Урок степенная функция ее свойства и график. Конспект урока по Математике "Степенная функция, её свойства и график". Степенные функции, область определения

Урок и презентация на тему: "Степенные функции. Свойства. Графики"

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 11 класса
Интерактивное пособие для 9–11 классов "Тригонометрия"
Интерактивное пособие для 10–11 классов "Логарифмы"

Степенные функции, область определения.

Ребята, на прошлом уроке мы узнали, как работать с числами с рациональным показателем степени. На этом уроке мы рассмотрим степенные функции и ограничимся случаем, когда показатель степени рациональный.
Мы будем рассматривать функции вида: $y=x^{\frac{m}{n}}$.
Рассмотрим сначала функции, у которых показатель степени $\frac{m}{n}>1$.
Пусть нам дана конкретная функция $y=x^2*5$.
Согласно определению, которое мы дали на прошлом уроке: если $x≥0$, то есть область определения нашей функции - это луч ${x}$. Давайте схематично изобразим наш график функции.

Свойства функции $y=x^{\frac{m}{n}}$, $0 2. Не является ни четной, ни нечетной.
3. Возрастает на $$,
б) $(2,10)$,
в) на луче $$.
Решение.
Ребята, вы помните как мы находили наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке в 10 классе?
Правильно, мы использовали производную. Давайте решим наш пример и повторим алгоритм поиска наименьшего и наибольшего значения.
1. Найдем производную заданной функции:
$y"=\frac{16}{5}*\frac{5}{2}x^{\frac{3}{2}}-x^3=8x^{\frac{3}{2}}-x^3=8\sqrt{x^3}-x^3$.
2. Производная существует на всей области определения исходной функции, тогда критических точек нет. Найдем стационарные точки:
$y"=8\sqrt{x^3}-x^3=0$.
$8*\sqrt{x^3}=x^3$.
$64x^3=x^6$.
$x^6-64x^3=0$.
$x^3(x^3-64)=0$.
$x_1=0$ и $x_2=\sqrt{64}=4$.
Заданному отрезку принадлежит только одно решение $x_2=4$.
Построим таблицу значений нашей функции на концах отрезка и в точке экстремума:
Ответ: $y_{наим.}=-862,65$ при $x=9$; $y_{наиб.}=38,4$ при $x=4$.

Пример. Решить уравнение: $x^{\frac{4}{3}}=24-x$.
Решение. График функции $y=x^{\frac{4}{3}}$ возрастает, а график функции $у=24-х$ убывает. Ребята, мы с вами знаем: если одна функция возрастает, а другая убывает, то они пересекаются только в одной точке, то есть у нас только одно решение.
Заметим:
$8^{\frac{4}{3}}=\sqrt{8^4}=(\sqrt{8})^4=2^4=16$.
$24-8=16$.
То есть при $х=8$ мы получили верное равенство $16=16$, это и есть решение нашего уравнения.
Ответ: $х=8$.

Пример.
Построить график функции: $y=(x-3)^\frac{3}{4}+2$.
Решение.
График нашей функции получается из графика функции $y=x^{\frac{3}{4}}$, смещением его на 3 единицы вправо и 2 единицы вверх.

Пример. Составить уравнение касательной к прямой $y=x^{-\frac{4}{5}}$ в точке $х=1$.
Решение. Уравнение касательной определяется известной нам формулой:
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
В нашем случае $a=1$.
$f(a)=f(1)=1^{-\frac{4}{5}}=1$.
Найдем производную:
$y"=-\frac{4}{5}x^{-\frac{9}{5}}$.
Вычислим:
$f"(a)=-\frac{4}{5}*1^{-\frac{9}{5}}=-\frac{4}{5}$.
Найдем уравнение касательной:
$y=1-\frac{4}{5}(x-1)=-\frac{4}{5}x+1\frac{4}{5}$.
Ответ: $y=-\frac{4}{5}x+1\frac{4}{5}$.

Задачи для самостоятельного решения

1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции: $y=x^\frac{4}{3}$ на отрезке:
а) $$.
б) $(4,50)$.
в) на луче $$.
3. Решить уравнение: $x^{\frac{1}{4}}=18-x$.
4. Построить график функции: $y=(x+1)^{\frac{3}{2}}-1$.
5. Составить уравнение касательной к прямой $y=x^{-\frac{3}{7}}$ в точке $х=1$. 4.3 СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ, ЕЁ СВОЙСТВА И ГРАФИКИ

Содержание учебного материала:

1.Степенная функция, определение, обозначение.

2.Основные свойства степенной функции.

3.Графики степенной функции и их особенности.

4. Вычисление значений функций по значению аргумента. Определение положения точки на графике по ее координатам и наоборот.

5.Использование свойств функций для сравнения значений степеней.

Степенной называют функцию вида y = x r , где х- основание степени,

r – показатель степени, Свойства степенной функции определяются её показателем. Рассмотрим основные свойства степенных функций с различными показателями и их графики.

а) Свойства функции y = x r , r > 1

D(х) = }