Tìm các đỉnh của một tam giác có các cạnh được cho bởi phương trình. Làm thế nào để học để giải quyết các vấn đề trong hình học giải tích? Một bài toán điển hình về tam giác trên mặt phẳng. Những điều bạn cần biết để có thể giải các bài toán hình học thành công

Làm thế nào để học để giải quyết các vấn đề trong hình học giải tích?
Bài toán điển hình với tam giác trên mặt phẳng

Bài học này được soạn trên phương pháp tiếp cận xích đạo giữa hình học phẳng và hình học không gian. Hiện tại, cần phải hệ thống hóa thông tin tích lũy và trả lời một câu hỏi rất quan trọng: làm thế nào để học để giải quyết các vấn đề trong hình học giải tích? Khó khăn nằm ở chỗ, hình học có vô số bài toán và không sách giáo khoa nào có thể chứa đầy đủ các ví dụ minh họa. Không phải đạo hàm hàm với năm quy tắc phân biệt, một bảng và một vài kỹ thuật….

Có một giải pháp! Tôi sẽ không nói những lời lớn tiếng rằng tôi đã phát triển một loại kỹ thuật hoành tráng nào đó, tuy nhiên, theo quan điểm của tôi, có một cách tiếp cận hiệu quả cho vấn đề đang được xem xét, cho phép ngay cả một ấm đun nước đầy cũng đạt được kết quả tốt và xuất sắc. Ít nhất, thuật toán chung để giải các bài toán hình học đã hình thành rất rõ ràng trong đầu tôi.

NHỮNG GÌ BẠN CẦN BIẾT VÀ CÓ THỂ LÀM ĐƯỢC
để giải quyết thành công các vấn đề trong hình học?

Không thể tránh khỏi điều này - để không dùng mũi chọc vào các nút một cách ngẫu nhiên, bạn cần phải nắm vững những kiến ​​thức cơ bản về hình học phân tích. Do đó, nếu bạn mới bắt đầu học hình học hoặc đã hoàn toàn quên nó, hãy bắt đầu với bài học Vectơ cho hình nộm. Ngoài các vectơ và các thao tác với chúng, bạn cần biết các khái niệm cơ bản về hình học phẳng, cụ thể là phương trình của một đường thẳng trong một mặt phẳng và . Hình học của không gian được biểu diễn bằng các bài Phương trình mặt phẳng, Phương trình của một đường thẳng trong không gian, Các công việc cơ bản về đường thẳng và mặt phẳng và một số bài học khác. Các đường cong và bề mặt không gian của bậc hai có phần hơi khác nhau và không có quá nhiều vấn đề cụ thể với chúng.

Giả sử một học sinh đã có kiến ​​thức và kỹ năng cơ bản trong việc giải các bài toán đơn giản nhất của hình học giải tích. Nhưng nó xảy ra như thế này: bạn đọc điều kiện của vấn đề, và ... bạn muốn đóng lại toàn bộ mọi thứ, ném nó vào góc xa và quên nó đi, như một giấc mơ khủng khiếp. Hơn nữa, điều này về cơ bản không phụ thuộc vào trình độ của bạn, đôi khi bản thân tôi gặp phải những nhiệm vụ mà giải pháp không rõ ràng. Làm thế nào để hành động trong những trường hợp như vậy? Không cần phải sợ một nhiệm vụ mà bạn không hiểu!

Đầu tiên, nên được đặt thành nó là một "phẳng" hay vấn đề không gian? Ví dụ, nếu vectơ có hai tọa độ xuất hiện trong điều kiện, thì tất nhiên, đây là hình học của mặt phẳng. Và nếu giáo viên nạp cho người nghe biết ơn bằng một kim tự tháp, thì rõ ràng đó là hình học của không gian. Kết quả của bước đầu tiên đã khá tốt, bởi vì chúng tôi đã cố gắng cắt bỏ một lượng lớn thông tin không cần thiết cho nhiệm vụ này!

Thứ hai. Điều kiện, như một quy luật, sẽ liên quan đến bạn với một số hình học. Thật vậy, đi dọc hành lang của trường đại học quê hương bạn, bạn sẽ thấy rất nhiều gương mặt lo lắng.

Trong các bài toán "phẳng", không nói đến các điểm và đường rõ ràng, hình phổ biến nhất là hình tam giác. Chúng tôi sẽ phân tích nó rất chi tiết. Tiếp theo là hình bình hành, và hình chữ nhật, hình vuông, hình thoi, hình tròn và các hình khác ít phổ biến hơn nhiều.

Trong các nhiệm vụ không gian, các hình phẳng giống nhau + bản thân các mặt phẳng và các hình chóp tam giác thông thường có hình bình hành có thể bay được.

Câu hỏi hai - Bạn có biết mọi thứ về figure này không? Giả sử điều kiện là về một tam giác cân, và bạn nhớ rất mơ hồ đó là loại tam giác nào. Chúng tôi mở một cuốn sách giáo khoa của trường và đọc về một tam giác cân. Phải làm sao ... bác sĩ nói hình thoi, vậy là hình thoi. Hình học giải tích là hình học giải tích, nhưng vấn đề sẽ giúp tự giải quyết các tính chất hình học của các hìnhđược chúng tôi biết đến từ chương trình giảng dạy của trường. Nếu bạn không biết tổng các góc của một tam giác là bao nhiêu thì bạn có thể khổ sở trong một thời gian dài.

Ngày thứ ba. LUÔN LUÔN cố gắng làm theo kế hoạch chi tiết(trên bản nháp / sạch sẽ / tinh thần), ngay cả khi điều này không được yêu cầu bởi điều kiện. Trong các nhiệm vụ "phẳng", chính Euclid đã ra lệnh cầm theo một chiếc thước kẻ với một cây bút chì trong tay - và không chỉ để hiểu điều kiện mà còn nhằm mục đích tự kiểm tra. Trong trường hợp này, tỷ lệ thuận tiện nhất là 1 đơn vị = 1 cm (2 ô tetrad). Đừng nói về những học sinh và nhà toán học cẩu thả đang quay cuồng trong mồ - hầu như không thể mắc sai lầm trong những vấn đề như vậy. Đối với các nhiệm vụ không gian, chúng tôi thực hiện một bản vẽ giản đồ, điều này cũng sẽ giúp phân tích điều kiện.

Một bản vẽ hoặc bản vẽ giản đồ thường ngay lập tức cho phép bạn nhìn thấy cách giải quyết vấn đề. Tất nhiên, đối với điều này, bạn cần phải biết nền tảng của hình học và cắt các tính chất của hình dạng hình học (xem đoạn trước).

thứ tư. Phát triển một thuật toán giải pháp. Nhiều bài toán hình học có nhiều điểm, do đó rất thuận tiện để chia lời giải và thiết kế của nó thành điểm. Thông thường, thuật toán ngay lập tức xuất hiện trong tâm trí bạn sau khi bạn đọc điều kiện hoặc hoàn thành bản vẽ. Trong trường hợp gặp khó khăn, chúng tôi bắt đầu với CÂU HỎI của vấn đề. Ví dụ: theo điều kiện "phải dựng đoạn thẳng ...". Ở đây câu hỏi hợp lý nhất là: “Điều gì đủ để biết để xây dựng đường dây này?”. Giả sử, "chúng ta biết điểm, chúng ta cần biết vectơ chỉ phương." Chúng tôi đặt câu hỏi sau: “Làm thế nào để tìm vectơ chỉ phương này? Ở đâu?" vân vân.

Đôi khi có một "phích cắm" - nhiệm vụ không được giải quyết và đó là nó. Các lý do cho nút có thể là sau:

- Lỗ hổng kiến ​​thức sơ đẳng trầm trọng. Nói cách khác, bạn không biết hoặc (và) không thấy một số điều rất đơn giản.

- Sự thiếu hiểu biết về các tính chất của các hình hình học.

- Nhiệm vụ khó khăn. Có, nó xảy ra. Hấp nước hàng giờ và thu nước mắt vào một chiếc khăn tay thì chẳng ích gì. Hãy hỏi thầy cô, bạn bè đồng nghiệp hoặc đặt câu hỏi trên diễn đàn để được tư vấn. Hơn nữa, tốt hơn là làm cho tuyên bố của nó cụ thể - về một phần của giải pháp mà bạn không hiểu. Một tiếng kêu dưới dạng "Làm thế nào để giải quyết vấn đề?" trông không đẹp ... và trên hết là vì danh tiếng của chính bạn.

Giai đoạn năm. Chúng tôi giải quyết-kiểm tra, giải quyết-kiểm tra, giải quyết-kiểm tra-đưa ra một câu trả lời. Sẽ có lợi khi kiểm tra từng mục của nhiệm vụ ngay sau khi nó được thực hiện. Điều này sẽ giúp bạn tìm ra lỗi ngay lập tức. Đương nhiên, không ai cấm nhanh chóng giải quyết toàn bộ vấn đề, nhưng có nguy cơ phải viết lại mọi thứ một lần nữa (thường là vài trang).

Ở đây, có lẽ, là tất cả những lưu ý chính mà bạn nên được hướng dẫn khi giải quyết vấn đề.

Phần thực hành của bài được biểu diễn bằng hình học trên mặt phẳng. Sẽ chỉ có hai ví dụ, nhưng dường như sẽ không đủ =)

Hãy xem qua chủ đề của thuật toán mà tôi vừa xem xét trong công trình khoa học nhỏ của mình:

ví dụ 1

Ba đỉnh của một hình bình hành đã cho. Tìm hàng đầu.

Hãy bắt đầu tìm hiểu nó:

Bước một: rõ ràng là chúng ta đang nói về một vấn đề "phẳng".

bước hai: Bài toán về hình bình hành. Mọi người còn nhớ hình bình hành như vậy không? Không cần mỉm cười, rất nhiều người được giáo dục từ 30-40-50 tuổi trở lên, vì vậy ngay cả những sự thật đơn giản cũng có thể bị xóa khỏi trí nhớ. Định nghĩa hình bình hành xem ở ví dụ số 3 của bài Sự phụ thuộc tuyến tính (không) của vectơ. Cơ sở vectơ.

Bước thứ ba: Hãy vẽ một hình vẽ trên đó chúng ta đánh dấu ba đỉnh đã biết. Thật buồn cười là thật dễ dàng để xây dựng ngay điểm mong muốn:

Tất nhiên, xây dựng là tốt, nhưng giải pháp phải được chính thức hóa về mặt phân tích.

Bước bốn: Phát triển một thuật toán giải pháp. Điều đầu tiên xuất hiện trong tâm trí là một điểm có thể được tìm thấy là giao điểm của các đường. Chúng tôi chưa biết phương trình của chúng, vì vậy chúng tôi phải giải quyết vấn đề này:

1) Các cạnh đối diện song song. Bằng điểm tìm vectơ chỉ phương của các cạnh này. Đây là nhiệm vụ đơn giản nhất đã được xem xét trong bài học. Vectơ cho hình nộm.

Ghi chú: nói “phương trình của một đường thẳng chứa một cạnh” thì đúng hơn, nhưng sau đây, để ngắn gọn, tôi sẽ sử dụng các cụm từ “phương trình của một cạnh”, “vectơ chỉ đạo của một cạnh”, v.v.

3) Các cạnh đối diện song song. Từ các điểm ta tìm được vectơ chỉ phương của các cạnh này.

4) Lập phương trình của một đường thẳng với một điểm và một vectơ chỉ phương

Trong đoạn 1-2 và 3-4, chúng ta đã thực sự giải quyết cùng một vấn đề hai lần, nhân tiện, nó được phân tích trong ví dụ số 3 của bài. Các bài toán đơn giản nhất về đường thẳng trên mặt phẳng. Có thể đi một chặng đường dài hơn - trước tiên hãy tìm phương trình của các đường và chỉ sau đó “kéo ra” các vectơ chỉ hướng từ chúng.

5) Bây giờ các phương trình của các đường đã được biết. Vẫn là soạn và giải hệ phương trình tuyến tính tương ứng (xem ví dụ số 4, 5 của cùng bài Các bài toán đơn giản nhất về đường thẳng trên mặt phẳng).

Điểm được tìm thấy.

Nhiệm vụ khá đơn giản và giải pháp của nó là hiển nhiên, nhưng có một cách ngắn hơn!

Cách thứ hai để giải quyết:

Các đường chéo của một hình bình hành được phân giác bởi giao điểm của chúng. Tôi đã đánh dấu điểm, nhưng để không làm lộn xộn bản vẽ, tôi đã không tự vẽ các đường chéo.

Hãy lập phương trình cạnh của các điểm:

Để kiểm tra, nhẩm hoặc trên bản nháp, hãy thay thế tọa độ của mỗi điểm trong phương trình kết quả. Bây giờ chúng ta hãy tìm độ dốc. Để làm điều này, chúng tôi viết lại phương trình tổng quát dưới dạng một phương trình với hệ số góc:

Vậy hệ số góc là:

Tương tự, chúng ta tìm phương trình của các cạnh. Tôi không thấy nhiều điểm trong việc vẽ cùng một thứ, vì vậy tôi sẽ ngay lập tức đưa ra kết quả hoàn chỉnh:

2) Tìm độ dài của cạnh. Đây là nhiệm vụ đơn giản nhất được thảo luận trong bài học. Vectơ cho hình nộm. Cho điểm chúng tôi sử dụng công thức:

Sử dụng cùng một công thức, có thể dễ dàng tìm được độ dài của các cạnh khác. Việc kiểm tra được thực hiện rất nhanh chóng bằng thước thường.

Chúng tôi sử dụng công thức .

Hãy tìm các vectơ:

Như vậy:

Nhân tiện, trên đường đi, chúng tôi tìm thấy độ dài của các cạnh.

Kết quả là:

Chà, có vẻ đúng, để thuyết phục, bạn có thể gắn thước đo góc vào góc.

Chú ý! Đừng nhầm lẫn góc của tam giác với góc giữa các đường thẳng. Góc của tam giác có thể là góc tù nhưng góc giữa các đoạn thẳng thì không (xem đoạn cuối của bài viết Các bài toán đơn giản nhất về đường thẳng trên mặt phẳng). Tuy nhiên, để tìm góc của một tam giác, bạn cũng có thể sử dụng các công thức của bài trên, nhưng điều khó khăn là các công thức đó luôn cho một góc nhọn. Với sự giúp đỡ của họ, tôi đã giải quyết vấn đề này trên bản nháp và nhận được kết quả. Và trên một bản sao sạch sẽ, bạn sẽ phải viết thêm những lời bào chữa khác.

4) Viết phương trình của đường thẳng đi qua một điểm song song với một đường thẳng.

Nhiệm vụ tiêu chuẩn, được thảo luận chi tiết trong ví dụ số 2 của bài học Các bài toán đơn giản nhất về đường thẳng trên mặt phẳng. Từ phương trình tổng quát của một đường thẳng kéo ra véc tơ chỉ phương. Hãy lập phương trình của một đường thẳng với một điểm và một vectơ chỉ phương:

Làm thế nào để tìm chiều cao của một tam giác?

5) Hãy lập phương trình chiều cao và chúng ta sẽ tìm được độ dài của nó.

Không có lối thoát khỏi những định nghĩa nghiêm ngặt, vì vậy bạn phải ăn cắp từ một cuốn sách giáo khoa của trường:

chiều cao tam giác gọi là đường vuông góc vẽ từ đỉnh của tam giác đến đường thẳng chứa cạnh đối diện.

Tức là, nó là cần thiết để lập phương trình của vuông góc vẽ từ đỉnh đến mặt bên. Nhiệm vụ này được xem xét trong ví dụ số 6, 7 của bài Các bài toán đơn giản nhất về đường thẳng trên mặt phẳng. Từ phương trình loại bỏ vectơ pháp tuyến. Chúng ta sẽ lập phương trình độ cao cho điểm và vectơ chỉ phương:

Xin lưu ý rằng chúng tôi không biết tọa độ của điểm.

Đôi khi, phương trình chiều cao được tìm thấy từ tỷ số của các độ dốc của các đường vuông góc:. Trong trường hợp này, thì:. Chúng ta sẽ soạn phương trình độ cao của một điểm và hệ số góc (xem đầu bài Phương trình của một đường thẳng trên một mặt phẳng):

Chiều dài của chiều cao có thể được tìm thấy bằng hai cách.

Có một con đường vòng:

a) tìm - giao điểm của chiều cao và cạnh bên;
b) Tìm độ dài đoạn thẳng bằng hai điểm đã biết.

Nhưng trong lớp Các bài toán đơn giản nhất về đường thẳng trên mặt phẳng một công thức thuận tiện cho khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng đã được xem xét. Điểm đã biết:, phương trình của đường thẳng cũng được biết: Như vậy:

6) Tính diện tích tam giác. Trong không gian, diện tích của một tam giác được tính theo cách truyền thống bằng cách sử dụng tích chéo của các vectơ, nhưng ở đây một tam giác được cho trong mặt phẳng. Chúng tôi sử dụng công thức trường học:
Diện tích của một tam giác bằng một nửa tích của cơ sở nhân với chiều cao của nó.

Trong trường hợp này:

Làm thế nào để tìm đường trung bình của một tam giác?

7) Lập phương trình trung vị.

Trung tuyến tam giác Một đoạn thẳng nối đỉnh của tam giác với trung điểm của cạnh đối diện được gọi là.

a) Tìm một điểm - trung điểm của cạnh. Chúng tôi sử dụng công thức tọa độ trung điểm. Tọa độ các điểm cuối của đoạn đã biết: , sau đó là tọa độ của giữa:

Như vậy:

Chúng tôi lập phương trình trung bình theo điểm :

Để kiểm tra phương trình, bạn cần thay thế tọa độ của các điểm vào nó.

8) Tìm giao điểm của đường cao và trung tuyến. Tôi nghĩ rằng mọi người đã học cách thực hiện yếu tố trượt băng nghệ thuật này mà không bị ngã:

ChươngV. PHÂN TÍCH HÌNH HỌC TRÊN KẾ HOẠCH

VÀ TRONG KHÔNG GIAN

Phần này bao gồm các nhiệm vụ được xem xét trong chủ đề "Hình học giải tích trên mặt phẳng và trong không gian": lập phương trình các đường thẳng trên mặt phẳng và trong không gian; xác định vị trí tương đối của đường thẳng trên mặt phẳng, đường thẳng, đường thẳng và mặt phẳng, các mặt phẳng trong không gian; hình ảnh của các đường cong của bậc hai. Cần lưu ý rằng phần này trình bày các vấn đề về nội dung kinh tế, trong đó giải pháp sử dụng thông tin từ hình học giải tích trên một mặt phẳng.

Khi giải các bài toán về hình học giải tích, nên sử dụng sách giáo khoa của các tác giả sau: D.V. Kletenika, N. Sh. Kremera, D.T. Người viết V.I. Malykhin, bởi vì tài liệu này bao gồm một loạt các nhiệm vụ có thể được sử dụng để tự nghiên cứu về chủ đề này. Ứng dụng của hình học giải tích để giải quyết các vấn đề kinh tế được mô tả trong các ấn phẩm giáo dục của M.S. Crass và V.I. Ermakov.

Vấn đề 5.1. Cho biết tọa độ các đỉnh của tam giácABC . Cần thiết

a) Viết phương trình các cạnh của tam giác;

b) Viết phương trình đường cao của một tam giác được vẽ từ một đỉnhVới sang một bênAB và tìm chiều dài của nó;

c) Viết phương trình đường trung tuyến của tam giác vẽ từ đỉnhTẠI sang một bênAC ;

d) tìm các góc của tam giác và thiết lập dạng của nó (hình chữ nhật, góc nhọn, góc tù);

e) tìm độ dài các cạnh của tam giác và xác định dạng của nó (vô hướng, cân, đều);

f) Tìm tọa độ trọng tâm (giao điểm của các đường trung tuyến) của tam giácABC ;

g) Tìm tọa độ của trực tâm (giao điểm của các đường cao) của tam giácABC .

Đối với mỗi điểm a) - c) của quyết định, hãy lập các bản vẽ trong hệ tọa độ. Trong các hình vẽ, hãy đánh dấu các dòng và các điểm tương ứng với các luận điểm của bài toán.

Ví dụ 5.1

Cho biết tọa độ các đỉnh của tam giácABC : . Điều cần thiết là a) Viết phương trình các cạnh của tam giác; b) Viết phương trình đường cao của một tam giác được vẽ từ một đỉnh Với sang một bênAB và tìm chiều dài của nó; c) Viết phương trình đường trung tuyến của tam giác vẽ từ đỉnhTẠI sang một bênAC ; d) tìm độ dài các cạnh của tam giác và xác định dạng của nó (vô hướng, cân, đều); e) tìm các góc của tam giác và thiết lập dạng của nó (hình chữ nhật, góc nhọn, góc tù); f) Tìm tọa độ trọng tâm (giao điểm của các đường trung tuyến) của tam giác ABC ; g) Tìm tọa độ của trực tâm (giao điểm của các đường cao) của tam giácABC .

Quyết định

một)Đối với mỗi cạnh của tam giác, tọa độ của hai điểm nằm trên các đường mong muốn được biết, có nghĩa là phương trình các cạnh của tam giác là phương trình của các đường thẳng đi qua hai điểm cho trước

,

ở đâu
và
tọa độ điểm tương ứng.

Như vậy, thay vào công thức (5.1) tọa độ của các điểm thẳng hàng tương ứng, ta được

,
,
,

do đó, sau khi biến đổi, chúng ta viết ra các phương trình của các cạnh

Trên hình. 7 mô tả các cạnh tương ứng của tam giác
thẳng.

Trả lời:

b)Để cho được
- chiều cao được vẽ từ trên xuống sang một bên
. Trong chừng mực
đi qua một điểm vuông góc với vectơ
, sau đó chúng ta lập phương trình của một đường thẳng theo công thức sau

ở đâu
là tọa độ của vectơ vuông góc với đường thẳng mong muốn,
là tọa độ của một điểm thuộc đường thẳng này. Tìm tọa độ của một vectơ vuông góc với một đường thẳng
, và thay thế vào công thức (5.2)

,
,

.

Tìm chiều dài của chiều cao CH như khoảng cách từ điểm Thẳng

,

ở đâu
- phương trình của một đường thẳng
,
- tọa độ điểm .

Trong đoạn trước, nó đã được tìm thấy

Thay dữ liệu vào công thức (5.3), chúng ta thu được

,

Trên hình. 8 vẽ một hình tam giác và chiều cao tìm được CH.

Trả lời: .

R Là. tám

trong) Trung bình
Tam giác
chia bên
thành hai phần bằng nhau, tức là dấu chấm là trung điểm của đoạn
. Dựa trên điều này, bạn có thể tìm thấy tọa độ
điểm

, ,

ở đâu
và
và , thay thế công thức nào vào công thức (5.4), chúng ta thu được

;
.

Phương trình trung vị
Tam giác
lập phương trình của một đường thẳng đi qua các điểm
và
theo công thức (5.1)

,

.

Trả lời:(Hình 9).

R Là. chín

G) Chúng ta tìm độ dài của các cạnh của tam giác là độ dài của các vectơ tương ứng, tức là

,
,
.

Các bữa tiệc
và
Tam giác
bằng nhau nên tam giác cân với đáy là
.

Trả lời: Tam giác
cân bằng với cơ sở
;

,
.

e) Các góc của một tam giác
chúng ta tìm thấy như là các góc giữa các vectơ phát ra từ các đỉnh tương ứng của tam giác đã cho, tức là

,
,
.

Vì tam giác cân có đáy là
, sau đó

,

Chúng tôi tính các góc giữa các vectơ bằng công thức (4.4), công thức này yêu cầu tích vô hướng của các vectơ
,
.

Tìm tọa độ và môđun của các vectơ cần thiết để tính các góc

,
;

,
,
.

Thay dữ liệu tìm được vào công thức (4.4), chúng ta thu được

,

Vì giá trị của cosin của tất cả các góc tìm được đều dương nên tam giác
là cấp tính.

Trả lời: Tam giác
góc nhọn;

,
,
.

e)Để cho được

, sau đó là tọa độ
điểm
có thể được tìm thấy, theo công thức (5.5)

, ,

ở đâu
,
và
lần lượt là tọa độ của các điểm , và , vì thế,

,
.

Trả lời:
- trọng tâm của tam giác
.

g)Để cho được là trực tâm của tam giác
. Tìm tọa độ của một điểm là tọa độ giao điểm của các đường cao của tam giác. Phương trình chiều cao
được tìm thấy tại điểm b). Hãy tìm phương trình chiều cao
:

,
,

.

Trong chừng mực
, thì giải pháp của hệ thống

là tọa độ của điểm từ nơi chúng tôi tìm thấy
.

Trả lời:
là trực tâm của tam giác
.

Vấn đề 5.2. Chi phí cố định trong doanh nghiệp để phát hành một số sản phẩm làF V 0 chà xát. trên một đơn vị sản lượng, trong khi doanh thu làR 0 chà xát. trên một đơn vị sản phẩm được sản xuất. Soạn một hàm lợi nhuậnP (q ) (q

Dữ liệu cho điều kiện nhiệm vụ tương ứng với các tùy chọn:

Ví dụ 5.2

Chi phí cố định trong doanh nghiệp để phát hành một số sản phẩm là
chà xát. mỗi tháng, chi phí biến đổi -
chà xát. trên một đơn vị sản lượng, trong khi doanh thu là
chà xát. trên một đơn vị sản phẩm được sản xuất. Soạn một hàm lợi nhuậnP (q ) (q - số lượng sản phẩm được sản xuất); xây dựng đồ thị của nó và xác định điểm hòa vốn.

Quyết định

Hãy để chúng tôi tính toán tổng chi phí sản xuất cho bản phát hành qđơn vị của một số sản phẩm

Nếu bán qđơn vị sản lượng, khi đó tổng thu nhập sẽ là

Dựa trên các hàm thu được của tổng thu nhập và tổng chi phí, chúng ta tìm được hàm lợi nhuận

,

.

Điểm hòa vốn - Điểm mà lợi nhuận bằng 0 hoặc điểm mà tổng chi phí bằng tổng thu nhập

,

,

chúng ta tìm ở đâu

- điểm hòa vốn.

Để xây dựng một đồ thị (Hình 10) của hàm lợi nhuận, chúng ta sẽ tìm thấy một điểm nữa

Trả lời: chức năng lợi nhuận
, điểm hòa vốn
.

Bài toán 5.3. Quy luật cung và cầu đối với một loại hàng hóa nhất định được xác định tương ứng bằng các phương trìnhP = P D (q ), P = P S (q ), ở đâuP - giá của hàng hóa,q - Số lượng hàng hoá. Người ta cho rằng cầu chỉ được xác định bởi giá cả hàng hóa trên thị trường.P Với và ưu đãi - chỉ ở mức giáP S nhận được bởi các nhà cung cấp. Cần thiết

a) xác định điểm cân bằng thị trường;

b) điểm cân bằng sau khi áp dụng mức thuế bằngt . Xác định mức tăng giá và giảm lượng bán cân bằng;

c) tìm hỗ trợS , điều này sẽ dẫn đến tăng doanh số bán hàng bằng cáchq 0 các đơn vị so với bản gốc (được định nghĩa trong đoạn a));

d) tìm điểm cân bằng mới và doanh thu của chính phủ khi đưa ra mức thuế tỷ lệ thuận với giá cả và bằngN %;

e) xác định chính phủ sẽ chi bao nhiêu tiền để mua phần thặng dư, đồng thời ấn định mức giá tối thiểu bằng P 0 .

Với mỗi điểm quyết định, hãy vẽ một hình vẽ trong hệ trục tọa độ. Trong hình vẽ, hãy đánh dấu các dòng và điểm tương ứng với mục của bài toán.

Dữ liệu cho điều kiện nhiệm vụ tương ứng với các tùy chọn:

Trong hình học, khái niệm như "đỉnh của tam giác" thường được xem xét. Đây là giao điểm của hai cạnh của hình này. Khái niệm này gặp phải trong hầu hết mọi nhiệm vụ, vì vậy sẽ hợp lý khi xem xét nó chi tiết hơn.

Xác định đỉnh của tam giác

Trong một tam giác, có ba giao điểm của các cạnh tạo thành ba góc. Chúng được gọi là các đỉnh, và các cạnh mà chúng nằm trên đó được gọi là các cạnh của tam giác.

Cơm. 1. Đỉnh trong tam giác.

Các đỉnh trong hình tam giác được ký hiệu bằng các chữ cái Latinh viết hoa. Do đó, thông thường nhất trong toán học, các cạnh được ký hiệu bằng hai chữ cái Latinh viết hoa, theo tên của các đỉnh được bao gồm trong các cạnh đó. Ví dụ, cạnh AB là cạnh của tam giác nối các đỉnh A và B.

Cơm. 2. Chỉ định của các đỉnh trong một tam giác.

Đặc điểm khái niệm

Nếu chúng ta lấy một tam giác định hướng tùy ý trong một mặt phẳng, thì trong thực tế, rất thuận tiện để biểu diễn các đặc điểm hình học của nó dưới dạng tọa độ các đỉnh của hình này. Do đó, đỉnh A của tam giác có thể được biểu diễn dưới dạng một điểm với các tham số A (x; y) nào đó.

Biết tọa độ các đỉnh của tam giác, bạn có thể tìm được giao điểm của các trung tuyến, độ dài của chiều cao hạ xuống một trong các cạnh của hình và diện tích của tam giác.

Đối với điều này, các thuộc tính của vectơ được mô tả trong hệ tọa độ Descartes được sử dụng, vì độ dài của một cạnh của tam giác được xác định thông qua độ dài của vectơ với các điểm tại đó các đỉnh tương ứng của hình này.

Sử dụng đỉnh của một tam giác

Tại bất kỳ đỉnh nào của một tam giác, bạn có thể tìm thấy một góc kề với góc trong của hình được đề cập. Để làm điều này, bạn sẽ phải kéo dài một trong các cạnh của hình tam giác. Vì có hai cạnh ở mỗi đỉnh nên mỗi đỉnh có hai góc ngoài. Góc bên ngoài bằng tổng hai góc bên trong của một tam giác không kề nó.

Cơm. 3. Tính chất của góc ngoài của tam giác.

Nếu bạn dựng hai góc ngoài tại một đỉnh, thì chúng sẽ bằng nhau, giống như các góc thẳng đứng.

Chúng ta đã học được gì?

Một trong những khái niệm quan trọng của hình học khi xem xét các dạng tam giác khác nhau là đỉnh. Đây là điểm mà hai cạnh của góc của một hình hình học đã cho cắt nhau. Nó được ký hiệu bằng một trong các chữ cái viết hoa của bảng chữ cái Latinh. Đỉnh của tam giác có thể được biểu diễn dưới dạng tọa độ x và y, điều này giúp xác định độ dài cạnh của tam giác là độ dài của vectơ.

Câu đố về chủ đề

Đánh giá bài viết

Đánh giá trung bình: 4.2. Tổng điểm nhận được: 153.