Căn của một số phức ở dạng đại số. Số phức và các phép toán đại số trên chúng

Xét một phương trình bậc hai.

Hãy xác định gốc rễ của nó.

Không có số thực nào có bình phương là -1. Nhưng nếu công thức xác định toán tử tôi như một đơn vị tưởng tượng, thì nghiệm của phương trình này có thể được viết dưới dạng . Trong đó Và - số phức, trong đó -1 là phần thực, 2 hoặc trong trường hợp thứ hai là -2 là phần ảo. Phần ảo cũng là một số thực (thực). Phần ảo nhân với đơn vị ảo có nghĩa là đã số tưởng tượng.

Nói chung, một số phức có dạng

z = x + iy ,

ở đâu x, y là các số thực, là một đơn vị tưởng tượng. Trong một số ngành khoa học ứng dụng, ví dụ, trong kỹ thuật điện, điện tử, lý thuyết tín hiệu, đơn vị tưởng tượng được ký hiệu là j. Số thực x = Re (z) Và y =Tôi(z)đã gọi phần thực và phần ảo con số z Biểu thức được gọi là dạng đại số ký hiệu của một số phức.

Mọi số thực đều là trường hợp đặc biệt của số phức có dạng . Một số ảo cũng là một trường hợp đặc biệt của một số phức. .

Định nghĩa tập hợp các số phức C

Biểu thức này đọc như sau: set TỪ, bao gồm các yếu tố như vậy x Và y thuộc tập hợp các số thực R và là đơn vị tưởng tượng. Lưu ý rằng v.v.

Hai số phức Và bằng nhau nếu và chỉ khi phần thực và phần ảo của chúng bằng nhau, tức là Và .

Số phức và hàm được sử dụng rộng rãi trong khoa học và công nghệ, đặc biệt, trong cơ khí, phân tích và tính toán mạch điện xoay chiều, điện tử tương tự, lý thuyết và xử lý tín hiệu, lý thuyết điều khiển tự động và các khoa học ứng dụng khác.

Số học các số phức

Việc cộng hai số phức bao gồm thêm phần thực và phần ảo của chúng, tức là

Theo đó, hiệu của hai số phức

Số phức đã gọi phức tạp liên hợp con số z =x +i.y.

Các số liên hợp phức z và z * khác nhau về dấu của phần ảo. Hiển nhiên là

Mọi bình đẳng giữa các biểu thức phức hợp vẫn có giá trị nếu bình đẳng này ở mọi nơi tôiđược thay thế bởi - tôi, I E. đi đến đẳng thức của số liên hợp. Con số tôi Và – tôi không thể phân biệt được về mặt đại số bởi vì .

Tích (phép nhân) của hai số phức có thể được tính như sau:

Phép chia hai số phức:

Ví dụ:

Mặt phẳng phức tạp

Một số phức có thể được biểu diễn bằng đồ thị trong một hệ tọa độ hình chữ nhật. Hãy để chúng tôi thiết lập một hệ tọa độ hình chữ nhật trong mặt phẳng (x, y).

trên trục Con bò đực chúng tôi sẽ sắp xếp các bộ phận thực sự x, nó được gọi là trục thực (thực), trên trục Oy- phần tưởng tượng y số phức. Cô ấy mang tên trục tưởng tượng. Hơn nữa, mỗi số phức tương ứng với một điểm nhất định của mặt phẳng, và mặt phẳng như vậy được gọi là mặt phẳng phức tạp. điểm NHƯNG mặt phẳng phức sẽ tương ứng với vectơ OA.

Con số xđã gọi abscissa số phức, số y – phong chức.

Một cặp số liên hợp phức tạp được hiển thị dưới dạng các dấu chấm nằm đối xứng qua trục thực.

Nếu trên máy bay đặt hệ tọa độ cực, sau đó mọi số phức z xác định bằng tọa độ cực. Trong đó mô-đun con số là bán kính cực của điểm và góc - đối số góc cực hoặc số phức của nó z.

Mô đun số phức luôn luôn không âm. Đối số của một số phức không được xác định duy nhất. Giá trị chính của đối số phải thỏa mãn điều kiện . Mỗi điểm của mặt phẳng phức cũng tương ứng với tổng giá trị của đối số. Các đối số khác nhau bởi bội số của 2π được coi là bằng nhau. Đối số số 0 không được xác định.

Giá trị chính của đối số được xác định bởi các biểu thức:

Hiển nhiên là

Trong đó
, .

Biểu diễn số phức z bằng

đã gọi dạng lượng giác số phức.

Ví dụ.

Dạng lũy thừa của số phức

Phân hủy trong Dòng Maclaurin cho các hàm đối số thực giống như:

Đối với hàm mũ của một đối số phức tạp z phân hủy tương tự

Sự mở rộng chuỗi Maclaurin cho hàm mũ của đối số tưởng tượng có thể được biểu diễn dưới dạng

Nhận dạng kết quả được gọi là Công thức Euler.

Đối với một lập luận phủ định, có vẻ như

Bằng cách kết hợp các biểu thức này, chúng ta có thể xác định các biểu thức sau cho sin và cosine

Sử dụng công thức Euler, từ dạng lượng giác của việc biểu diễn số phức

có sẵn Biểu tình(hàm mũ, cực) của một số phức, tức là sự thể hiện của nó dưới dạng

ở đâu - tọa độ cực của một điểm có tọa độ hình chữ nhật ( x,y).

Liên hợp của một số phức được viết dưới dạng cấp số nhân như sau.

Đối với dạng cấp số nhân, ta có thể dễ dàng xác định các công thức nhân và chia số phức sau đây

Tức là ở dạng lũy thừa, tích và phép chia các số phức dễ hơn ở dạng đại số. Khi nhân, mô-đun của các thừa số sẽ được nhân lên và các đối số được cộng vào. Quy tắc này áp dụng cho bất kỳ số lượng yếu tố nào. Đặc biệt, khi nhân một số phức z trên tôi vectơ z quay ngược chiều kim đồng hồ 90

Trong phép chia, môđun của tử số được chia cho môđun của mẫu số và đối số của mẫu số bị trừ khỏi đối số của tử số.

Sử dụng dạng lũy thừa của số phức, người ta có thể thu được các biểu thức cho các nhận dạng lượng giác nổi tiếng. Ví dụ, từ danh tính

sử dụng công thức Euler, chúng ta có thể viết

Cân bằng phần thực và phần ảo trong biểu thức này, chúng ta thu được biểu thức tính cosin và sin của tổng các góc

Quyền hạn, gốc và logarit của số phức

Nâng một số phức lên lũy thừa tự nhiên nđược sản xuất theo công thức

Ví dụ. Tính toán .

Hãy tưởng tượng một con số ở dạng lượng giác

’

Áp dụng công thức lũy thừa, chúng ta nhận được

Đặt giá trị trong biểu thức r= 1, chúng tôi nhận được cái gọi là Công thức của De Moivre, nhờ đó bạn có thể xác định các biểu thức cho sin và cosin của nhiều góc.

Nguồn gốc n lũy thừa thứ của một số phức z Nó có n các giá trị khác nhau được xác định bởi biểu thức

Ví dụ. Hãy tìm .

Để làm điều này, chúng tôi biểu thị số phức () ở dạng lượng giác

Theo công thức tính căn của một số phức, ta được

Lôgarit của một số phức z là một con số w, mà . Lôgarit tự nhiên của một số phức có vô số giá trị và được tính bằng công thức

Bao gồm phần thực (cosine) và phần ảo (sin). Ứng suất như vậy có thể được biểu diễn dưới dạng véc tơ độ dài U m, pha ban đầu (góc), quay với vận tốc góc ω .

Hơn nữa, nếu các hàm phức tạp được thêm vào, thì phần thực và phần ảo của chúng cũng được thêm vào. Nếu một hàm phức được nhân với một hằng số hoặc một hàm thực, thì phần thực và phần ảo của nó được nhân với cùng một hệ số. Sự phân biệt / tích hợp của một chức năng phức tạp như vậy được giảm xuống sự phân biệt / tích hợp của phần thực và phần ảo.

Ví dụ, sự phân biệt của biểu thức ứng suất phức tạp

là nhân nó với iω là phần thực của hàm f (z), và là phần ảo của hàm. Ví dụ: .

Nghĩa zđược biểu diễn bằng một điểm trong mặt phẳng phức z và giá trị tương ứng w- một điểm trong mặt phẳng phức w. Khi hiển thị w = f (z)đường máy bay z vượt qua các dòng của máy bay w, hình của mặt phẳng này thành hình của mặt phẳng khác, nhưng hình dạng của các đường hoặc hình có thể thay đổi đáng kể.