Về đàn ông 

Dựng tiếp tuyến trực tiếp của hai đường tròn. Tiếp tuyến với một đường tròn. Bài học đầy đủ - Đại siêu thị tri thức. Loại bằng cấp cao nhất

Bộ Giáo dục và Khoa học Liên bang Nga

Cơ sở giáo dục ngân sách thành phố

thành phố Novosibirsk "Phòng tập thể dục số 4"

Phần: toán học

TÌM KIẾM

về chủ đề này:

TÍNH CHẤT CỦA HAI MẠCH CẢM ỨNG

Học sinh lớp 10:

Khaziakhmetov Radik Ildarovich

Zubarev Evgeny Vladimirovich

Người giám sát:

L.L. Barinova

Giáo viên toán

Loại bằng cấp cao nhất

§ 1. Giới thiệu ……… .. …………………………. …………………………………………………… 3

§ 1.1 Sự sắp xếp tương hỗ của hai đường tròn ……………………………………… ... ……… 3

§ 2 Tính chất và cách chứng minh ……………………………………… .. …………… .....….… 4

§ 2.1 Thuộc tính 1 ……………… ... …………………………………… .. ………………… ...….… 4

§ 2.2 Thuộc tính 2 …………………………………………………………………………… ... …………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………

§ 2.3 Thuộc tính 3 …………………………………………………… .. ………………… ... ………… 6

§ 2.4 Tính chất 4 ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………….

§ 2.5 Thuộc tính 5 ………………………………… .. …………………………………… ... ……… 8

§ 2.6 Thuộc tính 6 …………………………………………………………………………………………… 9

§ 3 Nhiệm vụ ………………………………………………… .. ………………… ... …………… ..… 11

Tài liệu tham khảo …………………………………………………………………. ………… .13

§ một. Giới thiệu

Nhiều bài toán liên quan đến hai đường tròn tiếp tuyến có thể được giải một cách ngắn gọn và đơn giản hơn khi biết một số tính chất sẽ được trình bày ở phần sau.

Sự sắp xếp lẫn nhau của hai vòng tròn

Để bắt đầu, chúng ta sẽ thảo luận về sự sắp xếp lẫn nhau có thể có của hai vòng tròn. Có thể có 4 trường hợp khác nhau.

1. Các vòng kết nối không được giao nhau.

2. Chéo.


3. Chạm vào một điểm bên ngoài.

4. Chạm vào một điểm bên trong.


§ 2. Thuộc tính và bằng chứng của chúng

Hãy để chúng tôi tiến hành trực tiếp đến việc chứng minh các thuộc tính.

§ 2.1 Thuộc tính 1

Các đoạn giữa các giao điểm của các tiếp tuyến với các đường tròn bằng nhau và bằng hai bán kính trung bình hình học của các đường tròn này.

Bằng chứng 1. O 1 A 1 và O 2 V 1 - bán kính vẽ tiếp điểm.

2. O 1 A 1 ┴ A 1 V 1, O2V1 ┴ A 1 V 1 → O 1 A 1 ║ O 2 V 1. (theo đoạn 1)



  1. ▲ O 1 O 2 D - hình chữ nhật, vì O 2 D ┴ O 2 V 1
  2. O 1 O 2 \ u003d R + r, O 2 D \ u003d R - r

  1. Theo định lý Pitago А 1 В 1 = 2√Rr

(O 1 D 2 = (R + r) 2 - (R-r) 2 = R 2 + 2Rr + r2-R 2 + 2Rr-r 2 = √4Rr = 2√Rr)

A 2 B 2 = 2√Rr (được chứng minh tương tự)

1) Vẽ các bán kính tới các giao điểm của các tiếp tuyến với các đường tròn.

2) Các bán kính này sẽ vuông góc với các tiếp tuyến và song song với nhau.

3) Thả vuông góc từ tâm của hình tròn nhỏ hơn đến bán kính của hình tròn lớn hơn.

4) Cạnh huyền của tam giác vuông thu được bằng tổng bán kính của các đường tròn. Chân bằng hiệu số của chúng.

5) Theo định lý Pitago, chúng ta thu được quan hệ mong muốn.

§ 2.2 Thuộc tính 2

Các giao điểm của đoạn thẳng cắt điểm tiếp tuyến của các đường tròn và không nằm trong bất kỳ điểm nào trong số chúng, với các tiếp tuyến chia đôi các đoạn tiếp tuyến ngoài giới hạn bởi các điểm của tiếp tuyến, thành các phần, mỗi phần bằng trung bình hình học của bán kính của các đường tròn này.

Bằng chứng 1.CÔ= MA 1 (như các đoạn của tiếp tuyến)

2.MS = MV 1 (như các đoạn tiếp tuyến)

3.A 1 M \ u003d MV 1 \ u003d √Rr, A 2 N \ u003d NB 2 \ u003d √Rr (theo đoạn 1 và 2 )

Các tuyên bố được sử dụng trong bằng chứng Các đoạn của tiếp tuyến vẽ từ một điểm đến một số đường tròn là bằng nhau. Chúng tôi sử dụng thuộc tính này cho cả hai vòng kết nối nhất định.

§ 2.3 Thuộc tính 3

Độ dài của đoạn tiếp tuyến trong giữa các tiếp tuyến ngoài bằng độ dài của đoạn tiếp tuyến ngoài giữa các điểm tiếp xúc và bằng hai bán kính trung bình hình học của các đường tròn này.

Bằng chứng Kết luận này tiếp theo từ tài sản trước đó.

MN = MC + CN = 2MC = 2A 1 M = A 1 B 1 = 2√Rr

§ 2.4 Thuộc tính 4

Tam giác tạo bởi tâm của các đường tròn tiếp tuyến và trung điểm của đoạn tiếp tuyến giữa các bán kính vẽ các điểm của tiếp tuyến là hình chữ nhật. Tỉ số số chân của nó bằng thương số của số bán kính của các đường tròn này.

Bằng chứng 1.MO 1 là tia phân giác của góc A 1 MC, MO 2 là tia phân giác của góc B 1 MC, vì Tâm đường tròn nội tiếp một góc nằm trên tia phân giác của góc đó.

2. Theo đoạn 1 РО 1 МS + РСМО 2 = 0,5 (РА1МС + РСМВ 1) = 0,5p = p / 2

3.РО 1 MO 2 - thẳng. MS - chiều cao của tam giác O 1 MO 2, vì tiếp tuyến MN vuông góc với bán kính vẽ tiếp điểm → các tam giác О 1 МС và MO 2 С đồng dạng.

4.O 1 M / MO 2 \ u003d O 1 C / MS \ u003d r / √Rr \ u003d √r / R (tương tự)

Các tuyên bố được sử dụng trong bằng chứng 1) Tâm đường tròn nội tiếp một góc nằm trên tia phân giác của góc đó. Chân của tam giác là đường phân giác của các góc.

2) Sử dụng thực tế là các góc tạo thành theo cách này bằng nhau, chúng ta thu được rằng góc chúng ta đang tìm là một góc vuông. Chúng tôi kết luận rằng tam giác này thực sự là một tam giác vuông.

3) Chúng ta chứng minh sự đồng dạng của các tam giác trong đó chiều cao (vì tiếp tuyến vuông góc với bán kính được vẽ tại các điểm tiếp xúc) chia tam giác vuông và bằng cách tương tự, chúng ta thu được tỷ lệ mong muốn.

§ 2.5 Thuộc tính 5

Tam giác tạo bởi tiếp điểm của các đường tròn với nhau và giao điểm của các đường tròn với tiếp tuyến là tam giác vuông. Tỉ số số chân của nó bằng thương số của số bán kính của các đường tròn này.

Bằng chứng

  1. ▲ А 1 МС và ▲ СМВ 1 là cân → РМА 1 С = РМСА 1 = α, РМВ 1 С = РМСВ 1 = β.

  1. 2α + 2β + РА 1 MS + РСМВ 1 = 2p → 2α + 2β = 2p - (РА 1 МS + РСМВ 1) = 2p - p = p, α + β = p / 2

  1. Nhưng RA 1 SV 1 = α + β → RA 1 SV 1 - trực tiếp → РВ 1 CO 2 = РSV 1 О 2 = p / 2 - β = α

  1. ▲ A 1 MS và ▲ CO 2 B 1 tương tự → A 1 C / SV 1 = MS / O 2 B 1 = √Rr / R = √r / R

Các tuyên bố được sử dụng trong bằng chứng 1) Chúng tôi vẽ tổng các góc của hình tam giác, sử dụng thực tế rằng chúng là cân. Các tam giác cân được chứng minh bằng cách sử dụng tính chất về sự bằng nhau của các đoạn tiếp tuyến.

2) Vẽ tổng các góc theo cách này, ta được rằng trong tam giác đang xét có một góc vuông, do đó nó là hình chữ nhật. Phần đầu tiên của tuyên bố được chứng minh.

3) Bằng sự đồng dạng của các tam giác (khi biện minh ta dùng dấu đồng dạng của hai góc) ta tìm được tỉ số các chân của một tam giác vuông.

§ 2.6 Thuộc tính 6

Tứ giác được tạo thành bởi các giao điểm của các đường tròn với tiếp tuyến là một hình thang mà đường tròn nội tiếp được.

Bằng chứng 1. ▲ A 1 RA 2 và ▲ B 1 RV 2 là cân vì A 1 P \ u003d RA 2 và B 1 P \ u003d PB 2 là các đoạn của tiếp tuyến → ▲ A 1 RA 2 và ▲ B 1 PB 2 tương tự.

2.A 1 A 2 ║ B 1 B 2, bởi vì các góc tương ứng tạo thành tại giao điểm của A 1 B 1 tương ứng bằng nhau.

  1. MN - đường trung trực theo tính chất 2 → A 1 A 2 + B 1 B 2 = 2MN = 4√Rr

  1. A 1 B 1 + A 2 B 2 \ u003d 2 √ Rr + 2 √ Rr \ u003d 4 √ Rr \ u003d A 1 A 2 + B 1 B 2 → trong hình thang A 2 A 1 B 1 B 2 tổng của các căn bằng tổng các cạnh và đây là điều kiện cần và đủ để tồn tại một đường tròn nội tiếp.

Các tuyên bố được sử dụng trong bằng chứng 1) Hãy sử dụng lại tính chất của các đoạn tiếp tuyến. Với sự giúp đỡ của nó, chúng tôi sẽ chứng minh các tam giác cân được tạo thành bởi giao điểm của các tiếp tuyến và các điểm tiếp tuyến.

2) Từ đó suy ra tính đồng dạng của các tam giác này và tính song song của các đáy của chúng. Trên cơ sở đó, ta kết luận rằng tứ giác này là hình thang.

3) Theo tính chất (2) đã chứng minh trước đó, ta tìm được đường trung bình của hình thang. Nó bằng hai bán kính trung bình hình học của các đường tròn. Trong hình thang đó, tổng các cạnh bằng tổng các cạnh và đây là điều kiện cần và đủ để tồn tại một đường tròn nội tiếp.

§ 3. Nhiệm vụ

Hãy xem xét bằng cách sử dụng một ví dụ thực tế, cách giải quyết vấn đề có thể được đơn giản hóa bằng cách sử dụng các thuộc tính trên.

Nhiệm vụ 1

Trong tam giác ABC, cạnh AC = 15 cm, một đường tròn nội tiếp tam giác. Đường tròn thứ hai tiếp xúc với thứ nhất và các cạnh AB và BC. Chọn điểm F trên cạnh AB và điểm M được chọn trên cạnh BC sao cho đoạn FM là tiếp tuyến chung của đường tròn. Tìm tỉ số diện tích của tam giác BFM và tứ giác AFMC nếu FM là 4 cm, và điểm M cách tâm một đường tròn gấp đôi so với tâm của đường tròn kia.

Được cho: FM tiếp tuyến chung AC = 15cm FM = 4cm O 2 M = 2O 1 M

Tìm S BFM / S AFMC

Giải pháp:

1) FM = 2√Rr, ​​O 1 M / O 2 M = √r / R

2) 2√Rr = 4, √r / R = 0,5 → r = 1, R = 4; PQ = FM = 4

3) ▲ BO 1 P và ▲ BO 2 Q tương tự → BP / BQ = O 1 P / O 2 Q, BP / (BP + PQ) = r / R, BP / (BP + 4) = 0,25; BP = 4/3

4) FM + BP = 16/3, S FBM = r * P FBM = 1 * (16/3) = 16/3; AC + BQ = 15 + 4/3 + 4 = 61/3

5) S ABC \ u003d R * R ABC \ u003d 4 * (61/3) \ u003d 244/3 → S BFM / S AFMC \ u003d (16/3): (244/3) \ u003d 4/61

Nhiệm vụ 2

Hai đường tròn tiếp tuyến với điểm chung D và tiếp tuyến chung FK đi qua điểm này nội tiếp tam giác cân ABC. Tìm khoảng cách giữa các tâm của các đường tròn này nếu đáy của tam giác AC = 9 cm và đoạn cạnh bên của tam giác nằm giữa các điểm tiếp xúc của các đường tròn là 4 cm.

Được cho: ABC là tam giác cân; FK là tiếp tuyến chung của các đường tròn nội tiếp. AC = 9 cm; NE = 4 cm

Giải pháp:

Cho đường thẳng AB và CD cắt nhau tại điểm O. Khi đó OA = OD, OB = OC nên CD = AB = 2√Rr

Điểm O 1 và O 2 nằm trên tia phân giác của góc AOD. Đường phân giác của tam giác cân AOD là đường cao của nó, do đó AD ┴ O 1 O 2 và BC ┴ O 1 O 2, do đó

AD ║ BC và ABCD là hình thang cân.

Đoạn thẳng MN là đường trung trực nên AD + BC = 2MN = 2AB = AB + CD

Do đó, một đường tròn có thể nội tiếp được trong hình thang này.

Gọi AP là đường cao của hình thang, các tam giác vuông АРВ và О 1 FO 2 đồng dạng, do đó АР / О 1 F = АВ / О 1 О 2.

Từ đây chúng tôi thấy rằng

Thư mục

  • Phụ trương báo “Toán học đầu tháng 9” số 43 năm 2003
  • SỬ DỤNG 2010. Toán học. Nhiệm vụ C4. Gordin R.K.

Cấu tạo hình học

Xây dựng các tiếp tuyến với đường tròn

Xem xét vấn đề cơ bản là giải pháp của các bài toán khác về vẽ tiếp tuyến với đường tròn.

Hãy từ điểmNHƯNG(Hình 1) cần phải vẽ các tiếp tuyến với một đường tròn có tâm tại một điểmXUNG QUANH.

Để dựng chính xác các tiếp tuyến, cần phải xác định các điểm tiếp tuyến của các đường với đường tròn. Đối với điểm nàyNHƯNGnên được kết nối với một dấu chấmXUNG QUANHvà tách đoạnOATrong một nửa. Từ giữa đoạn này - điểmTỪ, làm thế nào để mô tả một hình tròn từ tâm, đường kính của nó phải bằng đoạnOA. điểmĐẾN1 VàĐẾN2 giao điểm của các vòng tròn có tâm tại một điểmTỪvà tập trung tại một điểmXUNG QUANHlà các điểm tiếp xúc của các dòngAK1 VàAK2 vào một vòng tròn nhất định.

Tính đúng đắn của lời giải bài toán được khẳng định bởi thực tế là bán kính của đường tròn được vẽ tại điểm tiếp xúc là vuông góc với tiếp tuyến của đường tròn. các gócVÂNG1 NHƯNGVàVÂNG2 NHƯNGthẳng vì chúng dựa vào đường kínhCông ty cổ phầnvòng tròn có tâm tại một điểmTỪ.

Cơm. một.

Khi dựng các tiếp tuyến của hai đường tròn, các tiếp tuyến được phân biệtNội địaVàbên ngoài. Nếu tâm của các đường tròn đã cho nằm ở một phía của tiếp tuyến thì nó được coi là bên ngoài, và nếu tâm của các đường tròn nằm trên các phía đối diện của tiếp tuyến thì nó được coi là bên trong.

XUNG QUANH1 VàXUNG QUANH2 R1 VàR2 . Yêu cầu vẽ các tiếp tuyến bên ngoài với các đường tròn đã cho.

Để xây dựng chính xác, cần phải xác định các điểm tiếp xúc giữa các đường và các đường tròn đã cho. Nếu bán kính của hình tròn có tâmXUNG QUANH1 VàXUNG QUANH2 bắt đầu giảm dần theo cùng một giá trị, sau đó bạn có thể nhận được một loạt các vòng tròn đồng tâm có đường kính nhỏ hơn. Hơn nữa, trong mỗi trường hợp giảm bán kính, các tiếp tuyến của các đường tròn nhỏ hơn sẽ song song với các tiếp tuyến mong muốn. Sau khi giảm cả hai bán kính bằng kích thước của bán kính nhỏ hơnR2 vòng tròn với tâmXUNG QUANH2 sẽ biến thành một điểm và một hình tròn có tâmXUNG QUANH1 sẽ được biến đổi thành một vòng tròn đồng tâm có bán kínhR3 , bằng hiệu số của bán kínhR1 VàR2 .

Sử dụng phương pháp được mô tả trước đó, từ điểmXUNG QUANH2 vẽ các tiếp tuyến bên ngoài với một đường tròn có bán kínhR3 , kết nối các dấu chấmXUNG QUANH1 VàXUNG QUANH2 , được chia bởi một dấu chấmTỪtiết diệnXUNG QUANH1 XUNG QUANH2 chia đôi và vẽ bán kínhVÌ THẾ1 một cung có giao điểm với một đường tròn đã cho sẽ xác định các điểm tiếp xúc của các đườngXUNG QUANH2 ĐẾN1 VàXUNG QUANH2 ĐẾN2 .

ChấmNHƯNG1 VàNHƯNG2 tiếp điểm của các dòng mong muốn với một vòng tròn lớn hơn nằm trên sự tiếp nối của các dòngXUNG QUANH1 ĐẾN1 VàXUNG QUANH1 ĐẾN2 . điểmTRONG1 VàTRONG2 Tiếp tuyến của các đường với một đường tròn nhỏ hơn vuông góc với mặt đáyXUNG QUANH2 tương ứng với các tiếp tuyến phụXUNG QUANH2 ĐẾN1 VàXUNG QUANH2 ĐẾN2 . Có các điểm tiếp xúc, bạn có thể vẽ các đường mong muốnNHƯNG1 TRONG1 VàNHƯNG2 TRONG2 .

Cơm. 2.

Cho hai đường tròn có tâm tại các điểmXUNG QUANH1 VàXUNG QUANH2 (Hình 2), có bán kính tương ứngR1 VàR2 . Yêu cầu vẽ các tiếp tuyến trong với các đường tròn đã cho.

Để xác định các điểm tiếp xúc giữa đường thẳng và đường tròn, chúng ta sử dụng các lập luận tương tự như lập luận đã đưa ra khi giải bài toán trước. Nếu chúng ta giảm bán kínhR2 bằng 0, sau đó là vòng tròn có tâmXUNG QUANH2 chuyển sang vấn đề. Tuy nhiên, trong trường hợp này, để bảo toàn tính song song của các tiếp tuyến phụ với các tiếp tuyến cần thiết, bán kínhR1 nên được mở rộngR2 và vẽ một hình tròn với bán kínhR3 , bằng tổng các bán kínhR1 VàR2 .

Từ một điểmXUNG QUANH2 vẽ các tiếp tuyến với một đường tròn có bán kínhR3 , mà chúng tôi kết nối các dấu chấmXUNG QUANH1 VàXUNG QUANH2 , được chia bởi một dấu chấmTỪtiết diệnXUNG QUANH1 XUNG QUANH2 một nửa và vẽ một cung của hình tròn có tâm tại một điểmTỪvà bán kínhVÌ THẾ1 . Giao điểm của cung tròn với bán kínhR3 sẽ xác định vị trí của các điểmĐẾN1 VàĐẾN2 tiếp tuyến của các đường phụ trợXUNG QUANH2 ĐẾN1 VàXUNG QUANH2 ĐẾN2 .

ChấmNHƯNG1 VàNHƯNG2 R1 nằm ở giao điểm của đường tròn này với đoạnXUNG QUANH1 ĐẾN1 VàXUNG QUANH1 ĐẾN2 . Để xác định điểmTRONG 1VàTRONG 2tiếp tuyến của các đường mong muốn với một hình tròn bán kínhR2 theo sau từ điểmO2thiết lập đường vuông góc cho các đường phụO2K1VàO2K2cho đến khi nó giao với một đường tròn nhất định. Có các điểm tiếp tuyến của các đường mong muốn và các đường tròn đã cho, chúng tôi vẽ các đườngA1B1VàA2B2.

Cơm. 3.

Đường cắt, tiếp tuyến - tất cả những điều này có thể được nghe hàng trăm lần trong các bài học hình học. Nhưng ra trường rồi, năm tháng trôi qua, và tất cả những kiến ​​thức này đều bị lãng quên. Điều gì cần được ghi nhớ?

Nước hoa

Thuật ngữ “tiếp tuyến của một đường tròn” có lẽ đã quá quen thuộc với mọi người. Nhưng không chắc rằng tất cả mọi người sẽ có thể nhanh chóng hình thành định nghĩa của nó. Trong khi đó, một tiếp tuyến là một đường thẳng nằm trong cùng một mặt phẳng với một đường tròn mà chỉ cắt nó tại một điểm. Có thể có rất nhiều loại trong số chúng, nhưng chúng đều có các đặc tính giống nhau, sẽ được thảo luận bên dưới. Như bạn có thể đoán, điểm tiếp xúc là nơi mà đường tròn và đường thẳng giao nhau. Trong mỗi trường hợp, nó là một, nhưng nếu có nhiều hơn trong số chúng, thì nó sẽ là một người ly khai.

Lịch sử khám phá và nghiên cứu

Khái niệm tiếp tuyến xuất hiện trong thời cổ đại. Việc xây dựng các đoạn thẳng này, trước tiên là một đường tròn, sau đó đến elip, parabol và hyperbol với sự trợ giúp của thước kẻ và compa, đã được thực hiện ngay cả ở những giai đoạn đầu của sự phát triển của hình học. Tất nhiên, lịch sử đã không bảo tồn tên của người phát hiện ra, nhưng rõ ràng là ngay cả thời đó người ta đã biết khá rõ về các tính chất của một tiếp tuyến với một đường tròn.

Trong thời hiện đại, sự quan tâm đến hiện tượng này lại bùng lên - một vòng nghiên cứu mới về khái niệm này đã bắt đầu, kết hợp với việc khám phá ra những đường cong mới. Vì vậy, Galileo đưa ra khái niệm về một xoáy thuận, và Fermat và Descartes đã xây dựng một tiếp tuyến cho nó. Còn về vòng tròn, dường như không còn bí mật nào đối với người xưa về lĩnh vực này.

Tính chất

Bán kính được vẽ đến điểm giao nhau sẽ là

chính, nhưng không phải thuộc tính duy nhất mà một tiếp tuyến của một đường tròn có. Một tính năng quan trọng khác bao gồm hai đường thẳng. Vì vậy, qua một điểm nằm bên ngoài đường tròn, có thể vẽ được hai tiếp tuyến, đồng thời các đoạn của chúng sẽ bằng nhau. Có một định lý khác về chủ đề này, nhưng nó hiếm khi được đề cập trong khuôn khổ của một khóa học chuẩn, mặc dù nó cực kỳ thuận tiện cho việc giải một số bài toán. Nghe có vẻ như thế này. Từ một điểm nằm bên ngoài đường tròn, một tiếp tuyến và một mảnh tiếp tuyến được vẽ đến nó. Các đoạn thẳng AB, AC và AD được tạo thành. A là giao điểm của các đường, B là giao điểm, C và D là giao điểm. Trong trường hợp này, đẳng thức sau sẽ có giá trị: độ dài của tiếp tuyến với đường tròn, bình phương, sẽ bằng tích của các đoạn AC và AD.

Có một hệ quả quan trọng của những điều trên. Đối với mỗi điểm của đường tròn, bạn có thể dựng một tiếp tuyến, nhưng chỉ một tiếp tuyến. Việc chứng minh điều này khá đơn giản: về mặt lý thuyết thả một vuông góc từ bán kính lên nó, chúng ta phát hiện ra rằng tam giác được tạo thành không thể tồn tại. Và điều này có nghĩa là tiếp tuyến là duy nhất.

Nhà lầu

Trong số các nhiệm vụ khác trong hình học, có một danh mục đặc biệt, như một quy luật, không

được các bạn học sinh, sinh viên ưa chuộng. Để giải quyết các nhiệm vụ từ danh mục này, bạn chỉ cần một chiếc la bàn và một chiếc thước kẻ. Đây là những nhiệm vụ xây dựng. Ngoài ra còn có các phương pháp để xây dựng một tiếp tuyến.

Vì vậy, đã cho một đường tròn và một điểm nằm ngoài ranh giới của nó. Và nó là cần thiết để vẽ một tiếp tuyến qua chúng. Làm thế nào để làm nó? Trước hết, bạn cần vẽ một đoạn giữa tâm của đường tròn O và một điểm cho trước. Sau đó, sử dụng la bàn, chia nó làm đôi. Để làm điều này, bạn cần đặt bán kính - hơn một nửa khoảng cách giữa tâm của hình tròn ban đầu và điểm đã cho. Sau đó, bạn cần xây dựng hai cung tròn giao nhau. Hơn nữa, bán kính của la bàn không cần thay đổi, và tâm của mỗi phần của vòng tròn sẽ lần lượt là điểm ban đầu và O. Các giao điểm của các vòng cung phải được kết nối với nhau, điều này sẽ chia đoạn làm đôi. Đặt bán kính trên la bàn bằng khoảng cách này. Tiếp theo, với tâm tại điểm giao nhau, vẽ một vòng tròn khác. Cả điểm ban đầu và điểm O sẽ nằm trên đó, trong trường hợp này sẽ có thêm hai giao điểm với đường tròn đã cho trong bài toán. Chúng sẽ là những điểm tiếp xúc cho điểm đã cho ban đầu.

Chính việc xây dựng các tiếp tuyến với đường tròn đã dẫn đến sự ra đời của

phép tính vi phân. Công trình đầu tiên về chủ đề này được xuất bản bởi nhà toán học nổi tiếng người Đức Leibniz. Ông cung cấp khả năng tìm cực đại, cực tiểu và tiếp tuyến, bất kể giá trị phân số và vô tỷ. Vâng, bây giờ nó cũng được sử dụng cho nhiều phép tính khác.

Ngoài ra, tiếp tuyến của đường tròn có liên quan đến ý nghĩa hình học của tiếp tuyến. Đó là nơi mà tên của nó xuất phát. Dịch từ tiếng Latinh, tangens có nghĩa là "tiếp tuyến". Do đó, khái niệm này không chỉ được kết nối với hình học và phép tính vi phân, mà còn với lượng giác.

Hai vòng tròn

Một tiếp tuyến không phải lúc nào cũng chỉ ảnh hưởng đến một hình. Nếu một số lượng lớn các đoạn thẳng có thể được vẽ vào một đường tròn, thì tại sao không phải là ngược lại? Có thể. Nhưng nhiệm vụ trong trường hợp này rất phức tạp, bởi vì tiếp tuyến của hai đường tròn có thể không đi qua bất kỳ điểm nào và vị trí tương đối của tất cả các hình này có thể rất

khác nhau.

Các loại và giống

Khi nói đến hai đường tròn và một hoặc nhiều đường thẳng, ngay cả khi người ta biết rằng đây là các tiếp tuyến, chúng ta không thể làm rõ được vị trí của tất cả các hình này trong mối quan hệ với nhau như thế nào. Dựa trên điều này, có một số giống. Vì vậy, các vòng tròn có thể có một hoặc hai điểm chung hoặc không có chúng. Trong trường hợp đầu tiên, chúng sẽ giao nhau, và trong trường hợp thứ hai, chúng sẽ chạm vào nhau. Và ở đây có hai giống. Nếu một vòng tròn, như nó vốn có, được nhúng trong vòng thứ hai, thì phần chạm được gọi là bên trong, nếu không, thì bên ngoài. Bạn có thể hiểu vị trí tương đối của các hình không chỉ dựa trên hình vẽ, mà còn có thông tin về tổng bán kính của chúng và khoảng cách giữa các tâm của chúng. Nếu hai đại lượng này bằng nhau thì các đường tròn tiếp xúc nhau. Nếu điểm đầu tiên lớn hơn, chúng cắt nhau, và nếu nhỏ hơn, thì chúng không có điểm chung.

Tương tự với các đoạn thẳng. Đối với bất kỳ hai vòng kết nối nào không có điểm chung, người ta có thể

dựng bốn tiếp tuyến. Hai trong số chúng sẽ giao nhau giữa các hình, chúng được gọi là bên trong. Một vài người khác là bên ngoài.

Nếu chúng ta đang nói về các vòng tròn có một điểm chung, thì nhiệm vụ được đơn giản hóa rất nhiều. Thực tế là đối với bất kỳ sự sắp xếp lẫn nhau nào trong trường hợp này, chúng sẽ chỉ có một tiếp tuyến. Và nó sẽ đi qua điểm giao nhau của chúng. Vì vậy, việc xây dựng khó khăn sẽ không gây ra.

Nếu các hình có hai giao điểm, thì một đường thẳng có thể được dựng cho chúng, tiếp tuyến với đường tròn, cả hình một và hình thứ hai, nhưng chỉ là hình bên ngoài. Giải pháp cho vấn đề này tương tự như những gì sẽ được thảo luận dưới đây.

Giải quyết vấn đề

Cả tiếp tuyến bên trong và bên ngoài của hai đường tròn đều không đơn giản như vậy trong việc xây dựng, mặc dù vấn đề này có thể được giải quyết. Thực tế là một con số phụ được sử dụng cho việc này, vì vậy hãy tự nghĩ ra phương pháp này

khá rắc rối. Vậy, cho hai đường tròn có bán kính và tâm khác nhau O1 và O2. Đối với họ, bạn cần phải xây dựng hai cặp tiếp tuyến.

Trước hết, gần tâm của vòng tròn lớn hơn, bạn cần xây một công trình phụ trợ. Trong trường hợp này, sự khác biệt giữa bán kính của hai số liệu ban đầu phải được thiết lập trên la bàn. Tiếp tuyến với đường tròn phụ được dựng từ tâm của đường tròn nhỏ hơn. Sau đó, từ O1 và O2, các đường vuông góc được vẽ đến các đường thẳng này cho đến khi chúng cắt nhau với các hình ban đầu. Như sau từ tính chất chính của tiếp tuyến, các điểm mong muốn trên cả hai đường tròn được tìm thấy. Vấn đề đã được giải quyết, ít nhất, phần đầu tiên của nó.

Để xây dựng các tiếp tuyến bên trong, người ta phải giải một cách thực tế

một nhiệm vụ tương tự. Một lần nữa, một hình phụ là cần thiết, nhưng lần này bán kính của nó sẽ bằng tổng của những hình ban đầu. Các tiếp tuyến được xây dựng với nó từ tâm của một trong các đường tròn đã cho. Quá trình tiếp theo của giải pháp có thể được hiểu từ ví dụ trước.

Tiếp tuyến với một hoặc thậm chí hai hoặc nhiều hơn không phải là một nhiệm vụ khó khăn. Tất nhiên, các nhà toán học từ lâu đã không còn giải quyết những vấn đề như vậy một cách thủ công và tin tưởng các phép tính vào các chương trình đặc biệt. Nhưng bạn đừng nghĩ rằng bây giờ không cần thiết là có thể tự làm được, vì để lập chính xác một nhiệm vụ cho máy tính thì bạn cần phải làm và hiểu rất nhiều. Đáng tiếc, có ý kiến ​​lo ngại rằng sau khi chuyển sang hình thức kiểm tra kiểm soát kiến ​​thức, các nhiệm vụ xây dựng sẽ ngày càng gây nhiều khó khăn hơn cho học sinh.

Đối với việc tìm tiếp tuyến chung cho nhiều đường tròn hơn, điều này không phải lúc nào cũng khả thi, ngay cả khi chúng nằm trong cùng một mặt phẳng. Nhưng trong một số trường hợp có thể tìm thấy một dòng như vậy.

Ví dụ thực tế cuộc sống

Một tiếp tuyến chung của hai đường tròn thường gặp trong thực tế, mặc dù điều này không phải lúc nào cũng đáng chú ý. Băng tải, hệ thống khối, dây đai truyền ròng rọc, lực căng chỉ trong máy khâu và thậm chí chỉ là xích xe đạp - tất cả đều là những ví dụ trong cuộc sống. Vì vậy, đừng nghĩ rằng các bài toán hình học chỉ còn lại trên lý thuyết: trong kỹ thuật, vật lý, xây dựng và nhiều lĩnh vực khác, chúng được tìm thấy ứng dụng thực tế.

Quyền riêng tư của bạn rất quan trọng với chúng tôi. Vì lý do này, chúng tôi đã phát triển Chính sách bảo mật mô tả cách chúng tôi sử dụng và lưu trữ thông tin của bạn. Vui lòng đọc chính sách bảo mật của chúng tôi và cho chúng tôi biết nếu bạn có bất kỳ câu hỏi nào.

Thu thập và sử dụng thông tin cá nhân

Thông tin cá nhân đề cập đến dữ liệu có thể được sử dụng để xác định hoặc liên hệ với một người cụ thể.

Bạn có thể được yêu cầu cung cấp thông tin cá nhân của bạn bất kỳ lúc nào khi bạn liên hệ với chúng tôi.

Sau đây là một số ví dụ về các loại thông tin cá nhân mà chúng tôi có thể thu thập và cách chúng tôi có thể sử dụng thông tin đó.

Chúng tôi thu thập thông tin cá nhân nào:

  • Khi bạn gửi đơn đăng ký trên trang web, chúng tôi có thể thu thập nhiều thông tin khác nhau, bao gồm tên, số điện thoại, địa chỉ email của bạn, v.v.

Cách chúng tôi sử dụng thông tin cá nhân của bạn:

  • Thông tin cá nhân mà chúng tôi thu thập cho phép chúng tôi liên hệ với bạn và thông báo cho bạn về các ưu đãi, khuyến mãi độc đáo và các sự kiện khác và các sự kiện sắp tới.
  • Đôi khi, chúng tôi có thể sử dụng thông tin cá nhân của bạn để gửi cho bạn những thông báo và liên lạc quan trọng.
  • Chúng tôi cũng có thể sử dụng thông tin cá nhân cho các mục đích nội bộ, chẳng hạn như thực hiện kiểm toán, phân tích dữ liệu và các nghiên cứu khác nhau để cải thiện các dịch vụ mà chúng tôi cung cấp và cung cấp cho bạn các khuyến nghị liên quan đến dịch vụ của chúng tôi.
  • Nếu bạn tham gia rút thăm giải thưởng, cuộc thi hoặc khuyến khích tương tự, chúng tôi có thể sử dụng thông tin bạn cung cấp để quản lý các chương trình đó.

Tiết lộ cho bên thứ ba

Chúng tôi không tiết lộ thông tin nhận được từ bạn cho bên thứ ba.

Các trường hợp ngoại lệ:

  • Trong trường hợp cần thiết - theo quy định của pháp luật, trình tự tư pháp, trong thủ tục pháp lý và / hoặc dựa trên yêu cầu công khai hoặc yêu cầu từ các cơ quan nhà nước trên lãnh thổ Liên bang Nga - hãy tiết lộ thông tin cá nhân của bạn. Chúng tôi cũng có thể tiết lộ thông tin về bạn nếu chúng tôi xác định rằng việc tiết lộ đó là cần thiết hoặc thích hợp cho mục đích bảo mật, thực thi pháp luật hoặc lợi ích công cộng khác.
  • Trong trường hợp tổ chức lại, sáp nhập hoặc bán, chúng tôi có thể chuyển thông tin cá nhân mà chúng tôi thu thập được cho người kế nhiệm bên thứ ba có liên quan.

Bảo vệ thông tin cá nhân

Chúng tôi thực hiện các biện pháp phòng ngừa - bao gồm hành chính, kỹ thuật và vật lý - để bảo vệ thông tin cá nhân của bạn khỏi bị mất, bị đánh cắp và sử dụng sai mục đích, cũng như khỏi bị truy cập, tiết lộ, thay đổi và phá hủy trái phép.

Duy trì quyền riêng tư của bạn ở cấp công ty

Để đảm bảo rằng thông tin cá nhân của bạn được bảo mật, chúng tôi truyền đạt các thông lệ về quyền riêng tư và bảo mật cho nhân viên của mình và thực thi nghiêm túc các thông lệ về quyền riêng tư.

Ngân sách nhà nước cơ sở giáo dục

Nhà thi đấu số 000

Công việc thiết kế trên hình học.

Tám cách để dựng một tiếp tuyến của một đường tròn.

9 lớp sinh học và hóa học

Cố vấn khoa học: ,

Phó Giám đốc Phụ trách Học vụ,

giáo viên toán.

Matxcova 2012

Giới thiệu

Chương 1. ………………………………………………………………… 4

Kết luận (kết luận)

Giới thiệu

Biểu hiện cao nhất của tinh thần là trí óc.

Biểu hiện cao nhất của trí óc là hình học.

Ô hình học là một hình tam giác. Anh ấy cũng vậy

vô tận, giống như vũ trụ. Hình tròn là linh hồn của hình học.

Biết chu vi và bạn sẽ không chỉ biết linh hồn

hình học mà còn tôn lên tâm hồn bạn.

Claudius Ptolemy
Một nhiệm vụ.

Dựng tiếp tuyến của đường tròn tâm O và bán kính R đi qua điểm A nằm bên ngoài đường tròn

Chương 1.

Cấu tạo của một tiếp tuyến với một đường tròn không yêu cầu biện minh dựa trên lý thuyết về đường thẳng song song.

https://pandia.ru/text/78/156/images/image003_18.gif "width =" 17 "height =" 16 src = "> ABO = 90 °. Cho hình tròn (O; r) OB - bán kính. OB AB, do đó AB là một tiếp tuyến trên cơ sở của một tiếp tuyến.

Tương tự, AC là một tiếp tuyến của một đường tròn.

Cách xây dựng số 1 dựa trên thực tế là tiếp tuyến của một đường tròn vuông góc với bán kính được vẽ với điểm tiếp tuyến.

Đối với một đường thẳng chỉ có một điểm tiếp xúc với đường tròn.

Qua một điểm cho trước trên đoạn thẳng chỉ vẽ được một đường vuông góc.

Tòa nhà số 2.

https://pandia.ru/text/78/156/images/image003_18.gif "width =" 17 "height =" 16 "> ABO = 90 °

5. OB - bán kính, ABO = 90 °, do đó AB - tiếp tuyến trên cơ sở.

6. Tương tự, trong tam giác cân AON, AC là tiếp tuyến (ACO \ u003d 90 °, OS là bán kính)

7. Vậy AB và AC là các tiếp tuyến

Tòa nhà số 3

https://pandia.ru/text/78/156/images/image003_18.gif "width =" 17 "height =" 16 "> OPM = OVA = 90 ° (là các góc tương ứng trong các tam giác bằng nhau), do đó, AB - Tiếp tuyến trên cơ sở của một tiếp tuyến.

4. Tương tự, AC là một tiếp tuyến

Nhà lầu №4

https://pandia.ru/text/78/156/images/image008_9.jpg "align =" left "width =" 330 "height =" 743 src = ">

Tòa nhà số 6.

Nhà lầu:

2. Vẽ qua điểm A một đường thẳng tùy ý cắt đường tròn (O, r) tại các điểm M và N.

6. AB và BC là hai tiếp tuyến mong muốn.

Bằng chứng:

1. Vì các tam giác PQN và PQM nội tiếp trong đường tròn và cạnh PQ là đường kính của đường tròn nên các tam giác này là tam giác vuông.

2. Trong tam giác PQL, các đoạn PM và QN là chiều cao cắt nhau tại điểm K, do đó KL là chiều cao thứ ba..gif "width =" 17 "height =" 16 src = ">. Gif" width = "17" height = "16 src = "> AQS = AMS = 180 ° - https://pandia.ru/text/78/156/images/image003_18.gif" width = "17" height = "16"> PQN = β, thì | AQ | = | AS | ctg β Do đó | PA |: | AQ | = ctg α: ctg β (2).

5. So sánh (1) và (2) ta được | PD | : | PA | = | DQ | : | AQ |, hoặc

(| OD | + R) (| OA | - R) = (R - | OD |) (| OA | + R).

Sau khi mở ngoặc và đơn giản hóa, tôi thấy rằng | OD | · | OA | = R².

5. Từ quan hệ | OD | · | OA | = R² mà | OD |: R = R: | OA |, tức là các tam giác ODB và OBA đồng dạng..gif "width =" 17 "height =" 16 "> OBA = 90 °. Do đó, đoạn thẳng AB là tiếp tuyến cần chứng minh.

Tòa nhà số 6.

Nhà lầu:

1. Vẽ đường tròn (A; | OA |).

2. Tôi sẽ tìm một la bàn có độ mở bằng 2R, tôi sẽ chọn một điểm S trên đường tròn (O; R) và dành ra ba cung có góc 60º mỗi cung: SP = PQ = QT = 60 °. Điểm S và T đối nhau theo đường kính.

3. Ta dựng đường tròn (O; ST) cắt nhau w 1 Vòng tròn này là gì? tại các điểm M và N.

4. Bây giờ tôi sẽ xây dựng MO giữa. Để làm điều này, tôi xây dựng các đường tròn (O; OM) và (M; MO), và sau đó đối với các điểm M và O, chúng tôi tìm thấy các điểm đối diện đường kính U và V trên chúng.

6. Cuối cùng, tôi sẽ dựng một đường tròn (K; KM) và (L; LM) cắt nhau tại điểm mong muốn B - trung điểm của MO.

Bằng chứng:

Các tam giác KMV và UMK là cân và đồng dạng. Do đó, từ thực tế là KM \ u003d 0,5MU, nó tiếp theo là MB \ u003d 0,5MK \ u003d 0,5R. Vì vậy, điểm B là điểm tiếp xúc mong muốn. Tương tự, bạn có thể tìm điểm tiếp xúc C.

Chương 3

Xây dựng một tiếp tuyến của một đường tròn dựa trên các tính chất của phân giác, phân giác.

Tòa nhà số 7

https://pandia.ru/text/78/156/images/image011_7.jpg "align =" left "width =" 440 "height =" 514 src = "> Tòa nhà số 8

Nhà lầu:

1. Dựng đường tròn (A; AP) cắt đường thẳng AP tại điểm D.

2. Dựng đường tròn w trên đường kính QD

3. Ta sẽ cắt nó vuông góc với đường thẳng AR tại điểm A và lấy điểm M và N.

Bằng chứng:

Rõ ràng, AM² = AN² = AD · AQ = AP · AQ. Khi đó đường tròn (A; AM) cắt (O; R) tại các tiếp điểm B và C. AB và AC là các tiếp tuyến cần có.