Phương trình lượng giác đồng nhất: sơ đồ giải tổng quát. Giải phương trình lượng giác thuần nhất

Loại bài học: giải thích tài liệu mới. Công việc diễn ra theo nhóm. Mỗi nhóm có một chuyên gia theo dõi và hướng dẫn học viên làm việc. Giúp học sinh yếu tự tin vào chính mình khi giải các phương trình này.

Tải xuống:

Xem trước:

Bài học về chủ đề

" Phương trình lượng giác đồng nhất"

(lớp 10)

Mục tiêu:

1. giới thiệu khái niệm phương trình lượng giác thuần nhất bậc I và bậc II;
2. xây dựng và xây dựng thuật toán giải phương trình lượng giác thuần nhất bậc I và bậc II;
3. dạy học sinh giải các phương trình lượng giác thuần nhất bậc I và bậc II;
4. phát triển khả năng xác định các mẫu và khái quát hóa;
5. kích thích sự hứng thú với bộ môn, phát triển tinh thần đoàn kết, cạnh tranh lành mạnh.

Loại bài học : bài học về hình thành kiến ​​thức mới.

Hình thức ứng xử: làm việc nhóm.

Thiết bị: máy tính, cài đặt đa phương tiện

Trong các lớp học

I. Thời điểm tổ chức

Trong bài học có hệ thống đánh giá kiến ​​thức (giáo viên giải thích hệ thống đánh giá kiến ​​thức, điền vào phiếu đánh giá do một chuyên gia độc lập do giáo viên lựa chọn trong số học sinh). Bài học có kèm theo phần trình bày. Phụ lục 1.

Bảng điểm số

n\n	Họ và tên	Bài tập về nhà	Hoạt động nhận thức	Giải phương trình	Độc lập Công việc	Cấp

II. Cập nhật kiến ​​thức cơ bản..

Chúng ta tiếp tục nghiên cứu chủ đề “Phương trình lượng giác”. Hôm nay trong bài học chúng tôi sẽ giới thiệu với các bạn một loại phương trình lượng giác khác và phương pháp giải chúng, do đó chúng tôi sẽ lặp lại những gì chúng tôi đã học. Khi giải tất cả các loại phương trình lượng giác, chúng được rút gọn thành việc giải các phương trình lượng giác đơn giản nhất. Chúng ta hãy nhớ lại các loại chính của phương trình lượng giác đơn giản nhất. Sử dụng mũi tên để phù hợp với các biểu thức.

III. Động lực học tập.

Chúng ta có việc phải làm để giải câu đố ô chữ. Sau khi giải xong, chúng ta sẽ tìm ra tên của một loại phương trình mới mà chúng ta sẽ học cách giải hôm nay trên lớp.

Các câu hỏi được chiếu lên bảng. Học sinh đoán và một chuyên gia độc lập ghi điểm của những học sinh trả lời vào phiếu điểm.

Sau khi giải được ô chữ, trẻ sẽ đọc được chữ “đồng nhất”.

Ô chữ.

Nếu nhập đúng từ, bạn sẽ nhận được tên của một trong các loại phương trình lượng giác.

1. Giá trị của biến làm cho phương trình đúng? (Nguồn gốc)

2.Đơn vị của góc? (Radian)

3. Yếu tố số học trong sản phẩm? (Hệ số)

4. Ngành toán học nghiên cứu hàm số lượng giác? (Lượng giác)

5. Cái nào mô hình toán học cần thiết để chèn hàm lượng giác? (Vòng tròn)

6. Hàm lượng giác nào là hàm số chẵn? (Cô sin)

7. Bình đẳng thực sự được gọi là gì? (Danh tính)

8.Bình đẳng với một biến? (Phương trình)

9. Các phương trình có cùng nghiệm? (tương đương)

10. Một phương trình có bao nhiêu nghiệm? (Giải pháp)

IV. Giải thích về vật liệu mới.

Chủ đề của bài học là “Các phương trình lượng giác đồng nhất”. (Bài thuyết trình)

Ví dụ:

1. sin x + cos x = 0
2. √3cos x + sin x = 0
3. tội lỗi 4x = cos 4x
4. 2sin 2 x + 3 sin x cos x + cos 2 x = 0
5. 4 tội lỗi 2 x – 5 sin x cos x – 6 cos 2 x = 0
6. sin 2 x + 2 sin x cos x – 3cos 2 x + 2 = 0
7. 4sin 2 x – 8 sin x cos x + 10 cos 2 x = 3
8. 1 + 7cos 2 x = 3 sin 2x
9. tội lỗi 2x + 2cos 2x = 1

V. Làm việc độc lập

Mục tiêu: Kiểm tra toàn diện kiến ​​thức của học sinh khi giải các loại phương trình lượng giác, kích thích học sinh tự phân tích và tự chủ.
Học sinh được yêu cầu hoàn thành bài viết trong 10 phút.
Học sinh làm việc trên những tờ giấy trắng để sao chép. Khi thời gian trôi qua, ngọn được thu thập làm việc độc lập, và để lại lời giải cho học sinh chép lại.
Việc kiểm tra công việc độc lập (3 phút) được thực hiện bằng hình thức kiểm tra lẫn nhau.
. Học sinh dùng bút màu để kiểm tra bài viết của người hàng xóm và ghi tên người kiểm tra. Sau đó họ bàn giao giấy tờ.

Sau đó, họ bàn giao nó cho một chuyên gia độc lập.

Phương án 1: 1) sin x = √3cos x

2) 3sin 2 x – 7sin x cos x + 2 cos 2 x = 0

3) 3sin x – 2sin x cos x = 1

4) sin 2x⁄sin x =0

Phương án 2: 1) cosx + √3sin x = 0

2)2sin 2 x + 3sin x cos x – 2 cos 2 x = 0

3)1 + sin 2 x = 2 sin x cos x

4) cos 2x ⁄ cos x = 0

VI. Tóm tắt bài học

VII. Bài tập về nhà:

Bài tập về nhà – 12 điểm (3 phương trình 4 x 3 = 12 đã được giao cho bài tập về nhà)

Hoạt động của học sinh – 1 câu trả lời – 1 điểm (tối đa 4 điểm)

Giải phương trình 1 điểm

Làm việc độc lập – 4 điểm

Phương trình phi tuyến với hai ẩn số

Định nghĩa 1. Hãy để A là một số tập hợp các cặp số (x; y) . Họ nói rằng tập A đã cho hàm số z từ hai biến x và y , nếu một quy tắc được chỉ định với sự trợ giúp trong đó mỗi cặp số từ tập hợp A được liên kết với một số nhất định.

Việc xác định hàm số z của hai biến x và y thường chứng tỏ Vì thế:

Ở đâu f (x , y) – bất kỳ chức năng nào khác ngoài chức năng

f (x , y) = rìu+by+c ,

trong đó a, b, c là các số.

Định nghĩa 3. Giải phương trình (2) gọi một cặp số ( x; y) , với công thức (2) là đẳng thức thực sự.

Ví dụ 1. Giải phương trình

Vì bình phương của bất kỳ số nào đều không âm nên theo công thức (4) các ẩn số x và y thỏa mãn hệ phương trình

nghiệm của nó là một cặp số (6; 3).

Trả lời: (6; 3)

Ví dụ 2. Giải phương trình

Do đó, nghiệm của phương trình (6) là vô số cặp số loại

(1 + y ; y) ,

trong đó y là số bất kỳ.

tuyến tính

Định nghĩa 4. Giải hệ phương trình

gọi một cặp số ( x; y) , khi thay chúng vào từng phương trình của hệ này sẽ thu được đẳng thức đúng.

Hệ hai phương trình, trong đó một phương trình là tuyến tính, có dạng

g(x , y)

Ví dụ 4. Giải hệ phương trình

Giải pháp . Chúng ta hãy biểu thị ẩn số y từ phương trình thứ nhất của hệ (7) thông qua ẩn số x và thay biểu thức thu được vào phương trình thứ hai của hệ:

Giải phương trình

x 1 = - 1 , x 2 = 9 .

Kể từ đây,

y 1 = 8 - x 1 = 9 ,
y 2 = 8 - x 2 = - 1 .

Hệ hai phương trình, trong đó một phương trình thuần nhất

Hệ hai phương trình, một phương trình thuần nhất, có dạng

trong đó a, b, c là các số và g(x , y) – hàm hai biến x và y.

Ví dụ 6. Giải hệ phương trình

Giải pháp . Hãy giải phương trình thuần nhất

3x 2 + 2xy - y 2 = 0 ,

3x 2 + 17xy + 10y 2 = 0 ,

coi nó như một phương trình bậc hai đối với x chưa biết:

.

Trong trường hợp x = - 5y, từ phương trình thứ hai của hệ (11) ta thu được phương trình

5y 2 = - 20 ,

cái mà không có rễ.

Trong trường hợp

từ phương trình thứ hai của hệ (11) ta thu được phương trình

,

nguồn gốc của nó là những con số y 1 = 3 , y 2 = - 3 . Tìm với mỗi giá trị y giá trị x tương ứng, ta thu được hai nghiệm của hệ: (- 2 ; 3) , (2 ; - 3) .

Đáp án: (- 2 ; 3), (2 ; - 3)

Ví dụ về giải các hệ phương trình khác

Ví dụ 8. Giải hệ phương trình (MIPT)

Giải pháp . Chúng ta hãy giới thiệu các ẩn số mới u và v, được biểu thị qua x và y theo công thức:

Để viết lại hệ (12) theo ẩn số mới, trước tiên chúng ta biểu diễn ẩn số x và y theo u và v. Từ hệ (13) suy ra

Chúng ta hãy giải hệ tuyến tính (14) bằng cách loại bỏ biến x khỏi phương trình thứ hai của hệ này. Với mục đích này, chúng tôi thực hiện các phép biến đổi sau trên hệ thống (14):

• Chúng ta sẽ giữ nguyên phương trình đầu tiên của hệ;
• từ phương trình thứ hai, chúng ta trừ phương trình thứ nhất và thay thế phương trình thứ hai của hệ bằng hiệu thu được.

Kết quả là hệ (14) được chuyển thành hệ tương đương

từ đó chúng tôi tìm thấy

Sử dụng công thức (13) và (15), ta viết lại hệ ban đầu (12) dưới dạng

Phương trình đầu tiên của hệ (16) là tuyến tính, vì vậy chúng ta có thể biểu thị từ đó u chưa biết đến v chưa biết và thay biểu thức này vào phương trình thứ hai của hệ.

Với video bài học này, học sinh sẽ được học chủ đề phương trình lượng giác thuần nhất.

Hãy đưa ra định nghĩa:

1) phương trình lượng giác đồng nhất bậc một có dạng sin x + b cos x = 0;

2) phương trình lượng giác thuần nhất bậc hai có dạng sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0.

Xét phương trình a sin x + b cos x = 0. Nếu a bằng 0 thì phương trình sẽ có dạng b cos x = 0; nếu b bằng 0 thì phương trình sẽ có dạng sin x = 0. Đây là những phương trình mà chúng ta gọi là đơn giản nhất và đã được giải trước đó trong các chủ đề trước.

Bây giờ hãy xem xét tùy chọn khi a và b không bằng 0. Bằng cách chia các phần của phương trình cho cosin x, chúng ta thực hiện phép biến đổi. Ta được a tg x + b = 0, khi đó tg x sẽ bằng - b/a.

Từ kết quả trên, phương trình a sin mx + b cos mx = 0 là phương trình lượng giác đồng nhất bậc một. Để giải một phương trình, hãy chia các phần của nó cho cos mx.

Hãy xem ví dụ 1. Giải 7 sin (x/2) - 5 cos (x/2) = 0. Đầu tiên, chia các phần của phương trình cho cosin (x/2). Biết sin chia cho cosin là tiếp tuyến, ta được 7 tan (x/2) - 5 = 0. Biến đổi biểu thức, ta thấy giá trị của tan (x/2) bằng 5/7. Nghiệm của phương trình này có dạng x = arctan a + πn, trong trường hợp của chúng ta là x = 2 arctan (5/7) + 2πn.

Xét phương trình a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0:

1) với a bằng 0, phương trình sẽ có dạng b sin x cos x + c cos 2 x = 0. Biến đổi, ta thu được biểu thức cos x (b sin x + c cos x) = 0 và tiến hành giải hai phương trình. Sau khi chia các phần của phương trình cho cosin x, chúng ta được b tg x + c = 0, có nghĩa là tg x = - c/b. Biết rằng x = arctan a + πn thì nghiệm trong trong trường hợp này sẽ là x = arctan (- c/b) + πn.

2) nếu a không bằng 0, thì bằng cách chia các phần của phương trình cho bình phương cosin, chúng ta thu được một phương trình chứa một tiếp tuyến, phương trình này sẽ là phương trình bậc hai. Phương trình này có thể được giải bằng cách đưa vào một biến mới.

3) khi c bằng 0, phương trình sẽ có dạng a sin 2 x + b sin x cos x = 0. Phương trình này có thể giải bằng cách lấy sin x ra khỏi ngoặc.

1. xem phương trình có chứa sin 2 x hay không;

2. Nếu phương trình chứa số hạng a sin 2 x thì phương trình có thể được giải bằng cách chia cả hai vế cho bình phương cosin rồi đưa vào một biến mới.

3. Nếu phương trình không chứa sin 2 x thì phương trình có thể được giải bằng cách lấy cosx ra khỏi ngoặc.

Hãy xem xét ví dụ 2. Hãy lấy cosin ra khỏi ngoặc và nhận được hai phương trình. Căn nguyên của phương trình đầu tiên là x = π/2 + πn. Để giải phương trình thứ hai, chúng ta chia các phần của phương trình này cho cosin x và bằng phép biến đổi, chúng ta thu được x = π/3 + πn. Trả lời: x = π/2 + πn và x = π/3 + πn.

Hãy giải ví dụ 3, một phương trình có dạng 3 sin 2 2x - 2 sin 2x cos 2x + 3 cos 2 2x = 2 và tìm các nghiệm của nó, thuộc đoạn từ - π đến π. Bởi vì Phương trình này không đồng nhất, cần phải đưa nó về dạng đồng nhất. Sử dụng công thức sin 2 x + cos 2 x = 1, ta được phương trình sin 2 2x - 2 sin 2x cos 2x + cos 2 2x = 0. Chia tất cả các phần của phương trình cho cos 2 x, ta được tg 2 2x + 2tg 2x + 1 = 0 . Sử dụng đầu vào của một biến mới z = tan 2x, chúng ta giải phương trình có nghiệm là z = 1. Khi đó tan 2x = 1, suy ra rằng x = π/8 + (πn)/2 . Bởi vì tùy theo điều kiện của bài toán, cần tìm nghiệm thuộc đoạn từ - π đến π thì nghiệm sẽ có dạng - π< x <π. Подставляя найденное значение x в данное выражение и преобразовывая его, получим - 2,25 < n < 1,75. Т.к. n - это целые числа, то решению уравнения удовлетворяют значения n: - 2; - 1; 0; 1. При этих значениях n получим корни решения исходного уравнения: x = (- 7π)/8, x = (- 3π)/8, x =π/8, x = 5π/8.

GIẢI MÃ VĂN BẢN:

Phương trình lượng giác đồng nhất

Hôm nay chúng ta sẽ xem xét cách giải “các phương trình lượng giác đồng nhất”. Đây là những phương trình thuộc loại đặc biệt.

Chúng ta hãy làm quen với định nghĩa.

Phương trình của dạng và tội lỗi x+bvìx = 0 (và sin x cộng cosin x bằng 0) được gọi là phương trình lượng giác đồng nhất bậc một;

phương trình dạng và tội lỗi 2 x+btội lỗi xvìx+svì 2 x= 0 (và sin bình phương x cộng với sin x cos x cộng se cos bình phương x bằng 0) được gọi là phương trình lượng giác đồng nhất bậc hai.

Nếu như a=0, thì phương trình có dạng bvìx = 0.

Nếu như b = 0 , sau đó chúng tôi nhận được và tội x= 0.

Các phương trình này là lượng giác cơ bản và chúng ta đã thảo luận về cách giải chúng trong các chủ đề trước đây

Hãy xem xét trường hợp cả hai hệ số đều không bằng 0. Hãy chia cả hai vế của phương trình MỘTtộix+ bvìx = 0 từng thành viên vìx.

Chúng ta có thể làm điều này vì cosin của x khác 0. Rốt cuộc, nếu vìx = 0 , thì phương trình MỘTtộix+ bvìx = 0 sẽ có dạng MỘTtộix = 0 , MỘT≠ 0, do đó tộix = 0 . Điều này là không thể, bởi vì theo đẳng thức lượng giác cơ bản tội lỗi 2 x+vì 2 x=1 .

Chia cả hai vế của phương trình MỘTtộix+ bvìx = 0 từng thành viên vìx, ta được: + = 0

Hãy thực hiện các phép biến đổi:

1. Vì = tg x thì =và tg x

2 Giảm bằng vìx, Sau đó

Do đó chúng ta có được biểu thức sau và tg x + b = 0.

Hãy thực hiện phép biến đổi:

1.di chuyển b sang vế phải của biểu thức có dấu ngược lại

và tg x =- b

2. Hãy bỏ số nhân đi và chia cả hai vế của phương trình cho a

tan x= -.

Kết luận: Phương trình dạng một tội lỗitôix+bvìmx = 0 (và sin em x cộng với cosin em x bằng 0) còn được gọi là phương trình lượng giác đồng nhất bậc một. Để giải nó, chia cả hai vế cho vìmx.

VÍ DỤ 1. Giải phương trình 7 sin - 5 cos = 0 (bảy sin x trên hai trừ năm cosin x trên hai bằng 0)

Giải pháp. Chia cả hai vế của phương trình cho cos, ta được

1. = 7 tan (vì tỉ số của sin và cos là tiếp tuyến nên 7 sin x cho 2 chia cho cos x cho 2 bằng 7 tan x cho 2)

2. -5 = -5 (viết tắt cos)

Bằng cách này chúng ta đã có được phương trình

7tg - 5 = 0, Hãy biến đổi biểu thức, chuyển trừ 5 sang vế phải, đổi dấu.

Chúng ta đã rút gọn phương trình về dạng tg t = a, trong đó t=, a =. Và vì phương trình này có nghiệm cho mọi giá trị MỘT và những giải pháp này có dạng

x = arctan a + πn, thì nghiệm của phương trình của chúng ta sẽ có dạng:

Arctg + πn, tìm x

x=2 arctan + 2πn.

Đáp án: x=2 arctan + 2πn.

Chúng ta chuyển sang phương trình lượng giác thuần nhất bậc hai

MỘTsin 2 x+b sin x cos x +Vớicos 2 x= 0.

Hãy xem xét một số trường hợp.

Tôi. Nếu a=0, thì phương trình có dạng btộixvìx+svì 2 x= 0.

Khi giải e Sau đó ta sử dụng phương pháp nhân tử hóa của phương trình. Chúng tôi sẽ lấy nó ra vìx ngoài khung và chúng tôi nhận được: vìx(btộix+svìx)= 0 . Ở đâu vìx= 0 hoặc

b tội lỗi x +Vớicos x= 0. Và chúng ta đã biết cách giải các phương trình này.

Hãy chia cả hai vế của số hạng phương trình cho cosх, ta được

1 (vì tỷ số giữa sin và cos là một tiếp tuyến).

Như vậy ta thu được phương trình: b tg x+c=0

Chúng ta đã rút gọn phương trình về dạng tg t = a, trong đó t= x, a =. Và vì phương trình này có nghiệm cho mọi giá trị MỘT và những giải pháp này có dạng

x = arctan a + πn, thì nghiệm của phương trình của chúng ta sẽ là:

x = arctan + πn, .

II. Nếu như a≠0, sau đó chúng ta chia cả hai vế của phương trình theo số hạng thành vì 2 x.

(Lý luận theo cách tương tự, như trong trường hợp phương trình lượng giác đồng nhất bậc một, cosin x không thể tiến tới 0).

III. Nếu như c=0, thì phương trình có dạng MỘTtội 2 x+ btộixvìx= 0. Phương trình này có thể được giải bằng phương pháp nhân tử hóa (ta lấy ra tộix ngoài khung).

Điều này có nghĩa là khi giải phương trình MỘTtội 2 x+ btộixvìx+svì 2 x= 0 bạn có thể làm theo thuật toán:

VÍ DỤ 2. Giải phương trình sinxcosx - cos 2 x= 0 (sin x nhân cos x trừ căn của ba nhân cosin bình x bằng 0).

Giải pháp. Hãy phân tích nó thành nhân tử (đặt cosx ra khỏi ngoặc). Chúng tôi nhận được

cos x(sin x - cos x)= 0, tức là cos x=0 hoặc sin x - cos x= 0.

Đáp án: x =+πn, x= + πn.

VÍ DỤ 3. Giải phương trình 3sin 2 2x - 2 sin2xcos2 x +3cos 2 2x= 2 (ba sin bình hai x trừ hai lần tích của sin hai x nhân cosin hai x cộng ba cosin bình hai x) và tìm nghiệm của nó thuộc về khoảng (- π;

Giải pháp. Phương trình này không đồng nhất, vì vậy hãy thực hiện một số phép biến đổi. Chúng ta thay số 2 ở vế phải của phương trình bằng tích 2 1

Vì theo đẳng thức lượng giác chính sin 2 x + cos 2 x =1, nên

2 ∙ 1= 2 ∙ (sin 2 x + cos 2 x) = mở ngoặc ta được: 2 sin 2 x + 2 cos 2 x.

2 ∙ 1= 2 ∙ (sin 2 x + cos 2 x) =2 sin 2 x + 2 cos 2 x

Điều này có nghĩa là phương trình 3sin 2 2x - 2 sin2xcos2 x +3cos 2 2x= 2 sẽ có dạng:

3sin 2 2x - 2 sin 2x cos2 x +3cos 2 2x = 2 sin 2 x + 2 cos 2 x.

3sin 2 2x - 2 sin 2x cos2 x +3cos 2 2x - 2 sin 2 x - 2 cos 2 x=0,

sin 2 2x - 2 sin 2x cos2 x +cos 2 2x =0.

Chúng ta thu được một phương trình lượng giác đồng nhất bậc hai. Hãy áp dụng phương pháp chia từng số hạng cho cos 2 2x:

tg 2 2x - 2tg 2x + 1 = 0.

Hãy giới thiệu một biến mới z= tan2x.

Chúng ta có z 2 - 2 z + 1 = 0. Đây là phương trình bậc hai. Chú ý công thức nhân viết tắt ở vế trái - bình phương của hiệu (), ta thu được (z - 1) 2 = 0, tức là. z = 1. Hãy quay lại phép thay thế ngược:

Chúng ta đã rút gọn phương trình về dạng tg t = a, trong đó t= 2x, a =1. Và vì phương trình này có nghiệm cho mọi giá trị MỘT và những giải pháp này có dạng

x = arctan x a + πn, thì nghiệm của phương trình của chúng ta sẽ là:

2х= arctan1 + πn,

x = + , (x bằng tổng của pi nhân tám và pi en nhân hai).

Tất cả những gì chúng ta phải làm là tìm các giá trị của x chứa trong khoảng

(- π; π), tức là thỏa mãn bất đẳng thức kép - π x π. Bởi vì

x= +, thì - π + π. Chia tất cả các phần của bất đẳng thức này cho π và nhân với 8, ta được

di chuyển một sang phải và sang trái, đổi dấu thành trừ một

chia cho 4 ta được

Để thuận tiện, chúng tôi tách toàn bộ các phần thành phân số

-

Bất đẳng thức này được thỏa mãn bởi số nguyên n sau: -2, -1, 0, 1

Chi tiết cuối cùng về cách giải bài C1 Kỳ thi Thống nhất môn Toán - giải các phương trình lượng giác đồng nhất. Chúng tôi sẽ cho bạn biết cách giải quyết chúng trong bài học cuối cùng này.

Những phương trình này là gì? Hãy viết chúng ra dưới dạng tổng quát.

$$a\sin x + b\cos x = 0,$$

trong đó `a` và `b` là một số hằng số. Phương trình này được gọi là phương trình lượng giác đồng nhất bậc một.

Phương trình lượng giác đồng nhất bậc một

Để giải phương trình như vậy, bạn cần chia nó cho `\cos x`. Sau đó nó sẽ có dạng

$$\newcommand(\tg)(\mathop(\mathrm(tg))) a \tg x + b = 0.$$

Câu trả lời cho phương trình như vậy có thể dễ dàng viết bằng cách sử dụng arctang.

Lưu ý rằng `\cos x ≠0`. Để xác minh điều này, chúng ta thay số 0 vào phương trình thay vì cosin và chúng ta thấy rằng sin cũng phải bằng 0. Tuy nhiên, chúng không thể bằng 0 cùng một lúc, điều đó có nghĩa là cosin không bằng 0.

Một số câu hỏi trong kỳ thi thực tế năm nay liên quan đến phương trình lượng giác đồng nhất. Theo liên kết đến. Chúng ta sẽ xem xét một phiên bản đơn giản hơn một chút của vấn đề.

Ví dụ đầu tiên. Giải phương trình lượng giác thuần nhất bậc một

$$\sin x + \cos x = 0.$$

Chia cho `\cos x`.

$$\tg x + 1 = 0,$$

$$x = -\frac(\pi)(4)+\pi k.$$

Tôi nhắc lại, một nhiệm vụ tương tự là trong Kỳ thi Thống nhất :) tất nhiên, bạn vẫn cần chọn gốc, nhưng điều này cũng không gây ra bất kỳ khó khăn đặc biệt nào.

Bây giờ chúng ta hãy chuyển sang loại phương trình tiếp theo.

Phương trình lượng giác đồng nhất bậc hai

Nói chung nó trông như thế này:

$$a\sin^2 x + b\sin x \cos x + c\cos^2 x =0,$$

trong đó `a, b, c` là một số hằng số.

Các phương trình như vậy được giải bằng cách chia cho `\cos^2 x` (một lần nữa lại không bằng 0). Hãy xem ngay một ví dụ.

Ví dụ thứ hai. Giải phương trình lượng giác thuần nhất bậc hai

$$\sin^2 x - 2\sin x \, \cos x - 3\cos^2 x = 0.$$

Chia cho `\cos^2 x`.

$$(\tg)^2 x - 2\tg x -3 =0.$$

Hãy thay thế `t = \tg x`.

$$t^2 - 2t -3 = 0,$$

$$t_1 = 3,\t_2 = -1.$$

Thay thế ngược

$$\tg x = 3, \text( hoặc ) \tg x = -1,$$

$$x = \arctan(3)+\pi k, \text( hoặc ) x= -\frac(\pi)(4)+ \pi k.$$

Câu trả lời đã được nhận.

Ví dụ thứ ba. Giải phương trình lượng giác thuần nhất bậc hai

$$-\sin^2 x + \frac(2\sqrt(2))(3)\sin x \cos x - 3\cos^2 x = -2.$$

Mọi thứ sẽ ổn, nhưng phương trình này không đồng nhất - `-2` ở vế phải gây trở ngại cho chúng ta. Phải làm gì? Hãy sử dụng đồng nhất thức lượng giác cơ bản và viết `-2` bằng cách sử dụng nó.

$$-\sin^2 x + \frac(2\sqrt(2))(3)\sin x \cos x - 3\cos^2 x = -2(\sin^2 x + \cos^2 x ),$$

$$-\sin^2 x + \frac(2\sqrt(2))(3)\sin x \cos x - 3\cos^2 x + 2\sin^2 x + 2\cos^2 x = 0,$$

$$\sin^2 x + \frac(2\sqrt(2))(3)\sin x \cos x - \cos^2 x = 0.$$

Chia cho `\cos^2 x`.

$$(\tg)^2 x + \frac(2\sqrt(2))(3) \tg x - 1 = 0,$$

Thay thế `t= \tg x`.

$$t^2 + \frac(2\sqrt(2))(3) t - 1 = 0,$$

$$t_1 = \frac(\sqrt(3))(3),\ t_2 = -\sqrt(3).$$

Sau khi thực hiện thay thế ngược lại, chúng tôi nhận được:

$$\tg x = \frac(\sqrt(3))(3) \text( hoặc ) \tg x = -\sqrt(3).$$

$$x =-\frac(\pi)(3) + \pi k,\ x = \frac(\pi)(6)+ \pi k.$$

Đây là ví dụ cuối cùng trong hướng dẫn này.

Như thường lệ, hãy để tôi nhắc bạn: đào tạo là tất cả đối với chúng tôi. Một người dù xuất sắc đến đâu thì kỹ năng cũng không thể phát triển nếu không được đào tạo. Trong kỳ thi, điều này đầy lo lắng, sai sót và mất thời gian (bạn hãy tiếp tục danh sách này). Hãy yên tâm học tập nhé!

Nhiệm vụ đào tạo

Giải các phương trình:

• `10^(\sin x) = 2^(\sin x) \cdot 5^(-\cos x)`. Đây là nhiệm vụ của Kỳ thi THPT quốc gia thực tế năm 2013. Không ai hủy bỏ kiến ​​thức về tính chất của bằng cấp, nhưng nếu quên thì hãy xem;
• `\sqrt(3) \sin x + \sin^2 \frac(x)(2) = \cos^2 \frac(x)(2)`. Công thức từ bài bảy sẽ có ích.
• `\sqrt(3) \sin 2x + 3 \cos 2x = 0`.

Đó là tất cả. Và như thường lệ, cuối cùng: đặt câu hỏi trong phần bình luận, thích, xem video, tìm hiểu cách giải Kỳ thi Thống nhất.

“Sự vĩ đại của con người nằm ở khả năng suy nghĩ của anh ta.”
Blaise Pascal.

Mục tiêu bài học:

1) giáo dục– giới thiệu cho học sinh các phương trình thuần nhất, xem xét cách giải và phát triển kỹ năng giải các dạng phương trình lượng giác đã học trước đó.

2) Phát triển– phát triển hoạt động sáng tạo của học sinh, hoạt động nhận thức, tư duy logic, trí nhớ, khả năng làm việc trong tình huống có vấn đề, đạt được khả năng diễn đạt suy nghĩ một cách chính xác, nhất quán, hợp lý, mở rộng tầm nhìn của học sinh và nâng cao khả năng tư duy của học sinh. mức độ văn hóa toán học của họ.

3) giáo dục– nuôi dưỡng khát vọng hoàn thiện bản thân, chăm chỉ, phát triển khả năng thực hiện thành thạo và chính xác các ghi chú toán học, trau dồi hoạt động, giúp kích thích niềm đam mê toán học.

Loại bài học: kết hợp.

Thiết bị:

1. Thẻ đục lỗ cho sáu học sinh.
2. Thẻ cho công việc độc lập và cá nhân của sinh viên.
3. Viết tắt “Giải phương trình lượng giác”, “Vòng tròn số đơn vị”.
4. Bảng lượng giác điện hóa.
5. Trình bày cho bài học (Phụ lục 1).

Trong các lớp học

1. Giai đoạn tổ chức (2 phút)

Lời chào lẫn nhau; kiểm tra sự chuẩn bị của học sinh cho bài học (nơi làm việc, ngoại hình); tổ chức sự chú ý.

- Giáo viên cho học sinh biết nội dung bài học, mục tiêu (trang 2) và giải thích rằng trong suốt bài học, các tài liệu phát trên bàn sẽ được sử dụng.

2. Nhắc lại nội dung lý thuyết (15 phút)

Nhiệm vụ thẻ đục lỗ(6 nguoi) . Thời gian làm việc sử dụng thẻ đục lỗ – 10 phút (Phụ lục 2)

Bằng cách giải các bài toán, học sinh sẽ biết cách sử dụng các phép tính lượng giác. Các câu trả lời sau đây thu được: phép đo tam giác (một kỹ thuật cho phép người ta đo khoảng cách đến các ngôi sao ở gần trong thiên văn học), âm học, siêu âm, chụp cắt lớp, trắc địa, mật mã.

(trang 5)

Khảo sát trực diện.

1. Những phương trình nào được gọi là lượng giác?
2. Những loại phương trình lượng giác nào bạn biết?
3. Những phương trình nào được gọi là phương trình lượng giác đơn giản nhất?
4. Những phương trình nào được gọi là lượng giác bậc hai?
5. Xây dựng định nghĩa arcsine của a.
6. Xây dựng định nghĩa cung cosin của a.
7. Xây dựng định nghĩa arctang của a.
8. Xây dựng định nghĩa cotang cung của số a.

Trò chơi "Đoán từ mã hóa"

Blaise Pascal từng nói rằng toán học là một môn khoa học nghiêm túc đến mức người ta không nên bỏ lỡ cơ hội để khiến nó trở nên thú vị hơn một chút. Đó là lý do tại sao tôi khuyên bạn nên chơi. Sau khi giải các ví dụ, hãy xác định dãy số dùng để soạn từ được mã hóa. Trong tiếng Latin từ này có nghĩa là "sine". (trang 3)

2) cung tg (-√3)

4) tg (cung cos (1/2))

5) tg (cung ctg √3)

Đáp án: “Uốn cong”

Trò chơi “Nhà toán học trừu tượng”»

Các nhiệm vụ miệng được chiếu lên màn hình:

Kiểm tra xem các phương trình đã được giải đúng chưa.(câu trả lời đúng xuất hiện trên slide sau câu trả lời của học sinh). (trang 4)

	Câu trả lời có lỗi	Câu trả lời đúng
	x = ± π/6+2πn	x = ± π/3+2πn
	x = π/3+πn	X = (-1) nπ/3+πn
tg x = π/4	x = 1 +πn	tg x =1, x = π/4+πn
	x = ±π/6+ π N	x = ± π/6+2πN
	x = (-1)n arcsin1/3+ 2πn	x = (-1)n arcsin1/3+ πn
	x = ± π/6+2πn	x = ± 5π/6+2πn
cos x = π/3	x = ± 1/2 +2πn	cos x = 1/2, x = ± π/3+2πn

Kiểm tra bài tập về nhà.

Giáo viên thiết lập tính đúng đắn và nhận thức về việc hoàn thành bài tập về nhà của tất cả học sinh; xác định lỗ hổng kiến ​​thức; nâng cao kiến ​​thức, kỹ năng, năng lực cho học sinh trong lĩnh vực giải các phương trình lượng giác đơn giản.

1 phương trình. Học sinh nhận xét về cách giải phương trình, các dòng xuất hiện trên slide theo thứ tự nhận xét). (trang 6)

√3tg2x = 1;

tg2x =1/√3;

2х= arctan 1/√3 +πn, n ∈Z.

2х= π/6 +πn, n ∈Z.

x= π/12 + π/2 N, N ∈Z.

2 phương trình. Giải pháp h viết cho học sinh trên bảng.

2 sin 2 x + 3 cosx = 0.

3. Cập nhật kiến ​​thức mới (3 phút)

Học sinh theo yêu cầu của giáo viên nhớ lại cách giải phương trình lượng giác. Các em chọn những phương trình đã biết cách giải, nêu cách giải và kết quả thu được. . Các câu trả lời xuất hiện trên slide. (trang 7) .

Giới thiệu một biến mới:

Số 1. 2sin 2 x – 7sinx + 3 = 0.

Cho sinx = t thì:

2t 2 – 7t + 3 = 0.

Nhân tố hóa:

№2. 3sinx cos4x – cos4x = 0;

сos4x(3sinx – 1) = 0;

cos4x = 0 hoặc 3 sinx – 1 = 0; ...

Số 3. 2 sinx – 3 cosx = 0,

Số 4. 3 sin 2 x – 4 sinx cosx + cos 2 x = 0.

Giáo viên: Bạn vẫn chưa biết cách giải hai loại phương trình cuối. Cả hai đều là cùng một loài. Chúng không thể rút gọn thành phương trình của hàm sinx hoặc cosx. Được gọi là phương trình lượng giác đồng nhất. Nhưng chỉ có phương trình thứ nhất là phương trình thuần nhất bậc một, còn phương trình thứ hai là phương trình thuần nhất bậc hai. Hôm nay trong bài học chúng ta sẽ làm quen với những phương trình như vậy và học cách giải chúng.

4. Giải thích tài liệu mới (25 phút)

Giáo viên cho học sinh định nghĩa các phương trình lượng giác thuần nhất và giới thiệu cách giải.

Sự định nghĩa. Phương trình có dạng a sinx + b cosx =0, trong đó a ≠ 0, b ≠ 0 được gọi là phương trình lượng giác đồng nhất bậc một.(trang 8)

Một ví dụ về phương trình như vậy là phương trình số 3. Hãy viết dạng tổng quát của phương trình và phân tích nó.

a sinx + b cosx = 0.

Nếu cosx = 0 thì sinx = 0.

- Có thể xảy ra tình huống như vậy không?

- KHÔNG. Chúng ta đã thu được sự mâu thuẫn với đẳng thức lượng giác cơ bản.

Điều này có nghĩa là cosx ≠ 0. Hãy thực hiện phép chia từng số hạng cho cosx:

a tgx + b = 0

tgx = –b/a- phương trình lượng giác đơn giản nhất.

Phần kết luận: Các phương trình lượng giác đồng nhất bậc một được giải bằng cách chia cả hai vế của phương trình cho cosx (sinx).

Ví dụ: 2 sinx – 3 cosx = 0,

Bởi vì cosx ≠ 0 thì

tgx = 3/2 ;

x = arctan (3/2) +πn, n ∈Z.

Sự định nghĩa. Phương trình có dạng a sin 2 x + b sinx cosx + c cos 2 x = 0, trong đó a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0 được gọi phương trình lượng giác bậc hai. (trang 8)

Một ví dụ về phương trình như vậy là phương trình số 4. Hãy viết dạng tổng quát của phương trình và phân tích nó.

a sin 2 x + b sinx cosx + c cos 2 x = 0.

Nếu cosx = 0 thì sinx = 0.

Một lần nữa chúng ta lại gặp mâu thuẫn với đẳng thức lượng giác cơ bản.

Điều này có nghĩa là cosx ≠ 0. Chúng ta hãy thực hiện phép chia từng số hạng cho cos 2 x:

và tg 2 x + b tgx + c = 0 là một phương trình rút gọn thành phương trình bậc hai.

Kết luận: Ồ các phương trình lượng giác đồng nhất bậc hai được giải bằng cách chia cả hai vế của phương trình cho cos 2 x (sin 2 x).

Ví dụ: 3 sin 2 x – 4 sinx cosx + cos 2 x = 0.

Bởi vì cos 2 x ≠ 0 thì

3tg 2 x – 4 tgx + 1 = 0 (Mời học sinh lên bảng độc lập hoàn thành phương trình).

Thay thế: tgx = y. 3у 2 – 4у + 1 = 0

Đ = 16 – 12 = 4

y 1 = 1 hoặc y 2 = 1/3

tgx = 1 hoặc tgx = 1/3

x = arctan (1/3) + πn, n ∈Z.

x = arctan + πn, n ∈Z.

x = π/4 + πn, n ∈Z.

5. Giai đoạn kiểm tra mức độ hiểu bài của học sinh (1 phút)

Chọn số lẻ:

sinx = 2cosx; 2sinx + cosx = 2;

√3sinx + cosx = 0; sin 2 x – 2 sinx cosx + 4cos 2 x = 0;

4cosx + 5sinx = 0; √3sinx – cosx = 0.

(trang 9)

6. Củng cố tài liệu mới (24 phút).

Học sinh cùng với người trả lời giải các phương trình tìm bài mới trên bảng. Các nhiệm vụ được viết trên một slide dưới dạng bảng. Khi giải phương trình, phần hình ảnh tương ứng trên slide sẽ mở ra. Khi hoàn thành 4 phương trình, học sinh được thấy chân dung của một nhà toán học có ảnh hưởng đáng kể đến sự phát triển của lượng giác. (học sinh sẽ nhận ra chân dung của François Vieta, một nhà toán học vĩ đại có đóng góp to lớn cho lượng giác, đã phát hiện ra tính chất nghiệm của phương trình bậc hai rút gọn và có liên quan đến mật mã học) . (trang 10)

1) √3sinx + cosx = 0,

Bởi vì cosx ≠ 0 thì

√3tgx + 1 = 0;

tgx = –1/√3;

x = arctan (–1/√3) + πn, n ∈Z.

x = –π/6 + πn, n ∈Z.

2) sin 2 x – 10 sinx cosx + 21cos 2 x = 0.

Bởi vì cos 2 x ≠ 0 thì tg 2 x – 10 tgx + 21 = 0

Thay thế: tgx = y.

y 2 – 10 y + 21 = 0

y 1 = 7 hoặc y 2 = 3

tgx = 7 hoặc tgx = 3

x = arctan7 + πn, n ∈Z

x = arctan3 + πn, n ∈Z

3) sin2 2x – 6 sin2x cos2x + 5cos 2 2x = 0.

Bởi vì cos 2 2x ≠ 0 thì 3tg 2 2x – 6tg2x +5 = 0

Thay thế: tg2x = y.

3y 2 – 6y + 5 = 0

D = 36 – 20 = 16

y 1 = 5 hoặc y 2 = 1

tg2x = 5 hoặc tg2x = 1

2х = arctan5 + πn, n ∈Z

x = 1/2 arctan5 + π/2 n, n ∈Z

2х = arctan1 + πn, n ∈Z

x = π/8 + π/2 n, n ∈Z

4) 6sin 2 x + 4 sin(π-x) cos(2π-x) = 1.

6sin 2 x + 4 sinx cosx = 1.

6sin 2 x + 4 sinx cosx – sin 2 x – cos 2 x = 0.

5sin 2 x + 4 sinx cosx – cos 2 x = 0.

Bởi vì cos 2 x ≠0 thì 5tg 2 x + 4 tgx –1 = 0

Thay thế: tg x = y.

5у 2 + 4у – 1 = 0

D = 16 + 20 = 36

y 1 = 1/5 hoặc y 2 = –1

tg x = 1/5 hoặc tg x = –1

x = arctan1/5 + πn, n ∈Z

x = arctan(–1) + πn, n ∈Z

x = –π/4 + πn, n ∈Z

Ngoài ra (trên thẻ):

Giải phương trình và chọn một phương án trong số bốn phương án được đề xuất, đoán tên của nhà toán học đã đưa ra các công thức rút gọn:

2sin 2 x – 3 sinx cosx – 5cos 2 x = 0.

Câu trả lời có thể:

x = arctan2 + 2πn, n ∈Z x = –π/2 + πn, n ∈Z – P. Chebyshev

x = arctan 12,5 + 2πn, n ∈Z x = –3π/4 + πn, n ∈Z – Euclid

x = arctan 5 + πn, n ∈Z x = –π/3 + πn, n ∈Z – Sofya Kovalevskaya

x = arctan2.5 + πn, n ∈Z x = –π/4 + πn, n ∈Z – Leonhard Euler

Câu trả lời đúng: Leonhard Euler.

7. Công việc độc lập khác biệt (8 phút)

Nhà toán học và triết học vĩ đại hơn 2500 năm trước đã đề xuất một cách để phát triển khả năng tư duy. Ông nói: “Suy nghĩ bắt đầu bằng sự ngạc nhiên. Ngày nay chúng ta đã nhiều lần thấy rằng những lời này là đúng. Sau khi hoàn thành công việc độc lập theo 2 phương án, bạn sẽ có thể cho thấy bạn đã nắm vững tài liệu như thế nào và tìm ra tên của nhà toán học này. Đối với công việc độc lập, hãy sử dụng các tài liệu phát tay trên bàn của bạn. Bạn có thể tự mình chọn một trong ba phương trình được đề xuất. Nhưng hãy nhớ rằng khi giải phương trình tương ứng với màu vàng, bạn chỉ có thể nhận được “3”, giải phương trình tương ứng với màu xanh lá cây - “4”, và màu đỏ - “5”. (Phụ lục 3)

Dù học sinh chọn mức độ khó nào, sau khi giải đúng phương trình, phương án đầu tiên sẽ tạo ra từ “ARIST” và phương án thứ hai là “HOTEL”. Từ trên slide là: “ARIST-HOTEL.” (trang 11)

Các bảng tính có công việc độc lập được gửi để xác minh. (Phụ lục 4)

8. Ghi bài tập về nhà (1 phút)

D/z: §7.17. Soạn và giải 2 phương trình thuần nhất bậc nhất và 1 phương trình thuần nhất bậc hai (dùng định lý Vieta để soạn). (trang 12)

9. Tổng kết bài, chấm điểm (2 phút)

Giáo viên một lần nữa thu hút sự chú ý đến những loại phương trình và những nội dung lý thuyết đã được nhắc lại trong bài, nói về sự cần thiết phải học chúng.

Học sinh trả lời các câu hỏi:

1. Chúng ta quen thuộc với loại phương trình lượng giác nào?
2. Các phương trình này được giải như thế nào?

Giáo viên ghi nhận bài làm thành công nhất của từng học sinh trong bài và cho điểm.