Tự phát triển 

Tìm khoảng cách giữa các đường thẳng song song trong không gian. Sự sắp xếp lẫn nhau của các dòng trong không gian. Các vấn đề với một đường thẳng trong không gian

Bằng chứng.

Hãy điểm qua , nằm trên dòng Một, sau đó là tọa độ của điểm M1 thỏa mãn phương trình, tức là, sự bình đẳng, chúng ta có .

Nếu font-size: 12.0pt; line-height: 115%; font-family: Verdana "> b có hình thứcfont-size: 12.0pt; line-height: 115%; font-family: Verdana "> và nếu, thì phương trình bình thường của đường thẳng b có hình thứcfont-size: 12.0pt; line-height: 115%; font-family: Verdana ">.

Sau đó tại font-size: 12.0pt; line-height: 115%; font-family: Verdana "> khoảng cách từ điểmThẳng b tính theo công thức và tại - theo công thức

Đó là, đối với bất kỳ giá trị nào C2 khoảng cách từ điểm Thẳng b có thể được tính bằng công thức. Và cho sự bình đẳng, đã thu được ở trên, thì công thức cuối cùng sẽ có dạngfont-size: 12.0pt; line-height: 115%; font-family: Verdana ">. Định lý được chứng minh.

2. Giải bài về tìm khoảng cách giữa các đường thẳng song song

Ví dụ 1.

Tìm khoảng cách giữa các đường thẳng song song Và Giải pháp.

Ta thu được phương trình tổng quát của các đường thẳng song song đã cho.

Cho thẳng font-size: 12.0pt line-height: 115%; font-family: Verdana "> tương ứng với phương trình tổng quát của một dòng. Hãy để chúng tôi chuyển từ phương trình tham số của dạng trực tiếpfont-size: 12.0pt; line-height: 115%; font-family: Verdana "> vào phương trình tổng quát của dòng này:

font-size: 12.0pt line-height: 115%; font-family: Verdana "> Hệ số biến đổi x Và y trong phương trình tổng quát thu được, các đường thẳng song song bằng nhau nên ta có thể áp dụng ngay công thức tính khoảng cách giữa các đường thẳng song song trong một mặt phẳng:.

Trả lời: font-size: 12.0pt line-height: 115%; font-family: Verdana "> Ví dụ # 2.

Một hệ tọa độ hình chữ nhật được giới thiệu trên mặt phẳng Oxy và cho phương trình của hai đường thẳng song song Và . Tìm khoảng cách giữa các đường thẳng song song đã cho.

Giải pháp:

Giải pháp đầu tiên.

Phương trình chính tắc của một đường thẳng trên một mặt phẳng có dạngfont-size: 12.0pt line-height: 115%; font-family: Verdana "> cho phép bạn ghi ngay tọa độ của điểm M1 nằm trên dòng này:font-size: 12.0pt line-height: 115%; font-family: Verdana ">. Khoảng cách từ điểm này đến dòngbằng khoảng cách mong muốn giữa các đường thẳng song song. Phương trìnhlà một phương trình chính tắc của một đường thẳng, do đó, chúng ta có thể tính ngay khoảng cách từ điểm Thẳng font-size: 12.0pt; line-height: 115%; font-family: Verdana ">:.

Giải pháp thứ hai.

Phương trình tổng quát của một trong các đường thẳng song song đã cho đã được đưa ra cho chúng tafont-size: 12.0pt; line-height: 115%; font-family: Verdana ">. Đây là phương trình chính tắc của dòngthành phương trình tổng quát của một đường thẳng:. Hệ số biến đổi x trong phương trình tổng quát, các đường thẳng song song đã cho bằng nhau (với một biến y các hệ số cũng bằng nhau - chúng bằng 0), vì vậy bạn có thể sử dụng công thức cho phép bạn tính khoảng cách giữa các đường thẳng song song đã cho:.

Trả lời: 8

3. Bài tập về nhà

Nhiệm vụ tự kiểm tra

1. Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song

4. KẾT LUẬN

Tất cả các mục tiêu và mục tiêu đặt ra đã được hoàn thành đầy đủ. Hai bài học đã được phát triển từ phần “Sự sắp xếp tương hỗ của các vật trên một mặt phẳng” về chủ đề “Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng. Khoảng cách giữa các đường thẳng song song ”bằng phương pháp tọa độ. Tài liệu được chọn lọc ở mức độ dễ tiếp cận đối với học sinh, sẽ cho phép giải các bài toán hình học bằng những phương pháp đơn giản và đẹp mắt hơn.

5. DANH MỤC TÀI LIỆU

1) , Yudina. Lớp 7-9: sách giáo khoa dành cho các cơ sở giáo dục.

2) , Poznyak. Sách giáo khoa lớp 10-11 THPT.

3) , Nikolsky Toán học. Tập một: Các yếu tố của Đại số tuyến tính và Hình học Giải tích.

4) , Hình học Poznyak.

6.APPS

Tài liệu tham khảo

Phương trình tổng quát của một đường thẳng:

Ah + Wu + C = 0 ,

ở đâu NHƯNG Và TRONG không đồng thời bằng 0.

Tỷ lệ cược NHƯNG Và TRONG là tọa độ Vector bình thường đường thẳng (tức là vectơ vuông góc với đường thẳng). Tại A = 0 đường thẳng song song với trục Ồ, tại B = 0 đường thẳng song song với trục XUNG QUANH Y .

Tại TRONG0 nhận được phương trình độ dốc :

Phương trình của một đường thẳng đi qua một điểm ( X 0 , tại 0) và không song song với trụcOY, giống như:

tại – tại 0 = m (x – X 0) ,

ở đâu m – dốc bằng tiếp tuyến của góc tạo bởi đường thẳng đã cho và chiều dương của trục Ồ .

Tại NHƯNG font-size: 12.0pt; font-family: Verdana; color: black ">

ở đâu Một = – C / MỘT , b = – C / B . Đường này đi qua các điểm (Một, 0) và (0, b), tức là cắt các đoạn trục tọa độ có chiều dàiMột Và b .

Phương trình của một đường thẳng đi qua hai điểm khác nhau (X 1, tại 1) và ( X 2, tại 2):

Phương trình tham số của một đường thẳng đi qua điểm ( X 0 , tại 0) và song song vector hướng thẳng (Một, b) :

Điều kiện của các đường thẳng song song:

1) cho các đường thẳng Ax + Vy + C = 0 vàDx +Ey +F = 0: AE – BD = 0 ,

2) đối với đường thẳng tại = m x+ k Và tại= P x+ q : m = P .

Trong bài này, sử dụng ví dụ giải bài C2 từ Đề thi Thống nhất, phương pháp tìm tọa độ bằng phương pháp phân tích. Nhớ lại rằng các đường thẳng xiên nếu chúng không nằm trong cùng một mặt phẳng. Đặc biệt, nếu một đường thẳng nằm trong một mặt phẳng và đường thẳng thứ hai cắt mặt phẳng này tại một điểm không nằm trên đường thẳng đầu tiên, thì các đường thẳng đó bị lệch (xem hình vẽ).

Để tìm khoảng cách giữa các đường giao nhau cần thiết:

  1. Vẽ mặt phẳng qua một trong các đường xiên song song với đường xiên kia.
  2. Thả một vuông góc từ bất kỳ điểm nào của đường thẳng thứ hai xuống mặt phẳng tạo thành. Chiều dài của vuông góc này sẽ là khoảng cách mong muốn giữa các dòng.

Hãy để chúng tôi phân tích thuật toán này chi tiết hơn bằng cách sử dụng ví dụ về giải quyết vấn đề C2 từ Bài kiểm tra trạng thái thống nhất trong toán học.

Khoảng cách giữa các dòng trong không gian

Một nhiệm vụ. trong một khối duy nhất ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 tìm khoảng cách giữa các dòng ba 1 và D.B. 1 .

Cơm. 1. Vẽ cho nhiệm vụ

Giải pháp. Qua trung điểm của các đường chéo của hình lập phương D.B. 1 (chấm O) vẽ một đường thẳng song song với đường thẳng MỘT 1 B. Các giao điểm của một đường đã cho với các cạnh BC Và MỘT 1 D 1 biểu thị tương ứng n Và M. Thẳng MN nằm trong máy bay MNB 1 và song song với dòng MỘT 1 B, không nằm trong mặt phẳng này. Điều này có nghĩa là trực tiếp MỘT 1 B song song với mặt phẳng MNB 1 trên cơ sở tính song song của đường thẳng và mặt phẳng (Hình 2).

Cơm. 2. Khoảng cách mong muốn giữa các đường giao nhau bằng khoảng cách từ bất kỳ điểm nào của đường thẳng đã chọn đến mặt phẳng được mô tả

Bây giờ chúng ta đang tìm khoảng cách từ một số điểm trên đường thẳng MỘT 1 B lên máy bay MNB một . Khoảng cách này, theo định nghĩa, sẽ là khoảng cách mong muốn giữa các đường xiên.

Để tìm khoảng cách này, ta sử dụng phương pháp tọa độ. Chúng tôi giới thiệu một hệ tọa độ Descartes hình chữ nhật để gốc của nó trùng với điểm B, trục Xđược hướng dọc theo mép ba, trục Y- dọc theo xương sườn BC, trục Z- dọc theo xương sườn BB 1 (Hình 3).

Cơm. 3. Ta chọn hệ tọa độ Descartes hình chữ nhật như hình bên

Chúng tôi tìm phương trình của mặt phẳng MNB 1 trong hệ tọa độ này. Để làm điều này, trước tiên chúng ta xác định tọa độ của các điểm M, n Và B 1: Ta thay các tọa độ thu được vào phương trình tổng quát của một đường thẳng và thu được hệ phương trình sau:

Từ phương trình thứ hai của hệ, ta thu được phương trình thứ ba, rồi từ phương trình thứ nhất ta thu được. Ta thay các giá trị thu được vào phương trình tổng quát của đường thẳng:

Lưu ý rằng nếu không thì máy bay MNB 1 sẽ đi qua điểm gốc. Chúng tôi chia cả hai vế của phương trình này và chúng tôi nhận được:

Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng được xác định theo công thức.

Với máy tính trực tuyến này, bạn có thể tìm khoảng cách giữa các dòng trong không gian. Một giải pháp chi tiết với lời giải thích được đưa ra. Để tính toán khoảng cách giữa các dòng trong không gian, hãy chỉ định loại phương trình của các dòng ("chuẩn" hoặc "tham số"), nhập hệ số của phương trình của các dòng vào các ô và nhấp vào nút "Giải".

×

Một lời cảnh báo

Xóa tất cả các ô?

Đóng Xóa

Hướng dẫn nhập dữ liệu. Các số được nhập dưới dạng số nguyên (ví dụ: 487, 5, -7623, v.v.), số thập phân (ví dụ: 67., 102.54, v.v.) hoặc phân số. Phân số phải được nhập dưới dạng a / b, trong đó a và b (b> 0) là số nguyên hoặc số thập phân. Ví dụ 45/5, 6.6 / 76.4, -7 / 6.7, v.v.

Khoảng cách giữa các dòng trong không gian - lý thuyết, ví dụ và giải pháp

Cho một hệ tọa độ hình chữ nhật Descartes đã cho Oxyz L 1 và L 2:

. (1)
, (2)

ở đâu M 1 (x 1 , y 1 , z 1) và M 2 (x 2 , y 2 , z 2) - điểm nằm trên đường L 1 và L 2 và q 1 ={m 1 , P 1 , l 1) và q 2 ={m 2 , P 2 , l 2) - vectơ chỉ đạo của các đường L 1 và L 2, tương ứng.

Các đường (1) và (2) trong không gian có thể trùng nhau, song song, cắt nhau hoặc lệch nhau. Nếu các đường trong không gian cắt nhau hoặc trùng nhau thì khoảng cách giữa chúng bằng không. Chúng tôi sẽ xem xét hai trường hợp. Thứ nhất là các đường thẳng song song và thứ hai là các đường thẳng cắt nhau. Phần còn lại là những lần xuất hiện phổ biến. Nếu khi tính khoảng cách giữa các đường thẳng song song, chúng ta nhận được khoảng cách bằng 0, thì điều này có nghĩa là các đường thẳng này trùng nhau. Nếu khoảng cách giữa các đường thẳng cắt nhau bằng 0 thì các đường thẳng này cắt nhau.

1. Khoảng cách giữa các đường thẳng song song trong không gian

Hãy xem xét hai phương pháp để tính toán khoảng cách giữa các dòng.

Phương pháp 1. Từ một điểm M 1 thẳng L 1 vẽ một mặt phẳng α , vuông góc với đường thẳng L 2. Tìm một điểm M 3 (x 3 , y 3 , y 3) giao điểm mặt phẳng α và trực tiếp L 3. Về bản chất, chúng ta tìm thấy hình chiếu của một điểm M 1 thẳng L 2. Xem cách tìm hình chiếu của một điểm lên một đoạn thẳng. Tiếp theo, chúng tôi tính toán khoảng cách giữa các điểm M 1 (x 1 , y 1 , z 1) và M 3 (x 3 , y 3 , z 3):

Ví dụ 1. Tìm khoảng cách giữa các dòng L 1 và L 2:

Thẳng L 2 đi qua điểm M 2 (x 2 , y 2 , z 2)=M

Giá trị thay thế m 2 , P 2 , l 2 , x 1 , y 1 , z 1 trong (5) chúng tôi nhận được:

Tìm giao điểm của đoạn thẳng L 2 và máy bay α , vì điều này, chúng tôi xây dựng một phương trình tham số của đường thẳng L 2 .

Để tìm giao điểm của một đường L 2 và máy bay α , thay thế các giá trị của các biến x, y, z từ (7) đến (6):

Thay thế giá trị kết quả t trong (7), chúng ta thu được giao điểm của đường thẳng L 2 và máy bay α :

Nó vẫn còn để tìm khoảng cách giữa các điểm M 1 và M 3:

L 1 và L 2 bằng d=7.2506.

Cách 2. Tìm khoảng cách giữa các dòng L 1 và L 2 (phương trình (1) và (2)). Đầu tiên, chúng tôi kiểm tra tính song song của các đường L 1 và L 2. Nếu vectơ chỉ phương của các đường L 1 và L 2 là thẳng hàng, tức là nếu tồn tại một số λ sao cho đẳng thức q 1 =λ q 2, sau đó là các đường thẳng L 1 và L 2 là song song.

Phương pháp tính khoảng cách giữa các vectơ song song dựa trên khái niệm về tích chéo của các vectơ. Người ta biết rằng chuẩn của tích vectơ của vectơ và q 1 là diện tích của hình bình hành được tạo thành bởi các vectơ này (Hình 2). Biết diện tích hình bình hành, bạn có thể tìm được đỉnh của hình bình hành d bằng cách chia khu vực theo cơ sở q 1 hình bình hành.

q 1:

.

Khoảng cách giữa các đường thẳng L 1 và L 2 bằng:

,
,

Ví dụ 2. Giải ví dụ 1 bằng phương pháp 2. Tìm khoảng cách giữa các dòng

Thẳng L 2 đi qua điểm M 2 (x 2 , y 2 , z 2)=M 2 (8, 4, 1) và có vectơ chỉ phương

q 2 ={m 2 , P 2 , l 2 }={2, −4, 8}

Vectơ q 1 và q 2 là thẳng hàng. Do đó trực tiếp L 1 và L 2 là song song. Để tính khoảng cách giữa các đường thẳng song song, ta sử dụng tích vectơ của vectơ.

Hãy xây dựng một vectơ = ( x 2 −x 1 , y 2 −y 1 , z 2 −z 1 }={7, 2, 0}.

Hãy để chúng tôi tính tích vectơ của các vectơ và q một . Để làm điều này, chúng tôi tạo một ma trận 3 × 3, hàng đầu tiên của nó là các vectơ cơ sở tôi, j, k và các hàng còn lại chứa đầy các phần tử của vectơ và q 1:

Do đó, kết quả của tích chéo của vectơ và q 1 sẽ là một vectơ:

Trả lời: khoảng cách giữa các dòng L 1 và L 2 bằng d=7.25061.

2. Khoảng cách giữa các đường giao nhau trong không gian

Cho một hệ tọa độ hình chữ nhật Descartes đã cho Oxyz và để cho các đường được cho trong hệ tọa độ này L 1 và L 2 (phương trình (1) và (2)).

Để thẳng L 1 và L 2 không song song (chúng ta đã thảo luận về các đường song song trong đoạn trước). Để tìm khoảng cách giữa các dòng L 1 và L 2 cần xây dựng các mặt phẳng song song α 1 và α 2 sao cho thẳng L 1 nằm phẳng α 1 thẳng L 2 - trên máy bay α 2. Sau đó, khoảng cách giữa các dòng L 1 và L 2 bằng khoảng cách giữa các mặt phẳng L 1 và L 2 (Hình 3).

ở đâu n 1 ={MỘT 1 , B 1 , C 1) - vectơ pháp tuyến của mặt phẳng α một . Đến máy bay α 1 đi qua một đường thẳng L 1, vectơ pháp tuyến n 1 phải trực giao với vectơ chỉ hướng q 1 thẳng L 1, tức là tích vô hướng của các vectơ này phải bằng 0:

Giải hệ phương trình tuyến tính (27) - (29), với ba phương trình và bốn ẩn số MỘT 1 , B 1 , C 1 , D 1, và thay thế vào phương trình

máy bay α 1 và α 2 là song song, do đó kết quả là các vectơ pháp tuyến n 1 ={MỘT 1 , B 1 , C 1) và n 2 ={MỘT 2 , B 2 , C 2) của những mặt phẳng này thẳng hàng. Nếu các vectơ này không bằng nhau, thì chúng ta có thể nhân (31) với một số để vectơ pháp tuyến thu được n 2 trùng với vectơ pháp tuyến của phương trình (30).

Khi đó khoảng cách giữa các mặt phẳng song song được tính theo công thức:

(33)

Giải pháp. Thẳng L 1 đi qua điểm M 1 (x 1 , y 1 , z 1)=M 1 (2, 1, 4) và có vectơ chỉ phương q 1 ={m 1 , P 1 , l 1 }={1, 3, −2}.

Thẳng L 2 đi qua điểm M 2 (x 2 , y 2 , z 2)=M 2 (6, −1, 2) và có vectơ chỉ phương q 2 ={m 2 , P 2 , l 2 }={2, −3, 7}.

Hãy chế tạo một chiếc máy bay α 1 đi qua dòng L 1, song song với dòng L 2 .

Kể từ khi máy bay α 1 đi qua dòng L 1, sau đó nó cũng đi qua điểm M 1 (x 1 , y 1 , z 1)=M 1 (2, 1, 4) và vectơ pháp tuyến n 1 ={m 1 , P 1 , l 1) máy bay α 1 vuông góc với vectơ chỉ phương q 1 thẳng L một . Khi đó phương trình của mặt phẳng phải thỏa mãn điều kiện:

Kể từ khi máy bay α 1 phải song song với dòng L 2, thì điều kiện sau phải được đáp ứng:

Chúng tôi biểu diễn các phương trình này dưới dạng ma trận:

(40)

Hãy để chúng tôi giải hệ phương trình tuyến tính (40) liên quan đến MỘT 1 , B 1 , C 1 , D 1.

Oh-oh-oh-oh-oh ... ồ, nó nhỏ xíu, như thể bạn đọc câu đó cho chính mình =) Tuy nhiên, sau đó thư giãn sẽ giúp ích, đặc biệt là vì hôm nay tôi đã mua được phụ kiện phù hợp. Vì vậy, chúng ta hãy tiến hành phần đầu tiên, tôi hy vọng, đến cuối bài viết tôi sẽ giữ một tâm trạng vui vẻ.

Sự sắp xếp tương hỗ của hai đường thẳng

Trường hợp hội trường hát theo đồng ca. Hai dòng có thể:

1) trận đấu;

2) được song song :;

3) hoặc cắt nhau tại một điểm:.

Trợ giúp cho hình nộm : hãy nhớ dấu hiệu toán học của giao điểm, nó sẽ xảy ra rất thường xuyên. Mục nhập có nghĩa là đường thẳng giao với đường thẳng tại điểm.

Làm thế nào để xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng?

Hãy bắt đầu với trường hợp đầu tiên:

Hai đường thẳng trùng nhau nếu và chỉ khi các hệ số tương ứng của chúng tỷ lệ thuận với nhau, nghĩa là, có một số "lambda" mà các giá trị bằng nhau

Hãy xem xét các đoạn thẳng và lập ba phương trình từ các hệ số tương ứng:. Do đó, từ mỗi phương trình, các đường thẳng này trùng nhau.

Thật vậy, nếu tất cả các hệ số của phương trình nhân với -1 (thay đổi dấu hiệu) và tất cả các hệ số của phương trình giảm đi 2, bạn nhận được cùng một phương trình:.

Trường hợp thứ hai khi các đường thẳng song song:

Hai đường thẳng song song nếu và chỉ khi hệ số của chúng tại các biến tỷ lệ với nhau: , Nhưng.

Ví dụ, hãy xem xét hai đường thẳng. Chúng tôi kiểm tra tỷ lệ của các hệ số tương ứng cho các biến:

Tuy nhiên, rõ ràng là.

Và trường hợp thứ ba, khi các đường cắt nhau:

Hai đường thẳng cắt nhau nếu và chỉ khi hệ số của các biến KHÔNG tỷ lệ thuận với nhau, nghĩa là KHÔNG có giá trị "lambda" như vậy mà các giá trị bằng nhau được đáp ứng

Vì vậy, đối với các đoạn thẳng, chúng ta sẽ tạo ra một hệ thống:

Từ phương trình đầu tiên, nó theo sau đó, và từ phương trình thứ hai: hệ thống không nhất quán(không có giải pháp). Như vậy, các hệ số tại các biến không tỷ lệ thuận với nhau.

Kết luận: các đường cắt nhau

Trong các bài toán thực tế, có thể sử dụng sơ đồ giải pháp vừa xem xét. Nhân tiện, nó rất giống với thuật toán kiểm tra độ thẳng hàng của vectơ mà chúng ta đã xem xét trong bài học. Khái niệm về sự phụ thuộc tuyến tính (không) của vectơ. Cơ sở vectơ. Nhưng có một gói văn minh hơn:

ví dụ 1

Tìm vị trí tương đối của các dòng:

Giải pháp dựa trên việc nghiên cứu vectơ chỉ phương của đường thẳng:

a) Từ phương trình ta tìm được vectơ chỉ phương của các đường thẳng: .


, do đó các vectơ không thẳng hàng và các đường thẳng cắt nhau.

Đề phòng trường hợp, tôi sẽ đặt một viên đá có con trỏ ở ngã tư đường:

Những người còn lại nhảy qua hòn đá và tiếp tục đi thẳng đến Kashchei the Deathless =)

b) Tìm vectơ chỉ phương của các đường thẳng:

Các đường thẳng có véc tơ chỉ phương giống nhau, có nghĩa là chúng song song hoặc giống nhau. Ở đây yếu tố quyết định là không cần thiết.

Rõ ràng, các hệ số của ẩn số là tỷ lệ thuận, trong khi.

Hãy cùng tìm hiểu xem đẳng thức có đúng không:

Theo cách này,

c) Tìm vectơ chỉ phương của các đường thẳng:

Hãy tính định thức, bao gồm tọa độ của các vectơ này:
, do đó, các vectơ hướng thẳng hàng. Các đường thẳng song song hoặc trùng nhau.

Hệ số tỷ lệ "lambda" có thể dễ dàng nhìn thấy trực tiếp từ tỷ lệ của các vectơ hướng thẳng hàng. Tuy nhiên, nó cũng có thể được tìm thấy thông qua các hệ số của chính các phương trình: .

Bây giờ chúng ta hãy tìm hiểu xem đẳng thức là đúng. Cả hai điều khoản miễn phí đều bằng 0, vì vậy:

Giá trị kết quả thỏa mãn phương trình này (bất kỳ số nào thường thỏa mãn nó).

Do đó, các dòng trùng với nhau.

Trả lời:

Rất nhanh chóng, bạn sẽ học (hoặc thậm chí đã học được) cách giải quyết vấn đề được cân nhắc bằng lời nói theo nghĩa đen chỉ trong vài giây. Về vấn đề này, tôi thấy không có lý do gì để đưa ra một giải pháp độc lập nào đó, tốt hơn là nên đặt một viên gạch quan trọng hơn trong nền tảng hình học:

Làm thế nào để vẽ một đường thẳng song song với một đường cho trước?

Vì sự thiếu hiểu biết của nhiệm vụ đơn giản nhất này, Nightingale the Robber đã trừng phạt nghiêm khắc.

Ví dụ 2

Đường thẳng được cho bởi phương trình. Viết phương trình đường thẳng song song đi qua điểm.

Giải pháp: Ký hiệu dòng chưa biết bằng chữ cái. Điều kiện nói gì về nó? Đường thẳng đi qua điểm. Và nếu các đường thẳng song song, thì rõ ràng vectơ chỉ đạo của đường thẳng "ce" cũng thích hợp để xây dựng đường thẳng "te".

Chúng tôi lấy ra véc tơ chỉ phương từ phương trình:

Trả lời:

Hình dạng của ví dụ trông đơn giản:

Xác minh phân tích bao gồm các bước sau:

1) Chúng ta kiểm tra xem các đường thẳng có véc tơ chỉ phương giống nhau hay không (nếu phương trình của đường thẳng không được đơn giản hóa đúng cách, thì các véc tơ sẽ thẳng hàng).

2) Kiểm tra xem điểm có thỏa mãn phương trình kết quả hay không.

Việc xác minh phân tích trong hầu hết các trường hợp đều dễ dàng thực hiện bằng lời nói. Nhìn vào hai phương trình và nhiều bạn sẽ nhanh chóng hình dung ra các đường thẳng song song như thế nào mà không cần hình vẽ.

Ví dụ để tự giải quyết ngày hôm nay sẽ là sáng tạo. Bởi vì bạn vẫn phải cạnh tranh với Baba Yaga, và cô ấy, bạn biết đấy, là một người yêu thích tất cả các loại câu đố.

Ví dụ 3

Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm song song với đường thẳng nếu

Có một cách giải quyết hợp lý và không hợp lý lắm. Cách ngắn nhất là ở cuối bài.

Chúng tôi đã làm một chút công việc với các đường thẳng song song và sẽ quay lại chúng sau. Trường hợp các dòng trùng nhau ít được quan tâm, vì vậy chúng ta hãy xem xét một vấn đề mà bạn đã biết rõ từ chương trình giảng dạy ở trường:

Làm thế nào để tìm giao điểm của hai đường thẳng?

Nếu thẳng cắt nhau tại điểm, thì tọa độ của nó là nghiệm hệ phương trình tuyến tính

Làm thế nào để tìm giao điểm của các đường? Giải quyết hệ thống.

Của bạn đây ý nghĩa hình học của hệ hai phương trình tuyến tính với hai ẩn số là hai đường thẳng cắt nhau (thường gặp nhất) trên một mặt phẳng.

Ví dụ 4

Tìm giao điểm của các đường

Giải pháp: Có hai cách để giải quyết - đồ họa và phân tích.

Cách đồ họa là chỉ cần vẽ các đường đã cho và tìm ra điểm giao nhau trực tiếp từ hình vẽ:

Đây là quan điểm của chúng tôi:. Để kiểm tra, bạn nên thay thế tọa độ của nó vào mỗi phương trình của một đường thẳng, chúng phải phù hợp với cả ở đó và ở đó. Nói cách khác, tọa độ của một điểm là nghiệm của hệ. Trên thực tế, chúng tôi đã xem xét một cách đồ họa để giải quyết hệ phương trình tuyến tính với hai phương trình, hai ẩn số.

Phương pháp đồ họa, tất nhiên, không phải là xấu, nhưng có những nhược điểm đáng chú ý. Không, vấn đề không phải là học sinh lớp bảy quyết định theo cách này, vấn đề là sẽ mất thời gian để vẽ chính xác và CHÍNH XÁC. Ngoài ra, một số đường không dễ dựng và bản thân điểm giao nhau có thể nằm ở đâu đó trong vương quốc thứ ba mươi bên ngoài trang vở.

Do đó, việc tìm kiếm giao điểm bằng phương pháp phân tích sẽ thích hợp hơn. Hãy giải quyết hệ thống:

Để giải hệ thống, phương pháp bổ sung từng số hạng của các phương trình đã được sử dụng. Để phát triển các kỹ năng liên quan, hãy truy cập bài học Làm thế nào để giải một hệ thống phương trình?

Trả lời:

Việc xác minh là không đáng kể - tọa độ của giao điểm phải thỏa mãn mỗi phương trình của hệ thống.

Ví dụ 5

Tìm giao điểm của các đường nếu chúng cắt nhau.

Đây là một ví dụ do-it-yourself. Thật tiện lợi khi chia vấn đề thành nhiều giai đoạn. Phân tích điều kiện cho thấy rằng cần phải:
1) Viết phương trình của đường thẳng.
2) Viết phương trình của đường thẳng.
3) Tìm ra vị trí tương đối của các đường.
4) Nếu các đường thẳng cắt nhau thì tìm giao điểm.

Sự phát triển của một thuật toán hành động là điển hình cho nhiều bài toán hình học, và tôi sẽ nhiều lần tập trung vào vấn đề này.

Giải pháp đầy đủ và câu trả lời ở cuối hướng dẫn:

Một đôi giày vẫn chưa bị mòn, khi chúng ta đến phần thứ hai của bài học:

Đường thẳng vuông góc. Khoảng cách từ một điểm đến một đoạn thẳng.
Góc giữa các dòng

Hãy bắt đầu với một nhiệm vụ điển hình và rất quan trọng. Trong phần đầu tiên, chúng ta đã học cách dựng một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho, và bây giờ chòi trên chân gà sẽ quay 90 độ:

Làm thế nào để vẽ một đường thẳng vuông góc với một cho trước?

Ví dụ 6

Đường thẳng được cho bởi phương trình. Viết phương trình đường trung trực đi qua một điểm.

Giải pháp: Nó được biết đến bởi giả định rằng. Sẽ rất hay nếu bạn tìm được vectơ chỉ phương của đường thẳng. Vì các đường thẳng vuông góc nên mẹo rất đơn giản:

Từ phương trình, chúng ta "loại bỏ" vectơ pháp tuyến:, đó sẽ là vectơ chỉ đạo của đường thẳng.

Chúng ta lập phương trình của một đường thẳng bởi một điểm và một vectơ chỉ phương:

Trả lời:

Hãy mở bản phác thảo hình học:

Hừm ... Bầu trời cam, biển cam, lạc đà cam.

Phân tích xác minh giải pháp:

1) Trích xuất các vectơ chỉ hướng từ các phương trình và với sự giúp đỡ sản phẩm chấm của các vectơ chúng tôi kết luận rằng các đường thực sự vuông góc:.

Nhân tiện, bạn có thể sử dụng các vectơ bình thường, nó thậm chí còn dễ dàng hơn.

2) Kiểm tra xem điểm có thỏa mãn phương trình kết quả không .

Việc xác minh, một lần nữa, rất dễ thực hiện bằng lời nói.

Ví dụ 7

Tìm giao điểm của các đường vuông góc, nếu biết phương trình và chấm.

Đây là một ví dụ do-it-yourself. Có một số hành động trong nhiệm vụ, vì vậy sẽ thuận tiện để sắp xếp giải pháp theo từng điểm.

Cuộc hành trình thú vị của chúng tôi vẫn tiếp tục:

Khoảng cách từ điểm đến dòng

Trước mắt chúng ta là một dải sông thẳng và nhiệm vụ của chúng ta là đạt được nó bằng con đường ngắn nhất. Không có chướng ngại vật và con đường tối ưu nhất sẽ là chuyển động dọc theo đường vuông góc. Tức là, khoảng cách từ một điểm đến một đoạn thẳng là độ dài của đoạn vuông góc.

Khoảng cách trong hình học theo truyền thống được biểu thị bằng chữ cái Hy Lạp "ro", ví dụ: - khoảng cách từ điểm "em" đến đường thẳng "de".

Khoảng cách từ điểm đến dòng được thể hiện bằng công thức

Ví dụ 8

Tìm khoảng cách từ một điểm đến một đoạn thẳng

Giải pháp: tất cả những gì bạn cần là thay thế cẩn thận các số vào công thức và thực hiện các phép tính:

Trả lời:

Hãy thực hiện bản vẽ:

Khoảng cách tìm được từ điểm đến đoạn thẳng bằng độ dài của đoạn thẳng màu đỏ. Nếu bạn thực hiện một bản vẽ trên giấy ca rô theo tỷ lệ 1 đơn vị. \ u003d 1 cm (2 ô) thì có thể đo khoảng cách bằng thước thông thường.

Xem xét một nhiệm vụ khác theo bản vẽ tương tự:

Nhiệm vụ là tìm tọa độ của điểm đối xứng với điểm so với đoạn thẳng . Tôi đề xuất thực hiện các hành động của riêng bạn, tuy nhiên, tôi sẽ phác thảo thuật toán giải với kết quả trung gian:

1) Tìm một đường thẳng vuông góc với một đường thẳng.

2) Tìm giao điểm của các đường thẳng: .

Cả hai hành động được thảo luận chi tiết trong bài học này.

3) Điểm là trung điểm của đoạn thẳng. Chúng ta biết tọa độ của điểm giữa và điểm cuối. Qua công thức cho tọa độ của đoạn giữa tìm thấy .

Sẽ không thừa nếu kiểm tra rằng khoảng cách cũng bằng 2,2 đơn vị.

Khó khăn ở đây có thể nảy sinh trong tính toán, nhưng trong tháp, một máy vi tính giúp ích rất nhiều, cho phép bạn đếm các phân số thông thường. Đã khuyên nhiều lần và sẽ giới thiệu lại.

Làm thế nào để tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song?

Ví dụ 9

Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song

Đây là một ví dụ khác cho một giải pháp độc lập. Một gợi ý nhỏ: có vô số cách để giải quyết. Sẽ thảo luận ở phần cuối của bài học, nhưng tốt hơn hãy thử tự đoán xem, tôi nghĩ bạn đã phân tán tốt sự khéo léo của mình.

Góc giữa hai đường

Dù ở góc nào, thì tiếng ồn ào:


Trong hình học, góc giữa hai đường thẳng được coi là góc NHỎ HƠN, từ đó nó tự động theo góc không thể là góc tù. Trong hình vẽ, góc được chỉ ra bởi cung màu đỏ không được coi là góc giữa các đường cắt nhau. Và hàng xóm "xanh" của nó hoặc định hướng đối lập góc đỏ thẫm.

Nếu các đường thẳng vuông góc thì có thể lấy góc bất kỳ trong 4 góc làm góc giữa chúng.

Các góc khác nhau như thế nào? Định hướng. Đầu tiên, hướng "cuộn" góc về cơ bản là quan trọng. Thứ hai, một góc định hướng âm được viết với một dấu trừ, ví dụ, nếu.

Tại sao tôi lại nói điều này? Có vẻ như bạn có thể hiểu được bằng khái niệm thông thường về một góc. Thực tế là trong các công thức mà chúng ta sẽ tìm các góc, có thể dễ dàng thu được kết quả âm và điều này sẽ không làm bạn ngạc nhiên. Một góc có dấu trừ không tệ hơn và có một ý nghĩa hình học rất cụ thể. Trong hình vẽ đối với một góc âm, bắt buộc phải chỉ ra hướng của nó (theo chiều kim đồng hồ) bằng một mũi tên.

Làm thế nào để tìm góc giữa hai đường thẳng? Có hai công thức làm việc:

Ví dụ 10

Tìm góc giữa các đường

Giải pháp Và Phương pháp một

Xét hai đường thẳng cho bởi phương trình ở dạng tổng quát:

Nếu thẳng không vuông góc, sau đó định hướng góc giữa chúng có thể được tính bằng công thức:

Chúng ta hãy chú ý đến mẫu số - đây chính xác là sản phẩm vô hướng vectơ chỉ phương của đường thẳng:

Nếu, thì mẫu số của công thức biến mất, và các vectơ sẽ trực giao và các đường thẳng sẽ vuông góc. Đó là lý do tại sao một bảo lưu đã được thực hiện về tính không vuông góc của các đường trong công thức.

Dựa trên những điều đã nói ở trên, giải pháp được chính thức hóa một cách thuận tiện theo hai bước:

1) Tính tích vô hướng của vectơ chỉ phương của đường thẳng:
nên các đường thẳng không vuông góc.

2) Ta tìm góc giữa các đường bằng công thức:

Sử dụng hàm nghịch đảo, có thể dễ dàng tìm được góc chính nó. Trong trường hợp này, chúng tôi sử dụng độ lẻ của tiếp tuyến cung (xem Hình. Đồ thị và tính chất của các hàm cơ bản):

Trả lời:

Trong câu trả lời, chúng tôi chỉ ra giá trị chính xác, cũng như giá trị gần đúng (tốt nhất là cả độ và radian), được tính bằng máy tính.

Chà, trừ, vậy trừ, không sao. Đây là một minh họa hình học:

Không có gì đáng ngạc nhiên khi góc hóa ra là một hướng âm, bởi vì trong điều kiện của bài toán, con số đầu tiên là một đường thẳng và sự "xoắn" của góc bắt đầu chính xác từ nó.

Nếu bạn thực sự muốn nhận được một góc dương, bạn cần phải hoán đổi các đoạn thẳng, tức là, lấy các hệ số từ phương trình thứ hai , và lấy các hệ số từ phương trình đầu tiên. Tóm lại, bạn cần bắt đầu với một .

Trong vòng chưa đầy một phút, tôi đã tạo một tệp Verdov mới và tiếp tục về một chủ đề thú vị như vậy. Bạn cần nắm bắt những khoảnh khắc của tâm trạng làm việc, vì vậy sẽ không có lời giới thiệu trữ tình. Sẽ có đánh đòn thô tục =)

Hai không gian thẳng hàng có thể:

1) lai giống;

2) cắt nhau tại điểm;

3) được song song;

4) trận đấu.

Trường hợp số 1 về cơ bản khác với các trường hợp khác. Hai đường thẳng cắt nhau nếu chúng không nằm trong cùng một mặt phẳng.. Nâng một cánh tay lên và duỗi cánh tay kia về phía trước - đây là một ví dụ về các đường giao nhau. Trong các điểm 2-4, các dòng nhất thiết phải nói dối trong một mặt phẳng.

Làm thế nào để tìm ra vị trí tương đối của các dòng trong không gian?

Xét hai không gian thẳng hàng:

là một đường thẳng cho bởi một điểm và một vectơ chỉ phương;
là một đường thẳng xác định bởi một điểm và một vectơ chỉ phương.

Để hiểu rõ hơn, chúng ta hãy vẽ sơ đồ:

Hình vẽ cho thấy các đường xiên làm ví dụ.

Làm thế nào để đối phó với những dòng này?

Vì đã biết các điểm nên ta dễ dàng tìm được véc tơ.

Nếu thẳng lai giống, sau đó các vectơ không đồng phẳng(xem bài Sự phụ thuộc tuyến tính (không) của vectơ. Cơ sở vectơ), có nghĩa là định thức bao gồm các tọa độ của chúng là khác không. Hoặc, thực sự giống nhau, sẽ khác 0: .

Trong trường hợp số 2-4, cấu trúc của chúng ta "rơi" vào một mặt phẳng, trong khi các vectơ đồng phẳng và tích hỗn hợp của các vectơ phụ thuộc tuyến tính bằng 0: .

Chúng tôi mở rộng thuật toán hơn nữa. Hãy giả vờ như vậy do đó, các đường thẳng cắt nhau, hoặc song song, hoặc trùng nhau.

Nếu các vectơ chỉ hướng thẳng hàng, khi đó các đường thẳng song song hoặc trùng nhau. Cuối cùng, tôi đề xuất kỹ thuật sau: chúng ta lấy một điểm bất kỳ của một đường thẳng và thay tọa độ của nó vào phương trình của đường thẳng thứ hai; nếu tọa độ "tiếp cận", thì các đường trùng nhau, nếu chúng "không đến gần", thì các đường thẳng song song.

Quy trình của thuật toán là khiêm tốn, nhưng các ví dụ thực tế vẫn không gây trở ngại:

Ví dụ 11

Tìm vị trí tương đối của hai đường

Giải pháp: cũng như nhiều bài toán về hình học, thuận tiện cho việc sắp xếp lời giải theo từng điểm:

1) Chúng tôi trích xuất các điểm và vectơ chỉ phương từ các phương trình:

2) Tìm vectơ:

Do đó, các vectơ là đồng phẳng, có nghĩa là các đường thẳng nằm trong cùng một mặt phẳng và có thể cắt nhau, song song hoặc trùng nhau.

4) Kiểm tra các vectơ hướng về độ thẳng hàng.

Hãy lập một hệ thống từ các tọa độ tương ứng của các vectơ này:

Từ tất cả mọi người Do đó, phương trình ngụ ý rằng hệ thống nhất quán, tọa độ tương ứng của các vectơ là tỷ lệ thuận và các vectơ thẳng hàng.

Kết luận: các đường thẳng song song hoặc trùng nhau.

5) Tìm xem các đoạn thẳng có điểm chung không. Hãy lấy một điểm thuộc đường thẳng đầu tiên và thay tọa độ của nó vào phương trình của đường thẳng:

Như vậy, các đường thẳng không có điểm chung, và chúng không còn gì để song song với nhau.

Trả lời:

Một ví dụ thú vị để bạn tự giải quyết:

Ví dụ 12

Tìm ra vị trí tương đối của các đường

Đây là một ví dụ do-it-yourself. Lưu ý rằng dòng thứ hai có ký tự làm tham số. Một cách hợp lý. Trong trường hợp chung, đây là hai dòng khác nhau, vì vậy mỗi dòng có một tham số riêng.

Và một lần nữa, tôi mong bạn đừng bỏ qua các ví dụ, tôi sẽ đánh dấu các nhiệm vụ tôi đề xuất khác xa với ngẫu nhiên ;-)

Các vấn đề với một đường thẳng trong không gian

Trong phần cuối cùng của bài học, tôi sẽ cố gắng xem xét số lượng tối đa các vấn đề khác nhau với các đường không gian. Trong trường hợp này, thứ tự bắt đầu của tường thuật sẽ được quan sát: đầu tiên chúng ta sẽ xem xét các vấn đề với các đường cắt nhau, sau đó với các đường giao nhau, và cuối cùng chúng ta sẽ nói về các đường thẳng song song trong không gian. Tuy nhiên, tôi phải nói rằng một số nhiệm vụ của bài học này có thể được xây dựng cho một số trường hợp đoạn thẳng cùng một lúc, và về vấn đề này, việc chia phần thành các đoạn văn là hơi tùy tiện. Có những ví dụ đơn giản hơn, có những ví dụ phức tạp hơn, và hy vọng rằng mọi người sẽ tìm thấy những gì họ cần.

Các đường cắt ngang

Tôi nhắc bạn rằng các đường thẳng cắt nhau nếu không có mặt phẳng nào mà cả hai đều nằm. Khi tôi đang suy nghĩ về việc luyện tập, một nhiệm vụ quái vật đã xuất hiện trong đầu tôi, và bây giờ tôi rất vui được giới thiệu với các bạn một con rồng có bốn đầu:

Ví dụ 13

Đã cho là các đoạn thẳng. Yêu cầu:

a) Chứng minh rằng các đường thẳng cắt nhau;

b) Tìm phương trình của đường thẳng đi qua điểm vuông góc với đường thẳng đã cho;

c) Lập phương trình của một đường thẳng chứa vuông góc chungĐường giao nhau;

d) tìm khoảng cách giữa các dòng.

Giải pháp: Con đường sẽ được làm chủ bởi người đi bộ:

a) Hãy chứng minh rằng các đường thẳng cắt nhau. Hãy tìm điểm và vectơ chỉ phương của các đường thẳng này:

Hãy tìm véc tơ:

Tính toán sản phẩm hỗn hợp của các vectơ:

Vì vậy, các vectơ không đồng phẳng, có nghĩa là các đường cắt nhau, điều này đã được chứng minh.

Có lẽ, mọi người từ lâu đã nhận thấy rằng đối với các đường xiên, thuật toán xác minh hóa ra là ngắn nhất.

b) Hãy tìm phương trình của đường thẳng đi qua điểm và vuông góc với đường thẳng. Hãy tạo một bản vẽ giản đồ:

Để đa dạng, tôi đã đăng trực tiếp PHÍA SAU các đường thẳng, xem nó bị xóa nhẹ như thế nào tại các điểm giao nhau. Con lai? Có, trong trường hợp chung, dòng "de" sẽ giao với các dòng ban đầu. Mặc dù chúng ta không quan tâm đến thời điểm này, nhưng chúng ta chỉ cần dựng một đường vuông góc và thế là xong.

Những gì được biết về "de" trực tiếp? Điểm thuộc về nó đã được biết. Vectơ hướng bị thiếu.

Theo điều kiện, đường thẳng phải vuông góc với đường thẳng, có nghĩa là vectơ chỉ phương của nó sẽ trực giao với vectơ chỉ phương. Mô típ đã quen thuộc trong Ví dụ số 9, hãy tìm tích véc tơ:

Hãy lập phương trình của đường thẳng "de" bởi điểm và vectơ chỉ phương:

Sẵn sàng. Về nguyên tắc, người ta có thể đổi dấu ở mẫu số và viết câu trả lời dưới dạng , nhưng không cần thiết cho điều này.

Để kiểm tra, cần thay toạ độ của điểm vào phương trình thu được của đường thẳng, sau đó sử dụng sản phẩm chấm của các vectơđảm bảo rằng vectơ thực sự là trực giao với các vectơ chỉ phương "pe một" và "pe hai".

Làm thế nào để tìm phương trình của một đường thẳng chứa một vuông góc chung?

c) Bài toán này khó hơn. Tôi khuyên các bạn nên bỏ qua đoạn này, tôi không muốn làm mất đi sự thông cảm chân thành của các bạn dành cho hình học giải tích =) Nhân tiện, có lẽ các bạn đọc chuẩn bị kỹ hơn cũng nên chờ đợi, thực tế là độ phức tạp của ví dụ nên đặt cuối cùng trong bài viết, nhưng theo logic của cách trình bày thì nó nên được đặt ở đây.

Vậy yêu cầu tìm phương trình của đường thẳng chứa trung trực của các đường xiên.

là đoạn thẳng nối các đoạn thẳng đã cho và vuông góc với các đoạn thẳng đã cho:

Đây là người đàn ông đẹp trai của chúng ta: - vuông góc chung của các đường giao nhau. Anh ấy là người duy nhất. Không có khác giống như nó. Chúng ta cũng cần lập phương trình của một đường thẳng chứa một đoạn thẳng cho trước.

Những gì được biết về "uh" trực tiếp? Vectơ hướng của nó đã biết, được tìm thấy trong đoạn trước. Nhưng rất tiếc, chúng ta không biết một điểm nào thuộc đường thẳng "em", chúng ta không biết các điểm cuối của đường vuông góc. Đường vuông góc này cắt hai đường thẳng ban đầu ở đâu? Châu Phi, Châu Nam Cực? Từ việc xem xét và phân tích điều kiện ban đầu, nó không phải là tất cả rõ ràng làm thế nào để giải quyết vấn đề .... Nhưng có một bước đi phức tạp liên quan đến việc sử dụng phương trình tham số của một đường thẳng.

Hãy đưa ra quyết định từng điểm:

1) Hãy viết lại phương trình của đường thẳng đầu tiên ở dạng tham số:

Hãy xem xét một điểm. Chúng tôi không biết tọa độ. NHƯNG. Nếu một điểm thuộc một đường thẳng cho trước, thì tọa độ của nó tương ứng với, biểu thị nó bằng. Khi đó, tọa độ của điểm sẽ được viết là:

Cuộc sống đang trở nên tốt đẹp hơn, một ẩn số - suy cho cùng, không phải ba ẩn số.

2) Sự phẫn nộ tương tự phải được thực hiện ở điểm thứ hai. Chúng ta hãy viết lại phương trình của đường thẳng thứ hai ở dạng tham số:

Nếu một điểm thuộc một đường thẳng cho trước, thì với một ý nghĩa rất cụ thể tọa độ của nó phải thỏa mãn phương trình tham số:

Hoặc:

3) Vectơ, giống như vectơ đã tìm thấy trước đó, sẽ là vectơ chỉ đạo của đoạn thẳng. Cách lập một vectơ từ hai điểm đã được xem xét trong bài học từ xa xưa Vectơ cho hình nộm. Bây giờ sự khác biệt là tọa độ của các vectơ được viết với các giá trị tham số chưa biết. Vậy thì sao? Không ai cấm trừ tọa độ tương ứng của phần đầu của vectơ với tọa độ của phần cuối của vectơ.

Có hai điểm: .

Tìm một vectơ:

4) Vì vectơ hướng thẳng hàng nên một vectơ được biểu diễn tuyến tính qua vectơ kia với một số hệ số tỷ lệ "lambda":

Hoặc phối hợp:

Nó hóa ra là bình thường nhất hệ phương trình tuyến tính với ba ẩn số, có thể giải được tiêu chuẩn, chẳng hạn, Phương pháp của Cramer. Nhưng ở đây có một cơ hội để đi với ít máu, từ phương trình thứ ba, chúng tôi sẽ biểu thị "lambda" và thay thế nó thành phương trình thứ nhất và thứ hai:

Theo cách này: , và "lambda" chúng tôi không cần. Thực tế là các giá trị của các tham số hóa ra giống nhau là một cơ hội thuần túy.

5) Bầu trời quang đãng hoàn toàn, thay thế các giá trị tìm thấy đến các địa điểm của chúng tôi:

Vectơ hướng không đặc biệt cần thiết, vì đối tác của nó đã được tìm thấy.

Sau một hành trình dài, việc thực hiện kiểm tra luôn là một điều thú vị.

:

Các giá trị bằng nhau chính xác thu được.

Thay tọa độ của điểm vào phương trình :

Các giá trị bằng nhau chính xác thu được.

6) Hợp âm cuối cùng: chúng ta sẽ soạn phương trình của một đường thẳng cho một điểm (bạn có thể lấy) và một vectơ chỉ đạo:

Về nguyên tắc, bạn có thể chọn một điểm "tốt" với các tọa độ nguyên, nhưng đây là một điểm kém.

Làm thế nào để tìm khoảng cách giữa các đường thẳng cắt nhau?

d) Chúng tôi chặt đầu thứ tư của con rồng.

Phương pháp một. Thậm chí không phải là một cách, mà là một trường hợp đặc biệt nhỏ. Khoảng cách giữa các đường thẳng chéo nhau bằng độ dài đường vuông góc chung của chúng: .

Điểm cực trị của đường vuông góc chung được tìm thấy trong đoạn trước và nhiệm vụ là cơ bản:

Phương pháp hai. Trong thực tế, hầu hết các đầu của đường vuông góc chung không được biết, vì vậy một cách tiếp cận khác được sử dụng. Qua hai đường thẳng cắt nhau ta vẽ được các mặt phẳng song song và khoảng cách giữa các mặt phẳng đã cho bằng khoảng cách giữa các đường thẳng đã cho. Đặc biệt, một vuông góc chung nhô ra giữa các mặt phẳng này.

Trong quá trình hình học giải tích, từ những cân nhắc ở trên, một công thức đã được rút ra để tìm khoảng cách giữa các đường xiên:
(thay vì các điểm của chúng tôi "em một, hai", chúng tôi có thể lấy các điểm tùy ý của các dòng).

Tích hỗn hợp của các vectơđã được tìm thấy trong đoạn "a": .

Tích chéo của vectơ tìm thấy trong đoạn "be": , tính chiều dài của nó:

Theo cách này:

Tự hào xếp các danh hiệu liên tiếp:

Trả lời:
Nhưng) , do đó, các đường cắt nhau, điều này cần được chứng minh;
b) ;
trong) ;
G)

Điều gì khác có thể được nói về các đường cắt nhau? Một góc được xác định giữa chúng. Nhưng hãy xem xét công thức góc chung trong đoạn tiếp theo:

Các đường thẳng giao nhau nhất thiết phải nằm trong cùng một mặt phẳng:

Ý nghĩ đầu tiên là dựa vào giao điểm với tất cả sức lực của bạn. Và ngay lập tức tôi nghĩ, tại sao lại từ chối chính mình những mong muốn đúng đắn ?! Hãy bắt đầu ngay bây giờ!

Làm thế nào để tìm giao điểm của các đường không gian?

Ví dụ 14

Tìm giao điểm của các đường

Giải pháp: Hãy viết lại phương trình của các đường ở dạng tham số:

Nhiệm vụ này đã được xem xét chi tiết trong Ví dụ số 7 của bài học này (xem. Phương trình của một đường thẳng trong không gian). Và bản thân các đường thẳng, nhân tiện, tôi đã lấy từ Ví dụ số 12. Tôi sẽ không nói dối, tôi quá lười biếng để phát minh ra những đường thẳng mới.

Giải pháp này là tiêu chuẩn và đã gặp phải khi chúng tôi tìm ra phương trình vuông góc chung của các đường xiên.

Giao điểm của các đường thuộc đường thẳng, do đó tọa độ của nó thỏa mãn phương trình tham số của đường này, và chúng tương ứng với một giá trị tham số rất cụ thể:

Nhưng cùng một điểm thuộc về dòng thứ hai, do đó:

Chúng tôi cân bằng các phương trình tương ứng và đơn giản hóa:

Thu được một hệ gồm ba phương trình tuyến tính với hai ẩn số. Nếu các đường thẳng cắt nhau (như được chứng minh trong Ví dụ 12), thì hệ thống nhất thiết phải nhất quán và có một nghiệm duy nhất. Nó có thể được giải quyết Phương pháp Gauss, nhưng chúng ta sẽ không phạm tội với sự cuồng tín mẫu giáo như vậy, hãy làm điều đó dễ dàng hơn: từ phương trình đầu tiên, chúng ta biểu thị "te zero" và thay thế nó thành phương trình thứ hai và thứ ba:

Hai phương trình cuối cùng về cơ bản là giống nhau, và nó tiếp nối chúng. Sau đó:

Hãy thay giá trị tìm được của tham số vào các phương trình:

Trả lời:

Để kiểm tra, chúng tôi thay thế giá trị tìm được của tham số vào các phương trình:
Các tọa độ tương tự đã được thu được theo yêu cầu được kiểm tra. Người đọc tinh ý có thể thay thế tọa độ của điểm trong phương trình chính tắc ban đầu của đường thẳng.

Nhân tiện, có thể làm ngược lại: tìm điểm thông qua "es zero" và kiểm tra nó thông qua "te zero".

Một dấu hiệu toán học nổi tiếng nói rằng: nơi giao nhau của các đường thẳng được thảo luận, luôn có mùi của các đường vuông góc.

Làm thế nào để xây dựng một đường thẳng trong không gian vuông góc với một cho trước?

(các đường cắt nhau)

Ví dụ 15

a) Lập phương trình đường thẳng đi qua một điểm vuông góc với đường thẳng (các đường cắt nhau).

b) Tìm khoảng cách từ điểm đến đoạn thẳng.

Ghi chú : mệnh đề "các đường cắt nhau" - Thiết yếu. Qua dấu chấm
có thể vẽ vô số đường vuông góc sẽ cắt với đường thẳng "el". Giải pháp duy nhất xảy ra khi một đường thẳng được vẽ qua một điểm đã cho vuông góc với hai các đoạn thẳng đã cho (xem Ví dụ số 13, đoạn "b").

Nhưng) Giải pháp: Biểu thị dòng không xác định bằng. Hãy tạo một bản vẽ giản đồ:

Những gì được biết về dòng? Theo điều kiện, một điểm được đưa ra. Để lập phương trình của một đường thẳng, cần phải tìm vectơ chỉ phương. Như một vectơ như vậy, vectơ khá phù hợp, và chúng tôi sẽ giải quyết nó. Chính xác hơn, chúng ta hãy lấy phần cuối chưa biết của vector bằng dấu ngoặc kép.

1) Chúng tôi sẽ trích xuất vectơ chỉ đạo của nó từ các phương trình của đường thẳng "el" và chúng tôi sẽ viết lại các phương trình đó ở dạng tham số:

Nhiều người đoán rằng bây giờ là lần thứ ba trong một bài học, ảo thuật gia sẽ lấy một con thiên nga trắng ra khỏi mũ của mình. Xét một điểm có tọa độ chưa biết. Kể từ điểm, tọa độ của nó thỏa mãn phương trình tham số của đường thẳng "el" và chúng tương ứng với một giá trị tham số cụ thể:

Hoặc trong một dòng:

2) Theo điều kiện, các đường thẳng phải vuông góc, do đó, vectơ chỉ phương của chúng là trực giao. Và nếu các vectơ là trực giao, thì sản phẩm vô hướng bằng 0:

Chuyện gì đã xảy ra thế? Phương trình tuyến tính đơn giản nhất với một ẩn số:

3) Giá trị của tham số đã biết, hãy tìm điểm:

Và vectơ hướng:
.

4) Chúng ta sẽ lập phương trình của đường thẳng theo điểm và vectơ chỉ phương :

Các mẫu số của tỷ lệ hóa ra là phân số, và đây chính xác là trường hợp thích hợp để loại bỏ phân số. Tôi sẽ nhân chúng với -2:

Trả lời:

Ghi chú : một kết thúc chặt chẽ hơn của giải pháp được rút ra như sau: chúng tôi lập phương trình của một đường thẳng bởi một điểm và một vectơ chỉ phương . Thật vậy, nếu một vectơ là vectơ chỉ phương của một đường thẳng, thì vectơ thẳng hàng với nó đương nhiên cũng sẽ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng này.

Việc xác minh bao gồm hai giai đoạn:

1) kiểm tra các vectơ chỉ hướng của các đường để có tính trực giao;

2) chúng ta thay thế tọa độ của điểm vào phương trình của mỗi đường thẳng, chúng sẽ "phù hợp" cả ở đây và ở đó.

Có rất nhiều cuộc thảo luận về các hành động điển hình, vì vậy tôi đã kiểm tra một bản nháp.

Nhân tiện, tôi đã quên một mốt khác - xây dựng một điểm "sue" đối xứng với điểm "en" đối với đường thẳng "el". Tuy nhiên, có một "tín hiệu tương tự phẳng" tốt, có thể được tìm thấy trong bài báo Các bài toán đơn giản nhất về đường thẳng trên mặt phẳng. Ở đây, tất cả sự khác biệt sẽ nằm trong tọa độ "Z" bổ sung.

Làm thế nào để tìm khoảng cách từ một điểm đến một đoạn thẳng trong không gian?

b) Giải pháp: Tìm khoảng cách từ một điểm đến một đoạn thẳng.

Phương pháp một. Khoảng cách này chính xác bằng độ dài của đường vuông góc:. Giải pháp là rõ ràng: nếu các điểm được biết , sau đó:

Phương pháp hai. Trong các bài toán thực tế, cơ sở của đường vuông góc thường là một ẩn số, vì vậy sẽ hợp lý hơn nếu sử dụng công thức tính sẵn.

Khoảng cách từ một điểm đến một đoạn thẳng được biểu thị bằng công thức:
, vectơ chỉ phương của đường thẳng "el" ở đâu và - Bất kỳ một điểm trên một dòng cho trước.

1) Từ phương trình của đường thẳng chúng ta nhận được vectơ hướng và điểm dễ tiếp cận nhất.

2) Điểm đã biết từ điều kiện, hãy làm sắc nét vectơ:

3) Hãy tìm sản phẩm vector và tính chiều dài của nó:

4) Tính độ dài của vectơ chỉ phương:

5) Như vậy, khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: