Chia ra

D trong cấp số cộng. Tổng của một cấp số cộng

Trước khi chúng ta bắt đầu quyết định các bài toán cấp số cộng, xét xem dãy số là gì, vì cấp số cộng là trường hợp đặc biệt của dãy số.

Dãy số là một tập hợp số mà mỗi phần tử của dãy số đó có một số thứ tự riêng. Các phần tử của tập hợp này được gọi là phần tử của dãy. Số thứ tự của phần tử dãy được biểu thị bằng chỉ số:

Phần tử đầu tiên của dãy;

Phần tử thứ năm của dãy;

- Phần tử "thứ n" của dãy, tức là phần tử "đứng trong hàng đợi" ở số thứ n.

Có sự phụ thuộc giữa giá trị của một phần tử dãy và số thứ tự của nó. Do đó, ta có thể coi dãy là một hàm mà đối số của nó là số thứ tự của một phần tử của dãy. Nói cách khác, người ta có thể nói rằng trình tự là một chức năng của đối số tự nhiên:

Trình tự có thể được chỉ định theo ba cách:

1 . Trình tự có thể được chỉ định bằng cách sử dụng một bảng. Trong trường hợp này, chúng tôi chỉ cần đặt giá trị của từng phần tử của chuỗi.

Ví dụ: Ai đó đã quyết định quản lý thời gian cá nhân và bắt đầu tính toán lượng thời gian anh ta dành cho VKontakte trong tuần. Bằng cách viết thời gian vào một bảng, anh ta sẽ nhận được một chuỗi gồm bảy phần tử:

Dòng đầu tiên của bảng chứa số ngày trong tuần, dòng thứ hai - thời gian tính bằng phút. Chúng tôi thấy rằng, tức là, vào Thứ Hai, Ai đó đã dành 125 phút trên VKontakte, tức là vào Thứ Năm - 248 phút, và tức là vào Thứ Sáu, chỉ 15 phút.

2 . Trình tự có thể được chỉ định bằng cách sử dụng công thức phần tử thứ n.

Trong trường hợp này, sự phụ thuộc của giá trị của một phần tử dãy vào số của nó được biểu thị trực tiếp dưới dạng công thức.

Ví dụ, nếu , thì

Để tìm giá trị của một phần tử dãy với một số cho trước, ta thay số phần tử đó vào công thức của phần tử thứ n.

Ta cũng làm tương tự nếu cần tìm giá trị của một hàm nếu biết giá trị của đối số. Thay vào đó, chúng tôi thay thế giá trị của đối số trong phương trình của hàm:

Nếu, ví dụ, , sau đó

Một lần nữa, tôi lưu ý rằng trong một dãy, trái ngược với một hàm số tùy ý, chỉ một số tự nhiên mới có thể là đối số.

3 . Trình tự có thể được chỉ định bằng cách sử dụng một công thức biểu thị sự phụ thuộc của giá trị của phần tử của chuỗi với số n vào giá trị của các phần tử trước đó. Trong trường hợp này, chỉ biết số phần tử của dãy để tìm giá trị của nó là chưa đủ. Chúng ta cần chỉ định thành viên đầu tiên hoặc một vài thành viên đầu tiên của chuỗi.

Ví dụ, xét trình tự ,

Chúng ta có thể tìm thấy các giá trị của các thành viên của một chuỗi theo thứ tự, bắt đầu từ thứ ba:

Nghĩa là mỗi lần tìm giá trị của phần tử thứ n của dãy ta lại quay về hai phần tử trước đó. Cách sắp xếp này được gọi là tái phát, từ tiếng Latinh lặp đi lặp lại- sự trở lại.

Bây giờ chúng ta có thể định nghĩa một cấp số cộng. Cấp số cộng là một trường hợp đặc biệt đơn giản của một dãy số.

Cấp số cộng được gọi là một dãy số, mỗi phần tử của nó, bắt đầu từ phần thứ hai, bằng phần tử trước đó, được thêm cùng một số.

Con số được gọi là sự khác biệt của một cấp số cộng. Hiệu của một cấp số cộng có thể dương, âm hoặc bằng không.

Nếu title="(!LANG:d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} tăng dần.

Ví dụ: 2; năm; tám; mười một;...

Nếu , thì mỗi số hạng của cấp số cộng nhỏ hơn số liền trước và cấp số đó là suy tàn.

Ví dụ: 2; -một; -4; -7;...

Nếu , thì tất cả các phần tử của cấp số bằng cùng một số và cấp số là đứng im.

Ví dụ: 2;2;2;2;...

Tính chất chính của một cấp số cộng:

Hãy nhìn vào hình ảnh.

Chúng ta thấy rằng

, và cùng một lúc

Cộng hai đẳng thức này, ta được:

Chia cả hai vế của phương trình cho 2:

Vì vậy, mỗi phần tử của cấp số cộng, bắt đầu từ phần thứ hai, bằng trung bình cộng của hai phần tử lân cận:

Hơn nữa, kể từ khi

, và cùng một lúc

, sau đó

, và do đó

Mỗi phần tử của cấp số cộng bắt đầu bằng title="(!LANG:k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

công thức thành viên.

Ta thấy rằng đối với các phần tử của cấp số cộng có các quan hệ sau:

và cuối cùng

Chúng tôi có công thức của số hạng thứ n.

QUAN TRỌNG! Bất kỳ phần tử nào của một cấp số cộng có thể được biểu diễn dưới dạng và . Biết số hạng đầu tiên và công sai của một cấp số cộng, bạn có thể tìm được bất kỳ phần tử nào của nó.

Tổng n phần tử của một cấp số cộng.

Trong một cấp số cộng tùy ý, tổng các số hạng cách đều các số hạng cực trị thì bằng nhau:

Xét một cấp số cộng có n phần tử. Đặt tổng n phần tử của cấp số này bằng .

Sắp xếp các số hạng của cấp số trước theo thứ tự tăng dần của các số, sau đó theo thứ tự giảm dần:

Hãy ghép nối nó lên:

Tổng trong mỗi ngoặc đơn là , số cặp là n.

Chúng tôi nhận được:

Cho nên, tổng của n phần tử của một cấp số cộng có thể được tìm thấy bằng cách sử dụng các công thức:

Xem xét giải bài toán cấp số cộng.

1 . Trình tự được đưa ra bởi công thức của thành viên thứ n: . Chứng minh rằng dãy số này là một cấp số cộng.

Hãy để chúng tôi chứng minh rằng sự khác biệt giữa hai phần tử liền kề của chuỗi bằng cùng một số.

Ta nhận thấy rằng hiệu của hai phần tử kề nhau của dãy không phụ thuộc vào số lượng của chúng và là một hằng số. Do đó, theo định nghĩa, dãy này là một cấp số cộng.

2 . Cho một cấp số cộng -31; -27;...

a) Tìm 31 số hạng của cấp số nhân.

b) Xác định xem số 41 có thuộc dãy số này không.

một) Chúng ta thấy rằng ;

Hãy viết công thức của số hạng thứ n cho cấp số của chúng ta.

Nói chung

Trong trường hợp của chúng ta , đó là lý do tại sao

Cấp số cộng và hình học

Thông tin lý thuyết

Thông tin lý thuyết

	Cấp số cộng	Cấp số nhân
Sự định nghĩa	Cấp số cộng một một chuỗi được gọi, mỗi phần tử trong đó, bắt đầu từ phần thứ hai, bằng phần tử trước đó, được thêm cùng một số đ (đ- chênh lệch lũy tiến)	cấp số nhân b n một dãy các số khác 0 được gọi, mỗi số hạng của nó, bắt đầu từ số thứ hai, bằng số hạng trước đó nhân với cùng một số q (q- mẫu số của sự tiến triển)
công thức truy hồi	Đối với bất kỳ tự nhiên N một n + 1 = một n + d	Đối với bất kỳ tự nhiên N b n + 1 = b n ∙ q, b n ≠ 0
công thức số hạng thứ n	a n = a 1 + d (n - 1)	b n \u003d b 1 ∙ q n - 1, b n ≠ 0
tài sản đặc trưng
Tổng của n số hạng đầu tiên

Ví dụ về các nhiệm vụ có nhận xét

bài tập 1

Trong cấp số cộng ( một) một 1 = -6, một 2

Theo công thức của số hạng thứ n:

một 22 = một 1+ d (22 - 1) = một 1+ 21d

Theo điều kiện:

một 1= -6, vậy một 22= -6 + 21d.

Cần phải tìm sự khác biệt của các tiến trình:

d= một 2 – một 1 = -8 – (-6) = -2

một 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

Câu trả lời : một 22 = -48.

Nhiệm vụ 2

Tìm số hạng thứ năm của cấp số nhân: -3; 6;....

Cách 1 (dùng công thức n số hạng)

Theo công thức của phần tử thứ n của một cấp số nhân:

b 5 \u003d b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.

Bởi vì b 1 = -3,

Cách 2 (dùng công thức đệ quy)

Vì mẫu số của cấp số là -2 (q = -2) nên:

b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

B 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

Câu trả lời : b 5 = -48.

Nhiệm vụ 3

Trong cấp số cộng ( một n) một 74 = 34; một 76= 156. Tìm số hạng thứ bảy mươi lăm của cấp số này.

Đối với một cấp số cộng, tính chất đặc trưng có dạng .

Vì vậy:

Thay dữ liệu vào công thức:

Đáp án: 95.

nhiệm vụ 4

Trong cấp số cộng ( một n ) một n= 3n - 4. Tìm tổng của mười bảy số hạng đầu tiên.

Để tìm tổng của n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng, người ta sử dụng hai công thức:

Cái nào trong số chúng thuận tiện hơn để áp dụng trong trường hợp này?

Theo điều kiện, công thức của phần tử thứ n của cấp số ban đầu đã được biết ( một) một= 3n - 4. Tìm được ngay và một 1, và một 16 mà không tìm thấy d . Do đó, chúng tôi sử dụng công thức đầu tiên.

Đáp số: 368.

nhiệm vụ 5

Trong cấp số cộng một) một 1 = -6; một 2= -8. Tìm số hạng thứ hai mươi hai của cấp số.

Theo công thức của số hạng thứ n:

một 22 = một 1 + d (22 – 1) = một 1+ 21ngày.

Theo điều kiện, nếu một 1= -6 thì một 22= -6 + 21d. Cần phải tìm sự khác biệt của các tiến trình:

d= một 2 – một 1 = -8 – (-6) = -2

một 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

Câu trả lời : một 22 = -48.

nhiệm vụ 6

Một số thuật ngữ liên tiếp của một cấp số nhân được ghi lại:

Tìm số hạng của cấp số, kí hiệu là chữ x .

Khi giải ta dùng công thức của số hạng thứ n b n \u003d b 1 ∙ q n - 1đối với cấp số nhân hình học. Thành viên đầu tiên của sự tiến bộ. Để tìm mẫu số của cấp số q, bạn cần lấy bất kỳ số hạng nào của cấp số này và chia cho số hạng trước đó. Trong ví dụ của chúng tôi, bạn có thể lấy và chia cho. Chúng tôi nhận được rằng q \u003d 3. Thay vì n, chúng tôi thay thế 3 trong công thức, vì cần phải tìm số hạng thứ ba của một cấp số nhân đã cho.

Thay thế các giá trị được tìm thấy trong công thức, chúng tôi nhận được:

Câu trả lời : .

nhiệm vụ 7

Từ các cấp số cộng được cho bởi công thức của số hạng thứ n, hãy chọn một cấp số thỏa mãn điều kiện một 27 > 9:

Vì điều kiện đã chỉ định phải được thỏa mãn đối với số hạng thứ 27 của cấp số nhân, nên chúng tôi thay thế 27 thay vì n trong mỗi cấp số trong số bốn cấp số nhân. Trong tiến trình thứ 4, chúng tôi nhận được:

Trả lời: 4.

nhiệm vụ 8

Trong cấp số cộng một 1= 3, d = -1,5. Chỉ định giá trị lớn nhất của n mà bất đẳng thức thỏa mãn một > -6.

Cấp số cộngđặt tên cho một dãy số (thành viên của một cấp số)

Trong đó mỗi số hạng tiếp theo khác với số hạng trước bởi một số hạng thép, còn được gọi là bước hoặc sự khác biệt tiến trình.

Do đó, bằng cách đặt bước của cấp số và số hạng đầu tiên của nó, bạn có thể tìm thấy bất kỳ phần tử nào của nó bằng công thức

Tính chất của một cấp số cộng

1) Mỗi phần tử của cấp số cộng, bắt đầu từ số thứ hai, là trung bình cộng của phần tử liền trước và tiếp theo của cấp số

Các ngược lại cũng đúng. Nếu trung bình cộng của các phần tử lẻ (chẵn) lân cận của cấp số cộng bằng với phần tử đứng giữa chúng thì dãy số này là một cấp số cộng. Bằng khẳng định này, rất dễ kiểm tra bất kỳ dãy nào.

Cũng theo tính chất của cấp số cộng, công thức trên có thể tổng quát thành công thức sau

Điều này dễ kiểm chứng nếu chúng ta viết các số hạng ở bên phải dấu bằng

Nó thường được sử dụng trong thực tế để đơn giản hóa các phép tính trong các bài toán.

2) Tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng được tính theo công thức

Nhớ kỹ công thức tính tổng của một cấp số cộng, nó không thể thiếu trong các phép tính và khá phổ biến trong các tình huống đơn giản trong cuộc sống.

3) Nếu bạn cần tìm không phải toàn bộ tổng mà là một phần của chuỗi bắt đầu từ phần tử thứ k của nó, thì công thức tính tổng sau đây sẽ hữu ích cho bạn

4) Việc tìm tổng n phần tử của một cấp số cộng bắt đầu từ số thứ k là một điều đáng quan tâm. Để làm điều này, sử dụng công thức

Đây là nơi tài liệu lý thuyết kết thúc và chúng ta chuyển sang giải quyết các vấn đề phổ biến trong thực tế.

Ví dụ 1. Tìm số hạng thứ bốn mươi của cấp số cộng 4;7;...

Phán quyết:

Theo điều kiện ta có

Xác định bước tiến

Theo công thức nổi tiếng, chúng tôi tìm thấy thuật ngữ thứ bốn mươi của sự tiến bộ

Ví dụ2. Cấp số cộng được đưa ra bởi các thành viên thứ ba và thứ bảy của nó. Tìm số hạng đầu tiên của cấp số và tổng của mười.

Phán quyết:

Chúng tôi viết các phần tử đã cho của tiến trình theo các công thức

Chúng tôi trừ phương trình đầu tiên khỏi phương trình thứ hai, kết quả là chúng tôi tìm thấy bước tiến triển

Giá trị tìm được được thế vào bất kỳ phương trình nào để tìm số hạng đầu tiên của cấp số cộng

Tính tổng của mười số hạng đầu của cấp số

Không áp dụng các phép tính phức tạp, chúng tôi đã tìm thấy tất cả các giá trị cần thiết.

Ví dụ 3. Một cấp số cộng có mẫu số và một thành phần của nó. Tìm số hạng đầu tiên của cấp số cộng, tổng của 50 số hạng bắt đầu từ 50 và tổng của 100 số đầu tiên.

Phán quyết:

Hãy viết công thức tính phần trăm của cấp số

và tìm cái đầu tiên

Dựa vào số hạng đầu tiên, ta tìm được số hạng thứ 50 của cấp số

Tìm tổng của một phần của tiến trình

và tổng của 100 đầu tiên

Tổng của cấp số là 250.

Ví dụ 4

Tìm số phần tử của một cấp số cộng nếu:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

Phán quyết:

Chúng tôi viết các phương trình theo thuật ngữ đầu tiên và bước của tiến trình và xác định chúng

Ta thay các giá trị thu được vào công thức tính tổng để xác định số phần tử của tổng

Đơn giản hóa

và giải phương trình bậc hai

Trong hai giá trị tìm được chỉ có số 8 là phù hợp với điều kiện của bài toán. Vậy tổng của 8 số hạng đầu tiên của cấp số là 111.

Ví dụ 5

giải phương trình

1+3+5+...+x=307.

Lời giải: Phương trình này là tổng của một cấp số cộng. Ta viết ra số hạng đầu tiên của nó và tìm hiệu của cấp số

cấp độ đầu tiên

Cấp số cộng. Lý thuyết chi tiết kèm ví dụ (2019)

dãy số

Vì vậy, hãy ngồi xuống và bắt đầu viết một số con số. Ví dụ:
Bạn có thể viết bất kỳ số nào và có thể có bao nhiêu tùy thích (trong trường hợp của chúng tôi là chúng). Cho dù chúng ta viết bao nhiêu số, chúng ta luôn có thể nói số nào là số đầu tiên, số nào là số thứ hai, v.v. cho đến số cuối cùng, nghĩa là chúng ta có thể đánh số chúng. Đây là một ví dụ về dãy số:

dãy số
Ví dụ: đối với trình tự của chúng tôi:

Số được gán chỉ dành riêng cho một số thứ tự. Nói cách khác, không có ba số thứ hai trong dãy số. Số thứ hai (như số -th) luôn giống nhau.
Số có số được gọi là thành viên thứ của dãy.

Chúng tôi thường gọi toàn bộ chuỗi là một số chữ cái (ví dụ:) và mỗi phần tử của chuỗi này - cùng một chữ cái có chỉ số bằng số của phần tử này: .

Trong trường hợp của chúng ta:

Giả sử chúng ta có một dãy số trong đó hiệu giữa các số liền kề là giống nhau và bằng nhau.
Ví dụ:

vân vân.
Dãy số như vậy được gọi là một cấp số cộng.
Thuật ngữ "tiến trình" được tác giả La Mã Boethius giới thiệu vào đầu thế kỷ thứ 6 và được hiểu theo nghĩa rộng hơn là một dãy số vô tận. Cái tên "số học" được chuyển từ lý thuyết về tỷ lệ liên tục mà người Hy Lạp cổ đại đã tham gia.

Đây là một dãy số, mỗi thành viên trong số đó bằng với số trước đó, được thêm cùng một số. Số này được gọi là hiệu của một cấp số cộng và được kí hiệu.

Cố gắng xác định dãy số nào là một cấp số cộng và dãy số nào không:

một)
b)
c)
d)

Hiểu rồi? So sánh câu trả lời của chúng tôi:
Là một cấp số cộng - b, c.
Không phải cấp số cộng - a, d.

Hãy quay lại cấp số () đã cho và cố gắng tìm giá trị của phần tử thứ của nó. Hiện hữu hai cách để tìm thấy nó.

1. Phương pháp

Chúng ta có thể thêm vào giá trị trước đó của cấp số cho đến khi đạt đến số hạng thứ của cấp số. Thật tốt khi chúng tôi không có nhiều điều để tóm tắt - chỉ có ba giá trị:

Vì vậy, thành viên thứ của cấp số cộng được mô tả bằng.

2 cách

Nếu chúng ta cần tìm giá trị của số hạng thứ của cấp số thì sao? Việc tổng kết sẽ khiến chúng tôi mất hơn một giờ và thực tế là chúng tôi sẽ không mắc lỗi khi cộng các con số.
Tất nhiên, các nhà toán học đã nghĩ ra một cách mà bạn không cần phải cộng hiệu của một cấp số cộng với giá trị trước đó. Hãy nhìn kỹ vào bức tranh đã vẽ ... Chắc chắn bạn đã nhận thấy một khuôn mẫu nào đó, cụ thể là:

Ví dụ: hãy xem điều gì tạo nên giá trị của phần tử -th của cấp số cộng này:

Nói cách khác:

Cố gắng tìm một cách độc lập theo cách này giá trị của một phần tử của cấp số cộng này.

Tính toán? So sánh các mục của bạn với câu trả lời:

Hãy chú ý rằng bạn đã nhận được chính xác số giống như trong phương pháp trước đó, khi chúng tôi lần lượt thêm các phần tử của một cấp số cộng vào giá trị trước đó.
Hãy thử "cá nhân hóa" công thức này - chúng tôi đưa nó về dạng chung và nhận được:

Phương trình cấp số cộng.

Cấp số cộng là tăng hoặc giảm.

Tăng dần- lũy tiến trong đó mỗi giá trị tiếp theo của các điều khoản lớn hơn giá trị trước đó.
Ví dụ:

giảm dần- lũy tiến trong đó mỗi giá trị tiếp theo của các điều khoản nhỏ hơn giá trị trước đó.
Ví dụ:

Công thức dẫn xuất được dùng để tính các số hạng theo cả hai số hạng tăng và giảm của một cấp số cộng.
Hãy kiểm tra nó trong thực tế.
Ta được cấp một cấp số cộng gồm các số sau:

Kể từ đó:

Vì vậy, chúng tôi đã bị thuyết phục rằng công thức hoạt động cả trong việc giảm và tăng cấp số cộng.
Cố gắng tự mình tìm các phần tử -th và -th của cấp số cộng này.

Hãy so sánh kết quả:

Tính chất cấp số cộng

Hãy làm phức tạp nhiệm vụ - chúng ta rút ra được tính chất của một cấp số cộng.
Giả sử chúng ta được đưa ra điều kiện sau:
- cấp số cộng, tìm giá trị.
Thật dễ dàng, bạn nói, và bắt đầu đếm theo công thức mà bạn đã biết:

Cho, a, thì:

Hoàn toàn đúng. Nó chỉ ra rằng trước tiên chúng tôi tìm thấy, sau đó thêm nó vào số đầu tiên và nhận được thứ chúng tôi đang tìm kiếm. Nếu cấp số được biểu thị bằng các giá trị nhỏ, thì không có gì phức tạp về nó, nhưng nếu chúng ta được cung cấp các số trong điều kiện thì sao? Đồng ý, có khả năng mắc lỗi trong tính toán.
Bây giờ hãy nghĩ xem, có thể giải quyết vấn đề này trong một bước bằng bất kỳ công thức nào không? Tất nhiên là có, và chúng tôi sẽ cố gắng đưa nó ra ngay bây giờ.

Hãy ký hiệu số hạng mong muốn của cấp số cộng là, chúng ta biết công thức để tìm nó - đây cũng chính là công thức mà chúng ta đã rút ra lúc đầu:
, sau đó:

thành viên trước đó của tiến trình là:
số hạng tiếp theo của cấp số là:

Hãy tổng hợp các thành viên trước đó và tiếp theo của sự tiến triển:

Hóa ra tổng của các phần tử trước và sau của cấp số gấp đôi giá trị của phần tử của cấp số nằm giữa chúng. Nói cách khác, để tìm giá trị của một thành phần lũy tiến với các giá trị trước đó và kế tiếp đã biết, cần phải cộng chúng lại và chia cho.

Đúng vậy, chúng ta có cùng số. Hãy sửa chữa vật liệu. Hãy tự tính giá trị của lũy tiến, vì nó không khó chút nào.

Làm tốt! Bạn biết hầu hết mọi thứ về sự tiến bộ! Chỉ còn cách tìm ra một công thức mà theo truyền thuyết, một trong những nhà toán học vĩ đại nhất mọi thời đại, "vua của các nhà toán học" - Karl Gauss, đã dễ dàng suy ra cho chính mình ...

Khi Carl Gauss 9 tuổi, một giáo viên bận rộn kiểm tra bài làm của học sinh các lớp khác, đã yêu cầu bài học như sau: “Tính tổng của tất cả các số tự nhiên từ cho đến (theo các nguồn khác cho đến) bao gồm. " Điều ngạc nhiên của giáo viên là gì khi một trong những học sinh của mình (đó là Karl Gauss) sau một phút đã đưa ra câu trả lời đúng cho nhiệm vụ, trong khi hầu hết các bạn cùng lớp của kẻ liều lĩnh sau một thời gian dài tính toán đều nhận được kết quả sai ...

Carl Gauss trẻ nhận thấy một mô hình mà bạn có thể dễ dàng nhận thấy.
Giả sử chúng ta có một cấp số cộng bao gồm các phần tử -ti: Chúng ta cần tìm tổng các phần tử đã cho của cấp số cộng. Tất nhiên, chúng ta có thể tính tổng tất cả các giá trị theo cách thủ công, nhưng nếu chúng ta cần tìm tổng các số hạng của nó trong nhiệm vụ, như Gauss đang tìm kiếm thì sao?

Hãy mô tả sự tiến triển được đưa ra cho chúng tôi. Nhìn kỹ vào những con số được đánh dấu và cố gắng thực hiện các phép toán khác nhau với chúng.

Cố gắng? Bạn đã nhận thấy điều gì? Đúng! Tổng của chúng bằng nhau

Bây giờ hãy trả lời, sẽ có bao nhiêu cặp như vậy trong tiến trình được cung cấp cho chúng ta? Tất nhiên, chính xác là một nửa của tất cả các con số.
Dựa trên thực tế là tổng của hai số hạng của một cấp số cộng bằng nhau và các cặp bằng nhau tương tự, chúng tôi nhận được rằng tổng bằng:
.
Do đó, công thức tính tổng các số hạng đầu tiên của bất kỳ cấp số cộng nào sẽ là:

Trong một số bài toán, ta không biết số hạng nhưng ta biết được hiệu số lũy tiến. Cố gắng thay thế trong công thức tính tổng, công thức của phần tử thứ.
Bạn đã nhận được gì?

Làm tốt! Bây giờ chúng ta hãy quay lại bài toán đã được đưa ra cho Carl Gauss: hãy tự tính xem tổng các số bắt đầu từ -th là bao nhiêu và tổng các số bắt đầu từ -th.

Bạn đã nhận được bao nhiêu?
Gauss hóa ra rằng tổng của các số hạng bằng nhau, và tổng của các số hạng. Đó là cách bạn quyết định?

Trên thực tế, công thức tính tổng các phần tử của một cấp số cộng đã được nhà khoa học Hy Lạp cổ đại Diophantus chứng minh vào thế kỷ thứ 3, và trong suốt thời gian này, những người hóm hỉnh đã sử dụng các tính chất của một cấp số cộng một cách chính xác.
Ví dụ, hãy tưởng tượng Ai Cập cổ đại và công trường xây dựng lớn nhất thời bấy giờ - việc xây dựng một kim tự tháp ... Hình vẽ cho thấy một mặt của nó.

Sự tiến bộ ở đây bạn nói là ở đâu? Hãy quan sát kỹ và tìm quy luật về số lượng khối cát trong mỗi hàng của bức tường kim tự tháp.

Tại sao không phải là một cấp số cộng? Đếm xem cần bao nhiêu khối để xây một bức tường nếu gạch khối được đặt ở phần đế. Tôi hy vọng bạn sẽ không đếm bằng cách di chuyển ngón tay trên màn hình, bạn có nhớ công thức cuối cùng và tất cả những gì chúng ta đã nói về cấp số cộng không?

Trong trường hợp này, tiến trình trông như thế này:
Cấp số cộng chênh lệch.
Số phần tử của một cấp số cộng.
Hãy thay thế dữ liệu của chúng tôi vào các công thức cuối cùng (chúng tôi đếm số khối theo 2 cách).

Cách 1.

Cách 2.

Và bây giờ bạn cũng có thể tính toán trên màn hình: so sánh các giá trị thu được với số khối có trong kim tự tháp của chúng ta. Nó đã đồng ý? Làm tốt lắm, bạn đã nắm vững tổng các số hạng của một cấp số cộng.
Tất nhiên, bạn không thể xây kim tự tháp từ các khối ở đáy, nhưng từ đâu? Hãy thử tính xem cần bao nhiêu viên gạch cát để xây một bức tường với điều kiện này.
Bạn đã quản lý?
Câu trả lời đúng là các khối:

Đào tạo

Nhiệm vụ:

Masha đang lấy lại vóc dáng cho mùa hè. Mỗi ngày cô ấy tăng số lần ngồi xổm lên. Masha sẽ squat bao nhiêu lần trong tuần nếu cô ấy squat ở buổi tập đầu tiên.
Tổng tất cả các số lẻ có trong là bao nhiêu.
Khi lưu trữ nhật ký, thợ rừng xếp chúng theo cách sao cho mỗi lớp trên cùng chứa một nhật ký ít hơn lớp trước. Có bao nhiêu bản ghi trong một khối xây, nếu cơ sở của khối xây là các bản ghi.

câu trả lời:

Hãy xác định các tham số của cấp số cộng. Trong trường hợp này
(tuần = ngày).
Câu trả lời: Trong hai tuần, Masha nên ngồi xổm mỗi ngày một lần.
Số lẻ đầu tiên, số cuối cùng.
Cấp số cộng chênh lệch.
Tuy nhiên, số lượng các số lẻ trong - một nửa, hãy kiểm tra thực tế này bằng cách sử dụng công thức tìm phần tử -th của một cấp số cộng:
Các số có chứa các số lẻ.
Chúng tôi thay thế dữ liệu có sẵn vào công thức:
Câu trả lời: Tổng tất cả các số lẻ chứa trong bằng .
Nhắc lại bài toán về hình chóp. Đối với trường hợp của chúng tôi, a , vì mỗi lớp trên cùng được giảm đi một nhật ký, nghĩa là chỉ có một loạt các lớp.
Thay dữ liệu vào công thức:
Câu trả lời: Có những khúc gỗ trong khối xây.

Tổng hợp

- một dãy số trong đó hiệu giữa các số liền kề giống nhau và bằng nhau. Nó đang tăng và giảm.
Tìm công thức Thành viên thứ của một cấp số cộng được viết theo công thức - , trong đó là số lượng các số trong cấp số nhân.
Tính chất của các thành viên của một cấp số cộng- - đâu - số lượng các số trong tiến trình.
Tổng các phần tử của một cấp số cộng có thể được tìm thấy theo hai cách:

, đâu là số lượng giá trị.

CẤP SỐ CỘNG. MỨC TRUNG BÌNH

dãy số

Hãy ngồi xuống và bắt đầu viết một số con số. Ví dụ:

Bạn có thể viết bất kỳ con số nào, và có thể có bao nhiêu tùy thích. Nhưng bạn luôn có thể biết cái nào là cái đầu tiên, cái nào là cái thứ hai, v.v., tức là chúng ta có thể đánh số chúng. Đây là một ví dụ về dãy số.

dãy số là một tập hợp các số, mỗi số có thể được gán một số duy nhất.

Nói cách khác, mỗi số có thể được liên kết với một số tự nhiên nhất định và chỉ một. Và chúng tôi sẽ không gán số này cho bất kỳ số nào khác từ bộ này.

Số có số được gọi là thành viên thứ của dãy.

Sẽ rất thuận tiện nếu phần tử -th của dãy có thể được đưa ra bởi một số công thức. Ví dụ, công thức

đặt trình tự:

Và công thức là trình tự sau:

Ví dụ, một cấp số cộng là một dãy số (số hạng đầu tiên ở đây là bằng nhau và hiệu). Hoặc (, sự khác biệt).

công thức số hạng thứ n

Chúng tôi gọi công thức lặp lại trong đó, để tìm ra thuật ngữ -th, bạn cần biết một hoặc một số thuật ngữ trước đó:

Ví dụ, để tìm số hạng thứ của cấp số sử dụng công thức như vậy, chúng ta phải tính chín số hạng trước đó. Ví dụ, hãy để. Sau đó:

Chà, bây giờ thì rõ ràng công thức là gì?

Trong mỗi dòng, chúng tôi thêm vào, nhân với một số. Để làm gì? Rất đơn giản: đây là số thành viên hiện tại trừ đi:

Bây giờ thoải mái hơn nhiều, phải không? Chung ta kiểm tra:

Quyết định cho chính mình:

Trong một cấp số cộng, hãy tìm công thức của số hạng thứ n và tìm số hạng thứ một trăm.

Phán quyết:

Thành viên đầu tiên bằng nhau. Và sự khác biệt là gì? Và đây là những gì:

(suy cho cùng, nó được gọi là hiệu vì nó bằng hiệu của các phần tử liên tiếp của cấp số).

Vậy công thức là:

Khi đó số hạng thứ một trăm là:

Tổng của tất cả các số tự nhiên từ đến là gì?

Theo truyền thuyết, nhà toán học vĩ đại Carl Gauss, khi còn là một cậu bé 9 tuổi, đã tính toán số tiền này trong vài phút. Anh ấy nhận thấy rằng tổng của số đầu tiên và số cuối cùng bằng nhau, tổng của số thứ hai và số áp chót bằng nhau, tổng của số thứ ba và số thứ 3 từ cuối bằng nhau, v.v. Có bao nhiêu cặp như vậy? Đúng vậy, chính xác là một nửa số của tất cả các số, nghĩa là. Cho nên,

Công thức chung cho tổng các số hạng đầu tiên của bất kỳ cấp số cộng nào sẽ là:

Ví dụ:
Tìm tổng của tất cả các bội số có hai chữ số.

Phán quyết:

Con số đầu tiên như vậy là con số này. Mỗi số tiếp theo có được bằng cách thêm một số vào số trước đó. Như vậy, những con số mà chúng ta quan tâm lập thành một cấp số cộng với số hạng đầu tiên và hiệu.

Công thức cho thuật ngữ thứ cho sự tiến triển này là:

Có bao nhiêu số hạng trong cấp số nếu tất cả chúng phải có hai chữ số?

Rất dễ: .

Số hạng cuối cùng của cấp số sẽ bằng nhau. Khi đó tổng:

Câu trả lời: .

Bây giờ hãy tự quyết định:

Mỗi ngày vận động viên chạy nhiều hơn ngày hôm trước 1m. Anh ấy sẽ chạy được bao nhiêu km trong tuần nếu anh ấy chạy km m vào ngày đầu tiên?
Một người đi xe đạp mỗi ngày đi được nhiều dặm hơn người trước đó. Vào ngày đầu tiên anh ta đi được km. Anh ấy phải lái xe bao nhiêu ngày để đi được một km? Anh ta sẽ đi được bao nhiêu km vào ngày cuối cùng của cuộc hành trình?
Giá của một chiếc tủ lạnh trong cửa hàng giảm cùng một lượng mỗi năm. Xác định giá của một chiếc tủ lạnh giảm bao nhiêu mỗi năm nếu được rao bán với giá rúp, sáu năm sau nó được bán với giá rúp.

câu trả lời:

Điều quan trọng nhất ở đây là nhận biết cấp số cộng và xác định các tham số của nó. Trong trường hợp này, (tuần = ngày). Bạn cần xác định tổng các số hạng đầu tiên của cấp số này:
.
Câu trả lời:
Ở đây nó được đưa ra:, nó là cần thiết để tìm.
Rõ ràng, bạn cần sử dụng công thức tính tổng giống như trong bài toán trước:
.
Thay thế các giá trị:
Rễ rõ ràng là không phù hợp, vì vậy câu trả lời.
Hãy tính quãng đường đã đi trong ngày qua bằng công thức của số hạng -th:
(km).
Câu trả lời:
Được cho: . Tìm thấy: .
Nó không trở nên dễ dàng hơn:
(chà).
Câu trả lời:

CẤP SỐ CỘNG. SƠ LƯỢC VỀ CHÍNH

Đây là dãy số mà hiệu giữa các số liền kề nhau là giống nhau và bằng nhau.

Cấp số cộng là tăng () và giảm ().

Ví dụ:

Công thức tìm số hạng thứ n của một cấp số cộng

được viết dưới dạng một công thức, ở đâu là số lượng các số trong cấp số nhân.

Tính chất của các thành viên của một cấp số cộng

Nó giúp bạn dễ dàng tìm thấy một phần tử của cấp số nếu biết các phần tử lân cận của nó - số lượng các số trong cấp số ở đâu.

Tổng các phần tử của một cấp số cộng

Có hai cách để tìm tổng:

Số lượng giá trị ở đâu.

Hoặc số học - đây là một loại dãy số có thứ tự, các thuộc tính của chúng được nghiên cứu trong khóa học đại số ở trường. Bài viết này thảo luận chi tiết về câu hỏi làm thế nào để tìm tổng của một cấp số cộng.

Tiến trình này là gì?

Trước khi tiến hành xem xét câu hỏi (làm thế nào để tìm tổng của một cấp số cộng), bạn nên hiểu những gì sẽ được thảo luận.

Bất kỳ dãy số thực nào có được bằng cách cộng (trừ) một số giá trị từ mỗi số trước đó được gọi là một cấp số nhân (số học). Định nghĩa này, được dịch sang ngôn ngữ toán học, có dạng:

Ở đây i là số thứ tự của phần tử của dãy số a i . Do đó, chỉ biết một số ban đầu, bạn có thể dễ dàng khôi phục toàn bộ chuỗi. Tham số d trong công thức được gọi là hiệu số lũy tiến.

Có thể dễ dàng chứng minh rằng đẳng thức sau đúng với dãy số đang xét:

a n \u003d a 1 + d * (n - 1).

Nghĩa là, để tìm giá trị của phần tử thứ n theo thứ tự, hãy cộng hiệu d với phần tử đầu tiên a 1 n-1 lần.

Tổng của một cấp số cộng là gì: công thức

Trước khi đưa ra công thức cho số tiền được chỉ định, đáng để xem xét một trường hợp đặc biệt đơn giản. Cho một dãy số tự nhiên từ 1 đến 10, bạn cần tìm tổng của chúng. Vì có ít số hạng trong cấp số (10), nên có thể giải trực tiếp bài toán, nghĩa là tính tổng tất cả các phần tử theo thứ tự.

S 10 \u003d 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 \u003d 55.

Cần xem xét một điều thú vị: vì mỗi thuật ngữ khác với thuật ngữ tiếp theo bởi cùng một giá trị d \u003d 1, nên tổng theo cặp của thuật ngữ thứ nhất với phần mười, thứ hai với thứ chín, v.v. . Có thật không:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Như bạn có thể thấy, chỉ có 5 tổng trong số này, nghĩa là ít hơn chính xác hai lần so với số phần tử trong chuỗi. Sau đó nhân số tổng (5) với kết quả của mỗi tổng (11), bạn sẽ đi đến kết quả thu được trong ví dụ đầu tiên.

Nếu chúng ta khái quát hóa các đối số này, chúng ta có thể viết biểu thức sau:

S n \u003d n * (a 1 + a n) / 2.

Biểu thức này cho thấy rằng không nhất thiết phải tính tổng tất cả các phần tử trong một hàng, chỉ cần biết giá trị của a 1 đầu tiên và a n cuối cùng, cũng như tổng số các số hạng n.

Người ta tin rằng Gauss lần đầu tiên nghĩ đến đẳng thức này khi ông đang tìm lời giải cho bài toán do giáo viên trường ông đặt ra: tính tổng 100 số nguyên đầu tiên.

Tổng các phần tử từ m đến n: công thức

Công thức đưa ra trong đoạn trước trả lời câu hỏi làm thế nào để tìm tổng của một cấp số cộng (của các phần tử đầu tiên), nhưng thường trong các nhiệm vụ, cần phải tính tổng một dãy số ở giữa cấp số đó. Làm thế nào để làm nó?

Cách dễ nhất để trả lời câu hỏi này là xem xét ví dụ sau: giả sử cần tìm tổng các số hạng từ thứ m đến thứ n. Để giải quyết vấn đề, một đoạn đã cho từ m đến n của cấp số phải được biểu diễn dưới dạng một chuỗi số mới. Trong biểu diễn này, thành viên thứ m a m sẽ là thành viên đầu tiên và n sẽ được đánh số n-(m-1). Trong trường hợp này, áp dụng công thức tiêu chuẩn cho tổng, biểu thức sau sẽ thu được:

S m n \u003d (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

Ví dụ sử dụng công thức

Biết cách tìm tổng của một cấp số cộng, đáng để xem xét một ví dụ đơn giản về việc sử dụng các công thức trên.

Dưới đây là một dãy số, bạn sẽ tìm tổng các phần tử của nó, bắt đầu từ số 5 và kết thúc bằng số 12:

Các số đã cho chỉ ra rằng hiệu d bằng 3. Sử dụng biểu thức cho phần tử thứ n, bạn có thể tìm thấy các giá trị của phần tử thứ 5 và thứ 12 của cấp số. Hóa ra:

a 5 \u003d a 1 + d * 4 \u003d -4 + 3 * 4 \u003d 8;
a 12 \u003d a 1 + d * 11 \u003d -4 + 3 * 11 \u003d 29.

Khi biết giá trị của các số ở cuối cấp số đại số đang xét, đồng thời biết chúng chiếm những số nào trong chuỗi, bạn có thể sử dụng công thức tính tổng thu được ở đoạn trước. Được:

S 5 12 \u003d (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 \u003d 148.

Điều đáng chú ý là giá trị này có thể được lấy theo cách khác: đầu tiên, tìm tổng của 12 phần tử đầu tiên bằng công thức chuẩn, sau đó tính tổng của 4 phần tử đầu tiên bằng cùng một công thức, sau đó lấy tổng thứ nhất trừ phần tử thứ hai .