Các phép tính số học. Các phép tính số học. Số nguyên dương

Math-Calculator-Online v.1.0

Máy tính thực hiện các phép toán sau: cộng, trừ, nhân, chia, làm việc với số thập phân, rút ​​gốc, nâng lên lũy thừa, tính phần trăm và các phép toán khác.

Phán quyết:

Cách sử dụng máy tính toán

Chìa khóa	chỉ định	Giải trình
5	số 0-9	chữ số Ả Rập. Nhập số nguyên tự nhiên, số không. Để lấy số nguyên âm, nhấn phím +/-
.	dấu chấm phẩy)	Một dấu tách thập phân. Nếu không có chữ số nào trước dấu chấm (dấu phẩy), máy tính sẽ tự động thay thế số 0 trước dấu chấm. Ví dụ: .5 - 0.5 sẽ được viết
+	dấu cộng	Phép cộng các số (số nguyên, phân số thập phân)
-	dấu trừ	Phép trừ các số (số nguyên, phân số thập phân)
÷	dấu hiệu chia	Phép chia số (số nguyên, phân số thập phân)
X	dấu nhân	Phép nhân các số (số nguyên, số thập phân)
√	nguồn gốc	Trích xuất gốc từ một số. Khi bạn nhấn nút "gốc" một lần nữa, gốc được tính từ kết quả. Ví dụ: căn bậc hai của 16 = 4; căn bậc hai của 4 = 2
x2	bình phương	Bình phương một số. Khi bạn nhấn nút "bình phương" một lần nữa, kết quả sẽ là bình phương.Ví dụ: bình phương 2 = 4; hình vuông 4 = 16
1/x	phân số	Xuất ra số thập phân. Ở tử số 1, ở mẫu số nhập số
%	phần trăm	Nhận một tỷ lệ phần trăm của một số. Để làm việc, bạn phải nhập: số mà tỷ lệ phần trăm sẽ được tính, dấu (cộng, trừ, chia, nhân), bao nhiêu phần trăm ở dạng số, nút "%"
(	khung mở	Dấu ngoặc đơn mở để đặt mức độ ưu tiên đánh giá. Một dấu ngoặc đơn đóng là bắt buộc. Ví dụ: (2+3)*2=10
)	khung đóng	Dấu ngoặc đơn đóng để đặt mức độ ưu tiên đánh giá. Dấu ngoặc mở bắt buộc
±	cộng trừ	Đổi dấu thành ngược lại
=	bằng	Hiển thị kết quả của giải pháp. Ngoài ra, các phép tính trung gian và kết quả được hiển thị phía trên máy tính trong trường "Giải pháp".
←	xóa ký tự	Xóa ký tự cuối cùng
Với	cài lại	Nút reset. Đặt lại hoàn toàn máy tính về "0"

Thuật toán của máy tính trực tuyến với các ví dụ

Phép cộng.

Phép cộng các số tự nhiên ( 5 + 7 = 12 )

Phép cộng các số tự nhiên và số âm ( 5 + (-2) = 3 )

Cộng các phân số thập phân ( 0,3 + 5,2 = 5,5 )

phép trừ.

Phép trừ các số tự nhiên nguyên ( 7 - 5 = 2 )

Phép trừ các số tự nhiên và số âm ( 5 - (-2) = 7 )

Phép trừ các phân số thập phân ( 6.5 - 1.2 = 4.3 )

Phép nhân.

Tích của các số tự nhiên ( 3 * 7 = 21 )

Tích của các số tự nhiên và số âm ( 5 * (-3) = -15 )

Tích của các phân số thập phân ( 0,5 * 0,6 = 0,3 )

Phân công.

Phép chia các số tự nhiên ( 27 / 3 = 9 )

Phép chia các số tự nhiên và số âm ( 15 / (-3) = -5 )

Phép chia phân số thập phân ( 6.2 / 2 = 3.1 )

Trích xuất gốc từ một số.

Trích xuất gốc của một số nguyên ( root(9) = 3 )

Trích xuất gốc của số thập phân ( root(2.5) = 1.58 )

Trích xuất gốc từ tổng các số ( root(56 + 25) = 9 )

Trích xuất gốc của sự khác biệt về số ( root (32 - 7) = 5 )

Bình phương một số.

Bình phương một số nguyên ( (3) 2 = 9 )

Bình phương số thập phân ( (2.2) 2 = 4.84 )

Chuyển đổi thành phân số thập phân.

Tính phần trăm của một số

Tăng 230 lên 15% ( 230 + 230 * 0,15 = 264,5 )

Giảm số 510 đi 35% ( 510 - 510 * 0,35 = 331,5 )

18% của số 140 là ( 140 * 0,18 = 25,2 )

Một đặc điểm nổi bật của phần này là sự kết hợp giữa các phương pháp pháp lý và kinh tế đối với kiểm toán thuế. Thật vậy, kiểm toán thuế, một mặt, được điều chỉnh bởi các hành vi pháp lý. Kết quả của họ có tính chất quan trọng về mặt pháp lý và có thể kéo theo các hậu quả pháp lý đối với người mà một cuộc kiểm tra cụ thể được thực hiện đối với họ. Mặt khác, bản chất của chúng là thiết lập bằng cách này hay cách khác (phương pháp kiểm soát thuế hoặc các phương pháp khác không bị pháp luật cấm) sự tương ứng của dữ liệu có sẵn về các hoạt động tài chính và kinh tế của đối tượng được kiểm toán nhằm mục đích tạo thu nhập, với các dữ liệu thực tế. Việc thực hiện quy trình này là không thể nếu không có sự phân tích dữ liệu kế toán và báo cáo (nghĩa là thông tin có tính chất kinh tế thuần túy) về các hoạt động kinh tế của người được kiểm toán. Xác minh tính đúng đắn của phép tính số học do người nộp thuế thực hiện và được trình bày dưới dạng báo cáo thuế, xác minh tính hợp pháp của việc áp dụng thuế suất và lợi ích, xác minh tính đúng đắn của cách tính cơ sở tính thuế, cũng như thực hiện các phương pháp xác minh hồ sơ của đối tượng được kiểm toán, phân tích độ tin cậy của dữ liệu kế toán, tính chính xác của việc tính toán và nộp ngân sách các loại thuế khác nhau cho thấy thanh tra viên cần được đào tạo kinh tế phù hợp.

Việc hoàn thành đầy đủ nhiệm vụ do Bộ Thuế Nga đặt ra cho cơ quan thuế chỉ có thể thực hiện được trên cơ sở tạo ra các phương pháp thống nhất để xử lý trên máy tính các báo cáo kế toán và thuế đã nộp nhằm xác định những mâu thuẫn có thể có trong các chỉ số riêng lẻ và cơ quan thuế miễn phí khỏi nhu cầu làm việc thường xuyên để xác minh tính đúng đắn của các phép tính số học. Sự phát triển của các phương pháp như vậy được tạo điều kiện bởi bản chất của các tài liệu được kiểm tra trong quá trình xác minh, có một hình thức thống nhất. Tuy nhiên, việc giới thiệu rộng rãi các phương pháp máy tính để kiểm tra báo cáo thuế có liên quan đến việc chuyển sang trình bày tài liệu báo cáo trên các phương tiện cho phép máy xử lý.

Kiểm tra tính đúng đắn của phép tính số học

Kiểm tra tính chính xác của các phép tính số học bao gồm kiểm tra các phép tính số học - nhân giá theo số lượng (đánh thuế) và tính tổng.

Chứng từ phòng kế toán nhận phải được kiểm tra cẩn thận. Trước hết, cần thiết lập sự hiện diện trong tài liệu của các chữ ký cần thiết và các chi tiết khác, không có vết tẩy xóa, vết mờ và các chỉnh sửa không xác định và không xác định, tính chính xác của các phép tính số học. Sau đó, họ xác định tính khả thi về mặt kinh tế của các hoạt động được thực hiện, sự tuân thủ của các hoạt động này với các mục tiêu đã hoạch định hoặc phân bổ ước tính, các điều khoản của hợp đồng đã ký kết, luật pháp hiện hành, mệnh lệnh của chính quyền và tiết lộ sự thật về quản lý yếu kém. Vì vậy, xác minh tài liệu là một phương tiện giám sát hành động của nhân viên vận hành.

Trước hết, thông tin thu thập được để phân tích cần được kiểm tra độ chính xác. Việc kiểm tra được thực hiện từ hai phía. Đầu tiên, nhà phân tích kiểm tra mức độ đầy đủ của dữ liệu chứa các kế hoạch và báo cáo, liệu chúng có được định dạng đúng hay không. Hãy chắc chắn kiểm tra tính chính xác của các phép tính số học. Nhà phân tích cũng nên chú ý xem các chỉ số đưa ra trong các bảng khác nhau của kế hoạch hoặc báo cáo, v.v., có nhất quán hay không. Kiểm tra này là kỹ thuật trong tự nhiên.

Kiểm tra số học hoặc kiểm tra đếm được thực hiện để xác định tính chính xác của các phép tính số học (bằng cách đếm tổng số, kiểm tra tính đúng đắn của việc thực hiện các thủ tục thanh toán, ví dụ: tính toán phân bổ chi phí gián tiếp, khấu hao, xác định áo choàng, giảm giá, v.v. .).

Tính đúng đắn của các kết luận phát sinh từ việc phân tích hoạt động kinh tế phần lớn phụ thuộc vào độ tin cậy của thông tin được sử dụng trong phân tích. Do đó, trước khi phân tích nên đánh giá kỹ lưỡng về độ tin cậy và độ chính xác. Để thực hiện việc này, việc kiểm tra đếm báo cáo được thực hiện (tính chính xác của các phép tính số học được kiểm soát, kết nối giữa

Chứng từ thu chi hạch toán nguyên vật liệu mà bộ phận kế toán nhận về phải được xử lý cẩn thận, kiểm tra tính đúng đắn của các phép tính số học, thực chất của các nghiệp vụ đã thực hiện. Đặc biệt chú ý đến việc kiểm tra tính đầy đủ và chính xác của mật mã và các chỉ số khác đặc trưng cho một giao dịch kinh doanh cụ thể. Sau đó, các tài liệu chính cho tài liệu kế toán được nhóm lại và dữ liệu tổng hợp kết quả được nhập vào sổ đăng ký kế toán.

Trong quá trình kiểm toán, bạn nên kiểm tra tính chính xác của các phép tính số học trong các tài liệu để tích lũy và thanh toán tiền lương. Bằng cách kiểm tra tính chính xác của phép tính theo chiều dọc, có thể phát hiện việc đánh giá quá cao số tiền phải chịu (xóa vào chi phí bằng cách giảm số thuế đã khấu trừ và số tiền được chuyển vào ngân sách. Việc lạm dụng như vậy không yêu cầu thay đổi sổ đăng ký kế toán . Một cuộc kiểm tra theo chiều ngang tương tự có thể được xác định các trường hợp giữ lại tiền của một số nhân viên để trả nợ cho các nhân viên khác.

Bộ phận kế toán chấp nhận báo cáo bằng cách kiểm tra tính khả dụng của các tài liệu chính kèm theo, đăng ký pháp lý của chúng và tính chính xác của các phép tính số học. Việc kiểm soát được thực hiện đối với tính chính xác của việc chỉ ra số dư đầu vào và đầu ra của hàng hóa, sản phẩm và container, việc nhận và tiêu thụ chúng trong kỳ báo cáo, cũng như số lượng, doanh thu theo loại bán, thành phẩm.

Kiểm tra số học có chọn lọc về tính chính xác của a) tính toán tổng số trong bảng lương b) việc duy trì sổ quỹ tiền mặt, doanh thu hàng ngày, số dư đầu ra vào cuối ngày, v.v. công việc, v.v.), tính đúng đắn của phát hành tiền theo giấy ủy quyền (sổ phát hành giấy ủy quyền), v.v.

Đầu tiên, nhà phân tích kiểm tra mức độ đầy đủ của dữ liệu chứa các kế hoạch và báo cáo, liệu chúng có được định dạng đúng hay không. Hãy chắc chắn kiểm tra tính chính xác của các phép tính số học, sự hài hòa của các chỉ số được đưa ra trong các bảng khác nhau của kế hoạch hoặc báo cáo, v.v. Kiểm tra này là kỹ thuật trong tự nhiên.

Kiểm toán được chia thành kỹ thuật và thực chất. Trong quá trình kiểm tra kỹ thuật, tính đầy đủ của các nguồn được sử dụng, tính chính xác của việc thực hiện chúng, không có lỗi trong các phép tính số học và tổng số (kiểm tra số đếm), sự tuân thủ của các chỉ số giống nhau được đưa ra trong các nguồn liên quan khác nhau, tính nhất quán của các chỉ số được lặp lại trong một số biểu mẫu báo cáo, tính liên tục của tài liệu của kỳ báo cáo với số liệu của kỳ trước. Khi kiểm tra giá trị, độ tin cậy của tài liệu và sự phù hợp của chúng với thực tế khách quan được xác định. Điều này đạt được với sự trợ giúp của một số phương pháp xác minh kiểm soát logic các chỉ số thông tin về xác minh ngược lại của chúng để kiểm tra trạng thái kế toán về tính nhất quán lẫn nhau của các chỉ số được kết nối với nhau, v.v.

Xác minh số học của các tài liệu cho phép bạn kiểm soát các tính toán số học của kết quả, tính chính xác của việc phản ánh các chỉ số định lượng và chi phí.

XÁC MINH TÀI LIỆU - một cuộc khảo sát nhằm mục đích giám sát, kiểm soát bao gồm xác minh chính thức các tài liệu (tính chính xác của việc điền vào tất cả các chi tiết, sự hiện diện của các sửa chữa, tẩy xóa, bổ sung không xác định trong văn bản và số, tính xác thực của chữ ký của các quan chức và người chịu trách nhiệm tài chính), xác minh số học (tính chính xác của các phép tính trong tài liệu chính, sổ kế toán và biểu mẫu báo cáo) và xác minh tài liệu về giá trị (tính hợp pháp và nhanh chóng của giao dịch kinh doanh, tính chính xác của việc ghi lại các giao dịch trên tài khoản và đưa vào các khoản mục chi phí ).

Một phép tính số học đơn giản về doanh thu và số dư đầu kỳ cho phép hiển thị số dư nợ với tổng số tiền là 100.000 (700.000 + 100.000 - 800.000 - 800.000), nhưng không có gì chắc chắn rằng điều đó là chính xác, để xác minh, chúng tôi sẽ mở phân tích

Kiểm tra số học - kiểm tra tính chính xác của việc đếm dữ liệu tài liệu.

Số học là việc xác minh tính chính xác của phép đếm, đánh thuế, đạo hàm tổng và các phép toán số học khác. Các tài liệu được lập vi phạm các quy tắc đã thiết lập được trả lại cho người biểu diễn để xử lý thêm.

Trong quá trình xác minh số học của các tài liệu, các tính toán được thực hiện, tính chính xác của tự nhiên và

Từ thời cổ đại, công việc với các con số đã được chia thành hai lĩnh vực khác nhau: một lĩnh vực liên quan trực tiếp đến tính chất của các con số, lĩnh vực còn lại liên quan đến kỹ thuật đếm. "Số học" ở nhiều quốc gia thường có nghĩa là nhánh cuối cùng này, chắc chắn là nhánh lâu đời nhất của toán học.

Rõ ràng, khó khăn lớn nhất đối với các máy tính cổ đại là do làm việc với các phân số. Điều này có thể được suy ra từ Giấy cói Ahmes (còn gọi là Giấy cói Rhinda), một tác phẩm toán học của người Ai Cập cổ đại có từ khoảng năm 1650 trước Công nguyên. Tất cả các phân số được đề cập trong giấy cói, ngoại trừ 2/3, đều có tử số bằng 1. Khó khăn khi xử lý các phân số cũng đáng chú ý khi nghiên cứu các bảng chữ hình nêm của người Babylon cổ đại. Cả người Ai Cập cổ đại và người Babylon dường như đã tính toán bằng một số dạng bàn tính. Khoa học về các con số đã được người Hy Lạp cổ đại phát triển đáng kể kể từ thời Pythagoras, khoảng năm 530 trước Công nguyên. Đối với kỹ thuật tính toán, người Hy Lạp đã làm ít hơn nhiều trong lĩnh vực này.

Ngược lại, những người La Mã sống sau này thực tế không đóng góp gì cho khoa học về số, nhưng dựa trên nhu cầu phát triển nhanh chóng của sản xuất và thương mại, họ đã cải tiến bàn tính như một thiết bị đếm. Người ta biết rất ít về nguồn gốc của số học Ấn Độ. Chỉ một số tác phẩm sau này về lý thuyết và thực hành các phép toán với các con số đã đến với chúng tôi, được viết sau khi hệ thống vị trí của Ấn Độ được cải thiện bằng cách đưa số 0 vào đó. Chúng tôi không biết chính xác điều này xảy ra khi nào, nhưng đó là lúc nền tảng cho các thuật toán số học phổ biến nhất của chúng tôi được đặt ra.

Hệ thống số của Ấn Độ và các thuật toán số học đầu tiên đã được mượn bởi người Ả Rập. Sách giáo khoa số học Ả Rập còn tồn tại sớm nhất được viết bởi al-Khwarizmi vào khoảng năm 825. Nó sử dụng rộng rãi và giải thích các chữ số Ấn Độ. Sách giáo khoa này sau đó đã được dịch sang tiếng Latinh và có tác động đáng kể đến Tây Âu. Một phiên bản méo mó của cái tên al-Khwarizmi đã đến với chúng tôi trong từ "algorism", sau khi trộn thêm với từ Hy Lạp loạn nhịp tim trở thành thuật ngữ "thuật toán".

Số học Ấn-Ả Rập được biết đến ở Tây Âu chủ yếu là do công trình của L. Fibonacci sách bàn tính (bàn tính Liber, 1202). Phương pháp Abacist cung cấp các đơn giản hóa tương tự như việc sử dụng hệ thống vị trí của chúng tôi, ít nhất là đối với phép cộng và phép nhân. Abacists đã được thay thế bằng các thuật toán sử dụng số 0 và phương pháp chia và khai thác căn bậc hai của người Ả Rập. Một trong những cuốn sách giáo khoa số học đầu tiên, tác giả mà chúng tôi không biết, đã được xuất bản ở Treviso (Ý) vào năm 1478. Nó xử lý các vụ dàn xếp trong các giao dịch thương mại. Sách giáo khoa này trở thành tiền thân của nhiều sách giáo khoa số học xuất hiện sau này. Cho đến đầu thế kỷ 17. hơn ba trăm sách giáo khoa như vậy đã được xuất bản ở châu Âu. Các thuật toán số học đã được cải thiện đáng kể trong thời gian này. Vào thế kỷ 16 và 17 các biểu tượng cho các phép tính số học đã xuất hiện, chẳng hạn như =, +, -, ґ, ё và .

Cơ giới hóa các phép tính số học.

Với sự phát triển của xã hội, nhu cầu tính toán nhanh hơn và chính xác hơn cũng tăng lên. Nhu cầu này đã sinh ra bốn phát minh đáng chú ý: ký hiệu số Hindu-Ả Rập, phân số thập phân, logarit và máy tính hiện đại.

Trên thực tế, các thiết bị đếm đơn giản nhất đã tồn tại trước khi số học hiện đại ra đời, bởi vì vào thời cổ đại, các phép tính số học cơ bản được thực hiện trên bàn tính (ở Nga, bàn tính được sử dụng cho mục đích này). Thiết bị máy tính hiện đại đơn giản nhất có thể được coi là một quy tắc trượt, đó là hai lần trượt một dọc theo các thang logarit khác, cho phép nhân và chia, cộng và trừ các phân đoạn tỷ lệ. B. Pascal (1642) được coi là người phát minh ra máy cộng cơ học đầu tiên. Cuối thế kỷ này, G. Leibniz (1671) ở Đức và S. Morland (1673) ở Anh đã phát minh ra máy nhân. Những chiếc máy này trở thành tiền thân của thiết bị máy tính để bàn thế kỷ 20 (máy đo số học), giúp thực hiện các phép tính cộng, trừ, nhân và chia một cách nhanh chóng và chính xác.

Năm 1812, nhà toán học người Anh C. Babbage bắt đầu tạo ra một dự án cho một cỗ máy tính toán các bảng toán học. Mặc dù công việc của dự án đã tiếp tục trong nhiều năm, nhưng nó vẫn chưa hoàn thành. Tuy nhiên, dự án của Babbage là động lực để tạo ra các máy tính điện tử hiện đại, những mẫu đầu tiên xuất hiện vào khoảng năm 1944. Tốc độ của những chiếc máy này thật đáng kinh ngạc: với sự trợ giúp của chúng, trong vài phút hoặc vài giờ, có thể giải quyết các vấn đề mà trước đây đòi hỏi nhiều năm tính toán liên tục, ngay cả khi sử dụng máy cộng.

Số nguyên dương.

Để cho được Một và b là hai tập hợp hữu hạn không có phần tử chung và đặt Một chứa N các yếu tố và b chứa tôi phần tử. Sau đó, bộ S, bao gồm tất cả các phần tử của tập hợp Một và b, gộp lại, là một tập hợp hữu hạn chứa, chẳng hạn, S phần tử. Ví dụ, nếu VÀ gồm các phần tử ( một, b, c), một loạt TẠI– từ các phần tử ( x, y) thì tập hợp S=A+B và bao gồm các phần tử ( một, b, c, x, y). Con số S gọi điện Tổng con số N và tôi, và chúng tôi viết nó như thế này: s = n + m. Trong mục này, các số N và tôi gọi điện điều kiện, phép toán tìm tổng - phép cộng. Ký hiệu toán tử "+" được đọc là "cộng". một bó P, bao gồm tất cả các cặp có thứ tự trong đó phần tử đầu tiên được chọn từ tập hợp Một, và cái thứ hai từ tập hợp b, là một tập hợp hữu hạn chứa, giả sử, P phần tử. Ví dụ, nếu, như trước đây, Một = {một, b, c}, b = {x, y), sau đó P=Aґb = {(một,x), (một,y), (b,x), (b,y), (c,x), (c,y)). Con số P gọi điện công việc con số một và b, và chúng tôi viết nó như thế này: p = mộtґb hoặc p = aЧb. số một và bđược gọi trong công việc số nhân, thao tác tìm sản phẩm - phép nhân. Ký hiệu phép toán ґ được đọc là "nhân với".

Có thể chỉ ra rằng các định luật cơ bản về cộng và nhân các số nguyên sau đây tuân theo các định nghĩa này:

- Định luật giao hoán của phép cộng: a + b = b + a;

- Định luật về tính kết hợp của phép cộng: một + (b + c) = (một + b) + c;

- Quy luật giao hoán của phép nhân: mộtґb = bґmột;

- quy luật liên tưởng của phép nhân: mộtґ(bґc) = (mộtґb)ґc;

– luật phân phối: mộtґ(b + c)= (mộtґb) + (mộtґc).

Nếu một và b là hai số nguyên dương và nếu tồn tại một số nguyên dương c, như vậy mà a = b + c, sau đó chúng tôi nói rằng một hơn b(điều này được viết như thế này: một > b), hay cái gì bít hơn một(điều này được viết như thế này: b). Với hai số bất kỳ một và b một trong ba mối quan hệ giữ: một trong hai một = b, hoặc một > b, hoặc một.

Hai định luật cơ bản đầu tiên nói rằng tổng của hai hay nhiều số hạng không phụ thuộc vào cách chúng được nhóm lại và thứ tự sắp xếp của chúng. Tương tự như vậy, từ định luật thứ ba và thứ tư, tích của hai hay nhiều thừa số không phụ thuộc vào cách nhóm các thừa số và thứ tự của chúng. Những dữ kiện này được gọi là "các định luật tổng quát về tính giao hoán và tính kết hợp" của phép cộng và phép nhân. Theo đó, khi viết tổng của một số số hạng hoặc tích của một số thừa số, thứ tự của các số hạng và thừa số không đáng kể và có thể bỏ dấu ngoặc.

Đặc biệt, tổng lặp lại một + một + ... + một từ N thuật ngữ là Nґmột. Sinh sản mộtґmộtґ ... ґmột từ N số nhân đồng ý biểu thị một; con số một gọi điện nền tảng, và số N – chỉ số sinh sản, bản thân sản phẩm lặp đi lặp lại là sức mạnh thứ n con số một. Các định nghĩa này cho phép thiết lập các định luật cơ bản sau cho số mũ:

Một hệ quả quan trọng khác của các định nghĩa: mộtґ1 = một cho bất kỳ số nguyên nào một, trong đó 1 là số nguyên duy nhất có thuộc tính này. Số 1 được gọi là đơn vị.

ước số nguyên.

Nếu một, b, c là các số nguyên và mộtґb=c, sau đó một và b là ước của một số c. Bởi vì mộtґ1 = một cho bất kỳ số nguyên nào một, ta kết luận rằng 1 là ước của bất kỳ số nguyên nào và bất kỳ số nguyên nào cũng là ước của chính nó. Bất kỳ ước số nào của một số nguyên một, khác 1 hoặc một, đã được đặt tên ước riêng con số một.

Mọi số nguyên khác 1 không có ước riêng được gọi là số nguyên tố. (Ví dụ về số nguyên tố là 7.) Một số nguyên có các ước riêng được gọi là hợp số. (Ví dụ, số 6 là hợp số, vì 2 chia hết cho 6.) Từ những gì đã nói, suy ra rằng tập hợp tất cả các số nguyên được chia thành ba loại: một, số nguyên tố và hợp số.

Có một định lý rất quan trọng trong lý thuyết số, phát biểu rằng "bất kỳ số nguyên nào cũng có thể được biểu diễn dưới dạng tích của các số nguyên tố và theo thứ tự của các thừa số, một biểu diễn như vậy là duy nhất." Định lý này được gọi là "định lý cơ bản của số học". Nó chỉ ra rằng các số nguyên tố đóng vai trò là “viên gạch” mà từ đó, với sự trợ giúp của phép nhân, có thể dựng được tất cả các số nguyên khác một.

Nếu cho trước một tập hợp các số nguyên thì số nguyên lớn nhất là ước của mỗi số trong tập hợp này được gọi là ước chung lớn nhất tập hợp số đã cho; số nguyên nhỏ nhất có ước là mỗi số trong tập hợp đã cho được gọi là bội số chung nhỏ nhất tập hợp số đã cho. Vậy ước chung lớn nhất của các số 12, 18, 30 là 6. Bội chung nhỏ nhất của các số giống nhau là 180. Nếu ước chung lớn nhất của hai số nguyên một và b bằng 1 thì các số một và b gọi điện nguyên tố cùng nhau. Ví dụ, các số 8 và 9 là nguyên tố cùng nhau, mặc dù không phải là số nguyên tố.

Số hữu tỉ dương.

Như chúng ta đã thấy, số nguyên là sự trừu tượng phát sinh từ quá trình tính toán lại các tập hữu hạn các phần tử. Tuy nhiên, đối với nhu cầu của cuộc sống hàng ngày, số nguyên là không đủ. Ví dụ: khi đo chiều dài của mặt bàn, đơn vị đo lường được chấp nhận có thể quá lớn và không vừa với số nguyên lần chiều dài đo được. Để đối phó với khó khăn này, với sự giúp đỡ của cái gọi là. phân số(tức là, theo nghĩa đen là số "bị hỏng"), một đơn vị độ dài nhỏ hơn được giới thiệu. Nếu đ là một số nguyên thì đơn vị phân số 1/ đđược xác định bởi tài sản đґ1/đ= 1, và nếu N là số nguyên thì Nґ1/đ chúng tôi viết giống như N/đ. Những số mới như vậy được gọi là phân số "thông thường" hoặc "đơn giản". số nguyên N gọi điện tử số phân số và số đ – mẫu số. Mẫu số cho biết đơn vị được chia thành bao nhiêu phần bằng nhau và tử số cho biết có bao nhiêu phần như vậy đã được lấy. Nếu N d, phân số được gọi là phân số thích hợp; nếu n=d hoặc n > d, thì nó sai. Các số nguyên được coi là phân số có mẫu số bằng 1; ví dụ, 2 = 2/1.

Vì phân số N/đ có thể được hiểu là kết quả của phép chia Nđơn vị mỗi đ các phần bằng nhau và lấy một trong các phần đó, một phân số có thể được coi là "thương" hoặc "tỷ số" của hai số nguyên N và đ, và hiểu dòng của một phân số là dấu hiệu của phép chia. Do đó, phân số (bao gồm cả số nguyên là trường hợp đặc biệt của phân số) thường được gọi là hợp lý số (từ lat. tỷ lệ - tỷ lệ).

Hai phân số N/đ và ( kґN)/(kґđ), ở đâu k- một số nguyên, có thể được coi là bằng nhau; ví dụ: 4/6 = 2/3. (Đây N = 2, đ= 3 và k= 2.) Trường hợp này được gọi là "tính chất cơ bản của một phân số": giá trị của bất kỳ phân số nào không thay đổi nếu tử số và mẫu số của phân số đó được nhân (hoặc chia) cho cùng một số. Suy ra rằng mọi phân số đều có thể viết dưới dạng tỉ số của hai số nguyên tố cùng nhau.

Nó cũng xuất phát từ cách giải thích ở trên về phân số là tổng của hai phân số N/đ và tôi/đ có cùng mẫu số thì lấy một phân số ( N + tôi)/đ. Khi cộng các phân số có mẫu số khác nhau, trước tiên bạn phải chuyển đổi chúng, sử dụng tính chất cơ bản của một phân số, thành các phân số tương đương có cùng mẫu số (chung). Ví dụ, N 1 /đ 1 = (N 1 giờ đ 2)/(đ 1 giờ đ 2 và N 2 /đ 2 = (N 2 giờ đ 1)/(đ 1 giờ đ 2), từ đâu

Người ta có thể làm cách khác và trước tiên hãy tìm bội số chung nhỏ nhất, chẳng hạn, tôi, mẫu số đ 1 và đ 2. Khi đó tồn tại các số nguyên k 1 và k 2 , sao cho m = k 1 giờ đ 1 = k 2 giờ đ 2 và chúng tôi nhận được:

Với phương pháp này, số tôi Thường được gọi là mẫu số chung nhỏ nhất hai phân số. Hai kết quả này tương đương nhau về định nghĩa đẳng thức của phân số.

Tích của hai phân số N 1 /đ 1 và N 2 /đ 2 được lấy bằng một phân số ( N 1 giờ N 2)/(đ 1 giờ đ 2).

Tám định luật cơ bản được đưa ra ở trên cho các số nguyên cũng có giá trị nếu theo một, b, c hiểu số hữu tỷ dương tùy ý. Ngoài ra, nếu cho hai số hữu tỉ dương N 1 /đ 1 và N 2 /đ 2 , sau đó chúng tôi nói rằng N 1 /đ 1 > N 2 /đ 2 khi và chỉ khi N 1 giờ đ 2 > N 2 giờ đ 1 .

Số thực dương.

Việc sử dụng các con số để đo độ dài của các đoạn thẳng cho thấy rằng đối với bất kỳ hai đoạn thẳng nào AB và đĩa CD phải có một số khoảng cách tia cực tím, có thể rất nhỏ, có thể được dành một số nguyên lần trong mỗi phân đoạn AB và đĩa CD. Nếu một đơn vị đo chiều dài thông dụng như vậy tia cực tím tồn tại thì các đoạn AB và đĩa CDđược gọi là so sánh. Ngay từ thời cổ đại, những người theo chủ nghĩa Pythagore đã biết về sự tồn tại của các đoạn thẳng không thể so sánh được. Một ví dụ cổ điển là cạnh của hình vuông và đường chéo của nó. Nếu lấy cạnh hình vuông làm đơn vị đo độ dài thì không có số hữu tỉ nào có thể là số đo đường chéo của hình vuông này. Bạn có thể xác minh điều này bằng cách lập luận ngược lại. Thật vậy, giả sử rằng một số hữu tỉ N/đ là số đo của đường chéo. Nhưng rồi đến đoạn 1/ đ có thể bị hoãn lại N lần trên đường chéo và đ lần trên cạnh của hình vuông, mặc dù thực tế là đường chéo và cạnh của hình vuông là không thể so sánh được. Vì vậy, dù chọn đơn vị đo độ dài như thế nào thì không phải đoạn thẳng nào cũng có độ dài biểu thị bằng số hữu tỉ. Để tất cả các đoạn thẳng có thể đo được bằng cách sử dụng một số đơn vị độ dài, hệ thống số phải được mở rộng để nó bao gồm các số biểu thị kết quả đo độ dài của các đoạn thẳng không tương xứng với đơn vị độ dài đã chọn. Những số mới này được gọi là số dương không hợp lý con số. Cái sau, cùng với các số hữu tỷ dương, tạo thành một tập hợp số rộng hơn, các phần tử của chúng được gọi là số dương. có hiệu lực con số.

Nếu HOẶC là nửa đường nằm ngang xuất phát từ điểm Ô, bạn- chỉ vào HOẶC, khác gốc Ô, và bạnđược chọn như là một phân đoạn duy nhất, sau đó mỗi điểm P trên một nửa dòng HOẶC có thể được liên kết với một số thực dương duy nhất P thể hiện độ dài của đoạn mở. Vì vậy, chúng tôi thiết lập một sự tương ứng một-một giữa các số thực dương và các điểm khác với Ô, trên nửa đường thẳng HOẶC. Nếu P và q là hai số thực dương tương ứng với điểm P và Hỏi trên HOẶC, sau đó chúng tôi viết p>q,p = q hoặc p tùy thuộc vào vị trí của điểm Pở bên phải của dấu chấm Hỏi trên HOẶC, trùng với Hỏi hoặc nằm bên trái của Hỏi.

Sự ra đời của các số vô tỷ dương đã mở rộng đáng kể phạm vi của số học. Ví dụ, nếu một là mọi số thực dương và N là một số nguyên bất kỳ thì tồn tại một số thực dương duy nhất b, như vậy mà b n = a. Con số này b gọi là gốc N mức độ của một và được viết là , trong đó ký tự có hình dạng giống một chữ cái Latinh r, mà từ Latin bắt đầu cơ số(root) và được gọi là căn bản. Nó có thể được chỉ ra rằng

Những mối quan hệ này được gọi là các thuộc tính cơ bản của các gốc tự do.

Từ quan điểm thực tế, điều rất quan trọng là bất kỳ số vô tỷ dương nào cũng có thể xấp xỉ chính xác một cách tùy ý bằng một số hữu tỷ dương. Điều này có nghĩa là nếu r là một số vô tỉ dương và e là một số hữu tỷ dương nhỏ tùy ý thì có thể tìm được các số hữu tỷ dương một và b, như vậy mà một và b. Ví dụ, số là vô tỷ. Nếu chọn e= 0,01 thì ; nếu chọn e= 0,001 thì .

Hệ thống số Ấn-Ả Rập.

Các thuật toán hoặc sơ đồ tính toán của số học phụ thuộc vào hệ thống số được sử dụng. Ví dụ, khá rõ ràng là các phương pháp tính toán được phát minh cho hệ thống chữ số La Mã có thể khác với các thuật toán được phát minh cho hệ thống Ấn-Ả Rập hiện tại. Hơn nữa, một số hệ thống số có thể hoàn toàn không phù hợp để xây dựng các thuật toán số học. Dữ liệu lịch sử cho thấy rằng trước khi áp dụng hệ thống ký hiệu số Ấn-Ả Rập, không có thuật toán nào giúp dễ dàng thực hiện phép cộng, trừ, nhân và chia các số bằng “bút chì và giấy”. Nhiều quy trình thuật toán thích ứng đặc biệt với nó đã được phát triển trong nhiều năm dài của hệ thống Ấn-Ả Rập, do đó các thuật toán hiện đại của chúng tôi là sản phẩm của cả một kỷ nguyên phát triển và cải tiến.

Trong hệ thống chữ số Hindu-Ả Rập, mỗi mục biểu thị một số là một bộ mười ký tự cơ bản 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, được gọi là số. Ví dụ: ký hiệu Ấn-Ả Rập cho số bốn trăm hai mươi ba có dạng một dãy số 423. Ý nghĩa của một chữ số trong ký hiệu Ấn-Ả Rập của một số được xác định bởi vị trí hoặc vị trí của nó trong chuỗi các chữ số tạo thành ký hiệu này. Trong ví dụ của chúng tôi, số 4 có nghĩa là bốn trăm, số 2 - hai chục và số 3 - ba đơn vị. Một vai trò rất quan trọng được chơi bởi số 0 (không), được sử dụng để điền vào các vị trí trống; ví dụ: mục nhập 403 có nghĩa là số bốn trăm lẻ ba, tức là hàng chục là mất tích. Nếu một, b, c, đ, e có nghĩa là các chữ số đơn, sau đó trong hệ thống Ấn-Ả Rập abcde có nghĩa là số nguyên viết tắt

Vì mỗi số nguyên có một biểu diễn duy nhất ở dạng

ở đâu N là một số nguyên và một 0 , một 1 ,..., một- số, chúng tôi kết luận rằng trong hệ thống số này, mỗi số nguyên có thể được biểu diễn theo một cách duy nhất.

Hệ thống số Ấn-Ả Rập cho phép bạn viết chính xác không chỉ các số nguyên mà còn bất kỳ số thực dương nào. Hãy giới thiệu ký hiệu 10 - N cho 1/10 N, ở đâu N là một số nguyên dương tùy ý. Khi đó, như có thể chỉ ra, bất kỳ số thực dương nào cũng có thể được biểu diễn, và theo một cách duy nhất, dưới dạng

Bản ghi này có thể được nén bằng cách viết dưới dạng một dãy số

trong đó dấu, được gọi là dấu thập phân, nằm giữa một 0 và b 1 cho biết nơi bắt đầu lũy thừa âm của 10 (ở một số quốc gia, dấu chấm được sử dụng cho mục đích này). Cách viết một số thực dương như vậy được gọi là khai triển số thập phân và phân số, được biểu diễn dưới dạng khai triển số thập phân của nó, là số thập phân.

Có thể chỉ ra rằng đối với một số hữu tỷ dương, phần mở rộng thập phân bị ngắt (ví dụ: 7/4 = 1,75) hoặc lặp lại chính nó (ví dụ: 6577/1980 = 3,32171717...). Nếu một số là số vô tỷ, thì phần mở rộng thập phân của nó không bị ngắt và không lặp lại. Nếu khai triển thập phân của một số vô tỷ bị cắt ở một vị trí thập phân nào đó, thì ta có được xấp xỉ hữu tỷ của nó. Càng xa bên phải dấu thập phân là dấu mà tại đó chúng ta kết thúc khai triển số thập phân thì phép tính xấp xỉ hợp lý càng tốt (sai số càng nhỏ).

Trong hệ thống Hindu-Ả Rập, một số được viết bằng mười chữ số cơ bản, ý nghĩa của chúng phụ thuộc vào vị trí hoặc vị trí của chúng trong ký hiệu của số (giá trị của một chữ số bằng tích của chữ số đó với một số sức mạnh của số 10). Do đó, một hệ thống như vậy được gọi là hệ thống vị trí thập phân. Các hệ thống số vị trí rất thuận tiện cho việc xây dựng các thuật toán số học, và đây chính là điều giải thích việc sử dụng rộng rãi hệ thống số Hindu-Ả Rập trong thế giới hiện đại, mặc dù các ký hiệu khác nhau có thể được sử dụng để biểu thị các số riêng lẻ ở các quốc gia khác nhau.

Tên các con số.

Tên của các số trong hệ thống Ấn-Ả Rập được xây dựng theo các quy tắc nhất định. Cách đặt tên số phổ biến nhất là số trước hết được chia thành các nhóm gồm ba chữ số từ phải sang trái. Các nhóm này được gọi là "thời kỳ". Khoảng thời gian đầu tiên được gọi là khoảng thời gian "đơn vị", khoảng thời gian thứ hai được gọi là khoảng thời gian "hàng nghìn", khoảng thời gian thứ ba được gọi là khoảng thời gian "hàng triệu", v.v., như minh họa trong ví dụ sau:

Mỗi khoảng thời gian được đọc như thể nó là một số có ba chữ số. Ví dụ, khoảng thời gian 962 được đọc là "chín trăm sáu mươi hai." Để đọc một số gồm nhiều khoảng thời gian, người ta đọc một nhóm chữ số trong mỗi khoảng thời gian, bắt đầu từ ngoài cùng bên trái rồi theo thứ tự từ trái sang phải; sau mỗi nhóm theo tên tiết. Ví dụ: con số trên ghi "bảy mươi ba nghìn tỷ tám trăm bốn mươi hai tỷ chín trăm sáu mươi hai triệu năm trăm ba mươi hai nghìn bảy trăm chín mươi tám." Lưu ý rằng khi đọc và viết số nguyên, liên từ "và" thường không được sử dụng. Tên chữ số hàng đơn vị bị lược bỏ. Hàng nghìn tỷ được theo sau bởi quadrillions, quintillions, sextillions, septillions, octillions, nonallions, decillions. Mỗi thời kỳ có giá trị lớn hơn 1000 lần so với giá trị của thời kỳ trước đó.

Trong hệ thống Hindu-Ả Rập, người ta thường tuân thủ quy trình sau đây để đọc các chữ số ở bên phải dấu thập phân. Ở đây các vị trí được đặt tên (theo thứ tự từ trái sang phải): “phần mười”, “phần trăm”, “phần nghìn”, “phần mười nghìn”, v.v. Một số thập phân thích hợp được đọc như thể các chữ số sau dấu thập phân tạo thành một số nguyên, sau đó tên của vị trí của chữ số cuối cùng bên phải được thêm vào. Ví dụ: 0,752 được đọc là "bảy trăm năm mươi hai phần nghìn." Một số thập phân hỗn hợp được đọc bằng cách kết hợp quy tắc đặt tên cho số nguyên với quy tắc đặt tên cho số thập phân thích hợp. Ví dụ: 632,752 đọc là "sáu trăm ba mươi hai phẩy bảy trăm năm mươi hai phần nghìn." Lưu ý từ "số nguyên" trước dấu thập phân. Trong những năm gần đây, số thập phân ngày càng được đọc đơn giản hơn, chẳng hạn như 3,782 là "ba phẩy bảy trăm tám mươi hai".

Phép cộng.

Bây giờ chúng ta đã sẵn sàng để phân tích các thuật toán số học được giới thiệu ở trường tiểu học. Các thuật toán này đề cập đến các phép toán trên các số thực dương được viết dưới dạng khai triển thập phân. Chúng tôi giả định rằng các bảng cộng và nhân cơ bản được học thuộc lòng.

Xét bài toán cộng: tính 279,8 + 5,632 + 27,54:

Đầu tiên, chúng ta cộng các lũy thừa giống nhau của số 10. Số 19×10 -1 được chia theo luật phân phối thành 9×10 -1 và 10×10 -1 \u003d 1. Chúng ta chuyển đơn vị sang trái và cộng với 21, được 22. Đổi lại, chúng ta chia số 22 thành 2 và 20 = 2×10. Chúng tôi di chuyển số 2 × 10 sang trái và thêm nó vào 9 × 10, cho 11 × 10. Cuối cùng, 11H10 được chia thành 1H10 và 10H10 \u003d 1H10 2, 1H10 2 được chuyển sang bên trái và được thêm vào 2H10 2, tạo ra 3H10 2. Tổng cuối cùng hóa ra là 312,972.

Rõ ràng là các phép tính được thực hiện có thể được trình bày dưới dạng ngắn gọn hơn, đồng thời sử dụng nó làm ví dụ về thuật toán cộng được dạy ở trường. Để làm điều này, chúng tôi viết cả ba số bên dưới số kia sao cho các dấu thập phân nằm trên cùng một hàng dọc:

Bắt đầu từ bên phải, chúng tôi thấy rằng tổng các hệ số ở 10 -3 là 2, chúng tôi viết vào cột tương ứng dưới dòng. Tổng các hệ số ở 10 -2 là 7, cũng được viết vào cột tương ứng dưới dòng. Tổng các hệ số ở 10 -1 là 19. Chúng ta viết số 9 dưới dòng và chuyển 1 sang cột trước, nơi có đơn vị. Với đơn vị này, tổng của hệ số trong cột này hóa ra là 22. Chúng tôi viết một số xuống dưới dòng và chuyển số còn lại sang cột trước đó, nơi có hàng chục. Có tính đến hai số được chuyển, tổng các hệ số trong cột này là 11. Chúng tôi viết một đơn vị dưới dòng và chuyển đơn vị kia sang cột trước đó, nơi có hàng trăm. Tổng của các hệ số trong cột này hóa ra là 3, đó là những gì chúng tôi viết dưới dòng. Số tiền yêu cầu là 312.972.

phép trừ.

Phép trừ ngược lại với phép cộng. Nếu ba số thực dương một, b, c liên kết với nhau sao cho a+b=c, sau đó chúng tôi viết a=c-b, trong đó ký tự "-" được đọc là "dấu trừ". Tìm một số một bằng số đã biết b và cđược gọi là "phép trừ". Con số cđược gọi là giảm, số b- "có thể trừ", và số một- "Sự khác biệt". Vì chúng ta đang xử lý các số thực dương nên điều kiện phải được thỏa mãn c > b.

Xét một ví dụ về phép trừ: tính 453,87 - 82,94.

Trước hết, mượn đơn vị từ bên trái nếu cần, chúng ta biến đổi khai triển của số trừ sao cho hệ số của nó ở bất kỳ lũy thừa nào của số 10 đều lớn hơn hệ số của phép trừ ở cùng một mức độ. Từ 4x10 2, chúng tôi mượn 1x10 2 = 10x10 bằng cách thêm số cuối cùng vào số hạng mở rộng tiếp theo, cho 15x10; tương tự, chúng tôi mượn 1×10 0 hoặc 10×10 -1 và thêm số này vào số hạng áp chót của khai triển. Sau đó, chúng ta có cơ hội trừ các hệ số cho cùng một lũy thừa của số 10 và dễ dàng tìm thấy sự khác biệt 370,93.

Bản ghi các phép trừ có thể được trình bày dưới dạng ngắn gọn hơn và lấy ví dụ về thuật toán trừ đã học ở trường. Hãy viết dấu trừ dưới dấu trừ sao cho các dấu thập phân của chúng nằm trên cùng một hàng dọc. Bắt đầu từ bên phải, chúng tôi thấy rằng sự khác biệt giữa các hệ số ở 10 -2 là 3 và chúng tôi viết số này vào cùng một cột dưới dòng. Vì ở cột tiếp theo bên trái, chúng ta không thể trừ 9 từ 8, nên chúng ta đổi 3 ở hàng đơn vị trừ 2 và coi 8 ở hàng phần mười là 18. Sau khi trừ 9 từ 18, chúng ta được 9 và vân vân, tức là .

Phép nhân.

Trước tiên hãy xem xét cái gọi là. phép nhân "ngắn" - phép nhân một số thực dương với một trong các số có một chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ví dụ: 32,67ґ4. Sử dụng quy luật phân phối, cũng như quy luật kết hợp và giao hoán của phép nhân, chúng ta có cơ hội chia các thừa số thành các phần và sắp xếp chúng theo cách thuận tiện hơn. Ví dụ,

Các tính toán này có thể được viết gọn hơn như sau:

Quá trình nén có thể được tiếp tục. Chúng tôi viết thừa số 4 dưới thừa số 32,67, như đã chỉ ra:

Kể từ 4ґ7 \u003d 28, chúng tôi viết số 8 dưới dòng và đặt 2 trên số 6 của bội số. Hơn nữa, 4ґ6 \u003d 24, có tính đến số được chuyển từ cột bên phải, cho 26. Chúng tôi viết số 6 dưới dòng và chúng tôi viết 2 phía trên số 2 của hệ số nhân. Sau đó, chúng tôi nhận được 4ґ2 \u003d 8, kết hợp với hai số được chuyển, cho 10. Chúng tôi ký số 0 dưới dòng và một - phía trên số 3 của số nhân. Cuối cùng, 4ґ3 \u003d 12, có tính đến đơn vị được chuyển, cho 13; số 13 được viết dưới dòng. Đặt một dấu thập phân, chúng tôi nhận được câu trả lời: sản phẩm là 130,68.

Phép nhân "dài" đơn giản là phép nhân "ngắn" được lặp đi lặp lại nhiều lần. Ví dụ, xét phép nhân số 32,67 với số 72,4. Chúng tôi đặt số nhân dưới số nhân, như đã chỉ ra:

Thực hiện phép nhân ngắn từ phải sang trái, chúng tôi nhận được sản phẩm một phần đầu tiên 13,068, thứ hai - 65,34 và thứ ba - 2286,9. Theo luật phân phối, tích cần tìm là tổng của các tích từng phần này, hay 2365.308. Trong ký hiệu bằng văn bản, dấu thập phân được bỏ qua trong các tác phẩm từng phần, nhưng chúng phải được đặt chính xác theo “các bước” để sau đó tổng hợp và có được sản phẩm đầy đủ. Số chữ số thập phân trong tích bằng tổng của số chữ số thập phân trong số bị nhân và cấp số nhân.

Phân công.

Phép chia là nghịch đảo của phép nhân; giống như phép nhân thay thế phép cộng lặp đi lặp lại, phép chia thay thế phép trừ lặp đi lặp lại. Ví dụ, hãy xem xét câu hỏi sau: 3 trong 14 gấp bao nhiêu lần? Lặp lại thao tác trừ 3 từ 14, chúng ta thấy rằng 3 “vào” 14 bốn lần và số 2 vẫn “ở lại”, tức là

Số 14 được gọi là chia hết, số 3 - dải phân cách, số 4 - riêng và số 2 - phần còn lại. Nói cách khác, tỷ lệ kết quả có thể được biểu thị như sau:

cổ tức \u003d (số chia ґ thương) + số dư,

0 J còn lại

Tìm thương và số dư của phép chia 1400 cho 3 bằng cách trừ đi 3 nhiều lần sẽ đòi hỏi nhiều thời gian và công sức. Quy trình có thể được tăng tốc đáng kể nếu trước tiên chúng ta trừ 300 từ 1400, sau đó 30 từ phần còn lại và cuối cùng là 3. Sau khi trừ 300 bốn lần, chúng ta sẽ có số dư là 200; sau khi trừ 30 từ 200 sáu lần, số dư sẽ là 20; cuối cùng, sau khi trừ số 3 sáu lần từ 20, chúng ta nhận được phần còn lại là 2. Do đó,

Thương và số dư cần tìm lần lượt là 466 và 2. Các phép tính có thể được tổ chức và sau đó nén tuần tự như sau:

Lý do trên được áp dụng nếu số bị chia và số chia là bất kỳ số thực dương nào được biểu thị bằng số thập phân. Hãy minh họa điều này bằng ví dụ về 817.65ё23.7.

Đầu tiên, số chia phải được chuyển đổi thành số nguyên bằng cách sử dụng dịch chuyển dấu thập phân. Trong trường hợp này, dấu thập phân của cổ tức được dịch chuyển theo cùng một số chữ số thập phân. Số chia và số bị chia được sắp xếp như hình dưới đây:

Hãy xác định bao nhiêu lần ước được chứa trong số có ba chữ số 817, phần đầu tiên của số bị chia mà chúng ta chia cho số chia. Vì nó được ước tính là ba lần, nên chúng ta nhân 237 với 3 và lấy 817 trừ đi tích của 711. Hiệu của 106 nhỏ hơn số chia. Điều này có nghĩa là số 237 được đưa vào cổ tức thử nghiệm không quá ba lần. Số 3 viết dưới số chia 2 ở dưới vạch kẻ ngang là chữ số đầu tiên của thương cần tìm. Sau khi lấy chữ số tiếp theo của số bị chia, ta được số bị chia thử tiếp theo là 1066 và cần xác định số lần chia 237 khớp với số 1066; Hãy nói 4 lần. Chúng tôi nhân số chia với 4 và nhận được sản phẩm 948, chúng tôi trừ đi 1066; sự khác biệt hóa ra là 118, có nghĩa là chữ số tiếp theo của thương số là 4. Sau đó, chúng tôi xóa chữ số tiếp theo của số bị chia và lặp lại toàn bộ quy trình được mô tả ở trên. Lần này, hóa ra cổ tức thử nghiệm 1185 chính xác (không có phần dư) chia hết cho 237 (phần còn lại của phép chia cuối cùng hóa ra là 0). Tách dấu thập phân trong thương số bằng bao nhiêu ký tự mà chúng được tách ra trong số chia hết (nhớ lại rằng chúng tôi đã chuyển dấu thập phân trước đó), chúng tôi nhận được câu trả lời: thương là 34,5.

Phân số.

Các phép tính phân số bao gồm cộng, trừ, nhân và chia, cũng như đơn giản hóa các phân số phức tạp.

Cộng các phân số có cùng mẫu số được thực hiện bằng cách cộng các tử số, ví dụ:

1/16 + 5/16 + 7/16 = (1 + 5 + 7)/16 = 13/16.

Nếu các phân số có mẫu số khác nhau, thì trước tiên chúng phải được rút gọn thành mẫu số chung, tức là chuyển thành phân số có cùng mẫu số. Để làm được điều này, chúng ta tìm mẫu số chung thấp nhất (bội số nhỏ nhất của mỗi mẫu số đã cho). Ví dụ: khi cộng 2/3, 1/6 và 3/5, mẫu số chung nhỏ nhất là 30:

Tóm lại, chúng tôi nhận được

20/30 + 5/30 + 18/30 = 43/30.

Phép trừ phân số được thực hiện giống như phép cộng chúng. Nếu mẫu số bằng nhau thì phép trừ được rút gọn thành phép trừ của các tử số: 13/10 - 13/2 = 8/13; Nếu các phân số có mẫu số khác nhau, thì trước tiên bạn phải rút gọn chúng thành mẫu số chung:

7/8 – 3/4 = 7/8 – 6/8 = (7 – 6)/8 = 1/8.

Khi nhân các phân số, tử số và mẫu số của chúng được nhân riêng. Ví dụ,

5/6ґ4/9 = 20/54 = 10/27.

Để chia một phân số cho một phân số khác, cần nhân phân số thứ nhất (số bị chia) với nghịch đảo của phân số thứ hai (số chia) (để lấy nghịch đảo, bạn cần đổi chỗ tử số và mẫu số của phân số ban đầu), tức là ( N 1 /đ 1)e( N 2 /đ 2) = (N 1 giờ đ 2)/(đ 1 giờ N 2). Ví dụ,

3/4ё7/8 \u003d 3/4ґ8/7 \u003d 24/28 \u003d 6/7.

Hỗn số là tổng (hoặc hiệu) của một số nguyên và một phân số, chẳng hạn như 4 + 2/3 hoặc 10 - 1/8. Vì một số nguyên có thể được coi là một phân số có mẫu số bằng 1, nên một hỗn số không gì khác hơn là tổng (hoặc hiệu) của hai phân số. Ví dụ,

4 + 2/3 = 4/1 + 2/3 = 12/3 + 2/3 = 14/3.

Phân số phức là phân số có phân số ở tử số hoặc ở mẫu số hoặc ở cả tử số và mẫu số. Một phần như vậy có thể được biến thành một phần đơn giản:

Căn bậc hai.

Nếu N r, như vậy mà r 2 = N. Con số r gọi điện căn bậc hai từ N và được ký hiệu. Ở trường, họ dạy cách lấy căn bậc hai theo hai cách.

Phương pháp đầu tiên phổ biến hơn vì nó đơn giản và dễ áp ​​dụng hơn; tính toán theo phương pháp này dễ dàng thực hiện trên máy tính để bàn và tổng quát hóa cho trường hợp căn bậc ba và căn bậc cao hơn. Phương pháp này dựa trên thực tế là nếu r 1 - gần đúng với gốc , sau đó r 2 = (1/2)(r 1 + N/r 1) là một xấp xỉ chính xác hơn của gốc.

Hãy minh họa quy trình bằng cách tính căn bậc hai của một số từ 1 đến 100, chẳng hạn như số 40. Vì 6 2 = 36 và 7 2 = 49, nên chúng ta kết luận rằng 6 là số gần đúng nhất trong số nguyên. Một xấp xỉ chính xác hơn được lấy từ 6 như sau. Chia 40 cho 6 ta được 6,6 (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất thậm chí phần mười). Để lấy xấp xỉ thứ hai cho , chúng ta tính trung bình hai số 6 và 6,6 và nhận được 6,3. Bằng cách lặp lại quy trình, chúng tôi thu được một xấp xỉ thậm chí còn tốt hơn. Chia 40 cho 6,3, chúng tôi tìm thấy số 6,350 và xấp xỉ thứ ba hóa ra bằng (1/2) (6,3 + 6,350) = 6,325. Một lần lặp lại nữa mang lại 4066,325 = 6,3241106 và phép tính gần đúng thứ tư là (1/2)(6,325 + 6,3241106) = 6,3245553. Quá trình có thể tiếp tục vô thời hạn. Nói chung, mỗi xấp xỉ tiếp theo có thể chứa gấp đôi số chữ số so với trước đó. Vì vậy, trong ví dụ của chúng ta, vì xấp xỉ đầu tiên, số nguyên 6, chỉ chứa một chữ số, nên chúng ta có thể giữ hai chữ số trong xấp xỉ thứ hai, bốn chữ số ở chữ số thứ ba và tám chữ số ở chữ số thứ tư.

Nếu số N không nằm trong khoảng từ 1 đến 100, thì trước tiên bạn nên chia (hoặc nhân) N với một số sức mạnh của 100, nói, để k-yu sao cho tích nằm trong khoảng từ 1 đến 100. Khi đó căn bậc hai của tích sẽ nằm trong khoảng từ 1 đến 10, sau khi lấy ra ta nhân (hoặc chia) số kết quả cho 10 k, tìm căn bậc hai mong muốn. Ví dụ, nếu N= 400000, sau đó chúng tôi đầu tiên chúng tôi chia 400000 nhân 100 2 và chúng ta nhận được số 40, nằm trong phạm vi từ 1 đến 100. Như hình trên, nó xấp xỉ bằng 6,3245553. nhân lên số này nhân với 10 2 , chúng tôi nhận được 632.45553 dưới dạng gần đúng cho , và số 0.63245553 đóng vai trò gần đúng cho .

Thủ tục thứ hai được đề cập ở trên dựa trên đẳng thức đại số ( một + b) 2 = một 2 + (2một + b)b. Ở mỗi bước, phần đã thu được của căn bậc hai được lấy là một, và phần vẫn cần được xác định là b.

căn bậc ba.

Để trích căn bậc ba của một số thực dương, có các thuật toán tương tự như thuật toán trích căn bậc hai. Ví dụ, để tìm căn bậc ba của một số N, đầu tiên chúng ta tính gần đúng gốc bằng một số r một . Sau đó, chúng tôi xây dựng một xấp xỉ chính xác hơn r 2 = (1/3)(2r 1 + N/r 1 2), từ đó nhường chỗ cho một phép tính gần đúng thậm chí còn chính xác hơn r 3 = (1/3)(2r 2 + N/r 2 2), v.v. Thủ tục xây dựng các phép gần đúng ngày càng chính xác hơn của nghiệm có thể tiếp tục trong một thời gian dài tùy ý.

Ví dụ, hãy xem xét tính căn bậc ba của một số từ 1 đến 1000, chẳng hạn như số 200. Vì 53 = 125 và 63 = 216, nên chúng ta kết luận rằng 6 là số nguyên gần nhất với căn bậc ba của 200. Vì vậy, chúng tôi chọn r 1 = 6 rồi tính liên tiếp r 2 = 5,9, r 3 = 5,85, r 4 = 5,8480. Trong mỗi xấp xỉ, bắt đầu từ ký tự thứ ba, nó được phép giữ số lượng ký tự nhỏ hơn một lần so với số ký tự trong xấp xỉ trước đó. Nếu số mà bạn muốn lấy căn bậc ba không nằm trong khoảng từ 1 đến 1000, thì trước tiên nó phải được chia (hoặc nhân) cho một số, chẳng hạn như, k thứ, lũy thừa của 1000 và do đó đưa nó về dãy số mong muốn. Căn bậc ba của số mới tìm được nằm trong phạm vi từ 1 đến 10. Sau khi tính xong, nó phải được nhân (hoặc chia) cho 10 kđể lấy căn bậc ba của số ban đầu.

Thuật toán thứ hai phức tạp hơn để tìm căn bậc ba của một số thực dương dựa trên việc sử dụng đẳng thức đại số ( một + b) 3 = một 3 + (3một 2 + 3ab + b 2)b. Hiện tại, các thuật toán để trích xuất các căn bậc ba, cũng như các căn bậc cao hơn, không được nghiên cứu ở trường trung học, vì chúng dễ tìm hơn bằng phương pháp logarit hoặc đại số.

Thuật toán Euclid.

Thuật toán này đã được mô tả trong khởi đầu Euclid (khoảng 300 TCN). Nó tính ước số chung lớn nhất của hai số nguyên. Đối với trường hợp các số dương, nó được xây dựng như một quy tắc thủ tục: “Chia số lớn hơn trong hai số đã cho cho số bé hơn. Sau đó chia số bị chia cho số dư của phép chia và tiếp tục như vậy cho đến khi số chia cuối cùng chia hết cho số dư cuối cùng. Ước cuối cùng sẽ là ước chung lớn nhất của hai số đã cho.

Như một ví dụ số, hãy xem xét hai số nguyên 3132 và 7200. Thuật toán trong trường hợp này được rút gọn thành các hành động sau:

Ước số chung lớn nhất bằng ước số cuối cùng, 36. Giải thích rất đơn giản. Trong ví dụ của chúng tôi, chúng tôi thấy từ dòng cuối cùng rằng số 36 chia số 288. Từ dòng áp chót, số 36 chia 324. Vì vậy, di chuyển từ dòng này sang dòng khác, chúng tôi đảm bảo rằng số 36 chia 936 , 3132 và 7200 Bây giờ ta khẳng định rằng số 36 là ước chung của hai số 3132 và 7200. Cho g là ước chung lớn nhất của hai số 3132 và 7200. Vì g chia 3132 và 7200, nó xuất phát từ dòng đầu tiên g chia 936. Từ dòng thứ hai, chúng tôi kết luận rằng g chia hết cho 324. Vì vậy, đi xuống từ dòng này sang dòng khác, chúng ta tin chắc rằng g chia hết 288 và 36. Và vì 36 là ước chung của 3132 và 7200, và chia hết cho ước chung lớn nhất của chúng, nên ta kết luận rằng 36 là ước chung lớn nhất đó.

Kiểm tra, khám nghiệm.

Các phép tính số học đòi hỏi sự chú ý liên tục và do đó dễ mắc lỗi. Vì vậy, việc kiểm tra kết quả tính toán là rất quan trọng.

1. Có thể kiểm tra việc cộng một cột số bằng cách cộng các số trong cột trước từ trên xuống dưới rồi từ dưới lên trên. Biện minh cho phương pháp xác minh này là quy luật tổng quát về tính giao hoán và tính kết hợp của phép cộng.

2. Phép trừ được kiểm tra bằng cách thêm sự khác biệt với phép trừ - nó sẽ bị giảm. Biện minh cho phương pháp xác minh này là định nghĩa của hoạt động trừ.

3. Có thể kiểm tra phép nhân bằng cách sắp xếp lại số bị nhân và số bị nhân. Biện minh cho phương pháp xác minh này là quy luật giao hoán của phép nhân. Bạn có thể kiểm tra phép nhân bằng cách chia thừa số (hoặc bội số) thành hai số hạng, thực hiện hai phép tính nhân riêng biệt và cộng các tích kết quả - bạn sẽ nhận được tích ban đầu.

4. Để kiểm tra phép chia, bạn cần nhân thương với số chia và cộng phần dư vào tích. Nên chia hết. Cơ sở lý luận cho phương pháp xác minh này là định nghĩa của phép chia.

5. Kiểm tra tính chính xác của việc trích xuất một căn bậc hai (hoặc bậc ba) bao gồm bình phương số kết quả (hoặc khối lập phương) - số ban đầu cần lấy.

Một cách đặc biệt đơn giản và rất đáng tin cậy để kiểm tra phép cộng hoặc phép nhân của các số nguyên là kỹ thuật chuyển đổi sang cái gọi là. "so sánh modulo 9". Hãy gọi phần "thừa" là phần còn lại của phép chia cho 9 tổng các chữ số viết số đã cho. Sau đó, hai định lý có thể được phát biểu liên quan đến “thừa số”: “thừa của tổng các số nguyên bằng với thừa của tổng các thừa số hạng”, và “thừa của tích hai số nguyên bằng thừa của sản phẩm của sự thái quá của họ”. Sau đây là các ví dụ về kiểm tra dựa trên định lý này:

Phương pháp chuyển sang so sánh modulo 9 cũng có thể được sử dụng khi kiểm tra các thuật toán số học khác. Tất nhiên, việc kiểm tra như vậy không phải là không thể sai lầm, vì làm việc với "sự dư thừa" cũng dễ xảy ra lỗi, nhưng tình huống như vậy khó xảy ra.

Quan tâm.

Tỷ lệ phần trăm là một phân số có mẫu số là 100; Tỷ lệ phần trăm có thể được viết theo ba cách: dưới dạng phân số, dưới dạng số thập phân hoặc sử dụng ký hiệu đặc biệt cho tỷ lệ phần trăm. Ví dụ: 7 phần trăm có thể được viết là 7/100, 0,07 hoặc 7%.

Một ví dụ về loại vấn đề quan tâm phổ biến nhất là "Tìm 17% của 82". Để giải quyết vấn đề này, bạn cần tính tích 0,17ґ82 = 13,94. Trong các tác phẩm thuộc loại này, 0,17 được gọi là tỷ lệ, 82 là cơ sở và 13,94 là tỷ lệ được biểu thị bằng phần trăm. Ba đại lượng được đề cập được kết nối với nhau bởi mối quan hệ

Tỷ lệ ґ cơ sở = tỷ lệ phần trăm chia sẻ.

Nếu đã biết hai đại lượng bất kỳ, thì đại lượng thứ ba có thể được xác định từ mối quan hệ này. Theo đó, chúng tôi nhận được ba loại nhiệm vụ "vì lãi suất".

ví dụ 1. Số lượng học sinh theo học tại trường này đã tăng từ 351 lên 396. Con số này đã tăng bao nhiêu phần trăm?

Số tăng là 396 - 351 = 45 người. Viết phân số 45/351 dưới dạng phần trăm, ta được 45/351 = 0,128 = 12,8%.

ví dụ 2. Một quảng cáo trong cửa hàng trong thời gian giảm giá có nội dung "Giảm giá 25% cho tất cả các mặt hàng". Giá bán cho một mặt hàng thường được bán với giá $3,60 là bao nhiêu?

Giá giảm 25% ở mức 3,60 đô la có nghĩa là mức giảm 0,25 × 3,60 = 0,90 đô la; do đó, giá của mặt hàng trong đợt giảm giá sẽ là 3,60 USD - 0,90 USD = 2,70 USD.

ví dụ 3. Số tiền được gửi vào ngân hàng với lãi suất 5% mỗi năm, mang lại lợi nhuận 40 đô la mỗi năm. Bao nhiêu đã được đặt trong ngân hàng?

Vì 5% của số tiền là $40, tức là 5/100 số tiền = 40 đô la, hoặc 1/100 số tiền = 8 đô la, toàn bộ số tiền là 800 đô la.

Cấp số học của số gần đúng.

Nhiều con số được sử dụng trong tính toán phát sinh từ các phép đo hoặc ước tính và do đó chỉ có thể được coi là gần đúng. Rõ ràng, kết quả của phép tính thực hiện với số gần đúng chỉ có thể là số gần đúng. Ví dụ: giả sử rằng các phép đo bề mặt của quầy cho kết quả như sau (làm tròn đến hàng phần mười mét gần nhất): chiều rộng 1,2 m, chiều dài 3,1 m; người ta có thể nói rằng diện tích quầy là 1,2ґ3,1 \u003d 3,72 m 2. Tuy nhiên, trên thực tế, thông tin còn lâu mới chắc chắn như vậy. Vì giá trị 1,2 m chỉ cho biết số đo chiều rộng nằm trong khoảng từ 1,15 đến 1,25 m và giá trị 3,1 cho biết số đo chiều dài nằm trong khoảng từ 3,05 đến 3,15 m, nên về diện tích của quầy, chúng ta chỉ có thể nói rằng nó phải là lớn hơn 1,15x3,05 = 3,5075 nhưng nhỏ hơn 1,25x3,15 = 3,9375. Do đó, câu trả lời hợp lý duy nhất cho câu hỏi về diện tích quầy là nó xấp xỉ bằng 3,7 m 2 .

Tiếp theo chúng ta hãy xem xét bài toán cộng các kết quả của các phép đo gần đúng là 3,73 m, 52,1 m và 0,282 m. Tổng đơn giản là 56,112 m. Tuy nhiên, như trong bài toán trước, tất cả những gì có thể nói một cách chắc chắn là tổng thực phải lớn hơn 3,725 + 52,05 + 0,2815 = 56,0565 m và nhỏ hơn 3,735 + 52,15 + 0,2825 = 56,1765 m Vì vậy, câu trả lời hợp lý duy nhất cho câu hỏi là tổng xấp xỉ bằng 56,1 m.

Hai ví dụ trên minh họa một số quy tắc hữu ích khi xử lý các số gần đúng. Có nhiều cách khác nhau để làm tròn số. Một trong số đó là loại bỏ các chữ số có nghĩa nhỏ nhất của số. Trong trường hợp này, nếu chữ số bị loại bỏ đầu tiên lớn hơn năm, thì ký tự còn lại cuối cùng phải được tăng thêm một, nếu ít hơn, thì ký tự cuối cùng của phần còn lại không thay đổi.

Nếu chữ số đầu tiên bị loại bỏ chính xác là năm, thì chữ số cuối cùng được giữ lại sẽ tăng thêm một nếu là số lẻ và không thay đổi nếu là số chẵn. Ví dụ, khi làm tròn đến hàng trăm, các số 3.14159;17.7682; 28.999; 0,00234; 7,235 và 7,325 lần lượt vào các số 3,14; 17,77; 29,00; 0,00; 7,24 và 7,32.

Một cách làm tròn khác liên quan đến khái niệm số có nghĩa và được sử dụng trong ký hiệu máy của một số. Các chữ số có nghĩa của một số gần đúng là các chữ số trong ký hiệu thập phân của nó theo thứ tự từ trái sang phải, bắt đầu bằng chữ số khác 0 đầu tiên và kết thúc bằng chữ số đứng ở vị trí của dấu thập phân tương ứng với lỗi. Ví dụ, các số có nghĩa của số gần đúng 12.1 là các số 1, 2, 1; số gần đúng 0,072 - số 7, 2; số gần đúng 82000, viết tắt đến hàng trăm, - 8, 2, 0.

Bây giờ chúng ta xây dựng hai quy tắc để xử lý các số gần đúng được đề cập ở trên.

Khi cộng và trừ các số gần đúng, mỗi số phải được làm tròn đến dấu theo sau dấu cuối cùng của số chính xác nhỏ nhất, đồng thời tổng và hiệu kết quả phải được làm tròn đến cùng một số chữ số như số chính xác nhỏ nhất. Khi nhân và chia các số gần đúng, mỗi số phải được làm tròn đến dấu tiếp theo sau chữ số có nghĩa cuối cùng của số có nghĩa nhỏ nhất, đồng thời tích và thương phải được làm tròn với độ chính xác tương tự như số chính xác nhỏ nhất đã biết.

Quay trở lại các vấn đề được xem xét trước đó, chúng tôi nhận được:

1.2ґ3.1 \u003d 3,72 m 2 "3,7 m 2

3,73 + 52,1 + 0,28 \u003d 56,11 m 2 "56,1 m,

trong đó dấu " có nghĩa là "xấp xỉ bằng".

Một số sách giáo khoa số học cung cấp các thuật toán để làm việc với các số gần đúng, cho phép bạn tránh các dấu hiệu không cần thiết khi tính toán. Ngoài ra, họ sử dụng cái gọi là. viết số gần đúng, i.e. bất kỳ số nào được biểu diễn dưới dạng (một số từ 1 đến 10) ґ (lũy thừa 10), trong đó thừa số đầu tiên chỉ chứa các chữ số có nghĩa của số đó. Ví dụ: 82.000 km được làm tròn đến hàng trăm km gần nhất sẽ được viết là 8,20x104 km và 0,00702 cm là 7,02x10-3 cm.

Các số trong bảng toán học, lượng giác hay logarit đều là số gần đúng, được viết bằng một số chữ số nhất định. Khi làm việc với các bảng như vậy, bạn nên tuân theo các quy tắc tính toán với các số gần đúng.

logarit.

Đến đầu thế kỷ 17. sự phức tạp của các vấn đề tính toán ứng dụng đã tăng lên rất nhiều đến mức không thể giải quyết chúng một cách "thủ công" do tốn quá nhiều công sức và thời gian. May mắn thay, được phát minh bởi J. Napier vào đầu thế kỷ 17. logarit được phép đối phó với vấn đề phát sinh. Vì lý thuyết và ứng dụng của logarit được trình bày chi tiết trong một bài báo đặc biệt LOGARIFM, nên chúng tôi sẽ chỉ giới hạn ở những thông tin cần thiết nhất.

Có thể chỉ ra rằng nếu N là số thực dương thì tồn tại duy nhất một số thực dương x, sao cho 10 x = N. Con số xđược gọi là (thường xuyên hoặc thập phân) logarit con số N; thông thường nó được viết như thế này: x= nhật ký N. Do đó, logarit là một số mũ, và từ quy luật tác dụng với số mũ, suy ra rằng

Chính những tính chất này của logarit giải thích việc chúng được sử dụng rộng rãi trong số học. Thuộc tính thứ nhất và thứ hai cho phép bạn rút gọn mọi bài toán nhân và chia thành một bài toán cộng và trừ đơn giản hơn. Tính chất thứ ba và thứ tư giúp có thể rút gọn phép toán lũy thừa và khai căn thành một phép toán đơn giản hơn nhiều: phép nhân và phép chia.

Để thuận tiện cho việc sử dụng logarit, các bảng của chúng đã được biên soạn. Để lập một bảng logarit thập phân, chỉ cần bao gồm logarit của các số từ 1 đến 10. Ví dụ: vì 247.6 \u003d 10 2 ґ2.476, chúng ta có: log247.6 \u003d log10 2 + log2.476 \u003d 2 + log2,476 và vì 0,02476 = 10 -2 × 2,476, nên log0,02476 = log10 -2 + log2,476 = -2 + log2,476. Lưu ý rằng logarit thập phân của một số từ 1 đến 10 nằm trong khoảng từ 0 đến 1 và có thể được viết dưới dạng số thập phân. Theo đó logarit thập phân của bất kỳ số nào là tổng của một số nguyên, được gọi là đặc số của logarit và một phần thập phân, được gọi là phần định trị của logarit. Đặc điểm của logarit của bất kỳ số nào có thể được tìm thấy "trong tâm trí"; phần định trị nên được tìm thấy từ các bảng logarit. Ví dụ: từ các bảng, chúng tôi thấy rằng log2,476 = 0,39375, do đó log247,63 = 2,39375. Nếu đặc trưng của logarit là âm (khi số nhỏ hơn một), thì sẽ thuận tiện khi biểu diễn nó dưới dạng hiệu của hai số nguyên dương, ví dụ: log0,02476 = -2 + 0,39375 = 8,39375 - 10. ví dụ sau giải thích thủ thuật này.

Văn:

Lịch sử toán học từ thời cổ đại đến đầu thế kỷ 19.,tt. 1–3. M., 1970–1972.
Serre J.-P. khóa học số học. M., 1972
Nechaev V.I. hệ thống số. M., 1975
Daan-Dalmedico A., Peiffer J . Con đường và mê cung. Tiểu luận về lịch sử toán học. M., 1986
Engler E. Toán học tiểu học. M., 1987



Trung bình cộng - một chỉ số thống kê cho thấy giá trị trung bình của một mảng dữ liệu nhất định. Một chỉ số như vậy được tính dưới dạng một phân số, tử số là tổng của tất cả các giá trị mảng và mẫu số là số của chúng. Giá trị trung bình số học là một hệ số quan trọng được sử dụng trong tính toán hộ gia đình.

Ý nghĩa của hệ số

Giá trị trung bình số học là một chỉ số cơ bản để so sánh dữ liệu và tính toán giá trị chấp nhận được. Ví dụ, một lon bia của một nhà sản xuất cụ thể được bán ở các cửa hàng khác nhau. Nhưng ở một cửa hàng, nó có giá 67 rúp, ở cửa hàng khác - 70 rúp, ở cửa hàng thứ ba - 65 rúp và ở cửa hàng cuối cùng - 62 rúp. Có nhiều mức giá khác nhau nên người mua sẽ quan tâm đến giá trung bình của một lon để khi mua sản phẩm có thể so sánh chi phí của mình. Trung bình một lon bia trong thành phố có giá:

Giá trung bình = (67 + 70 + 65 + 62) / 4 = 66 rúp.

Biết được giá trung bình, thật dễ dàng để xác định nơi nào có lãi để mua hàng hóa và nơi bạn sẽ phải trả quá nhiều.

Giá trị trung bình số học liên tục được sử dụng trong tính toán thống kê trong trường hợp phân tích tập dữ liệu đồng nhất. Trong ví dụ trên, đây là giá của một lon bia cùng nhãn hiệu. Tuy nhiên, chúng ta không thể so sánh giá bia từ các nhà sản xuất khác nhau hoặc giá bia và nước chanh, vì trong trường hợp này, mức chênh lệch giá trị sẽ lớn hơn, giá trung bình sẽ bị mờ và không đáng tin cậy, và ý nghĩa của các phép tính sẽ bị bóp méo thành bức tranh biếm họa "nhiệt độ trung bình trong bệnh viện." Để tính toán các mảng dữ liệu không đồng nhất, trung bình trọng số số học được sử dụng, khi mỗi giá trị nhận được hệ số trọng số riêng.

Tính trung bình cộng

Công thức tính toán vô cùng đơn giản:

P = (a1 + a2 + … an) / n,

trong đó an là giá trị của đại lượng, n là tổng số các giá trị.

Chỉ số này có thể được sử dụng để làm gì? Việc sử dụng đầu tiên và rõ ràng của nó là trong thống kê. Hầu như mọi nghiên cứu thống kê đều sử dụng giá trị trung bình số học. Đây có thể là độ tuổi kết hôn trung bình ở Nga, điểm trung bình trong một môn học của học sinh hoặc chi tiêu trung bình cho cửa hàng tạp hóa mỗi ngày. Như đã đề cập ở trên, nếu không tính đến trọng số, việc tính toán giá trị trung bình có thể đưa ra các giá trị kỳ lạ hoặc vô lý.

Ví dụ, Tổng thống Liên bang Nga đã đưa ra tuyên bố rằng theo thống kê, mức lương trung bình của một người Nga là 27.000 rúp. Đối với hầu hết mọi người ở Nga, mức lương này có vẻ vô lý. Không có gì đáng ngạc nhiên nếu phép tính một mặt tính đến thu nhập của các nhà tài phiệt, người đứng đầu các doanh nghiệp công nghiệp, chủ ngân hàng lớn và mặt khác là lương của giáo viên, người dọn dẹp và người bán hàng. Ngay cả mức lương trung bình trong một chuyên ngành, chẳng hạn như kế toán, sẽ có sự khác biệt nghiêm trọng ở Moscow, Kostroma và Yekaterinburg.

Cách tính trung bình cho dữ liệu không đồng nhất

Trong các tình huống trả lương, điều quan trọng là phải xem xét trọng số của từng giá trị. Điều này có nghĩa là tiền lương của các nhà tài phiệt và nhân viên ngân hàng sẽ có trọng số, chẳng hạn như 0,00001, và tiền lương của nhân viên bán hàng sẽ là 0,12. Đây là những con số từ trần nhà, nhưng chúng đại khái minh họa sự phổ biến của các nhà tài phiệt và những người bán hàng trong xã hội Nga.

Như vậy, để tính trung bình cộng của các số trung bình hoặc giá trị trung bình cộng trong mảng dữ liệu không đồng nhất, bắt buộc phải sử dụng trung bình cộng gia quyền. Nếu không, bạn sẽ nhận được mức lương trung bình ở Nga là 27.000 rúp. Nếu bạn muốn biết điểm trung bình môn toán của mình hoặc số bàn thắng trung bình mà một vận động viên khúc côn cầu đã chọn ghi được, thì máy tính trung bình cộng sẽ phù hợp với bạn.

Chương trình của chúng tôi là một máy tính đơn giản và thuận tiện để tính trung bình cộng. Bạn chỉ cần nhập giá trị tham số để thực hiện phép tính.

Hãy xem xét một vài ví dụ

Cách tính điểm trung bình

Nhiều giáo viên sử dụng phương pháp trung bình cộng để xác định điểm hàng năm trong một môn học. Hãy tưởng tượng rằng một đứa trẻ đạt được điểm quý sau đây trong môn toán: 3, 3, 5, 4. Giáo viên sẽ cho điểm hàng năm của em là bao nhiêu? Hãy sử dụng máy tính bỏ túi và tính trung bình cộng. Đầu tiên, chọn số trường thích hợp và nhập giá trị điểm vào các ô xuất hiện:

(3 + 3 + 5 + 4) / 4 = 3,75

Giáo viên sẽ làm tròn giá trị có lợi cho học sinh và học sinh sẽ nhận được điểm bốn chắc chắn trong năm.

Tính toán đồ ngọt đã ăn

Hãy minh họa một số điều phi lý của trung bình cộng. Hãy tưởng tượng rằng Masha và Vova có 10 viên kẹo. Masha đã ăn 8 viên kẹo và Vova chỉ có 2. Trung bình mỗi đứa trẻ ăn bao nhiêu viên kẹo? Sử dụng máy tính, có thể dễ dàng tính được rằng trung bình mỗi trẻ ăn 5 viên kẹo, điều này hoàn toàn sai sự thật và theo lẽ thường. Ví dụ này cho thấy rằng giá trị trung bình số học rất quan trọng đối với các bộ dữ liệu có ý nghĩa.

Phần kết luận

Việc tính trung bình cộng được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khoa học. Chỉ số này không chỉ phổ biến trong tính toán thống kê mà còn trong vật lý, cơ học, kinh tế, y học hay tài chính. Sử dụng máy tính của chúng tôi như một trợ lý để giải các bài toán trung bình số học.