Khoảng cách từ một điểm đến một đường trong tọa độ. Các bài toán đơn giản nhất về đường thẳng trên mặt phẳng. Sự sắp xếp lẫn nhau của các dòng. Góc giữa các dòng

155 *. Xác định kích thước thực của đoạn thẳng AB của một đoạn thẳng ở vị trí chung (Hình 153, a).

Quyết định. Như đã biết, hình chiếu của một đoạn thẳng trên mặt phẳng nào cũng bằng chính đoạn thẳng đó (tính đến tỉ lệ hình vẽ), nếu nó song song với mặt phẳng này

(Hình 153, b). Do đó, bằng cách chuyển đổi bản vẽ, nó là cần thiết để đạt được độ song song của pl phân đoạn này. V hoặc pl. H hoặc bổ sung hệ thức V, H có mặt phẳng khác vuông góc với hình vuông. V hoặc để pl. H đồng thời song song với đoạn thẳng đã cho.

Trên hình. 153, c cho thấy sự giới thiệu của một mặt phẳng bổ sung S, vuông góc với hình vuông. H và song song với đoạn thẳng AB cho trước.

Hình chiếu a s b s bằng giá trị tự nhiên của đoạn thẳng AB.

Trên hình. 153, d chỉ ra một phương pháp khác: đoạn AB được quay quanh một đường thẳng đi qua điểm B và vuông góc với pl. H, đến một vị trí song song

sq. V. Trong trường hợp này, điểm B được giữ nguyên và điểm A chiếm vị trí mới A 1. Chân trời ở vị trí mới. hình chiếu a 1 b || trục x. Hình chiếu a "1 b" bằng giá trị tự nhiên của đoạn thẳng AB.

156. Hình chóp SABCD đã cho (Hình 154). Xác định kích thước tự nhiên của các cạnh hình chóp AS và CS bằng phương pháp đổi mặt phẳng hình chiếu, và các cạnh BS và DS bằng phương pháp quay, lấy trục quay vuông góc với hình vuông. H.

157 *. Xác định khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC (Hình 155, a).

Quyết định. Khoảng cách từ một điểm đến một đoạn thẳng được đo bằng một đoạn vuông góc được vẽ từ một điểm đến một đoạn thẳng.

Nếu đường thẳng vuông góc với bất kỳ mặt phẳng nào (Hình 155.6), thì khoảng cách từ điểm đến đường thẳng được đo bằng khoảng cách giữa hình chiếu của điểm và hình chiếu của đường thẳng trên mặt phẳng này. Nếu một đường thẳng chiếm một vị trí chung trong hệ V, H thì để xác định khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng bằng cách thay đổi các mặt phẳng hình chiếu, ta phải đưa thêm hai mặt phẳng nữa vào trong hệ V, H.

Đầu tiên (Hình 155, c) chúng ta nhập hình vuông. S, song song với đoạn BC (trục mới S / H song song với hình chiếu bс), và ta dựng các hình chiếu b s c s và a s. Sau đó (Hình 155, d) chúng tôi giới thiệu một hình vuông khác. T vuông góc với đường thẳng BC (trục T / S mới vuông góc với b s c s). Chúng ta xây dựng các hình chiếu của một đường thẳng và một điểm - với t (b t) và a t. Khoảng cách giữa hai điểm a t và c t (b t) bằng khoảng cách l từ điểm A đến đường thẳng BC.

Trên hình. 155e, nguyên công giống nhau được thực hiện bằng phương pháp quay ở dạng của nó, phương pháp này được gọi là phương pháp chuyển động song song. Đầu tiên, đường thẳng BC và điểm A, giữ nguyên vị trí tương hỗ của chúng, quay quanh một số (không chỉ ra trong hình vẽ) đường vuông góc với hình vuông. H sao cho đoạn thẳng BC song song với hình vuông. V. Điều này tương đương với việc di chuyển các điểm A, B, C trong các mặt phẳng song song với hình vuông. H. Đồng thời, chân trời. hình chiếu của một hệ đã cho (BC + A) không thay đổi về độ lớn hay cấu hình, chỉ thay đổi vị trí của nó so với trục x. Thiết lập một đường chân trời. hình chiếu của đường thẳng BC song song với trục x (vị trí b 1 c 1) và xác định hình chiếu a 1, bỏ c 1 1 1 \ u003d c-1 và a 1 1 1 \ u003d a-1, và a 1 1 1 ⊥ c 1 1 1. Vẽ các đường thẳng b "b" 1, a "a" 1, c "c" 1 song song với trục x, ta tìm được mặt trước của chúng. các phép chiếu b "1, a" 1, c "1. Tiếp theo, chúng ta di chuyển các điểm B 1, C 1 và A 1 trong các mặt phẳng song song với hình vuông V (cũng không thay đổi vị trí tương đối của chúng), sao cho B 2 C 2 ⊥ vuông H. Trong trường hợp này, hình chiếu của đường thẳng ra phía trước sẽ vuông góc với trục x, b 2 c "2 = b" 1 c "1, và để dựng hình chiếu a" 2, bạn cần lấy b "2 2" 2 = b "1 2" 1, rút ​​ra 2 "a" 2 ⊥ b "2 c" 2 và hoãn a "2 2" 2 \ u003d a "1 2" 1. Bây giờ, sau khi chi tiêu c 1 c 2 và a 1 a 2 || x 1, ta được các hình chiếu b 2 s 2 và a 2 và khoảng cách l mong muốn từ điểm A đến đường thẳng BC.Bạn có thể xác định khoảng cách từ A đến BC bằng cách quay mặt phẳng xác định. bởi điểm A và đường thẳng BC quanh phương ngang của mặt phẳng này đến vị trí T || pl. H (Hình 155, e).

Trong mặt phẳng cho bởi điểm A và đường thẳng BC, ta kẻ đường thẳng A-1 nằm ngang (Hình 155, g) và quay điểm B quanh nó, điểm B chuyển thành hình vuông. R (cho trong hình vẽ sau R h), vuông góc với A-1; tại điểm O là tâm quay của điểm B. Bây giờ chúng ta xác định giá trị tự nhiên của bán kính quay của VO, (Hình. 155, c). Ở vị trí bắt buộc, tức là khi pl. T xác định bởi điểm A và đường thẳng BC sẽ trở thành || sq. H, điểm B sẽ quay trên R h cách điểm O một khoảng Ob 1 (có thể có vị trí khác trên cùng đường R h, nhưng ở phía khác của O). Điểm b 1 là đường chân trời. Hình chiếu của điểm B sau khi dời nó đến vị trí B 1 trong không gian, khi mặt phẳng xác định bởi điểm A và đường thẳng BC đã lấy vị trí T.

Sau khi vẽ (Hình. 155 và) đường thẳng b 1 1, chúng ta sẽ có được đường chân trời. hình chiếu của đoạn thẳng BC, đã có vị trí || sq. H nằm trong cùng mặt phẳng với A. Ở vị trí này, khoảng cách từ a đến b 1 1 bằng khoảng cách l mong muốn. Mặt phẳng P, trong đó các phần tử đã cho nằm, có thể kết hợp với hình vuông. H (Hình 155, j), quay hình vuông. P xung quanh chân trời của cô. dấu vết. Sau khi chuyển từ thiết lập mặt phẳng bởi điểm A và đường thẳng BC sang thiết lập đường thẳng BC và A-1 (Hình 155, l), chúng ta tìm vết của những đường này và vẽ vết P ϑ và P h qua chúng. Chúng tôi đang xây dựng (Hình 155, m) kết hợp với hình vuông. H vị trí phía trước. vết - P ϑ0.

Vẽ đường chân trời qua điểm a. hình chiếu trực diện; trán kết hợp đi qua điểm 2 trên vết Р h song song với Р ϑ0. Điểm A 0 - kết hợp với pl. H là vị trí của điểm A. Tương tự ta tìm được điểm B 0. Mặt trời trực tiếp trong kết hợp với pl. Vị trí H đi qua điểm B 0 và điểm m (hoành độ của một đoạn thẳng).

Khoảng cách từ điểm A 0 đến đường thẳng B 0 C 0 bằng khoảng cách mong muốn l.

Có thể thực hiện việc xây dựng được chỉ định bằng cách chỉ tìm thấy một dấu vết P h (Hình. 155, n và o). Toàn bộ việc xây dựng tương tự như quay quanh phương ngang (xem Hình 155, f, c, i): vết P h là một trong các đường nằm ngang của hình vuông. R.

Trong số các phương pháp chuyển đổi một hình vẽ được đưa ra để giải quyết vấn đề này, phương pháp quay xung quanh một chiều ngang hoặc chính diện được ưu tiên hơn.

158. Hình chóp SABC đã cho (Hình 156). Xác định khoảng cách:

a) Từ đỉnh B của mặt đáy đến cạnh AC của nó bằng phương pháp chuyển động song song;

b) Từ đỉnh S của hình chóp xuống các cạnh BC và AB của mặt đáy bằng phép quay quanh phương ngang;

c) từ đỉnh S xuống cạnh AC của mặt đáy bằng cách thay đổi các mặt phẳng hình chiếu.

159. Cho hình lăng trụ (Hình 157). Xác định khoảng cách:

a) giữa các cạnh AD và CF bằng cách thay đổi các mặt phẳng hình chiếu;

b) giữa các xương sườn BE và CF bằng cách quay xung quanh phía trước;

c) giữa các cạnh AD và BE bằng phương pháp chuyển động song song.

160. Xác định kích thước thực của tứ giác ABCD (Hình 158) bằng cách kết hợp với hình vuông. N. Chỉ sử dụng dấu vết nằm ngang của mặt phẳng.

161 *. Xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AB và CD (Hình 159, a) và dựng hình chiếu của các đường vuông góc chung với chúng.

Quyết định. Khoảng cách giữa các đường giao nhau được đo bằng đoạn (MN) vuông góc với cả hai đường (Hình. 159, b). Rõ ràng, nếu một trong các đường thẳng được đặt vuông góc với bất kỳ hình vuông nào. T rồi

Đoạn thẳng MN vuông góc với cả hai đường thẳng sẽ song song với hình vuông. Phép chiếu của nó trên mặt phẳng này sẽ hiển thị khoảng cách mong muốn. Hình chiếu góc vuông MN n AB lên hình vuông. T cũng trở thành góc hợp giữa m t n t và a t b t, vì một trong các cạnh của góc vuông AMN là MN. song song với hình vuông. T.

Trên hình. 159, c và d, khoảng cách mong muốn l được xác định bằng phương pháp thay đổi các mặt phẳng chiếu. Đầu tiên, chúng tôi giới thiệu một hình vuông bổ sung. hình chiếu S, vuông góc với hình vuông. H và song song với đường thẳng CD (Hình. 159, c). Sau đó, chúng tôi giới thiệu một hình vuông bổ sung khác. T, vuông góc với hình vuông. S và vuông góc với cùng một đường thẳng CD (Hình. 159, d). Bây giờ bạn có thể xây dựng hình chiếu vuông góc chung bằng cách vẽ m t n t từ điểm c t (d t) vuông góc với hình chiếu a t b t. Các điểm m t và n t là hình chiếu của các giao điểm của đường vuông góc này với các đường thẳng AB và CD. Từ điểm m t (Hình 159, e) ta tìm được m s trên a s b s: hình chiếu m s n s nên song song với trục T / S. Hơn nữa, từ m s và n s, chúng ta tìm thấy m và n trên ab và cd, và từ chúng m "và n" trên a "b" và c "d".

Trên hình. 159, cho thấy giải pháp cho vấn đề này bằng phương pháp chuyển động song song. Đầu tiên, ta cho đoạn thẳng CD song song với hình vuông. V: hình chiếu c 1 d 1 || X. Tiếp theo, dời các đường thẳng CD và AB từ các vị trí C 1 D 1 và A 1 B 1 đến các vị trí C 2 B 2 và A 2 B 2 sao cho C 2 D 2 vuông góc với H: hình chiếu c "2 d" 2 ⊥ x . Đoạn vuông góc mong muốn nằm || sq. H, và do đó, m 2 n 2 biểu thị khoảng cách l cần thiết giữa AB và CD. Chúng ta tìm vị trí của các phép chiếu m "2 và n" 2 trên a "2 b" 2 và c "2 d" 2, sau đó là các phép chiếu và m 1 và m "1, n 1 và n" 1, cuối cùng, các phép chiếu m "và n", m và n.

162. Hình chóp SABC đã cho (Hình 160). Xác định khoảng cách giữa cạnh SB và cạnh AC của đáy hình chóp và dựng hình chiếu vuông góc chung với SB và AC bằng phương pháp đổi mặt phẳng hình chiếu.

163. Hình chóp SABC đã cho (Hình 161). Xác định khoảng cách giữa cạnh SH và cạnh BC của hình chóp và dựng hình chiếu vuông góc chung với SX và BC bằng phương pháp dời hình song song.

164 *. Xác định khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng trong các trường hợp mặt phẳng cho: a) bởi tam giác BCD (Hình 162, a); b) dấu vết (Hình 162, b).

Quyết định. Như bạn đã biết, khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng được đo bằng độ lớn của đường vuông góc vẽ từ điểm đến mặt phẳng. Khoảng cách này được chiếu vào bất kỳ hình vuông nào. các phép chiếu kích thước thực, nếu mặt phẳng đã cho vuông góc với hình vuông. các phép chiếu (Hình. 162, c). Tình huống này có thể đạt được bằng cách chuyển đổi bản vẽ, ví dụ, bằng cách thay đổi hình vuông. các phép chiếu. Hãy giới thiệu hình vuông. S (Hình 16ts, d), vuông góc với hình vuông. tam giác BCD. Để làm điều này, chúng tôi chi tiêu trong hình vuông. tam giác ngang B-1 và đặt trục của hình chiếu S vuông góc với hình chiếu b-1 nằm ngang. Chúng ta xây dựng các hình chiếu của một điểm và một mặt phẳng - a s và một đoạn c s d s. Khoảng cách từ a s đến c s d s bằng khoảng cách l mong muốn của chất điểm đến mặt phẳng.

Trên rio. 162, d phương pháp chuyển động song song được áp dụng. Ta di chuyển toàn bộ hệ cho đến khi phương ngang B-1 của mặt phẳng trở nên vuông góc với mặt phẳng V: hình chiếu b 1 1 1 phải vuông góc với trục x. Ở vị trí này, mặt phẳng của tam giác sẽ trở thành hình chiếu phía trước và khoảng cách l từ điểm A đến nó sẽ là hình vuông. V mà không bị biến dạng.

Trên hình. 162b máy bay được cho bởi dấu vết. Chúng tôi giới thiệu (Hình 162, e) một hình vuông bổ sung. S, vuông góc với hình vuông. P: trục S / H vuông góc với P h. Phần còn lại là rõ ràng từ bản vẽ. Trên hình. 162, vấn đề được giải quyết tốt với sự trợ giúp của một phép dời hình: pl. P đi vào vị trí P 1, tức là nó trở thành hình chiếu phía trước. Theo dõi. P 1h vuông góc với trục x. Chúng tôi xây dựng một mặt trận ở vị trí này của máy bay. vết của phương ngang là điểm n "1, n 1. Vết P 1ϑ sẽ đi qua P 1x và n 1. Khoảng cách từ a" 1 đến P 1ϑ bằng khoảng cách mong muốn l.

165. Hình chóp SABC đã cho (xem hình 160). Xác định khoảng cách từ điểm A đến mặt SBC của hình chóp bằng phương pháp dời hình song song.

166. Hình chóp SABC đã cho (xem hình 161). Xác định chiều cao của hình chóp bằng phương pháp dời hình song song.

167 *. Xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AB và CD (xem Hình 159, a) là khoảng cách giữa các mặt phẳng song song vẽ qua các đường thẳng này.

Quyết định. Trên hình. 163, và các mặt phẳng P và Q được hiển thị song song với nhau, trong đó pl. Q được vẽ qua CD song song với AB, và pl. P - qua AB song song với hình vuông. Q. Khoảng cách giữa các mặt phẳng đó được coi là khoảng cách giữa các đường xiên AB và CD. Tuy nhiên, bạn có thể hạn chế mình chỉ xây dựng một mặt phẳng, ví dụ Q, song song với AB, sau đó xác định khoảng cách ít nhất từ ​​điểm A đến mặt phẳng này.

Trên hình. 163c cho mặt phẳng Q qua CD song song với AB; trong các phép chiếu được tổ chức bằng "e" || a "b" và se || ab. Sử dụng phương pháp đổi bình phương. các phép chiếu (Hình 163, c), chúng tôi giới thiệu một hình vuông bổ sung. S, vuông góc với hình vuông. V và đồng thời

vuông góc với hình vuông. Q. Để vẽ trục S / V, chúng ta lấy trực diện D-1 trong mặt phẳng này. Bây giờ chúng ta vẽ S / V vuông góc với d "1" (Hình. 163, c). Xin vui lòng Q sẽ được hiển thị trên hình vuông. S là một đoạn thẳng với s d s. Phần còn lại là rõ ràng từ bản vẽ.

168. Hình chóp SABC đã cho (xem Hình 160). Xác định khoảng cách giữa hai cạnh SC và AB .Áp dụng: 1) phương pháp biến đổi diện tích. phép chiếu, 2) một phương pháp chuyển động song song.

169 *. Xác định khoảng cách giữa các mặt phẳng song song, một trong hai mặt phẳng này được cho bởi các đường thẳng AB và AC, và các đường thẳng khác là DE và DF (Hình 164, a). Cũng thực hiện xây dựng cho trường hợp khi các mặt phẳng được cho bởi dấu vết (Hình 164, b).

Quyết định. Khoảng cách (Hình 164, c) giữa các mặt phẳng song song có thể được xác định bằng cách vẽ một đường vuông góc từ bất kỳ điểm nào của mặt phẳng này đến mặt phẳng khác. Trên hình. 164, g giới thiệu một hình vuông bổ sung. S vuông góc với hình vuông. H và cả hai mặt phẳng đã cho. Trục S.H vuông góc với đường chân trời. hình chiếu của một đường thẳng nằm ngang được vẽ trên một trong các mặt phẳng. Ta dựng hình chiếu của mặt phẳng này và điểm Trong mặt phẳng khác trên Sq. 5. Khoảng cách của điểm d s đến đường thẳng l s a s bằng khoảng cách mong muốn giữa các mặt phẳng song song.

Trên hình. 164, d một cấu tạo khác được đưa ra (theo phương pháp chuyển động song song). Để mặt phẳng biểu diễn bởi hai đường thẳng cắt nhau AB và AC vuông góc với hình vuông. V, đường chân trời. ta đặt hình chiếu ngang của mặt phẳng này vuông góc với trục x là: 1 1 2 1 ⊥ x. Khoảng cách giữa phía trước. hình chiếu d "1 của điểm D và đường thẳng a" 1 2 "1 (hình chiếu chính diện của mặt phẳng) bằng khoảng cách mong muốn giữa các mặt phẳng.

Trên hình. 164, e cho thấy phần giới thiệu của một hình vuông bổ sung. S, vuông góc với pl.H và với mặt phẳng P và Q đã cho (trục S / H vuông góc với các vết P h và Q h). Chúng tôi xây dựng các dấu vết và Q. Khoảng cách giữa chúng (xem Hình 164, c) bằng khoảng cách mong muốn l giữa hai mặt phẳng P và Q.

Trên hình. 164, g cho thấy chuyển động của các mặt phẳng P 1 n Q 1, đến vị trí P 1 và Q 1 khi đường chân trời. các dấu vết hóa ra vuông góc với trục x. Khoảng cách giữa mặt trước mới. vết P 1ϑ và Q 1ϑ bằng khoảng cách cần thiết l.

170. Cho hình bình hành ABCDEFGH (Hình 165). Xác định khoảng cách: a) giữa các đáy của hình bình hành - l 1; b) giữa các mặt ABFE và DCGH - l 2; c) giữa 3 mặt ADHE và BCGF-l.

Bài này nói về chủ đề « khoảng cách từ điểm đến dòng », Các định nghĩa về khoảng cách từ một điểm đến một đoạn thẳng được xem xét với các ví dụ minh họa bằng phương pháp tọa độ. Mỗi khối lý thuyết ở cuối đều có các ví dụ về giải các bài toán tương tự.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Khoảng cách từ một điểm đến một đoạn thẳng được tìm thấy bằng cách xác định khoảng cách từ một điểm đến một điểm. Chúng ta hãy xem xét chi tiết hơn.

Cho đường thẳng a và điểm M 1 không thuộc đường thẳng đã cho. Vẽ một đường thẳng qua nó vuông góc với đường thẳng a. Lấy giao điểm của các đường là H 1. Ta nhận được M 1 H 1 là đường vuông góc hạ điểm M 1 xuống đường thẳng a.

Định nghĩa 1

Khoảng cách từ điểm M 1 đến đường thẳng a gọi là khoảng cách giữa hai điểm M 1 và H 1.

Có hồ sơ về định nghĩa với hình vẽ độ dài của đường vuông góc.

Định nghĩa 2

Khoảng cách từ điểm đến dòng là độ dài của đường vuông góc được vẽ từ một điểm cho trước đến một đoạn thẳng cho trước.

Các định nghĩa là tương đương. Hãy xem xét hình bên dưới.

Biết rằng khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng là nhỏ nhất có thể. Hãy xem điều này với một ví dụ.

Nếu lấy điểm Q nằm trên đường thẳng a, không trùng với điểm M 1 thì ta được đoạn M 1 Q gọi là xiên, hạ từ M 1 xuống đường thẳng a. Cần phải chỉ ra rằng đường vuông góc từ điểm M 1 nhỏ hơn bất kỳ đường xiên nào khác được vẽ từ điểm đến đường thẳng.

Để chứng minh điều này, xét tam giác M 1 Q 1 H 1, trong đó M 1 Q 1 là cạnh huyền. Được biết, chiều dài của nó luôn lớn hơn chiều dài của bất kỳ chiếc chân nào. Do đó, chúng ta có M 1 H 1< M 1 Q . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Dữ liệu ban đầu để tìm từ một điểm đến một đường thẳng cho phép sử dụng một số phương pháp giải: thông qua định lý Pitago, các định nghĩa về sin, côsin, tiếp tuyến của một góc và các phương pháp khác. Hầu hết các nhiệm vụ thuộc loại này được giải quyết ở trường trong các bài học hình học.

Khi tìm khoảng cách từ một điểm đến một đoạn thẳng có thể đưa vào hệ trục tọa độ hình chữ nhật thì người ta dùng phương pháp tọa độ. Trong đoạn này, chúng tôi xem xét hai phương pháp chính để tìm khoảng cách mong muốn từ một điểm cho trước.

Phương pháp đầu tiên liên quan đến việc tìm khoảng cách như một đường vuông góc vẽ từ M 1 đến đường thẳng a. Phương pháp thứ hai sử dụng phương trình pháp tuyến của đường thẳng a để tìm khoảng cách cần thiết.

Nếu có một điểm trên mặt phẳng có tọa độ M 1 (x 1, y 1) nằm trong hệ trục tọa độ hình chữ nhật, đường thẳng a và cần tìm khoảng cách M 1 H 1 thì có thể tính bằng hai cách. Hãy xem xét chúng.

Cách đầu tiên

Nếu tọa độ điểm H 1 lần lượt bằng x 2, y 2 thì khoảng cách từ điểm đến đường thẳng được tính từ tọa độ theo công thức M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

Bây giờ chúng ta hãy chuyển sang tìm tọa độ của điểm H 1.

Biết rằng một đường thẳng tại O x y tương ứng với phương trình của một đường thẳng trong một mặt phẳng. Hãy nắm cách xác định đường thẳng a thông qua việc viết phương trình tổng quát của đường thẳng hoặc phương trình có hệ số góc. Ta lập phương trình đường thẳng đi qua điểm M 1 vuông góc với đường thẳng a cho trước. Hãy biểu thị dòng bằng beech b. H 1 là giao điểm của hai đường thẳng a và b nên để xác định tọa độ phải sử dụng bài đề tọa độ giao điểm của hai đường thẳng.

Có thể thấy rằng thuật toán tìm khoảng cách từ điểm cho trước M 1 (x 1, y 1) đến đường thẳng a được thực hiện theo các điểm:

Định nghĩa 3

• tìm phương trình tổng quát của đường thẳng a, có dạng A 1 x + B 1 y + C 1 \ u003d 0, hoặc phương trình có hệ số góc, có dạng y \ u003d k 1 x + b 1;
• thu được phương trình tổng quát của đường thẳng b có dạng A 2 x + B 2 y + C 2 \ u003d 0 hoặc phương trình có hệ số góc y \ u003d k 2 x + b 2 nếu đường thẳng b cắt điểm M 1 và vuông góc với đường thẳng cho trước a;
• xác định tọa độ x 2, y 2 của điểm H 1 là giao điểm a và b, từ đó giải hệ phương trình tuyến tính A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 hoặc y = k 1 x + b 1 y = k 2 x + b 2;
• tính khoảng cách cần thiết từ một điểm đến một đường thẳng, sử dụng công thức M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

Cách thứ hai

Định lý có thể giúp trả lời câu hỏi tìm khoảng cách từ một điểm cho trước đến một đường thẳng cho trước trên mặt phẳng.

Định lý

Một hệ trục tọa độ hình chữ nhật có O x y có điểm M 1 (x 1, y 1), từ đó kẻ đường thẳng a đến mặt phẳng, cho bởi phương trình pháp tuyến của mặt phẳng, có dạng cos α x + cos β y - p \ u003d 0, bằng modulo giá trị thu được ở vế trái của phương trình đường thẳng pháp tuyến, được tính tại x = x 1, y = y 1, nghĩa là M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p.

Bằng chứng

Đường thẳng a ứng với phương trình pháp tuyến của mặt phẳng có dạng cos α x + cos β y - p = 0 thì n → = (cos α, cos β) được coi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng a tại a khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng a bằng p đơn vị. Cần mô tả tất cả các dữ liệu trong hình, thêm một điểm có tọa độ M 1 (x 1, y 1), trong đó vectơ bán kính của điểm M 1 - O M 1 → = (x 1, y 1). Cần phải vẽ một đường thẳng từ một điểm đến một đường thẳng, ta sẽ ký hiệu là M 1 H 1. Cần phải biểu diễn các hình chiếu M 2 và H 2 của các điểm M 1 và H 2 lên một đường thẳng đi qua điểm O với một vectơ chỉ phương có dạng n → = (cos α, cos β), và ta ký hiệu là phép chiếu số của vectơ là O M 1 → = (x 1, y 1) lên phương n → = (cos α, cos β) là n p n → O M 1 →.

Độ biến thiên phụ thuộc vào vị trí của chính điểm M 1. Hãy xem xét hình bên dưới.

Chúng ta sửa kết quả bằng công thức M 1 H 1 = n p n → O M → 1 - p. Khi đó ta đưa đẳng thức về dạng này M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p để thu được n p n → O M → 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1.

Tích vô hướng của vectơ dẫn đến công thức biến đổi có dạng n →, O M → 1 = n → n p n → O M 1 → = 1 n p n → O M 1 → = n p n → O M 1 →, là tích ở dạng tọa độ của dạng n →, O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1. Do đó, ta thu được n p n → O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1. Theo đó M 1 H 1 = n p n → O M 1 → - p = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p. Định lý đã được chứng minh.

Để tìm khoảng cách từ điểm M 1 (x 1, y 1) đến đường thẳng a trên mặt phẳng, ta phải thực hiện một số thao tác sau:

Định nghĩa 4

• thu được phương trình pháp tuyến của đường thẳng a cos α · x + cos β · y - p = 0, với điều kiện nó không nằm trong nhiệm vụ;
• tính biểu thức cos α · x 1 + cos β · y 1 - p, trong đó giá trị thu được nhận M 1 H 1.

Hãy áp dụng các phương pháp này để giải các bài toán về tìm khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng.

ví dụ 1

Tìm khoảng cách từ điểm có tọa độ M 1 (- 1, 2) đến đường thẳng 4 x - 3 y + 35 = 0.

Quyết định

Hãy sử dụng phương pháp đầu tiên để giải quyết.

Để làm được điều này, bạn cần tìm phương trình tổng quát của đường thẳng b đi qua điểm cho trước M 1 (- 1, 2) vuông góc với đường thẳng 4 x - 3 y + 35 = 0. Có thể thấy với điều kiện đường thẳng b vuông góc với đường thẳng a thì vectơ chỉ phương của nó có tọa độ bằng (4, - 3). Như vậy, ta có cơ hội viết phương trình chính tắc của đường thẳng b trên mặt phẳng, vì có tọa độ điểm M 1 thuộc đường thẳng b. Hãy xác định tọa độ của vectơ chỉ phương của đường thẳng b. Ta được x - (- 1) 4 = y - 2 - 3 ⇔ x + 1 4 = y - 2 - 3. Phương trình chính tắc kết quả phải được chuyển đổi thành phương trình tổng quát. Sau đó, chúng tôi nhận được điều đó

x + 1 4 = y - 2 - 3 ⇔ - 3 (x + 1) = 4 (y - 2) ⇔ 3 x + 4 y - 5 = 0

Hãy tìm tọa độ của các giao điểm của các đường, chúng ta sẽ có tên là H 1. Các phép biến đổi trông như thế này:

4 x - 3 y + 35 = 0 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 3 4 y - 35 4 + 4 y - 5 = 0 ⇔ ⇔ x = 3 4 y - 35 4 y = 5 ⇔ x = 3 4 5 - 35 4 y = 5 ⇔ x = - 5 y = 5

Từ trên ta có tọa độ điểm H 1 là (- 5; 5).

Cần tính khoảng cách từ điểm M 1 đến đường thẳng a. Ta có tọa độ của các điểm M 1 (- 1, 2) và H 1 (- 5, 5), sau đó thay vào công thức tìm khoảng cách ta được

M 1 H 1 \ u003d (- 5 - (- 1) 2 + (5 - 2) 2 \ u003d 25 \ u003d 5

Giải pháp thứ hai.

Để giải theo cách khác, cần thu được phương trình pháp tuyến của một đường thẳng. Chúng tôi tính giá trị của hệ số chuẩn hóa và nhân cả hai vế của phương trình 4 x - 3 y + 35 = 0. Từ đây ta nhận được rằng hệ số chuẩn hóa là - 1 4 2 + (- 3) 2 = - 1 5, và phương trình chuẩn hóa sẽ có dạng - 1 5 4 x - 3 y + 35 = - 1 5 0 ⇔ - 4 5 x + 3 5 y - 7 = 0.

Theo thuật toán tính toán, cần lấy phương trình pháp tuyến của một đường thẳng và tính nó với các giá trị x = - 1, y = 2. Sau đó, chúng tôi nhận được điều đó

4 5 - 1 + 3 5 2 - 7 = - 5

Từ đây ta được khoảng cách từ điểm M 1 (- 1, 2) đến đường thẳng 4 x - 3 y + 35 = 0 đã cho có giá trị - 5 = 5.

Trả lời: 5 .

Có thể thấy rằng trong phương pháp này điều quan trọng là sử dụng phương trình pháp tuyến của một đường thẳng, vì phương pháp này là ngắn nhất. Nhưng phương pháp thứ nhất thuận tiện ở chỗ nó nhất quán và logic, mặc dù nó có nhiều điểm tính toán hơn.

Ví dụ 2

Trên mặt phẳng có hệ trục tọa độ O x y hình chữ nhật với điểm M 1 (8, 0) và đường thẳng y = 1 2 x + 1. Tìm khoảng cách từ một điểm cho trước đến một đường thẳng.

Quyết định

Giải pháp theo cách thứ nhất ngụ ý việc rút gọn một phương trình đã cho với hệ số góc thành một phương trình tổng quát. Để đơn giản hóa, bạn có thể làm theo cách khác.

Nếu tích của các đường vuông góc là - 1, thì hệ số góc của đường vuông góc với y = 1 2 x + 1 đã cho là 2. Bây giờ ta có phương trình của đường thẳng đi qua điểm có tọa độ M 1 (8, 0). Ta có y - 0 = - 2 (x - 8) ⇔ y = - 2 x + 16.

Ta tiến hành tìm tọa độ điểm H 1, tức là giao điểm y \ u003d - 2 x + 16 và y \ u003d 1 2 x + 1. Ta lập một hệ phương trình và nhận được:

y = 1 2 x + 1 y = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 1 2 x + 1 = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 x = 6 ⇔ ⇔ y = 1 2 6 + 1 x \ u003d 6 \ u003d y \ u003d 4 x \ u003d 6 ⇒ H 1 (6, 4)

Như vậy khoảng cách từ điểm có tọa độ M 1 (8, 0) đến đường thẳng y = 1 2 x + 1 bằng khoảng cách từ điểm đầu đến điểm cuối có tọa độ M 1 (8, 0) và H 1 (6, 4). Hãy tính và được M 1 H 1 = 6 - 8 2 + (4 - 0) 2 20 = 2 5.

Giải pháp theo cách thứ hai là chuyển từ phương trình có hệ số về dạng chính tắc. Tức là, chúng ta nhận được y \ u003d 1 2 x + 1 ⇔ 1 2 x - y + 1 \ u003d 0, khi đó giá trị của hệ số chuẩn hóa sẽ là - 1 1 2 2 + (- 1) 2 \ u003d - 2 5 . Theo đó phương trình pháp tuyến của một đường thẳng có dạng - 2 5 1 2 x - y + 1 = - 2 5 0 ⇔ - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0. Hãy tính từ điểm M 1 8; 0 thành đường thẳng có dạng - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0. Chúng tôi nhận được:

M 1 H 1 \ u003d - 1 5 8 + 2 5 0 - 2 5 \ u003d - 10 5 \ u003d 2 5

Trả lời: 2 5 .

Ví dụ 3

Cần tính khoảng cách từ điểm có tọa độ M 1 (- 2, 4) đến các đường thẳng 2 x - 3 = 0 và y + 1 = 0.

Quyết định

Ta nhận được phương trình ở dạng chính tắc của đường thẳng 2 x - 3 = 0:

2 x - 3 = 0 ⇔ 1 2 2 x - 3 = 1 2 0 ⇔ x - 3 2 = 0

Sau đó ta tiến hành tính khoảng cách từ điểm M 1 - 2; 4 đến đường thẳng x - 3 2 = 0. Chúng tôi nhận được:

M 1 H 1 = - 2 - 3 2 = 3 1 2

Phương trình đường thẳng y + 1 = 0 có hệ số chuẩn là giá trị -1. Điều này có nghĩa là phương trình sẽ có dạng - y - 1 = 0. Ta tiến hành tính khoảng cách từ điểm M 1 (- 2, 4) đến đường thẳng - y - 1 = 0. Chúng tôi nhận được rằng nó bằng - 4 - 1 = 5.

Trả lời: 3 1 2 và 5.

Chúng ta hãy xem xét cụ thể việc xác định khoảng cách từ một điểm cho trước của mặt phẳng đến các trục tọa độ O x và O y.

Trong một hệ tọa độ hình chữ nhật, trục O y có phương trình là một đường thẳng, không đầy đủ và có dạng x \ u003d 0 và O x - y \ u003d 0. Phương trình pháp tuyến đối với các trục tọa độ, khi đó cần tìm khoảng cách từ điểm có tọa độ M 1 x 1, y 1 đến các đường thẳng. Điều này được thực hiện dựa trên các công thức M 1 H 1 = x 1 và M 1 H 1 = y 1. Hãy xem xét hình bên dưới.

Ví dụ 4

Tìm khoảng cách từ điểm M 1 (6, - 7) đến các đường tọa độ nằm trong mặt phẳng O x y.

Quyết định

Vì phương trình y \ u003d 0 tham chiếu đến đường thẳng O x, bạn có thể tìm khoảng cách từ M 1 với các tọa độ đã cho đến đường này bằng công thức. Chúng tôi nhận được rằng 6 = 6.

Vì phương trình x \ u003d 0 tham chiếu đến đường thẳng O y, bạn có thể tìm khoảng cách từ M 1 đến đường thẳng này bằng công thức. Sau đó, chúng tôi nhận được rằng - 7 = 7.

Trả lời: khoảng cách từ M 1 đến O x có giá trị là 6 và từ M 1 đến O y có giá trị là 7.

Khi trong không gian ba chiều ta có một điểm có tọa độ M 1 (x 1, y 1, z 1) thì cần tìm khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng a.

Hãy xem xét hai cách cho phép bạn tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng a nằm trong không gian. Trường hợp thứ nhất xét khoảng cách từ điểm M 1 đến đoạn thẳng, tại đó điểm trên đoạn thẳng được gọi là H 1 và là gốc của đường vuông góc kẻ từ điểm M 1 đến đường thẳng a. Trường hợp thứ hai cho rằng các điểm của mặt phẳng này phải được tìm là đường cao của hình bình hành.

Cách đầu tiên

Từ định nghĩa, ta có khoảng cách từ điểm M 1 nằm trên đường thẳng a là độ dài của đường vuông góc M 1 H 1, rồi với tọa độ tìm được của điểm H 1 thì ta tìm được khoảng cách. giữa M 1 (x 1, y 1, z 1) và H 1 (x 1, y 1, z 1) dựa trên công thức M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2.

Ta nhận được rằng toàn bộ lời giải đi vào việc tìm tọa độ của gốc của đường vuông góc vẽ từ M 1 đến đường thẳng a. Điều này được thực hiện như sau: H 1 là điểm mà đường thẳng a cắt với mặt phẳng đi qua điểm cho trước.

Điều này có nghĩa là thuật toán xác định khoảng cách từ điểm M 1 (x 1, y 1, z 1) đến đường thẳng a trong không gian ngụ ý một số điểm:

Định nghĩa 5

• lập phương trình mặt phẳng χ là phương trình mặt phẳng đi qua một điểm cho trước vuông góc với đường thẳng;
• xác định tọa độ (x 2, y 2, z 2) thuộc điểm H 1 là giao điểm của đường thẳng a và mặt phẳng χ;
• tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng theo công thức M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2.

Cách thứ hai

Từ điều kiện ta có đường thẳng a thì xác định được vectơ chỉ phương a → = a x, a y, a z có tọa độ x 3, y 3, z 3 và một điểm M 3 nào đó thuộc đường thẳng a. Cho tọa độ các điểm M 1 (x 1, y 1) và M 3 x 3, y 3, z 3, M 3 M 1 → có thể tính được:

M 3 M 1 → = (x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3)

Cần hoãn các vectơ a → \ u003d a x, a y, a z và M 3 M 1 → \ u003d x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3 từ điểm M 3, nối và lấy một hình bình hành. M 1 H 1 là đường cao của hình bình hành.

Hãy xem xét hình bên dưới.

Chúng ta có chiều cao M 1 H 1 là khoảng cách mong muốn, sau đó bạn cần tìm nó bằng cách sử dụng công thức. Tức là chúng ta đang tìm M 1 H 1.

Ký hiệu diện tích của hình bình hành bằng chữ S, được tìm bằng công thức sử dụng véc tơ a → = (a x, a y, a z) và M 3 M 1 → = x 1 - x 3. y 1 - y 3, z 1 - z 3. Công thức diện tích có dạng S = a → × M 3 M 1 →. Ngoài ra, diện tích của \ u200b \ u200 hình bằng tích của độ dài các cạnh và chiều cao, chúng ta nhận được rằng S \ u003d a → M 1 H 1 với a → \ u003d a x 2 + a y 2 + a z 2, là độ dài của vectơ a → \ u003d (a x, a y, a z), bằng cạnh của hình bình hành. Do đó, M 1 H 1 là khoảng cách từ điểm đến đoạn thẳng. Nó được tìm thấy bởi công thức M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a →.

Để tìm khoảng cách từ điểm có tọa độ M 1 (x 1, y 1, z 1) đến đường thẳng a trong không gian, bạn cần thực hiện một số điểm của thuật toán:

Định nghĩa 6

• xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng a - a → = (a x, a y, a z);
• tính độ dài của vectơ chỉ phương a → = a x 2 + a y 2 + a z 2;
• lấy tọa độ x 3, y 3, z 3 thuộc điểm M 3 nằm trên đường thẳng a;
• tính toạ độ của vectơ M 3 M 1 →;
• tìm tích chéo của vectơ a → (a x, a y, a z) và M 3 M 1 → = x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3 là a → × M 3 M 1 → = i → j → k → a x a y a z x 1 - x 3 y 1 - y 3 z 1 - z 3 để thu được độ dài theo công thức a → × M 3 M 1 →;
• tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a →.

Giải bài toán về tìm khoảng cách từ một điểm cho trước đến một đường thẳng trong không gian

Ví dụ 5

Tìm khoảng cách từ điểm có tọa độ M 1 2, - 4, - 1 đến đường thẳng x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5.

Quyết định

Phương pháp đầu tiên bắt đầu bằng việc viết phương trình của mặt phẳng χ đi qua M 1 và vuông góc với một điểm cho trước. Chúng tôi nhận được một biểu thức như:

2 (x - 2) - 1 (y - (- 4)) + 5 (z - (- 1)) = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0

Cần tìm tọa độ điểm H 1 là giao điểm của mặt phẳng χ với đường thẳng theo điều kiện cho trước. Cần chuyển từ dạng chính tắc sang dạng giao nhau. Khi đó ta nhận được một hệ phương trình có dạng:

x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 ⇔ - 1 (x + 1) = 2 y 5 (x + 1) = 2 (z + 5) 5 y = - 1 (z + 5) ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

Cần tính hệ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = - 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3 theo phương pháp Cramer, thì chúng ta nhận được rằng:

∆ = 1 2 0 5 0 - 2 2 - 1 5 = - 60 ∆ x = - 1 2 0 5 0 - 2 3 - 1 5 = - 60 ⇔ x = ∆ x ∆ = - 60 - 60 = 1 ∆ y = 1 - 1 0 5 5 2 2 3 5 = 60 ⇒ y = ∆ y ∆ = 60 - 60 = - 1 ∆ z = 1 2 - 1 5 0 5 2 - 1 3 = 0 ⇒ z = ∆ z ∆ = 0 - 60 = 0

Do đó chúng ta có H 1 (1, - 1, 0).

M 1 H 1 \ u003d 1 - 2 2 + - 1 - - 4 2 + 0 - - 1 2 \ u003d 11

Phương pháp thứ hai phải được bắt đầu bằng cách tìm kiếm tọa độ trong phương trình chính tắc. Để làm điều này, hãy chú ý đến các mẫu số của phân số. Khi đó a → = 2, - 1, 5 là vectơ chỉ phương của đường thẳng x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5. Cần tính độ dài bằng công thức a → = 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 30.

Rõ ràng đường thẳng x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 cắt điểm M 3 (- 1, 0, - 5), do đó ta có vectơ có gốc M 3 (- 1, 0 , - 5) và điểm cuối của nó tại điểm M 1 2, - 4, - 1 là M 3 M 1 → = 3, - 4, 4. Tìm tích vectơ a → = (2, - 1, 5) và M 3 M 1 → = (3, - 4, 4).

Ta nhận được biểu thức có dạng a → × M 3 M 1 → = i → j → k → 2 - 1 5 3 - 4 4 = - 4 i → + 15 j → - 8 k → + 20 i → - 8 j → = 16 i → + 7 j → - 5 k →

ta được rằng độ dài của tích chéo là a → × M 3 M 1 → = 16 2 + 7 2 + - 5 2 = 330.

Chúng tôi có tất cả dữ liệu để sử dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm cho một đường thẳng, vì vậy chúng tôi áp dụng nó và nhận được:

M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → = 330 30 = 11

Trả lời: 11 .

Nếu bạn nhận thấy lỗi trong văn bản, vui lòng đánh dấu nó và nhấn Ctrl + Enter

Để tính khoảng cách từ điểm M cho trước đến đường thẳng L, có thể sử dụng các phương pháp khác nhau. Ví dụ, nếu chúng ta lấy một điểm M 0 tùy ý trên đường thẳng L, thì chúng ta có thể xác định phép chiếu trực giao của vectơ M 0 M lên phương của vectơ pháp tuyến của đường thẳng. Hình chiếu này, tính đến một dấu hiệu, là khoảng cách cần thiết.

Một cách khác để tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng là sử dụng phương trình pháp tuyến của một đường thẳng. Cho đường thẳng L được cho bởi phương trình bình thường (4.23). Nếu điểm M (x; y) không nằm trên đường thẳng L thì hình chiếu trực giao pr n OM bán kính-vectơđiểm M theo phương của vectơ pháp tuyến đơn vị n của đường thẳng L bằng tích vô hướng của vectơ OM và n, tức là. x cosφ + y sinφ. Hình chiếu tương tự bằng tổng của khoảng cách p từ điểm gốc đến đường thẳng và một số giá trị δ (Hình 4.10). Giá trị tuyệt đối của δ bằng khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng. Trong trường hợp này, δ> 0 nếu điểm M và O nằm ở hai phía đối diện của đường thẳng và δ là độ lệch của điểm M so với đường thẳng.

Độ lệch δ đối với điểm M (x; y) so với đường thẳng L được tính bằng hiệu giữa hình chiếu pr n OM và khoảng cách p từ điểm gốc đến đường thẳng (xem Hình 4.10), tức là δ \ u003d x cosφ + y sinφ - p.

Sử dụng công thức này, người ta cũng có thể thu được khoảng cách p (M, L) từ điểm M (x; y) đến đường thẳng L cho bởi phương trình thông thường: p (M, L) = | δ | = | x cosφ + y sinφ - p |.

2 Hai góc kề nhau cộng lại tối đa 180 °

Với quy trình chuyển đổi trên phương trình tổng quát của một đường thẳng vào phương trình chuẩn của nó, chúng ta nhận được công thức cho khoảng cách từ điểm M (x; y) đến đường thẳng L, được cho bởi phương trình tổng quát của nó:

Ví dụ 4.8. Hãy tìm phương trình tổng quát của đường cao AH, đường trung tuyến AM và đường phân giác AD của tam giác ABC đi ra ngoài đỉnh A. Tọa độ các đỉnh của tam giác A (-1; -3), B (7; 3) ), C (1; 7) đã biết.

Trước hết, hãy làm rõ điều kiện của ví dụ: các phương trình được chỉ ra có nghĩa là phương trình của các đường thẳng L AH, L AM và L AD, trên đó có đường cao AH, đường trung tuyến AM và đường phân giác AD của tam giác xác định, tương ứng (Hình 4.11).

Để tìm phương trình của đường thẳng L AM, chúng ta sử dụng thực tế là đường trung tuyến chia đôi cạnh đối diện của tam giác. Sau khi tìm được tọa độ (x 1; y 1) của trung trực cạnh BC x 1 = (7 + 1) / 2 = 4, y 1 = (3 + 7) / 2 = 5, ta viết phương trình L AM trong biểu mẫu phương trình của một đường thẳng đi qua hai điểm,(x + 1) / (4 + 1) = (y + 3) / (5 + 3). Sau khi biến đổi, chúng ta nhận được phương trình tổng quát của trung vị 8x - 5y - 7 \ u003d 0./p>

Để tìm phương trình của đường cao L AH, chúng ta sử dụng thực tế là đường cao vuông góc với cạnh đối diện của tam giác. Do đó vectơ BC vuông góc với đường cao AH và có thể chọn làm vectơ pháp tuyến của đường thẳng L AH. Phương trình của đường thẳng này nhận được từ (4.15) bằng cách thay tọa độ của điểm A và vectơ pháp tuyến của đường thẳng L AH:

(-6) (x + 1) + 4 (y + 3) = 0.

Sau khi biến đổi, ta nhận được phương trình tổng quát của đường cao 3x - 2y - 3 = 0.

Để tìm phương trình đường phân giác L AD, ta sử dụng đường phân giác AD thuộc tập hợp các điểm N (x; y) cách đều các đường thẳng L AB và L AC. Phương trình của tập hợp này có dạng

P (N, L AB) = P (N, L AC), (4,28)

và nó xác định hai đường thẳng đi qua điểm A và chia đôi góc giữa hai đường thẳng L AB và L AC. Sử dụng phương trình đường thẳng đi qua hai điểm, ta tìm được phương trình tổng quát của đường thẳng L AB và L AC:

L AB: (x + 1) / (7 + 1) = (y + 3) / (3 + 3), L AC: (x + 1) / (1 + 1) = (y + 3) / (7 + 3)

Sau khi biến đổi, ta thu được L AB: 3x - 4y - 9 \ u003d 0, L AC: 5x - y + 2 \ u003d 0. Phương trình (4.28) sử dụng công thức (4.27) để tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, chúng tôi viết dưới dạng

Hãy biến đổi nó bằng cách mở rộng các mô-đun:

Kết quả là, chúng tôi có được phương trình tổng quát của hai đường

(3 ± 25 / √26) x + (-4 ± 5 ​​/ √26) y + (-9 ± 10 / √26) = 0

Để chọn phương trình phân giác từ chúng, chúng ta tính đến các đỉnh B và C của tam giác nằm trên các cạnh khác nhau của đường thẳng mong muốn và do đó thay tọa độ của chúng vào vế trái của phương trình tổng quát của đường thẳng L AD sẽ được các giá trị với các dấu hiệu khác nhau. Chúng tôi chọn phương trình tương ứng với dấu trên, tức là

(3 - 25 / √26) x + (-4 + 5 / √26) y + (-9 - 10 / √26) = 0

Thay tọa độ của điểm B vào vế trái của phương trình này sẽ cho giá trị âm vì

(3 - 25/√26)7 + (-4 + 5/√26)3 + (-9 - 10/√26) = 21 - 12 - 9 + (-175 + 15 - 10)/√26 = -170/√26

và dấu hiệu tương tự thu được đối với tọa độ của điểm C, vì

(3 - 25/√26)1 + (-4 + 5/√26)7 + (-9 - 10/√26) = 3 - 28 - 9 + (-25 + 35 - 10)/√26 = -34

Do đó, các đỉnh B và C nằm về cùng một phía của đường thẳng có phương trình đã chọn và do đó phương trình của đường phân giác là

(3 + 25 / √26) x + (-4 - 5 / √26) y + (-9 + 10 / √26) = 0.

Cấp độ đầu tiên

Tọa độ và vectơ. Hướng dẫn Toàn diện (2019)

Trong bài viết này, bạn và tôi sẽ bắt đầu thảo luận về một "cây đũa thần" sẽ cho phép bạn giảm nhiều vấn đề trong hình học xuống số học đơn giản. “Cây đũa phép” này có thể giúp cuộc sống của bạn dễ dàng hơn nhiều, đặc biệt là khi bạn cảm thấy không an toàn trong việc xây dựng các hình không gian, các mặt cắt, v.v. Tất cả điều này đòi hỏi một trí tưởng tượng và kỹ năng thực hành nhất định. Phương pháp, mà chúng ta sẽ bắt đầu xem xét ở đây, sẽ cho phép bạn trừu tượng hóa gần như hoàn toàn từ tất cả các loại cấu trúc hình học và suy luận. Phương thức được gọi là "phương pháp tọa độ". Trong bài viết này, chúng tôi sẽ xem xét các câu hỏi sau:

1. Mặt phẳng tọa độ
2. Điểm và vectơ trên mặt phẳng
3. Xây dựng một vectơ từ hai điểm
4. Độ dài vectơ (khoảng cách giữa hai điểm)
5. Tọa độ điểm giữa
6. Tích chấm của vectơ
7. Góc giữa hai vectơ

Tôi nghĩ rằng bạn đã đoán được tại sao phương pháp tọa độ được gọi như vậy? Đúng là nó có tên như vậy, vì nó không hoạt động với các đối tượng hình học, mà với các đặc điểm số (tọa độ) của chúng. Và bản thân phép biến đổi, giúp có thể chuyển từ hình học sang đại số, bao gồm việc đưa vào một hệ tọa độ. Nếu hình ban đầu là phẳng, thì tọa độ là hai chiều, và nếu hình là ba chiều, thì tọa độ là ba chiều. Trong bài viết này, chúng tôi sẽ chỉ xem xét trường hợp hai chiều. Và mục đích chính của bài viết là hướng dẫn bạn cách sử dụng một số kỹ thuật cơ bản của phương pháp tọa độ (đôi khi chúng trở nên hữu ích khi giải các bài toán về phép đo độ phẳng trong phần B của Kỳ thi Thống nhất). Hai phần sau đây của chủ đề này được dành để thảo luận về các phương pháp giải các bài toán C2 (bài toán về hình lập thể).

Sẽ là hợp lý khi bắt đầu thảo luận về phương pháp tọa độ? Có thể là với khái niệm về một hệ tọa độ. Hãy nhớ lại lần đầu tiên bạn gặp cô ấy. Đối với tôi, dường như ở lớp 7, khi bạn học về sự tồn tại của một hàm tuyến tính chẳng hạn. Hãy để tôi nhắc bạn rằng bạn đã xây dựng nó từng điểm một. Bạn có nhớ? Bạn đã chọn một số tùy ý, thay nó vào công thức và tính theo cách này. Ví dụ, nếu, sau đó, nếu, sau đó, v.v. Kết quả bạn nhận được là gì? Và bạn đã nhận được điểm có tọa độ: và. Sau đó, bạn vẽ một “chữ thập” (hệ tọa độ), chọn tỷ lệ trên đó (bạn sẽ có bao nhiêu ô dưới dạng một đoạn) và đánh dấu các điểm bạn nhận được trên đó, sau đó bạn kết nối với một đường thẳng, đường kết quả là đồ thị của hàm số.

Có một số điều cần được giải thích cho bạn chi tiết hơn:

1. Bạn chọn một đoạn duy nhất vì lý do thuận tiện, để mọi thứ vừa vặn và nhỏ gọn trong hình

2. Giả sử rằng trục đi từ trái sang phải và trục đi từ dưới lên trên

3. Chúng cắt nhau một góc vuông, và giao điểm của chúng được gọi là gốc tọa độ. Nó được đánh dấu bằng một chữ cái.

4. Trong bản ghi tọa độ của một điểm, ví dụ, bên trái trong ngoặc là tọa độ của điểm dọc theo trục và ở bên phải, dọc theo trục. Đặc biệt, đơn giản có nghĩa là điểm

5. Để thiết lập bất kỳ điểm nào trên trục tọa độ, bạn cần xác định tọa độ của nó (2 số)

6. Đối với bất kỳ điểm nào nằm trên trục,

7. Đối với bất kỳ điểm nào nằm trên trục,

8. Trục được gọi là trục x

9. Trục được gọi là trục y

Bây giờ chúng ta hãy thực hiện bước tiếp theo với bạn: đánh dấu hai điểm. Nối hai điểm này bằng một đoạn thẳng. Và hãy đặt mũi tên như thể chúng ta đang vẽ một đoạn từ điểm này sang điểm khác: nghĩa là chúng ta sẽ làm cho đoạn của chúng ta có hướng!

Hãy nhớ tên khác của phân đoạn được hướng dẫn là gì? Đúng vậy, nó được gọi là vector!

Do đó, nếu chúng ta kết nối một dấu chấm với một dấu chấm, và điểm đầu sẽ là điểm A và điểm cuối sẽ là điểm B, thì chúng ta nhận được một vectơ. Bạn cũng đã làm công việc xây dựng này vào năm lớp 8, nhớ không?

Hóa ra vectơ, giống như điểm, có thể được biểu thị bằng hai số: những con số này được gọi là tọa độ của vectơ. Câu hỏi: bạn có nghĩ rằng chỉ cần biết tọa độ đầu và cuối của vectơ để tìm tọa độ của nó là đủ? Nó chỉ ra rằng có! Và nó rất dễ thực hiện:

Như vậy, vì trong vectơ điểm là điểm đầu và điểm cuối nên vectơ có tọa độ như sau:

Ví dụ: nếu, thì tọa độ của vectơ

Bây giờ chúng ta hãy làm ngược lại, tìm tọa độ của vector. Chúng ta cần thay đổi điều gì cho điều này? Có, bạn cần hoán đổi phần đầu và phần cuối: bây giờ phần đầu của vectơ sẽ ở một điểm và phần cuối ở một điểm. Sau đó:

Hãy quan sát kỹ, sự khác biệt giữa các vectơ và? Sự khác biệt duy nhất của họ là các dấu hiệu trong tọa độ. Chúng đối lập nhau. Sự thật này được viết như thế này:

Đôi khi, nếu không được nêu cụ thể điểm nào là đầu của vectơ và điểm nào là điểm cuối, thì các vectơ được biểu thị không phải bằng hai chữ cái in hoa, mà bằng một chữ thường, ví dụ:, v.v.

Bây giờ một chút luyện tập và tìm tọa độ của các vectơ sau:

Kiểm tra:

Bây giờ giải quyết vấn đề khó hơn một chút:

Hình xuyến vectơ có dấu vết trên cha tại một điểm có đồng hoặc di-trên-bạn. Tìm điểm-di-te abs-cis-su.

Tất cả những điều tương tự là khá thô tục: Hãy là tọa độ của điểm. sau đó

Tôi đã biên soạn hệ thống bằng cách xác định tọa độ của một vectơ là gì. Khi đó điểm có tọa độ. Chúng tôi quan tâm đến abscissa. sau đó

Trả lời:

Bạn có thể làm gì khác với vectơ? Vâng, hầu hết mọi thứ đều giống như với các số thông thường (ngoại trừ việc bạn không thể chia, nhưng bạn có thể nhân theo hai cách, một trong số đó chúng ta sẽ thảo luận ở đây một chút sau)

1. Các vectơ có thể được xếp chồng lên nhau
2. Các vectơ có thể được trừ cho nhau
3. Vectơ có thể được nhân (hoặc chia) với một số khác 0 tùy ý
4. Các vectơ có thể được nhân với nhau

Tất cả các hoạt động này có một biểu diễn hình học khá trực quan. Ví dụ, quy tắc tam giác (hoặc hình bình hành) cho phép cộng và trừ:

Một vectơ dãn ra hoặc co lại hoặc thay đổi hướng khi nhân hoặc chia với một số:

Tuy nhiên, ở đây chúng ta sẽ quan tâm đến câu hỏi điều gì xảy ra với các tọa độ.

1. Khi cộng (trừ) hai vectơ, ta cộng (trừ) thành phần tọa độ của chúng theo từng phần tử. I E:

2. Khi nhân (chia) một vectơ với một số, tất cả các tọa độ của nó sẽ được nhân (chia) với số này:

Ví dụ:

· Tìm-di-tổng của ko-or-di-nat thế kỷ-to-ra.

Đầu tiên chúng ta hãy tìm tọa độ của mỗi vectơ. Cả hai đều có chung điểm gốc - điểm gốc. Kết thúc của chúng là khác nhau. Sau đó, . Bây giờ chúng ta tính tọa độ của vectơ Khi đó tổng tọa độ của vectơ kết quả bằng.

Trả lời:

Bây giờ hãy tự giải quyết vấn đề sau:

· Tìm tổng tọa độ của vectơ

Chung ta kiểm tra:

Bây giờ chúng ta hãy xem xét bài toán sau: chúng ta có hai điểm trên mặt phẳng tọa độ. Làm thế nào để tìm khoảng cách giữa chúng? Hãy để cho điểm đầu tiên là, và điểm thứ hai. Hãy biểu thị khoảng cách giữa chúng là. Hãy vẽ hình sau cho rõ ràng:

Những điều tôi đã làm? Đầu tiên, tôi nối các điểm và và cũng vẽ một đường thẳng song song với trục từ điểm, và vẽ một đường song song với trục từ điểm. Liệu chúng có giao nhau tại một điểm, tạo thành một hình vẽ tuyệt vời không? Tại sao cô ấy tuyệt vời? Vâng, bạn và tôi hầu như đều biết mọi thứ về tam giác vuông. Vâng, chắc chắn là định lý Pitago. Đoạn mong muốn là cạnh huyền của tam giác này và các đoạn là chân. Tọa độ của điểm là gì? Vâng, chúng rất dễ tìm thấy từ hình ảnh: Vì các đoạn thẳng song song với các trục và tương ứng, độ dài của chúng rất dễ tìm: nếu chúng ta biểu thị độ dài của các đoạn tương ứng qua, thì

Bây giờ chúng ta hãy sử dụng định lý Pitago. Chúng ta biết độ dài của chân, chúng ta sẽ tìm ra cạnh huyền:

Do đó, khoảng cách giữa hai điểm là tổng bình phương của sự khác biệt bình phương từ các tọa độ. Hoặc - khoảng cách giữa hai điểm là độ dài của đoạn thẳng nối chúng. Dễ dàng nhận thấy khoảng cách giữa các điểm không phụ thuộc vào phương. Sau đó:

Từ đó chúng tôi rút ra ba kết luận:

Hãy thực hành một chút về cách tính khoảng cách giữa hai điểm:

Ví dụ: nếu, thì khoảng cách giữa và là

Hoặc hãy làm theo cách khác: tìm tọa độ của vectơ

Và tìm độ dài của vectơ:

Như bạn thấy, nó giống nhau!

Bây giờ hãy tự thực hành một chút:

Nhiệm vụ: tìm khoảng cách giữa các điểm đã cho:

Chung ta kiểm tra:

Dưới đây là một số vấn đề khác cho cùng một công thức, mặc dù chúng nghe có vẻ hơi khác một chút:

1. Tìm bình phương chiều dài mí mắt.

2. Nai-di-te vuông của mí mắt dài-to-ra.

Tôi đoán bạn có thể xử lý chúng dễ dàng? Chung ta kiểm tra:

1. Và điều này là để chú ý) Chúng ta đã tìm thấy tọa độ của các vectơ trước:. Khi đó vectơ có tọa độ. Bình phương chiều dài của nó sẽ là:

2. Tìm tọa độ của vectơ

Khi đó bình phương chiều dài của nó là

Không có gì phức tạp, phải không? Số học đơn giản, không có gì hơn.

Những câu đố sau đây không thể được phân loại rõ ràng, chúng dành cho sự hiểu biết chung và khả năng vẽ những bức tranh đơn giản.

1. Tìm-di-các sin của góc trên-clo-trên-khỏi-cắt, điểm nối một-n-thứ-thứ, với trục abscissa.

và

Làm thế nào chúng ta sẽ làm điều đó ở đây? Bạn cần tìm sin của góc giữa và trục. Và chúng ta có thể tìm sin ở đâu? Đúng vậy, trong một tam giác vuông. Vậy chúng ta cần phải làm gì? Xây dựng hình tam giác này!

Kể từ khi tọa độ của điểm và, thì đoạn bằng nhau, và đoạn. Chúng ta cần tìm sin của góc. Hãy để tôi nhắc bạn rằng sin là tỷ số của chân đối diện với cạnh huyền, sau đó

Chúng ta còn lại để làm gì? Tìm cạnh huyền. Bạn có thể thực hiện theo hai cách: sử dụng định lý Pitago (chân đã biết!) Hoặc sử dụng công thức cho khoảng cách giữa hai điểm (thực ra giống như phương pháp thứ nhất!). Tôi sẽ đi theo cách thứ hai:

Trả lời:

Nhiệm vụ tiếp theo sẽ có vẻ dễ dàng hơn đối với bạn. Cô ấy - trên tọa độ của điểm.

Nhiệm vụ 2. Từ điểm, per-pen-di-ku-lar được hạ xuống trục abs-ciss. Nai-di-te abs-cis-su os-no-va-niya per-pen-di-ku-la-ra.

Hãy vẽ một bức tranh:

Cơ sở của vuông góc là điểm mà nó giao với trục x (trục) đối với tôi đây là một điểm. Hình bên cho thấy nó có tọa độ:. Chúng tôi quan tâm đến abscissa - tức là thành phần "X". Cô ấy bình đẳng.

Trả lời: .

Nhiệm vụ 3. Với các điều kiện của bài toán trước, hãy tìm tổng khoảng cách từ điểm đến các trục tọa độ.

Nhiệm vụ nói chung là cơ bản nếu bạn biết khoảng cách từ một điểm đến các trục là bao nhiêu. Bạn biết? Tôi hy vọng, nhưng tôi vẫn nhắc bạn:

Vì vậy, trong bản vẽ của tôi, nằm ở vị trí cao hơn một chút, tôi đã vẽ một hình vuông góc như vậy? Nó là trục gì? sang trục. Và chiều dài của nó sau đó là bao nhiêu? Cô ấy bình đẳng. Bây giờ hãy tự vẽ một đường vuông góc với trục và tìm độ dài của nó. Nó sẽ bình đẳng, phải không? Khi đó tổng của chúng bằng nhau.

Trả lời: .

Nhiệm vụ 4. Trong điều kiện của bài toán 2, tìm hoành độ của điểm đối xứng với điểm qua trục x.

Tôi nghĩ bạn hiểu trực giác đối xứng là gì? Có rất nhiều đồ vật: nhiều tòa nhà, nhiều bàn, nhiều mặt phẳng, nhiều hình dạng hình học: một quả bóng, một hình trụ, một hình vuông, một hình thoi, v.v ... Nói một cách đại khái, đối xứng có thể được hiểu như sau: một hình gồm hai (hoặc nhiều hơn) hai nửa giống hệt nhau. Phép đối xứng này được gọi là trục. Khi đó một trục là gì? Đây chính xác là đường thẳng mà hình có thể, nói một cách tương đối, được "cắt" thành các nửa giống hệt nhau (trong hình này, trục đối xứng là thẳng):

Bây giờ chúng ta hãy quay trở lại nhiệm vụ của chúng ta. Chúng ta biết rằng chúng ta đang tìm một điểm đối xứng qua trục. Khi đó trục này là trục đối xứng. Vì vậy, ta cần đánh dấu một điểm sao cho trục cắt đoạn thẳng thành hai phần bằng nhau. Cố gắng tự đánh dấu một điểm như vậy. Bây giờ so sánh với giải pháp của tôi:

Bạn đã làm như vậy? Tốt! Tại điểm được tìm thấy, chúng tôi quan tâm đến phong trào. Cô ấy bình đẳng

Trả lời:

Bây giờ hãy cho tôi biết, sau một giây suy nghĩ, hoành độ của điểm đối xứng với điểm A trên trục y sẽ là bao nhiêu? Câu trả lời của bạn là gì? Câu trả lời chính xác: .

Nói chung, quy tắc có thể được viết như thế này:

Một điểm đối xứng với một điểm qua trục x có tọa độ:

Một điểm đối xứng với một điểm trên trục y có tọa độ:

Chà, bây giờ nó thực sự đáng sợ. nhiệm vụ: Tìm tọa độ của một điểm đối xứng với một điểm, so với gốc tọa độ. Trước tiên bạn hãy tự suy nghĩ, sau đó hãy xem bản vẽ của tôi!

Trả lời:

Bây giờ bài toán hình bình hành:

Nhiệm vụ 5: Các điểm là ver-shi-na-mi-pa-ral-le-lo-gram-ma. Tìm điểm-dee-te hoặc-dee-on-tu.

Bạn có thể giải quyết vấn đề này theo hai cách: logic và phương pháp tọa độ. Đầu tiên tôi sẽ áp dụng phương pháp tọa độ, và sau đó tôi sẽ cho bạn biết cách bạn có thể quyết định theo cách khác.

Rõ ràng là abscissa của điểm là bằng nhau. (nó nằm trên đường vuông góc được vẽ từ điểm đến trục x). Chúng ta cần phải tìm đơn vị. Hãy tận dụng lợi thế của thực tế là hình của chúng ta là một hình bình hành, điều đó có nghĩa là. Tìm độ dài của đoạn thẳng bằng công thức cho khoảng cách giữa hai điểm:

Chúng tôi hạ thấp đường vuông góc kết nối điểm với trục. Giao điểm được ký hiệu bằng một chữ cái.

Độ dài của đoạn thẳng bằng nhau. (tự tìm ra vấn đề, nơi chúng ta đã thảo luận lúc này), sau đó chúng ta sẽ tìm độ dài của đoạn bằng cách sử dụng định lý Pitago:

Độ dài của đoạn thẳng bằng hoành độ của nó.

Trả lời: .

Một giải pháp khác (Tôi sẽ chỉ cung cấp một hình ảnh minh họa nó)

Tiến độ giải pháp:

1. Chi tiêu

2. Tìm tọa độ và độ dài điểm

3. Chứng minh rằng.

Một cái khác vấn đề chiều dài cắt:

Các điểm là-la-yut-xia top-shi-on-mi tri-angle-no-ka. Tìm độ dài của đường giữa của anh ta, par-ral-lel-noy.

Bạn có nhớ đường trung trực của tam giác là gì không? Sau đó, đối với bạn nhiệm vụ này là cơ bản. Nếu bạn không nhớ thì tôi sẽ nhắc lại cho bạn: đường trung trực của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm của các cạnh đối diện. Nó song song với cơ sở và bằng một nửa của nó.

Cơ sở là một phân đoạn. Chúng ta đã phải tìm chiều dài của nó trước đó, nó bằng nhau. Khi đó độ dài đường trung trực bằng nửa độ dài.

Trả lời: .

Nhận xét: Vấn đề này có thể được giải quyết theo một cách khác, mà chúng ta sẽ chuyển sang một chút sau.

Trong thời gian chờ đợi, đây là một vài nhiệm vụ dành cho bạn, hãy thực hành chúng, chúng khá đơn giản, nhưng chúng giúp bạn “nhúng tay vào” bằng phương pháp tọa độ!

1. Những điểm xuất hiện-la-yut-xia top-shi-on-mi tra-pe-tion. Tìm độ dài đường trung trực của nó.

2. Điểm và yav-la-yut-xia ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Tìm điểm-dee-te hoặc-dee-on-tu.

3. Tìm chiều dài từ vết cắt, nối điểm thứ hai và

4. Tìm-di-te khu vực cho-the-red-shen-noy fi-gu-ry trên mặt phẳng ko-or-di-nat-noy.

5. Một đường tròn có tâm là na-cha-le ko-or-di-nat đi qua một điểm. Find-de-te her ra-di-ria mép.

6. Nai-di-te ra-di-us circle-no-sti, tả-san-noy gần góc vuông-no-ka, ngọn-shi-ny của cái gì-ro-go có co-hay - di-na-you co-from-reply-but

Các giải pháp:

1. Biết rằng đường trung bình của hình thang bằng nửa tổng các đáy của nó. Căn cứ bằng nhau mà căn. sau đó

Trả lời:

2. Cách đơn giản nhất để giải quyết vấn đề này là nhận thấy điều đó (quy tắc hình bình hành). Tính tọa độ của các vectơ và không khó:. Khi thêm vectơ, các tọa độ sẽ được thêm vào. Sau đó có tọa độ. Điểm có cùng tọa độ, vì đầu vectơ là điểm có tọa độ. Chúng tôi quan tâm đến cuộc tấn công. Cô ấy bình đẳng.

Trả lời:

3. Chúng tôi hành động ngay lập tức theo công thức cho khoảng cách giữa hai điểm:

Trả lời:

4. Nhìn vào hình và cho biết vùng tô bóng bị “ép chặt” giữa hai hình nào? Nó được kẹp giữa hai hình vuông. Khi đó diện tích của hình mong muốn bằng diện tích của hình vuông lớn trừ đi diện tích của hình nhỏ. Cạnh của hình vuông nhỏ là đoạn thẳng nối các điểm và độ dài của nó là

Khi đó diện tích của hình vuông nhỏ là

Ta làm tương tự với một hình vuông lớn: cạnh của nó là một đoạn nối các điểm và độ dài của nó bằng

Khi đó diện tích của hình vuông lớn là

Diện tích của hình mong muốn được tìm thấy theo công thức:

Trả lời:

5. Nếu đường tròn có gốc là tâm và đi qua một điểm, thì bán kính của nó sẽ chính xác bằng độ dài đoạn thẳng (vẽ hình và bạn sẽ hiểu tại sao điều này là hiển nhiên). Tìm độ dài của đoạn này:

Trả lời:

6. Biết rằng bán kính đường tròn ngoại tiếp một hình chữ nhật bằng nửa đường chéo của nó. Hãy tìm độ dài của bất kỳ hai đường chéo nào (sau cùng, trong một hình chữ nhật, chúng bằng nhau!)

Trả lời:

Chà, bạn đã quản lý tất cả mọi thứ? Nó không khó để tìm ra nó, phải không? Chỉ có một quy tắc ở đây - để có thể tạo ra một bức tranh trực quan và chỉ cần “đọc” tất cả dữ liệu từ nó.

Chúng tôi còn lại rất ít. Thực sự có hai điểm nữa mà tôi muốn thảo luận.

Chúng ta hãy cố gắng giải quyết vấn đề đơn giản này. Cho hai điểm và được cho trước. Tìm tọa độ trung điểm của đoạn thẳng. Giải pháp cho vấn đề này như sau: đặt điểm là trung điểm mong muốn, sau đó nó có tọa độ:

I E: tọa độ giữa đoạn = trung bình cộng của tọa độ tương ứng của các đầu đoạn.

Quy tắc này rất đơn giản và thường không gây khó khăn cho học sinh. Hãy xem những vấn đề gì và nó được sử dụng như thế nào:

1. Tìm-di-te hoặc-di-na-tu se-re-di-us from-cut, connect-nya-yu-th-point and

2. Các điểm là yav-la-yut-xia ver-shi-na-mi-che-you-reh-than-no-ka. Tìm-di-te hay-di-na-tu điểm-re-se-che-niya của anh dia-go-on-lei.

3. Tìm-di-te abs-cis-su của tâm hình tròn, mô tả-san-noy gần hình chữ nhật-no-ka, ngọn-shi-ta có cái-ro-go co-or-di- na-you co-from-vet-stvenno-but.

Các giải pháp:

1. Nhiệm vụ đầu tiên chỉ là một cổ điển. Chúng tôi hành động ngay lập tức bằng cách xác định điểm giữa của phân khúc. Cô ấy có tọa độ. Phép định vị là bằng nhau.

Trả lời:

2. Dễ thấy tứ giác đã cho là hình bình hành (hình thoi chẵn!). Bạn có thể tự mình chứng minh điều đó bằng cách tính độ dài các cạnh và so sánh chúng với nhau. Tôi biết gì về hình bình hành? Các đường chéo của nó được chia đôi bởi giao điểm! Aha! Vậy giao điểm của các đường chéo là gì? Đây là giữa của bất kỳ đường chéo nào! Đặc biệt, tôi sẽ chọn đường chéo. Khi đó điểm có tọa độ hoành độ của điểm bằng.

Trả lời:

3. Tâm của đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật là bao nhiêu? Nó trùng với giao điểm của các đường chéo của nó. Bạn biết gì về đường chéo của hình chữ nhật? Chúng bằng nhau và giao điểm được chia đôi. Nhiệm vụ đã được giảm xuống trước đó. Lấy ví dụ, đường chéo. Khi đó nếu là tâm của đường tròn ngoại tiếp thì là giữa. Tôi đang tìm tọa độ: Cơ số bằng nhau.

Trả lời:

Bây giờ các bạn tự luyện tập một chút, mình sẽ chỉ đưa ra đáp án của từng bài để các bạn tự kiểm tra.

1. Nai-di-te ra-di-us hình tròn-no-sti, tả-san-noy gần tam-giác-no-ka, ngọn ai-rô-đi có ko-hay-di-không sương mù.

2. Tìm-di-te hay-di-na-tu tâm đường tròn, mô tả san-noy gần tam-giác-no-ka, ngọn-shi-ta có tọa độ gì đó-ro-go.

3. Đường tròn có tâm tại một điểm sao cho nó tiếp xúc với trục abs-ciss phải có dạng ra-di-y-sa nào?

4. Tìm-di-te hoặc-di-on-that-re-se-che-ing của trục và từ điểm cắt, nối-nya-yu-th-th và

Câu trả lời:

Mọi thứ có ổn không? Tôi thực sự hy vọng cho nó! Bây giờ - lần đẩy cuối cùng. Bây giờ hãy đặc biệt cẩn thận. Tài liệu mà tôi sắp giải thích bây giờ không chỉ liên quan đến các bài toán phương pháp tọa độ đơn giản trong Phần B, mà còn phổ biến trong Bài toán C2.

Tôi chưa giữ lời hứa nào? Hãy nhớ những phép toán nào trên vectơ mà tôi đã hứa sẽ giới thiệu và những phép toán nào cuối cùng tôi đã giới thiệu? Tôi có chắc là mình chưa quên gì không? Quên! Tôi quên giải thích phép nhân vectơ có nghĩa là gì.

Có hai cách để nhân một vectơ với một vectơ. Tùy thuộc vào phương pháp đã chọn, chúng ta sẽ nhận được các đối tượng có bản chất khác nhau:

Sản phẩm vector khá phức tạp. Làm thế nào để làm điều đó và tại sao nó là cần thiết, chúng tôi sẽ thảo luận với bạn trong bài viết tiếp theo. Và trong phần này chúng ta sẽ tập trung vào tích vô hướng.

Đã có hai cách cho phép chúng tôi tính toán nó:

Như bạn đoán, kết quả sẽ giống nhau! Vì vậy, trước tiên hãy xem xét cách đầu tiên:

Chấm sản phẩm qua tọa độ

Tìm: - ký hiệu chung cho sản phẩm chấm

Công thức tính như sau:

Tức là, tích số chấm = tổng các tích của các tọa độ của các vectơ!

Ví dụ:

Tìm-dee-te

Quyết định:

Tìm tọa độ của mỗi vectơ:

Chúng tôi tính tích vô hướng theo công thức:

Trả lời:

Bạn thấy đấy, hoàn toàn không có gì phức tạp!

Vâng, bây giờ hãy tự mình thử:

Tìm-di-te vô hướng-noe pro-from-ve-de-nie Century-to-ditch và

Bạn đã quản lý? Có lẽ anh ta nhận thấy một mẹo nhỏ? Hãy kiểm tra:

Tọa độ vectơ, như trong nhiệm vụ trước! Trả lời: .

Ngoài tọa độ, có một cách khác để tính tích vô hướng, đó là thông qua độ dài của vectơ và côsin của góc giữa chúng:

Biểu thị góc giữa các vectơ và.

Nghĩa là, tích vô hướng bằng tích độ dài của các vectơ và côsin của góc giữa chúng.

Tại sao chúng ta cần công thức thứ hai này, nếu chúng ta có công thức đầu tiên, đơn giản hơn nhiều, ít nhất là không có cosin trong đó. Và chúng ta cần nó để từ công thức thứ nhất và thứ hai có thể suy ra cách tìm góc giữa các vectơ!

Hãy để Sau đó nhớ công thức cho độ dài của một vectơ!

Sau đó, nếu tôi cắm dữ liệu này vào công thức sản phẩm dấu chấm, tôi nhận được:

Nhưng ở mặt khác:

Vậy chúng ta có những gì? Bây giờ chúng ta có một công thức để tính góc giữa hai vectơ! Đôi khi, để ngắn gọn, nó cũng được viết như thế này:

Tức là, thuật toán tính góc giữa các vectơ như sau:

1. Chúng tôi tính tích vô hướng thông qua các tọa độ
2. Tìm độ dài của vectơ và nhân chúng
3. Chia kết quả của điểm 1 cho kết quả của điểm 2

Hãy thực hành với các ví dụ:

1. Tìm góc giữa mí-mắt-ra-mi và. Đưa ra câu trả lời của bạn theo độ.

2. Với điều kiện của bài toán trước, hãy tìm cosin giữa các vectơ

Hãy làm điều này: Tôi sẽ giúp bạn giải quyết vấn đề đầu tiên và cố gắng tự giải quyết vấn đề thứ hai! Tôi đồng ý? Sau đó, chúng ta hãy bắt đầu!

1. Những vectơ này là những người bạn cũ của chúng ta. Chúng tôi đã xem xét tích vô hướng của họ và nó bằng nhau. Tọa độ của chúng là:,. Sau đó, chúng tôi tìm độ dài của chúng:

Sau đó, chúng tôi đang tìm kiếm cosin giữa các vectơ:

Côsin của góc là gì? Đây là góc.

Trả lời:

Vâng, bây giờ hãy tự giải quyết vấn đề thứ hai, và sau đó so sánh! Tôi sẽ chỉ đưa ra một giải pháp rất ngắn gọn:

2. có tọa độ, có tọa độ.

Gọi là góc giữa các vectơ và, sau đó

Trả lời:

Cần lưu ý rằng các bài tập trực tiếp về vectơ và phương pháp tọa độ trong phần B của đề thi là khá hiếm. Tuy nhiên, phần lớn các bài toán C2 có thể được giải quyết dễ dàng bằng cách đưa vào một hệ tọa độ. Vì vậy, bạn có thể coi bài viết này là nền tảng, trên cơ sở đó chúng tôi sẽ đưa ra những cấu tạo khá lắt léo mà chúng tôi sẽ cần để giải quyết những vấn đề phức tạp.

PHỐI HỢP VÀ vectơ. TRÌNH ĐỘ TRUNG CẤP

Tôi và các bạn tiếp tục nghiên cứu về phương pháp tọa độ. Trong phần cuối cùng, chúng tôi đã suy ra một số công thức quan trọng cho phép:

1. Tìm tọa độ vectơ
2. Tìm độ dài của vectơ (cách khác: khoảng cách giữa hai điểm)
3. Cộng, trừ vectơ. Nhân chúng với một số thực
4. Tìm trung điểm của một đoạn
5. Tính tích số chấm của vectơ
6. Tìm góc giữa các vectơ

Tất nhiên, toàn bộ phương pháp tọa độ không phù hợp với 6 điểm này. Nó làm nền tảng cho một môn khoa học như hình học phân tích, mà bạn sẽ làm quen tại trường đại học. Tôi chỉ muốn xây dựng một nền tảng cho phép bạn giải quyết các vấn đề ở một trạng thái duy nhất. thi. Chúng tôi đã tìm ra các nhiệm vụ của phần B trong Bây giờ đã đến lúc chuyển sang một cấp độ mới về chất lượng! Bài viết này sẽ được dành cho một phương pháp để giải các bài toán C2 đó, trong đó sẽ là hợp lý nếu chuyển sang phương pháp tọa độ. Tính hợp lý này được xác định bởi những gì cần tìm trong bài toán và con số nào được đưa ra. Vì vậy, tôi sẽ sử dụng phương pháp tọa độ nếu các câu hỏi là:

1. Tìm góc giữa hai mặt phẳng
2. Tìm góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng
3. Tìm góc giữa hai đường thẳng
4. Tìm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
5. Tìm khoảng cách từ một điểm đến một đoạn thẳng
6. Tìm khoảng cách từ một đường thẳng đến một mặt phẳng
7. Tìm khoảng cách giữa hai dòng

Nếu hình cho trước trong điều kiện của bài toán là một vật thể quay (quả bóng, hình trụ, hình nón ...)

Các số liệu phù hợp cho phương pháp tọa độ là:

1. hình khối
2. Kim tự tháp (tam giác, tứ giác, lục giác)

Cũng theo kinh nghiệm của tôi không thích hợp để sử dụng phương pháp tọa độ cho:

1. Tìm khu vực của các phần
2. Tính toán thể tích của cơ thể

Tuy nhiên, cần lưu ý ngay rằng ba tình huống “bất lợi” đối với phương pháp tọa độ là khá hiếm trong thực tế. Trong hầu hết các nhiệm vụ, nó có thể trở thành vị cứu tinh của bạn, đặc biệt nếu bạn không giỏi lắm trong các cấu trúc ba chiều (đôi khi khá phức tạp).

Tất cả các số liệu tôi đã liệt kê ở trên là gì? Chúng không còn phẳng, chẳng hạn như hình vuông, hình tam giác, hình tròn, mà là đồ sộ! Theo đó, chúng ta cần xem xét không phải là một hai chiều, mà là một hệ tọa độ ba chiều. Nó được xây dựng khá dễ dàng: chỉ cần ngoài abscissa và ordinates, chúng tôi sẽ giới thiệu một trục khác, trục ứng dụng. Hình vẽ sơ đồ cho thấy vị trí tương đối của chúng:

Tất cả chúng vuông góc với nhau, cắt nhau tại một điểm, mà chúng ta sẽ gọi là điểm gốc. Trục abscissa, như trước đây, sẽ được ký hiệu, trục tọa độ - và trục ứng dụng được giới thiệu -.

Nếu trước đó mỗi điểm trên mặt phẳng được đặc trưng bởi hai số - hoành độ và hoành độ, thì mỗi điểm trong không gian đã được mô tả bằng ba số - abscissa, tọa độ, ứng dụng. Ví dụ:

Theo đó, abscissa của điểm là bằng nhau, thứ tự là và người nộp đơn là.

Đôi khi hoành độ của một điểm còn được gọi là hình chiếu của điểm trên trục hoành độ, tọa độ là hình chiếu của điểm trên trục tọa độ, và đơn vị là hình chiếu của điểm trên trục tọa độ. Theo đó, nếu một điểm đã cho thì một điểm có tọa độ:

được gọi là hình chiếu của một điểm lên mặt phẳng

được gọi là hình chiếu của một điểm lên mặt phẳng

Một câu hỏi tự nhiên được đặt ra: có phải tất cả các công thức suy ra cho trường hợp hai chiều đều hợp lệ trong không gian không? Câu trả lời là có, chúng giống nhau và có ngoại hình giống nhau. Đối với một chi tiết nhỏ. Tôi nghĩ bạn đã đoán được cái nào. Trong tất cả các công thức, chúng ta sẽ phải thêm một thuật ngữ nữa chịu trách nhiệm cho trục ứng dụng. Cụ thể là.

1. Nếu hai điểm cho trước:, thì:

• Tọa độ vectơ:
• Khoảng cách giữa hai điểm (hoặc độ dài vectơ)
• Giữa đoạn có tọa độ

2. Nếu hai vectơ đã cho: và, thì:

• Sản phẩm chấm của họ là:
• Côsin của góc giữa các vectơ là:

Tuy nhiên, không gian không đơn giản như vậy. Như bạn đã hiểu, việc bổ sung thêm một tọa độ nữa sẽ tạo ra một sự đa dạng đáng kể trong phổ các hình "sống" trong không gian này. Và để tường thuật thêm, tôi cần giới thiệu một số, đại khái là "khái quát" về đường thẳng. "Tổng quát hóa" này sẽ là một mặt phẳng. Bạn biết gì về máy bay? Hãy thử trả lời câu hỏi máy bay là gì? Rất khó nói. Tuy nhiên, tất cả chúng ta đều trực quan tưởng tượng nó trông như thế nào:

Nói một cách đại khái, đây là một loại lực đẩy vô tận của “chiếc lá” vào không gian. "Infinity" nên hiểu là mặt phẳng kéo dài theo mọi hướng, tức là diện tích của nó bằng vô cực. Tuy nhiên, lời giải thích "trên ngón tay" này không đưa ra một chút ý tưởng nào về cấu trúc của máy bay. Và chúng tôi sẽ quan tâm đến nó.

Chúng ta hãy nhớ một trong những tiên đề cơ bản của hình học:

• Một đường thẳng đi qua hai điểm khác nhau trên một mặt phẳng, hơn nữa, chỉ một:

Hoặc tương tự của nó trong không gian:

Tất nhiên, bạn nhớ cách suy ra phương trình của một đường thẳng từ hai điểm cho trước, điều này không khó chút nào: nếu điểm thứ nhất có tọa độ: và điểm thứ hai, thì phương trình của đường thẳng sẽ như sau:

Bạn đã trải qua điều này vào năm lớp 7. Trong không gian, phương trình của một đường thẳng có dạng như sau: ta có hai điểm có tọa độ :, khi đó phương trình của một đường thẳng đi qua chúng có dạng:

Ví dụ, một đường thẳng đi qua các điểm:

Điều này nên được hiểu như thế nào? Điều này cần được hiểu như sau: một điểm nằm trên một đường thẳng nếu tọa độ của nó thỏa mãn hệ thức sau:

Chúng ta sẽ không quan tâm lắm đến phương trình của một đường thẳng, nhưng chúng ta cần chú ý đến khái niệm rất quan trọng về vectơ chỉ phương của một đường thẳng. - bất kỳ vectơ khác 0 nằm trên một đường thẳng cho trước hoặc song song với nó.

Ví dụ, cả hai vectơ đều là vectơ chỉ phương của một đường thẳng. Giả sử một điểm nằm trên một đường thẳng và là vectơ chỉ đạo của nó. Khi đó phương trình của một đường thẳng có thể được viết dưới dạng sau:

Một lần nữa, tôi sẽ không quan tâm lắm đến phương trình của một đường thẳng, nhưng tôi thực sự cần bạn nhớ vectơ chỉ phương là gì! Lần nữa: nó là BẤT KỲ vectơ khác 0 nằm trên một đường thẳng hoặc song song với nó.

Rút phương trình ba điểm của một mặt phẳng không còn quá tầm thường, và thường không được đề cập trong một khóa học trung học. Nhưng vô ích! Kỹ thuật này rất quan trọng khi chúng ta sử dụng phương pháp tọa độ để giải quyết các vấn đề phức tạp. Tuy nhiên, tôi cho rằng bạn tràn đầy mong muốn tìm hiểu một cái gì đó mới? Hơn nữa, bạn sẽ có thể gây ấn tượng với giáo viên của mình ở trường đại học khi hóa ra bạn đã biết cách sử dụng kỹ thuật thường được học trong quá trình hình học giải tích. Vậy hãy bắt đầu.

Phương trình của một mặt phẳng không quá khác với phương trình của một đường thẳng trên một mặt phẳng, cụ thể là nó có dạng:

một số số (không phải tất cả đều bằng 0), nhưng các biến, ví dụ: v.v. Như bạn có thể thấy, phương trình của một mặt phẳng không khác lắm so với phương trình của một đường thẳng (hàm tuyến tính). Tuy nhiên, hãy nhớ những gì chúng tôi đã tranh luận với bạn? Chúng ta đã nói rằng nếu chúng ta có ba điểm không nằm trên một đường thẳng, thì phương trình của mặt phẳng được khôi phục duy nhất từ ​​chúng. Nhưng bằng cách nào? Tôi sẽ cố gắng giải thích cho bạn.

Vì phương trình mặt phẳng là:

Và các điểm thuộc mặt phẳng này, thì khi thay toạ độ của từng điểm vào phương trình của mặt phẳng ta được đúng:

Vì vậy, cần phải giải ba phương trình đã có ẩn số! Tình trạng khó xử! Tuy nhiên, chúng ta luôn có thể giả định rằng (đối với điều này, chúng ta cần phải chia cho). Do đó, chúng ta nhận được ba phương trình với ba ẩn số:

Tuy nhiên, chúng tôi sẽ không giải quyết một hệ thống như vậy, nhưng viết ra biểu thức khó hiểu sau đó:

Phương trình của một mặt phẳng đi qua ba điểm cho trước

\ [\ left | (\ begin (mảng) (* (20) (c)) (x - (x_0)) & ((x_1) - (x_0)) & ((x_2) - (x_0)) \\ (y - (y_0) ) & ((y_1) - (y_0)) & ((y_2) - (y_0)) \\ (z - (z_0)) & ((z_1) - (z_0)) & ((z_2) - (z_0)) \ end (mảng)) \ phải | = 0 \]

Ngừng lại! Cái gì nữa đây? Một số mô-đun rất bất thường! Tuy nhiên, đối tượng mà bạn nhìn thấy trước mặt không liên quan gì đến mô-đun. Đối tượng này được gọi là định thức bậc ba. Kể từ bây giờ, khi bạn xử lý phương pháp tọa độ trên một mặt phẳng, bạn sẽ thường xuyên bắt gặp những yếu tố quyết định rất nhiều. Yếu tố quyết định bậc ba là gì? Thật kỳ lạ, nó chỉ là một con số. Vẫn còn phải hiểu chúng ta sẽ so sánh con số cụ thể nào với yếu tố quyết định.

Đầu tiên chúng ta hãy viết định thức bậc ba trong phần tiếp theo nhìn chung:

Đâu là một số con số. Hơn nữa, theo chỉ mục đầu tiên, chúng tôi có nghĩa là số hàng và theo chỉ số - số cột. Ví dụ, nó có nghĩa là số đã cho nằm ở giao điểm của hàng thứ hai và cột thứ ba. Hãy đặt ra câu hỏi sau: làm cách nào để tính toán một định thức như vậy một cách chính xác? Tức là chúng ta sẽ so sánh nó với con số cụ thể nào? Đối với định thức của chính xác bậc ba, có một quy tắc tam giác (trực quan) heuristic, nó trông giống như sau:

1. Tích của các phần tử của đường chéo chính (từ trên trái xuống dưới bên phải) tích của các phần tử tạo thành tam giác thứ nhất "vuông góc" với đường chéo chính tích của các phần tử tạo thành tam giác thứ hai "vuông góc" với chính đường chéo
2. Tích của các phần tử của đường chéo phụ (từ phía trên bên phải xuống phía dưới bên trái) tích của các phần tử tạo thành tam giác thứ nhất "vuông góc" với đường chéo phụ tích của các phần tử tạo thành tam giác thứ hai "vuông góc" với đường chéo phụ
3. Khi đó, định thức bằng hiệu giữa các giá trị thu được ở bước và

Nếu chúng ta viết tất cả những điều này dưới dạng số, thì chúng ta nhận được biểu thức sau:

Tuy nhiên, bạn không cần phải ghi nhớ phương pháp tính toán trong biểu mẫu này, chỉ cần ghi nhớ các hình tam giác trong đầu bạn và ý tưởng về \ u200b \ u200b sẽ được thêm vào cái gì và sau đó được trừ đi cái gì).

Hãy minh họa phương pháp tam giác với một ví dụ:

1. Tính định thức:

Hãy tìm ra những gì chúng tôi cộng và những gì chúng tôi trừ đi:

Các điều khoản đi kèm với một "dấu cộng":

Đây là đường chéo chính: tích của các phần tử là

Hình tam giác đầu tiên, "vuông góc với đường chéo chính: tích của các phần tử là

Hình tam giác thứ hai, "vuông góc với đường chéo chính: tích của các phần tử là

Chúng tôi thêm ba số:

Các điều khoản đi kèm với một "dấu trừ"

Đây là một đường chéo bên: tích của các phần tử là

Hình tam giác đầu tiên, "vuông góc với đường chéo phụ: tích của các phần tử là

Hình tam giác thứ hai, "vuông góc với đường chéo phụ: tích của các phần tử là

Chúng tôi thêm ba số:

Tất cả những gì còn phải làm là trừ tổng của các số hạng cộng với tổng các số hạng bị trừ:

Vì vậy,

Như bạn có thể thấy, không có gì phức tạp và siêu nhiên trong việc tính toán các định thức bậc ba. Điều quan trọng là phải nhớ về hình tam giác và không mắc những sai lầm về số học. Bây giờ hãy thử tính toán cho chính mình:

Chung ta kiểm tra:

1. Hình tam giác đầu tiên vuông góc với đường chéo chính:
2. Hình tam giác thứ hai vuông góc với đường chéo chính:
3. Tổng của các số hạng cộng:
4. Hình tam giác đầu tiên vuông góc với đường chéo bên:
5. Hình tam giác thứ hai, vuông góc với đường chéo bên:
6. Tổng các số hạng với một số trừ:
7. Tổng các số hạng cộng trừ tổng các số hạng trừ:

Dưới đây là một vài yếu tố quyết định khác dành cho bạn, hãy tự tính toán giá trị của chúng và so sánh với các câu trả lời:

Câu trả lời:

Chà, mọi thứ đã khớp chưa? Tuyệt vời, sau đó bạn có thể tiếp tục! Nếu có khó khăn, thì lời khuyên của tôi là thế này: trên Internet có rất nhiều chương trình tính toán định thức trực tuyến. Tất cả những gì bạn cần là đưa ra định thức của riêng bạn, tự tính toán nó và sau đó so sánh nó với những gì chương trình tính toán. Và cứ tiếp tục như vậy cho đến khi kết quả bắt đầu trùng khớp. Tôi chắc rằng khoảnh khắc này sẽ không còn lâu nữa!

Bây giờ chúng ta hãy quay lại định thức mà tôi đã viết ra khi tôi nói về phương trình của một mặt phẳng đi qua ba điểm đã cho:

Tất cả những gì bạn phải làm là tính trực tiếp giá trị của nó (sử dụng phương pháp tam giác) và đặt kết quả bằng 0. Đương nhiên, vì chúng là các biến, bạn sẽ nhận được một số biểu thức phụ thuộc vào chúng. Biểu thức này sẽ là phương trình của một mặt phẳng đi qua ba điểm cho trước mà không nằm trên một đường thẳng!

Hãy minh họa điều này bằng một ví dụ đơn giản:

1. Lập phương trình mặt phẳng đi qua các điểm

Chúng tôi tạo ra một yếu tố quyết định cho ba điểm sau:

Đơn giản hóa:

Bây giờ chúng ta tính toán nó trực tiếp theo quy tắc của hình tam giác:

\ [(\ left | (\ begin (array) (* (20) (c)) (x + 3) & 2 & 6 \\ (y - 2) & 0 & 1 \\ (z + 1) & 5 & 0 \ end (array)) \ right | = \ left ((x + 3) \ right) \ cdot 0 \ cdot 0 + 2 \ cdot 1 \ cdot \ left ((z + 1) \ right) + \ left ((y - 2) \ right) \ cdot 5 \ cdot 6 -) \]

Như vậy, phương trình của mặt phẳng đi qua các điểm là:

Bây giờ hãy cố gắng tự giải quyết một vấn đề và sau đó chúng ta sẽ thảo luận về nó:

2. Tìm phương trình mặt phẳng đi qua các điểm

Vâng, chúng ta hãy thảo luận về giải pháp bây giờ:

Chúng tôi đưa ra một yếu tố quyết định:

Và tính giá trị của nó:

Khi đó phương trình của mặt phẳng có dạng:

Hoặc, giảm bớt, chúng tôi nhận được:

Bây giờ hai nhiệm vụ để tự kiểm soát:

1. Lập phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm:

Câu trả lời:

Mọi thứ đã khớp chưa? Một lần nữa, nếu có một số khó khăn nhất định, thì lời khuyên của tôi là: bạn lấy ba điểm từ đầu của bạn (với khả năng cao là chúng sẽ không nằm trên một đường thẳng), dựng một mặt phẳng trên đó. Và sau đó tự kiểm tra trực tuyến. Ví dụ, trên trang web:

Tuy nhiên, với sự trợ giúp của các định thức, chúng ta sẽ không chỉ xây dựng phương trình của mặt phẳng. Hãy nhớ rằng, tôi đã nói với bạn rằng đối với vectơ, không chỉ sản phẩm dấu chấm được xác định. Ngoài ra còn có một vector, cũng như một sản phẩm hỗn hợp. Và nếu tích vô hướng của hai vectơ sẽ là một số, thì tích vectơ của hai vectơ sẽ là một vectơ và vectơ này sẽ vuông góc với các vectơ đã cho:

Hơn nữa, môđun của nó sẽ bằng diện tích của hình bình hành được xây dựng trên các vectơ và. Chúng ta sẽ cần véc tơ này để tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng. Làm thế nào chúng ta có thể tính toán tích chéo của các vectơ và nếu tọa độ của chúng được cho trước? Yếu tố quyết định của thứ tự thứ ba một lần nữa đến với sự trợ giúp của chúng tôi. Tuy nhiên, trước khi chuyển sang thuật toán tính tích chéo, tôi phải thực hiện một phép toán lạc đề nhỏ.

Sự lạc đề này liên quan đến các vectơ cơ sở.

Sơ đồ chúng được hiển thị trong hình:

Bạn nghĩ tại sao chúng được gọi là cơ bản? Sự thật là :

Hoặc trong hình:

Tính hợp lệ của công thức này là hiển nhiên, bởi vì:

sản phẩm vector

Bây giờ tôi có thể bắt đầu giới thiệu sản phẩm chéo:

Tích vectơ của hai vectơ là một vectơ được tính theo quy tắc sau:

Bây giờ chúng ta hãy đưa ra một số ví dụ về tính tích số chéo:

Ví dụ 1: Tìm tích chéo của các vectơ:

Giải pháp: Tôi đưa ra một yếu tố quyết định:

Và tôi tính toán nó:

Bây giờ, từ việc viết thông qua các vectơ cơ sở, tôi sẽ quay lại ký hiệu vectơ thông thường:

Như vậy:

Bây giờ cố gắng.

Sẵn sàng? Chung ta kiểm tra:

Và truyền thống là hai các nhiệm vụ cần kiểm soát:

1. Tìm tích chéo của các vectơ sau:
2. Tìm tích chéo của các vectơ sau:

Câu trả lời:

Tích hỗn hợp của ba vectơ

Công trình cuối cùng tôi cần là tích hỗn hợp của ba vectơ. Nó, giống như một đại lượng vô hướng, là một số. Có hai cách để tính toán nó. - thông qua yếu tố quyết định, - thông qua sản phẩm hỗn hợp.

Cụ thể, giả sử chúng ta có ba vectơ:

Khi đó, tích hỗn hợp của ba vectơ, ký hiệu là có thể được tính như sau:

1. - nghĩa là, tích hỗn hợp là tích vô hướng của một vectơ và tích vectơ của hai vectơ khác

Ví dụ, tích hỗn hợp của ba vectơ là:

Hãy thử tự tính toán nó bằng cách sử dụng tích vectơ và đảm bảo rằng kết quả phù hợp!

Và một lần nữa - hai ví dụ cho một giải pháp độc lập:

Câu trả lời:

Lựa chọn hệ tọa độ

Vâng, bây giờ chúng ta có tất cả nền tảng kiến ​​thức cần thiết để giải các bài toán lập thể phức tạp trong hình học. Tuy nhiên, trước khi tiếp tục trực tiếp đến các ví dụ và thuật toán để giải quyết chúng, tôi tin rằng sẽ rất hữu ích nếu tập trung vào câu hỏi sau: chọn một hệ thống tọa độ cho một hình cụ thể. Rốt cuộc, chính sự lựa chọn vị trí tương đối của hệ tọa độ và hình vẽ trong không gian cuối cùng sẽ quyết định mức độ cồng kềnh của các phép tính.

Tôi nhắc bạn rằng trong phần này, chúng tôi đang xem xét các số liệu sau:

1. hình khối
2. Hình lăng trụ thẳng (tam giác, lục giác…)
3. Kim tự tháp (hình tam giác, hình tứ giác)
4. Khối tứ diện (giống như kim tự tháp tam giác)

Đối với hình khối hoặc hình khối, tôi khuyên bạn nên xây dựng như sau:

Đó là, tôi sẽ đặt hình "trong góc". Khối lập phương và cái hộp là những con số rất tốt. Đối với họ, bạn luôn có thể dễ dàng tìm thấy tọa độ các đỉnh của nó. Ví dụ, nếu (như trong hình)

thì tọa độ đỉnh là:

Tất nhiên, bạn không cần phải nhớ điều này, nhưng bạn nên nhớ cách định vị tốt nhất cho một khối lập phương hoặc một hình hộp chữ nhật.

lăng kính thẳng

Prism là một con số có hại hơn. Bạn có thể sắp xếp nó trong không gian theo nhiều cách khác nhau. Tuy nhiên, tôi nghĩ những điều sau đây là lựa chọn tốt nhất:

Lăng kính tam giác:

Tức là, chúng ta đặt một trong các cạnh của tam giác hoàn toàn trên trục, và một trong các đỉnh trùng với gốc tọa độ.

Lăng kính lục giác:

Tức là, một trong các đỉnh trùng với điểm gốc, và một trong các cạnh nằm trên trục.

Kim tự tháp tứ giác và lục giác:

Một tình huống tương tự như một khối lập phương: chúng ta kết hợp hai mặt của cơ sở với các trục tọa độ, chúng ta kết hợp một trong các đỉnh với gốc tọa độ. Khó khăn nhỏ duy nhất sẽ là tính toán tọa độ của điểm.

Đối với hình chóp lục giác - tương tự như đối với hình lăng trụ lục giác. Nhiệm vụ chính sẽ lại là tìm tọa độ của đỉnh.

Tứ diện (kim tự tháp tam giác)

Tình huống rất giống với trường hợp tôi đưa ra cho hình lăng trụ tam giác: một đỉnh trùng với gốc tọa độ, một cạnh nằm trên trục tọa độ.

Chà, bây giờ bạn và tôi cuối cùng cũng gần bắt đầu giải quyết vấn đề. Từ những gì tôi đã nói ở đầu bài viết, bạn có thể rút ra kết luận sau: hầu hết các bài toán C2 thuộc 2 loại: bài toán về góc và bài toán về khoảng cách. Đầu tiên, chúng ta sẽ xem xét các bài toán tìm một góc. Lần lượt, chúng được chia thành các loại sau (khi độ phức tạp tăng lên):

Các vấn đề khi tìm các góc

1. Tìm góc giữa hai đường thẳng
2. Tìm góc giữa hai mặt phẳng

Hãy xem xét các vấn đề này một cách tuần tự: hãy bắt đầu bằng cách tìm góc giữa hai đường thẳng. Nào, hãy nhớ lại, bạn và tôi đã giải những ví dụ tương tự trước đây chưa? Bạn nhớ đấy, bởi vì chúng ta đã có một cái gì đó giống nhau ... Chúng ta đang tìm một góc giữa hai vectơ. Tôi nhắc bạn, nếu hai vectơ được cho trước: và, thì góc giữa chúng được tìm thấy từ quan hệ:

Bây giờ chúng ta có một mục tiêu - tìm góc giữa hai đường thẳng. Hãy chuyển sang "bức tranh phẳng":

Khi hai đường thẳng cắt nhau thì ta nhận được bao nhiêu góc? Đã là những thứ. Đúng, chỉ có hai trong số chúng không bằng nhau, trong khi những cái khác thẳng đứng với chúng (và do đó trùng với chúng). Vậy ta phải coi góc giữa hai đường thẳng là góc nào: hoặc? Đây là quy tắc: góc giữa hai đường thẳng luôn không quá độ. Tức là từ hai góc, ta sẽ chọn luôn góc có số đo độ nhỏ nhất. Tức là trong hình này, góc giữa hai đường thẳng bằng nhau. Để không phải bận tâm đến việc tìm giá trị nhỏ nhất trong hai góc mọi lúc, các nhà toán học thông minh đã đề xuất sử dụng mô-đun. Như vậy, góc giữa hai đường thẳng được xác định theo công thức:

Bạn, với tư cách là một độc giả chú ý, hẳn đã có một câu hỏi: trên thực tế, chúng ta có được những con số mà chúng ta cần để tính cosin của một góc ở đâu? Trả lời: chúng ta sẽ lấy chúng từ các vectơ chỉ phương của các đường thẳng! Do đó, thuật toán tìm góc giữa hai đường thẳng như sau:

1. Chúng tôi áp dụng công thức 1.

Hoặc chi tiết hơn:

1. Chúng tôi đang tìm tọa độ của vectơ chỉ phương của đường thẳng đầu tiên
2. Chúng tôi đang tìm tọa độ của vectơ chỉ hướng của dòng thứ hai
3. Tính môđun của tích vô hướng của chúng
4. Chúng tôi đang tìm độ dài của vectơ đầu tiên
5. Chúng tôi đang tìm độ dài của vectơ thứ hai
6. Nhân kết quả của điểm 4 với kết quả của điểm 5
7. Ta chia kết quả của điểm 3 cho kết quả của điểm 6. Ta được cosin của góc giữa các đường thẳng
8. Nếu kết quả này cho phép chúng tôi tính toán chính xác góc, chúng tôi tìm kiếm nó
9. Nếu không, chúng tôi viết thông qua arccosine

Vâng, bây giờ là lúc để chuyển sang các nhiệm vụ: Tôi sẽ trình bày chi tiết giải pháp của hai nhiệm vụ đầu tiên, tôi sẽ trình bày ngắn gọn giải pháp của một giải pháp khác và tôi sẽ chỉ đưa ra câu trả lời cho hai nhiệm vụ cuối cùng, bạn phải tự làm tất cả các phép tính cho chúng.

Nhiệm vụ:

1. Trong ngay tet-ra-ed-re, hãy tìm-di-te góc giữa bạn-so-that tet-ra-ed-ra và cạnh me-di-a-noy bo-ko-how.

2. Trong phép lai sáu-than-pi-ra-mi-de, trăm-ro-na-os-no-va-niya bằng một cách nào đó, và các cạnh bên bằng nhau, hãy tìm góc giữa các đường thẳng. dòng và.

3. Độ dài của tất cả các cạnh của bốn-em-rech-than-noy pi-ra-mi-dy thuận tay phải bằng nhau. Tìm góc giữa các đường thẳng và nếu từ-re-zok - you-so-that cho pi-ra-mi-dy, thì điểm là se-lại-di-trên xương sườn của cô ấy

4. Trên cạnh của hình lập phương kẻ từ-me-che-đi một điểm sao cho Tìm góc giữa các đường thẳng và

5. Chỉ - kẻ lại các cạnh của hình lập phương Nai-đi-te góc giữa các đường thẳng và.

Không phải ngẫu nhiên mà tôi đặt các nhiệm vụ theo thứ tự này. Trong khi bạn chưa có thời gian để bắt đầu điều hướng phương pháp tọa độ, bản thân tôi sẽ phân tích những số liệu “có vấn đề” nhất, và tôi sẽ để bạn giải quyết khối lập phương đơn giản nhất! Dần dần bạn phải học cách làm việc với tất cả các số liệu, tôi sẽ tăng độ phức tạp của các nhiệm vụ từ chủ đề này sang chủ đề khác.

Hãy bắt đầu giải quyết vấn đề:

1. Vẽ một tứ diện, đặt nó trong hệ tọa độ như tôi đã gợi ý trước đó. Vì tứ diện đều nên tất cả các mặt của nó (kể cả mặt đáy) đều là tam giác đều. Vì chúng ta không được cung cấp chiều dài của cạnh, tôi có thể lấy nó bằng nhau. Tôi nghĩ rằng bạn hiểu rằng góc sẽ không thực sự phụ thuộc vào việc tứ diện của chúng ta sẽ được "kéo dài" bao nhiêu ?. Tôi cũng sẽ vẽ chiều cao và trung bình trong tứ diện. Trên đường đi, tôi sẽ vẽ cơ sở của nó (nó cũng sẽ có ích cho chúng tôi).

Tôi cần tìm góc giữa và. Chúng ta biết những gì? Chúng tôi chỉ biết tọa độ của điểm. Vì vậy, chúng ta cần tìm thêm tọa độ của các điểm. Bây giờ chúng ta nghĩ: một điểm là giao điểm của các đường cao (hoặc đường phân giác hoặc trung tuyến) của một tam giác. Một dấu chấm là một điểm nâng lên. Điểm là trung điểm của đoạn thẳng. Sau đó, cuối cùng chúng ta cần tìm: tọa độ của các điểm:.

Hãy bắt đầu với đơn giản nhất: tọa độ điểm. Nhìn vào hình vẽ: Rõ ràng là ứng của một điểm bằng 0 (điểm nằm trên một mặt phẳng). Tọa độ của nó bằng nhau (vì nó là trung tuyến). Khó tìm thấy abscissa của nó hơn. Tuy nhiên, điều này dễ dàng được thực hiện dựa trên cơ sở của định lý Pitago: Xét một tam giác. Cạnh huyền của nó bằng nhau và một trong các chân bằng Khi đó:

Cuối cùng chúng tôi có:

Bây giờ chúng ta hãy tìm tọa độ của điểm. Rõ ràng là ứng dụng của nó một lần nữa bằng 0, và hoành độ của nó giống như của một điểm, nghĩa là. Hãy tìm abscissa của nó. Điều này được thực hiện khá tầm thường nếu ai đó nhớ rằng Các chiều cao của một tam giác đều được chia cho giao điểm theo tỷ lệđếm từ trên xuống. Vì :, khi đó hoành độ mong muốn của điểm, bằng độ dài của đoạn, bằng:. Do đó, tọa độ của điểm là:

Hãy tìm tọa độ của điểm. Rõ ràng là abscissa và tọa độ của nó trùng với abscissa và tọa độ của điểm. Và phần đính bằng chiều dài của đoạn. - đây là một trong những chân của hình tam giác. Cạnh huyền của một tam giác là một đoạn - một chân. Nó được tìm kiếm vì những lý do mà tôi đã tô đậm:

Điểm là trung điểm của đoạn thẳng. Sau đó, chúng ta cần nhớ công thức cho tọa độ của giữa đoạn:

Vậy là xong, bây giờ chúng ta có thể tìm tọa độ của các vectơ hướng:

Chà, mọi thứ đã sẵn sàng: chúng tôi thay thế tất cả dữ liệu vào công thức:

Vì vậy,

Trả lời:

Bạn không nên sợ những câu trả lời "khủng khiếp" như vậy: đối với các bài toán C2, đây là một thực tế phổ biến. Tôi thà ngạc nhiên vì câu trả lời "đẹp" ở phần này. Ngoài ra, như bạn đã lưu ý, tôi thực tế không dùng đến bất cứ điều gì khác ngoài định lý Pitago và tính chất của các đường cao của một tam giác đều. Đó là, để giải quyết vấn đề lập thể, tôi đã sử dụng mức tối thiểu của phép lập thể. Cái lợi trong việc này một phần bị "dập tắt" bởi những tính toán khá rườm rà. Nhưng chúng khá thuật toán!

2. Vẽ một hình chóp lục giác đều cùng với hệ trục tọa độ, cũng như mặt đáy của nó:

Chúng ta cần tìm góc giữa các đường thẳng và. Do đó, nhiệm vụ của chúng ta được rút gọn thành việc tìm tọa độ của các điểm:. Chúng ta sẽ tìm tọa độ của ba điểm cuối cùng từ hình vẽ nhỏ, và chúng ta sẽ tìm tọa độ của đỉnh thông qua tọa độ của điểm. Rất nhiều việc, nhưng phải bắt đầu!

a) Tọa độ: rõ ràng là ứng dụng và tọa độ của nó bằng không. Chúng ta hãy tìm abscissa. Để làm điều này, hãy xem xét một tam giác vuông. Than ôi, trong đó chúng ta chỉ biết cạnh huyền, bằng. Chúng ta sẽ cố gắng tìm cái chân (bởi vì rõ ràng rằng độ dài gấp đôi chiều dài của cái chân sẽ cho chúng ta cơ số của điểm). Làm thế nào chúng ta có thể tìm kiếm cô ấy? Hãy nhớ lại xem đáy của hình chóp có dạng hình gì? Đây là một hình lục giác đều. Nó có nghĩa là gì? Điều này có nghĩa là tất cả các cạnh và tất cả các góc đều bằng nhau. Chúng ta cần tìm một góc như vậy. Có ý kiến ​​gì không? Có rất nhiều ý tưởng, nhưng có một công thức:

Tổng các góc của một n-gon thông thường là .

Như vậy, tổng các góc của một hình lục giác đều là độ. Khi đó mỗi góc bằng:

Chúng ta hãy nhìn vào bức tranh một lần nữa. Rõ ràng rằng đoạn thẳng là phân giác của góc. Khi đó góc là độ. Sau đó:

Sau đo ở đâu.

Vì vậy, nó có tọa độ

b) Bây giờ chúng ta có thể dễ dàng tìm được tọa độ của điểm:.

c) Tìm tọa độ của điểm. Vì abscissa của nó trùng với độ dài của đoạn nên nó bằng nhau. Tìm hoành độ cũng không khó lắm: nếu chúng ta nối các điểm và và biểu thị giao điểm của đoạn thẳng, nói cho. (tự thi công đơn giản). Khi đó, hoành độ của điểm B bằng tổng độ dài của đoạn thẳng. Chúng ta hãy nhìn vào hình tam giác một lần nữa. sau đó

Sau đó kể từ Khi đó điểm có tọa độ

d) Bây giờ tìm tọa độ của điểm. Xét một hình chữ nhật và chứng minh rằng Như vậy, tọa độ của điểm là:

e) Vẫn là tìm tọa độ của đỉnh. Rõ ràng là abscissa và tọa độ của nó trùng với abscissa và tọa độ của điểm. Hãy tìm một ứng dụng. Kể từ đó. Xét một tam giác vuông. Theo điều kiện của bài toán, cạnh bên. Đây là cạnh huyền của tam giác của tôi. Khi đó chiều cao của hình chóp là chân.

Khi đó điểm có tọa độ:

Vậy là xong, tôi có tọa độ của tất cả các điểm mà tôi quan tâm. Tôi đang tìm tọa độ của các vectơ chỉ đạo của các đường thẳng:

Chúng tôi đang tìm góc giữa các vectơ này:

Trả lời:

Một lần nữa, khi giải bài toán này, tôi không sử dụng bất kỳ thủ thuật phức tạp nào, ngoại trừ công thức tính tổng các góc của một n-gon thông thường, cũng như định nghĩa của cosin và sin của một tam giác vuông.

3. Vì chúng ta không được cung cấp độ dài của các cạnh trong hình chóp, nên tôi sẽ coi chúng bằng một. Do đó, vì TẤT CẢ các cạnh, chứ không chỉ các cạnh bên, đều bằng nhau, nên ở đáy của hình chóp và tôi là một hình vuông, và các mặt bên là các hình tam giác đều. Hãy mô tả một kim tự tháp như vậy, cũng như cơ sở của nó trên một mặt phẳng, đánh dấu tất cả các dữ liệu được đưa ra trong nội dung của bài toán:

Chúng tôi đang tìm kiếm góc giữa và. Tôi sẽ thực hiện các phép tính rất ngắn gọn khi tôi đang tìm tọa độ của các điểm. Bạn sẽ cần "giải mã" chúng:

b) - giữa đoạn. Tọa độ của cô ấy:

c) Tôi sẽ tìm độ dài của đoạn bằng cách sử dụng định lý Pitago trong một tam giác. Tôi sẽ tìm bằng định lý Pitago trong một tam giác.

Tọa độ:

d) - giữa đoạn. Tọa độ của nó là

e) Tọa độ vectơ

f) Tọa độ vectơ

g) Tìm một góc:

Khối lập phương là hình đơn giản nhất. Tôi chắc rằng bạn có thể tự mình tìm ra. Câu trả lời cho vấn đề 4 và 5 như sau:

Tìm góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng

Chà, thời gian cho những câu đố đơn giản đã hết! Bây giờ các ví dụ sẽ khó khăn hơn. Để tìm góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng, chúng ta sẽ tiến hành như sau:

1. Sử dụng ba điểm, chúng tôi xây dựng phương trình của mặt phẳng
   ,
   bằng cách sử dụng một yếu tố quyết định bậc ba.
2. Tại hai điểm, chúng ta đang tìm tọa độ của vectơ chỉ đạo của đường thẳng:
3. Ta áp dụng công thức tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:

Như bạn có thể thấy, công thức này rất giống với công thức chúng ta sử dụng để tìm góc giữa hai đường thẳng. Cấu trúc của phía bên phải giống nhau, và bên trái bây giờ chúng ta đang tìm kiếm một sin, chứ không phải một côsin, như trước đây. Chà, một hành động khó chịu đã được thêm vào - tìm kiếm phương trình của mặt phẳng.

Đừng xếp xó giải các ví dụ:

1. Os-no-va-ni-em thẳng-giải-ta-la-et-xia bằng-nhưng-kém-ren-ny tam-giác bạn-với-đó giải-ta bằng nhau. Tìm góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

2. Trong một hình chữ nhật pa-ral-le-le-pi-pe-de từ Tây Nai-di-te góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

3. Trong lăng trụ sáu cạnh bên phải, tất cả các cạnh đều bằng nhau. Tìm góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

4. Trong tam giác vuông pi-ra-mi-de với hệ thức os-but-va-ni-em từ phía Tây của góc Nai-di-te, mặt phẳng ob-ra-zo-van -ny của góc os. -no-va-niya và thẳng của tôi, đi qua se-re-di-na của xương sườn và

5. Độ dài tất cả các cạnh của tứ giác vuông pi-ra-mi-dy có đỉnh bằng nhau. Tìm góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, nếu điểm đó nằm trên cạnh bo-ko-in-th của pi-ra-mi-dy.

Một lần nữa, tôi sẽ giải quyết chi tiết hai vấn đề đầu tiên, vấn đề thứ ba - một cách ngắn gọn, và tôi để hai vấn đề cuối cùng để bạn tự giải quyết. Ngoài ra, bạn đã phải xử lý các hình chóp tam giác và tứ giác, nhưng chưa xử lý các hình lăng trụ.

Các giải pháp:

1. Vẽ một hình lăng trụ, cũng như mặt đáy của nó. Hãy kết hợp nó với hệ tọa độ và đánh dấu tất cả dữ liệu được đưa ra trong câu lệnh bài toán:

Tôi xin lỗi vì một số người không tuân thủ tỷ lệ, nhưng để giải quyết vấn đề, trên thực tế, điều này không quá quan trọng. Máy bay chỉ là "bức tường sau" của lăng kính của tôi. Chỉ cần đoán đơn giản rằng phương trình của một mặt phẳng như vậy có dạng:

Tuy nhiên, điều này cũng có thể được hiển thị trực tiếp:

Chúng tôi chọn ba điểm tùy ý trên mặt phẳng này: chẳng hạn,.

Hãy lập phương trình của mặt phẳng:

Bài tập dành cho bạn: hãy tự tính toán định thức này. Bạn đã thành công? Khi đó phương trình của mặt phẳng có dạng:

Hoặc đơn giản

Vì vậy,

Để giải ví dụ này, tôi cần tìm tọa độ của vectơ chỉ phương của đường thẳng. Vì điểm trùng với gốc tọa độ nên tọa độ của vectơ sẽ trùng với tọa độ của điểm, để làm được điều này, trước tiên ta tìm tọa độ của điểm.

Để làm điều này, hãy xem xét một hình tam giác. Hãy vẽ một chiều cao (nó cũng là đường trung bình và đường phân giác) từ đỉnh. Từ đó hoành độ của điểm bằng nhau. Để tìm abscissa của điểm này, chúng ta cần tính độ dài của đoạn thẳng. Theo định lý Pitago, chúng ta có:

Khi đó điểm có tọa độ:

Dấu chấm là dấu "nhô lên" trên dấu chấm:

Khi đó tọa độ của vectơ:

Trả lời:

Như bạn có thể thấy, về cơ bản không có gì khó khăn trong việc giải quyết những vấn đề như vậy. Trên thực tế, "độ thẳng" của một hình chẳng hạn như lăng kính đơn giản hóa quá trình hơn một chút. Bây giờ chúng ta hãy chuyển sang ví dụ tiếp theo:

2. Chúng tôi vẽ một hình bình hành, vẽ một mặt phẳng và một đường thẳng trong đó, và cũng vẽ riêng phần đáy của nó:

Đầu tiên, chúng ta tìm phương trình của mặt phẳng: Tọa độ của ba điểm nằm trong nó:

(hai tọa độ đầu tiên được lấy theo một cách hiển nhiên, và bạn có thể dễ dàng tìm thấy tọa độ cuối cùng từ hình ảnh từ điểm). Sau đó, chúng tôi lập phương trình của mặt phẳng:

Chúng tôi tính toán:

Chúng ta đang tìm tọa độ của vectơ chỉ phương: Rõ ràng là tọa độ của nó trùng với tọa độ của điểm phải không? Cách tìm tọa độ? Đây là các tọa độ của điểm, được nâng lên dọc theo trục ứng dụng từng điểm một! . Sau đó, chúng tôi đang tìm kiếm góc mong muốn:

Trả lời:

3. Vẽ một hình chóp lục giác đều, sau đó vẽ một mặt phẳng và một đường thẳng trong đó.

Ở đây vẽ mặt phẳng cũng có vấn đề, chưa nói đến lời giải của bài toán này mà phương pháp tọa độ thì không quan tâm! Đó là trong tính linh hoạt của nó mà lợi thế chính của nó nằm!

Mặt phẳng đi qua ba điểm:. Chúng tôi đang tìm kiếm tọa độ của chúng:

một) . Tự hiển thị tọa độ cho hai điểm cuối cùng. Bạn sẽ cần phải giải quyết vấn đề với một kim tự tháp lục giác cho điều này!

2) Ta xây dựng phương trình của mặt phẳng:

Chúng tôi đang tìm tọa độ của vectơ:. (Xem lại bài toán kim tự tháp tam giác!)

3) Chúng tôi đang tìm một góc:

Trả lời:

Như bạn có thể thấy, không có gì siêu nhiên khó trong những nhiệm vụ này. Bạn chỉ cần rất cẩn thận với rễ. Đối với hai vấn đề cuối cùng, tôi sẽ chỉ đưa ra câu trả lời:

Như bạn có thể thấy, kỹ thuật giải bài toán giống nhau ở mọi nơi: nhiệm vụ chính là tìm tọa độ của các đỉnh và thay chúng vào một số công thức. Chúng ta vẫn phải xem xét một loại bài toán khác để tính góc, đó là:

Tính góc giữa hai mặt phẳng

Thuật toán giải sẽ như sau:

1. Đối với ba điểm, chúng ta đang tìm phương trình của mặt phẳng thứ nhất:
2. Đối với ba điểm còn lại, chúng ta đang tìm phương trình của mặt phẳng thứ hai:
3. Chúng tôi áp dụng công thức:

Như bạn có thể thấy, công thức rất giống với hai công thức trước, với sự trợ giúp của chúng tôi đang tìm các góc giữa các đường thẳng và giữa một đường thẳng và một mặt phẳng. Vì vậy, việc ghi nhớ một trong những điều này sẽ không khó đối với bạn. Hãy đi ngay vào vấn đề:

1. Một trăm ro-xtăng của lăng trụ tam giác vuông bằng nhau và đường kính của mặt bên bằng nhau. Tìm góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng Giải.

2. Trong phép pi-ra-mi-ni-a-ra-mi-ni-a có bốn cạnh phải bằng nhau, tìm sin của góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng Ko-Stu, đi qua điểm của per-pen-di-ku-lyar-but-thẳng-my.

3. Trong một hình lăng trụ đều có bốn than, các cạnh bên bằng os-no-va-nia và các cạnh bên bằng nhau. Trên cạnh từ-tôi-che-đến điểm đó. Tìm góc giữa hai mặt phẳng và

4. Trong lăng trụ tứ giác đều, các cạnh bên bằng nhau, các cạnh bên bằng nhau. Trên cạnh từ-me-che-đi một điểm sao cho Tìm góc giữa hai mặt phẳng và.

5. Trong hình lập phương, hãy tìm đồng-si-n của góc giữa hai mặt phẳng và

Giải pháp vấn đề:

1. Tôi vẽ một hình lăng trụ tam giác đều (đáy - tam giác đều) và đánh dấu trên đó các mặt phẳng xuất hiện trong điều kiện của bài toán:

Chúng ta cần tìm phương trình của hai mặt phẳng: Phương trình cơ sở nhận được một cách đáng kể: bạn có thể lập định thức tương ứng cho ba điểm, nhưng tôi sẽ lập phương trình ngay sau đây:

Bây giờ chúng ta hãy tìm phương trình Điểm có tọa độ Điểm - Vì - trung tuyến và đường cao của tam giác, ta dễ dàng tìm được bằng định lý Pitago trong một tam giác. Khi đó điểm có tọa độ: Tìm hoành độ của điểm Để làm được điều này, xét một tam giác vuông

Sau đó, chúng tôi nhận được các tọa độ sau: Chúng tôi lập phương trình của mặt phẳng.

Chúng tôi tính toán góc giữa các mặt phẳng:

Trả lời:

2. Lập bản vẽ:

Khó khăn nhất là không hiểu đó là loại máy bay bí ẩn nào, đi qua một điểm theo phương vuông góc. Chà, điều chính là nó là gì? Điều chính là sự chăm chú! Thật vậy, đường thẳng vuông góc. Đường thẳng cũng vuông góc. Khi đó mặt phẳng đi qua hai đường thẳng này sẽ vuông góc với đường thẳng và nhân tiện, sẽ đi qua điểm. Mặt phẳng này cũng đi qua đỉnh của kim tự tháp. Sau đó, chiếc máy bay mong muốn - Và chiếc máy bay đã được trao cho chúng tôi. Chúng tôi đang tìm kiếm tọa độ của các điểm.

Ta tìm tọa độ của điểm qua điểm. Từ hình vẽ nhỏ ta dễ dàng suy ra tọa độ của điểm sẽ như sau: Bây giờ tìm tọa độ đỉnh của hình chóp ta làm gì còn lại? Vẫn cần phải tính toán chiều cao của nó. Điều này được thực hiện bằng cách sử dụng cùng một định lý Pitago: đầu tiên, chứng minh rằng (từ tam giác nhỏ tạo thành một hình vuông ở đáy một cách tương ứng). Vì theo điều kiện, chúng tôi có:

Bây giờ mọi thứ đã sẵn sàng: tọa độ đỉnh:

Chúng tôi lập phương trình của mặt phẳng:

Bạn đã là một chuyên gia trong việc tính toán các yếu tố quyết định. Bạn sẽ dễ dàng nhận được:

Hoặc ngược lại (nếu chúng ta nhân cả hai phần với căn của hai)

Bây giờ chúng ta hãy tìm phương trình của mặt phẳng:

(Bạn không quên cách chúng ta lấy phương trình của máy bay phải không? Nếu bạn không hiểu cái trừ này đến từ đâu, thì hãy quay lại định nghĩa phương trình của máy bay! rằng máy bay của tôi thuộc về nguồn gốc!)

Chúng tôi tính toán yếu tố quyết định:

(Bạn có thể nhận thấy rằng phương trình của mặt phẳng trùng với phương trình của đường thẳng đi qua các điểm và! Hãy suy nghĩ tại sao!)

Bây giờ chúng ta tính góc:

Chúng ta cần tìm sin:

Trả lời:

3. Một câu hỏi hóc búa: hình lăng trụ chữ nhật là gì, bạn nghĩ sao? Nó chỉ là một song song nổi tiếng với bạn! Vẽ ngay! Bạn thậm chí không thể mô tả riêng phần đế, có rất ít tác dụng từ nó ở đây:

Mặt phẳng, như chúng ta đã lưu ý trước đó, được viết dưới dạng phương trình:

Bây giờ chúng ta làm một chiếc máy bay

Chúng ta lập ngay phương trình của mặt phẳng:

Tìm kiếm một góc

Bây giờ câu trả lời cho hai vấn đề cuối cùng:

Vâng, bây giờ là lúc để nghỉ ngơi, vì bạn và tôi đều tuyệt vời và đã hoàn thành rất tốt công việc của mình!

Tọa độ và vectơ. Trình độ cao

Trong bài này, chúng tôi sẽ thảo luận với các bạn một lớp bài toán khác có thể giải được bằng phương pháp tọa độ: bài toán khoảng cách. Cụ thể, chúng tôi sẽ xem xét các trường hợp sau:

1. Tính khoảng cách giữa các đường xiên.

Tôi đã đặt hàng các nhiệm vụ đã cho khi độ phức tạp của chúng tăng lên. Dễ nhất là tìm trỏ đến khoảng cách máy bay và phần khó nhất là tìm khoảng cách giữa các đường giao nhau. Mặc dù, tất nhiên, không có gì là không thể! Đừng trì hoãn và ngay lập tức tiến hành xem xét loại vấn đề đầu tiên:

Tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng

Chúng ta cần gì để giải quyết vấn đề này?

1. Tọa độ điểm

Vì vậy, ngay sau khi chúng tôi nhận được tất cả dữ liệu cần thiết, chúng tôi áp dụng công thức:

Bạn hẳn đã biết cách chúng ta xây dựng phương trình mặt phẳng từ các bài toán trước mà tôi đã phân tích ở phần trước. Bắt tay vào kinh doanh ngay thôi. Sơ đồ như sau: 1, 2 - Tôi giúp bạn quyết định, và một số chi tiết, 3, 4 - chỉ có câu trả lời, bạn tự quyết định và so sánh. Đã bắt đầu!

Nhiệm vụ:

1. Cho một hình lập phương. Độ dài các cạnh của hình lập phương là Tìm-di-te khoảng cách từ se-re-di-ny từ cắt đến phẳng

2. Cho ngay-vil-naya bốn bạn-rekh-than-naya pi-ra-mi-da Bo-ko-voe cạnh trăm-ro-trên os-no-va-nia là bằng nhau. Tìm-di-những khoảng cách đó từ một điểm đến một mặt phẳng mà - se-di-trên các cạnh.

3. Trong tam giác vuông pi-ra-mi-de với os-but-va-ni-em, cạnh còn lại bằng nhau và một trăm-ro-on os-no-va-niya bằng nhau. Tìm-di-những khoảng cách từ đỉnh đến mặt phẳng.

4. Trong lăng kính sáu cạnh bên phải, tất cả các cạnh đều bằng nhau. Tìm-di-những khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

Các giải pháp:

1. Vẽ một hình lập phương có các cạnh đơn, dựng một đoạn thẳng và một mặt phẳng, biểu thị giữa đoạn bằng chữ cái

.

Đầu tiên, hãy bắt đầu với một điều dễ dàng: tìm tọa độ của một điểm. Từ đó (nhớ tọa độ giữa đoạn!)

Bây giờ chúng ta lập phương trình của mặt phẳng trên ba điểm

\ [\ left | (\ begin (array) (* (20) (c)) x & 0 & 1 \\ y & 1 & 0 \\ z & 1 & 1 \ end (array)) \ right | = 0 \]

Bây giờ tôi có thể bắt đầu tìm khoảng cách:

2. Chúng tôi bắt đầu lại với một bản vẽ, trên đó chúng tôi đánh dấu tất cả các dữ liệu!

Đối với một kim tự tháp, sẽ rất hữu ích nếu vẽ riêng phần đáy của nó.

Ngay cả việc tôi vẽ như một móng gà cũng không ngăn cản chúng ta dễ dàng giải quyết vấn đề này!

Giờ đây, thật dễ dàng để tìm tọa độ của một điểm

Kể từ khi tọa độ của điểm

2. Vì tọa độ điểm a là trung điểm của đoạn thẳng nên

Chúng ta có thể dễ dàng tìm được tọa độ của hai điểm nữa trên mặt phẳng. Chúng ta lập phương trình của mặt phẳng và đơn giản hóa nó:

\ [\ left | (\ left | (\ begin (array) (* (20) (c)) x & 1 & (\ frac (3) (2)) \\ y & 0 & (\ frac (3) (2)) \\ z & 0 & (\ frac ( (\ sqrt 3)) (2)) \ end (mảng)) \ right |) \ right | = 0 \]

Vì điểm có tọa độ: nên ta tính được khoảng cách:

Câu trả lời (rất hiếm!):

Chà, bạn đã hiểu chưa? Đối với tôi, dường như mọi thứ ở đây cũng mang tính kỹ thuật như trong các ví dụ mà chúng tôi đã xem xét với bạn ở phần trước. Vì vậy, tôi chắc chắn rằng nếu bạn đã nắm vững tài liệu đó, thì bạn sẽ không khó để giải quyết hai vấn đề còn lại. Tôi sẽ chỉ cho bạn câu trả lời:

Tính khoảng cách từ một đường thẳng đến một mặt phẳng

Trên thực tế, không có gì mới ở đây. Làm thế nào để một đường thẳng và một mặt phẳng có thể có vị trí tương đối với nhau? Chúng có tất cả các khả năng: cắt nhau, hoặc một đường thẳng song song với mặt phẳng. Bạn nghĩ khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng mà đường thẳng đã cho cắt nhau là bao nhiêu? Đối với tôi dường như rõ ràng khoảng cách như vậy bằng không. Trường hợp không thú vị.

Trường hợp thứ hai phức tạp hơn: ở đây khoảng cách đã là khác không. Tuy nhiên, vì đường thẳng song song với mặt phẳng nên mỗi điểm của đường thẳng cách đều mặt phẳng này:

Như vậy:

Và điều này có nghĩa là nhiệm vụ của tôi đã được giảm xuống trước đó: chúng ta đang tìm tọa độ của một điểm bất kỳ trên đường thẳng, chúng ta đang tìm phương trình của mặt phẳng, chúng ta tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng. Trên thực tế, những nhiệm vụ như vậy trong kỳ thi là cực kỳ hiếm. Tôi chỉ tìm thấy một vấn đề duy nhất và dữ liệu trong đó là do phương pháp tọa độ không áp dụng được cho nó!

Bây giờ chúng ta hãy chuyển sang một lớp vấn đề khác, quan trọng hơn nhiều:

Tính khoảng cách của một điểm đến một đường thẳng

Chúng ta sẽ cần gì?

1. Tọa độ của điểm mà từ đó chúng ta đang tìm khoảng cách:

2. Tọa độ của một điểm bất kỳ nằm trên một đường thẳng

3. Tọa độ vectơ chỉ phương của đường thẳng

Chúng ta sử dụng công thức nào?

Mẫu số của phân số này có ý nghĩa gì đối với bạn và vì vậy cần phải rõ ràng: đây là độ dài của vectơ chỉ đạo của đường thẳng. Đây là một tử số rất khó! Biểu thức có nghĩa là môđun (độ dài) của tích vectơ của vectơ và Cách tính tích vectơ, chúng ta đã nghiên cứu ở phần trước của tác phẩm. Hãy làm mới kiến ​​thức của bạn, nó sẽ rất hữu ích cho chúng tôi ngay bây giờ!

Do đó, thuật toán giải bài toán sẽ như sau:

1. Chúng tôi đang tìm tọa độ của điểm mà từ đó chúng tôi đang tìm khoảng cách:

2. Chúng tôi đang tìm tọa độ của bất kỳ điểm nào trên đường thẳng mà chúng tôi đang tìm kiếm khoảng cách:

3. Xây dựng một vectơ

4. Ta xây dựng vectơ chỉ phương của đường thẳng

5. Tính tích chéo

6. Chúng tôi đang tìm độ dài của vectơ kết quả:

7. Tính khoảng cách:

Chúng tôi còn rất nhiều việc, và các ví dụ sẽ khá phức tạp! Vì vậy, bây giờ hãy tập trung mọi sự chú ý của bạn!

1. Dana là tam giác thuận tay phải pi-ra-mi-da có đỉnh. Một trăm-ro-on the os-no-va-niya pi-ra-mi-dy là bằng nhau, bạn-so-ta bằng nhau. Tìm-di-những khoảng cách đó từ điểm tiếp giáp của cạnh bo-ko-th đến đường thẳng, tại đó các điểm và là điểm nối của xương sườn và đồng-từ-vet -nhưng.

2. Chiều dài của các xương sườn và góc vuông-no-para-ral-le-le-pi-pe-da tương ứng bằng nhau và Tìm khoảng cách từ top-shi-ny đến thẳng my

3. Trong lăng kính sáu cạnh bên phải, tất cả các cạnh của một đám đều bằng nhau tìm-di-những khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Các giải pháp:

1. Chúng tôi tạo một bản vẽ gọn gàng, trên đó chúng tôi đánh dấu tất cả dữ liệu:

Chúng tôi có rất nhiều việc cho bạn! Trước tiên, tôi muốn mô tả bằng lời những gì chúng tôi sẽ tìm kiếm và theo thứ tự:

1. Tọa độ của điểm và

2. Tọa độ điểm

3. Tọa độ của điểm và

4. Tọa độ của vectơ và

5. Sản phẩm chéo của họ

6. Chiều dài vectơ

7. Chiều dài của tích vectơ

8. Khoảng cách từ đến

Chà, chúng ta còn rất nhiều việc phải làm! Cùng xắn tay áo lên nào!

1. Để tìm tọa độ đường cao của hình chóp, ta cần biết tọa độ của điểm có hoành độ bằng 0 và hoành độ bằng hoành độ của nó. Cuối cùng, chúng tôi có tọa độ:

Tọa độ điểm

2. - giữa đoạn

3. - giữa đoạn

điểm giữa

4. tọa độ

Tọa độ vectơ

5. Tính tích vectơ:

6. Độ dài của vectơ: cách đơn giản nhất là thay đoạn đó là đường trung trực của tam giác, nghĩa là nó bằng nửa cơ sở. Vậy nên.

7. Chúng ta coi độ dài của tích vectơ:

8. Cuối cùng, hãy tìm khoảng cách:

Phù, vậy thôi! Thành thật mà nói, tôi sẽ nói với bạn: giải quyết vấn đề này bằng các phương pháp truyền thống (thông qua các công trình xây dựng) sẽ nhanh hơn nhiều. Nhưng ở đây tôi đã giảm mọi thứ thành một thuật toán tạo sẵn! Tôi nghĩ rằng thuật toán giải pháp là rõ ràng cho bạn? Do đó, tôi sẽ yêu cầu bạn tự giải quyết hai vấn đề còn lại. So sánh các câu trả lời?

Một lần nữa, tôi nhắc lại: giải quyết những vấn đề này thông qua cấu trúc sẽ dễ dàng hơn (nhanh hơn) thay vì dùng đến phương pháp tọa độ. Tôi đã trình bày cách giải quyết này chỉ để chỉ cho bạn một phương pháp phổ quát cho phép bạn “không làm xong việc gì cả”.

Cuối cùng, hãy xem xét loại vấn đề cuối cùng:

Tính khoảng cách giữa các đường xiên

Ở đây thuật toán giải bài toán sẽ tương tự như phần trước. Những gì chúng tôi có:

3. Bất kỳ vectơ nào nối các điểm của dòng thứ nhất và thứ hai:

Làm thế nào để chúng tôi tìm thấy khoảng cách giữa các dòng?

Công thức là:

Tử số là môđun của tích hỗn hợp (chúng ta đã giới thiệu ở phần trước) và mẫu số - như trong công thức trước (môđun của tích vectơ của các vectơ chỉ đạo của các đường, khoảng cách giữa chúng ta đang tìm vì).

Tôi sẽ nhắc bạn điều đó

sau đó công thức khoảng cách có thể được viết lại thành:

Chia định thức này cho định thức! Mặc dù, thành thật mà nói, tôi không có tâm trạng để đùa ở đây! Trên thực tế, công thức này rất rườm rà và dẫn đến các phép tính khá phức tạp. Nếu tôi là bạn, tôi sẽ chỉ sử dụng nó như một phương sách cuối cùng!

Hãy thử giải quyết một số vấn đề bằng cách sử dụng phương pháp trên:

1. Trong hình lăng trụ tam giác vuông có tất cả các cạnh bằng nhau, tìm khoảng cách giữa các đường thẳng và.

2. Cho hình lăng trụ tam giác đều, tất cả các cạnh của os-no-va-niya của ai đó đều bằng Se-che-tion, đi qua sườn kia và sườn se-re-di-nu là yav-la-et-sya vuông-ra-tom. Find-di-te dis-st-I-nie giữa thẳng hàng và

Tôi quyết định điều đầu tiên, và dựa trên nó, bạn quyết định điều thứ hai!

1. Tôi vẽ một lăng kính và đánh dấu các đường và

Tọa độ điểm C: then

Tọa độ điểm

Tọa độ vectơ

Tọa độ điểm

Tọa độ vectơ

Tọa độ vectơ

\ [\ left ((B, \ overrightarrow (A (A_1)) \ overrightarrow (B (C_1))) \ right) = \ left | (\ begin (array) (* (20) (l)) (\ begin (array) (* (20) (c)) 0 & 1 & 0 \ end (array)) \\ (\ begin (array) (* (20) (c)) 0 & 0 & 1 \ end (array)) \\ (\ begin (array) (* (20) (c)) (\ frac ((\ sqrt 3)) (2)) & (- \ frac (1) (2)) & 1 \ end (mảng)) \ end (mảng)) \ phải | = \ frac ((\ sqrt 3)) (2) \]

Chúng tôi coi tích chéo giữa các vectơ và

\ [\ overrightarrow (A (A_1)) \ cdot \ overrightarrow (B (C_1)) = \ left | \ begin (array) (l) \ begin (array) (* (20) (c)) (\ overrightarrow i) & (\ overrightarrow j) & (\ overrightarrow k) \ end (array) \\\ begin (array ) (* (20) (c)) 0 & 0 & 1 \ end (array) \\\ begin (array) (* (20) (c)) (\ frac ((\ sqrt 3)) (2)) & (- \ frac (1) (2)) & 1 \ end (array) \ end (array) \ right | - \ frac ((\ sqrt 3)) (2) \ overrightarrow k + \ frac (1) (2) \ overrightarrow i \]

Bây giờ chúng ta xem xét độ dài của nó:

Trả lời:

Bây giờ hãy cố gắng hoàn thành nhiệm vụ thứ hai một cách cẩn thận. Câu trả lời cho nó sẽ là:.

Tọa độ và vectơ. Mô tả ngắn gọn và công thức cơ bản

Một vectơ là một đoạn thẳng có hướng. - đầu vectơ, - cuối vectơ.
Vectơ được ký hiệu là hoặc.

Giá trị tuyệt đối vector - độ dài của đoạn thẳng đại diện cho vector. Được chỉ định là.

Tọa độ vectơ:

,
đâu là các đầu của vector \ displaystyle a.

Tổng các vectơ:.

Tích của vectơ:

Tích số chấm của vectơ:

Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong mặt phẳng

Nếu cho phương trình của đường thẳng Ax + By + C = 0 thì khoảng cách từ điểm M (M x, M y) đến đường thẳng bằng công thức sau

Ví dụ về các công việc để tính khoảng cách từ một điểm đến một đường trong mặt phẳng

ví dụ 1

Tìm khoảng cách giữa đường thẳng 3x + 4y - 6 = 0 và điểm M (-1, 3).

Quyết định. Thay thế trong công thức các hệ số của đường thẳng và tọa độ của điểm

Trả lời: khoảng cách từ một điểm đến một đoạn thẳng là 0,6.

phương trình của một mặt phẳng đi qua các điểm vuông góc với một vectơ

Một vectơ khác 0 vuông góc với một mặt phẳng đã cho được gọi là Vector bình thường (hay nói ngắn gọn là thông thường ) cho máy bay này.

Trong không gian tọa độ (trong một hệ tọa độ hình chữ nhật) đã cho:

một dấu chấm ;

b) một vectơ khác 0 (Hình 4.8, a).

Yêu cầu viết phương trình mặt phẳng đi qua một điểm vuông góc với vectơ Kết thúc bằng chứng.

Bây giờ chúng ta hãy xem xét các dạng phương trình khác nhau của một đường thẳng trong một mặt phẳng.

1) Phương trình tổng quát của mặt phẳngP .

Từ suy ra của phương trình, nó đồng thời Một, B và C không bằng 0 (giải thích tại sao).

Điểm thuộc mặt phẳng P chỉ khi tọa độ của nó thỏa mãn phương trình của mặt phẳng. Tùy thuộc vào các hệ số Một, B, C và D chiếc máy bay P chiếm vị trí này hay vị trí khác.

- mặt phẳng đi qua gốc của hệ tọa độ, - mặt phẳng không đi qua gốc của hệ tọa độ,

- mặt phẳng song song với trục X,

X,

- mặt phẳng song song với trục Y,

- mặt phẳng không song song với trục Y,

- mặt phẳng song song với trục Z,

- mặt phẳng không song song với trục Z.

Hãy tự mình chứng minh những nhận định này.

Phương trình (6) dễ dàng suy ra từ phương trình (5). Thật vậy, hãy để điểm nằm trên mặt phẳng P. Khi đó tọa độ của nó thỏa mãn phương trình Trừ phương trình (7) khỏi phương trình (5) và nhóm các số hạng, ta được phương trình (6). Bây giờ hãy xem xét hai vectơ có tọa độ tương ứng. Theo công thức (6), tích vô hướng của chúng bằng không. Do đó, vectơ vuông góc với vectơ Đầu và cuối của vectơ cuối lần lượt là những điểm thuộc mặt phẳng. P. Do đó, vectơ vuông góc với mặt phẳng P. Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng P, phương trình tổng quát của nó là được xác định bởi công thức Chứng minh của công thức này hoàn toàn tương tự như chứng minh của công thức về khoảng cách giữa một điểm và một đoạn thẳng (xem Hình 2).
Cơm. 2. Để suy ra công thức về khoảng cách giữa mặt phẳng và đường thẳng.

Thật vậy, khoảng cách d giữa một đường thẳng và một mặt phẳng là

đâu là một điểm nằm trên mặt phẳng. Từ đây, như trong bài giảng số 11, ta có được công thức trên. Hai mặt phẳng song song nếu vectơ pháp tuyến của chúng song song. Từ đây ta có được điều kiện song song của hai mặt phẳng - Hệ số của phương trình tổng quát của mặt phẳng. Hai mặt phẳng vuông góc nếu vectơ pháp tuyến của chúng vuông góc, do đó ta có điều kiện về độ vuông góc của hai mặt phẳng nếu biết phương trình tổng quát của chúng

Mũi tiêm f giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa các vectơ pháp tuyến của chúng (xem Hình 3) và do đó có thể được tính từ công thức
Xác định góc giữa các mặt phẳng.

(11)

Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng và cách tìm nó

Khoảng cách từ điểm đến chiếc máy bay là độ dài của vuông góc thả từ một điểm xuống mặt phẳng này. Có ít nhất hai cách để tìm khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng: hình học và đại số.

Với phương pháp hình học trước tiên bạn cần hiểu đường vuông góc nằm như thế nào từ một điểm đến một mặt phẳng: có thể nó nằm trong một mặt phẳng thuận tiện nào đó, nó là đường cao trong một tam giác thuận tiện (hoặc không phải vậy), hoặc có thể đường vuông góc này nói chung là một đường cao trong một số hình chóp. .

Sau giai đoạn đầu tiên và khó khăn nhất này, bài toán chia thành một số bài toán planimetric cụ thể (có thể ở các mặt phẳng khác nhau).

Với cách đại sốĐể tìm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, bạn cần nhập một hệ trục tọa độ, tìm tọa độ của điểm và phương trình của mặt phẳng, sau đó áp dụng công thức cho khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng.