Nếu hàm số lẻ và không lẻ. Hàm chẵn và hàm lẻ. Chức năng định kỳ. Ví dụ về hàm lẻ

Tính chẵn lẻ và tính lẻ của một hàm số là một trong những tính chất chính của nó, và tính chẵn lẻ chiếm một phần ấn tượng trong môn toán ở trường. Nó quyết định phần lớn hoạt động của hàm và hỗ trợ rất nhiều cho việc xây dựng biểu đồ tương ứng.

Hãy xác định tính chẵn lẻ của hàm số. Nói chung, hàm đang nghiên cứu được xem xét ngay cả khi đối với các giá trị đối diện của biến độc lập (x) nằm trong miền định nghĩa của nó, các giá trị tương ứng của y (hàm) hóa ra bằng nhau.

Hãy đưa ra một định nghĩa chặt chẽ hơn. Xét một số hàm f(x), được xác định trong miền D. Nó sẽ chẵn nếu với bất kỳ điểm x nào nằm trong miền định nghĩa:

• -x (điểm đối diện) cũng nằm trong phạm vi này,

• f(-x) = f(x).

Từ định nghĩa trên tuân theo điều kiện cần thiết cho miền định nghĩa của một hàm số như vậy, cụ thể là, tính đối xứng đối với điểm O, là gốc tọa độ, vì nếu một số điểm b nằm trong miền định nghĩa của một hàm chẵn. thì điểm b tương ứng cũng nằm trong miền này. Do đó, từ những điều trên, kết luận như sau: hàm chẵn có dạng đối xứng với trục tọa độ (Oy).

Làm thế nào để xác định tính chẵn lẻ của một hàm trong thực tế?

Hãy để nó được chỉ định bằng công thức h(x)=11^x+11^(-x). Theo thuật toán trực tiếp từ định nghĩa, trước tiên chúng ta kiểm tra miền định nghĩa của nó. Rõ ràng, nó được xác định cho tất cả các giá trị của đối số, tức là điều kiện đầu tiên được thỏa mãn.

Bước tiếp theo là thay thế giá trị ngược lại (-x) cho đối số (x).
Chúng tôi nhận được:
h(-x) = 11^(-x) + 11^x.
Vì phép cộng thỏa mãn luật giao hoán (giao hoán), nên hiển nhiên h(-x) = h(x) và sự phụ thuộc hàm đã cho là chẵn.

Hãy kiểm tra tính chẵn lẻ của hàm h(x)=11^x-11^(-x). Theo cùng một thuật toán, chúng ta có được h(-x) = 11^(-x) -11^x. Loại bỏ điểm trừ, cuối cùng ta có
h(-x)=-(11^x-11^(-x))=- h(x). Do đó, h(x) là số lẻ.

Nhân tiện, cần nhớ lại rằng có những hàm không thể được phân loại theo các tiêu chí này; chúng không được gọi là chẵn hay lẻ.

Các hàm chẵn có một số tính chất thú vị:

• kết quả của việc thêm các hàm tương tự, chúng sẽ có được một hàm chẵn;
• bằng cách trừ các hàm như vậy, thu được một hàm chẵn;
• chẵn, cũng chẵn;
• kết quả của việc nhân hai hàm như vậy sẽ thu được một hàm chẵn;
• bằng cách nhân các hàm lẻ và hàm chẵn, thu được một hàm lẻ;
• bằng cách chia các hàm lẻ và hàm chẵn, thu được một hàm lẻ;
• đạo hàm của hàm số đó là số lẻ;
• Nếu bạn bình phương một hàm lẻ, bạn sẽ có một hàm chẵn.

Tính chẵn lẻ của hàm có thể được sử dụng để giải phương trình.

Để giải một phương trình như g(x) = 0, trong đó vế trái của phương trình là hàm chẵn, chỉ cần tìm nghiệm của nó cho các giá trị không âm của biến là đủ. Các nghiệm kết quả của phương trình phải được kết hợp với các số đối diện. Một trong số đó có thể được xác minh.

Điều này cũng được sử dụng thành công để giải quyết các vấn đề không chuẩn với một tham số.

Ví dụ: có giá trị nào của tham số a mà phương trình 2x^6-x^4-ax^2=1 sẽ có ba nghiệm không?

Nếu chúng ta xét rằng biến đi vào phương trình ở lũy thừa chẵn thì rõ ràng việc thay x bằng - x sẽ không làm thay đổi phương trình đã cho. Theo đó, nếu một số nào đó là gốc của nó thì số đối diện cũng là gốc. Kết luận rất rõ ràng: các nghiệm của một phương trình khác 0 được đưa vào tập nghiệm của nó theo “cặp”.

Rõ ràng là bản thân số đó không phải là 0, nghĩa là số nghiệm của phương trình như vậy chỉ có thể là số chẵn và tất nhiên, đối với bất kỳ giá trị nào của tham số thì nó không thể có ba nghiệm.

Nhưng số nghiệm của phương trình 2^x+ 2^(-x)=ax^4+2x^2+2 có thể là số lẻ và với bất kỳ giá trị nào của tham số. Thật vậy, dễ dàng kiểm tra được rằng tập nghiệm của phương trình này có chứa nghiệm “theo cặp” hay không. Hãy kiểm tra xem 0 có phải là gốc không. Khi thay nó vào phương trình, chúng ta nhận được 2=2. Như vậy, ngoài những số “ghép đôi”, 0 còn là một nghiệm chứng tỏ chúng là số lẻ.

Điều này đã quen thuộc với bạn ở mức độ này hay mức độ khác. Ở đó cũng lưu ý rằng kho thuộc tính chức năng sẽ được bổ sung dần dần. Hai thuộc tính mới sẽ được thảo luận trong phần này.

Định nghĩa 1.

Hàm y = f(x), x є X, được gọi ngay cả khi với bất kỳ giá trị x nào từ tập X thì đẳng thức f (-x) = f (x) đúng.

Định nghĩa 2.

Hàm y = f(x), x є X, được gọi là lẻ nếu với bất kỳ giá trị x nào từ tập X thì đẳng thức f (-x) = -f (x) đúng.

Chứng minh rằng y = x 4 là hàm chẵn.

Giải pháp. Ta có: f(x) = x 4, f(-x) = (-x) 4. Nhưng (-x) 4 = x 4. Điều này có nghĩa là với mọi x thì đẳng thức f(-x) = f(x) đúng, tức là. chức năng là chẵn.

Tương tự, có thể chứng minh các hàm số y - x 2, y = x 6, y - x 8 là số chẵn.

Chứng minh rằng y = x 3 ~ là hàm số lẻ.

Giải pháp. Ta có: f(x) = x 3, f(-x) = (-x) 3. Nhưng (-x) 3 = -x 3. Điều này có nghĩa là với mọi x đẳng thức f (-x) = -f (x) đúng, tức là. chức năng này là số lẻ.

Tương tự có thể chứng minh các hàm số y = x, y = x 5, y = x 7 là số lẻ.

Bạn và tôi đã nhiều lần bị thuyết phục rằng các thuật ngữ mới trong toán học thường có nguồn gốc “trái đất”, tức là. chúng có thể được giải thích bằng cách nào đó. Đây là trường hợp với cả hàm chẵn và hàm lẻ. Xem: y - x 3, y = x 5, y = x 7 là các hàm lẻ, trong khi y = x 2, y = x 4, y = x 6 là các hàm chẵn. Và nói chung, với bất kỳ hàm số nào có dạng y = x" (dưới đây chúng ta sẽ nghiên cứu cụ thể các hàm số này), trong đó n là số tự nhiên, ta có thể kết luận: nếu n là số lẻ thì hàm y = x" là số lẻ; nếu n là số chẵn thì hàm y = xn là số chẵn.

Ngoài ra còn có các hàm không chẵn cũng không lẻ. Chẳng hạn, đó là hàm y = 2x + 3. Thật vậy, f(1) = 5, và f (-1) = 1. Do đó, như bạn có thể thấy, ở đây, không có đẳng thức f(-x) = f ( x), cũng như đẳng thức f(-x) = -f(x).

Vì vậy, một hàm có thể chẵn, lẻ hoặc không.

Việc nghiên cứu xem một hàm số cho trước là chẵn hay lẻ thường được gọi là nghiên cứu tính chẵn lẻ.

Định nghĩa 1 và 2 đề cập đến các giá trị của hàm tại các điểm x và -x. Điều này giả định rằng hàm được xác định ở cả điểm x và điểm -x. Điều này có nghĩa là điểm -x thuộc miền định nghĩa của hàm đồng thời với điểm x. Nếu một tập hợp số X, cùng với mỗi phần tử x của nó, cũng chứa phần tử đối diện -x thì X được gọi là tập hợp đối xứng. Giả sử, (-2, 2), [-5, 5], (-oo, +oo) là các tập đối xứng, while )