Điều kiện 

Bất đẳng thức lôgarit là đơn giản nhất. Công việc của Manov "bất đẳng thức logarit trong kỳ thi". Điều gì là cần thiết để giải các bất phương trình logarit

Mục tiêu bài học:

Didactic:

  • Cấp độ 1 - dạy cách giải các bất phương trình logarit đơn giản nhất, sử dụng định nghĩa của logarit, các tính chất của logarit;
  • Cấp độ 2 - giải bất phương trình logarit, tự chọn phương pháp giải;
  • Cấp độ 3 - có thể áp dụng kiến ​​thức và kỹ năng trong các tình huống phi tiêu chuẩn.

Đang phát triển: phát triển trí nhớ, sự chú ý, tư duy logic, kỹ năng so sánh, có thể khái quát và rút ra kết luận

Giáo dục: trau dồi tính chính xác, tinh thần trách nhiệm đối với nhiệm vụ đã thực hiện, tương trợ lẫn nhau.

Phương pháp giảng dạy: bằng lời nói , thị giác , thực dụng , tìm kiếm một phần , tự trị , điều khiển.

Các hình thức tổ chức hoạt động nhận thức của học sinh: trán , cá nhân , làm việc theo cặp.

Trang thiết bị: một tập hợp các nhiệm vụ kiểm tra, một ghi chú tham khảo, các tờ giấy trắng cho các giải pháp.

Loại bài học: học tài liệu mới.

Trong các lớp học

1. Thời điểm tổ chức. Chủ đề và mục tiêu của bài học được công bố, sơ đồ của bài học: mỗi học sinh được phát một phiếu đánh giá mà học sinh điền vào trong giờ học; cho mỗi cặp học sinh - tài liệu in với nhiệm vụ, bạn cần phải hoàn thành nhiệm vụ theo cặp; tờ giấy trắng cho các quyết định; tài liệu tham khảo: định nghĩa lôgarit; đồ thị của một hàm số lôgarit, các tính chất của nó; các tính chất của logarit; thuật toán giải bất phương trình logarit.

Tất cả các quyết định sau khi tự đánh giá đều được trình lên giáo viên.

Bảng điểm của học sinh

2. Thực tế hóa kiến ​​thức.

Giáo viên hướng dẫn. Ghi nhớ định nghĩa của lôgarit, đồ thị của hàm số lôgarit và các tính chất của nó. Để làm điều này, hãy đọc văn bản trên các trang 88–90, 98–101 của sách giáo khoa “Đại số và đầu phân tích 10–11” do Sh.A Alimov, Yu.M Kolyagin và những người khác biên tập.

Học sinh được phát các tờ giấy trên đó viết: định nghĩa của lôgarit; hiển thị đồ thị của một hàm số lôgarit, các tính chất của nó; các tính chất của logarit; thuật toán giải bất phương trình logarit, một ví dụ về giải bất phương trình logarit rút gọn thành bình phương.

3. Học tài liệu mới.

Lời giải của bất phương trình logarit dựa trên tính đơn điệu của hàm số logarit.

Thuật toán giải bất phương trình logarit:

A) Tìm miền xác định của bất phương trình (biểu thức hàm số phụ lớn hơn 0).
B) Trình bày (nếu có thể) phần bên trái và bên phải của bất đẳng thức dưới dạng logarit cùng cơ số.
C) Xác định hàm số logarit đang tăng hay giảm: nếu t> 1 thì tăng; nếu 0 1, sau đó giảm dần.
D) Chuyển đến một bất đẳng thức đơn giản hơn (biểu thức phụ), coi rằng dấu của bất đẳng thức sẽ được bảo toàn nếu hàm số đang tăng và sẽ thay đổi nếu nó đang giảm.

Yếu tố học tập # 1.

Mục đích: sửa lời giải các bất phương trình logarit đơn giản nhất

Hình thức tổ chức hoạt động nhận thức của học sinh: làm việc cá nhân.

Nhiệm vụ làm việc độc lập trong 10 phút. Đối với mỗi bất đẳng thức, có một số câu trả lời, bạn cần chọn đúng và kiểm tra bằng phím.


TỪ KHÓA: 13321, điểm tối đa - 6 p.

Yếu tố học tập # 2.

Mục đích: sửa lỗi giải bất phương trình logarit bằng cách áp dụng các tính chất của logarit.

Giáo viên hướng dẫn. Nhắc lại các tính chất cơ bản của logarit. Để làm được điều này, hãy đọc nội dung sách giáo khoa trên tr.92, 103–104.

Nhiệm vụ làm việc độc lập trong 10 phút.

KEY: 2113, số điểm tối đa là 8 b.

Yếu tố học tập # 3.

Mục đích: nghiên cứu phương pháp giải bất phương trình logarit bằng phương pháp rút gọn về bình phương.

Hướng dẫn của giáo viên: phương pháp rút gọn bất phương trình thành bình phương là bạn cần biến bất phương trình về dạng sao cho một hàm số lôgarit nào đó được ký hiệu bằng một biến mới, đồng thời thu được bất phương trình bình phương đối với biến này.

Hãy sử dụng phương pháp khoảng thời gian.

Bạn đã vượt qua cấp độ đồng hóa đầu tiên của vật liệu. Bây giờ bạn sẽ phải độc lập lựa chọn một phương pháp giải phương trình logarit, sử dụng tất cả kiến ​​thức và khả năng của bạn.

Học phần tử số 4.

Mục đích: củng cố cách giải bất phương trình logarit bằng cách tự lựa chọn cách giải hợp lí.

Nhiệm vụ làm việc độc lập trong 10 phút

Phần tử học số 5.

Giáo viên hướng dẫn. Làm tốt! Bạn đã nắm vững giải pháp của các phương trình ở mức độ phức tạp thứ hai. Mục đích của công việc tiếp theo của bạn là áp dụng kiến ​​thức và kỹ năng của bạn trong các tình huống phức tạp hơn và không theo tiêu chuẩn.

Nhiệm vụ cho giải pháp độc lập:

Giáo viên hướng dẫn. Thật tuyệt nếu bạn đã hoàn thành tất cả công việc. Làm tốt!

Điểm cho toàn bộ bài học phụ thuộc vào số điểm cho tất cả các yếu tố giáo dục:

  • nếu N ≥ 20, thì bạn đạt điểm “5”,
  • cho 16 ≤ N ≤ 19 - điểm "4",
  • cho 8 ≤ N ≤ 15 - điểm “3”,
  • tại N< 8 выполнить работу над ошибками к следующему уроку (решения можно взять у учителя).

Dự tính cáo giao cho thầy.

5. Bài tập về nhà: nếu bạn đạt không quá 15 điểm b - làm bài tập về những sai sót (có thể lấy lời giải của giáo viên), nếu bạn đạt trên 15 điểm b - làm một bài tập sáng tạo về chủ đề “Bất đẳng thức lôgarit”.

Khi nghiên cứu hàm số lôgarit, chúng tôi chủ yếu xem xét các bất phương trình có dạng
log a x< b и log а х ≥ b. Рассмотрим решение более сложных логарифмических неравенств. Обычным способом решения таких неравенств является переход от данного неравенства к более простому неравенству или системе неравенств, которая имеет то же самое множество решений.

Giải bất phương trình lg (x + 1) ≤ 2 (1).

Quyết định.

1) Vế phải của bất đẳng thức đang xét có ý nghĩa với mọi giá trị của x và vế trái - đối với x + 1> 0, tức là cho x> -1.

2) Khoảng x \ u003e -1 được gọi là miền xác định của bất đẳng thức (1). Hàm số logarit với cơ số 10 đang tăng, do đó, với điều kiện x + 1> 0, bất phương trình (1) được thỏa mãn nếu x + 1 ≤ 100 (vì 2 = lg 100). Như vậy, bất đẳng thức (1) và hệ bất phương trình

(x> -1, (2)
(x + 1 ≤ 100,

Nói cách khác, tập nghiệm của bất phương trình (1) và hệ bất phương trình (2) là như nhau.

3) Giải hệ (2), ta tìm được -1< х ≤ 99.

Trả lời. -một< х ≤ 99.

Giải bất phương trình log 2 (x - 3) + log 2 (x - 2) ≤ 1 (3).

Quyết định.

1) Miền của hàm số logarit đã xét là tập các giá trị dương của đối số, do đó vế trái của bất đẳng thức có nghĩa với x - 3> 0 và x - 2> 0.

Do đó, miền của bất đẳng thức này là khoảng x> 3.

2) Theo các tính chất của logarit, bất phương trình (3) với х> 3 tương đương với bất phương trình log 2 (х - 3) (х - 2) ≤ log 2 (4).

3) Hàm số logarit cơ số 2 đang tăng. Do đó, với х> 3, bất phương trình (4) thỏa mãn nếu (х - 3) (х - 2) ≤ 2.

4) Như vậy, bất phương trình ban đầu (3) tương đương với hệ bất phương trình

((x - 3) (x - 2) ≤ 2,
(x> 3.

Giải bất phương trình bậc nhất của hệ này, ta được x 2 - 5x + 4 ≤ 0, khi đó 1 ≤ x ≤ 4. Kết hợp đoạn này với khoảng x> 3, ta được 3< х ≤ 4.

Trả lời. 3< х ≤ 4.

Giải bất phương trình log 1/2 (x 2 + 2x - 8) ≥ -4. (5)

Quyết định.

1) Miền xác định của bất phương trình được tìm từ điều kiện x 2 + 2x - 8> 0.

2) Bất đẳng thức (5) có thể được viết thành:

log 1/2 (x 2 + 2x - 8) ≥ log 1/2 16.

3) Vì hàm số logarit với cơ số ½ đang giảm nên với mọi x từ toàn bộ miền của bất phương trình, ta nhận được:

x 2 + 2x - 8 ≤ 16.

Do đó, đẳng thức ban đầu (5) tương đương với hệ thống các bất đẳng thức

(x 2 + 2x - 8> 0, hoặc (x 2 + 2x - 8> 0,
(x 2 + 2x - 8 ≤ 16, (x 2 + 2x - 24 ≤ 0.

Giải bất phương trình bậc hai, ta được x< -4, х >2. Giải bất phương trình bậc hai, ta được -6 ≤ x ≤ 4. Do đó, cả hai bất phương trình của hệ được nghiệm đồng thời tại -6 ≤ x< -4 и при 2 < х ≤ 4.

Trả lời. -6 ≤ x< -4; 2 < х ≤ 4.

trang web, với việc sao chép toàn bộ hoặc một phần tài liệu, cần có liên kết đến nguồn.

Bất đẳng thức lôgarit

Trong các bài học trước, chúng ta đã làm quen với phương trình logarit và bây giờ chúng ta đã biết chúng là gì và cách giải chúng. Và bài học hôm nay sẽ dành để nghiên cứu về bất đẳng thức logarit. Những bất đẳng thức này là gì và sự khác biệt giữa việc giải một phương trình logarit và bất phương trình là gì?

Bất đẳng thức lôgarit là bất đẳng thức có một biến dưới dấu của lôgarit hoặc tại cơ số của nó.

Hoặc, người ta cũng có thể nói rằng bất đẳng thức logarit là bất đẳng thức trong đó giá trị chưa biết của nó, như trong phương trình logarit, sẽ nằm dưới dấu của logarit.

Các bất đẳng thức logarit đơn giản nhất có dạng như sau:

trong đó f (x) và g (x) là một số biểu thức phụ thuộc vào x.

Hãy xem xét điều này bằng cách sử dụng ví dụ sau: f (x) = 1 + 2x + x2, g (x) = 3x − 1.

Giải bất phương trình logarit

Trước khi giải bất phương trình logarit, cần lưu ý khi giải chúng tương tự như bất phương trình mũ, cụ thể là:

Đầu tiên, khi chuyển từ logarit sang biểu thức dưới dấu của logarit, chúng ta cũng cần so sánh cơ số của logarit với một;

Thứ hai, khi giải một bất phương trình logarit bằng cách sử dụng một sự thay đổi của biến, chúng ta cần giải những bất phương trình liên quan đến sự thay đổi đó cho đến khi chúng ta nhận được bất phương trình đơn giản nhất.

Nhưng chính chúng tôi đã xem xét những khoảnh khắc tương tự của việc giải các bất phương trình logarit. Bây giờ chúng ta hãy xem xét một sự khác biệt khá đáng kể. Tôi và bạn đều biết rằng hàm logarit có miền xác định giới hạn, vì vậy khi chuyển từ logarit sang biểu thức dưới dấu của logarit, bạn cần tính đến phạm vi giá trị chấp nhận được (ODV).

Đó là, cần lưu ý rằng khi giải một phương trình logarit, trước tiên chúng ta có thể tìm nghiệm nguyên của phương trình, sau đó kiểm tra nghiệm này. Nhưng việc giải bất phương trình logarit sẽ không hoạt động theo cách này, vì chuyển từ logarit sang biểu thức dưới dấu của logarit, cần phải viết ra ODZ của bất phương trình.

Ngoài ra, cần nhớ rằng lý thuyết về bất đẳng thức bao gồm các số thực, là số dương và số âm, cũng như số 0.

Ví dụ, khi số "a" là số dương, thì ký hiệu sau phải được sử dụng: a> 0. Trong trường hợp này, cả tổng và tích của những số này cũng sẽ là số dương.

Nguyên tắc cơ bản của việc giải một bất đẳng thức là thay thế nó bằng một bất đẳng thức đơn giản hơn, nhưng điều chính là nó tương đương với bất đẳng thức đã cho. Hơn nữa, chúng tôi cũng thu được một bất đẳng thức và một lần nữa thay thế nó bằng một bất đẳng thức có dạng đơn giản hơn, v.v.

Giải bất phương trình với một biến số, bạn cần tìm tất cả các nghiệm của nó. Nếu hai bất phương trình có cùng biến x thì các bất phương trình đó tương đương với điều kiện là nghiệm của chúng giống nhau.

Khi thực hiện các nhiệm vụ giải bất phương trình logarit, cần nhớ rằng khi a> 1 thì hàm số logarit tăng và khi 0< a < 1, то такая функция имеет свойство убывать. Эти свойства вам будут необходимы при решении логарифмических неравенств, поэтому вы их должны хорошо знать и помнить.

Các cách giải bất phương trình logarit

Bây giờ chúng ta hãy xem xét một số phương pháp áp dụng khi giải bất phương trình logarit. Để hiểu rõ hơn và đồng hóa, chúng tôi sẽ cố gắng hiểu chúng bằng cách sử dụng các ví dụ cụ thể.

Chúng ta biết rằng bất phương trình logarit đơn giản nhất có dạng sau:

Trong bất đẳng thức này, V - là một trong những dấu hiệu bất đẳng thức như sau:<,>, ≤ hoặc ≥.

Khi cơ số của logarit này lớn hơn một (a> 1), thực hiện chuyển đổi từ logarit sang biểu thức dưới dấu của logarit, thì trong phiên bản này, dấu bất đẳng thức được giữ nguyên và bất đẳng thức sẽ giống như sau:

tương đương với hệ thống sau:


Trong trường hợp cơ số của logarit lớn hơn 0 và nhỏ hơn một (0

Điều này tương đương với hệ thống này:


Hãy xem thêm các ví dụ về giải bất phương trình logarit đơn giản nhất được hiển thị trong hình dưới đây:



Giải pháp của các ví dụ

Bài tập. Hãy thử giải bất đẳng thức này:


Quyết định của khu vực các giá trị có thể chấp nhận.


Bây giờ chúng ta hãy thử nhân vế phải của nó với:

Hãy xem những gì chúng ta có thể làm:



Bây giờ, chúng ta hãy chuyển sang phép biến đổi các biểu thức hàm số con. Vì cơ số của logarit là 0< 1/4 <1, то от сюда следует, что знак неравенства изменится на противоположный:

3x - 8> 16;
3x> 24;
x> 8.

Và từ đó, khoảng mà chúng ta thu được hoàn toàn thuộc về ODZ và là một nghiệm của một bất phương trình như vậy.

Đây là câu trả lời mà chúng tôi nhận được:


Cần những gì để giải các bất phương trình logarit?

Bây giờ chúng ta hãy thử phân tích xem chúng ta cần những gì để giải thành công bất phương trình logarit?

Đầu tiên, tập trung toàn bộ sự chú ý của bạn và cố gắng không mắc sai lầm khi thực hiện các phép biến đổi được cho trong bất đẳng thức này. Ngoài ra, cần nhớ rằng khi giải các bất đẳng thức như vậy, cần phải ngăn chặn sự mở rộng và thu hẹp của bất đẳng thức ODZ, có thể dẫn đến việc mất hoặc nhận được các nghiệm không liên quan.

Thứ hai, khi giải bất phương trình logarit, bạn cần học cách tư duy logic và hiểu sự khác biệt giữa các khái niệm như hệ bất phương trình và tập bất phương trình, để bạn có thể dễ dàng chọn giải bất phương trình, đồng thời được DHS hướng dẫn.

Thứ ba, để giải các bất phương trình thành công, mỗi bạn phải nắm rõ tất cả các tính chất của hàm số sơ cấp và hiểu rõ ý nghĩa của chúng. Các hàm như vậy không chỉ bao gồm logarit, mà còn hữu tỉ, lũy thừa, lượng giác, v.v., trong một từ, tất cả những hàm mà bạn đã học trong đại số ở trường.

Như các bạn thấy, đã học chuyên đề về bất phương trình logarit thì việc giải các bất phương trình này không có gì khó khăn với điều kiện là các bạn phải chú ý và kiên trì để đạt được mục tiêu của mình. Để không gặp khó khăn trong việc giải bất phương trình, bạn cần rèn luyện càng nhiều càng tốt, giải nhiều nhiệm vụ khác nhau và đồng thời ghi nhớ các cách chính để giải bất phương trình đó và hệ thức của chúng. Với những cách giải bất phương trình logarit không thành công, bạn nên phân tích kỹ những sai lầm của mình để không tái phạm trong tương lai.

Bài tập về nhà

Để đồng hóa chủ đề tốt hơn và củng cố tài liệu được đề cập, hãy giải các bất đẳng thức sau:


Giải bất phương trình logarit, chúng ta sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số logarit. Chúng tôi cũng sử dụng định nghĩa của lôgarit và các công thức lôgarit cơ bản.

Hãy tóm tắt lại logarit là gì:

Lôgarit một số dương trong cơ sở là một chỉ báo về sức mạnh mà bạn cần tăng lên để có được.

Trong đó

Nhận dạng lôgarit cơ bản:

Các công thức cơ bản cho logarit:

(Logarit của tích bằng tổng của logarit)

(Logarit của thương bằng hiệu của logarit)

(Công thức tính logarit của bậc)

Công thức để chuyển đến một cơ sở mới là:

Thuật toán giải bất phương trình logarit

Chúng ta có thể nói rằng các bất phương trình logarit được giải theo một thuật toán nhất định. Chúng ta cần viết ra phạm vi giá trị chấp nhận được (ODV) của bất đẳng thức. Đưa bất đẳng thức về dạng Dấu ở đây có thể là bất kỳ: Điều quan trọng là bên trái và bên phải trong bất đẳng thức là logarit trong cùng một cơ số.

Và sau đó chúng tôi "loại bỏ" các logarit! Hơn nữa, nếu cơ số bằng thì dấu bất đẳng thức vẫn giữ nguyên. Nếu cơ số là sao cho dấu của bất đẳng thức bị đảo ngược.

Tất nhiên, chúng ta không chỉ "loại bỏ" logarit. Chúng ta sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số lôgarit. Nếu cơ số của lôgarit lớn hơn một, thì hàm số lôgarit đang tăng đơn điệu, và khi đó giá trị lớn hơn của x tương ứng với giá trị lớn hơn của biểu thức.

Nếu cơ số lớn hơn 0 và nhỏ hơn một, hàm số lôgarit giảm đơn điệu. Giá trị lớn hơn của đối số x sẽ tương ứng với giá trị nhỏ hơn

Lưu ý quan trọng: tốt nhất là viết lời giải dưới dạng một chuỗi các quá trình chuyển đổi tương đương.

Hãy chuyển sang thực hành. Như mọi khi, chúng ta bắt đầu với những bất đẳng thức đơn giản nhất.

1. Xét bất phương trình log 3 x> log 3 5.
Vì logarit chỉ được xác định cho các số dương nên x phải dương. Điều kiện x> 0 được gọi là khoảng giá trị chấp nhận được (ODV) của bất đẳng thức đã cho. Chỉ với x như vậy thì bất đẳng thức mới có ý nghĩa.

Chà, từ ngữ này nghe có vẻ nổi tiếng và dễ nhớ. Nhưng tại sao chúng ta vẫn làm được?

Chúng ta là con người, chúng ta thông minh. Tâm trí của chúng ta được sắp xếp theo cách mà mọi thứ logic, dễ hiểu, có cấu trúc bên trong đều được ghi nhớ và áp dụng tốt hơn nhiều so với những sự kiện ngẫu nhiên và không liên quan. Đó là lý do tại sao điều quan trọng là không nên ghi nhớ các quy tắc một cách máy móc, giống như một con chó nhà toán học được huấn luyện, mà hãy hành động một cách có ý thức.

Vậy tại sao chúng ta vẫn "loại bỏ logarit"?

Câu trả lời rất đơn giản: nếu cơ số lớn hơn một (như trong trường hợp của chúng ta), hàm số logarit tăng đơn điệu, có nghĩa là giá trị lớn hơn của x tương ứng với giá trị lớn hơn của y và từ bất đẳng thức log 3 x 1 > log 3 x 2 theo đó x 1> x 2.


Xin lưu ý rằng chúng tôi đã chuyển sang một bất đẳng thức đại số, và dấu bất đẳng thức được bảo toàn đồng thời.

Vậy x> 5.

Bất đẳng thức logarit sau đây cũng đơn giản.

2. log 5 (15 + 3x)> log 5 2x

Hãy bắt đầu với phạm vi giá trị có thể chấp nhận được. Logarit chỉ được xác định cho các số dương, vì vậy

Giải hệ này, ta được: x> 0.

Bây giờ chúng ta hãy chuyển từ bất đẳng thức logarit sang bất đẳng thức đại số - chúng ta "loại bỏ" logarit. Vì cơ số của lôgarit lớn hơn một nên dấu bất đẳng thức được bảo toàn.

15 + 3x> 2x.

Ta được: x> −15.

Đáp số: x> 0.

Nhưng điều gì sẽ xảy ra nếu cơ số của logarit nhỏ hơn một? Dễ dàng đoán rằng trong trường hợp này, khi chuyển sang một bất đẳng thức đại số, dấu bất đẳng thức sẽ thay đổi.

Hãy lấy một ví dụ.

Hãy viết ODZ. Các biểu thức mà từ đó logarit được lấy phải là số dương, nghĩa là

Giải hệ này, ta được: x> 4,5.

Do đó, hàm số lôgarit cơ số giảm đơn điệu. Và điều này có nghĩa là giá trị lớn hơn của hàm tương ứng với giá trị nhỏ hơn của đối số:


Và nếu, sau đó
2x - 9 ≤ x.

Chúng tôi nhận được rằng x ≤ 9.

Cho rằng x> 4,5, chúng tôi viết câu trả lời:

Trong bài toán sau, bất phương trình hàm mũ được rút gọn thành bậc hai. Vì vậy, chúng tôi khuyên bạn nên lặp lại chủ đề "bất đẳng thức bình phương".

Bây giờ các bất đẳng thức phức tạp hơn:

4. Giải bất phương trình

5. Giải bất phương trình

Nếu, sau đó. Chúng tôi đã may mắn! Chúng ta biết rằng cơ số của logarit lớn hơn một đối với tất cả các giá trị x trong DPV.

Hãy thay thế

Lưu ý rằng trước tiên chúng ta giải hoàn toàn bất đẳng thức đối với biến mới t. Và chỉ sau đó chúng ta quay trở lại biến x. Hãy ghi nhớ điều này và đừng mắc sai lầm trong kỳ thi!

Hãy nhớ quy tắc: nếu có nghiệm nguyên, phân số hoặc logarit trong một phương trình hoặc bất phương trình, thì lời giải phải bắt đầu từ phạm vi giá trị có thể chấp nhận được. Vì cơ số của lôgarit phải dương và không bằng một nên ta nhận được hệ điều kiện:

Hãy đơn giản hóa hệ thống này:

Đây là phạm vi các giá trị có thể chấp nhận được đối với sự bất bình đẳng.

Chúng ta thấy rằng biến được chứa trong cơ số của logarit. Hãy chuyển sang căn cứ cố định. Nhớ lại điều đó

Trong trường hợp này, nó là thuận tiện để đi đến cơ sở 4.


Hãy thay thế

Đơn giản hóa bất đẳng thức và giải nó bằng phương pháp khoảng:

Quay lại biến x:


Chúng tôi đã thêm một điều kiện x> 0 (từ ODZ).

7. Bài toán sau cũng được giải bằng phương pháp khoảng

Như mọi khi, chúng ta bắt đầu giải bất phương trình logarit từ phạm vi giá trị có thể chấp nhận được. Trong trường hợp này

Điều kiện này nhất thiết phải được đáp ứng, và chúng tôi sẽ quay lại với nó. Hãy xem xét bất đẳng thức chính nó. Hãy viết vế trái dưới dạng logarit cơ số 3:

Vế phải cũng có thể được viết dưới dạng logarit đến cơ số 3, rồi chuyển sang bất đẳng thức đại số:

Chúng tôi thấy rằng điều kiện (nghĩa là, ODZ) hiện đã được tự động đáp ứng. Chà, điều này đơn giản hóa lời giải của bất đẳng thức.

Chúng tôi giải bất phương trình bằng phương pháp khoảng:

Trả lời:

Đã xảy ra? Vâng, hãy tăng mức độ khó:

8. Giải bất phương trình:

Bất đẳng thức tương đương với hệ thức:

9. Giải bất phương trình:

Biểu thức 5 - x 2 được lặp lại một cách ám ảnh trong điều kiện của vấn đề. Và điều này có nghĩa là bạn có thể thay thế:

Vì hàm mũ chỉ nhận các giá trị dương, t> 0. Sau đó

Bất đẳng thức sẽ có dạng:

Đã tốt hơn. Hãy để chúng tôi tìm khoảng giá trị chấp nhận được của bất đẳng thức. Chúng tôi đã nói rằng t> 0. Ngoài ra, ( t- 3) (5 9 t − 1) > 0

Nếu điều kiện này được thỏa mãn, thì thương số cũng sẽ là số dương.

Và biểu thức dưới logarit ở vế phải của bất đẳng thức phải dương, nghĩa là, (625 t − 2) 2 .

Điều này có nghĩa là 625 t- 2 ≠ 0, tức là

Ghi cẩn thận ODZ

và giải quyết hệ thống kết quả bằng cách sử dụng phương pháp khoảng thời gian.

Cho nên,

Chà, một nửa trận chiến đã kết thúc - chúng tôi đã tìm ra ODZ. Hãy giải bất đẳng thức. Tổng của logarit ở phía bên trái được biểu diễn dưới dạng logarit của tích.

Trong số vô số các bất đẳng thức logarit, các bất đẳng thức với cơ số biến đổi được nghiên cứu riêng biệt. Chúng được giải theo một công thức đặc biệt, vì một số lý do hiếm khi được dạy ở trường:

log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) - g (x)) (k (x) - 1) ∨ 0

Thay vì một jackdaw "∨", bạn có thể đặt bất kỳ dấu bất đẳng thức nào: nhiều hơn hoặc ít hơn. Điều chính là trong cả hai bất đẳng thức, các dấu hiệu giống nhau.

Vì vậy, chúng tôi loại bỏ logarit và giảm vấn đề thành một bất đẳng thức hợp lý. Phương pháp thứ hai dễ giải hơn nhiều, nhưng khi loại bỏ logarit, các nghiệm thức phụ có thể xuất hiện. Để cắt bỏ chúng, chỉ cần tìm phạm vi giá trị có thể chấp nhận là đủ. Nếu bạn quên ODZ của logarit, tôi thực sự khuyên bạn nên lặp lại nó - xem "Logarit là gì".

Mọi thứ liên quan đến phạm vi giá trị được chấp nhận phải được viết ra và giải quyết riêng:

f (x)> 0; g (x)> 0; k (x)> 0; k (x) ≠ 1.

Bốn bất đẳng thức này tạo thành một hệ thống và phải được thực hiện đồng thời. Khi phạm vi giá trị chấp nhận được được tìm thấy, vẫn phải vượt qua phạm vi đó với nghiệm của một bất đẳng thức hợp lý - và câu trả lời đã sẵn sàng.

Nhiệm vụ. Giải bất phương trình:

Đầu tiên, hãy viết ODZ của logarit:

Hai bất đẳng thức đầu tiên được thực hiện tự động và bất đẳng thức cuối cùng sẽ phải được viết. Vì bình phương của một số bằng 0 nếu và chỉ khi bản thân số đó bằng 0, chúng ta có:

x 2 + 1 ≠ 1;
x2 ≠ 0;
x ≠ 0.

Hóa ra ODZ của lôgarit là tất cả các số ngoại trừ số 0: x ∈ (−∞ 0) ∪ (0; + ∞). Bây giờ chúng ta giải quyết bất đẳng thức chính:

Ta thực hiện chuyển từ bất đẳng thức logarit sang hữu tỉ. Trong bất đẳng thức ban đầu có một dấu "nhỏ hơn", vì vậy bất đẳng thức kết quả cũng phải có dấu "nhỏ hơn". Chúng ta có:

(10 - (x 2 + 1)) (x 2 + 1 - 1)< 0;
(9 - x2) x2< 0;
(3 - x) (3 + x) x 2< 0.

Zeros của biểu thức này: x = 3; x = -3; x = 0. Hơn nữa, x = 0 là căn bậc hai, nghĩa là khi đi qua nó thì dấu của hàm số không đổi. Chúng ta có:

Ta được x ∈ (−∞ −3) ∪ (3; + ∞). Tập hợp này hoàn toàn được chứa trong ODZ của lôgarit, có nghĩa là đây là câu trả lời.

Biến đổi bất đẳng thức logarit

Thường thì bất đẳng thức ban đầu khác với bất đẳng thức trên. Điều này rất dễ sửa chữa theo các quy tắc tiêu chuẩn để làm việc với logarit - xem "Các tính chất cơ bản của logarit". Cụ thể:

  1. Bất kỳ số nào cũng có thể được biểu diễn dưới dạng logarit với cơ số cho trước;
  2. Tổng và hiệu của các logarit cùng cơ số có thể được thay thế bằng một logarit duy nhất.

Riêng biệt, tôi muốn nhắc bạn về phạm vi giá trị có thể chấp nhận được. Vì có thể có một số logarit trong bất đẳng thức ban đầu, nên cần phải tìm DPV của mỗi logarit trong số chúng. Do đó, sơ đồ tổng quát để giải bất phương trình logarit như sau:

  1. Tìm ODZ của mỗi logarit có trong bất đẳng thức;
  2. Giảm bất đẳng thức về chuẩn bằng cách sử dụng các công thức cộng và trừ logarit;
  3. Giải bất phương trình kết quả theo sơ đồ trên.

Nhiệm vụ. Giải bất phương trình:

Tìm miền xác định (ODZ) của lôgarit thứ nhất:

Chúng tôi giải quyết bằng phương pháp khoảng. Tìm các số không của tử số:

3x - 2 = 0;
x = 2/3.

Sau đó - các số không của mẫu số:

x - 1 = 0;
x = 1.

Chúng tôi đánh dấu các số không và các dấu hiệu trên mũi tên tọa độ:

Ta được x ∈ (−∞ 2/3) ∪ (1; + ∞). Lôgarit thứ hai của ODZ sẽ giống nhau. Nếu bạn không tin tôi, bạn có thể kiểm tra. Bây giờ chúng ta biến đổi logarit thứ hai để cơ số là hai:

Như bạn có thể thấy, bộ ba ở cơ số và trước lôgarit đã bị thu hẹp. Nhận hai logarit cùng cơ số. Hãy đặt chúng lại với nhau:

log 2 (x - 1) 2< 2;
log 2 (x - 1) 2< log 2 2 2 .

Chúng ta đã thu được bất đẳng thức logarit chuẩn. Chúng ta loại bỏ logarit bằng công thức. Vì có một dấu nhỏ hơn trong bất đẳng thức ban đầu, nên biểu thức hữu tỉ thu được cũng phải nhỏ hơn 0. Chúng ta có:

(f (x) - g (x)) (k (x) - 1)< 0;
((x - 1) 2 - 2 2) (2 - 1)< 0;
x 2 - 2x + 1 - 4< 0;
x 2 - 2x - 3< 0;
(x - 3) (x + 1)< 0;
x ∈ (−1; 3).

Chúng tôi có hai bộ:

  1. ODZ: x ∈ (−∞ 2/3) ∪ (1; + ∞);
  2. Đáp án thí sinh: x ∈ (−1; 3).

Vẫn còn để vượt qua những tập hợp này - chúng tôi nhận được câu trả lời thực sự:

Chúng tôi quan tâm đến giao điểm của các tập hợp, vì vậy chúng tôi chọn các khoảng được tô bóng trên cả hai mũi tên. Ta được x ∈ (−1; 2/3) ∪ (1; 3) - mọi điểm đều bị chọc thủng.