Xin chúc mừng 

Phép biến hình của biểu thức hữu tỉ: các dạng biến đổi, các ví dụ. Phép biến đổi phân số hữu tỉ (đại số), các dạng biến đổi, ví dụ Phép biến đổi biểu thức đại số hữu tỉ phân số

>> Toán: Biến đổi biểu thức hữu tỉ

Chuyển đổi Biểu thức Hợp lý

Đoạn văn này tổng hợp tất cả những gì chúng ta đã nói kể từ lớp 7 về ngôn ngữ toán học, ký hiệu toán học, số, biến, lũy thừa, đa thức và phân số đại số. Nhưng trước tiên, chúng ta hãy lạc đề một chút về quá khứ.

Hãy nhớ mọi thứ như thế nào với việc nghiên cứu các con số và biểu thức số ở các lớp dưới.

Và, giả sử, chỉ một nhãn có thể được gắn vào một phân số - một số hữu tỉ.

Tình hình tương tự với các biểu thức đại số: giai đoạn đầu tiên của nghiên cứu của họ là các con số, biến số, độ (“số”); giai đoạn thứ hai của nghiên cứu của họ là đơn thức ("số tự nhiên"); giai đoạn thứ ba của nghiên cứu của họ là đa thức ("số nguyên"); giai đoạn thứ tư của nghiên cứu của họ - phân số đại số
("số hữu tỉ"). Hơn nữa, mỗi giai đoạn tiếp theo, giống như nó, hấp thụ giai đoạn trước: ví dụ, số, biến, độ là các trường hợp đặc biệt của đơn thức; đơn thức là trường hợp đặc biệt của đa thức; đa thức là trường hợp đặc biệt của phân số đại số. Nhân tiện, các thuật ngữ sau đây đôi khi được sử dụng trong đại số: một đa thức là một số nguyên cách biểu lộ, một phân số đại số là một biểu thức phân số (điều này chỉ củng cố phép loại suy).

Hãy tiếp tục với sự tương tự ở trên. Bạn biết rằng bất kỳ biểu thức số nào, sau khi thực hiện tất cả các phép toán số học có trong nó, sẽ nhận một giá trị số cụ thể - một số hữu tỉ (tất nhiên, nó có thể trở thành một số tự nhiên, một số nguyên hoặc một phân số - nó không không quan trọng). Tương tự, bất kỳ biểu thức đại số nào bao gồm các số và biến bằng cách sử dụng các phép toán số học và nâng lên thành số tự nhiên trình độ, sau khi biến đổi, nó có dạng một phân số đại số và một lần nữa, đặc biệt, nó có thể không phải là một phân số, mà là một đa thức hoặc thậm chí một đơn thức). Đối với các biểu thức như vậy trong đại số, thuật ngữ biểu thức hữu tỉ được sử dụng.

Ví dụ. Chứng minh danh tính

Giải pháp.
Để chứng minh một danh tính có nghĩa là thiết lập rằng đối với tất cả các giá trị có thể chấp nhận của các biến, phần bên trái và bên phải của nó là các biểu thức giống hệt nhau. Trong đại số, danh tính được chứng minh theo nhiều cách khác nhau:

1) thực hiện các phép biến đổi vế trái và kết quả là vế phải;

2) thực hiện các phép biến đổi vế phải và nhận được vế trái là kết quả;

3) chuyển đổi riêng phần bên phải và bên trái và nhận được cùng một biểu thức trong trường hợp thứ nhất và thứ hai;

4) tạo ra sự khác biệt giữa các phần bên trái và bên phải và do kết quả của các phép biến đổi của nó, nhận về số không.

Lựa chọn phương pháp nào tùy thuộc vào từng loại cụ thể danh tính mà bạn được yêu cầu chứng minh. Trong ví dụ này, nên chọn phương pháp đầu tiên.

Để chuyển đổi biểu thức hữu tỉ, quy trình tương tự được áp dụng như đối với chuyển đổi biểu thức số. Điều này có nghĩa là đầu tiên các hành động trong ngoặc được thực hiện, sau đó là các hành động của giai đoạn thứ hai (nhân, chia, lũy thừa), sau đó là các hành động của giai đoạn đầu tiên (cộng, trừ).

Hãy thực hiện chuyển đổi bằng các hành động, dựa trên các quy tắc đó, thuật toánđã được phát triển trong các đoạn trước.

Như bạn có thể thấy, chúng tôi đã quản lý để chuyển đổi phía bên trái của danh tính đang được kiểm tra thành dạng của phía bên phải. Điều này có nghĩa là danh tính đã được chứng minh. Tuy nhiên, chúng tôi nhắc lại rằng danh tính chỉ có giá trị đối với các giá trị có thể chấp nhận của các biến. Những giá trị trong ví dụ này là bất kỳ giá trị nào của a và b, ngoại trừ những giá trị biến mẫu số của phân số thành 0. Điều này có nghĩa là bất kỳ cặp số nào (a; b) đều có thể chấp nhận được, ngoại trừ những cặp số thỏa mãn ít nhất một trong các số bằng nhau:

2a - b = 0, 2a + b = 0, b = 0.

Mordkovich A. G., Đại số học. Lớp 8: Proc. cho giáo dục phổ thông các tổ chức. - Xuất bản lần thứ 3, đã hoàn thiện. - M.: Mnemosyne, 2001. - 223 p: bệnh.

Danh sách đầy đủ các chuyên đề theo lớp, lịch học theo chương trình học môn toán trên mạng, video tài liệu môn toán lớp 8 download

Nội dung bài học Tom tăt bai học hỗ trợ khung trình bày bài học phương pháp tăng tốc công nghệ tương tác Thực hành nhiệm vụ và bài tập tự kiểm tra hội thảo, đào tạo, trường hợp, nhiệm vụ bài tập về nhà thảo luận câu hỏi câu hỏi tu từ học sinh Hình minh họa âm thanh, video clip và đa phương tiệnảnh, đồ họa hình ảnh, bảng, kế hoạch hài hước, giai thoại, truyện cười, ngụ ngôn truyện tranh, câu nói, câu đố ô chữ, trích dẫn Tiện ích bổ sung tóm tắt các chip bài báo dành cho các sách giáo khoa cơ bản và bổ sung bảng thuật ngữ cơ bản và bổ sung các thuật ngữ khác Cải tiến sách giáo khoa và bài họcsửa lỗi trong sách giáo khoa cập nhật một đoạn trong sách giáo khoa các yếu tố đổi mới trong bài học thay thế kiến ​​thức cũ bằng kiến ​​thức mới Chỉ dành cho giáo viên những bài học hoàn hảo kế hoạch lịch cho năm khuyến nghị phương pháp luận của chương trình thảo luận Bài học tích hợp

Từ khóa học đại số của chương trình giảng dạy ở trường, chúng tôi chuyển sang các chi tiết cụ thể. Trong bài này, chúng ta sẽ nghiên cứu chi tiết một loại biểu thức hữu tỉ đặc biệt - phân số hữu tỉ và cũng phân tích đặc điểm nào giống hệt nhau các phép biến đổi của phân số hữu tỉ diễn ra.

Chúng ta lưu ý ngay rằng phân số hữu tỉ theo nghĩa mà chúng ta định nghĩa chúng dưới đây được gọi là phân số đại số trong một số sách giáo khoa đại số. Đó là, trong bài này chúng ta sẽ hiểu điều tương tự dưới phân số hữu tỉ và đại số.

Như thường lệ, chúng tôi bắt đầu với một định nghĩa và các ví dụ. Tiếp theo, chúng ta hãy nói về việc đưa một phân số hữu tỉ về một mẫu số mới và về việc đổi dấu các thành phần của phân số. Sau đó, chúng ta sẽ phân tích cách thực hiện rút gọn phân số. Cuối cùng, chúng ta hãy đi sâu vào biểu diễn một phân số hữu tỉ dưới dạng tổng của một số phân số. Tất cả thông tin sẽ được cung cấp với các ví dụ với mô tả chi tiết về các giải pháp.

Điều hướng trang.

Định nghĩa và ví dụ về phân số hữu tỉ

Phân số hữu tỉ được học trong các bài học đại số lớp 8. Chúng tôi sẽ sử dụng định nghĩa về phân số hữu tỉ, được đưa ra trong sách giáo khoa đại số lớp 8 của Yu N. Makarychev và những người khác.

Định nghĩa này không chỉ rõ các đa thức ở tử số và mẫu số của một phân số hữu tỉ có phải là đa thức ở dạng chuẩn hay không. Do đó, chúng ta sẽ giả sử rằng phân số hữu tỉ có thể chứa cả đa thức chuẩn và không chuẩn.

Ở đây có một ít ví dụ về phân số hữu tỉ. Vì vậy, x / 8 và - phân số hữu tỉ. Và phân số và không phù hợp với định nghĩa đúng đắn về phân số hữu tỉ, vì ở phần đầu tiên tử số không phải là đa thức và ở phần thứ hai, cả tử số và mẫu số đều chứa các biểu thức không phải là đa thức.

Chuyển tử số và mẫu số của một phân số hữu tỉ

Tử số và mẫu số của bất kỳ phân số nào đều là biểu thức toán học tự cung cấp, trong trường hợp phân số hữu tỉ thì chúng là đa thức, trong trường hợp cụ thể chúng là đơn thức và số. Do đó, với tử số và mẫu số của một phân số hữu tỉ, cũng như với bất kỳ biểu thức nào, có thể thực hiện các phép biến đổi giống hệt nhau. Nói cách khác, biểu thức ở tử số của một phân số hữu tỉ có thể được thay thế bằng một biểu thức giống hệt nó, giống như mẫu số.

Ở tử số và mẫu số của một phân số hữu tỉ, có thể thực hiện các phép biến đổi giống hệt nhau. Ví dụ, trong tử số, bạn có thể nhóm và giảm các số hạng tương tự, và ở mẫu số, tích của một số số có thể được thay thế bằng giá trị của nó. Và vì tử số và mẫu số của một phân số hữu tỉ là các đa thức, nên có thể thực hiện các phép biến đổi đặc trưng của đa thức với chúng, ví dụ, rút ​​gọn về dạng chuẩn hoặc biểu diễn dưới dạng tích.

Để rõ ràng hơn, hãy xem xét các giải pháp của một số ví dụ.

Ví dụ.

Chuyển đổi phân số hợp lý sao cho tử số là một đa thức ở dạng chuẩn, và mẫu số là tích của đa thức.

Giải pháp.

Rút gọn phân số hữu tỉ về mẫu số mới được dùng chủ yếu khi cộng và trừ phân số hữu tỉ.

Thay đổi các dấu hiệu ở phía trước của một phân số, cũng như ở tử số và mẫu số của nó

Tính chất cơ bản của một phân số có thể được sử dụng để thay đổi dấu hiệu của các số hạng của phân số. Thật vậy, nhân tử số và mẫu số của một phân số hữu tỉ với -1 tương đương với việc thay đổi dấu của chúng và kết quả là một phân số giống hệt như phân số đã cho. Phép biến đổi như vậy phải được sử dụng khá thường xuyên khi làm việc với các phân số hữu tỉ.

Vì vậy, nếu bạn đồng thời thay đổi các dấu của tử số và mẫu số của một phân số, bạn sẽ nhận được một phân số bằng ban đầu. Tuyên bố này tương ứng với bình đẳng.

Hãy lấy một ví dụ. Một phân số hữu tỉ có thể được thay thế bằng một phân số giống hệt nhau bằng các dấu hiệu đảo ngược của tử số và mẫu số ở dạng.

Với phân số, có thể thực hiện thêm một phép biến đổi giống hệt nữa, trong đó dấu được thay đổi ở tử số hoặc ở mẫu số. Hãy xem qua quy tắc thích hợp. Nếu bạn thay dấu của một phân số cùng với dấu của tử số hoặc mẫu số, bạn sẽ nhận được một phân số giống hệt như ban đầu. Câu lệnh bằng văn bản tương ứng với các giá trị bằng và.

Không khó để chứng minh những bằng nhau này. Việc chứng minh dựa trên các tính chất của phép nhân các số. Hãy chứng minh điều đầu tiên trong số chúng:. Với sự trợ giúp của các phép biến đổi tương tự, đẳng thức cũng được chứng minh.

Ví dụ, một phân số có thể được thay thế bằng một biểu thức hoặc.

Để kết thúc phần phụ này, chúng tôi trình bày hai giá trị bằng hữu ích hơn và. Tức là, nếu bạn thay đổi dấu của tử số hoặc chỉ mẫu số, thì phân số sẽ thay đổi dấu của nó. Ví dụ, Và .

Các phép biến đổi được xem xét, cho phép thay đổi dấu của các số hạng của một phân số, thường được sử dụng khi biến đổi các biểu thức hữu tỉ phân số.

Rút gọn phân số hữu tỉ

Phép biến đổi sau đây của phân số hữu tỉ, được gọi là rút gọn phân số hữu tỉ, dựa trên cùng một tính chất cơ bản của một phân số. Phép biến đổi này tương ứng với đẳng thức, trong đó a, b và c là một số đa thức, và b và c khác 0.

Từ đẳng thức trên, rõ ràng rằng việc rút gọn một phân số hữu tỉ có nghĩa là loại bỏ nhân tử chung ở tử số và mẫu số của nó.

Ví dụ.

Rút gọn phân số hữu tỉ.

Giải pháp.

Nhân tử chung 2 thấy ngay, ta bớt đi (khi viết nên gạch bỏ nhân tử chung mà rút gọn). Chúng ta có . Vì x 2 \ u003d x x và y 7 \ u003d y 3 y 4 (xem nếu cần), rõ ràng x là nhân tử chung của tử số và mẫu số của phân số thu được, như y 3. Hãy giảm bớt các yếu tố sau: . Điều này hoàn thành việc giảm.

Trên đây, chúng ta đã thực hiện tuần tự rút gọn phân số hữu tỉ. Và có thể thực hiện việc rút gọn trong một bước, ngay lập tức rút gọn phân số đi 2 · x · y 3. Trong trường hợp này, giải pháp sẽ như sau: .

Trả lời:

.

Khi giảm phân số hữu tỉ, vấn đề chính là không phải lúc nào cũng nhìn thấy nhân tử chung của tử số và mẫu số. Hơn nữa, nó không phải lúc nào cũng tồn tại. Để tìm một thừa số chung hoặc chắc chắn rằng nó không tồn tại, bạn cần phân biệt tử số và mẫu số của một phân số hữu tỉ. Nếu không có thừa số chung thì không cần rút gọn phân số hữu tỉ ban đầu, ngược lại thực hiện phép rút gọn.

Trong quá trình rút gọn phân số hữu tỉ, có thể nảy sinh nhiều sắc thái khác nhau. Sự tinh tế chính với các ví dụ và chi tiết được thảo luận trong bài báo rút gọn phân số đại số.

Kết thúc cuộc thảo luận về việc rút gọn các phân số hữu tỉ, chúng ta lưu ý rằng phép biến đổi này là giống hệt nhau, và khó khăn chính trong việc thực hiện nó nằm ở việc tính nhân tử của các đa thức ở tử số và mẫu số.

Biểu diễn một phân số hữu tỉ dưới dạng tổng phân số

Khá cụ thể, nhưng trong một số trường hợp rất hữu ích, là phép biến đổi một phân số hữu tỉ, bao gồm biểu diễn của nó dưới dạng tổng của một số phân số hoặc tổng của một biểu thức số nguyên và một phân số.

Một phân số hữu tỉ, ở tử số có một đa thức, là tổng của một số đơn thức, luôn có thể được viết dưới dạng tổng của các phân số có cùng mẫu số, ở tử số là các đơn thức tương ứng. Ví dụ, . Biểu diễn này được giải thích bằng quy tắc cộng và trừ các phân số đại số có cùng mẫu số.

Nói chung, bất kỳ phân số hữu tỉ nào cũng có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của các phân số theo nhiều cách khác nhau. Ví dụ, phân số a / b có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của hai phân số - một phân số tùy ý c / d và một phân số bằng hiệu giữa phân số a / b và c / d. Tuyên bố này là đúng, vì bình đẳng . Ví dụ, một phân số hữu tỉ có thể được biểu diễn dưới dạng tổng các phân số theo nhiều cách khác nhau: Chúng ta biểu diễn phân số ban đầu dưới dạng tổng của một biểu thức số nguyên và một phân số. Sau khi chia tử số cho mẫu số cho một cột, chúng ta nhận được bằng . Giá trị của biểu thức n 3 +4 với mọi số nguyên n là một số nguyên. Và giá trị của một phân số là một số nguyên nếu và chỉ khi mẫu số của nó là 1, −1, 3 hoặc −3. Các giá trị này lần lượt tương ứng với các giá trị n = 3, n = 1, n = 5 và n = −1.

Trả lời:

−1 , 1 , 3 , 5 .

Thư mục.

  • Đại số học: sách giáo khoa cho 8 ô. giáo dục phổ thông các tổ chức / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovsky. - ấn bản thứ 16. - M.: Giáo dục, 2008. - 271 tr. : tôi sẽ. - ISBN 978-5-09-019243-9.
  • Mordkovich A. G.Đại số học. Lớp 7. Lúc 2 giờ chiều Phần 1. Sách giáo khoa dành cho sinh viên của các cơ sở giáo dục / A. G. Mordkovich. - ấn bản thứ 13, Rev. - M.: Mnemosyne, 2009. - 160 p: ốm. ISBN 978-5-346-01198-9.
  • Mordkovich A. G.Đại số học. lớp 8. Lúc 2 giờ chiều Phần 1. Sách giáo khoa dành cho sinh viên của các cơ sở giáo dục / A. G. Mordkovich. - ấn bản thứ 11, bị xóa. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 tr: ốm. ISBN 978-5-346-01155-2.
  • Gusev V. A., Mordkovich A. G. Toán học (sách hướng dẫn cho người nộp đơn vào các trường kỹ thuật): Proc. trợ cấp.- M.; Cao hơn school, 1984.-351 p., ill.

Biểu thức hữu tỉ và phân số là nền tảng của toàn bộ khóa học đại số. Trên thực tế, những người học cách làm việc với các biểu thức như vậy, đơn giản hóa chúng và nhân tử chúng sẽ có thể giải được bất kỳ vấn đề nào, vì phép biến đổi biểu thức là một phần không thể thiếu của bất kỳ phương trình, bất đẳng thức nghiêm túc nào và thậm chí là một bài toán đố.

Trong hướng dẫn bằng video này, chúng ta sẽ xem cách áp dụng chính xác các công thức nhân viết tắt để đơn giản hóa các biểu thức và phân số hữu tỉ. Hãy cùng tìm hiểu xem những công thức này thoạt nhìn thì chẳng có gì. Đồng thời, chúng tôi lặp lại một thủ thuật đơn giản như tính nhân tử của một tam thức vuông thành nhân tử thông qua số phân biệt.

Như bạn có thể đã đoán ra từ các công thức sau lưng tôi, hôm nay chúng ta sẽ nghiên cứu các công thức cho phép nhân viết tắt, hay đúng hơn, không phải bản thân các công thức, mà là ứng dụng của chúng để đơn giản hóa và giảm các biểu thức hữu tỉ phức tạp. Tuy nhiên, trước khi chuyển sang giải các ví dụ, chúng ta hãy xem xét kỹ hơn các công thức này hoặc nhớ lại chúng:

  1. $ ((a) ^ (2)) - ((b) ^ (2)) = \ left (a-b \ right) \ left (a + b \ right) $ là hiệu của các ô vuông;
  2. $ ((\ left (a + b \ right)) ^ (2)) = ((a) ^ (2)) + 2ab + ((b) ^ (2)) $ là bình phương của tổng;
  3. $ ((\ left (a-b \ right)) ^ (2)) = ((a) ^ (2)) - 2ab + ((b) ^ (2)) $ là hiệu bình phương;
  4. $ ((a) ^ (3)) + ((b) ^ (3)) = \ left (a + b \ right) \ left (((a) ^ (2)) - ab + ((b) ^ ( 2)) \ right) $ là tổng của các hình lập phương;
  5. $ ((a) ^ (3)) - ((b) ^ (3)) = \ left (ab \ right) \ left (((a) ^ (2)) + ab + ((b) ^ (2) ) \ right) $ là hiệu của các hình khối.

Tôi cũng muốn lưu ý rằng hệ thống giáo dục trường học của chúng tôi được thiết kế theo cách phù hợp với việc nghiên cứu chủ đề này, tức là biểu thức hữu tỉ, cũng như căn, môđun, tất cả học sinh đều có chung một vấn đề, mà bây giờ tôi sẽ giải thích.

Thực tế là ngay từ khi bắt đầu học các công thức về phép nhân viết tắt và các thao tác rút gọn phân số (ở lớp 8), giáo viên đã nói như sau: “Nếu các em chưa rõ thì đừng lo. , chúng ta sẽ trở lại chủ đề này nhiều hơn một lần, chắc chắn là ở trường trung học. Chúng tôi sẽ tìm ra nó sau. " Sau đó, đến lớp 9-10, cùng một giáo viên giải thích cho những học sinh vẫn chưa biết cách giải phân số hữu tỉ, đại loại như thế này: “Hai năm trước con ở đâu? Điều tương tự đã được học trong đại số ở lớp 8! Điều gì có thể không hiểu ở đây? Rõ ràng là như vậy! "

Tuy nhiên, đối với học sinh bình thường, giải thích như vậy không dễ dàng hơn chút nào: trong đầu họ vẫn còn lộn xộn, vì vậy ngay bây giờ chúng ta sẽ phân tích hai ví dụ đơn giản, trên cơ sở đó chúng ta sẽ thấy cách làm nổi bật những biểu hiện này trong các bài toán thực tế, điều này sẽ dẫn chúng ta đến các công thức nhân ngắn gọn và cách áp dụng nó sau này để biến đổi các biểu thức hữu tỉ phức tạp.

Rút gọn phân số hữu tỉ đơn giản

Nhiệm vụ 1

\ [\ frac (4x + 3 ((y) ^ (2))) (9 ((y) ^ (4)) - 16 ((x) ^ (2))) \]

Điều đầu tiên chúng ta cần học là phân biệt bình phương chính xác và lũy thừa cao hơn trong biểu thức ban đầu, trên cơ sở đó chúng ta có thể áp dụng các công thức. Hãy xem nào:

Hãy viết lại biểu thức của chúng tôi có tính đến các sự kiện sau:

\ [\ frac (4x + 3 ((y) ^ (2))) (((\ left (3 ((y) ^ (2)) \ right)) ^ (2)) - ((\ left (4x \ right)) ^ (2))) = \ frac (4x + 3 ((y) ^ (2))) (\ left (3 ((y) ^ (2)) - 4x \ right) \ left (3 ((y) ^ (2)) + 4x \ right)) = \ frac (1) (3 ((y) ^ (2)) - 4x) \]

Đáp số: $ \ frac (1) (3 ((y) ^ (2)) - 4x) $.

Nhiệm vụ 2

Hãy chuyển sang nhiệm vụ thứ hai:

\ [\ frac (8) (((x) ^ (2)) + 5xy-6 ((y) ^ (2))) \]

Không có gì để đơn giản hóa ở đây, bởi vì tử số là một hằng số, nhưng tôi đã đề xuất vấn đề này một cách chính xác để bạn học cách phân tích nhân tử của đa thức chứa hai biến. Nếu thay vì nó có một đa thức được viết dưới đây, chúng ta sẽ phân tích nó như thế nào?

\ [((x) ^ (2)) + 5x-6 = \ left (x -... \ right) \ left (x -... \ right) \]

Hãy giải phương trình và tìm $ x $ mà chúng ta có thể đặt vào vị trí của các dấu chấm:

\ [((x) ^ (2)) + 5x-6 = 0 \]

\ [((x) _ (1)) = \ frac (-5 + 7) (2) = \ frac (2) (2) = 1 \]

\ [((x) _ (2)) = \ frac (-5-7) (2) = \ frac (-12) (2) = - 6 \]

Chúng ta có thể viết lại tam thức như sau:

\ [((x) ^ (2)) + 5xy-6 ((y) ^ (2)) = \ left (x-1 \ right) \ left (x + 6 \ right) \]

Chúng tôi đã học cách làm việc với một tam thức vuông - vì điều này, chúng tôi phải quay video bài học này. Nhưng nếu, ngoài $ x $ và hằng số, còn có $ y $? Hãy xem chúng như một phần tử khác của các hệ số, tức là Hãy viết lại biểu thức của chúng ta như sau:

\ [((x) ^ (2)) + 5y \ cdot x-6 ((y) ^ (2)) \]

\ [((x) _ (1)) = \ frac (-5y + 7y) (2) = y \]

\ [((x) _ (2)) = \ frac (-5y-7y) (2) = \ frac (-12y) (2) = - 6y \]

Chúng tôi viết sự phân hủy của xây dựng hình vuông của chúng tôi:

\ [\ left (x-y \ right) \ left (x + 6y \ right) \]

Tổng cộng, nếu chúng tôi quay lại biểu thức ban đầu và viết lại nó có tính đến các thay đổi, chúng tôi nhận được như sau:

\ [\ frac (8) (\ left (x-y \ right) \ left (x + 6y \ right)) \]

Một kỷ lục như vậy cho chúng ta điều gì? Không có gì, bởi vì nó không thể được giảm bớt, nó không được nhân hoặc chia cho bất cứ điều gì. Tuy nhiên, ngay sau khi phân số này trở thành một phần tích hợp của một biểu thức phức tạp hơn, thì việc mở rộng như vậy sẽ có ích. Do đó, ngay khi bạn nhìn thấy một tam thức bình phương (cho dù nó có gánh nặng với các tham số bổ sung hay không), hãy luôn cố gắng tính nhân tử của nó.

Các sắc thái của giải pháp

Hãy nhớ các quy tắc cơ bản để chuyển đổi các biểu thức hữu tỉ:

  • Tất cả các mẫu số và tử số phải được tính theo thừa số thông qua các công thức nhân viết tắt hoặc thông qua số phân biệt.
  • Chúng ta cần làm việc theo thuật toán này: khi chúng ta nhìn và cố gắng làm nổi bật công thức nhân viết tắt, thì trước hết, chúng ta cố gắng dịch mọi thứ đến mức tối đa có thể. Sau đó, chúng tôi lấy mức độ chung ra khỏi ngoặc.
  • Rất thường xuyên sẽ có các biểu thức với một tham số: các biến khác sẽ xuất hiện dưới dạng hệ số. Chúng tôi tìm thấy chúng bằng cách sử dụng công thức khai triển bậc hai.

Vì vậy, ngay khi bạn nhìn thấy phân số hữu tỉ, điều đầu tiên cần làm là quy cả tử số và mẫu số thành thừa số (thành biểu thức tuyến tính), trong khi chúng ta sử dụng các công thức nhân rút gọn hoặc phân biệt.

Hãy xem xét một vài biểu hiện hợp lý như vậy và cố gắng phân tích chúng.

Giải quyết các ví dụ phức tạp hơn

Nhiệm vụ 1

\ [\ frac (4 ((x) ^ (2)) - 6xy + 9 ((y) ^ (2))) (2x-3y) \ cdot \ frac (9 ((y) ^ (2)) - 4 ((x) ^ (2))) (8 ((x) ^ (3)) + 27 ((y) ^ (3))) \]

Chúng tôi viết lại và cố gắng mở rộng từng thuật ngữ:

Hãy viết lại toàn bộ biểu thức hợp lý của chúng ta với những sự kiện sau:

\ [\ frac (((\ left (2x \ right)) ^ (2)) - 2x \ cdot 3y + ((\ left (3y \ right)) ^ (2))) (2x-3y) \ cdot \ frac (((\ left (3y \ right)) ^ (2)) - ((\ left (2x \ right)) ^ (2))) (((\ left (2x \ right)) ^ (3)) + ((\ left (3y \ right)) ^ (3))) = \]

\ [= \ frac (((\ left (2x \ right)) ^ (2)) - 2x \ cdot 3y + ((\ left (3y \ right)) ^ (2))) (2x-3y) \ cdot \ frac (\ left (3y-2x \ right) \ left (3y + 2x \ right)) (\ left (2x + 3y \ right) \ left (((\ left (2x \ right)) ^ (2)) - 2x \ cdot 3y + ((\ left (3y \ right)) ^ (2)) \ right)) = - 1 \]

Trả lời: $ -1 $.

Nhiệm vụ 2

\ [\ frac (3-6x) (2 ((x) ^ (2)) + 4x + 8) \ cdot \ frac (2x + 1) (((x) ^ (2)) + 4-4x) \ cdot \ frac (8 - ((x) ^ (3))) (4 ((x) ^ (2)) - 1) \]

Hãy xem xét tất cả các phân số.

\ [((x) ^ (2)) + 4-4x = ((x) ^ (2)) - 4x + 2 = ((x) ^ (2)) - 2 \ cdot 2x + ((2) ^ ( 2)) = ((\ left (x-2 \ right)) ^ (2)) \]

Hãy viết lại toàn bộ cấu trúc có tính đến những thay đổi:

\ [\ frac (3 \ left (1-2x \ right)) (2 \ left (((x) ^ (2)) + 2x + ((2) ^ (2)) \ right)) \ cdot \ frac ( 2x + 1) (((\ left (x-2 \ right)) ^ (2))) \ cdot \ frac (\ left (2-x \ right) \ left (((2) ^ (2)) + 2x + ((x) ^ (2)) \ right)) (\ left (2x-1 \ right) \ left (2x + 1 \ right)) = \]

\ [= \ frac (3 \ cdot \ left (-1 \ right)) (2 \ cdot \ left (x-2 \ right) \ cdot \ left (-1 \ right)) = \ frac (3) (2 \ left (x-2 \ right)) \]

Trả lời: $ \ frac (3) (2 \ left (x-2 \ right)) $.

Các sắc thái của giải pháp

Vì vậy, những gì chúng ta vừa học được:

  • Không phải mọi tam thức bình phương đều được phân tích nhân tử, đặc biệt, điều này áp dụng cho bình phương không đầy đủ của tổng hoặc hiệu, chúng thường được tìm thấy dưới dạng các phần của tổng hoặc sai phân lập phương.
  • Hằng số, tức là các số thông thường không có biến với chúng cũng có thể hoạt động như các phần tử tích cực trong quá trình phân rã. Thứ nhất, chúng có thể được lấy ra khỏi dấu ngoặc và thứ hai, bản thân các hằng số có thể được biểu diễn dưới dạng lũy ​​thừa.
  • Rất thường xuyên, sau khi phân hủy tất cả các yếu tố thành các yếu tố, các cấu tạo trái ngược nhau phát sinh. Bạn cần phải giảm các phân số này rất cẩn thận, bởi vì khi bạn gạch bỏ chúng từ phía trên hoặc từ phía dưới, một hệ số bổ sung $ -1 $ sẽ xuất hiện - đây chính xác là hệ quả của thực tế là chúng trái ngược nhau.

Giải quyết các vấn đề phức tạp

\ [\ frac (27 ((a) ^ (3)) - 64 ((b) ^ (3))) (((b) ^ (2)) - 4): \ frac (9 ((a) ^ (2)) + 12ab + 16 ((b) ^ (2))) (((b) ^ (2)) + 4b + 4) \]

Chúng ta hãy xem xét từng thuật ngữ riêng biệt.

Phân số đầu tiên:

\ [((\ left (3a \ right)) ^ (3)) - ((\ left (4b \ right)) ^ (3)) = \ left (3a-4b \ right) \ left (((\ left (3a \ right)) ^ (2)) + 3a \ cdot 4b + ((\ left (4b \ right)) ^ (2)) \ right) \]

\ [((b) ^ (2)) - ((2) ^ (2)) = \ left (b-2 \ right) \ left (b + 2 \ right) \]

Chúng ta có thể viết lại toàn bộ tử số của phân số thứ hai như sau:

\ [((\ left (3a \ right)) ^ (2)) + 3a \ cdot 4b + ((\ left (4b \ right)) ^ (2)) \]

Bây giờ chúng ta hãy nhìn vào mẫu số:

\ [((b) ^ (2)) + 4b + 4 = ((b) ^ (2)) + 2 \ cdot 2b + ((2) ^ (2)) = ((\ left (b + 2 \ right )) ^ (2)) \]

Hãy viết lại toàn bộ biểu thức hợp lý với các dữ kiện trên:

\ [\ frac (\ left (3a-4b \ right) \ left (((\ left (3a \ right)) ^ (2)) + 3a \ cdot 4b + ((\ left (4b \ right)) ^ (2 )) \ right)) (\ left (b-2 \ right) \ left (b + 2 \ right)) \ cdot \ frac (((\ left (b + 2 \ right)) ^ (2))) ( ((\ left (3a \ right)) ^ (2)) + 3a \ cdot 4b + ((\ left (4b \ right)) ^ (2))) = \]

\ [= \ frac (\ left (3a-4b \ right) \ left (b + 2 \ right)) (\ left (b-2 \ right)) \]

Trả lời: $ \ frac (\ left (3a-4b \ right) \ left (b + 2 \ right)) (\ left (b-2 \ right)) $.

Các sắc thái của giải pháp

Như chúng ta đã thấy một lần nữa, bình phương không đầy đủ của tổng hoặc bình phương không đầy đủ của hiệu, thường được tìm thấy trong các biểu thức hữu tỉ thực, tuy nhiên, đừng sợ chúng, vì sau khi biến đổi mỗi phần tử, chúng hầu như luôn bị hủy bỏ. Ngoài ra, không có trường hợp nào bạn nên sợ các công trình lớn trong câu trả lời cuối cùng - rất có thể đây không phải là sai lầm của bạn (đặc biệt là nếu mọi thứ đều được tính toán), nhưng tác giả đã quan niệm một câu trả lời như vậy.

Tóm lại, tôi muốn phân tích một ví dụ phức tạp hơn, không còn liên quan trực tiếp đến phân số hữu tỉ nữa, nhưng nó chứa đựng tất cả những gì đang chờ đợi bạn trong các bài kiểm tra và kỳ thi thực tế, đó là: phân thừa, rút ​​gọn về mẫu số chung, rút ​​gọn các số hạng tương tự . Đó chính xác là những gì chúng ta sẽ làm bây giờ.

Giải một bài toán phức tạp về đơn giản hóa và biến đổi các biểu thức hữu tỉ

\ [\ left (\ frac (x) (((x) ^ (2)) + 2x + 4) + \ frac (((x) ^ (2)) + 8) (((x) ^ (3) ) -8) - \ frac (1) (x-2) \ right) \ cdot \ left (\ frac (((x) ^ (2))) (((x) ^ (2)) - 4) - \ frac (2) (2-x) \ right) \]

Đầu tiên, hãy xem xét và mở rộng dấu ngoặc thứ nhất: trong đó chúng ta thấy ba phân số riêng biệt có mẫu số khác nhau, vì vậy điều đầu tiên chúng ta cần làm là đưa cả ba phân số về một mẫu số chung và đối với điều này, mỗi phân số trong số chúng phải được nhân tử:

\ [((x) ^ (2)) + 2x + 4 = ((x) ^ (2)) + 2 \ cdot x + ((2) ^ (2)) \]

\ [((x) ^ (2)) - 8 = ((x) ^ (3)) - ((2) ^ (2)) = \ left (x-2 \ right) \ left (((x) ^ (2)) + 2x + ((2) ^ (2)) \ phải) \]

Hãy viết lại toàn bộ cấu trúc của chúng ta như sau:

\ [\ frac (x) (((x) ^ (2)) + 2x + ((2) ^ (2))) + \ frac (((x) ^ (2)) + 8) (\ left (x -2 \ right) \ left (((x) ^ (2)) + 2x + ((2) ^ (2)) \ right)) - \ frac (1) (x-2) = \]

\ [= \ frac (x \ left (x-2 \ right) + ((x) ^ (3)) + 8- \ left (((x) ^ (2)) + 2x + ((2) ^ (2 )) \ right)) (\ left (x-2 \ right) \ left (((x) ^ (2)) + 2x + ((2) ^ (2)) \ right)) = \]

\ [= \ frac (((x) ^ (2)) - 2x + ((x) ^ (2)) + 8 - ((x) ^ (2)) - 2x-4) (\ left (x-2) \ right) \ left (((x) ^ (2)) + 2x + ((2) ^ (2)) \ right)) = \ frac (((x) ^ (2)) - 4x-4) (\ left (x-2 \ right) \ left (((x) ^ (2)) + 2x + ((2) ^ (2)) \ right)) = \]

\ [= \ frac (((\ left (x-2 \ right)) ^ (2))) (\ left (x-2 \ right) \ left (((x) ^ (2)) + 2x + (( 2) ^ (2)) \ right)) = \ frac (x-2) (((x) ^ (2)) + 2x + 4) \]

Đây là kết quả của các phép tính từ dấu ngoặc đơn đầu tiên.

Xử lý dấu ngoặc thứ hai:

\ [((x) ^ (2)) - 4 = ((x) ^ (2)) - ((2) ^ (2)) = \ left (x-2 \ right) \ left (x + 2 \ bên phải)\]

Hãy viết lại dấu ngoặc thứ hai, có tính đến những thay đổi:

\ [\ frac (((x) ^ (2))) (\ left (x-2 \ right) \ left (x + 2 \ right)) + \ frac (2) (x-2) = \ frac ( ((x) ^ (2)) + 2 \ left (x + 2 \ right)) (\ left (x-2 \ right) \ left (x + 2 \ right)) = \ frac (((x) ^ (2)) + 2x + 4) (\ left (x-2 \ right) \ left (x + 2 \ right)) \]

Bây giờ chúng ta hãy viết toàn bộ cấu trúc ban đầu:

\ [\ frac (x-2) (((x) ^ (2)) + 2x + 4) \ cdot \ frac (((x) ^ (2)) + 2x + 4) (\ left (x-2) \ right) \ left (x + 2 \ right)) = \ frac (1) (x + 2) \]

Trả lời: $ \ frac (1) (x + 2) $.

Các sắc thái của giải pháp

Như bạn có thể thấy, câu trả lời hóa ra khá lành mạnh. Tuy nhiên, xin lưu ý: rất thường với những phép tính quy mô lớn như vậy, khi biến duy nhất chỉ ở mẫu số, học sinh quên rằng đây là mẫu số và nó phải ở dưới cùng của phân số và viết biểu thức này ở tử số - điều này là một sai lầm nghiêm trọng.

Ngoài ra, tôi muốn thu hút sự chú ý đặc biệt của bạn về cách thức những nhiệm vụ như vậy được chính thức hóa. Trong bất kỳ phép tính phức tạp nào, tất cả các bước đều được thực hiện từng bước: đầu tiên, chúng tôi đếm dấu ngoặc thứ nhất riêng biệt, sau đó là dấu ngoặc thứ hai riêng biệt, và chỉ khi kết hợp tất cả các phần và tính kết quả. Do đó, chúng ta tự bảo đảm mình chống lại những sai lầm ngớ ngẩn, cẩn thận viết ra tất cả các phép tính và đồng thời không lãng phí thêm thời gian, như thoạt nhìn có vẻ như vậy.


Bài văn này là về sự biến đổi của các biểu thức hữu tỉ, chủ yếu là hữu tỉ phân số, là một trong những câu hỏi quan trọng của chương trình học đại số lớp 8. Đầu tiên, chúng ta nhớ lại những loại biểu thức nào được gọi là hợp lý. Tiếp theo, chúng ta sẽ tập trung vào việc thực hiện các phép biến đổi tiêu chuẩn với các biểu thức hữu tỉ, chẳng hạn như nhóm các số hạng, lấy thừa số chung ra khỏi dấu ngoặc, giảm các số hạng tương tự, v.v. Cuối cùng, chúng ta sẽ học cách biểu diễn biểu thức hữu tỉ phân số dưới dạng phân số hữu tỉ.

Điều hướng trang.

Định nghĩa và ví dụ về biểu thức hữu tỉ

Biểu thức hữu tỉ là một trong những dạng biểu thức được học trong các tiết học đại số ở trường. Hãy đưa ra một định nghĩa.

Sự định nghĩa.

Các biểu thức tạo thành từ số, biến, dấu ngoặc, độ với số mũ nguyên, được kết nối bằng cách sử dụng các dấu hiệu của các phép toán số học +, -, · và:, trong đó phép chia có thể được biểu thị bằng một thanh phân số, được gọi là Biểu thức hợp lý.

Dưới đây là một số ví dụ về biểu thức hữu tỉ:.

Biểu thức hữu tỉ bắt đầu được học có mục đích ở lớp 7. Hơn nữa, ở lớp 7, những điều cơ bản để làm việc với cái gọi là toàn bộ biểu thức hợp lý nghĩa là với biểu thức hữu tỉ không chứa phép chia thành biểu thức có biến. Để làm được điều này, các đơn thức và đa thức được nghiên cứu một cách nhất quán, cũng như các nguyên tắc để thực hiện các hành động với chúng. Tất cả những kiến ​​thức này cuối cùng cho phép bạn thực hiện việc chuyển đổi các biểu thức số nguyên.

Ở lớp 8, các em chuyển sang nghiên cứu về biểu thức hữu tỉ chứa phép chia cho một biểu thức có biến, được gọi là biểu thức hữu tỉ phân số. Đồng thời, đặc biệt chú ý đến cái gọi là phân số hữu tỉ(còn được gọi là phân số đại số), nghĩa là các phân số mà tử số và mẫu số của chúng chứa đa thức. Điều này cuối cùng làm cho nó có thể thực hiện chuyển đổi các phân số hữu tỉ.

Các kỹ năng có được cho phép chúng ta tiến hành biến đổi các biểu thức hữu tỉ về dạng tùy ý. Điều này được giải thích bởi thực tế là bất kỳ biểu thức hữu tỉ nào cũng có thể được coi là một biểu thức bao gồm các phân số hữu tỉ và biểu thức số nguyên, được nối với nhau bằng các dấu của phép toán số học. Và chúng ta đã biết cách làm việc với biểu thức số nguyên và phân số đại số.

Các dạng biến đổi chính của biểu thức hữu tỉ

Với biểu thức hữu tỉ, bạn có thể thực hiện bất kỳ phép biến đổi nhận dạng cơ bản nào, cho dù đó là nhóm các thuật ngữ hoặc thừa số, đưa các thuật ngữ tương tự, thực hiện các phép toán với số, v.v. Thông thường, mục đích của những chuyển đổi này là đơn giản hóa biểu thức hợp lý.

Ví dụ.

.

Giải pháp.

Rõ ràng rằng biểu thức hợp lý này là sự khác biệt của hai biểu thức và hơn nữa, các biểu thức này tương tự nhau, vì chúng có cùng một phần nghĩa đen. Do đó, chúng tôi có thể thực hiện giảm các điều khoản tương tự:

Trả lời:

.

Rõ ràng là khi thực hiện các phép biến đổi với các biểu thức hữu tỉ, cũng như thực tế, với bất kỳ biểu thức nào khác, người ta phải duy trì trong khuôn khổ của thứ tự các hành động được chấp nhận.

Ví dụ.

Biến đổi biểu thức hữu tỉ.

Giải pháp.

Chúng ta biết rằng các hành động trong dấu ngoặc đơn được thực hiện đầu tiên. Do đó, trước hết ta biến đổi biểu thức trong ngoặc: 3 x - x = 2 x.

Bây giờ bạn có thể thay thế kết quả trong biểu thức hữu tỉ ban đầu:. Vì vậy, chúng tôi đã đến một biểu thức có chứa các hành động của một giai đoạn - cộng và nhân.

Hãy loại bỏ dấu ngoặc ở cuối biểu thức bằng cách áp dụng thuộc tính chia theo tích:.

Cuối cùng, chúng ta có thể nhóm các thừa số và thừa số với biến x, sau đó thực hiện các phép toán tương ứng trên các số và áp dụng:.

Điều này hoàn thành việc chuyển đổi biểu thức hữu tỉ, và kết quả là chúng ta nhận được một đơn thức.

Trả lời:

Ví dụ.

Biến đổi biểu thức hợp lý .

Giải pháp.

Đầu tiên chúng ta chuyển đổi tử số và mẫu số. Thứ tự chuyển đổi này của phân số được giải thích bởi thực tế là nét của một phân số, về bản chất, là một phép chia khác, và biểu thức hữu tỉ ban đầu về cơ bản là một dạng cụ thể. , và các hành động trong ngoặc đơn được thực hiện đầu tiên.

Vì vậy, ở tử số, chúng tôi thực hiện các phép toán với đa thức, nhân đầu tiên, sau đó trừ và ở mẫu số, chúng tôi nhóm các thừa số và tính tích của chúng: .

Hãy cũng tưởng tượng tử số và mẫu số của phân số thu được là một tích: đột nhiên có thể rút gọn phân số đại số. Để làm điều này, trong tử số, chúng tôi sử dụng sự khác biệt của công thức bình phương và ở mẫu số, chúng ta lấy số giảm trừ trong ngoặc, chúng ta có .

Trả lời:

.

Vì vậy, bước đầu làm quen với phép biến đổi các biểu thức hữu tỉ có thể coi là đã hoàn thành. Có thể nói, chúng tôi vượt qua những gì ngọt ngào nhất.

Biểu diễn dưới dạng một phân số hữu tỉ

Mục tiêu cuối cùng phổ biến nhất của việc biến đổi các biểu thức là đơn giản hóa hình thức của chúng. Theo cách hiểu này, dạng đơn giản nhất mà một biểu thức hữu tỉ phân số có thể được chuyển đổi là một phân số hữu tỉ (đại số) và trong trường hợp cụ thể là một đa thức, một đơn thức hoặc một số.

Có thể biểu diễn bất kỳ biểu thức hữu tỉ nào dưới dạng phân số hữu tỉ không? Câu trả lời là có. Hãy giải thích tại sao điều này là như vậy.

Như chúng ta đã nói, bất kỳ biểu thức hữu tỉ nào cũng có thể được coi là đa thức và phân số hữu tỉ được nối với nhau bằng dấu cộng, dấu trừ, nhân và chia. Tất cả các phép toán có liên quan trên đa thức đều mang lại một đa thức hoặc một phân số hữu tỉ. Đổi lại, bất kỳ đa thức nào cũng có thể được chuyển thành một phân số đại số bằng cách viết nó với mẫu số 1. Và các phép cộng, trừ, nhân và chia phân số hữu tỉ dẫn đến một phân số hữu tỉ mới. Do đó, sau khi thực hiện tất cả các phép toán với đa thức và phân số hữu tỉ trong một biểu thức hữu tỉ, ta được một phân số hữu tỉ.

Ví dụ.

Biểu thị dưới dạng một phân số hữu tỉ biểu thức .

Giải pháp.

Biểu thức hữu tỉ ban đầu là hiệu giữa phân số và tích của các phân số có dạng . Theo thứ tự của các hoạt động, trước tiên chúng ta phải thực hiện phép nhân, và chỉ sau đó là phép cộng.

Chúng ta bắt đầu bằng cách nhân các phân số đại số:

Chúng ta thay kết quả thu được vào biểu thức hữu tỉ ban đầu:.

Chúng ta đã đến với phép trừ các phân số đại số với các mẫu số khác nhau:

Vì vậy, sau khi thực hiện các hành động với phân số hữu tỉ tạo nên biểu thức hữu tỉ ban đầu, chúng tôi đã trình bày nó dưới dạng phân số hữu tỉ.

Trả lời:

.

Để củng cố tài liệu, chúng ta sẽ phân tích lời giải của một ví dụ khác.

Ví dụ.

Hãy biểu thị một biểu thức hữu tỉ dưới dạng một phân số hữu tỉ.