Cách tìm bội nhỏ nhất của một số. Cách tìm bội số chung nhỏ nhất nhưng cho hai hoặc nhiều số

Tài liệu được trình bày dưới đây là sự tiếp nối hợp lý của lý thuyết từ bài báo dưới tiêu đề LCM - bội số ít phổ biến nhất, định nghĩa, ví dụ, mối quan hệ giữa LCM và GCD. Ở đây chúng ta sẽ nói về tìm bội số chung nhỏ nhất (LCM), và đặc biệt chú ý đến việc giải các ví dụ. Đầu tiên chúng ta hãy trình bày cách tính LCM của hai số theo GCD của những số này. Tiếp theo, hãy xem xét việc tìm bội số chung nhỏ nhất bằng cách gộp các số thành thừa số nguyên tố. Sau đó, chúng ta sẽ tập trung vào việc tìm LCM của ba số trở lên, và cũng chú ý đến việc tính LCM của các số âm.

Điều hướng trang.

Tính toán bội số phổ biến nhất (LCM) thông qua gcd

Một cách để tìm bội số phổ biến nhất là dựa trên mối quan hệ giữa LCM và GCD. Mối quan hệ hiện có giữa LCM và GCD cho phép bạn tính bội số chung nhỏ nhất của hai số nguyên dương thông qua ước số chung lớn nhất đã biết. Công thức tương ứng có dạng LCM (a, b) = a b: GCM (a, b) . Hãy xem xét các ví dụ về việc tìm LCM theo công thức trên.

Ví dụ.

Tìm bội chung nhỏ nhất của hai số 126 và 70.

Giải pháp.

Trong ví dụ này a = 126, b = 70. Chúng ta hãy sử dụng mối quan hệ giữa LCM và GCD được biểu thị bằng công thức LCM (a, b) = a b: GCM (a, b). Đó là, trước tiên chúng ta phải tìm ước chung lớn nhất của các số 70 và 126, sau đó chúng ta có thể tính LCM của các số này theo công thức đã viết.

Tìm gcd (126, 70) bằng thuật toán Euclid: 126 = 70 1 + 56, 70 = 56 1 + 14, 56 = 14 4, do đó gcd (126, 70) = 14.

Bây giờ chúng tôi tìm thấy bội số chung nhỏ nhất được yêu cầu: LCM (126, 70) = 126 70: GCM (126, 70) = 126 70: 14 = 630.

Trả lời:

LCM (126, 70) = 630.

Ví dụ.

LCM (68, 34) là gì?

Giải pháp.

Tại vì 68 chia hết cho 34 thì gcd (68, 34) = 34. Bây giờ chúng ta tính bội số chung nhỏ nhất: LCM (68, 34) = 68 34: LCM (68, 34) = 68 34: 34 = 68.

Trả lời:

LCM (68, 34) = 68.

Lưu ý rằng ví dụ trước phù hợp với quy tắc sau để tìm LCM cho các số nguyên dương a và b: nếu số a chia hết cho b thì bội chung nhỏ nhất của các số này là a.

Tìm LCM bằng cách tính các số thành thừa số nguyên tố

Một cách khác để tìm bội số chung nhỏ nhất là dựa trên việc gộp các số thành thừa số nguyên tố. Nếu chúng ta tạo một tích của tất cả các thừa số nguyên tố của các số này, sau đó chúng ta loại trừ khỏi tích này tất cả các thừa số nguyên tố chung có mặt trong các khai triển của các số này, thì tích kết quả sẽ bằng bội số chung nhỏ nhất của các số này.

Quy tắc đã công bố để tìm LCM tuân theo bình đẳng LCM (a, b) = a b: GCM (a, b). Thật vậy, tích của các số a và b bằng tích của tất cả các thừa số liên quan đến khai triển của các số a và b. Đổi lại, gcd (a, b) bằng tích của tất cả các thừa số nguyên tố đồng thời có mặt trong các khai triển của số a và b (được mô tả trong phần tìm gcd bằng cách sử dụng phân rã các số thành thừa số nguyên tố ).

Hãy lấy một ví dụ. Cho chúng ta biết rằng 75 = 3 5 5 và 210 = 2 3 5 7. Tính tổng của tất cả các thừa số của các khai triển này: 2 3 3 5 5 5 7. Bây giờ chúng ta loại trừ khỏi sản phẩm này tất cả các thừa số có cả trong khai triển của số 75 và trong khai triển của số 210 (các thừa số đó là 3 và 5), thì tích sẽ có dạng 2 3 5 5 7. Giá trị của tích này bằng bội số chung nhỏ nhất của các số 75 và 210, nghĩa là LCM (75, 210) = 2 3 5 5 7 = 1 050.

Ví dụ.

Sau khi cộng thừa số 441 và 700 thành các thừa số nguyên tố, hãy tìm bội số chung nhỏ nhất của các số này.

Giải pháp.

Hãy phân tích các số 441 và 700 thành các thừa số nguyên tố:

Ta nhận được 441 = 3 3 7 7 và 700 = 2 2 5 5 7.

Bây giờ, hãy lập một tích của tất cả các thừa số liên quan đến khai triển của các số này: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Chúng ta hãy loại trừ khỏi sản phẩm này tất cả các yếu tố xuất hiện đồng thời trong cả hai lần mở rộng (chỉ có một yếu tố như vậy - đây là số 7): 2 2 3 3 5 5 7 7. Theo cách này, LCM (441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

Trả lời:

LCM (441, 700) = 44 100.

Quy tắc tìm LCM bằng cách sử dụng phân rã các số thành các thừa số nguyên tố có thể được xây dựng hơi khác một chút. Nếu ta thêm thừa số còn thiếu từ khai triển số b với thừa số từ khai triển số a, thì giá trị của tích thu được sẽ bằng bội chung nhỏ nhất của hai số a và b..

Ví dụ, chúng ta hãy lấy tất cả các số giống nhau 75 và 210, khai triển của chúng thành các thừa số nguyên tố như sau: 75 = 3 5 5 và 210 = 2 3 5 7. Với các thừa số 3, 5 và 5 từ khai triển số 75, ta thêm thừa số còn thiếu 2 và 7 từ khai triển số 210, ta được tích 2 3 5 5 7, giá trị của nó là LCM (75 , 210).

Ví dụ.

Tìm bội chung nhỏ nhất của 84 và 648.

Giải pháp.

Đầu tiên chúng ta nhận được sự phân rã của các số 84 và 648 thành các thừa số nguyên tố. Chúng có dạng 84 = 2 2 3 7 và 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Với các thừa số 2, 2, 3 và 7 từ khai triển của số 84, ta thêm các thừa số còn thiếu 2, 3, 3 và 3 từ khai triển của số 648, ta được tích 2 2 2 3 3 3 3 7, bằng 4 536. Do đó, bội số chung nhỏ nhất mong muốn của các số 84 và 648 là 4 536.

Trả lời:

LCM (84, 648) = 4 536.

Tìm LCM của ba số trở lên

Bội số chung nhỏ nhất của ba số trở lên có thể được tìm thấy bằng cách tìm liên tiếp LCM của hai số. Nhắc lại định lý tương ứng, nêu cách tìm LCM của ba số trở lên.

Định lý.

Cho các số nguyên dương a 1, a 2,…, ak, bội số chung nhỏ nhất của các số này được tìm thấy trong phép tính liên tiếp m 2 = LCM (a 1, a 2), m 3 = LCM (m 2, a 3),…, mk = LCM (mk − 1, ak).

Hãy xem xét ứng dụng của định lý này trong ví dụ về tìm bội chung nhỏ nhất của bốn số.

Ví dụ.

Tìm ƯCLN của bốn số 140, 9, 54 và 250.

Giải pháp.

Trong ví dụ này, a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.

Đầu tiên chúng tôi tìm thấy m 2 \ u003d LCM (a 1, a 2) \ u003d LCM (140, 9). Để làm điều này, sử dụng thuật toán Euclide, chúng tôi xác định gcd (140, 9), chúng tôi có 140 = 9 15 + 5, 9 = 5 1 + 4, 5 = 4 1 + 1, 4 = 1 4, do đó, gcd ( 140, 9) = 1, khi đó LCM (140, 9) = 140 9: LCM (140, 9) = 140 9: 1 = 1 260. Tức là, m 2 = 1 260.

Bây giờ chúng tôi tìm thấy m 3 \ u003d LCM (m 2, a 3) \ u003d LCM (1 260, 54). Hãy tính toán nó thông qua gcd (1 260, 54), cũng được xác định bởi thuật toán Euclid: 1 260 = 54 23 + 18, 54 = 18 3. Khi đó gcd (1 260, 54) = 18, khi đó LCM (1 260, 54) = 1 260 54: gcd (1 260, 54) = 1 260 54: 18 = 3 780. Đó là, m 3 \ u003d 3 780.

Còn lại để tìm m 4 \ u003d LCM (m 3, a 4) \ u003d LCM (3 780, 250). Để làm điều này, chúng tôi tìm GCD (3 780, 250) bằng cách sử dụng thuật toán Euclid: 3 780 = 250 15 + 30, 250 = 30 8 + 10, 30 = 10 3. Do đó, gcd (3 780, 250) = 10, khi đó gcd (3 780, 250) = 3 780 250: gcd (3 780, 250) = 3 780 250: 10 = 94 500. Đó là, m 4 \ u003d 94 500.

Vì vậy, bội số chung nhỏ nhất của bốn số ban đầu là 94.500.

Trả lời:

LCM (140, 9, 54, 250) = 94.500.

Trong nhiều trường hợp, bội số chung nhỏ nhất của ba số trở lên được tìm thấy một cách thuận tiện bằng cách sử dụng thừa số nguyên tố của các số đã cho. Trong trường hợp này, cần tuân theo quy tắc sau. Bội số chung nhỏ nhất của một số số bằng tích, được cấu tạo như sau: các thừa số còn thiếu từ khai triển của số thứ hai được cộng với tất cả các thừa số từ khai triển của số thứ nhất, thừa số còn thiếu từ khai triển của số thứ ba được thêm vào các hệ số thu được, v.v.

Hãy xem xét một ví dụ về việc tìm bội số chung nhỏ nhất bằng cách sử dụng phép chia nhỏ các số thành thừa số nguyên tố.

Ví dụ.

Tìm bội chung nhỏ nhất của năm số 84, 6, 48, 7, 143.

Giải pháp.

Đầu tiên, chúng ta thu được các khai triển của các số này thành các thừa số nguyên tố: 84 = 2 2 3 7, 6 = 2 3, 48 = 2 2 2 2 3, 7 thừa số nguyên tố) và 143 = 11 13.

Để tìm LCM của các số này, đến các thừa số của số đầu tiên 84 (chúng là 2, 2, 3 và 7), bạn cần thêm các thừa số còn thiếu từ khai triển của số thứ hai 6. Sự mở rộng của số 6 không chứa thừa số, vì cả 2 và 3 đều đã có mặt trong sự khai triển của số 84 đầu tiên. Thêm vào các thừa số 2, 2, 3 và 7, chúng ta thêm các thừa số 2 và 2 còn thiếu từ khai triển của số thứ ba 48, chúng ta nhận được một tập hợp các thừa số 2, 2, 2, 2, 3 và 7. Không cần thêm hệ số vào tập hợp này trong bước tiếp theo, vì 7 đã được chứa trong đó. Cuối cùng, đối với các thừa số 2, 2, 2, 2, 3 và 7, chúng ta thêm các thừa số còn thiếu 11 và 13 từ khai triển số 143. Ta nhận được tích 2 2 2 2 3 7 11 13 bằng 48 048.

Ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất là những khái niệm số học quan trọng cho phép bạn dễ dàng thao tác với các phân số thông thường. LCM và thường được sử dụng để tìm mẫu số chung của một số phân số.

Các khái niệm cơ bản

Ước của một số nguyên X là một số nguyên Y khác mà X chia hết mà không có dư. Ví dụ, ước của 4 là 2 và 36 là 4, 6, 9. Bội của số nguyên X là số Y chia hết cho X mà không có dư. Ví dụ: 3 là bội của 15 và 6 là bội của 12.

Đối với bất kỳ cặp số nào, chúng ta có thể tìm thấy ước và bội chung của chúng. Ví dụ: đối với 6 và 9, bội chung là 18 và ước chung là 3. Rõ ràng, các cặp có thể có một số ước và bội, vì vậy ước lớn nhất của GCD và bội nhỏ nhất của LCM được sử dụng trong các phép tính. .

Ước số nhỏ nhất không có ý nghĩa, vì đối với bất kỳ số nào, nó luôn là một. Bội số lớn nhất cũng vô nghĩa, vì chuỗi bội số có xu hướng vô cùng.

Tìm GCD

Có nhiều phương pháp để tìm ước số chung lớn nhất, trong đó nổi tiếng nhất là:

liệt kê tuần tự các ước, chọn các ước chung cho một cặp và tìm kiếm ước lớn nhất trong số đó;
sự phân chia các số thành các thừa số không chia hết;
Thuật toán Euclid;
thuật toán nhị phân.

Ngày nay, trong các cơ sở giáo dục, phổ biến nhất là phương pháp phân tích thành thừa số nguyên tố và thuật toán Euclide. Đến lượt nó, phương trình thứ hai được sử dụng để giải phương trình Diophantine: việc tìm kiếm GCD được yêu cầu để kiểm tra phương trình về khả năng giải nó dưới dạng số nguyên.

Tìm NOC

Bội số chung nhỏ nhất cũng được xác định chính xác bằng cách liệt kê lặp đi lặp lại hoặc phân tích nhân tử thành các thừa số không chia hết. Ngoài ra, thật dễ dàng tìm thấy LCM nếu ước số lớn nhất đã được xác định. Đối với các số X và Y, LCM và GCD có liên quan với nhau theo quan hệ sau:

LCM (X, Y) = X × Y / GCM (X, Y).

Ví dụ: nếu gcd (15,18) = 3, thì LCM (15,18) = 15 × 18/3 = 90. Công dụng rõ ràng nhất của LCM là tìm mẫu số chung, là bội số chung nhỏ nhất của phân số đã cho.

Số Coprime

Nếu một cặp số không có ước số chung, thì một cặp số đó được gọi là số nguyên tố. GCM cho các cặp như vậy luôn bằng một và dựa trên kết nối của các ước số và bội số, GCM cho số nguyên tố bằng tích của chúng. Ví dụ: số 25 và 28 là số nguyên tố, vì chúng không có ước chung và LCM (25, 28) = 700, tương ứng với tích của chúng. Hai số không chia được sẽ luôn là số nguyên tố cùng nhau.

Số chia chung và Máy tính nhiều

Với máy tính của chúng tôi, bạn có thể tính GCD và LCM cho bất kỳ số lượng con số nào để lựa chọn. Các nhiệm vụ tính ước và bội chung được tìm thấy trong số học lớp 5 và lớp 6, tuy nhiên, GCD và LCM là những khái niệm chính của toán học và được sử dụng trong lý thuyết số, phép đo planimetry và đại số giao tiếp.

Ví dụ thực tế cuộc sống

Mẫu số chung của phân số

Bội số chung nhỏ nhất được dùng khi tìm mẫu số chung của một số phân số. Giả sử trong một bài toán số học, yêu cầu tính tổng 5 phân số:

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

Để cộng các phân số, biểu thức phải được thu gọn về một mẫu số chung, điều này làm giảm bài toán tìm ƯCLN. Để thực hiện việc này, hãy chọn 5 số trong máy tính và nhập giá trị mẫu số vào các ô thích hợp. Chương trình sẽ tính LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Bây giờ bạn cần tính thêm các thừa số cho mỗi phân số, được định nghĩa là tỷ số của LCM với mẫu số. Vì vậy, các số nhân phụ sẽ giống như sau:

360/8 = 45
360/9 = 40
360/12 = 30
360/15 = 24
360/18 = 20.

Sau đó, chúng ta nhân tất cả các phân số với thừa số tương ứng và nhận được:

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

Chúng ta có thể dễ dàng cộng các phân số như vậy và nhận được kết quả dưới dạng 159/360. Chúng tôi giảm phân số đi 3 và xem câu trả lời cuối cùng - 53/120.

Giải pháp của phương trình Diophantine tuyến tính

Phương trình Diophantine tuyến tính là biểu thức có dạng ax + by = d. Nếu tỷ số d / gcd (a, b) là một số nguyên thì phương trình có thể giải được dưới dạng số nguyên. Hãy kiểm tra một vài phương trình để biết khả năng có nghiệm nguyên. Đầu tiên, kiểm tra phương trình 150x + 8y = 37. Sử dụng máy tính bỏ túi, ta tìm được gcd (150,8) = 2. Phép chia 37/2 = 18,5. Số không phải là số nguyên, do đó, phương trình không có nghiệm nguyên.

Hãy kiểm tra phương trình 1320x + 1760y = 10120. Sử dụng máy tính để tìm gcd (1320, 1760) = 440. Chia 10120/440 = 23. Kết quả là, chúng ta nhận được một số nguyên, do đó, phương trình Diophantine có thể giải được theo hệ số nguyên .

Phần kết luận

GCD và LCM đóng một vai trò quan trọng trong lý thuyết số, và bản thân các khái niệm này được sử dụng rộng rãi trong các lĩnh vực toán học khác nhau. Sử dụng máy tính của chúng tôi để tính ước số lớn nhất và bội số nhỏ nhất của bất kỳ số nào.

Hãy tiếp tục thảo luận về bội số chung ít nhất mà chúng ta đã bắt đầu trong phần LCM - Bội số chung ít nhất, Định nghĩa, Ví dụ. Trong chủ đề này, chúng ta sẽ xem xét các cách tìm LCM của ba số trở lên, chúng ta sẽ phân tích câu hỏi làm thế nào để tìm LCM của một số âm.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Tính toán bội số phổ biến nhất (LCM) thông qua gcd

Chúng ta đã thiết lập mối quan hệ giữa bội số chung nhỏ nhất và ước số chung lớn nhất. Bây giờ chúng ta hãy tìm hiểu cách xác định LCM thông qua GCD. Đầu tiên, hãy tìm cách thực hiện điều này đối với các số dương.

Định nghĩa 1

Bạn có thể tìm bội số chung nhỏ nhất thông qua ước số chung lớn nhất bằng công thức LCM (a, b) \ u003d a b: GCD (a, b).

ví dụ 1

Cần tìm LCM của các số 126 và 70.

Giải pháp

Lấy a = 126, b = 70. Thay các giá trị trong công thức tính bội chung nhỏ nhất bằng ước chung lớn nhất LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b).

Tìm GCD của các số 70 và 126. Đối với điều này, chúng ta cần thuật toán Euclid: 126 = 70 1 + 56, 70 = 56 1 + 14, 56 = 14 4, do đó gcd (126 , 70) = 14 .

Hãy tính toán LCM: LCM (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.

Trả lời: LCM (126, 70) = 630.

Ví dụ 2

Tìm chữ số của các số 68 và 34.

Giải pháp

GCD trong trường hợp này rất dễ tìm, vì 68 chia hết cho 34. Tính bội chung nhỏ nhất bằng công thức: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.

Trả lời: LCM (68, 34) = 68.

Trong ví dụ này, chúng tôi đã sử dụng quy tắc để tìm bội số chung nhỏ nhất của các số nguyên dương a và b: nếu số đầu tiên chia hết cho số thứ hai thì LCM của các số này sẽ bằng số đầu tiên.

Tìm LCM bằng cách tính các số thành thừa số nguyên tố

Bây giờ chúng ta hãy xem xét một cách để tìm LCM, dựa trên sự phân rã các số thành các thừa số nguyên tố.

Định nghĩa 2

Để tìm bội số chung nhỏ nhất, chúng ta cần thực hiện một số bước đơn giản:

chúng ta tạo thành tích của tất cả các thừa số nguyên tố mà chúng ta cần tìm LCM;
chúng tôi loại trừ tất cả các yếu tố chính khỏi các sản phẩm thu được của họ;
tích thu được sau khi loại bỏ các thừa số nguyên tố chung sẽ bằng LCM của các số đã cho.

Cách tìm bội chung nhỏ nhất này dựa trên đẳng thức LCM (a, b) = a b: GCD (a, b). Nếu bạn nhìn vào công thức, nó sẽ trở nên rõ ràng: tích của hai số a và b bằng tích của tất cả các yếu tố tham gia vào khai triển của hai số này. Trong trường hợp này, GCD của hai số bằng tích của tất cả các thừa số nguyên tố đồng thời có trong thừa số của hai số này.

Ví dụ 3

Chúng ta có hai số 75 và 210. Chúng ta có thể giải thích chúng như thế này: 75 = 3 5 5 Và 210 = 2 3 5 7. Nếu bạn lập tích của tất cả các thừa số của hai số ban đầu, bạn nhận được: 2 3 3 5 5 5 7.

Nếu chúng ta loại trừ các yếu tố chung cho cả số 3 và số 5, chúng ta nhận được một tích có dạng sau: 2 3 5 5 7 = 1050. Sản phẩm này sẽ là LCM của chúng tôi cho các số 75 và 210.

Ví dụ 4

Tìm LCM của các số 441 Và 700 , phân tích cả hai số thành thừa số nguyên tố.

Giải pháp

Hãy tìm tất cả các thừa số nguyên tố của các số đã cho trong điều kiện:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

Ta được hai chuỗi số: 441 = 3 3 7 7 và 700 = 2 2 5 5 7.

Tích của tất cả các yếu tố đã tham gia vào việc mở rộng những con số này sẽ giống như sau: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Hãy cùng tìm những yếu tố chung. Con số này là 7. Chúng tôi loại trừ nó khỏi sản phẩm chung: 2 2 3 3 5 5 7 7. Nó chỉ ra rằng NOC (441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

Trả lời: LCM (441, 700) = 44 100.

Hãy để chúng tôi cung cấp thêm một công thức của phương pháp tìm LCM bằng cách phân tích các số thành thừa số nguyên tố.

Định nghĩa 3

Trước đây, chúng tôi đã loại trừ khỏi tổng số các yếu tố chung cho cả hai số. Bây giờ chúng ta sẽ làm theo cách khác:

Hãy phân tích cả hai số thành thừa số nguyên tố:
thêm vào tích các thừa số nguyên tố của số thứ nhất các thừa số còn thiếu của số thứ hai;
chúng tôi nhận được sản phẩm, đó sẽ là LCM mong muốn của hai số.

Ví dụ 5

Hãy quay lại số 75 và 210, chúng ta đã tìm LCM trong một trong các ví dụ trước. Hãy chia chúng thành các yếu tố đơn giản: 75 = 3 5 5 Và 210 = 2 3 5 7. Tích của các yếu tố 3, 5 và 5 số 75 thêm các yếu tố còn thiếu 2 Và 7 số 210. Chúng tôi nhận được: 2 3 5 5 7.Đây là LCM của số 75 và 210.

Ví dụ 6

Cần phải tính LCM của các số 84 và 648.

Giải pháp

Hãy phân tích các số từ điều kiện thành thừa số nguyên tố: 84 = 2 2 3 7 Và 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Thêm vào tích của các yếu tố 2, 2, 3 và 7 số 84 thiếu thừa số 2, 3, 3 và
3 số 648. Chúng tôi nhận được sản phẩm 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536.Đây là bội số ít phổ biến nhất của 84 và 648.

Trả lời: LCM (84, 648) = 4536.

Tìm LCM của ba số trở lên

Bất kể chúng ta đang xử lý bao nhiêu số, thuật toán của các hành động của chúng ta sẽ luôn giống nhau: chúng ta sẽ tuần tự tìm LCM của hai số. Có một định lý cho trường hợp này.

Định lý 1

Giả sử chúng ta có số nguyên a 1, a 2,…, a k. NOC m k Các số này được tìm thấy trong phép tính tuần tự m 2 = LCM (a 1, a 2), m 3 = LCM (m 2, a 3),…, m k = LCM (m k - 1, a k).

Bây giờ chúng ta hãy xem định lý có thể được áp dụng như thế nào cho các bài toán cụ thể.

Ví dụ 7

Bạn cần tính bội số chung nhỏ nhất của bốn số 140, 9, 54 và 250 .

Giải pháp

Hãy giới thiệu ký hiệu: a 1 \ u003d 140, a 2 \ u003d 9, a 3 \ u003d 54, a 4 \ u003d 250.

Hãy bắt đầu bằng cách tính m 2 = LCM (a 1, a 2) = LCM (140, 9). Hãy sử dụng thuật toán Euclide để tính GCD của các số 140 và 9: 140 = 9 15 + 5, 9 = 5 1 + 4, 5 = 4 1 + 1, 4 = 1 4. Ta được: GCD (140, 9) = 1, LCM (140, 9) = 140 9: GCD (140, 9) = 140 9: 1 = 1260. Do đó, m 2 = 1 260.

Bây giờ hãy tính theo cùng một thuật toán m 3 = LCM (m 2, a 3) = LCM (1 260, 54). Trong quá trình tính toán, chúng tôi nhận được m 3 = 3 780.

Chúng tôi vẫn phải tính m 4 \ u003d LCM (m 3, a 4) \ u003d LCM (3 780, 250). Chúng tôi hành động theo cùng một thuật toán. Chúng tôi nhận được m 4 \ u003d 94 500.

LCM của bốn số từ điều kiện ví dụ là 94500.

Trả lời: LCM (140, 9, 54, 250) = 94.500.

Như bạn thấy, các phép tính rất đơn giản, nhưng khá tốn công sức. Để tiết kiệm thời gian, bạn có thể đi theo cách khác.

Định nghĩa 4

Chúng tôi cung cấp cho bạn thuật toán hành động sau:

phân tích tất cả các số thành thừa số nguyên tố;
vào tích của các thừa số của số thứ nhất, thêm các thừa số còn thiếu từ tích của số thứ hai;
cộng các thừa số còn thiếu của số thứ ba vào sản phẩm thu được ở giai đoạn trước, v.v ...;
sản phẩm kết quả sẽ là bội số chung nhất trong tất cả các số từ điều kiện.

Ví dụ 8

Cần tìm LCM của năm số 84, 6, 48, 7, 143.

Giải pháp

Hãy phân tích cả năm số thành thừa số nguyên tố: 84 = 2 2 3 7, 6 = 2 3, 48 = 2 2 2 2 3, 7, 143 = 11 13. Số nguyên tố, là số 7, không thể được tính thành thừa số nguyên tố. Những con số như vậy trùng khớp với sự phân rã của chúng thành các thừa số nguyên tố.

Bây giờ chúng ta hãy lấy tích của các thừa số nguyên tố 2, 2, 3 và 7 của số 84 và cộng chúng với các thừa số còn thiếu của số thứ hai. Chúng tôi đã phân tích số 6 thành 2 và 3. Những yếu tố này đã có trong tích của số đầu tiên. Do đó, chúng tôi bỏ qua chúng.

Chúng tôi tiếp tục bổ sung các số nhân bị thiếu. Chúng ta chuyển sang con số 48, từ tích các thừa số nguyên tố mà chúng ta lấy 2 và 2. Sau đó, chúng tôi thêm một thừa số đơn giản của 7 từ số thứ tư và các thừa số của 11 và 13 của thứ năm. Ta được: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48,048. Đây là bội số chung nhỏ nhất trong số năm số ban đầu.

Trả lời: LCM (84, 6, 48, 7, 143) = 48.048.

Tìm ít phổ biến nhất của số phủ định

Để tìm bội số chung nhỏ nhất của các số âm, trước tiên phải thay các số này bằng các số có dấu ngược lại, sau đó thực hiện các phép tính theo các thuật toán trên.

Ví dụ 9

LCM (54, −34) = LCM (54, 34) và LCM (−622, −46, −54, −888) = LCM (622, 46, 54, 888).

Những hành động như vậy là được phép do thực tế là nếu nó được chấp nhận rằng Một Và - một- số ngược lại
sau đó là tập hợp các bội số Một trùng với tập hợp các bội số của một số - một.

Ví dụ 10

Nó là cần thiết để tính toán LCM của các số âm − 145 Và − 45 .

Giải pháp

Hãy thay đổi các con số − 145 Và − 45 đối với những con số đối lập của họ 145 Và 45 . Bây giờ, sử dụng thuật toán, chúng tôi tính toán LCM (145, 45) = 145 45: GCD (145, 45) = 145 45: 5 = 1 305, trước đó đã xác định GCD bằng thuật toán Euclid.

Chúng tôi nhận được rằng LCM của các số - 145 và − 45 bằng 1 305 .

Trả lời: LCM (- 145, - 45) = 1 305.

Nếu bạn nhận thấy lỗi trong văn bản, vui lòng đánh dấu nó và nhấn Ctrl + Enter

Nhưng có nhiều số tự nhiên chia hết cho các số tự nhiên khác.

Ví dụ:

Các số 12 chia hết cho 1, cho 2, cho 3, cho 4, cho 6, cho 12;

Các số 36 chia hết cho 1, cho 2, cho 3, cho 4, cho 6, cho 12, cho 18, cho 36.

Các số mà số đó chia hết (cho 12 là 1, 2, 3, 4, 6 và 12) được gọi là ước số. Chia của một số tự nhiên Một là số tự nhiên chia số đã cho Một Không một dâu vêt. Số tự nhiên có nhiều hơn hai thừa số được gọi là hỗn hợp .

Lưu ý rằng các số 12 và 36 có các ước chung. Đó là các số: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Ước lớn nhất của các số này là 12. Ước chung của hai số này Một Và b là số mà cả hai số đã cho đều chia hết mà không có dư Một Và b.

Phổ biến nhiều một số số được gọi là số chia hết cho mỗi số đó. Ví dụ, các số 9, 18 và 45 có bội chung là 180. Nhưng 90 và 360 cũng là bội chung của chúng. Trong số tất cả các bội số của jcommon, luôn có một bội số nhỏ nhất, trong trường hợp này là 90. Số này được gọi là ít nhấtbội số chung (LCM).

LCM luôn là một số tự nhiên, phải lớn hơn số lớn nhất trong các số mà nó được xác định.

Bội số chung ít nhất (LCM). Tính chất.

Tính giao hoán:

Tính liên kết:

Đặc biệt, nếu và là số nguyên tố, thì:

Bội số chung nhỏ nhất của hai số nguyên m Và n là một ước của tất cả các bội chung khác m Và n. Hơn nữa, tập hợp các bội số chung m, n trùng với bộ bội số của LCM ( m, n).

Các tiệm cận của có thể được biểu diễn dưới dạng một số hàm số-lý thuyết.

Cho nên, Hàm Chebyshev. Cũng như:

Điều này dựa trên định nghĩa và các thuộc tính của hàm Landau g (n).

Điều gì tuân theo quy luật phân phối các số nguyên tố.

Tìm bội số chung nhỏ nhất (LCM).

NOC ( a, b) có thể được tính theo một số cách:

1. Nếu ước số chung lớn nhất đã biết, bạn có thể sử dụng mối quan hệ của nó với LCM:

2. Cho phép phân tích chính tắc của cả hai số thành thừa số nguyên tố:

ở đâu p 1, ..., p k là các số nguyên tố khác nhau, và d 1, ..., dk Và e 1, ..., ek là các số nguyên không âm (chúng có thể bằng 0 nếu số nguyên tố tương ứng không có trong khai triển).

Sau đó, LCM ( Một,b) được tính theo công thức:

Nói cách khác, mở rộng LCM chứa tất cả các thừa số nguyên tố được bao gồm trong ít nhất một trong các mở rộng số a, b, và lấy số mũ lớn nhất trong hai số mũ của thừa số này.

Ví dụ:

Phép tính bội chung nhỏ nhất của một số số có thể được rút gọn thành một số phép tính liên tiếp của LCM của hai số:

Qui định.Để tìm LCM của một chuỗi số, bạn cần:

- phân tích số thành thừa số nguyên tố;

- chuyển khai triển lớn nhất thành các thừa số của tích mong muốn (tích của các thừa số của số lớn nhất trong số các sản phẩm đã cho), rồi thêm các thừa số từ khai triển của các số khác không xuất hiện trong số đầu tiên hoặc ở trong đó một số lần nhỏ hơn;

- tích kết quả của các thừa số nguyên tố sẽ là LCM của các số đã cho.

Hai hoặc nhiều số tự nhiên bất kỳ đều có LCM riêng. Nếu các số không phải là bội của nhau hoặc không có cùng thừa số trong khai triển thì LCM của chúng bằng tích của các số này.

Các thừa số nguyên tố của số 28 (2, 2, 7) được bổ sung với thừa số 3 (số 21), tích (84) sẽ là số nhỏ nhất chia hết cho 21 và 28.

Các thừa số nguyên tố của số lớn nhất 30 được cộng với thừa số là 5 của số 25, được tích 150 lớn hơn số lớn nhất 30 và chia hết cho các số đã cho mà không có dư. Đây là tích nhỏ nhất có thể có (150, 250, 300 ...) mà tất cả các số đã cho là bội của.

Các số 2,3,11,37 là số nguyên tố nên LCM của chúng bằng tích của các số đã cho.

qui định. Để tính LCM của các số nguyên tố, bạn cần nhân tất cả các số này với nhau.

Một lựa chọn khác:

Để tìm bội số chung (LCM) nhỏ nhất của một số số, bạn cần:

1) biểu diễn mỗi số dưới dạng tích các thừa số nguyên tố của nó, ví dụ:

504 \ u003d 2 2 2 3 3 7,

2) viết ra lũy thừa của tất cả các thừa số nguyên tố:

504 \ u003d 2 2 2 3 3 7 \ u003d 2 3 3 2 7 1,

3) viết ra tất cả các ước nguyên tố (cấp số nhân) của mỗi số này;

4) chọn mức độ lớn nhất trong số chúng, được tìm thấy trong tất cả các mở rộng của những con số này;

5) nhân các quyền hạn này.

Ví dụ. Tìm ƯCLN của các số: 168, 180 và 3024.

Giải pháp. 168 \ u003d 2 2 2 3 7 \ u003d 2 3 3 1 7 1,

180 \ u003d 2 2 3 3 5 \ u003d 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.

Chúng tôi viết ra lũy thừa lớn nhất của tất cả các ước số nguyên tố và nhân chúng:

LCM = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

Sự định nghĩa. Số tự nhiên lớn nhất mà các số a, b chia hết mà không có dư được gọi là ước số chung lớn nhất (gcd) những con số này.

Hãy tìm ước chung lớn nhất của các số 24 và 35.
Các ước của 24 sẽ là các số 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 và ước của 35 sẽ là các số 1, 5, 7, 35.
Ta thấy rằng hai số 24 và 35 chỉ có một ước chung - số 1. Những số như vậy được gọi là coprime.

Sự định nghĩa. Các số tự nhiên được gọi là coprime nếu ước số chung lớn nhất của chúng (gcd) là 1.

Số chia chung lớn nhất (GCD) có thể được tìm thấy mà không cần viết ra tất cả các ước của các số đã cho.

Tính toán các số 48 và 36, ta được:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Từ các yếu tố được bao gồm trong khai triển của số đầu tiên trong số này, chúng tôi xóa các yếu tố không có trong khai triển của số thứ hai (tức là hai deuces).
Các thừa số 2 * 2 * 3 được giữ nguyên. Tích của chúng là 12. Số này là ước chung lớn nhất của các số 48 và 36. Ước chung lớn nhất của ba hoặc nhiều số cũng được tìm thấy.

Để tìm ước chung lớn nhất

2) từ các yếu tố có trong khai triển của một trong các số này, gạch bỏ các yếu tố không có trong khai triển của các số khác;
3) tìm tích của các yếu tố còn lại.

Nếu tất cả các số đã cho đều chia hết cho một trong số chúng thì số này là ước chung lớn nhất các số đã cho.
Ví dụ: ước số chung lớn nhất của 15, 45, 75 và 180 là 15, vì nó chia hết các số khác: 45, 75 và 180.

Bội số chung ít nhất (LCM)

Sự định nghĩa. Bội số chung ít nhất (LCM) số tự nhiên a và b là số tự nhiên nhỏ nhất là bội của cả a và b. Có thể tìm bội số chung nhỏ nhất (LCM) của số 75 và 60 mà không cần viết ra bội số của những số này liên tiếp. Để làm điều này, chúng tôi phân tích 75 và 60 thành các thừa số đơn giản: 75 \ u003d 3 * 5 * 5 và 60 \ u003d 2 * 2 * 3 * 5.
Chúng tôi viết ra các thừa số có trong khai triển của số đầu tiên trong số này và thêm vào chúng các thừa số còn thiếu 2 và 2 từ khai triển của số thứ hai (nghĩa là chúng tôi kết hợp các thừa số).
Ta nhận được năm thừa số 2 * 2 * 3 * 5 * 5, tích của nó là 300. Số này là bội chung nhỏ nhất của các số 75 và 60.

Đồng thời tìm bội số chung nhỏ nhất của ba hoặc nhiều số.

Đến tìm bội số chung ít nhất một số số tự nhiên, bạn cần:
1) phân hủy chúng thành các thừa số nguyên tố;
2) viết ra các thừa số có trong khai triển của một trong các số;
3) thêm vào chúng các thừa số còn thiếu từ các mở rộng của các số còn lại;
4) tìm tích của các yếu tố kết quả.

Lưu ý rằng nếu một trong các số này chia hết cho tất cả các số khác thì số này là bội chung nhỏ nhất của các số này.
Ví dụ, bội số chung nhỏ nhất của 12, 15, 20 và 60 sẽ là 60, vì nó chia hết cho tất cả các số đã cho.

Pythagoras (thế kỷ VI trước Công nguyên) và các học trò của ông đã nghiên cứu vấn đề tính chất chia hết của các số. Một số bằng tổng của tất cả các ước của nó (không có chính số đó), họ được gọi là số hoàn hảo. Ví dụ, các số 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) là hoàn hảo. Các số hoàn hảo tiếp theo là 496, 8128, 33,550,336. Người Pitago chỉ biết ba số hoàn hảo đầu tiên. Chiếc thứ tư - 8128 - được biết đến vào thế kỷ thứ nhất. n. e. Chiếc thứ năm - 33 550 336 - được tìm thấy vào thế kỷ 15. Đến năm 1983, 27 con số hoàn hảo đã được biết đến. Nhưng cho đến nay, các nhà khoa học vẫn chưa biết liệu có số hoàn hảo lẻ hay không, liệu có số hoàn hảo lớn nhất hay không.
Mối quan tâm của các nhà toán học cổ đại đối với các số nguyên tố là do bất kỳ số nào cũng là số nguyên tố hoặc có thể được biểu diễn dưới dạng tích của các số nguyên tố, tức là các số nguyên tố giống như những viên gạch mà từ đó các số tự nhiên còn lại được xây dựng.
Bạn có thể nhận thấy rằng các số nguyên tố trong dãy số tự nhiên xảy ra không đồng đều - ở một số phần của dãy số đó nhiều hơn, ở một số phần khác - ít hơn. Nhưng chúng ta càng di chuyển dọc theo dãy số, các số nguyên tố càng hiếm. Câu hỏi đặt ra: có tồn tại số nguyên tố cuối cùng (lớn nhất) không? Nhà toán học Hy Lạp cổ đại Euclid (thế kỷ thứ 3 trước Công nguyên), trong cuốn sách "Khởi đầu", cuốn sách chính của sách giáo khoa toán học suốt hai nghìn năm, đã chứng minh rằng có vô số số nguyên tố, nghĩa là đằng sau mỗi số nguyên tố đều có một số chẵn. số nguyên tố lớn hơn.
Để tìm số nguyên tố, một nhà toán học Hy Lạp khác cùng thời, Eratosthenes, đã đưa ra một phương pháp như vậy. Anh ta viết ra tất cả các số từ 1 đến một số nào đó, rồi gạch bỏ đơn vị không phải là số nguyên tố hay hợp số, sau đó gạch bỏ tất cả các số sau 2 (các số là bội của 2, tức là 4, 6, 8, v.v.). Số còn lại đầu tiên sau 2 là 3. Sau đó, sau hai, tất cả các số sau 3 đều bị gạch bỏ (các số là bội của 3, tức là 6, 9, 12, v.v.). cuối cùng, chỉ có các số nguyên tố là không bị gạch chéo.