Kare-eşkenar dörtgen düzlemde modülü olan bir denklem. Geometrik bir figür olarak eşkenar dörtgen. Bir eşkenar dörtgenin köşegenleri, açılarının açıortaylarıdır

Ve yine soru şudur: bir eşkenar dörtgen paralelkenar mıdır, değil midir?

Tam sağda - bir paralelkenar, çünkü ve (işaretimizi 2 hatırla).

Ve yine, bir eşkenar dörtgen bir paralelkenar olduğu için, bir paralelkenarın tüm özelliklerine sahip olmalıdır. Bu, bir eşkenar dörtgenin karşıt açılara sahip olduğu, karşılıklı kenarların paralel olduğu ve köşegenlerin kesişme noktası tarafından ikiye bölündüğü anlamına gelir.

Eşkenar Dörtgen Özellikleri

Resme bak:

Dikdörtgen durumunda olduğu gibi, bu özellikler ayırt edicidir, yani bu özelliklerin her biri için sadece bir paralelkenar değil, bir eşkenar dörtgen olduğu sonucuna varabiliriz.

Bir eşkenar dörtgen belirtileri

Ve tekrar dikkat edin: sadece dik köşegenleri olan bir dörtgen değil, bir paralelkenar olmalıdır. Emin olmak:

Hayır, elbette hayır, köşegenleri dik ve dik olmasına ve köşegen u açılarının açıortayı olmasına rağmen. Ama ... köşegenler bölünmez, kesişme noktası yarıya düşer, bu nedenle - bir paralelkenar DEĞİL ve bu nedenle bir eşkenar dörtgen DEĞİLDİR.

Yani, kare aynı anda hem dikdörtgen hem de eşkenar dörtgendir. Bakalım bundan ne çıkacak.

Neden olduğu açık mı? - eşkenar dörtgen - eşit olan A açısının açıortay. Böylece (ve ayrıca) boyunca iki açıya bölünür.

Çok açık: dikdörtgenin köşegenleri eşittir; eşkenar dörtgen köşegenler diktir ve genel olarak - paralelkenar köşegenler kesişme noktasına göre ikiye bölünür.

ORTA SEVİYE

Dörtgenlerin özellikleri. Paralelkenar

paralelkenar özellikleri

Dikkat! Sözler " paralelkenar özellikleri» bir göreviniz varsa anlamına gelir orada paralelkenar, o zaman aşağıdakilerin tümü kullanılabilir.

Paralelkenarın özellikleri üzerine teorem.

Herhangi bir paralelkenarda:

Bunun neden doğru olduğunu görelim, başka bir deyişle KANITLAYACAĞIZ teorem.

Peki neden 1) doğru?

Paralelkenar olduğu için:

• çapraz yatmak gibi
• uzanmış gibi.

Dolayısıyla, (II bazında: ve - genel.)

Peki, bir kez, o zaman - bu kadar! - kanıtlanmış.

Ama bu arada! Biz de kanıtladık 2)!

Niye ya? Ama sonuçta (resme bakın), yani, çünkü.

Sadece 3 tane kaldı).

Bunu yapmak için hala ikinci bir köşegen çizmeniz gerekiyor.

Ve şimdi bunu görüyoruz - II işaretine göre (açı ve aralarındaki kenar).

Kanıtlanmış özellikler! Gelelim işaretlere.

paralelkenar özellikleri

Paralelkenar işaretinin "nasıl öğrenilir?" Sorusuna cevap verdiğini hatırlayın.

Simgelerde şöyle:

Niye ya? Nedenini anlamak güzel olurdu - bu yeterli. Fakat bak:

Peki, işaret 1'in neden doğru olduğunu anladık.

Bu daha da kolay! Tekrar bir köşegen çizelim.

Bu şu anlama gelir:

Ve ayrıca kolaydır. Ama farklı!

Anlamına geliyor, . Vay! Ama aynı zamanda - bir sekantta iç tek taraflı!

Bu nedenle gerçeği şu anlama gelir.

Ve diğer taraftan bakarsanız, o zaman bir sekantta iç tek taraflıdırlar! Ve bu nedenle.

Ne kadar harika olduğunu görüyor musun?!

Ve yine basitçe:

Tamamen aynı ve.

Dikkat etmek: eğer bulduysan en azından probleminizde bir paralelkenarın bir işareti, o zaman kesinlikle paralelkenar ve kullanabilirsiniz herkes paralelkenarın özellikleri.

Tam netlik için şemaya bakın:

Dörtgenlerin özellikleri. Dikdörtgen.

Dikdörtgen özellikleri:

Nokta 1) oldukça açıktır - sonuçta, işaret 3 () basitçe yerine getirilmiştir

Ve nokta 2) - çok önemli. öyleyse bunu kanıtlayalım

Yani, iki ayak üzerinde (ve - genel).

Üçgenler eşit olduğuna göre hipotenüsleri de eşittir.

Kanıtlandı!

Ve hayal edin, köşegenlerin eşitliği, tüm paralelkenarlar arasında bir dikdörtgenin ayırt edici bir özelliğidir. Yani aşağıdaki ifade doğrudur

Bakalım neden?

Yani, (paralelkenarın açıları anlamına gelir). Ama bir kez daha, şunu unutmayın - bir paralelkenar ve bu nedenle.

Anlamına geliyor, . Ve elbette, bundan, her birinin Sonuçta, vermeleri gereken miktarda!

Burada kanıtladık ki eğer paralelkenar birdenbire (!) köşegenlere eşit olacak, o zaman bu tam olarak bir dikdörtgen.

Ancak! Dikkat etmek! Bu ... Hakkında paralelkenarlar! Hiç köşegenleri eşit olan bir dörtgen bir dikdörtgendir ve bir tek paralelkenar!

Dörtgenlerin özellikleri. Eşkenar dörtgen

Ve yine soru şudur: bir eşkenar dörtgen paralelkenar mıdır, değil midir?

Tam sağda - bir paralelkenar, çünkü ve (İşaretimizi 2 hatırla).

Ve yine, bir eşkenar dörtgen bir paralelkenar olduğu için, bir paralelkenarın tüm özelliklerine sahip olmalıdır. Bu, bir eşkenar dörtgenin karşıt açılara sahip olduğu, karşılıklı kenarların paralel olduğu ve köşegenlerin kesişme noktası tarafından ikiye bölündüğü anlamına gelir.

Ama aynı zamanda özel özellikler de var. formüle ediyoruz.

Eşkenar Dörtgen Özellikleri

Niye ya? Eh, bir eşkenar dörtgen bir paralelkenar olduğundan, köşegenleri ikiye bölünür.

Niye ya? Evet, bu yüzden!

Başka bir deyişle, köşegenler ve eşkenar dörtgen köşelerinin açıortayları olduğu ortaya çıktı.

Bir dikdörtgen durumunda olduğu gibi, bu özellikler ayırt edici, her biri aynı zamanda bir eşkenar dörtgen işaretidir.

Eşkenar dörtgen işaretleri.

Nedenmiş? Ve bak

Bu nedenle ve ikisi birden bu üçgenler ikizkenardır.

Bir eşkenar dörtgen olmak için, bir dörtgen önce bir paralelkenar "olmalı" ve sonra zaten özellik 1 veya özellik 2'yi göstermelidir.

Dörtgenlerin özellikleri. Kare

Yani, kare aynı anda hem dikdörtgen hem de eşkenar dörtgendir. Bakalım bundan ne çıkacak.

Neden olduğu açık mı? Kare - eşkenar dörtgen - eşit olan açının açıortay. Böylece (ve ayrıca) boyunca iki açıya bölünür.

Çok açık: dikdörtgenin köşegenleri eşittir; eşkenar dörtgen köşegenler diktir ve genel olarak - paralelkenar köşegenler kesişme noktasına göre ikiye bölünür.

Niye ya? Peki, sadece Pisagor Teoremini uygulayın.

ÖZET VE TEMEL FORMÜL

Paralelkenar özellikleri:

1. Karşılıklı kenarlar eşittir: , .
2. Zıt açılar: , .
3. Bir taraftaki açıların toplamı: , .
4. Köşegenler, kesişme noktasına göre ikiye bölünür: .

Dikdörtgen özellikleri:

1. Bir dikdörtgenin köşegenleri: .
2. Dikdörtgen bir paralelkenardır (bir paralelkenarın tüm özellikleri bir dikdörtgen için sağlanır).

Eşkenar dörtgen özellikleri:

1. Eşkenar dörtgenin köşegenleri diktir: .
2. Bir eşkenar dörtgenin köşegenleri, açılarının açıortaylarıdır: ; ; ; .
3. Bir eşkenar dörtgen bir paralelkenardır (bir eşkenar dörtgen için bir paralelkenarın tüm özellikleri yerine getirilir).

Kare özellikleri:

Bir kare aynı anda bir eşkenar dörtgen ve bir dikdörtgendir, bu nedenle bir kare için bir dikdörtgenin ve bir eşkenar dörtgenin tüm özellikleri yerine getirilir. Birlikte.

diğer sunumların özeti

"Üçgenlerin benzerlik işaretleri için görevler" - Üçgenlerin benzerliği. Ayna kullanarak bir nesnenin yüksekliğini belirleme. Bir su birikintisinden bir nesnenin yüksekliğini belirleme. Pratik problemlerin çözümü. Çubuğun gölgesi. Bir nesnenin yüksekliğini belirleme. Büyük nesnelerin yüksekliğini ölçmek. Ders sloganı. Hazır çizimlere göre problemlerin çözümü. Bağımsız iş. Gözler için jimnastik. Thales yöntemi. Bireysel kart. Piramidin yüksekliğini belirleme. Benzer üçgenleri adlandırın.

"Dörtgenlerin özellikleri" - Dörtgenlerin isimleri. Tüm açılar doğru. Dörtgenlerin özellikleri. Trapez. Kare, tüm kenarlarının eşit olduğu bir dikdörtgendir. Paralelkenarın elemanları. Köşegenler köşeleri ikiye böler. Dörtgen. Dikte. Diyagonal. karşı köşeler. Dunno'nun ikiliyi düzeltmesine yardım et. Tarihi bilgi. Dörtgenler ve özellikleri. köşegenler. Eşkenar dörtgen. karşı taraflar. Partiler.

"Eşkenar dörtgen" - İşaretler. Çevre. Eşkenar dörtgen görünümü. Eşkenar dörtgen hikayesi. Eşkenar dörtgen. Köşegenleri olan bir eşkenar dörtgen. eşkenar dörtgen nedir. Alan formülü. İlginç gerçekler. Eşkenar dörtgen özellikleri. Hayatta eşkenar dörtgen.

"Pisagor teoreminin çözümü" - Ayrıştırma yoluyla ispat. Kare alan. En basit kanıt. Perigal'in Kanıtı. Pisagorcular. Diyagonal. 9. yüzyıl CE kanıtı takipçiler. Yükseklik. Çap. Tam kanıt. Güdü. Altıgenler. Çıkarma ile ispat. Kare. Dikdörtgen. Teoremin uygulama olanakları. Gutheil'in kanıtı. Teoremin uygulanması. Lotus sorunu. Teoremin tarihi.

"Dikdörtgenin alanı" 8. sınıf "- Karenin alanı, kenarının karesine eşittir. Kare. Karenin alanını ve çevresini bulunuz. Alan birimleri. Bir çokgen, birkaç çokgenden oluşur. Bir üçgenin alanını bulun. Dikdörtgenlerin her birinin kenarları. Birimler. Karenin alanını bulun. ABCD ve DSMK karelerdir. Bir eşkenar dörtgenin alanı köşegenlerinin çarpımının yarısıdır. AB kenarına bir paralelkenar çizilir. Altıgenin alanını bulun.

"Yamuk" Derece 8 "- Sırtın her iki tarafındaki yamuk kasları birlikte yamuk şeklindedir. Sözlü çalışma için görevler. Dörtgenler yamuklardır. Bir ikizkenar yamuğun özellikleri. Bir ikizkenar yamuk belirtileri. Yamuk türleri. Yamuğun alanı. Trapez elemanları. Tanım. Yamuğun orta çizgisi. Trapez. Geometrik figür, küçük bir masaya benzediği için bu şekilde adlandırılmıştır.

eşit taraflarla. Dik açılı bir eşkenar dörtgen Meydan .

Bir eşkenar dörtgen, birbirine dik köşegenleri olan veya açıyı 2 eşit parçaya bölen köşegenleri olan iki bitişik eşit kenara sahip bir tür paralelkenar olarak kabul edilir.

Eşkenar dörtgen özellikleri.

1. Eşkenar dörtgen bir paralelkenardır, yani karşılıklı kenarlar aynı uzunlukta ve çiftler halinde paraleldir, AB || CD, AD || Güneş.

2. Köşegenlerin kesişme açısı eşkenar dörtgen düz (AC⊥ BD) ve kesişme noktası iki özdeş parçaya bölünmüştür. Yani, köşegenler eşkenar dörtgeni 4 üçgene böler - dikdörtgen.

3. eşkenar dörtgen köşegenler açılarının bisektörleridir (∠ DCA=∠ bca,∠ ABD=∠ MİA vb. ).

4. köşegenlerin kareleri toplamı dörtle çarpılan kenarın karesine eşittir (paralelkenar özdeşliğinden türetilir).

Eşkenar dörtgen işaretleri.

Paralelkenar ABCD yalnızca aşağıdaki koşullardan en az biri karşılandığında eşkenar dörtgen olarak adlandırılacaktır:

1. 2 komşu kenarı aynı uzunluktadır (yani, bir eşkenar dörtgenin tüm kenarları eşittir, AB=BC=CD=AD).

2. Düz çizginin köşegenlerinin kesişme açısı ( AC⊥ BD).

3. 1-on diyagonal, onu içeren köşeleri ikiye böler.

Dörtgenin bir paralelkenar olduğunu önceden bilmediğimizi varsayalım, ancak tüm kenarlarının eşit olduğu biliniyor. Yani bu dörtgen bir eşkenar dörtgendir.

Eşkenar dörtgen simetrisi.

eşkenar dörtgen simetriktir tüm köşegenlerine göre genellikle süs eşyaları ve parkelerde kullanılır.

Bir eşkenar dörtgen çevresi.

Geometrik bir figürün çevresi- düz bir geometrik figürün sınırlarının toplam uzunluğu. Çevre uzunluğu ile aynı boyuta sahiptir.

Eşkenar dörtgen en basit geometrik şekillerden biridir. Geometrik problemlerde bir eşkenar dörtgen ile o kadar sık ​​karşılaşıyoruz ki, "fantastik" ve "eşkenar dörtgen" kelimeleri bize uyumsuz kavramlar gibi görünüyor. Bu arada, inanılmaz, dedikleri gibi, yakınlarda ... İngiltere'de. Ama önce, bir "eşkenar dörtgen" in ne olduğunu, işaretlerini ve özelliklerini hatırlayalım.

Eski Yunancadan çevrilen "eşkenar dörtgen" terimi "tef" anlamına gelir. Ve bu tesadüf değil. Ve işte olay. Hayatta en az bir kez bir tef, ama herkes gördü. Ve herkes onun yuvarlak olduğunu biliyor. Ancak uzun zaman önce tefler sadece kare veya eşkenar dörtgen şeklinde yapılırdı. Üstelik pırlanta takımının adı da bu gerçekle ilişkilendiriliyor.

Geometriden, bir eşkenar dörtgenin nasıl göründüğünü hayal ederiz. Bu, eğimli bir kare olarak gösterilen bir dörtgendir. Ancak hiçbir durumda eşkenar dörtgen ve kareyi karıştırmamalısınız. Eşkenar dörtgenin paralelkenarın özel bir durumu olduğunu söylemek daha doğrudur. Tek fark, eşkenar dörtgenin tüm kenarlarının eşit olmasıdır. Geometrideki problemleri hızlı ve doğru bir şekilde çözmek için eşkenar dörtgenin özelliklerini hatırlamanız gerekir. Bu arada, bir eşkenar dörtgen bir paralelkenarın tüm özelliklerine sahiptir. Böyle:

Eşkenar dörtgen özellikleri:

1. karşılıklı taraflar eşittir;
2. zıt açılar eşittir;
3. eşkenar dörtgenin köşegenleri düz çizginin altında kesişir ve kesişme noktasında ikiye bölünür;
4. bir tarafa bitişik açıların toplamı 180°'dir;
5. köşegenlerin karelerinin toplamı, tüm kenarların karelerinin toplamına eşittir;
6. köşegenler açılarının açıortaylarıdır.

Bir eşkenar dörtgen belirtileri:

1. bir paralelkenarın köşegenleri dik ise, paralelkenar bir eşkenar dörtgendir;
2. bir paralelkenarın köşegeni, açısının açıortayı ise, paralelkenar bir eşkenar dörtgendir.

Ve bir başka önemli nokta, bilgisi olmadan sorunu başarıyla çözmenin mümkün olmadığı formüller. Aşağıda, bilinen verilere bağlı olarak kullanılan herhangi bir eşkenar dörtgen alanını bulmak için formüller bulunmaktadır: yazılı dairenin yüksekliği, köşegeni, kenarı, yarıçapı. Aşağıdaki formüllerde semboller kullanılır: a - eşkenar dörtgen tarafı, h a - a tarafına çizilen yükseklik, a- kenarlar arasındaki açı, d 1 d 2 - eşkenar dörtgenin köşegenleri.

Temel formüller:

S = 2 günah a

S = 1/2 (d 1 d 2)

S = 4r2 / günah a

Çok sık kullanılmayan, ancak yararlı olan başka bir formül daha var:

d 1 2 + d 2 2 = 4a 2 veya köşegenlerin karelerinin toplamı, kenar çarpı 4'e eşittir.

Ve şimdi en başa dönme zamanı. bu kadar şaşırtıcı olan ne belki bu heykelcikte? 19. yüzyılda arkeolojik kazılar sırasında bir eşkenar dörtgen bulunduğu ortaya çıktı. Evet, basit değil, altın ve kelimenin tam anlamıyla! İngiliz Bash höyüğünden gelen bu buluntu, ünlü Stonehenge'den çok uzak olmayan Wilsford bölgesinde bulundu. Gizemli eşkenar dörtgen, üzerine olağandışı desenlerin işlendiği cilalı bir levhadır. Boyutu 15,2 x 17,8 cm'dir (sadece küçük bir rezervasyonla eşkenar dörtgen). Kenarlara ek olarak, plakanın iç içe geçmiş olduğu düşünülen üç tane daha küçük elmas şeklindeki deseni vardır. Aynı zamanda, ikincisinin ortasına eşkenar dörtgen bir ızgara oyulmuştur. Eşkenar dörtgenin kenarları boyunca bir şerit deseni vardır - eşkenar dörtgenin her iki tarafında dokuz karakter. Toplamda böyle otuz altı üçgen var.

Tabii ki, bu ürün çok pahalıdır, ancak böyle bir eşkenar dörtgen yaratmanın belirli bir amacı olduğu da açıktır. Bilim adamlarının uzun süre çözemedikleri şey buydu.

Daha makul ve kabul edilen versiyonlardan biri doğrudan Stonehenge ile ilgilidir. Stonehenge yapılarının birkaç yüzyıl boyunca kademeli olarak inşa edildiği bilinmektedir. 3000 yıllarında inşaatın başladığına inanılmaktadır. İngiltere'deki altının MÖ 2800'den beri bir yerlerde bilindiği belirtilmelidir. Buradan, altın eşkenar dörtgenin bir rahibin aleti olabileceği varsayılabilir. Özellikle vezir. Böyle bir hipotez, 20. yüzyılın son çeyreğinde, Stonehenge'in tanınmış bir araştırmacısı olan Profesör A. Tom tarafından modern bilim adamlarının dikkatine sunuldu.

Eski inşaatçıların yerdeki açıları doğru bir şekilde belirleyebileceklerini herkes hayal edemez. Yine de İngiliz araştırmacı D. Furlong, kendi görüşüne göre eski Mısırlıların kullanabileceği bir yöntem önerdi. Furlong, atalarımızın dik üçgenlerde önceden seçilmiş en boy oranlarını kullandığına inanıyordu. Ne de olsa, Mısırlıların üç, dört ve beş boyutlu birimlerin kenarları olan bir üçgeni yaygın olarak kullandıkları uzun zamandır bilinmektedir. Görünüşe göre, Britanya Adaları'nın eski sakinleri de bu tür birçok numara biliyorlardı.

Peki, Stonehenge'i yapanların mükemmel haritacılar olduğunu hayal etseniz bile, altın bir elmas onlara bu konuda nasıl yardımcı olabilir? Neredeyse hiçbir modern araştırmacı bu soruyu cevaplayamaz. Büyük olasılıkla, Furlong'un mesleğe göre bir anketör olması, ona bu bilmeceyi çözme fırsatı verdi. Dikkatli bir çalışmadan sonra araştırmacı, işaretli cilalı altın eşkenar dörtgenin güneş ışığının yansıtıcısı, başka bir deyişle özel boyutlu bir ayna olarak kullanım için mükemmel olduğu sonucuna vardı.

Yerdeki azimutu oldukça küçük hatalarla hızlı bir şekilde belirlemek için iki benzer aynanın kullanılması gerektiği kanıtlandı. Plan şu şekildeydi: örneğin bir rahip bir tepenin tepesinde, diğeri ise bitişik vadide duruyordu. Rahipler arasındaki mesafeyi önceden ayarlamak da gerekliydi. Bu sadece birkaç adımda yapılabilir. Sonuçlar daha güvenilir olduğu için genellikle bir ölçüm çubuğu kullanmalarına rağmen. İki elmas şeklindeki metal ayna, dik açı sağlar. Ve sonra hemen hemen tüm gerekli açıları ölçmek kolaydır. D. Furlong, herhangi bir açıyı bir derecelik bir hatayla ayarlamanıza izin veren bu tür tamsayı çiftlerinden oluşan bir tablo bile verdi. Stonehenge dönemi rahiplerinin bu yöntemi kullanmış olmaları muhtemeldir. Tabii ki, bu hipotezi doğrulamak için ikinci bir eşleştirilmiş altın eşkenar dörtgen bulmak gerekli olacaktır, ancak görünüşe göre buna değmez. Sonuçta, kanıtlar oldukça açık. Yerdeki azimutları hesaplamaya ek olarak, inanılmaz bir altın eşkenar dörtgenin başka bir yeteneği keşfedildi. Bu şaşırtıcı küçük şeyin kış ve yaz gündönümlerinin, ilkbahar ve sonbahar ekinokslarının anlarını hesaplamasına izin verilir. Bu, o zamanlar öncelikle Güneş'e tapan eski Mısırlıların yaşamı için vazgeçilmez bir nitelikti.

Eşkenar dörtgenin etkileyici görünümünün sadece rahipler için vazgeçilmez bir araç değil, aynı zamanda sahibi için muhteşem bir dekorasyon olması muhtemeldir. Genel olarak konuşursak, ilk bakışta bulunan ve bugün pahalı olan mücevherlerin büyük çoğunluğu, daha sonra ortaya çıktığı gibi, ölçü aletleridir.

Bu yüzden insanlar her zaman bilinmeyene çekildi. Ve dünyamızda çok fazla gizemli ve kanıtlanmamış olduğu gerçeğine bakılırsa, bir kişi uzun bir süre antik çağın ipuçlarını bulmaya çalışacaktır. Ve bu çok havalı! Sonuçta, atalarımızdan çok şey öğrenebiliriz. Bunun için çok şey bilmeniz, öğrenebilmeniz ve öğrenebilmeniz gerekir. Ancak temel bilgi olmadan bu kadar yüksek nitelikli bir uzman olmak imkansızdır. Ne de olsa, her büyük arkeolog, kaşif bir zamanlar okula gitti!

site, materyalin tamamen veya kısmen kopyalanmasıyla, kaynağa bir bağlantı gereklidir.

AB \paralel CD,\;BC \paralel AD

AB=CD,\;BC=AD

2. Eşkenar dörtgenin köşegenleri diktir.

AC\perp BD

Kanıt

Bir eşkenar dörtgen bir paralelkenar olduğu için köşegenleri ikiye bölünür.

Yani \triangle BOC = \triangle DOC üç tarafta (BO = OD , OC eklemdir, BC = CD ). \angle BOC = \angle COD değerini alırız ve bunlar bitişiktir.

\Rightarrow \açı BOC = 90^(\circ) ve \açı KOİ = 90^(\circ) .

3. Köşegenlerin kesişme noktası onları ikiye böler.

AC=2\cdot AO=2\cdot CO

BD=2\cdot BO=2\cdot DO

4. Bir eşkenar dörtgenin köşegenleri, açılarının açıortaylarıdır.

\açı1 = \açı2; \; \açı 5 = \açı 6;

\açı 3 = \açı 4; \; \açı 7 = \açı 8.

Kanıt

Köşegenlerin kesişme noktası ile ikiye bölünmesi ve eşkenar dörtgenin tüm kenarlarının birbirine eşit olması nedeniyle, tüm rakam köşegenler tarafından 4 eşit üçgene bölünür:

\üçgen BOC, \; \üçgen BOA, \; \üçgen AOD, \; \üçgen KOİ.

Bu, BD , AC'nin açıortay olduğu anlamına gelir.

5. Köşegenler bir eşkenar dörtgenden 4 dik üçgen oluşturur.

6. Herhangi bir eşkenar dörtgen, köşegenlerinin kesişme noktasında ortalanmış bir daire içerebilir.

7. Köşegenlerin karelerinin toplamı, eşkenar dörtgenin kenarlarından birinin karesinin dört ile çarpımına eşittir.

AC^2 + BD^2 = 4\cdot AB^2

Bir eşkenar dörtgen belirtileri

1. Dik köşegenleri olan bir paralelkenar bir eşkenar dörtgendir.

\begin(durumlar) AC \perp BD \\ ABCD \end(durumlar)- paralelkenar, \Rightarrow ABCD - eşkenar dörtgen.

Kanıt

ABCD bir paralelkenardır \Rightarrow AO = CO ; BO = ÖD. Ayrıca belirtilir ki AC \perp BD \Rightarrow \üçgen AOB = \üçgen BOC = \üçgen COD = \üçgen AOD- 2 ayak üzerinde.

AB = BC = CD = AD olduğu ortaya çıktı.

Kanıtlanmış!

2. Bir paralelkenarda köşegenlerden en az biri her iki açıyı (içinden geçtiği) ikiye böldüğünde, bu şekil bir eşkenar dörtgen olacaktır.

Kanıt

Bir notta: dik köşegenleri olan her şekil (dörtgen) bir eşkenar dörtgen olmayacaktır.

Örneğin:

Köşegenlerin dikliğine rağmen bu artık bir eşkenar dörtgen değil.

Bunu ayırt etmek için, ilk başta dörtgenin bir paralelkenar olması ve sahip olması gerektiğini hatırlamakta fayda var.