Tìm côsin của góc giữa hai đường thẳng. Góc giữa hai đường thẳng. Cách tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song
Nhiệm vụ 1
Tìm cosin của góc giữa các đường $ \ frac (x + 3) (5) = \ frac (y-2) (- 3) = \ frac (z-1) (4) $ và $ \ left \ ( \ begin (array) (c) (x = 2 \ cdot t-3) \\ (y = -t + 1) \\ (z = 3 \ cdot t + 5) \ end (array) \ right. $.
Cho hai dòng được cho trong không gian: $ \ frac (x-x_ (1)) (m_ (1)) = \ frac (y-y_ (1)) (n_ (1)) = \ frac (z-z_ ( 1)) (p_ (1)) $ và $ \ frac (x-x_ (2)) (m_ (2)) = \ frac (y-y_ (2)) (n_ (2)) = \ frac (z - z_ (2)) (p_ (2)) $. Chúng tôi chọn một điểm tùy ý trong không gian và vẽ hai đường phụ qua đó, song song với dữ liệu. Góc giữa các đường thẳng đã cho là một góc bất kỳ trong hai góc kề nhau tạo bởi các đường phụ. Côsin của một trong các góc giữa các đường thẳng có thể được tìm thấy bằng công thức nổi tiếng $ \ cos \ phi = \ frac (m_ (1) \ cdot m_ (2) + n_ (1) \ cdot n_ (2) + p_ (1) \ cdot p_ (2)) (\ sqrt (m_ (1) ^ (2) + n_ (1) ^ (2) + p_ (1) ^ (2)) \ cdot \ sqrt (m_ (2) ) ^ (2) + n_ (2) ^ (2) + p_ (2) ^ (2))) $. Nếu giá trị $ \ cos \ phi> 0 $, thì sẽ nhận được một góc nhọn giữa các đường, nếu $ \ cos \ phi
Phương trình chính tắc của dòng đầu tiên: $ \ frac (x + 3) (5) = \ frac (y-2) (- 3) = \ frac (z-1) (4) $.
Phương trình chính tắc của đường thẳng thứ hai có thể nhận được từ các phương trình tham số:
\ \ \
Do đó, phương trình chính tắc của dòng này là: $ \ frac (x + 3) (2) = \ frac (y-1) (- 1) = \ frac (z-5) (3) $.
Chúng tôi tính toán:
\ [\ cos \ phi = \ frac (5 \ cdot 2+ \ left (-3 \ right) \ cdot \ left (-1 \ right) +4 \ cdot 3) (\ sqrt (5 ^ (2) + \ left (-3 \ right) ^ (2) + 4 ^ (2)) \ cdot \ sqrt (2 ^ (2) + \ left (-1 \ right) ^ (2) + 3 ^ (2))) = \ frac (25) (\ sqrt (50) \ cdot \ sqrt (14)) \ khoảng 0,9449. \]
Nhiệm vụ 2
Dòng đầu tiên đi qua các điểm đã cho $ A \ left (2, -4, -1 \ right) $ và $ B \ left (-3,5,6 \ right) $, dòng thứ hai đi qua các điểm đã cho $ C \ left (1, -2,8 \ right) $ và $ D \ left (6,7, -2 \ right) $. Tìm khoảng cách giữa các dòng này.
Cho một số đường thẳng vuông góc với các đường thẳng $ AB $ và $ CD $ và cắt chúng lần lượt tại các điểm $ M $ và $ N $. Với điều kiện này, độ dài đoạn thẳng $ MN $ bằng khoảng cách giữa hai đường thẳng $ AB $ và $ CD $.
Chúng tôi xây dựng vectơ $ \ overline (AB) $:
\ [\ overline (AB) = \ left (-3-2 \ right) \ cdot \ bar (i) + \ left (5- \ left (-4 \ right) \ right) \ cdot \ bar (j) + \ left (6- \ left (-1 \ right) \ right) \ cdot \ bar (k) = - 5 \ cdot \ bar (i) +9 \ cdot \ bar (j) +7 \ cdot \ bar (k ). \]
Cho đoạn thẳng biểu diễn khoảng cách giữa các đường thẳng đi qua điểm $ M \ left (x_ (M), y_ (M), z_ (M) \ right) $ trên đường thẳng $ AB $.
Chúng tôi xây dựng vectơ $ \ overline (AM) $:
\ [\ overline (AM) = \ left (x_ (M) -2 \ right) \ cdot \ bar (i) + \ left (y_ (M) - \ left (-4 \ right) \ right) \ cdot \ bar (j) + \ left (z_ (M) - \ left (-1 \ right) \ right) \ cdot \ bar (k) = \] \ [= \ left (x_ (M) -2 \ right) \ cdot \ bar (i) + \ left (y_ (M) +4 \ right) \ cdot \ bar (j) + \ left (z_ (M) +1 \ right) \ cdot \ bar (k). \]
Các vectơ $ \ overline (AB) $ và $ \ overline (AM) $ giống nhau, do đó chúng thẳng hàng.
Được biết rằng nếu các vectơ $ \ overline (a) = x_ (1) \ cdot \ overline (i) + y_ (1) \ cdot \ overline (j) + z_ (1) \ cdot \ overline (k) $ và $ \ overline (b) = x_ (2) \ cdot \ overline (i) + y_ (2) \ cdot \ overline (j) + z_ (2) \ cdot \ overline (k) $ thẳng hàng, khi đó tọa độ của chúng tỷ lệ thuận, sau đó là $ \ frac (x _ ((\ it 2))) ((\ it x) _ ((\ it 1))) = \ frac (y _ ((\ it 2))) ((\ it y) _ ((\ it 1))) = \ frac (z _ ((\ it 2))) ((\ it z) _ ((\ it 1)))) $.
$ \ frac (x_ (M) -2) (- 5) = \ frac (y_ (M) +4) (9) = \ frac (z_ (M) +1) (7) = m $, trong đó $ m $ là kết quả của phép chia.
Từ đây ta nhận được: $ x_ (M) -2 = -5 \ cdot m $; $ y_ (M) + 4 = 9 \ cdot m $; $ z_ (M) + 1 = 7 \ cdot m $.
Cuối cùng, chúng ta thu được biểu thức cho tọa độ của điểm $ M $:
Chúng tôi xây dựng vector $ \ overline (CD) $:
\ [\ overline (CD) = \ left (6-1 \ right) \ cdot \ bar (i) + \ left (7- \ left (-2 \ right) \ right) \ cdot \ bar (j) + \ left (-2-8 \ right) \ cdot \ bar (k) = 5 \ cdot \ bar (i) +9 \ cdot \ bar (j) -10 \ cdot \ bar (k). \]
Cho đoạn thẳng biểu diễn khoảng cách giữa các đường đi qua điểm $ N \ left (x_ (N), y_ (N), z_ (N) \ right) $ trên đường $ CD $.
Chúng tôi xây dựng vectơ $ \ overline (CN) $:
\ [\ overline (CN) = \ left (x_ (N) -1 \ right) \ cdot \ bar (i) + \ left (y_ (N) - \ left (-2 \ right) \ right) \ cdot \ bar (j) + \ left (z_ (N) -8 \ right) \ cdot \ bar (k) = \] \ [= \ left (x_ (N) -1 \ right) \ cdot \ bar (i) + \ left (y_ (N) +2 \ right) \ cdot \ bar (j) + \ left (z_ (N) -8 \ right) \ cdot \ bar (k). \]
Các vectơ $ \ overline (CD) $ và $ \ overline (CN) $ giống nhau, do đó chúng thẳng hàng. Chúng tôi áp dụng điều kiện của vectơ thẳng hàng:
$ \ frac (x_ (N) -1) (5) = \ frac (y_ (N) +2) (9) = \ frac (z_ (N) -8) (- 10) = n $ trong đó $ n $ là kết quả của phép chia.
Từ đây chúng ta nhận được: $ x_ (N) -1 = 5 \ cdot n $; $ y_ (N) + 2 = 9 \ cdot n $; $ z_ (N) -8 = -10 \ cdot n $.
Cuối cùng, chúng tôi nhận được biểu thức cho tọa độ của điểm $ N $:
Chúng tôi xây dựng vector $ \ overline (MN) $:
\ [\ overline (MN) = \ left (x_ (N) -x_ (M) \ right) \ cdot \ bar (i) + \ left (y_ (N) -y_ (M) \ right) \ cdot \ bar (j) + \ left (z_ (N) -z_ (M) \ right) \ cdot \ bar (k). \]
Chúng tôi thay thế các biểu thức cho tọa độ của các điểm $ M $ và $ N $:
\ [\ overline (MN) = \ left (1 + 5 \ cdot n- \ left (2-5 \ cdot m \ right) \ right) \ cdot \ bar (i) + \] \ [+ \ left (- 2 + 9 \ cdot n- \ left (-4 + 9 \ cdot m \ right) \ right) \ cdot \ bar (j) + \ left (8-10 \ cdot n- \ left (-1 + 7 \ cdot m \ right) \ right) \ cdot \ bar (k). \]
Sau khi hoàn thành các bước, chúng tôi nhận được:
\ [\ overline (MN) = \ left (-1 + 5 \ cdot n + 5 \ cdot m \ right) \ cdot \ bar (i) + \ left (2 + 9 \ cdot n-9 \ cdot m \ right ) \ cdot \ bar (j) + \ left (9-10 \ cdot n-7 \ cdot m \ right) \ cdot \ bar (k). \]
Vì các đường thẳng $ AB $ và $ MN $ vuông góc với nhau nên tích vô hướng của các vectơ tương ứng bằng 0, tức là $ \ overline (AB) \ cdot \ overline (MN) = 0 $:
\ [- 5 \ cdot \ left (-1 + 5 \ cdot n + 5 \ cdot m \ right) +9 \ cdot \ left (2 + 9 \ cdot n-9 \ cdot m \ right) +7 \ cdot \ trái (9-10 \ cdot n-7 \ cdot m \ right) = 0; \] \
Sau khi hoàn thành các bước, chúng tôi nhận được phương trình đầu tiên để xác định $ m $ và $ n $: $ 155 \ cdot m + 14 \ cdot n = 86 $.
Vì các đường thẳng $ CD $ và $ MN $ vuông góc với nhau nên tích vô hướng của các vectơ tương ứng bằng 0, tức là $ \ overline (CD) \ cdot \ overline (MN) = 0 $:
\ \ [- 5 + 25 \ cdot n + 25 \ cdot m + 18 + 81 \ cdot n-81 \ cdot m-90 + 100 \ cdot n + 70 \ cdot m = 0. \]
Sau khi hoàn thành các bước, chúng tôi nhận được phương trình thứ hai để xác định $ m $ và $ n $: $ 14 \ cdot m + 206 \ cdot n = 77 $.
Tìm $ m $ và $ n $ bằng cách giải hệ phương trình $ \ left \ (\ begin (array) (c) (155 \ cdot m + 14 \ cdot n = 86) \\ (14 \ cdot m + 206 \ cdot n = 77) \ end (mảng) \ phải. $.
Chúng tôi áp dụng phương pháp Cramer:
\ [\ Delta = \ left | \ begin (array) (cc) (155) & (14) \\ (14) & (206) \ end (array) \ right | = 31734; \] \ [\ Delta _ (m) = \ left | \ begin (array) (cc) (86) & (14) \\ (77) & (206) \ end (array) \ right | = 16638; \] \ [\ Delta _ (n) = \ left | \ begin (array) (cc) (155) & (86) \\ (14) & (77) \ end (array) \ right | = 10731; \ ] \
Tìm tọa độ các điểm $ M $ và $ N $:
\ \
Cuối cùng:
Cuối cùng, chúng tôi viết vectơ $ \ overline (MN) $:
$ \ overline (MN) = \ left (2.691- \ left (-0.6215 \ right) \ right) \ cdot \ bar (i) + \ left (1.0438-0.7187 \ right) \ cdot \ bar (j) + \ left (4.618-2.6701 \ right) \ cdot \ bar (k) $ hoặc $ \ overline (MN) = 3,3125 \ cdot \ bar (i) +0,3251 \ cdot \ bar (j) +1.9479 \ cdot \ bar (k) $.
Khoảng cách giữa các dòng $ AB $ và $ CD $ là độ dài của vectơ $ \ overline (MN) $: $ d = \ sqrt (3.3125 ^ (2) + 0.3251 ^ (2) + 1.9479 ^ (2)) \ khoảng 3,8565 $ lin. các đơn vị
Sự định nghĩa
Một hình hình học bao gồm tất cả các điểm của mặt phẳng nằm giữa hai tia phát ra từ một điểm được gọi là góc phẳng.
Sự định nghĩa
Góc giữa hai giao nhau trực tiếp gọi là giá trị của góc mặt phẳng nhỏ nhất tại giao điểm của các đường này. Nếu hai đường thẳng song song thì góc giữa chúng được cho là bằng không.
Góc giữa hai đường thẳng cắt nhau (nếu đo bằng radian) có thể nhận các giá trị từ 0 đến $ \ dfrac (\ pi) (2) $.
Sự định nghĩa
Góc giữa hai đường thẳng cắt nhau gọi là giá trị bằng của góc giữa hai đường thẳng chéo nhau song song với xiên. Góc giữa các đường $ a $ và $ b $ được ký hiệu là $ \ angle (a, b) $.
Tính đúng đắn của định nghĩa được giới thiệu tuân theo định lý sau.
Định lý góc mặt phẳng với các cạnh song song
Giá trị của hai góc trên mặt phẳng lồi có các cạnh tương ứng song song và bằng nhau thì bằng nhau.
Bằng chứng
Nếu các góc thẳng hàng thì chúng đều bằng $ \ pi $. Nếu chúng không được phát triển, thì chúng tôi vẽ các đoạn bằng nhau $ ON = O_1ON_1 $ và $ OM = O_1M_1 $ trên các cạnh tương ứng của các góc $ \ angle AOB $ và $ \ angle A_1O_1B_1 $.
Tứ giác $ O_1N_1NO $ là hình bình hành vì các cạnh đối của nó $ ON $ và $ O_1N_1 $ bằng nhau và song song với nhau. Tương tự, tứ giác $ O_1M_1MO $ là hình bình hành. Do đó $ NN_1 = OO_1 = MM_1 $ và $ NN_1 \ song song OO_1 \ song song MM_1 $, do đó $ NN_1 = MM_1 $ và $ NN_1 \ song song MM_1 $ theo độ nhạy. Tứ giác $ N_1M_1MN $ là hình bình hành vì các cạnh đối của nó bằng nhau và song song với nhau. Do đó, các phân đoạn $ NM $ và $ N_1M_1 $ cũng bằng nhau. Các tam giác $ ONM $ và $ O_1N_1M_1 $ bằng nhau theo tiêu chí bình đẳng tam giác thứ ba, do đó các góc tương ứng $ \ angle NOM $ và $ \ angle N_1O_1M_1 $ cũng bằng nhau.
Sự định nghĩa. Nếu hai đường thẳng cho trước y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, thì góc nhọn giữa hai đường thẳng này sẽ được xác định là
Hai đường thẳng song song nếu k 1 = k 2. Hai đường thẳng vuông góc nếu k 1 = -1 / k 2.
Định lý. Các đường thẳng Ax + Vy + C \ u003d 0 và A 1 x + B 1 y + C 1 \ u003d 0 song song khi các hệ số A 1 \ u003d λA, B 1 \ u003d λB tỉ lệ thuận với nhau. Nếu cũng С 1 = λС, thì các đường trùng nhau. Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng được tìm là một nghiệm của hệ phương trình của hai đường thẳng này.
Phương trình của một đường thẳng đi qua một điểm đã cho
Vuông góc với đường thẳng này
Sự định nghĩa.Đường thẳng đi qua điểm M 1 (x 1, y 1) và vuông góc với đường thẳng y \ u003d kx + b được biểu diễn bằng phương trình:
Khoảng cách từ điểm đến dòng
Định lý. Nếu cho trước một điểm M (x 0, y 0) thì khoảng cách đến đường thẳng Ax + Vy + C \ u003d 0 được xác định là
.
Bằng chứng. Gọi điểm M 1 (x 1, y 1) là chân đường vuông góc hạ điểm M xuống đường thẳng cho trước. Khi đó khoảng cách giữa hai điểm M và M 1:
(1)
Tọa độ x 1 và y 1 có thể được tìm thấy là một nghiệm của hệ phương trình:
Phương trình thứ hai của hệ là phương trình của đường thẳng đi qua điểm M 0 cho trước vuông góc với một đường thẳng cho trước. Nếu ta biến đổi phương trình thứ nhất của hệ về dạng:
A (x - x 0) + B (y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,
sau đó, giải quyết, chúng tôi nhận được:
Thay các biểu thức này vào phương trình (1), ta thấy:
Định lý đã được chứng minh.
Ví dụ. Xác định góc giữa các đường thẳng: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.
k 1 \ u003d -3; k2 = 2; tgφ = 
; φ = p / 4.
Ví dụ. Chứng tỏ rằng các đường thẳng 3x - 5y + 7 = 0 và 10x + 6y - 3 = 0 vuông góc với nhau.
Giải pháp. Ta nhận thấy: k 1 \ u003d 3/5, k 2 \ u003d -5/3, k 1 * k 2 \ u003d -1, do đó, các đường thẳng vuông góc.
Ví dụ. Các đỉnh của tam giác A (0; 1), B (6; 5), C (12; -1) cho trước. Tìm phương trình đường cao vẽ từ đỉnh C.
Giải pháp. Ta tìm được phương trình của cạnh AB: 
; 4 x = 6 y - 6;
2x - 3y + 3 = 0;
Phương trình chiều cao mong muốn là: Ax + By + C = 0 hoặc y = kx + b. k =. Khi đó y =. Tại vì độ cao đi qua điểm C thì tọa độ của nó thỏa mãn phương trình: 
khi đó b = 17. Tổng:. 
Đáp số: 3x + 2y - 34 = 0.
Phương trình của một đường thẳng đi qua một điểm cho trước theo một hướng cho trước. Phương trình của đường thẳng đi qua hai điểm cho trước. Góc giữa hai đường thẳng. Điều kiện song song và vuông góc của hai đường thẳng. Xác định giao điểm của hai đường
1. Phương trình của một đường thẳng đi qua một điểm đã cho MỘT(x 1 , y 1) theo một hướng nhất định, được xác định bởi độ dốc k,
y - y 1 = k(x - x 1). (1)
Phương trình này xác định một bút chì của các đường đi qua một điểm MỘT(x 1 , y 1), được gọi là tâm của chùm tia.
2. Phương trình của đường thẳng đi qua hai điểm: MỘT(x 1 , y 1) và B(x 2 , y 2) được viết như thế này:
Hệ số góc của đường thẳng đi qua hai điểm cho trước được xác định bằng công thức
3. Góc giữa các đường thẳng MỘT Và B là góc mà đường thẳng đầu tiên phải quay MỘT xung quanh giao điểm của các đường này ngược chiều kim đồng hồ cho đến khi nó trùng với đường thứ hai B. Nếu hai đường thẳng được cho bởi phương trình hệ số góc
y = k 1 x + B 1 ,
y = k 2 x + B 2 , (4)
thì góc giữa chúng được xác định theo công thức
Cần lưu ý rằng trong tử số của phân số, hệ số góc của đường thẳng thứ nhất được trừ đi hệ số góc của đường thẳng thứ hai.
Nếu phương trình của một đường thẳng được cho ở dạng tổng quát
MỘT 1 x + B 1 y + C 1 = 0,
MỘT 2 x + B 2 y + C 2 = 0, (6)
góc giữa chúng được xác định theo công thức
4. Điều kiện để hai đường thẳng song song:
a) Nếu các đường thẳng cho trong phương trình (4) có hệ số góc thì điều kiện cần và đủ để chúng song song là hệ số góc của chúng bằng nhau:
k 1 = k 2 . (8)
b) Đối với trường hợp các đường thẳng được cho bởi phương trình ở dạng tổng quát (6), điều kiện cần và đủ để chúng song song là các hệ số tại tọa độ dòng điện tương ứng trong phương trình của chúng tỷ lệ với nhau, tức là
5. Điều kiện để hai đường thẳng vuông góc:
a) Trong trường hợp các đường thẳng được cho bởi phương trình (4) có hệ số góc, thì điều kiện cần và đủ để chúng vuông góc là hệ số góc của chúng đồng biến về độ lớn và ngược dấu, nghĩa là.
Điều kiện này cũng có thể được viết dưới dạng
k 1 k 2 = -1. (11)
b) Nếu phương trình của các đường thẳng đã cho ở dạng tổng quát (6) thì điều kiện để chúng vuông góc (cần và đủ) là thỏa mãn đẳng thức.
MỘT 1 MỘT 2 + B 1 B 2 = 0. (12)
6. Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng được tìm bằng cách giải hệ phương trình (6). Các dòng (6) cắt nhau nếu và chỉ khi
1. Viết phương trình các đường thẳng đi qua điểm M, một trong hai song song và một vuông góc với đường thẳng l cho trước.
Để các dòng được đưa ra trong không gian l Và m. Qua một điểm A nào đó của không gian ta vẽ được các đường thẳng l 1 || l Và m 1 || m(Hình. 138).
Lưu ý rằng điểm A có thể được chọn tùy ý, đặc biệt, nó có thể nằm trên một trong các đường cho trước. Nếu thẳng l Và m cắt nhau, thì A có thể được coi là giao điểm của các đường này ( l 1 = l Và m 1 = m).
Góc giữa các đường không song song l Và m gọi là giá trị của nhỏ nhất trong các góc kề tạo bởi các đường thẳng cắt nhau l 1 Và m 1 (l 1 || l, m 1 || m). Góc giữa các đường thẳng song song được cho là bằng không.
Góc giữa các dòng l Và m ký hiệu là \ (\ widehat ((l; m)) \). Từ định nghĩa, nó theo sau rằng nếu nó được đo bằng độ, thì 0 ° < \ (\ widehat ((l; m)) \) < 90 ° và nếu tính bằng radian thì 0 < \ (\ widehat ((l; m)) \) < π / 2 .
Một nhiệm vụ. Hình lập phương ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 đã cho (Hình 139).
Tìm góc giữa hai đường thẳng AB và DC 1.
AB và DC 1 thẳng chéo nhau. Vì đường thẳng DC song song với đường thẳng AB nên theo định nghĩa góc giữa hai đường thẳng AB và DC 1 bằng \ (\ widehat (C_ (1) DC) \).
Do đó \ (\ widehat ((AB; DC_1)) \) = 45 °.
Trực tiếp l Và mđã gọi vuông góc, nếu \ (\ widehat ((l; m)) \) = π / 2. Ví dụ, trong một khối lập phương
Tính góc giữa các đường.
Bài toán tính góc giữa hai đường thẳng trong không gian được giải tương tự như trong mặt phẳng. Biểu thị bằng φ góc giữa các đường l 1 Và l 2, và qua ψ - góc giữa các vectơ chỉ hướng Nhưng Và b các đoạn thẳng này.
Sau đó nếu
ψ <90° (рис. 206, а), то φ = ψ; если же ψ >90 ° (Hình. 206.6), thì φ = 180 ° - ψ. Rõ ràng là trong cả hai trường hợp, đẳng thức cos φ = | cos ψ | là đúng. Theo công thức (cosin của góc giữa các vectơ khác không a và b bằng tích vô hướng của các vectơ này chia cho tích độ dài của chúng) ta có
$$ cos \ psi = cos \ widehat ((a; b)) = \ frac (a \ cdot b) (| a | \ cdot | b |) $$
Hậu quả là,
$$ cos \ phi = \ frac (| a \ cdot b |) (| a | \ cdot | b |) $$
Hãy để các dòng được cho bởi các phương trình chính tắc của chúng
$$ \ frac (x-x_1) (a_1) = \ frac (y-y_1) (a_2) = \ frac (z-z_1) (a_3) \; \; Và \;\; \ frac (x-x_2) (b_1) = \ frac (y-y_2) (b_2) = \ frac (z-z_2) (b_3) $$
Sau đó, góc φ giữa các đường được xác định bằng công thức
$$ cos \ phi = \ frac (| a_ (1) b_1 + a_ (2) b_2 + a_ (3) b_3 |) (\ sqrt ((a_1) ^ 2 + (a_2) ^ 2 + (a_3) ^ 2 ) \ sqrt ((b_1) ^ 2 + (b_2) ^ 2 + (b_3) ^ 2)) (1) $$
Nếu một trong các đường (hoặc cả hai) được cho bởi phương trình phi chính tắc, thì để tính góc, bạn cần tìm tọa độ của các vectơ chỉ phương của các đường này, sau đó sử dụng công thức (1).
Nhiệm vụ 1. Tính góc giữa các đường
$$ \ frac (x + 3) (- \ sqrt2) = \ frac (y) (\ sqrt2) = \ frac (z-7) (- 2) \; \; và \; \; \ frac (x) (\ sqrt3) = \ frac (y + 1) (\ sqrt3) = \ frac (z-1) (\ sqrt6) $$
Vectơ chỉ phương của đường thẳng có tọa độ:
a \ u003d (-√2; √2; -2), b = (√3 ; √3 ; √6 ).
Theo công thức (1) chúng ta thấy
$$ cos \ phi = \ frac (| - \ sqrt6 + \ sqrt6-2 \ sqrt6 |) (\ sqrt (2 + 2 + 4) \ sqrt (3 + 3 + 6)) = \ frac (2 \ sqrt6) ( 2 \ sqrt2 \ cdot 2 \ sqrt3) = \ frac (1) (2) $$
Do đó, góc giữa các đường này là 60 °.
Nhiệm vụ 2. Tính góc giữa các đường
$$ \ begin (trường hợp) 3x-12z + 7 = 0 \\ x + y-3z-1 = 0 \ end (trường hợp) và \ begin (trường hợp) 4x-y + z = 0 \\ y + z + 1 = 0 \ end (trường hợp) $$
Phía sau vector hướng dẫn Nhưng đường thẳng đầu tiên chúng ta lấy tích vectơ của vectơ pháp tuyến n 1 = (3; 0; -12) và n 2 = (1; 1; -3) mặt phẳng xác định đường thẳng này. Theo công thức \ (= \ begin (vmatrix) i & j & k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \ end (vmatrix) \) chúng ta nhận được
$$ a == \ begin (vmatrix) i & j & k \\ 3 & 0 & -12 \\ 1 & 1 & -3 \ end (vmatrix) = 12i-3i + 3k $$
Tương tự, ta tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng thứ hai:
$$ b = \ begin (vmatrix) i & j & k \\ 4 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \ end (vmatrix) = - 2i-4i + 4k $$
Nhưng công thức (1) tính cosin của góc mong muốn:
$$ cos \ phi = \ frac (| 12 \ cdot (-2) -3 (-4) +3 \ cdot 4 |) (\ sqrt (12 ^ 2 + 3 ^ 2 + 3 ^ 2) \ sqrt (2 ^ 2 + 4 ^ 2 + 4 ^ 2)) = 0 $$
Do đó, góc giữa các đường này là 90 °.
Nhiệm vụ 3. Trong hình chóp tam giác MAVS, các cạnh MA, MB và MC vuông góc với nhau, (Hình 207);
độ dài của chúng lần lượt bằng 4, 3, 6. Điểm D là trung trực [MA]. Tìm góc φ giữa hai đường thẳng CA và DB.
Gọi SA và DB là vectơ chỉ phương của các đường thẳng SA và DB.
Lấy điểm M làm gốc toạ độ. Theo điều kiện nhiệm vụ, ta có A (4; 0; 0), B (0; 0; 3), C (0; 6; 0), D (2; 0; 0). Do đó \ (\ overrightarrow (CA) \) = (4; - 6; 0), \ (\ overrightarrow (DB) \) = (-2; 0; 3). Chúng tôi sử dụng công thức (1):
$$ cos \ phi = \ frac (| 4 \ cdot (-2) + (- 6) \ cdot 0 + 0 \ cdot 3 |) (\ sqrt (16 + 36 + 0) \ sqrt (4 + 0 + 9 )) $$
Theo bảng côsin, ta thấy rằng góc giữa hai đường thẳng CA và DB là khoảng 72 °.
Nhưng. Cho hai đường thẳng. Những đường thẳng này, như đã được chỉ ra trong Chương 1, tạo thành các góc âm và dương khác nhau, trong trường hợp này, có thể vừa nhọn vừa góc. Biết một trong những góc này, chúng ta có thể dễ dàng tìm thấy góc khác.
Nhân tiện, đối với tất cả các góc này, giá trị số của tiếp tuyến là như nhau, sự khác biệt chỉ có thể nằm trong dấu
Phương trình đường thẳng. Các số là hình chiếu của các vectơ chỉ phương của đường thẳng thứ nhất và thứ 2. Góc giữa các vectơ này bằng một trong các góc tạo bởi các đường thẳng. Do đó, bài toán rút gọn thành xác định góc giữa các vectơ, Ta nhận được
Để đơn giản, chúng ta có thể đồng ý về một góc giữa hai đường thẳng để hiểu một góc dương nhọn (ví dụ, trong Hình 53).
Khi đó tiếp tuyến của góc này sẽ luôn dương. Vì vậy, nếu một dấu trừ nhận được ở phía bên phải của công thức (1), thì chúng ta phải loại bỏ nó, tức là chỉ giữ lại giá trị tuyệt đối.
Ví dụ. Xác định góc giữa các đường
Theo công thức (1) chúng ta có
từ. Nếu nó được chỉ ra rằng cạnh nào của góc là đầu và cạnh nào là cuối của nó, thì, luôn luôn đếm hướng của góc ngược chiều kim đồng hồ, chúng ta có thể trích xuất thêm điều gì đó từ công thức (1). Như dễ dàng nhận thấy từ Hình. 53 Dấu hiệu nhận được ở phía bên phải của công thức (1) sẽ cho biết góc nào - góc nhọn hoặc góc tù - tạo thành đường thẳng thứ hai với đường thẳng đầu tiên.
(Thật vậy, từ Hình 53, chúng ta thấy rằng góc giữa vectơ hướng thứ nhất và thứ hai bằng với góc mong muốn giữa các đường, hoặc khác với nó ± 180 °.)
d. Nếu các đường thẳng song song thì các vectơ chỉ phương của chúng cũng song song Áp dụng điều kiện về sự song song của hai vectơ, ta được!
Đây là điều kiện cần và đủ để hai đường thẳng song song.
Ví dụ. Trực tiếp
song song bởi vì
e. Nếu các đường thẳng vuông góc thì vectơ chỉ phương của chúng cũng vuông góc. Áp dụng điều kiện vuông góc của hai vectơ, chúng ta có được điều kiện vuông góc của hai đường, cụ thể là
Ví dụ. Trực tiếp
vuông góc vì
Liên hệ với các điều kiện của song song và vuông góc, chúng ta sẽ giải quyết hai vấn đề sau đây.
f. Vẽ một đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước qua một điểm
Quyết định được thực hiện như thế này. Vì đường thẳng mong muốn song song với đường đã cho, nên đối với vectơ chỉ đạo của nó, chúng ta có thể lấy cùng một vectơ của đường thẳng đã cho, tức là vectơ có hình chiếu A và B. Và sau đó phương trình của đường mong muốn sẽ được viết ở dạng (§ 1)
Ví dụ. Phương trình của đường thẳng đi qua điểm (1; 3) song song với đường thẳng
sẽ là tiếp theo!
g. Vẽ một đường thẳng qua một điểm vuông góc với đường thẳng đã cho
Ở đây, việc lấy một vectơ với hình chiếu A và làm vectơ chỉ đạo là không còn phù hợp nữa, nhưng cần phải biết một vectơ vuông góc với nó. Do đó, các hình chiếu của vectơ này phải được chọn theo điều kiện cả hai vectơ đều vuông góc, tức là theo điều kiện
Điều kiện này có thể được đáp ứng theo vô số cách, vì ở đây có một phương trình với hai ẩn số. Nhưng cách dễ nhất là chấp nhận nó. Sau đó, phương trình của đường thẳng mong muốn sẽ được viết dưới dạng
Ví dụ. Phương trình của một đường thẳng đi qua một điểm (-7; 2) trên một đường thẳng vuông góc
sẽ như sau (theo công thức thứ hai)!
h. Trong trường hợp khi các dòng được cho bởi các phương trình có dạng
viết lại các phương trình này theo cách khác, chúng ta có