Lịch sử lượng giác. Lượng giác trong tự nhiên

Lịch sử lượng giác

Trigonometry là một từ tiếng Hy Lạp và có nghĩa đen là số đo các hình tam giác ( - hình tam giác, và  - số đo của tôi).

Trong trường hợp này, số đo của tam giác nên được hiểu là nghiệm của tam giác, tức là xác định các cạnh, góc và các yếu tố khác của tam giác, nếu một số trong số chúng được cho trước. Một số lượng lớn các bài toán thực tế, cũng như các bài toán về phép đo phẳng, phép đo lập thể, thiên văn học, và những bài toán khác, được rút gọn thành bài toán giải tam giác.

Sự xuất hiện của lượng giác gắn liền với khảo sát đất đai, thiên văn học và xây dựng.

Mặc dù tên khoa học mới xuất hiện tương đối gần đây, nhiều khái niệm và sự kiện ngày nay liên quan đến lượng giác đã được biết đến cách đây hai nghìn năm.

Lần đầu tiên, các phương pháp giải tam giác dựa trên sự phụ thuộc giữa các cạnh và góc của tam giác đã được các nhà thiên văn Hy Lạp cổ đại Hipparchus (thế kỷ 2 trước Công nguyên) và Claudius Ptolemy (thế kỷ 2 sau Công nguyên) tìm ra. Sau đó, các mối quan hệ giữa tỉ số các cạnh của một tam giác và các góc của nó bắt đầu được gọi là các hàm lượng giác.

Các nhà khoa học Ả Rập Al-Batani (850-929) và Abu-l-Wafa, Mohammed-bin Mohamed (940-998) đã đóng góp đáng kể vào sự phát triển của lượng giác, những người đã biên soạn bảng sin và tiếp tuyến trong 10’ chính xác đến 1/60 4 . Định lý sin đã được biết đến bởi nhà khoa học Ấn Độ Bhaskara (sinh năm 1114, không rõ năm mất) và nhà thiên văn học và toán học người Azerbaijan Nasosystemdin Tusi Mukhamed (1201-1274). Ngoài ra, trong tác phẩm "Luận về tứ giác hoàn chỉnh", Nasnticdin Tusi đã phác thảo mặt phẳng và lượng giác cầu như một bộ môn độc lập.

Khái niệm sin có lịch sử lâu đời. Trên thực tế, các tỷ số khác nhau của các phân đoạn của tam giác và hình tròn (và về bản chất là các hàm lượng giác) đã được tìm thấy trongIIIThế kỷ BC trong các công trình của các nhà toán học vĩ đại của Hy Lạp cổ đại - Euclid, Archimedes, Apollonius của Perga. Vào thời kỳ La Mã, các mối quan hệ này đã được Menelaus nghiên cứu một cách khá hệ thống (tôithế kỷ sau Công nguyên), mặc dù họ không có một cái tên đặc biệt. Ví dụ, sin hiện đại  được nghiên cứu như một nửa hợp âm mà góc trọng tâm của độ lớn  nằm yên, hoặc như một hợp âm của một cung kép.

 M

MỘT

NHƯNG'

Cơm. một

TRONG IV- VTrong nhiều thế kỷ, một thuật ngữ đặc biệt đã xuất hiện trong các công trình nghiên cứu về thiên văn học của nhà khoa học Ấn Độ vĩ đại Aryabhata, người mà vệ tinh Ấn Độ đầu tiên của Trái đất được đặt tên. Đoạn AM (Hình 1) anh ấy gọi là ardhajiva (ardha - một nửa, jiva - dây cung, giống như một hợp âm). Sau đó, cái tên ngắn hơn jiva xuất hiện. Các nhà toán học Ả Rập ởIXthế kỷ, từ này đã được thay thế bằng từ Ả Rập jaib (phình to). Khi dịch các văn bản toán học tiếng Ả Rập trong thế kỷ, nó được thay thế bằng sin Latinh (xoang- uốn cong, cong).

Từ cosine trẻ hơn nhiều. Cosine là chữ viết tắt của biểu thức tiếng Latinhhoàn toànxoang, tức là “sin bổ sung” (hay nói cách khác là “sin của một cung bổ sung”;cos = tội(90  -  )).

Tiếp tuyến nảy sinh liên quan đến lời giải của bài toán xác định độ dài của bóng. Tiếp tuyến (và cả cotang) được giới thiệu trongXthế kỷ của nhà toán học Ả Rập Abu-l-Wafa, người cũng biên soạn các bảng đầu tiên để tìm tiếp tuyến và cotang. Tuy nhiên, những khám phá này vẫn chưa được các nhà khoa học châu Âu biết đến trong một thời gian dài, và các tiếp tuyến chỉ được khám phá lại trongXIVkỷ của nhà toán học, thiên văn học người Đức Regimontan (1467). Ông đã chứng minh định lý tiếp tuyến. Regiomontanus cũng biên soạn các bảng lượng giác chi tiết; Nhờ công trình nghiên cứu của ông, lượng giác mặt phẳng và mặt cầu cũng trở thành một ngành độc lập ở châu Âu.

Tên "tangent" bắt nguồn từ tiếng Latinhtanger(chạm vào), xuất hiện năm 1583Tiếp tuyếnđược dịch là "chạm" (đường tiếp tuyến là tiếp tuyến của đường tròn đơn vị).

Lượng giác đã được phát triển thêm trong các công trình của các nhà thiên văn kiệt xuất Nicolaus Copernicus (1473-1543) - người tạo ra hệ nhật tâm của thế giới, Tycho Brahe (1546-1601) và Johannes Kepler (1571-1630), cũng như trong công trình của nhà toán học Francois Vieta (1540-1603), người đã giải quyết triệt để bài toán xác định tất cả các yếu tố của một tam giác phẳng hoặc hình cầu theo ba dữ liệu.

Trong một thời gian dài, lượng giác hoàn toàn mang bản chất hình học, tức là các dữ kiện mà ngày nay chúng ta hình thành dưới dạng các hàm lượng giác đã được hình thành và chứng minh với sự trợ giúp của các khái niệm và phát biểu hình học. Nó là như vậy ngay cả trong thời Trung cổ, mặc dù các phương pháp phân tích đôi khi được sử dụng trong đó, đặc biệt là sau khi xuất hiện logarit. Có lẽ động lực lớn nhất cho sự phát triển lượng giác liên quan đến giải pháp các vấn đề thiên văn, vốn rất được quan tâm trong thực tế (ví dụ, để giải các bài toán xác định vị trí của một con tàu, dự đoán mất điện, v.v.). Các nhà thiên văn quan tâm đến mối quan hệ giữa các cạnh và góc của các tam giác cầu. Và cần lưu ý rằng các nhà toán học thời cổ đại đã đối phó thành công với các nhiệm vụ đặt ra.

Bắt đầu bằng XVIIThế kỷ, các hàm lượng giác bắt đầu được ứng dụng để giải phương trình, các bài toán cơ học, quang học, điện học, kỹ thuật vô tuyến điện, để mô tả các quá trình dao động, truyền sóng, chuyển động của các cơ chế khác nhau, nghiên cứu dòng điện xoay chiều, v.v ... Do đó, các hàm lượng giác là được nghiên cứu một cách toàn diện và sâu sắc, và đã trở nên quan trọng đối với toàn bộ ngành toán học.

Lý thuyết giải tích của các hàm lượng giác chủ yếu được tạo ra bởi nhà toán học lỗi lạcXVIIIthế kỷ Leonard Euler (1707-1783) thành viên của Viện Hàn lâm Khoa học St. Di sản khoa học khổng lồ của Euler bao gồm các kết quả rực rỡ liên quan đến phân tích toán học, hình học, lý thuyết số, cơ học và các ứng dụng khác của toán học. Chính Euler là người đầu tiên đưa ra các định nghĩa nổi tiếng về các hàm lượng giác, bắt đầu xem xét các hàm của một góc tùy ý và thu được các công thức rút gọn. Sau Euler, lượng giác bắt đầu xuất hiện dưới dạng phép tính: các dữ kiện khác nhau bắt đầu được chứng minh bằng cách áp dụng chính thức các công thức lượng giác, việc chứng minh trở nên gọn gàng, đơn giản hơn nhiều,

Do đó, lượng giác, vốn ra đời như là khoa học giải các tam giác, cuối cùng đã phát triển thành khoa học về các hàm lượng giác.

Sau đó, phần lượng giác nghiên cứu các tính chất của các hàm lượng giác và mối quan hệ giữa chúng bắt đầu được gọi là goniometry (trong bản dịch - khoa học đo góc, từ tiếng Hy Lạp là  - angle,  - Tôi đo). Thuật ngữ đo sinh trắc học đã không còn được sử dụng nhiều trong những năm gần đây.

Lịch sử lượng giác gắn bó chặt chẽ với thiên văn học, vì để giải quyết các vấn đề của khoa học này, các nhà khoa học cổ đại đã bắt đầu nghiên cứu tỷ lệ của các đại lượng khác nhau trong một tam giác.

Ngày nay, lượng giác là một phép toán hiển vi nghiên cứu mối quan hệ giữa các giá trị của góc và độ dài các cạnh của tam giác, cũng như phân tích các đồng dạng đại số của các hàm lượng giác.

Thuật ngữ "lượng giác"

Bản thân thuật ngữ, tên gọi của nó cho nhánh toán học này, lần đầu tiên được phát hiện trong tên một cuốn sách của nhà toán học người Đức Pitiscus vào năm 1505. Từ "lượng giác" có nguồn gốc từ tiếng Hy Lạp và có nghĩa là "Tôi đo một hình tam giác." Nói chính xác hơn, chúng ta không nói về phép đo theo nghĩa đen của hình này, mà là về giải pháp của nó, nghĩa là xác định giá trị của các phần tử chưa biết của nó bằng cách sử dụng các giá trị đã biết.

Thông tin chung về lượng giác

Lịch sử của lượng giác bắt đầu cách đây hơn hai thiên niên kỷ. Ban đầu, sự xuất hiện của nó gắn liền với yêu cầu làm rõ tỷ số các góc và các cạnh của tam giác. Trong quá trình nghiên cứu, hóa ra biểu thức toán học của các mối quan hệ này đòi hỏi sự ra đời của các hàm lượng giác đặc biệt, ban đầu được vẽ dưới dạng bảng số.

Đối với nhiều ngành khoa học liên quan đến toán học, chính lịch sử lượng giác đã trở thành động lực cho sự phát triển. Nguồn gốc của các đơn vị đo góc (độ), gắn liền với nghiên cứu của các nhà khoa học Babylon cổ đại, dựa trên phép tính thập phân giới tính, đã tạo ra số thập phân hiện đại, được sử dụng trong nhiều ngành khoa học ứng dụng.

Lượng giác được cho là đã tồn tại ban đầu như một phần của thiên văn học. Sau đó, nó bắt đầu được sử dụng trong kiến trúc. Và theo thời gian, việc ứng dụng khoa học này vào các lĩnh vực hoạt động khác nhau của con người đã xuất hiện. Đặc biệt, đó là thiên văn học, hàng hải và hàng không, âm học, quang học, điện tử, kiến trúc và những thứ khác.

Lượng giác trong những thế kỷ đầu

Được hướng dẫn bởi dữ liệu về các di tích khoa học còn sót lại, các nhà nghiên cứu kết luận rằng lịch sử xuất hiện của lượng giác gắn liền với công trình của nhà thiên văn học người Hy Lạp Hipparchus, người đầu tiên nghĩ đến việc tìm ra cách giải các tam giác (hình cầu). Các tác phẩm của ông có niên đại từ thế kỷ thứ 2 trước Công nguyên.

Ngoài ra, một trong những thành tựu quan trọng nhất của thời đó là định nghĩa tỉ số giữa chân và cạnh huyền trong tam giác vuông, mà sau này được gọi là định lý Pitago.

Lịch sử phát triển lượng giác ở Hy Lạp cổ đại gắn liền với tên tuổi của nhà thiên văn học Ptolemy, tác giả của hệ thống địa tâm thịnh hành trước Copernicus.

Các nhà thiên văn Hy Lạp không biết sin, cosin và tiếp tuyến. Họ sử dụng các bảng để tìm giá trị của hợp âm của một vòng tròn bằng cách sử dụng một cung trừ. Các đơn vị đo hợp âm là độ, phút và giây. Một độ bằng một phần sáu mươi bán kính.

Ngoài ra, các nghiên cứu của người Hy Lạp cổ đại đã nâng cao sự phát triển của lượng giác cầu. Đặc biệt, Euclid trong cuốn "Các nguyên tắc" của ông đã đưa ra một định lý về sự đều đặn của các tỷ lệ của thể tích các quả bóng có đường kính khác nhau. Các công trình của ông trong lĩnh vực này đã trở thành động lực thúc đẩy sự phát triển của các lĩnh vực tri thức liên quan. Đặc biệt, đây là công nghệ của các công cụ thiên văn, lý thuyết về phép chiếu bản đồ, hệ thống tọa độ thiên thể, v.v.

Thời Trung Cổ: Nghiên cứu của các học giả Ấn Độ

Các nhà thiên văn học Ấn Độ thời Trung cổ đã đạt được thành công đáng kể. Cái chết của khoa học cổ đại vào thế kỷ thứ 4 dẫn đến việc chuyển trung tâm phát triển của toán học sang Ấn Độ.

Lịch sử của sự xuất hiện của lượng giác như một bộ phận riêng biệt của học thuyết toán học bắt đầu từ thời Trung cổ. Sau đó, các nhà khoa học đã thay thế các hợp âm bằng các sine. Khám phá này giúp giới thiệu các chức năng liên quan đến nghiên cứu các cạnh và góc.

Các bảng ô sin đầu tiên là ở Aryabhata, chúng được vẽ qua 3 o, 4 o, 5 o. Sau đó, các phiên bản chi tiết của các bảng đã xuất hiện: cụ thể là Bhaskara đã đưa ra một bảng các sin đến 1 o.

Chuyên luận đầu tiên về lượng giác xuất hiện vào thế kỷ 10-11. Tác giả của nó là nhà khoa học Trung Á Al-Biruni. Và trong tác phẩm chính của mình “Canon Masud” (cuốn III), tác giả thời trung cổ thậm chí còn đi sâu hơn vào lượng giác, đưa ra một bảng các sin (với số gia là 15 ”) và một bảng các tiếp tuyến (với số gia tăng là 1 °).

Lịch sử phát triển lượng giác ở Châu Âu

Sau khi dịch các luận thuyết tiếng Ả Rập sang tiếng Latinh (thế kỷ XII-XIII), hầu hết các ý tưởng của các nhà khoa học Ấn Độ và Ba Tư đã được khoa học châu Âu vay mượn. Đề cập đến lượng giác đầu tiên ở châu Âu là từ thế kỷ 12.

Theo các nhà nghiên cứu, lịch sử lượng giác ở châu Âu gắn liền với tên tuổi của Richard Wallingford, người Anh, người đã trở thành tác giả của tác phẩm “Bốn chuyên luận về hợp âm thuận và nghịch”. Chính tác phẩm của ông đã trở thành tác phẩm đầu tiên hoàn toàn dành cho lượng giác. Đến thế kỷ 15, nhiều tác giả trong các tác phẩm của họ đã đề cập đến các hàm lượng giác.

Lịch sử lượng giác: Thời hiện đại

Trong thời hiện đại, hầu hết các nhà khoa học bắt đầu nhận ra tầm quan trọng tột độ của lượng giác, không chỉ trong thiên văn học và chiêm tinh học, mà còn trong các lĩnh vực khác của cuộc sống. Đây trước hết là pháo binh, quang học và dẫn đường trong những chuyến đi biển đường dài. Vì vậy, vào nửa sau của thế kỷ 16, chủ đề này được nhiều người lỗi lạc thời bấy giờ quan tâm, trong đó có Nicolaus Copernicus, Francois Vieta. Copernicus đã dành một số chương về lượng giác trong chuyên luận của ông về các cuộc cách mạng của các quả cầu thiên thể (1543). Sau đó một chút, vào những năm 60 của thế kỷ 16, Retik, một học sinh của Copernicus, đã trích dẫn các bảng lượng giác gồm mười lăm chữ số trong tác phẩm “Phần quang học của thiên văn học”.

Trong "Quy luật toán học" (1579), ông đưa ra một cách chi tiết và có hệ thống, mặc dù chưa được chứng minh, đặc điểm của lượng giác mặt phẳng và hình cầu. Và Albrecht Dürer đã trở thành người mà nhờ đó mà hình sin được sinh ra.

Công lao của Leonhard Euler

Mang lại cho lượng giác một nội dung và hình thức hiện đại là công lao của Leonhard Euler. Chuyên luận của ông Giới thiệu về Giải tích Infinites (1748) có định nghĩa về thuật ngữ "các hàm lượng giác" tương đương với định nghĩa hiện đại. Vì vậy, nhà khoa học này đã có thể xác định Nhưng và đó không phải là tất cả.

Định nghĩa các hàm lượng giác trên toàn bộ trục số đã trở nên khả thi nhờ các nghiên cứu của Euler không chỉ về các góc âm cho phép mà còn cả các góc lớn hơn 360 °. Chính ông là người đầu tiên chứng minh trong các công trình của mình rằng cosin và tiếp tuyến của một góc vuông là âm. Việc mở rộng các lũy thừa nguyên của cosin và sin cũng trở thành công lao của nhà khoa học này. Lý thuyết tổng quát về chuỗi lượng giác và nghiên cứu sự hội tụ của chuỗi kết quả không phải là đối tượng nghiên cứu của Euler. Tuy nhiên, trong quá trình giải quyết các vấn đề liên quan, ông đã có nhiều khám phá trong lĩnh vực này. Đó là nhờ công việc của ông mà lịch sử của lượng giác tiếp tục. Tóm lại trong các bài viết của mình, ông cũng đề cập đến các vấn đề của lượng giác mặt cầu.

Các ứng dụng của lượng giác

Lượng giác không áp dụng cho khoa học ứng dụng; trong thực tế cuộc sống hàng ngày, các bài toán của nó hiếm khi được sử dụng. Tuy nhiên, thực tế này không vì thế mà giảm đi ý nghĩa của nó. Ví dụ, rất quan trọng là kỹ thuật tam giác, cho phép các nhà thiên văn đo chính xác khoảng cách tới các ngôi sao gần đó và điều khiển hệ thống định vị vệ tinh.

Lượng giác cũng được sử dụng trong điều hướng, lý thuyết âm nhạc, âm học, quang học, phân tích thị trường tài chính, điện tử, lý thuyết xác suất, thống kê, sinh học, y học (ví dụ: trong giải mã siêu âm, siêu âm và chụp cắt lớp vi tính), dược phẩm, hóa học, lý thuyết số, địa chấn học , khí tượng học, đại dương học, bản đồ học, nhiều ngành vật lý, địa hình và trắc địa, kiến trúc, ngữ âm, kinh tế, kỹ thuật điện tử, kỹ thuật cơ khí, đồ họa máy tính, tinh thể học, v.v. Lịch sử lượng giác và vai trò của nó trong nghiên cứu khoa học tự nhiên và toán học đang được nghiên cứu cho đến ngày nay. Có lẽ trong tương lai sẽ có nhiều lĩnh vực ứng dụng của nó hơn nữa.

Lịch sử ra đời của các khái niệm cơ bản

Lịch sử ra đời và phát triển của lượng giác đã hơn một thế kỷ. Việc giới thiệu các khái niệm hình thành nền tảng của phần khoa học toán học này cũng không phải là ngay lập tức.

Vì vậy, khái niệm "sin" đã có một lịch sử rất lâu đời. Đề cập đến các tỷ lệ khác nhau của các phân đoạn hình tam giác và hình tròn được tìm thấy trong các công trình khoa học có niên đại từ thế kỷ thứ 3 trước Công nguyên. Các công trình của các nhà khoa học cổ đại vĩ đại như Euclid, Archimedes, Apollonius của Perga đã chứa đựng những nghiên cứu đầu tiên về các mối quan hệ này. Những khám phá mới đòi hỏi phải làm rõ một số thuật ngữ nhất định. Vì vậy, nhà khoa học Ấn Độ Aryabhata đặt cho hợp âm cái tên "jiva", có nghĩa là "dây cung". Khi các văn bản toán học Ả Rập được dịch sang tiếng Latinh, thuật ngữ này được thay thế bằng một sin (tức là "uốn cong") gần nghĩa.

Từ "cosine" xuất hiện muộn hơn nhiều. Thuật ngữ này là phiên bản viết tắt của cụm từ tiếng Latinh "sin bổ sung".

Sự xuất hiện của các tiếp tuyến gắn liền với việc giải mã bài toán xác định độ dài của bóng. Thuật ngữ "tiếp tuyến" được đưa ra vào thế kỷ thứ 10 bởi nhà toán học Ả Rập Abul-Wafa, người đã biên soạn các bảng đầu tiên để xác định tiếp tuyến và cotang. Nhưng các nhà khoa học châu Âu không biết về những thành tựu này. Nhà toán học và thiên văn học người Đức Regimontan đã khám phá lại những khái niệm này vào năm 1467. Việc chứng minh định lý tiếp tuyến là công lao của ông. Và thuật ngữ này được dịch là "quan tâm".

Lượng giác hình thành và phát triển từ thời cổ đại như một trong những nhánh của thiên văn học, như một bộ máy tính toán của nó; đáp ứng nhu cầu thiết thực của cá nhân. Thiên văn học đã xác định thực tế rằng lượng giác cầu ra đời sớm hơn lượng giác phẳng.

Người Babylon và Ai Cập cổ đại đã biết đến một số thông tin lượng giác, nhưng nền tảng của khoa học này đã được đặt ở Hy Lạp cổ đại. Tuy nhiên, họ không xem xét các dòng sin, cosine, v.v., mà là các hợp âm. Vai trò của đường sin của góc của nó trong chúng được thực hiện bởi một hợp âm, co một cung bằng 2a.

Nhà thiên văn học người Hy Lạp Hipparchus vào thế kỷ thứ 2. BC e. đã biên soạn một bảng các giá trị số của các hợp âm, tùy thuộc vào độ lớn của các cung mà chúng thu được. Thông tin đầy đủ hơn từ lượng giác có trong "Almagest" nổi tiếng của Ptolemy.

Ptolemy chia chu vi thành 360 độ và đường kính thành 120 phần. Anh ta coi bán kính bằng 60 phần (60H). Anh ta chia mỗi phần cho 60 ", và mỗi phút cho 60", giây - thành 60 phần ba (60 ""), v.v. Nói cách khác, anh ta sử dụng hệ thống số thập phân, rất có thể, do anh ta mượn từ người Babylon. . Áp dụng phép chia đã chỉ định, Ptolemy biểu thị cạnh của một hình lục giác nội tiếp đều hoặc một hợp âm kéo dài một cung 60 ° dưới dạng 60 phần của bán kính (60 H), và ông đánh đồng cạnh của một hình vuông nội tiếp hoặc một hợp âm của 90 ° với số 84 × 5110 ". Một hợp âm 120 ° - cạnh của một tam giác đều nội tiếp - anh ấy biểu thị số 103 × 55" 23 ", v.v.

Áp dụng các định lý đã biết từ hình học, nhà khoa học đã tìm thấy các phụ thuộc tương đương với các công thức hiện đại sau đây, với điều kiện:

Sử dụng các tỷ lệ này và giá trị của các hợp âm 60 ° và 72 ° được biểu thị bằng các phần của bán kính, anh ấy đã tính toán hợp âm đó phụ thuộc vào cung ở 6 °, sau đó là 3 °; 1,5 ° và cuối cùng là -0,75 °. (Giá trị của hợp âm trong He thể hiện gần đúng.)

Các tính toán được thực hiện cho phép Ptolemy biên dịch một bảng chứa các hợp âm từ 0 đến 180 °, được tính toán với độ chính xác bán kính 1 ".

Bảng này, tồn tại cho đến thời đại của chúng ta, tương đương với một bảng sin từ 0 đến 90 ° theo các bước 0,25 ° với năm chữ số thập phân chính xác.

Tên của các đường sin và côsin lần đầu tiên được giới thiệu bởi các nhà khoa học Ấn Độ. Họ cũng biên soạn các bảng đầu tiên của sin, mặc dù kém chính xác hơn bảng Ptolemaic. Ở Ấn Độ, học thuyết về đại lượng lượng giác về cơ bản bắt đầu, sau này được gọi là goniometry (từ "gonia" - góc và "mehrio" - tôi đo lường).

Học thuyết về đại lượng lượng giác được phát triển thêm vào các thế kỷ IX-XV. ở các nước Trung và Cận Đông trong các công trình của một số nhà toán học, những người không chỉ tận dụng những thành tựu trong lĩnh vực này tồn tại vào thời điểm đó, mà còn đóng góp đáng kể cho khoa học.

Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi (thế kỷ IX) nổi tiếng đã biên soạn các bảng về sin và cotang. Al-Khabash hoặc (Ahmed ibn Abdallah al-Marwazi) đã tính toán các bảng cho tiếp tuyến, cotang và cosecant.

Các công trình của al-Battani (khoảng 850-929) và Abu-l-Vafa al-Buzjani (940-998) có tầm quan trọng lớn trong sự phát triển lượng giác. Sau đó suy ra định lý sin của lượng giác cầu, tính toán một bảng cho sin với khoảng 15 ", các giá trị được cho với độ chính xác lên đến chữ số thập phân thứ 8, tìm thấy các đoạn tương ứng với secant và cosecant.

Abu Rayhan Muhammad ibn Ahmad-al-Beruni (theo một phiên âm khác của Biruni (973--1048)) đã tóm tắt và đồng thời chỉ rõ những kết quả mà những người tiền nhiệm của ông đã đạt được trong lĩnh vực lượng giác. Trong tác phẩm "Canon Mas" ud ", ông đã phác thảo tất cả các quy định của lượng giác được biết đến vào thời điểm đó và bổ sung đáng kể cho chúng. Al-Beruni đã xác nhận sự đổi mới quan trọng do Abu-l-Vafa thực hiện. Thay vì chia bán kính thành các phần do Ptolemy , họ đã lấy đơn vị bán kính Al-Beruni đã giải thích chi tiết lý do của sự thay đổi này, cho thấy rằng mọi phép tính với bán kính đơn vị đều đơn giản hơn nhiều.

Nasir ad-Din Muhammad at-Tusi (1201--1274) trong "Chuyên luận về tứ giác hoàn chỉnh" của ông lần đầu tiên đã trình bày thông tin lượng giác như một bộ phận toán học độc lập, chứ không phải là một phần phụ của thiên văn học. Luận thuyết của ông sau này có ảnh hưởng lớn đến công việc của Regiomontanus (1436--1476).

Vào nửa đầu thế kỷ XV. Jamshid ibn Masud al-Kashi đã tính toán các bảng lượng giác với bước c với độ chính xác cao. G, trong suốt 250 năm vẫn không có gì vượt trội.

Ở châu Âu trong các thế kỷ XII-XV, sau khi một số tác phẩm toán học và thiên văn cổ điển được dịch từ tiếng Ả Rập và tiếng Hy Lạp sang tiếng Latinh, sự phát triển của lượng giác vẫn tiếp tục. Khi giải các tam giác phẳng, định lý sin được sử dụng rộng rãi, được phát hiện lại bởi Leo Gersonides (1288-1344), người sống ở miền nam nước Pháp, người có lượng giác được dịch sang tiếng Latinh năm 1342. Đại diện châu Âu nổi bật nhất của thời đại này trong lĩnh vực lượng giác là Regiomontanus. Bảng mở rộng của ông về các sin đến Г với độ chính xác lên đến con số quan trọng thứ 7 và tác phẩm lượng giác được trình bày một cách xuất sắc của ông Năm cuốn sách về tam giác của tất cả các loại có tầm quan trọng to lớn đối với sự phát triển hơn nữa của lượng giác trong thế kỷ 16-17.

Trước ngưỡng cửa của thế kỷ 17 trong sự phát triển của lượng giác, một hướng mới được vạch ra - phân tích. Nếu trước đó mục tiêu chính của lượng giác được coi là nghiệm của tam giác, phép tính các yếu tố của hình học và học thuyết về hàm số lượng giác được xây dựng trên cơ sở hình học thì đến thế kỷ XVII-XIX. lượng giác dần trở thành một trong những chương của giải tích toán học. Nó được ứng dụng rộng rãi trong cơ học, vật lý và công nghệ, đặc biệt là trong nghiên cứu chuyển động dao động và các quá trình tuần hoàn khác. Việt biết về tính chất tuần hoàn của các hàm lượng giác, những nghiên cứu toán học đầu tiên liên quan đến lượng giác. Nhà toán học người Thụy Sĩ Johann Bernoulli (1642--1727) đã sử dụng các ký hiệu của các hàm lượng giác. Và nếu sự phát triển của biểu tượng đại số, sự ra đời của các số âm và các phân đoạn có hướng góp phần mở rộng khái niệm về góc và cung, thì sự phát triển của học thuyết về chuyển động dao động, của âm thanh, ánh sáng và sóng điện từ đã dẫn đến sự thật rằng việc nghiên cứu và mô tả các quá trình dao động đã trở thành nội dung chính của lượng giác. Từ vật lý học ta biết rằng phương trình của dao động điều hòa (ví dụ dao động của con lắc, dòng điện xoay chiều) có dạng:

Đồ thị của dao động điều hòa là hình sin, do đó, trong vật lý và kỹ thuật, bản thân dao động điều hòa thường được gọi là dao động hình sin.

Vào nửa đầu TK XIX. nhà khoa học người Pháp J. Fourier đã chứng minh rằng bất kỳ chuyển động tuần hoàn nào cũng có thể được biểu diễn (với bất kỳ mức độ chính xác nào) dưới dạng tổng của các dao động điều hòa đơn giản.

Việc mở rộng các ý tưởng về các hàm lượng giác đã dẫn đến việc chứng minh chúng trên một cơ sở phân tích mới: các hàm lượng giác được định nghĩa độc lập với hình học bằng cách sử dụng chuỗi lũy thừa và các khái niệm phân tích toán học khác.

I. Newton và L. Euler đã đóng góp vào sự phát triển lý thuyết giải tích của các hàm lượng giác. L. Euler nên được coi là người sáng lập ra lý thuyết này. Ông đã cho toàn bộ lượng giác một cái nhìn hiện đại. Sự phát triển thêm của lý thuyết này đã được tiếp tục trong thế kỷ 19. N.I. Lobachevsky và các nhà khoa học khác. Ngày nay, lượng giác không còn được coi là một nhánh độc lập của toán học. Phần quan trọng nhất của nó, học thuyết về các hàm lượng giác, là một phần của lý thuyết tổng quát hơn, được xây dựng theo quan điểm thống nhất, về lý thuyết hàm được nghiên cứu trong giải tích toán học; phần còn lại - nghiệm của tam giác - được coi là đầu của hình học (phẳng và cầu).

Ptolemy chia chu vi thành 360 độ và đường kính thành 120 phần. Anh ta coi bán kính bằng 60 phần (60H). Anh ta chia mỗi phần cho 60 ", và mỗi phút cho 60", giây - cho 60 phần ba (60 ""), v.v. Nói cách khác, anh ta đã sử dụng hệ thống số thập phân, rất có thể được anh ta mượn từ người Babylon. Sử dụng phép chia đã chỉ định, Ptolemy thể hiện cạnh của một hình lục giác nội tiếp thông thường hoặc một hợp âm kéo dài một cung 60 ° dưới dạng 60 phần của bán kính (60 H) và tính cạnh của một hình vuông nội tiếp hoặc một hợp âm 90 ° thành số 84 × 5110 ". Một hợp âm 120 ° là một cạnh của một tam giác đều nội tiếp - anh ta biểu thị số 103 × 55" 23 ", v.v.

Áp dụng các định lý đã biết từ hình học, nhà khoa học đã tìm thấy các phụ thuộc tương đương với các công thức hiện đại sau đây, với điều kiện:

Sử dụng các tỷ lệ này và các giá trị của hợp âm 60 ° "và 72 ° được biểu thị bằng các phần của bán kính, ông đã tính toán hợp âm làm phụ cung ở góc 6 °, sau đó là 3 °; 1,5 ° và cuối cùng là -0,75 °. (Giá trị của hợp âm trong Г he là gần đúng.)

Các tính toán được thực hiện cho phép Ptolemy biên dịch một bảng chứa các hợp âm từ 0 đến 180 °, được tính toán với độ chính xác bán kính 1 ".

Học thuyết về đại lượng lượng giác được phát triển thêm vào thế kỷ 9-15. ở các nước Trung và Cận Đông trong các công trình của một số nhà toán học, những người không chỉ tận dụng những thành tựu trong lĩnh vực này tồn tại vào thời điểm đó, mà còn đóng góp đáng kể cho khoa học.

Abu Rayhan Muhammad ibn Ahmad-al-Beruni (theo một phiên âm khác của Biruni (973-1048)) đã tóm tắt và đồng thời chỉ rõ những kết quả mà những người tiền nhiệm đã đạt được trong lĩnh vực lượng giác. Trong tác phẩm "Canon Mas" ud ", ông đã phác thảo tất cả các quy định của lượng giác được biết đến vào thời điểm đó và bổ sung đáng kể cho chúng. Al-Beruni đã xác nhận sự đổi mới quan trọng do Abu-l-Vafa thực hiện. Thay vì chia bán kính thành các phần do Ptolemy , họ đã lấy đơn vị bán kính Al-Beruni đã giải thích chi tiết lý do của sự thay đổi này, cho thấy rằng mọi phép tính với bán kính đơn vị đều đơn giản hơn nhiều.

Năm 1 Luận thuyết của ông sau này có ảnh hưởng lớn đến công việc của Regiomontanus (1436-1476).

Ở châu Âu trong thế kỷ 12-15, sau khi một số tác phẩm toán học và thiên văn cổ điển được dịch từ tiếng Ả Rập và tiếng Hy Lạp sang tiếng Latinh, sự phát triển của lượng giác vẫn tiếp tục. Khi giải các tam giác phẳng, định lý sin được sử dụng rộng rãi, được phát hiện lại bởi Leo Gersonides (1288-1344), người sống ở miền nam nước Pháp, người có lượng giác được dịch sang tiếng Latinh năm 1342. Đại diện châu Âu nổi bật nhất của thời đại này trong lĩnh vực lượng giác là Regiomontanus. Các bảng bao quát về sin của ông cho đến con số quan trọng thứ 7 và tác phẩm lượng giác được trình bày một cách xuất sắc của ông Năm cuốn sách về tam giác của tất cả các loại có tầm quan trọng to lớn đối với sự phát triển hơn nữa của lượng giác trong thế kỷ 16-17.

Trước ngưỡng cửa của thế kỷ 17 trong sự phát triển của lượng giác, một hướng mới được vạch ra - phân tích. Nếu trước đó mục tiêu chính của lượng giác được coi là nghiệm của tam giác, phép tính các yếu tố của hình học và học thuyết về hàm số lượng giác được xây dựng trên cơ sở hình học thì đến thế kỷ XVII-XIX. lượng giác dần trở thành một trong những chương của giải tích toán học. Nó được ứng dụng rộng rãi trong cơ học, vật lý và công nghệ, đặc biệt là trong nghiên cứu chuyển động dao động và các quá trình tuần hoàn khác. Việt biết về tính chất tuần hoàn của các hàm lượng giác, những nghiên cứu toán học đầu tiên liên quan đến lượng giác. Nhà toán học Thụy Sĩ Johann Bernoulli (1642-1727) đã sử dụng các ký hiệu cho các hàm lượng giác. Và nếu sự phát triển của biểu tượng đại số, sự ra đời của các số âm và các phân đoạn có hướng góp phần mở rộng khái niệm về góc và cung, thì sự phát triển của học thuyết về chuyển động dao động, của âm thanh, ánh sáng và sóng điện từ đã dẫn đến sự thật rằng việc nghiên cứu và mô tả các quá trình dao động đã trở thành nội dung chính của lượng giác. Từ vật lý học ta biết rằng phương trình của dao động điều hòa (ví dụ dao động của con lắc, dòng điện xoay chiều) có dạng:

Đồ thị của dao động điều hòa là hình sin, do đó, trong vật lý và kỹ thuật, bản thân dao động điều hòa thường được gọi là dao động hình sin.

I. Newton và L. Euler đã đóng góp vào sự phát triển lý thuyết giải tích của các hàm lượng giác. L. Euler nên được coi là người sáng lập ra lý thuyết này. Ông đã cho toàn bộ lượng giác một cái nhìn hiện đại. Sự phát triển thêm của lý thuyết này đã được tiếp tục trong thế kỷ 19. N.I. Lobachevsky và các nhà khoa học khác. Ngày nay, lượng giác không còn được coi là một nhánh độc lập của toán học. Phần quan trọng nhất của nó - học thuyết về các hàm lượng giác - là một phần của lý thuyết tổng quát hơn, được xây dựng theo quan điểm thống nhất, về lý thuyết hàm được nghiên cứu trong giải tích toán học; phần còn lại - nghiệm của tam giác - được coi là đầu của hình học (phẳng và cầu).

Kết thúc công việc -

Chủ đề này thuộc về:

Báo cáo về lịch sử ra đời của các hàm số lượng giác

Báo cáo .. lịch sử ra đời của hàm số lượng giác .. sơ lược về sự phát triển của hàm số lượng giác ra đời và phát triển ở ..

Nếu bạn cần tài liệu bổ sung về chủ đề này, hoặc bạn không tìm thấy những gì bạn đang tìm kiếm, chúng tôi khuyên bạn nên sử dụng tìm kiếm trong cơ sở dữ liệu của chúng tôi về các tác phẩm:

Chúng tôi sẽ làm gì với tài liệu nhận được:

Nếu tài liệu này hữu ích cho bạn, bạn có thể lưu nó vào trang của mình trên mạng xã hội:

Gửi công việc tốt của bạn trong cơ sở kiến thức là đơn giản. Sử dụng biểu mẫu bên dưới

Các sinh viên, nghiên cứu sinh, các nhà khoa học trẻ sử dụng nền tảng tri thức trong học tập và làm việc sẽ rất biết ơn các bạn.

Lưu trữ tại http://www.allbest.ru/

Sở giáo dục thành phố Matxcova

Ngân sách nhà nước cơ sở giáo dục

Giáo dục nghề nghiệp trung học

Cao đẳng xây dựng №38

Báo cáo toán học

Về chủ đề: "Lịch sử phát triển của lượng giác"

Hoàn thành bởi một sinh viên:

Udalova Evgenia

Nhóm: 1-T-1

Matxcova 2012

Từ lượng giác xuất hiện lần đầu tiên vào năm 1505 trong tiêu đề một cuốn sách của nhà toán học người Đức Pitiscus.

Trigonometry là một từ tiếng Hy Lạp và có nghĩa đen là phép đo các hình tam giác (trigwnon - một hình tam giác, và metrew - tôi đo).

Trong trường hợp này, số đo tam giác nên được hiểu là nghiệm của tam giác, nghĩa là xác định các cạnh, góc và các yếu tố khác của tam giác, nếu một số trong số chúng được cho trước. Một số lượng lớn các bài toán thực tế, cũng như các bài toán về phép đo phẳng, phép đo lập thể, thiên văn học, và những bài toán khác, được rút gọn thành bài toán giải tam giác.

Sự xuất hiện của lượng giác gắn liền với khảo sát đất đai, thiên văn học và xây dựng.

Lần đầu tiên, các phương pháp giải tam giác dựa trên sự phụ thuộc giữa các cạnh và góc của tam giác đã được các nhà thiên văn Hy Lạp cổ đại Hipparchus (thế kỷ 2 trước Công nguyên) và Claudius Ptolemy (thế kỷ 2 sau Công nguyên) tìm ra. Sau đó, mối quan hệ giữa tỉ số các cạnh của một tam giác và các góc của nó bắt đầu được gọi là các hàm lượng giác.

Các nhà khoa học Ả Rập Al-Batani (850-929) và Abu-l-Wafa, Mohamed-bin Mohamed (940-998) đã đóng góp đáng kể vào sự phát triển của lượng giác, những người đã biên soạn các bảng của sin và tiếp tuyến qua 10 "với độ chính xác là 1/604. Định lý sin đã được nhà khoa học Ấn Độ Bhaskara (sinh năm 1114, không rõ năm mất) và nhà thiên văn học kiêm toán học người Azerbaijan Nasnticdin Tusi Mukhamed (1201-1274) kỷ luật.

Khái niệm sin có lịch sử lâu đời. Trên thực tế, các tỷ lệ khác nhau của các phân đoạn của một tam giác và một đường tròn (và về bản chất là các hàm lượng giác) đã được tìm thấy vào thế kỷ thứ 3 trước Công nguyên. e. trong các công trình của các nhà toán học vĩ đại của Hy Lạp cổ đại - Euclid, Archimedes, Apollonius của Perga. Trong thời kỳ La Mã, các mối quan hệ này đã được Menelaus (thế kỷ 1 sau Công Nguyên) nghiên cứu khá có hệ thống, mặc dù chúng không có một cái tên đặc biệt nào. Ví dụ, sin a hiện đại được nghiên cứu như một nửa hợp âm được hỗ trợ bởi góc trung tâm của cường độ a, hoặc như một hợp âm của một cung kép.

Vào thế kỷ 4 đến thế kỷ 5, một thuật ngữ đặc biệt đã xuất hiện trong các công trình nghiên cứu về thiên văn học của nhà khoa học Ấn Độ vĩ đại Aryabhata, người mà vệ tinh Ấn Độ đầu tiên của Trái đất được đặt tên. Ông gọi đoạn AM là ardhajiva (ardha - một nửa, jiva - dây cung, giống như một hợp âm). Sau đó, cái tên ngắn hơn jiva xuất hiện. Các nhà toán học Ả Rập vào thế kỷ thứ 9 đã thay thế từ này bằng từ Ả Rập jayb (phình to). Khi dịch các văn bản toán học tiếng Ả Rập trong thế kỷ này, nó được thay thế bằng sin Latinh (sin - uốn cong, độ cong).

Tiếp tuyến nảy sinh liên quan đến lời giải của bài toán xác định độ dài của bóng. Tiếp tuyến (cũng như cotang) được giới thiệu vào thế kỷ thứ 10 bởi nhà toán học Ả Rập Abul-Wafa, người cũng đã biên soạn các bảng đầu tiên để tìm tiếp tuyến và cotang. Tuy nhiên, những khám phá này vẫn chưa được các nhà khoa học châu Âu biết đến trong một thời gian dài, và tiếp tuyến chỉ được nhà toán học người Đức, nhà thiên văn học Regimontan (1467) phát hiện lại vào thế kỷ 14. Ông đã chứng minh định lý tiếp tuyến. Regiomontanus cũng biên soạn các bảng lượng giác chi tiết; Nhờ công trình nghiên cứu của ông, lượng giác mặt phẳng và mặt cầu cũng trở thành một ngành độc lập ở châu Âu.

Cái tên "tangent", xuất phát từ tiếng Latin tanger (chạm vào), xuất hiện vào năm 1583. Tangens được dịch là "chạm" (đường của tiếp tuyến là tiếp tuyến của đường tròn đơn vị).

Bắt đầu từ thế kỷ 17, các hàm lượng giác bắt đầu được ứng dụng để giải các phương trình, các bài toán về cơ học, quang học, điện học, kỹ thuật vô tuyến điện, để mô tả các quá trình dao động, truyền sóng, chuyển động của các cơ chế khác nhau, nghiên cứu dòng điện xoay chiều, v.v. , các hàm lượng giác được nghiên cứu toàn diện và sâu sắc, có ý nghĩa quan trọng đối với tất cả toán học.

Lý thuyết giải tích của các hàm lượng giác chủ yếu được tạo ra bởi nhà toán học xuất sắc của thế kỷ 18, Leonhard Euler (1707-1783), thành viên của Viện Hàn lâm Khoa học St. Di sản khoa học khổng lồ của Euler bao gồm các kết quả rực rỡ liên quan đến phân tích toán học, hình học, lý thuyết số, cơ học và các ứng dụng khác của toán học. Chính Euler là người đầu tiên đưa ra các định nghĩa nổi tiếng về các hàm lượng giác, bắt đầu xem xét các hàm của một góc tùy ý và thu được các công thức rút gọn. Sau Euler, lượng giác bắt đầu xuất hiện dưới dạng giải tích: nhiều dữ kiện khác nhau bắt đầu được chứng minh bằng cách áp dụng chính thức các công thức lượng giác, việc chứng minh trở nên gọn gàng và đơn giản hơn nhiều.

Do đó, lượng giác, vốn ra đời như là khoa học giải các tam giác, cuối cùng đã phát triển thành khoa học về các hàm lượng giác.

Sau đó, phần lượng giác, nghiên cứu các tính chất của các hàm lượng giác và mối quan hệ giữa chúng, bắt đầu được gọi là goniometry (trong bản dịch - khoa học đo góc, từ tiếng Hy Lạp gwnia - angle, metrew - I Measure). Thuật ngữ đo sinh trắc học đã không còn được sử dụng nhiều trong những năm gần đây.

toán học lượng giác pitiscus

Được lưu trữ trên Allbest.ru

...

Tài liệu tương tự

Khái niệm lượng giác, bản chất và tính năng của nó, lịch sử ra đời và phát triển. Cấu trúc của lượng giác, các yếu tố và đặc điểm của nó. Sự sáng tạo và phát triển của lý thuyết giải tích hàm lượng giác, vai trò của viện sĩ Leonhard Euler trong đó.

công việc sáng tạo, thêm 15/02/2009

Làm quen với các tính năng của sự xuất hiện của lượng giác, xem xét các giai đoạn phát triển. Phân tích các cách giải tam giác dựa vào sự phụ thuộc giữa các cạnh và các góc của tam giác. Đặc điểm của lý thuyết giải tích các hàm số lượng giác.

bản trình bày, thêm 24/06/2014

Toán học của Trung Quốc cổ đại và trung đại. Quy tắc hai vị trí sai. Hệ phương trình tuyến tính nhiều ẩn số. Các giai đoạn ban đầu của sự phát triển của lượng giác. Tạo đánh số thập phân theo vị trí. Số học các số tự nhiên và phân số.

luận án, bổ sung 22/12/2012

Phát triển tư duy phân tích, logic, xây dựng của học sinh và hình thành tính cảnh giác trong toán học của các em. Nghiên cứu phần lượng giác trong chương trình hình học cơ bản ở trường, các phương pháp giải các bài toán không chuẩn từ lớp 8 và từ các sách giáo khoa thay thế.

hạn giấy, bổ sung 03/01/2014

Toán học Châu Âu thời Phục hưng. François Việt đã sáng tạo ra giải tích chữ và một phương pháp giải phương trình. Cải tiến các phép tính vào cuối thế kỷ 16 - đầu thế kỷ 17: phân số thập phân, logarit. Thiết lập mối liên hệ giữa lượng giác và đại số.

trình bày, thêm 20/09/2015

Các khái niệm về hình học mặt cầu, sự tương ứng giữa hình học mặt cầu và hình phẳng. Ứng dụng lượng giác cầu trong chuyển hướng. Góc của một đa giác cầu, phân tích tiên đề planimetric. Định lý côsin cho tam giác cầu.

hạn giấy, bổ sung 12/06/2011

Lịch sử phát triển của lượng giác, đặc điểm của các khái niệm và công thức cơ bản của nó. Câu hỏi chung, mục tiêu học tập và cách xác định các hàm lượng giác của một đối số trong một khóa học ở trường. Đề xuất và phương pháp giải phương trình lượng giác.

hạn giấy, bổ sung ngày 19 tháng 10 năm 2011

Cơ cấu lại cấu trúc và nội dung chương trình môn toán trong quá trình đổi mới giáo dục toán học. Định nghĩa côsin, sin và tiếp tuyến của một góc nhọn. Các công thức lượng giác cơ bản. Khái niệm và các tính chất cơ bản của vectơ.

luận án, bổ sung 01/11/2011

Đặc thù của thời kỳ toán học của hằng số. Sáng tạo số học, đại số, hình học và lượng giác. Đặc điểm chung của văn hóa toán học Hy Lạp cổ đại. Trường phái Pitago. Khám phá về tính không phù hợp, bảng Pitago. "Sự khởi đầu" của Euclid.