Logarit với cùng số mũ. Lôgarit tự nhiên, hàm ln x

Logarit của b (b> 0) với cơ số a (a> 0, a ≠ 1) là số mũ mà bạn cần nâng số a lên để nhận được b.

Lôgarit cơ số 10 của b có thể được viết dưới dạng log (b), và logarit đến cơ số e (logarit tự nhiên) - ln (b).

Thường được sử dụng khi giải các bài toán về logarit:

Tính chất của logarit

Có bốn chính tính chất của logarit.

Cho a> 0, a ≠ 1, x> 0 và y> 0.

Thuộc tính 1. Lôgarit của tích

Lôgarit của sản phẩm bằng tổng logarit:

log a (x ⋅ y) = log a x + log a y

Tính chất 2. Lôgarit của thương

Logarit của thương số bằng hiệu của logarit:

log a (x / y) = log a x - log a y

Tính chất 3. Lôgarit của bậc

Lôgarit bậc bằng tích của li độ và logarit:

Nếu cơ số của lôgarit ở dạng số mũ, thì một công thức khác sẽ được áp dụng:

Tính chất 4. Lôgarit của căn

Tính chất này có thể nhận được từ tính chất của lôgarit bậc, vì căn bậc n bằng lũy thừa của 1 / n:

Công thức chuyển từ một logarit trong một cơ số sang một logarit trong một cơ số khác

Công thức này cũng thường được sử dụng khi giải các nhiệm vụ khác nhau cho logarit:

Trương hợp đặc biệt:

So sánh logarit (bất đẳng thức)

Giả sử chúng ta có 2 hàm f (x) và g (x) theo logarit cùng cơ số và giữa chúng có dấu bất đẳng thức:

Để so sánh chúng, trước tiên bạn cần nhìn vào cơ số của logarit a:

Nếu a> 0, thì f (x)> g (x)> 0
Nếu 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

Cách giải các bài toán với logarit: ví dụ

Nhiệm vụ với logaritđược đưa vào SỬ DỤNG trong toán học lớp 11 trong nhiệm vụ 5 và nhiệm vụ 7, bạn có thể tìm thấy các nhiệm vụ có lời giải trên trang web của chúng tôi trong các phần thích hợp. Ngoài ra, các nhiệm vụ với logarit được tìm thấy trong ngân hàng các nhiệm vụ trong toán học. Bạn có thể tìm thấy tất cả các ví dụ bằng cách tìm kiếm trang web.

Lôgarit là gì

Logarit luôn được coi là một chủ đề khó trong chương trình toán học ở trường. Có nhiều định nghĩa khác nhau về lôgarit, nhưng vì một số lý do mà hầu hết các sách giáo khoa đều sử dụng những định nghĩa phức tạp và đáng tiếc nhất trong số đó.

Chúng ta sẽ định nghĩa logarit một cách đơn giản và rõ ràng. Hãy tạo một bảng cho điều này:

Vì vậy, chúng tôi có quyền hạn của hai.

Logarit - tính chất, công thức, cách giải

Nếu bạn lấy số từ dòng dưới cùng, thì bạn có thể dễ dàng tìm thấy lũy thừa mà bạn phải nâng lên hai để có được số này. Ví dụ, để có được 16, bạn cần nâng hai lên lũy thừa thứ tư. Và để có được 64, bạn cần nâng hai lên lũy thừa thứ sáu. Điều này có thể được nhìn thấy từ bảng.

Và bây giờ - trên thực tế, định nghĩa của lôgarit:

cơ số a của đối số x là lũy thừa mà số a phải được nâng lên để nhận được số x.

Kí hiệu: log a x \ u003d b, trong đó a là cơ số, x là đối số, b thực sự là hàm logarit.

Ví dụ, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (logarit cơ số 2 của 8 là ba vì 2 3 = 8). Cũng có thể log 2 64 = 6, vì 2 6 = 64.

Phép toán tìm logarit của một số với một cơ số cho trước được gọi là. Vì vậy, hãy thêm một hàng mới vào bảng của chúng ta:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 = 1	log 2 4 = 2	log 2 8 = 3	log 2 16 = 4	log 2 32 = 5	log 2 64 = 6

Thật không may, không phải tất cả các logarit đều được xem xét dễ dàng như vậy. Ví dụ, cố gắng tìm log 2 5. Số 5 không có trong bảng, nhưng logic chỉ ra rằng logarit sẽ nằm ở đâu đó trên đoạn. Vì 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Những con số như vậy được gọi là vô tỉ: những con số sau dấu thập phân có thể được viết vô hạn và chúng không bao giờ lặp lại. Nếu logarit trở thành vô tỉ, tốt hơn là để nó như sau: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Điều quan trọng là phải hiểu rằng logarit là một biểu thức có hai biến (cơ số và đối số). Thoạt nghe, nhiều người nhầm lẫn đâu là căn cứ và đâu là luận cứ. Để tránh những hiểu lầm khó chịu, chỉ cần xem hình ảnh:

Trước mắt chúng ta không có gì khác hơn là định nghĩa của lôgarit. Nhớ lại: logarit là lũy thừa, mà bạn cần phải nêu ra cơ sở để có được đối số. Đó là phần đế được nâng lên thành lũy thừa - trong hình nó được tô màu đỏ. Hóa ra đế luôn ở dưới cùng! Tôi kể quy tắc tuyệt vời này cho học sinh của mình ngay từ buổi học đầu tiên - và không có gì nhầm lẫn.

Cách đếm logarit

Chúng tôi đã tìm ra định nghĩa - vẫn còn để học cách đếm logarit, tức là thoát khỏi dấu hiệu "log". Để bắt đầu, chúng tôi lưu ý rằng hai sự kiện quan trọng theo sau từ định nghĩa:

Đối số và cơ số phải luôn lớn hơn 0. Điều này tiếp theo từ định nghĩa bậc của một số mũ hữu tỉ, theo đó định nghĩa của lôgarit được rút gọn.
Cơ sở phải khác với thống nhất, vì một đơn vị đối với bất kỳ quyền lực nào vẫn là một đơn vị. Do đó, câu hỏi “người ta phải nâng lên sức mạnh nào để có được hai người” là vô nghĩa. Không có bằng cấp như vậy!

Những hạn chế như vậy được gọi là phạm vi hợp lệ(ODZ). Hóa ra ODZ của logarit có dạng như sau: log a x = b ⇒ x> 0, a> 0, a ≠ 1.

Lưu ý rằng không có giới hạn nào đối với số b (giá trị của lôgarit) không được áp đặt. Ví dụ, lôgarit có thể âm: log 2 0,5 = −1, bởi vì 0,5 = 2 −1.

Tuy nhiên, bây giờ chúng ta chỉ đang xem xét các biểu thức số, trong đó không bắt buộc phải biết ODZ của lôgarit. Tất cả các hạn chế đã được tính đến bởi các trình biên dịch của các vấn đề. Nhưng khi các phương trình và bất phương trình logarit có hiệu lực, các yêu cầu của DHS sẽ trở thành bắt buộc. Thật vậy, trong cơ sở và lập luận có thể có những cấu trúc rất mạnh mẽ, mà không nhất thiết phải tương ứng với những hạn chế ở trên.

Bây giờ hãy xem xét sơ đồ chung để tính toán logarit. Nó bao gồm ba bước:

Biểu thị cơ số a và đối số x dưới dạng lũy thừa với cơ số nhỏ nhất có thể lớn hơn một. Trên đường đi, tốt hơn là loại bỏ các phân số thập phân;
Giải phương trình biến số b: x = a b;
Kết quả số b sẽ là câu trả lời.

Đó là tất cả! Nếu logarit hóa ra là không hợp lý, điều này sẽ được thấy ở bước đầu tiên. Yêu cầu rằng cơ số lớn hơn một là rất phù hợp: điều này làm giảm khả năng sai sót và đơn giản hóa đáng kể các phép tính. Tương tự với phân số thập phân: nếu chuyển ngay sang phân số thường thì sẽ ít sai sót hơn rất nhiều lần.

Hãy xem cách thức hoạt động của lược đồ này với các ví dụ cụ thể:

Một nhiệm vụ. Tính logarit: log 5 25

Hãy biểu diễn cơ số và đối số dưới dạng lũy thừa của năm: 5 = 5 1; 25 = 52;

Hãy lập và giải phương trình:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

Đã nhận được câu trả lời: 2.

Một nhiệm vụ. Tính logarit:

Một nhiệm vụ. Tính logarit: log 4 64

Hãy biểu diễn cơ số và đối số dưới dạng lũy thừa của hai: 4 = 2 2; 64 = 26;
Hãy lập và giải phương trình:
log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3;
Đã nhận được câu trả lời: 3.

Một nhiệm vụ. Tính logarit: log 16 1

Hãy biểu diễn cơ số và đối số dưới dạng lũy thừa của hai: 16 = 2 4; 1 = 20;
Hãy lập và giải phương trình:
log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0;
Đã nhận được phản hồi: 0.

Một nhiệm vụ. Tính logarit: log 7 14

Hãy biểu diễn cơ số và đối số dưới dạng lũy thừa của bảy: 7 = 7 1; 14 không được biểu thị như một lũy thừa của bảy, bởi vì 7 1< 14 < 7 2 ;
Từ đoạn trước đó, lôgarit không được xét đến;
Câu trả lời là không thay đổi: log 7 14.

Một lưu ý nhỏ về ví dụ cuối cùng. Làm thế nào để đảm bảo rằng một số không phải là lũy thừa chính xác của một số khác? Rất đơn giản - chỉ cần phân tích nó thành các thừa số nguyên tố. Nếu có ít nhất hai yếu tố khác nhau trong khai triển, thì số đó không phải là lũy thừa chính xác.

Một nhiệm vụ. Tìm xem các lũy thừa chính xác của số là: 8; 48; 81; 35; mười bốn.

8 \ u003d 2 2 2 \ u003d 2 3 - độ chính xác, bởi vì chỉ có một hệ số nhân;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 không phải là lũy thừa chính xác vì có hai thừa số: 3 và 2;
81 \ u003d 9 9 \ u003d 3 3 3 3 \ u003d 3 4 - độ chính xác;
35 = 7 5 - một lần nữa không phải là một mức độ chính xác;
14 \ u003d 7 2 - một lần nữa không phải là một mức độ chính xác;

Cũng lưu ý rằng bản thân các số nguyên tố luôn là lũy thừa chính xác của chính chúng.

Lôgarit thập phân

Một số logarit phổ biến đến mức chúng có tên và cách gọi đặc biệt.

của đối số x là logarit cơ số 10, tức là lũy thừa mà 10 phải được nâng lên để có được x. Chỉ định: lgx.

Ví dụ, log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - v.v.

Từ bây giờ, khi bạn nhìn thấy một cụm từ như "Tìm lg 0,01" trong sách giáo khoa, hãy biết rằng đây không phải là lỗi đánh máy. Đây là lôgarit thập phân. Tuy nhiên, nếu ký hiệu này không bình thường đối với bạn, bạn luôn có thể viết lại nó:
log x = log 10 x

Mọi thứ đúng với logarit thông thường cũng đúng với số thập phân.

lôgarit tự nhiên

Có một lôgarit khác có ký hiệu riêng của nó. Theo một nghĩa nào đó, nó thậm chí còn quan trọng hơn số thập phân. Đây là lôgarit tự nhiên.

của đối số x là logarit của cơ số e, tức là lũy thừa mà số e phải được nâng lên để được số x. Chỉ định: lnx.

Nhiều người sẽ hỏi: số e là gì? Đây là một số vô tỉ, giá trị chính xác của nó không thể được tìm thấy và viết ra. Đây chỉ là những con số đầu tiên:
e = 2,718281828459…

Chúng tôi sẽ không đi sâu vào con số này là gì và tại sao nó lại cần thiết. Chỉ cần nhớ rằng e là cơ số của logarit tự nhiên:
ln x = log e x

Như vậy ln e = 1; log e 2 = 2; ln e 16 = 16 - v.v. Mặt khác, ln 2 là một số vô tỉ. Nói chung, logarit tự nhiên của bất kỳ số hữu tỉ nào đều là số vô tỉ. Tất nhiên, ngoại trừ sự thống nhất: ln 1 = 0.

Đối với logarit tự nhiên, tất cả các quy tắc đúng với logarit thông thường đều hợp lệ.

Xem thêm:

Lôgarit. Tính chất của lôgarit (lũy thừa của lôgarit).

Làm thế nào để biểu diễn một số dưới dạng logarit?

Chúng tôi sử dụng định nghĩa của một lôgarit.

Lôgarit là đại lượng đo lũy thừa mà cơ số phải được nâng lên để nhận được số dưới dấu của lôgarit.

Vì vậy, để biểu diễn một số c nào đó dưới dạng logarit với cơ số a, cần đặt một bậc dưới dấu của logarit cùng cơ số với cơ số của logarit, và viết số c này thành số mũ :

Ở dạng logarit, bạn có thể biểu diễn hoàn toàn bất kỳ số nào - số dương, số âm, số nguyên, phân số, số hữu tỉ, số vô tỉ:

Để không nhầm lẫn giữa a và c trong điều kiện căng thẳng của bài kiểm tra hoặc kỳ thi, bạn có thể sử dụng quy tắc sau để ghi nhớ:

những gì ở dưới đi xuống, những gì ở trên đi lên.

Ví dụ, bạn muốn biểu diễn số 2 dưới dạng logarit cho cơ số 3.

Chúng ta có hai số - 2 và 3. Những số này là cơ số và số mũ, chúng ta sẽ viết dưới dấu của lôgarit. Nó vẫn còn để xác định những con số nào trong số những con số này nên được viết ra, theo cơ sở của mức độ, và số nào - lên, trong số mũ.

Cơ số 3 trong bản ghi lôgarit ở dưới cùng, có nghĩa là khi chúng ta biểu diễn quy ước dưới dạng lôgarit đến cơ số 3, chúng ta cũng sẽ viết 3 xuống cơ số.

2 cao hơn 3. Và trong ký hiệu của mức độ, chúng tôi viết hai ở trên ba, nghĩa là, trong số mũ:

Logarit. Cấp độ đầu tiên.

Logarit

lôgarit số dương b bởi lý do Một, ở đâu a> 0, a ≠ 1, là số mũ mà số phải được nâng lên. Một, Để có được b.

Định nghĩa lôgarit có thể được viết ngắn gọn như thế này:

Sự bình đẳng này có giá trị đối với b> 0, a> 0, a ≠ 1. Anh ấy thường được gọi là nhận dạng logarit.
Hành động tìm logarit của một số được gọi là lôgarit.

Tính chất của logarit:

Lôgarit của tích:

Logarit của thương số từ phép chia:

Thay cơ số của lôgarit:

Lôgarit bậc:

logarit cơ số:

Lôgarit với cơ số lũy thừa:

Số thập phân và logarit tự nhiên.

Lôgarit thập phân các số gọi logarit cơ số 10 của số đó và viết & nbsp lg b
lôgarit tự nhiên số gọi lôgarit của số này là cơ số e, ở đâu e là một số vô tỉ, xấp xỉ bằng 2,7. Đồng thời, họ viết ln b.

Những lưu ý khác về Đại số và Hình học

Các tính chất cơ bản của logarit

Logarit, giống như bất kỳ số nào, có thể được cộng, trừ và chuyển đổi theo mọi cách có thể. Nhưng vì logarit không phải là những con số bình thường, nên có những quy tắc ở đây, được gọi là Các tính chất cơ bản.

Các quy tắc này phải được biết - không có vấn đề nghiêm trọng về lôgarit nào có thể được giải quyết mà không có chúng. Ngoài ra, có rất ít trong số chúng - mọi thứ đều có thể học được trong một ngày. Vậy hãy bắt đầu.

Phép cộng và phép trừ logarit

Xét hai logarit cùng cơ số: log a x và log a y. Sau đó, chúng có thể được cộng và trừ, và:

log a x + log a y = log a (x y);
log a x - log a y = log a (x: y).

Vì vậy, tổng của các logarit bằng logarit của tích và hiệu là logarit của thương. Xin lưu ý: điểm mấu chốt ở đây là - cùng một cơ sở. Nếu các cơ sở khác nhau, các quy tắc này không hoạt động!

Các công thức này sẽ giúp tính toán biểu thức logarit ngay cả khi không xét đến các phần riêng lẻ của nó (xem bài học "Logarit là gì"). Hãy xem các ví dụ và xem:

log 6 4 + log 6 9.

Vì cơ số của logarit giống nhau, chúng tôi sử dụng công thức tính tổng:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Một nhiệm vụ. Tìm giá trị của biểu thức: log 2 48 - log 2 3.

Các cơ sở giống nhau, chúng tôi sử dụng công thức chênh lệch:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Một nhiệm vụ. Tìm giá trị của biểu thức: log 3 135 - log 3 5.

Một lần nữa, các cơ sở giống nhau, vì vậy chúng ta có:
log 3 135 - log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Như bạn có thể thấy, các biểu thức ban đầu được tạo thành từ các logarit "xấu", không được xem xét riêng biệt. Nhưng sau khi biến đổi những con số khá bình thường lần lượt ra đời. Nhiều thử nghiệm dựa trên thực tế này. Có, kiểm soát - các biểu hiện tương tự về mọi mức độ nghiêm túc (đôi khi - hầu như không thay đổi) được đưa ra trong kỳ thi.

Loại bỏ số mũ khỏi lôgarit

Bây giờ hãy phức tạp hóa nhiệm vụ một chút. Điều gì sẽ xảy ra nếu có một bậc trong cơ số hoặc đối số của lôgarit? Khi đó, số mũ của bậc này có thể được lấy ra khỏi dấu của lôgarit theo các quy tắc sau:

Có thể dễ dàng nhận thấy rằng quy tắc cuối cùng tuân theo hai quy tắc đầu tiên của chúng. Nhưng tốt hơn hết là bạn nên nhớ nó - trong một số trường hợp, nó sẽ giảm đáng kể số lượng tính toán.

Tất nhiên, tất cả các quy tắc này có ý nghĩa nếu quan sát được lôgarit ODZ: a> 0, a ≠ 1, x> 0. Và một điều nữa: học cách áp dụng tất cả các công thức không chỉ từ trái sang phải mà còn ngược lại, tức là bạn có thể nhập các số trước dấu của lôgarit vào chính lôgarit.

Cách giải logarit

Đây là những gì thường được yêu cầu nhất.

Một nhiệm vụ. Tìm giá trị của biểu thức: log 7 49 6.

Hãy loại bỏ mức độ trong đối số theo công thức đầu tiên:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Một nhiệm vụ. Tìm giá trị của biểu thức:

Lưu ý rằng mẫu số là một lôgarit có cơ số và đối số là lũy thừa chính xác: 16 = 2 4; 49 = 72. Chúng ta có:

Tôi nghĩ ví dụ cuối cùng cần được làm rõ. Logarit đã biến đi đâu? Cho đến giây phút cuối cùng, chúng tôi chỉ làm việc với mẫu số. Họ trình bày cơ số và đối số của lôgarit đứng ở đó dưới dạng độ và lấy ra các chỉ số - họ nhận được một phân số "ba tầng".

Bây giờ chúng ta hãy nhìn vào phân số chính. Tử số và mẫu số có cùng một tử số: log 2 7. Vì log 2 7 ≠ 0 nên ta có thể rút gọn phân số - 2/4 sẽ giữ nguyên mẫu số. Theo quy tắc số học, bốn có thể được chuyển sang tử số, điều này đã được thực hiện. Kết quả là câu trả lời: 2.

Chuyển sang nền tảng mới

Nói về các quy tắc cộng và trừ logarit, tôi đặc biệt nhấn mạnh rằng chúng chỉ hoạt động với các cơ số giống nhau. Nếu các bazơ khác nhau thì sao? Điều gì sẽ xảy ra nếu chúng không phải là lũy thừa chính xác của cùng một số?

Các công thức chuyển đổi đến một căn cứ mới đến để giải cứu. Chúng tôi hình thành chúng dưới dạng một định lý:

Cho logarit log a x đã cho. Khi đó với mọi số c sao cho c> 0 và c ≠ 1, đẳng thức là đúng:

Đặc biệt, nếu chúng ta đặt c = x, chúng ta nhận được:

Nó theo công thức thứ hai rằng cơ số và đối số của lôgarit có thể được hoán đổi cho nhau, nhưng toàn bộ biểu thức được "đảo ngược", tức là logarit ở mẫu số.

Những công thức này hiếm khi được tìm thấy trong các biểu thức số thông thường. Chỉ có thể đánh giá mức độ thuận tiện của chúng khi giải các phương trình và bất phương trình logarit.

Tuy nhiên, có những nhiệm vụ hoàn toàn không thể giải quyết được ngoại trừ việc chuyển đến một nền tảng mới. Hãy xem xét một số điều sau:

Một nhiệm vụ. Tìm giá trị của biểu thức: log 5 16 log 2 25.

Lưu ý rằng các đối số của cả hai logarit đều là số mũ chính xác. Hãy lấy các chỉ số: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Bây giờ chúng ta hãy lật lôgarit thứ hai:

Vì tích không thay đổi so với hoán vị của các thừa số, chúng tôi bình tĩnh nhân bốn và hai, và sau đó tìm ra logarit.

Một nhiệm vụ. Tìm giá trị của biểu thức: log 9 100 lg 3.

Cơ số và đối số của lôgarit đầu tiên là lũy thừa chính xác. Hãy viết nó ra và loại bỏ các chỉ số:

Bây giờ chúng ta hãy loại bỏ logarit thập phân bằng cách chuyển sang cơ số mới:

Nhận dạng lôgarit cơ bản

Thường thì trong quá trình giải nó được yêu cầu biểu diễn một số dưới dạng logarit với một cơ số cho trước.

Trong trường hợp này, các công thức sẽ giúp chúng ta:

Trong trường hợp đầu tiên, số n trở thành số mũ trong đối số. Số n hoàn toàn có thể là bất kỳ thứ gì, bởi vì nó chỉ là giá trị của lôgarit.

Công thức thứ hai thực sự là một định nghĩa được diễn giải. Nó được gọi như thế này:

Thật vậy, điều gì sẽ xảy ra nếu số b được nâng lên đến mức mà số b ở mức này cho số a? Đúng vậy: đây là số giống nhau a. Hãy đọc kỹ đoạn này một lần nữa - nhiều người “mắc kẹt” với nó.

Giống như các công thức chuyển đổi cơ số mới, định dạng lôgarit cơ bản đôi khi là giải pháp khả thi duy nhất.

Một nhiệm vụ. Tìm giá trị của biểu thức:

Lưu ý rằng log 25 64 = log 5 8 - chỉ lấy ra bình phương từ cơ số và đối số của logarit. Đưa ra các quy tắc để nhân các lũy thừa với cùng cơ số, chúng ta nhận được:

Nếu ai đó không biết, đây là một nhiệm vụ thực sự từ Kỳ thi Trạng thái Thống nhất 🙂

Đơn vị lôgarit và số không lôgarit

Tóm lại, tôi sẽ đưa ra hai đặc điểm khó gọi là thuộc tính - đúng hơn, đây là những hệ quả từ định nghĩa của lôgarit. Chúng liên tục được tìm thấy trong các vấn đề và đáng ngạc nhiên là chúng tạo ra các vấn đề ngay cả đối với học sinh "tiên tiến".

log a a = 1 là. Hãy nhớ một lần và mãi mãi: logarit với bất kỳ cơ số a nào từ cơ số đó cũng bằng một.
log a 1 = 0 là. Cơ số a có thể là bất kỳ thứ gì, nhưng nếu đối số là một, thì logarit là 0! Vì 0 = 1 là hệ quả trực tiếp của định nghĩa.

Đó là tất cả các thuộc tính. Hãy chắc chắn để thực hành đưa chúng vào thực tế! Tải về cheat sheet ở đầu bài học, in ra và giải các bài tập.

Chúng ta tiếp tục nghiên cứu logarit. Trong bài viết này chúng ta sẽ nói về tính toán logarit, quá trình này được gọi là lôgarit. Đầu tiên, chúng ta sẽ giải quyết việc tính logarit theo định nghĩa. Tiếp theo, hãy xem xét cách các giá trị của logarit được tìm thấy bằng cách sử dụng các thuộc tính của chúng. Sau đó, chúng ta sẽ tập trung vào việc tính toán logarit thông qua các giá trị đã cho ban đầu của các logarit khác. Cuối cùng, chúng ta hãy học cách sử dụng bảng logarit. Toàn bộ lý thuyết được cung cấp các ví dụ với lời giải chi tiết.

Điều hướng trang.

Tính toán logarit theo định nghĩa

Trong những trường hợp đơn giản nhất, có thể thực hiện nhanh chóng và dễ dàng tìm lôgarit theo định nghĩa. Chúng ta hãy xem xét kỹ hơn quá trình này diễn ra như thế nào.

Bản chất của nó là biểu diễn số b dưới dạng a c, trong khi đó, theo định nghĩa của lôgarit, số c là giá trị của lôgarit. Nghĩa là, theo định nghĩa, tìm lôgarit tương ứng với chuỗi cân bằng sau: log a b = log a a c = c.

Vì vậy, việc tính toán lôgarit, theo định nghĩa, đi đến việc tìm một số c sao cho a c \ u003d b, và bản thân số c là giá trị mong muốn của lôgarit.

Với thông tin của các đoạn trước, khi số dưới dấu của logarit được cho bằng một số bậc của cơ số của logarit, thì bạn có thể ngay lập tức cho biết logarit bằng bao nhiêu - nó bằng số mũ. Hãy đưa ra các ví dụ.

Ví dụ.

Tìm log 2 2 −3, đồng thời tính logarit tự nhiên của e 5.3.

Giải pháp.

Định nghĩa của logarit cho phép chúng ta nói ngay rằng log 2 2 −3 = −3. Thật vậy, số dưới dấu của lôgarit bằng cơ số 2 với lũy thừa −3.

Tương tự, ta tìm được logarit thứ hai: lne 5,3 = 5,3.

Trả lời:

log 2 2 −3 = −3 và lne 5.3 = 5.3.

Nếu số b dưới dấu của lôgarit không được cho là lũy thừa của cơ số của lôgarit, thì bạn cần phải xem xét cẩn thận xem có thể đưa ra biểu diễn của số b dưới dạng a c hay không. Thường thì biểu diễn này khá rõ ràng, đặc biệt là khi số dưới dấu của lôgarit bằng cơ số với lũy thừa của 1, 2, hoặc 3, ...

Ví dụ.

Tính logarit log 5 25 và.

Giải pháp.

Dễ dàng thấy rằng 25 = 5 2, điều này cho phép bạn tính logarit đầu tiên: log 5 25 = log 5 5 2 = 2.

Chúng ta tiến hành tính logarit thứ hai. Một số có thể được biểu diễn dưới dạng lũy thừa của 7: (xem nếu cần thiết). Hậu quả là, .

Hãy viết lại logarit thứ ba dưới dạng sau. Bây giờ bạn có thể thấy rằng , chúng tôi kết luận rằng . Do đó, theo định nghĩa của lôgarit .

Tóm lại, giải pháp có thể được viết như sau:

Trả lời:

log 5 25 = 2, Và .

Khi một số tự nhiên đủ lớn dưới dấu của lôgarit, thì việc phân tích nó thành thừa số nguyên tố sẽ không hiệu quả. Nó thường giúp biểu diễn một số như là một số lũy thừa của cơ số của lôgarit, và do đó, để tính lôgarit này theo định nghĩa.

Ví dụ.

Tìm giá trị của lôgarit.

Giải pháp.

Một số thuộc tính của logarit cho phép bạn chỉ định ngay giá trị của logarit. Các thuộc tính này bao gồm tính chất của logarit của một và tính chất của logarit của một số bằng cơ số: log 1 1 = log a a 0 = 0 và log a a = log a a 1 = 1. Nghĩa là, khi số 1 hoặc số a dưới dấu của logarit, bằng cơ số của logarit, thì trong những trường hợp này, logarit lần lượt là 0 và 1.

Ví dụ.

Logarit và lg10 là gì?

Giải pháp.

Vì, nó tuân theo định nghĩa của lôgarit .

Trong ví dụ thứ hai, số 10 dưới dấu hiệu của lôgarit trùng với cơ số của nó, vì vậy lôgarit thập phân của mười bằng một, nghĩa là, lg10 = lg10 1 = 1.

Trả lời:

VÀ lg10 = 1.

Lưu ý rằng tính toán logarit theo định nghĩa (mà chúng ta đã thảo luận trong đoạn trước) ngụ ý việc sử dụng hàm đẳng thức a a p = p, là một trong những tính chất của logarit.

Trong thực tế, khi số dưới dấu của lôgarit và cơ số của lôgarit được biểu diễn dễ dàng dưới dạng lũy thừa của một số nào đó, thì rất thuận tiện khi sử dụng công thức , tương ứng với một trong các thuộc tính của logarit. Hãy xem xét một ví dụ về việc tìm logarit, minh họa việc sử dụng công thức này.

Ví dụ.

Tính logarit của.

Giải pháp.

Trả lời:

Các tính chất của logarit không được đề cập ở trên cũng được sử dụng trong tính toán, nhưng chúng ta sẽ nói về điều này trong các đoạn sau.

Tìm logarit dưới dạng các logarit đã biết khác

Thông tin trong đoạn này tiếp tục chủ đề về việc sử dụng các tính chất của logarit trong tính toán của chúng. Nhưng ở đây sự khác biệt chính là các thuộc tính của logarit được sử dụng để biểu thị logarit ban đầu dưới dạng một logarit khác, giá trị của nó đã biết. Hãy lấy một ví dụ để làm rõ. Giả sử chúng ta biết rằng log 2 3≈1.584963, thì chúng ta có thể tìm, chẳng hạn, log 2 6 bằng cách thực hiện một phép biến đổi nhỏ sử dụng các thuộc tính của logarit: log 2 6 = log 2 (2 3) = log 2 2 + log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

Trong ví dụ trên, chúng ta sử dụng thuộc tính lôgarit của tích là đủ. Tuy nhiên, bạn thường phải sử dụng một kho các thuộc tính của logarit rộng hơn để tính logarit ban đầu theo các giá trị đã cho.

Ví dụ.

Tính logarit của 27 đến cơ số 60 nếu biết rằng log 60 2 = a và log 60 5 = b.

Giải pháp.

Vì vậy, chúng ta cần tìm log 60 27. Dễ dàng thấy rằng 27 = 3 3, và logarit gốc, do tính chất của logarit bậc, có thể được viết lại thành 3 · log 60 3.

Bây giờ chúng ta hãy xem log 60 3 có thể được biểu diễn như thế nào dưới dạng logarit đã biết. Tính chất lôgarit của một số bằng cơ số cho phép bạn viết lôgarit đẳng thức 60 60 = 1. Mặt khác, log 60 60 = log60 (2 2 3 5) = log 60 2 2 + log 60 3 + log 60 5 = 2 log 60 2 + log 60 3 + log 60 5. Theo cách này, 2 log 60 2 + log 60 3 + log 60 5 = 1. Hậu quả là, log 60 3 = 1−2 log 60 2 − log 60 5 = 1−2 a − b.

Cuối cùng, chúng ta tính logarit ban đầu: log 60 27 = 3 log 60 3 = 3 (1−2 a − b) = 3−6 a − 3 b.

Trả lời:

log 60 27 = 3 (1−2 a − b) = 3−6 a − 3 b.

Riêng biệt, cần đề cập đến ý nghĩa của công thức chuyển đổi sang cơ số mới của lôgarit có dạng . Nó cho phép bạn chuyển từ logarit có cơ số bất kỳ sang logarit có cơ số cụ thể, các giá trị đã biết hoặc có thể tìm thấy chúng. Thông thường, từ logarit ban đầu, theo công thức chuyển đổi, chúng chuyển sang logarit ở một trong các cơ số 2, e hoặc 10, vì đối với các cơ số này có các bảng logarit cho phép tính giá trị của chúng với một mức độ nhất định. về độ chính xác. Trong phần tiếp theo, chúng tôi sẽ chỉ ra cách thực hiện điều này.

Bảng logarit, việc sử dụng chúng

Để tính toán gần đúng các giá trị của logarit, người ta có thể sử dụng bảng logarit. Thông dụng nhất được sử dụng là bảng logarit cơ số 2, bảng logarit tự nhiên và bảng logarit thập phân. Khi làm việc trong hệ thống số thập phân, rất tiện lợi khi sử dụng bảng logarit đến cơ số mười. Với sự trợ giúp của nó, chúng ta sẽ học cách tìm các giá trị của logarit.

Bảng được trình bày cho phép, với độ chính xác là một phần mười nghìn, tìm các giá trị của logarit thập phân của các số từ 1.000 đến 9.999 (với ba chữ số thập phân). Chúng tôi sẽ phân tích nguyên tắc tìm giá trị của lôgarit bằng cách sử dụng bảng lôgarit thập phân bằng một ví dụ cụ thể - rõ ràng hơn. Hãy tìm lg1,256.

Trong cột bên trái của bảng logarit thập phân, chúng ta tìm thấy hai chữ số đầu tiên của số 1.256, tức là chúng ta tìm thấy 1.2 (số này được khoanh màu xanh cho rõ ràng). Chữ số thứ ba trong số 1.256 (số 5) được tìm ở dòng đầu tiên hoặc dòng cuối cùng bên trái của dòng kẻ đôi (số này được khoanh đỏ). Chữ số thứ tư của số ban đầu 1.256 (số 6) được tìm thấy ở dòng đầu tiên hoặc dòng cuối cùng bên phải của dòng kép (số này được khoanh màu xanh lá cây). Bây giờ chúng ta tìm các số trong các ô của bảng logarit tại giao điểm của hàng được đánh dấu và các cột được đánh dấu (những số này được tô màu cam). Tổng các số được đánh dấu cho giá trị mong muốn của lôgarit thập phân lên đến chữ số thập phân thứ tư, nghĩa là log1.236≈0.0969 + 0.0021 = 0.0990.

Có thể sử dụng bảng trên để tìm giá trị của logarit thập phân của các số có nhiều hơn ba chữ số sau dấu thập phân và cũng vượt quá giới hạn từ 1 đến 9,999 không? Có, bạn có thể. Hãy cho thấy điều này được thực hiện như thế nào với một ví dụ.

Hãy tính lg102.76332. Đầu tiên bạn cần viết số ở dạng tiêu chuẩn: 102,76332 = 1,0276332 10 2. Sau đó, phần định trị sẽ được làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba, chúng ta có 1.0276332 10 2 ≈1.028 10 2, trong khi logarit thập phân ban đầu xấp xỉ bằng logarit của số kết quả, tức là, chúng ta lấy lg102,76332≈lg1.028 · 10 2. Bây giờ áp dụng các thuộc tính của lôgarit: lg1.028 10 2 = lg1.028 + lg10 2 = lg1.028 + 2. Cuối cùng, chúng ta tìm giá trị của logarit lg1.028 theo bảng logarit thập phân lg1.028≈0.0086 + 0.0034 = 0.012. Kết quả là, toàn bộ quá trình tính toán lôgarit trông như thế này: lg102,76332 = lg1,0276332 10 2 ≈lg1,028 10 2 = lg1.028 + lg10 2 = lg1.028 + 2≈0.012 + 2 = 2.012.

Kết luận, cần lưu ý rằng sử dụng bảng logarit thập phân, bạn có thể tính giá trị gần đúng của bất kỳ logarit nào. Để làm điều này, chỉ cần sử dụng công thức chuyển đổi để chuyển sang logarit thập phân, tìm giá trị của chúng trong bảng và thực hiện các phép tính còn lại.

Ví dụ, hãy tính log 2 3. Theo công thức chuyển đổi sang cơ số mới của logarit, chúng ta có. Từ bảng logarit thập phân ta tìm được lg3≈0.4771 và lg2≈0.3010. Theo cách này, .

Thư mục.

Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. và các môn khác.
Gusev V.A., Mordkovich A.G. Toán học (cẩm nang dành cho những người nộp đơn vào các trường kỹ thuật).

Các tính chất cơ bản của lôgarit tự nhiên, đồ thị, miền xác định, tập giá trị, công thức cơ bản, đạo hàm, tích phân, khai triển trong một chuỗi lũy thừa và biểu diễn hàm ln x bằng số phức được đưa ra.

Sự định nghĩa

lôgarit tự nhiên là hàm y = ln x, nghịch đảo với số mũ, x \ u003d e y và là lôgarit đối với cơ số e: ln x = log e x.

Lôgarit tự nhiên được sử dụng rộng rãi trong toán học vì đạo hàm của nó có dạng đơn giản nhất: (ln x) ′ = 1 / x.

Dựa trên định nghĩa, cơ số của lôgarit tự nhiên là số e:
e ≅ 2.718281828459045 ...;
.

Đồ thị của hàm số y = ln x.

Đồ thị của lôgarit tự nhiên (các hàm y = ln x) nhận được từ đồ thị của số mũ bởi phản xạ gương về đường thẳng y = x.

Lôgarit tự nhiên được xác định cho các giá trị dương của x. Nó tăng đơn điệu trên miền định nghĩa của nó.

Như x → 0 giới hạn của lôgarit tự nhiên là trừ vô cùng (- ∞).

Khi x → + ∞, giới hạn của lôgarit tự nhiên là cộng vô cùng (+ ∞). Đối với x lớn, logarit tăng khá chậm. Bất kỳ hàm lũy thừa nào x a với số mũ dương a đều phát triển nhanh hơn logarit.

Tính chất của lôgarit tự nhiên

Miền xác định, tập hợp giá trị, cực trị, tăng, giảm

Lôgarit tự nhiên là một hàm tăng đơn điệu, vì vậy nó không có cực trị. Các tính chất chính của lôgarit tự nhiên được trình bày trong bảng.

ln x giá trị

log 1 = 0

Công thức cơ bản cho logarit tự nhiên

Các công thức phát sinh từ định nghĩa của hàm ngược:

Tính chất chính của logarit và hệ quả của nó

Công thức thay thế cơ sở

Bất kỳ lôgarit nào cũng có thể được biểu thị dưới dạng lôgarit tự nhiên bằng cách sử dụng công thức thay đổi cơ số:

Cách chứng minh các công thức này được trình bày trong phần "Lôgarit".

Chức năng trái ngược

Số nghịch đảo của lôgarit tự nhiên là số mũ.

Nếu, thì

Nếu, sau đó.

Đạo hàm ln x

Đạo hàm của lôgarit tự nhiên:
.
Đạo hàm của logarit tự nhiên của modulo x:
.
Đạo hàm của đơn hàng thứ n:
.
Bắt nguồn của công thức>>>

Tích phân

Tích phân được tính bằng tích phân theo các phần:
.
Cho nên,

Biểu thức dưới dạng số phức

Xét một hàm của biến phức z:
.
Hãy biểu diễn biến phức z thông qua mô-đun r và tranh luận φ :
.
Sử dụng các tính chất của lôgarit, chúng ta có:
.
Hoặc
.
Đối số φ không được xác định duy nhất. Nếu chúng ta đặt
, với n là một số nguyên,
thì nó sẽ là cùng một số cho n khác nhau.

Do đó, logarit tự nhiên, với tư cách là một hàm của một biến phức, không phải là một hàm đơn giá trị.

Mở rộng chuỗi nguồn

Đối với, việc mở rộng diễn ra:

Người giới thiệu:
TRONG. Bronstein, K.A. Semendyaev, Sổ tay Toán học cho Kỹ sư và Sinh viên của các Cơ sở Giáo dục Đại học, Lan, 2009.

Biểu thức lôgarit, lời giải của các ví dụ. Trong bài này, chúng ta sẽ xem xét các vấn đề liên quan đến việc giải logarit. Các nhiệm vụ đặt ra câu hỏi về việc tìm giá trị của biểu thức. Cần lưu ý rằng khái niệm lôgarit được sử dụng trong nhiều nhiệm vụ và điều cực kỳ quan trọng là hiểu được ý nghĩa của nó. Đối với ứng dụng, lôgarit được sử dụng trong việc giải phương trình, trong các bài toán ứng dụng và cả trong các công việc liên quan đến nghiên cứu các hàm số.

Dưới đây là các ví dụ để hiểu ý nghĩa của lôgarit:

Nhận dạng lôgarit cơ bản:

Các tính chất của logarit mà bạn phải luôn nhớ:

* Logarit của tích bằng tổng logarit của các thừa số.

* * *

* Lôgarit của thương số (phân số) bằng hiệu của lôgarit của các thừa số.

* * *

* Lôgarit của bậc bằng tích của số mũ và lôgarit của cơ số của nó.

* * *

* Chuyển sang cơ sở mới

* * *

Các thuộc tính khác:

* * *

Tính toán logarit liên quan chặt chẽ đến việc sử dụng các thuộc tính của số mũ.

Chúng tôi liệt kê một số trong số họ:

Thực chất của tính chất này là khi chuyển tử số sang mẫu số và ngược lại thì dấu của số mũ chuyển thành ngược lại. Ví dụ:

Hệ quả của thuộc tính này:

* * *

Khi nâng một lũy thừa lên lũy thừa, cơ số vẫn giữ nguyên, nhưng số mũ được nhân lên.

* * *

Như bạn có thể thấy, khái niệm lôgarit rất đơn giản. Điều chính là cần thực hành tốt, mang lại một kỹ năng nhất định. Chắc chắn kiến thức về công thức là bắt buộc. Nếu không hình thành kỹ năng chuyển đổi logarit sơ cấp thì khi giải các bài tập đơn giản, người ta dễ mắc sai lầm.

Thực hành, giải các ví dụ đơn giản nhất từ khóa toán trước, sau đó chuyển sang các ví dụ phức tạp hơn. Trong thời gian tới, nhất định mình sẽ chỉ ra cách giải những logarit “xấu xí” như thế nào, trong đề thi sẽ không có những bài như vậy mà các em quan tâm, các bạn đừng bỏ lỡ nhé!

Đó là tất cả! Chúc bạn may mắn!

Trân trọng, Alexander Krutitskikh

P.S: Tôi sẽ rất biết ơn nếu bạn kể về trang web trên mạng xã hội.

Một trong những yếu tố của đại số cấp nguyên thủy là lôgarit. Cái tên này xuất phát từ tiếng Hy Lạp từ “số” hoặc “độ” và có nghĩa là mức độ cần thiết để nâng số ở gốc để tìm ra con số cuối cùng.

Các loại logarit

log a b là logarit của số b với cơ số a (a> 0, a ≠ 1, b> 0);
lg b - logarit thập phân (logarit cơ số 10, a = 10);
ln b - logarit tự nhiên (logarit cơ số e, a = e).

Làm thế nào để giải quyết logarit?

Lôgarit của số b với cơ số a là một số mũ, yêu cầu cơ số a được nâng lên thành số b. Kết quả được phát âm như thế này: "logarit của b với cơ số của a". Giải pháp cho các bài toán về lôgarit là bạn cần xác định tung độ đã cho của các số bằng các số xác định. Có một số quy tắc cơ bản để xác định hoặc giải lôgarit, cũng như biến đổi ký hiệu. Sử dụng chúng, phương trình logarit được giải, tìm đạo hàm, giải tích phân và nhiều phép toán khác được thực hiện. Về cơ bản, giải pháp cho lôgarit chính là ký hiệu đơn giản của nó. Dưới đây là các công thức và thuộc tính chính:

Đối với bất kỳ a; a> 0; a ≠ 1 và với x bất kỳ; y> 0.

a log a b = b là đồng dạng logarit cơ bản
log a 1 = 0
log a a = 1
log a (x y) = log a x + log a y
log a x / y = log a x - log a y
log a 1 / x = -log a x
log a x p = p log a x
log a k x = 1 / k log a x, với k ≠ 0
log a x = log a c x c
log a x \ u003d log b x / log b a - công thức chuyển đổi sang cơ sở mới
log a x = 1 / log x a

Cách giải logarit - hướng dẫn từng bước để giải

Đầu tiên, hãy viết ra phương trình cần thiết.

Xin lưu ý: nếu lôgarit cơ số là 10, thì bản ghi được rút gọn, sẽ thu được lôgarit thập phân. Nếu có một số tự nhiên e, thì chúng tôi viết ra, rút gọn thành một lôgarit tự nhiên. Có nghĩa là kết quả của tất cả các logarit là lũy thừa mà số cơ số được nâng lên để thu được số b.

Trực tiếp, giải pháp nằm trong việc tính toán mức độ này. Trước khi giải một biểu thức với logarit, nó phải được đơn giản hóa theo quy tắc, tức là sử dụng các công thức. Bạn có thể tìm thấy danh tính chính bằng cách quay lại một chút trong bài viết.

Khi cộng và trừ các logarit với hai số khác nhau nhưng cùng cơ số, hãy thay bằng một logarit duy nhất bằng tích hoặc phép chia của các số b và c tương ứng. Trong trường hợp này, bạn có thể áp dụng công thức chuyển đổi sang cơ số khác (xem ở trên).

Nếu bạn đang sử dụng các biểu thức để đơn giản hóa lôgarit, có một số hạn chế cần xem xét. Và đó là: cơ số của lôgarit a chỉ là một số dương, nhưng không bằng một. Số b, như a, phải lớn hơn 0.

Có những trường hợp khi đã đơn giản hóa biểu thức, bạn sẽ không thể tính được lôgarit ở dạng số. Nó xảy ra rằng một biểu thức như vậy không có ý nghĩa, bởi vì nhiều độ là số vô tỉ. Với điều kiện này, hãy để lũy thừa của một số dưới dạng logarit.