:

3. Bir vektör oluşturma

4. Düz çizginin yön vektörünü oluşturuyoruz

5. Çapraz çarpımı hesaplayın

6. Elde edilen vektörün uzunluğunu arıyoruz:

7. Mesafeyi hesaplayın:

Çok işimiz var ve örnekler oldukça karmaşık olacak! O halde şimdi tüm dikkatinizi odaklayın!

1. Dana, tepe noktası olan sağ elini kullanan bir üçgen pi-ra-mi-da'dır. Yüz-ro-on os-no-va-niya pi-ra-mi-dy eşittir, sen-so-ta eşittir. Bo-ko-th kenarının se-re-di-ny'sinden düz çizgiye kadar olan mesafeleri bulun-di- bu mesafeler ve noktaların ve kaburgaların yeniden-di-ny'si olduğu -stven-ama.

2. Kaburgaların uzunlukları ve dik açı-no-para-ral-le-le-pi-pe-da sırasıyla eşittir ve top-shi-ny'den düz-my'ye Find-di-te mesafesi

3. Sağ altı-kömür prizmasında, bir sürünün tüm kenarları, bir noktadan düz bir çizgiye olan uzaklığı bul-di-eşittir

Çözümler:

1. Tüm verileri işaretlediğimiz temiz bir çizim yapıyoruz:

Senin için çok işimiz var! Öncelikle neyi ve hangi sırayla arayacağımızı kelimelerle açıklamak istiyorum:

1. Noktaların koordinatları ve

2. Nokta koordinatları

3. Noktaların koordinatları ve

4. Vektörlerin koordinatları ve

5. Çapraz çarpımı

6. Vektör uzunluğu

7. Vektör ürününün uzunluğu

8. Uzaklık

Pekala, yapacak çok işimiz var! Haydi kolları sıvayalım!

1. Piramidin yüksekliğinin koordinatlarını bulmak için noktanın koordinatlarını bilmemiz gerekir, uygulaması sıfırdır ve ordinat apsisine eşittir. Sonunda koordinatları aldık:

nokta koordinatları

2. - segmentin ortası

3. - segmentin ortası

orta nokta

4. Koordinatlar

vektör koordinatları

5. Vektör çarpımını hesaplayın:

6. Vektörün uzunluğu: en kolay yol, parçayı üçgenin orta çizgisi, yani tabanın yarısına eşit olacak şekilde değiştirmektir. Böylece.

7. Vektör ürününün uzunluğunu dikkate alıyoruz:

8. Son olarak, mesafeyi bulun:

Vay, hepsi bu! Dürüst olmak gerekirse, size söyleyeceğim: Bu sorunu geleneksel yöntemlerle (yapılar yoluyla) çözmek çok daha hızlı olacaktır. Ama burada her şeyi hazır bir algoritmaya indirdim! Çözüm algoritmasının sizin için açık olduğunu düşünüyorum? Bu nedenle, kalan iki sorunu kendi başınıza çözmenizi isteyeceğim. Cevapları karşılaştır?

Yine tekrar ediyorum: Bu sorunları, koordinat yöntemine başvurmak yerine yapılar aracılığıyla çözmek daha kolay (daha hızlı). Bu çözüm yolunu sadece size “hiçbir şeyi bitirmemenize” izin veren evrensel bir yöntem göstermek için gösterdim.

Son olarak, son problem sınıfını düşünün:

Eğri çizgiler arasındaki mesafeyi hesaplama

Burada problem çözme algoritması öncekine benzer olacaktır. Neyimiz var:

3. Birinci ve ikinci çizgilerin noktalarını birleştiren herhangi bir vektör:

Çizgiler arasındaki mesafeyi nasıl buluruz?

Formül:

Pay, karışık ürünün modülüdür (önceki bölümde tanıttık) ve payda - önceki formülde olduğu gibi (çizgilerin yönlendirici vektörlerinin vektör ürününün modülü, aradığımız mesafe için).

sana bunu hatırlatacağım

o zamanlar uzaklık formülü şu şekilde yeniden yazılabilir::

Bu determinantı determinanta bölün! Dürüst olmak gerekirse, burada şaka havamda değilim! Bu formül aslında çok hantaldır ve oldukça karmaşık hesaplamalara yol açar. Yerinde olsam bunu sadece son çare olarak kullanırdım!

Yukarıdaki yöntemi kullanarak birkaç sorunu çözmeye çalışalım:

1. Sağ üçgen prizmada, tüm kenarlar bir şekilde eşittir, düz çizgiler ve arasındaki mesafeyi bulun.

2. Sağ ön şekilli bir üçgen prizma verildiğinde, birinin os-no-va-niya'sının tüm kenarları Se-che-tion'a eşittir, diğer kaburgadan geçer ve se-re-di-nu kaburgaları yav-la-et-sya square-ra-tom. Düz-we-mi ve arasinda dis-sto-I-nie bul

İlkine ben karar veririm ve ona göre ikincisine sen karar verirsin!

1. Bir prizma çiziyorum ve çizgileri işaretliyorum ve

C noktası koordinatları: sonra

nokta koordinatları

vektör koordinatları

nokta koordinatları

vektör koordinatları

vektör koordinatları

\[\left((B,\overrightarrow (A(A_1)) \overrightarrow (B(C_1)) ) \sağ) = \left| (\begin(dizi)(*(20)(l))(\begin(dizi)(*(20)(c))0&1&0\end(dizi))\\(\begin(dizi)(*(20) (c))0&0&1\end(dizi))\\(\begin(dizi)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) (2))&1\end(dizi))\end(dizi)) \sağ| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]

Vektörler arasındaki çapraz ürünü dikkate alıyoruz ve

\[\overrightarrow (A(A_1)) \cdot \overrightarrow (B(C_1)) = \left| \begin(dizi)(l)\begin(dizi)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j )&(\overrightarrow k )\end(dizi)\\\begin(dizi )(*(20)(c))0&0&1\end(dizi)\\\begin(dizi)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\end(dizi)\end(dizi) \sağ| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\overrightarrow k + \frac(1)(2)\overrightarrow i \]

Şimdi uzunluğunu düşünüyoruz:

Cevap:

Şimdi ikinci görevi dikkatlice tamamlamaya çalışın. Buna verilecek cevap:.

Koordinatlar ve vektörler. Kısa açıklama ve temel formüller

Bir vektör, yönlendirilmiş bir segmenttir. - vektörün başlangıcı, - vektörün sonu.
Vektör veya ile gösterilir.

Mutlak değer vektör - vektörü temsil eden parçanın uzunluğu. olarak belirlenmiştir.

Vektör koordinatları:

,
\displaystyle a vektörünün uçları nerede?

Vektörlerin toplamı: .

Vektörlerin çarpımı:

Vektörlerin nokta çarpımı:

Düzlemde bir noktadan bir doğruya olan mesafeyi hesaplamak için formül

Ax + By + C = 0 doğrusunun denklemi verilirse, M(M x , M y) noktasından doğruya olan uzaklık aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir.

Düzlemde bir noktadan bir çizgiye olan mesafeyi hesaplamak için görev örnekleri

örnek 1

3x + 4y - 6 = 0 doğrusu ile M(-1, 3) noktası arasındaki mesafeyi bulun.

Karar. Formülde doğrunun katsayılarını ve noktanın koordinatlarını değiştirin

Cevap: bir noktadan bir çizgiye olan mesafe 0,6'dır.

bir vektöre dik noktalardan geçen bir düzlemin denklemiBir düzlemin genel denklemi

Belirli bir düzleme dik sıfır olmayan bir vektöre denir normal vektör (veya kısaca normal ) bu uçak için.

Verilen koordinat uzayını (dikdörtgen bir koordinat sisteminde) bırakın:

bir nokta ;

b) sıfır olmayan bir vektör (Şekil 4.8, a).

Bir noktadan geçen bir düzlem için denklem yazılmalıdır. vektöre dik Kanıtın sonu.

Şimdi bir düzlemdeki düz bir doğrunun çeşitli denklemlerini ele alalım.

1) Düzlemin genel denklemiP .

Denklemin türetilmesinden, aynı zamanda A, B ve C 0'a eşit değil (nedenini açıklayın).

Nokta uçağa aittir P sadece koordinatları düzlemin denklemini sağlıyorsa. katsayılara bağlı olarak A, B, C ve D uçak Pşu veya bu konumu işgal eder.

- düzlem koordinat sisteminin orijinden geçer, - düzlem koordinat sisteminin orijinden geçmez,

- düzlem eksene paraleldir X,

X,

- düzlem eksene paraleldir Y,

- düzlem eksene paralel değil Y,

- düzlem eksene paraleldir Z,

- düzlem eksene paralel değil Z.

Bu ifadeleri kendiniz kanıtlayın.

Denklem (6), denklem (5)'ten kolayca türetilir. Gerçekten de, noktanın düzlemde olmasına izin verin P. Daha sonra koordinatları denklemi sağlar. Denklem (7)'yi Denklem (5)'ten çıkararak ve terimleri gruplayarak, denklem (6)'yı elde ederiz. Şimdi sırasıyla koordinatları olan iki vektör düşünün. Formül (6)'dan skaler çarpımlarının sıfıra eşit olduğu sonucu çıkar. Bu nedenle, vektör vektöre diktir Son vektörün başlangıcı ve sonu sırasıyla düzleme ait noktalardadır. P. Bu nedenle, vektör düzleme diktir P. Noktadan düzleme uzaklık P, genel denklemi olan formül tarafından belirlenir Bu formülün ispatı, bir nokta ile bir doğru arasındaki uzaklık formülünün ispatına tamamen benzer (bkz. Şekil 2).
Pirinç. 2. Düzlem ile doğru arasındaki uzaklık formülünün türetilmesi.

Gerçekten de, mesafe d bir çizgi ve bir düzlem arasında

uçakta uzanan bir nokta nerede. Buradan, ders No. 11'de olduğu gibi, yukarıdaki formül elde edilir. Normal vektörleri paralel ise iki düzlem paraleldir. Buradan iki düzlemin paralellik durumunu elde ederiz. - düzlemlerin genel denklemlerinin katsayıları. Normal vektörleri dikse iki düzlem diktir, dolayısıyla genel denklemleri biliniyorsa iki düzlemin diklik koşulunu elde ederiz.

Enjeksiyon f iki düzlem arasındaki, normal vektörleri arasındaki açıya eşittir (bkz. Şekil 3) ve bu nedenle formülden hesaplanabilir
Düzlemler arasındaki açının belirlenmesi.

(11)

Bir noktadan uçağa olan uzaklık ve nasıl bulunur

Noktadan uzaklık uçak bir noktadan bu düzleme bırakılan dikmenin uzunluğudur. Bir noktadan bir düzleme olan mesafeyi bulmanın en az iki yolu vardır: geometrik ve cebirsel.

Geometrik yöntemleönce dikeyin bir noktadan bir düzleme nasıl yerleştirildiğini anlamanız gerekir: belki uygun bir düzlemde yer alır, bazı uygun (ya da çok değil) üçgende bir yüksekliktir veya belki bu dik genellikle bazı piramitlerde bir yüksekliktir .

Bu ilk ve en zor aşamadan sonra, problem birkaç özel planimetrik probleme bölünür (belki farklı düzlemlerde).

Cebirsel yolla Bir noktadan bir düzleme olan mesafeyi bulmak için, bir koordinat sistemi girmeniz, noktanın koordinatlarını ve düzlemin denklemini bulmanız ve ardından noktadan düzleme olan mesafe için formülü uygulamanız gerekir.