Bùa hộ mệnh 

Nhiều phân số khác nhau. Phép cộng và phép trừ các phân số đại số với các mẫu số khác nhau (quy tắc cơ bản, trường hợp đơn giản nhất)

Như bạn đã biết từ toán học, một số phân số bao gồm một tử số và một mẫu số. Tử số ở trên cùng và mẫu số ở dưới cùng.

Việc thực hiện các phép toán cộng hoặc trừ các phân số có cùng mẫu số là khá đơn giản. Bạn chỉ cần có thể cộng hoặc trừ các số trong tử số (trên cùng), và cùng một số dưới cùng không thay đổi.

Ví dụ, chúng ta hãy lấy số phân số 7/9, ở đây:

  • số "bảy" trên cùng là tử số;
  • số "chín" dưới đây là mẫu số.

ví dụ 1. Phép cộng:

5/49 + 4/49 = (5+4) / 49 =9/49.

Ví dụ 2. Phép trừ:

6/35−3/35 = (6−3) / 35 = 3/35.

Phép trừ các giá trị phân số đơn giản \ u200b \ u200 có mẫu số khác

Để thực hiện một phép toán trừ các giá trị có mẫu số khác, trước tiên bạn phải đưa chúng về một mẫu số chung. Khi thực hiện nhiệm vụ này, cần tuân thủ quy tắc mẫu số chung này phải nhỏ nhất trong tất cả các phương án có thể.

Ví dụ 3

Cho hai đại lượng đơn giản có mẫu số khác nhau (số dưới): 7/8 và 2/9.

Trừ giá trị thứ hai với giá trị đầu tiên.

Giải pháp bao gồm một số bước:

1. Tìm số dưới chung, tức là chia hết cho giá trị nhỏ hơn của phân số thứ nhất và phân số thứ hai. Đây sẽ là số 72, vì nó là bội số của các số "tám" và "chín".

2. Chữ số dưới cùng của mỗi phân số đã tăng lên:

  • số "tám" trong phân số 7/8 tăng lên chín lần - 8 * 9 = 72;
  • số "chín" trong phân số 2/9 đã tăng lên tám lần - 9 * 8 = 72.

3. Nếu mẫu số (số dưới) đã thay đổi, thì tử số (số trên) cũng phải thay đổi. Theo quy tắc toán học hiện có, con số trên phải được tăng lên chính xác bằng số lượng của con số dưới. I E:

  • tử số "bảy" trong phân số đầu tiên (7/8) được nhân với số "chín" - 7 * 9 = 63;
  • tử số "hai" trong phân số thứ hai (2/9) được nhân với số "tám" - 2 * 8 = 16.

4. Kết quả của các hành động, chúng tôi nhận được hai giá trị mới, tuy nhiên, chúng giống hệt giá trị ban đầu.

  • đầu tiên: 7/8 = 7 * 9/8 * 9 = 63/72;
  • thứ hai: 2/9 = 2 * 8/9 * 8 = 16/72.

5. Bây giờ nó được phép trừ một số phân số với một số khác:

7/8−2/9 = 63/72−16/72 =?

6. Thực hiện thao tác này, chúng ta quay lại chủ đề phép trừ các phân số có cùng mẫu số (mẫu số). Và điều này có nghĩa là hành động trừ sẽ được thực hiện từ phía trên, trong tử số, và con số dưới được chuyển mà không có thay đổi.

63/72−16/72 = (63−16) / 72 = 47/72.

7/8−2/9 = 47/72.

Ví dụ 4

Hãy làm phức tạp vấn đề bằng cách lấy một số phân số để giải với các chữ số khác nhau, nhưng có nhiều chữ số ở dưới cùng.

Các giá trị đã cho: 5/6; 1/3; 1/12; 24/7.

Chúng phải được đưa ra xa nhau trong trình tự này.

1. Ta quy các phân số theo cách trên về một mẫu số chung sẽ là số "24":

  • 5/6 = 5*4 / 6*4 = 20/24;
  • 1/3 = 1*8 / 3*8 = 8/24;
  • 1/12 = 1*2 / 12*2 = 2/24.

7/24 - chúng tôi giữ nguyên giá trị cuối cùng này, vì mẫu số là tổng số "24".

2. Trừ tất cả các giá trị:

20/24−8/2−2/24−7/24 = (20−8−2−7)/24 = 3/24.

3. Vì tử số và mẫu số của phân số chia hết cho một số nên chúng có thể rút gọn bằng cách chia cho số "ba":

3:3 / 24:3 = 1/8.

4. Chúng tôi viết câu trả lời như sau:

5/6−1/3−1/12−7/24 = 1/8.

Ví dụ 5

Cho ba phân số có mẫu số khác nhau: 3/4; 2/7; 1/13.

Bạn cần phải tìm ra sự khác biệt.

1. Ta quy về hai số đầu tiên về một mẫu số chung thì được số "28":

  • ¾ \ u003d 3 * 7/4 * 7 \ u003d 21/28;
  • 2/7 = 2*4 / 7*4 = 8/28.

2. Trừ hai phân số đầu tiên cho nhau:

¾ − 2/7 = 21 / 28−8 / 28 = (21−8) / 28 = 13/28.

3. Trừ phân số đã cho thứ ba khỏi giá trị kết quả:

4. Chúng ta đưa các số về một mẫu số chung. Nếu không thể chọn cùng mẫu số một cách dễ dàng hơn, bạn chỉ cần thực hiện các bước nhân tất cả các mẫu số cùng dãy với nhau, không quên tăng giá trị của tử số cùng một hình. Trong ví dụ này, chúng tôi thực hiện điều này:

  • 13/28 \ u003d 13 * 13/28 * 13 \ u003d 169/364, trong đó 13 là chữ số thấp hơn từ 5/13;
  • 5/13 \ u003d 5 * 28/13 * 28 \ u003d 140/364, trong đó 28 là chữ số thấp hơn từ 13/28.

5. Trừ các phân số thu được:

13/28−5/13 = 169/364−140/364 = (169−140) / 364 = 29/364.

Đáp số: ¾-2 / 7-5 / 13 = 29/364.

Số phân số hỗn hợp

Trong các ví dụ thảo luận ở trên, chỉ các phân số thích hợp mới được sử dụng.

Như một ví dụ:

  • 8/9 là một phân số thích hợp;
  • 9/8 là sai.

Một phân số không đúng không thể được biến thành một phân số thích hợp, nhưng có thể biến nó thành Trộn. Tại sao số trên (tử số) chia cho số dưới (mẫu số) để được một số có dư. Số nguyên do phép chia được viết ra theo cách này, phần còn lại được viết ở tử số ở trên cùng và mẫu số, ở dưới cùng, được giữ nguyên. Để làm rõ hơn, hãy xem xét một ví dụ cụ thể:

Ví dụ 6

Chuyển phân số không đúng 9/8 thành phân số đúng.

Để làm điều này, chúng tôi chia số "chín" cho "tám", kết quả là chúng tôi nhận được một phân số hỗn hợp với một số nguyên và một phần còn lại:

9: 8 = 1 và 1/8 (theo cách khác, nó có thể được viết là 1 + 1/8), trong đó:

  • số 1 ​​là số nguyên sinh ra từ phép chia;
  • số khác 1 - phần dư;
  • số 8 là mẫu số, không thay đổi.

Một số nguyên còn được gọi là một số tự nhiên.

Phần dư và mẫu số là một phân số mới, nhưng đã đúng.

Khi viết số 1 thì viết trước phân số đúng 1/8.

Trừ hỗn số có mẫu số khác nhau

Từ phần trên, chúng tôi đưa ra định nghĩa của một hỗn số: "Số hỗn hợp - đây là một giá trị bằng tổng của một số nguyên và một phân số thông thường thích hợp. Trong trường hợp này, toàn bộ phần được gọi là số tự nhiên, và số còn lại là phần phân đoạn».

Ví dụ 7

Cho: hai đại lượng phân số hỗn hợp, gồm một số nguyên và một phân số thích hợp:

  • giá trị đầu tiên là 9 và 4/7, nghĩa là, (9 + 4/7);
  • giá trị thứ hai là 3 và 5/21, tức là (3 + 5/21).

Nó được yêu cầu để tìm sự khác biệt giữa các giá trị này.

1. Để trừ 3 + 5/21 cho 9 + 4/7, trước tiên bạn phải trừ các giá trị nguyên cho nhau:

4/7−5/21 = 4*3 / 7*3−5/21 =12/21−5/21 = (12−5) / 21 = 7/21.

3. Kết quả của hiệu giữa hai hỗn số sẽ bao gồm một số tự nhiên (số nguyên) 6 và một phân số thích hợp 7/21 = 1/3:

(9 + 4/7) - (3 + 5/21) = 6 + 1/3.

Các nhà toán học các nước đều thống nhất rằng có thể bỏ dấu “+” khi viết hỗn số và chỉ được để nguyên số đứng trước phân số mà không có dấu nào.

Phân số là số bình thường, chúng cũng có thể được cộng và trừ. Nhưng do thực tế là chúng có mẫu số, nên ở đây yêu cầu các quy tắc phức tạp hơn so với số nguyên.

Xét trường hợp đơn giản nhất, khi có hai phân số có cùng mẫu số. Sau đó:

Để cộng các phân số có cùng mẫu số, hãy cộng tử số của chúng và giữ nguyên mẫu số.

Để trừ các phân số có cùng mẫu số, cần lấy tử số thứ hai lấy tử số của phân số thứ nhất trừ tử số thứ nhất, đồng thời giữ nguyên mẫu số.

Trong mỗi biểu thức, mẫu số của các phân số bằng nhau. Theo định nghĩa của phép cộng và phép trừ phân số, chúng ta nhận được:

Như bạn thấy, không có gì phức tạp: chỉ cần cộng hoặc trừ các tử số - và thế là xong.

Nhưng ngay cả trong những hành động đơn giản như vậy, mọi người vẫn có thể mắc sai lầm. Thông thường họ quên rằng mẫu số không thay đổi. Ví dụ, khi thêm chúng, chúng cũng bắt đầu cộng lại, và điều này về cơ bản là sai.

Bỏ thói quen xấu là cộng các mẫu số khá đơn giản. Cố gắng làm tương tự khi trừ. Kết quả là, mẫu số sẽ bằng 0, và phân số (đột nhiên!) Sẽ mất ý nghĩa.

Do đó, hãy ghi nhớ một lần và mãi mãi: khi cộng trừ, mẫu số không thay đổi!

Ngoài ra, nhiều người mắc lỗi khi cộng một số phân số âm. Có sự nhầm lẫn với các dấu hiệu: nơi đặt dấu trừ, và nơi - dấu cộng.

Vấn đề này cũng rất dễ giải quyết. Cần nhớ rằng dấu trừ trước dấu phân số luôn có thể chuyển sang tử số - và ngược lại. Và tất nhiên, đừng quên hai quy tắc đơn giản:

  1. Cộng lần trừ cho ra trừ;
  2. Hai phủ định tạo nên một khẳng định.

Hãy phân tích tất cả điều này với các ví dụ cụ thể:

Một nhiệm vụ. Tìm giá trị của biểu thức:

Trong trường hợp đầu tiên, mọi thứ đều đơn giản, và trong trường hợp thứ hai, chúng tôi sẽ thêm số nhỏ vào tử số của phân số:

Điều gì sẽ xảy ra nếu các mẫu số khác nhau

Bạn không thể cộng trực tiếp các phân số với các mẫu số khác nhau. Ít nhất, phương pháp này là không rõ đối với tôi. Tuy nhiên, các phân số ban đầu luôn có thể được viết lại để các mẫu số trở nên giống nhau.

Có nhiều cách chuyển đổi phân số. Ba trong số chúng được thảo luận trong bài học "Đưa phân số về mẫu số chung", vì vậy chúng tôi sẽ không đi sâu vào chúng ở đây. Hãy xem một số ví dụ:

Một nhiệm vụ. Tìm giá trị của biểu thức:

Trong trường hợp đầu tiên, chúng tôi đưa các phân số về một mẫu số chung bằng cách sử dụng phương pháp "chéo khôn". Trong phần thứ hai, chúng tôi sẽ tìm kiếm LCM. Lưu ý rằng 6 = 2 3; 9 = 3 · 3. Các yếu tố cuối cùng trong các mở rộng này bằng nhau và các yếu tố đầu tiên là nguyên tố. Do đó, LCM (6; 9) = 2 3 3 = 18.

Điều gì sẽ xảy ra nếu phân số có phần nguyên

Tôi có thể làm hài lòng bạn: các mẫu số khác nhau của phân số không phải là điều xấu xa nhất. Nhiều lỗi hơn xảy ra khi toàn bộ phần được đánh dấu trong các thuật ngữ phân số.

Tất nhiên, đối với những phân số như vậy có các thuật toán cộng và trừ riêng, nhưng chúng khá phức tạp và đòi hỏi một nghiên cứu lâu dài. Tốt hơn hãy sử dụng sơ đồ đơn giản dưới đây:

  1. Chuyển tất cả các phân số có chứa một phần nguyên thành không đúng. Chúng tôi nhận được các điều khoản bình thường (ngay cả khi với các mẫu số khác nhau), được tính theo các quy tắc đã thảo luận ở trên;
  2. Trên thực tế, tính tổng hoặc hiệu của các phân số kết quả. Kết quả là, chúng tôi thực tế sẽ tìm thấy câu trả lời;
  3. Nếu đây là tất cả những gì được yêu cầu trong nhiệm vụ, chúng tôi thực hiện phép biến đổi nghịch đảo, tức là chúng tôi loại bỏ phân số không phù hợp, làm nổi bật phần nguyên trong đó.

Quy tắc chuyển sang phân số không đúng và tô đậm phần nguyên được mô tả chi tiết trong bài "Phân số là gì". Nếu bạn không nhớ, hãy chắc chắn để lặp lại. Ví dụ:

Một nhiệm vụ. Tìm giá trị của biểu thức:

Mọi thứ đều đơn giản ở đây. Các mẫu số bên trong mỗi biểu thức đều bằng nhau, vì vậy vẫn phải chuyển tất cả các phân số thành phân số không đúng và đếm. Chúng ta có:

Để đơn giản hóa các tính toán, tôi đã bỏ qua một số bước rõ ràng trong các ví dụ cuối cùng.

Một lưu ý nhỏ cho hai ví dụ cuối cùng, trong đó các phân số có phần nguyên được đánh dấu sẽ bị trừ. Số trừ trước phân số thứ hai có nghĩa là toàn bộ phân số bị trừ, chứ không chỉ toàn bộ phần của nó.

Đọc lại câu này một lần nữa, xem các ví dụ và suy nghĩ về nó. Đây là nơi mà những người mới bắt đầu mắc rất nhiều sai lầm. Họ thích giao những nhiệm vụ như vậy trong công việc kiểm soát. Bạn cũng sẽ gặp chúng nhiều lần trong các bài kiểm tra cho bài học này, sẽ được xuất bản ngay sau đây.

Tóm tắt: Sơ đồ chung về máy tính

Tóm lại, tôi sẽ đưa ra một thuật toán chung sẽ giúp bạn tìm tổng hoặc hiệu của hai hoặc nhiều phân số:

  1. Nếu một phần nguyên được tô sáng trong một hoặc nhiều phân số, hãy chuyển những phân số này thành những phân số không phù hợp;
  2. Đưa tất cả các phân số về một mẫu số chung theo bất kỳ cách nào thuận tiện cho bạn (tất nhiên, trừ khi, những người biên dịch các bài toán đã làm điều này);
  3. Cộng, trừ các số có kết quả theo quy tắc cộng, trừ các phân số có cùng mẫu số;
  4. Giảm kết quả nếu có thể. Nếu phân số không chính xác, hãy chọn toàn bộ.

Hãy nhớ rằng tốt hơn là đánh dấu toàn bộ phần vào cuối nhiệm vụ, ngay trước khi viết câu trả lời.

Hành động tiếp theo có thể được thực hiện với các phân số thông thường là phép trừ. Trong phần tài liệu này, chúng ta sẽ xem xét cách tính đúng hiệu giữa các phân số có cùng mẫu số và khác mẫu số, cách trừ một phân số với một số tự nhiên và ngược lại. Tất cả các ví dụ sẽ được minh họa với các nhiệm vụ. Hãy để chúng tôi làm rõ trước rằng chúng tôi sẽ chỉ phân tích các trường hợp mà sự khác biệt của các phân số dẫn đến một số dương.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Cách tìm hiệu giữa các phân số cùng mẫu số

Hãy bắt đầu ngay với một ví dụ minh họa: giả sử chúng ta có một quả táo được chia thành tám phần. Hãy để năm phần trên đĩa và lấy hai phần trong số đó. Hành động này có thể được viết như sau:

Chúng ta kết thúc với 3 phần tám vì 5 - 2 = 3. Nó chỉ ra rằng 5 8 - 2 8 = 3 8.

Với ví dụ đơn giản này, chúng ta đã thấy chính xác cách thức hoạt động của quy tắc trừ đối với các phân số có cùng mẫu số. Hãy hình thành nó.

Định nghĩa 1

Để tìm hiệu giữa các phân số có cùng mẫu số, bạn cần lấy tử số của người này trừ tử số của người kia và giữ nguyên mẫu số. Quy tắc này có thể được viết dưới dạng a b - c b = a - c b.

Chúng tôi sẽ sử dụng công thức này trong những gì sau đây.

Hãy lấy ví dụ cụ thể.

ví dụ 1

Trừ phân số 24 15 được phân số chung 17 15.

Giải pháp

Ta thấy rằng các phân số này có cùng mẫu số. Vì vậy, tất cả những gì chúng ta phải làm là trừ 17 cho 24. Ta nhận được 7 và thêm mẫu số vào, ta được 7 15.

Các phép tính của chúng ta có thể được viết như sau: 24 15 - 17 15 \ u003d 24 - 17 15 \ u003d 7 15

Nếu cần, bạn có thể giảm một phân số phức tạp hoặc tách toàn bộ phần đó khỏi một phân số không phù hợp để thuận tiện hơn trong việc đếm.

Ví dụ 2

Tìm hiệu số 37 12 - 15 12.

Giải pháp

Hãy sử dụng công thức mô tả ở trên và tính: 37 12 - 15 12 = 37 - 15 12 = 22 12

Dễ dàng nhận thấy rằng tử số và mẫu số có thể chia hết cho 2 (chúng ta đã nói về điều này trước đó khi chúng ta phân tích các dấu hiệu của phép chia hết). Rút gọn câu trả lời, ta được 11 6. Đây là một phân số không đúng, từ đó chúng tôi sẽ chọn toàn bộ phần: 11 6 \ u003d 1 5 6.

Cách tìm hiệu giữa các phân số có mẫu số khác nhau

Một phép toán như vậy có thể được rút gọn thành những gì chúng ta đã mô tả ở trên. Để làm điều này, chỉ cần đưa các phân số mong muốn về cùng một mẫu số. Hãy hình thành định nghĩa:

Định nghĩa 2

Để tìm hiệu giữa các phân số có mẫu số khác nhau, bạn cần đưa chúng về cùng mẫu số và tìm hiệu giữa các tử số.

Hãy xem một ví dụ về cách điều này được thực hiện.

Ví dụ 3

Trừ 1 15 cho 2 9.

Giải pháp

Các mẫu số khác nhau, và bạn cần phải giảm chúng đến giá trị chung nhỏ nhất. Trong trường hợp này, LCM là 45. Đối với phân số đầu tiên, cần thêm một thừa số là 5 và đối với phân số thứ hai - 3.

Hãy tính: 2 9 = 2 5 9 5 = 10 45 1 15 = 1 3 15 3 = 3 45

Chúng tôi nhận được hai phân số có cùng mẫu số và bây giờ chúng tôi có thể dễ dàng tìm thấy hiệu của chúng bằng cách sử dụng thuật toán được mô tả trước đó: 10 45 - 3 45 = 10 - 3 45 = 7 45

Bản ghi ngắn gọn về lời giải có dạng như sau: 2 9 - 1 15 \ u003d 10 45 - 3 45 \ u003d 10 - 3 45 \ u003d 7 45.

Đừng bỏ qua việc giảm kết quả hoặc chọn một phần toàn bộ từ nó, nếu cần. Trong ví dụ này, chúng ta không cần phải làm điều này.

Ví dụ 4

Tìm hiệu số 19 9 - 7 36.

Giải pháp

Ta quy các phân số ở điều kiện về mẫu số chung nhỏ nhất là 36 và thu được 76 9 và 7 36 tương ứng.

Chúng tôi xem xét câu trả lời: 76 36 - 7 36 \ u003d 76 - 7 36 \ u003d 69 36

Kết quả có thể giảm 3 để có 23 12. Tử số lớn hơn mẫu số nghĩa là ta có thể trích nguyên phần. Câu trả lời cuối cùng là 1 11 12.

Tóm tắt của toàn bộ lời giải là 19 9 - 7 36 = 1 11 12.

Cách trừ một số tự nhiên khỏi một phân số thông thường

Một hành động như vậy cũng có thể dễ dàng được rút gọn thành một phép trừ đơn giản của các phân số thông thường. Điều này có thể được thực hiện bằng cách biểu diễn một số tự nhiên dưới dạng phân số. Hãy đưa ra một ví dụ.

Ví dụ 5

Tìm hiệu số 83 21 - 3.

Giải pháp

3 giống với 3 1. Sau đó, bạn có thể tính như sau: 83 21 - 3 \ u003d 20 21.

Nếu trong điều kiện cần phải trừ một số nguyên khỏi một phân số không đúng, thì trước tiên ta lấy số nguyên đó ra, viết thành hỗn số sẽ thuận tiện hơn. Sau đó, ví dụ trước có thể được giải quyết theo cách khác.

Từ phân số 83 21, khi bạn chọn phần nguyên, bạn nhận được 83 21 \ u003d 3 20 21.

Bây giờ chỉ cần trừ 3 cho nó: 3 20 21 - 3 = 20 21.

Cách trừ một phân số với một số tự nhiên

Thao tác này được thực hiện tương tự như thao tác trước: chúng ta viết lại một số tự nhiên dưới dạng phân số, đưa cả hai về mẫu số chung và tìm hiệu. Hãy minh họa điều này bằng một ví dụ.

Ví dụ 6

Tìm hiệu: 7 - 5 3.

Giải pháp

Hãy biến 7 thành một phân số 7 1. Chúng ta thực hiện phép trừ và biến đổi kết quả cuối cùng, trích ra phần nguyên từ nó: 7 - 5 3 = 5 1 3.

Có một cách khác để thực hiện các phép tính. Nó có một số ưu điểm có thể được sử dụng trong trường hợp tử số và mẫu số của các phân số trong bài toán là những số lớn.

Định nghĩa 3

Nếu phân số bị trừ là đúng, thì số tự nhiên mà chúng ta đang trừ phải được biểu diễn dưới dạng tổng của hai số, trong đó một số bằng 1. Sau đó, bạn cần phải trừ phân số mong muốn cho hợp nhất và nhận được câu trả lời.

Ví dụ 7

Tính hiệu số 1 065 - 13 62.

Giải pháp

Phân số bị trừ là đúng, vì tử số của nó nhỏ hơn mẫu số. Do đó, chúng ta cần trừ một từ 1065 và trừ phân số mong muốn từ nó: 1065 - 13 62 \ u003d (1064 + 1) - 13 62

Bây giờ chúng ta cần tìm câu trả lời. Sử dụng các tính chất của phép trừ, biểu thức kết quả có thể được viết dưới dạng 1064 + 1 - 13 62. Hãy tính sự khác biệt trong ngoặc. Để làm điều này, chúng tôi biểu diễn đơn vị dưới dạng phân số 1 1.

Hóa ra là 1 - 13 62 \ u003d 1 1 - 13 62 \ u003d 62 62 - 13 62 \ u003d 49 62.

Bây giờ chúng ta hãy nhớ về 1064 và hình thành câu trả lời: 1064 49 62.

Chúng tôi sử dụng cách cũ để chứng minh rằng nó kém tiện lợi hơn. Dưới đây là các tính toán chúng tôi sẽ nhận được:

1065 - 13 62 = 1065 1 - 13 62 = 1065 62 1 62 - 13 62 = 66030 62 - 13 62 = = 66030 - 13 62 = 66017 62 = 1064 4 6

Câu trả lời là như nhau, nhưng các phép tính rõ ràng là rườm rà hơn.

Chúng tôi đã xem xét trường hợp khi bạn cần trừ phân số chính xác. Nếu sai, ta thay bằng hỗn số và trừ theo quy tắc quen thuộc.

Ví dụ 8

Tính hiệu số 644 - 73 5.

Giải pháp

Phân số thứ hai là không đúng, và toàn bộ phần phải được tách ra khỏi nó.

Bây giờ chúng ta tính tương tự như ví dụ trước: 630 - 3 5 = (629 + 1) - 3 5 = 629 + 1 - 3 5 = 629 + 2 5 = 629 2 5

Thuộc tính phép trừ khi làm việc với phân số

Các tính chất mà phép trừ các số tự nhiên sở hữu cũng áp dụng cho các trường hợp trừ các phân số thông thường. Hãy xem cách sử dụng chúng khi giải các ví dụ.

Ví dụ 9

Tìm hiệu 24 4 - 3 2 - 5 6.

Giải pháp

Chúng tôi đã giải quyết các ví dụ tương tự khi chúng tôi phân tích phép trừ một tổng từ một số, vì vậy chúng tôi hành động theo thuật toán đã biết. Đầu tiên, chúng tôi tính hiệu số 25 4 - 3 2, sau đó lấy phân số cuối cùng trừ đi:

25 4 - 3 2 = 24 4 - 6 4 = 19 4 19 4 - 5 6 = 57 12 - 10 12 = 47 12

Hãy biến đổi câu trả lời bằng cách trích xuất phần nguyên từ nó. Kết quả là 3 11 12.

Tóm tắt ngắn gọn về toàn bộ giải pháp:

25 4 - 3 2 - 5 6 = 25 4 - 3 2 - 5 6 = 25 4 - 6 4 - 5 6 = = 19 4 - 5 6 = 57 12 - 10 12 = 47 12 = 3 11 12

Nếu biểu thức có cả phân số và số tự nhiên thì nên nhóm chúng theo loại khi tính toán.

Ví dụ 10

Tìm hiệu 98 + 17 20 - 5 + 3 5.

Giải pháp

Biết các tính chất cơ bản của phép trừ và phép cộng, ta có thể nhóm các số như sau: 98 + 17 20 - 5 + 3 5 = 98 + 17 20 - 5 - 3 5 = 98 - 5 + 17 20 - 3 5

Hoàn thành các phép tính: 98 - 5 + 17 20 - 3 5 = 93 + 17 20 - 12 20 = 93 + 5 20 = 93 + 1 4 = 93 1 4

Nếu bạn nhận thấy lỗi trong văn bản, vui lòng đánh dấu nó và nhấn Ctrl + Enter

Nội dung bài học

Cộng các phân số có cùng mẫu số

Cộng phân số có hai kiểu:

  1. Cộng các phân số có cùng mẫu số
  2. Cộng các phân số có mẫu số khác nhau

Hãy bắt đầu với việc cộng các phân số có cùng mẫu số. Mọi thứ đều đơn giản ở đây. Để cộng các phân số có cùng mẫu số, bạn cần thêm tử số của chúng và giữ nguyên mẫu số. Ví dụ, hãy cộng các phân số và. Chúng tôi thêm các tử số và giữ nguyên mẫu số:

Ví dụ này có thể dễ hiểu nếu chúng ta nghĩ về một chiếc bánh pizza được chia thành bốn phần. Nếu bạn thêm bánh pizza vào bánh pizza, bạn sẽ có bánh pizza:

Ví dụ 2 Thêm phân số và.

Câu trả lời là một phân số không đúng. Nếu phần cuối của nhiệm vụ đến, thì theo thói quen, bạn nên loại bỏ các phân số không đúng. Để loại bỏ một phân số không phù hợp, bạn cần chọn toàn bộ phần trong đó. Trong trường hợp của chúng tôi, phần số nguyên được phân bổ dễ dàng - hai chia cho hai bằng một:

Ví dụ này có thể dễ dàng hiểu được nếu chúng ta nghĩ về một chiếc bánh pizza được chia thành hai phần. Nếu bạn thêm nhiều bánh pizza vào bánh pizza, bạn sẽ nhận được một chiếc bánh pizza nguyên vẹn:

Ví dụ 3. Thêm phân số và.

Một lần nữa, thêm các tử số và giữ nguyên mẫu số:

Ví dụ này có thể dễ hiểu nếu chúng ta nghĩ về một chiếc bánh pizza được chia thành ba phần. Nếu bạn thêm nhiều nhân vào bánh pizza, bạn sẽ có được những chiếc bánh pizza:

Ví dụ 4 Tìm giá trị của một biểu thức

Ví dụ này được giải quyết theo cách chính xác như những cái trước. Các tử số phải được thêm vào và không thay đổi mẫu số:

Hãy thử mô tả giải pháp của chúng tôi bằng cách sử dụng một bức tranh. Nếu bạn thêm bánh pizza vào một chiếc bánh pizza và thêm nhiều bánh pizza hơn, bạn sẽ nhận được 1 chiếc bánh pizza nguyên chiếc và nhiều chiếc bánh pizza khác.

Như bạn thấy, việc cộng các phân số có cùng mẫu số không khó. Chỉ cần hiểu các quy tắc sau là đủ:

  1. Để cộng các phân số có cùng mẫu số, bạn cần thêm tử số của chúng và giữ nguyên mẫu số;

Cộng các phân số có mẫu số khác nhau

Bây giờ chúng ta sẽ học cách cộng các phân số với các mẫu số khác nhau. Khi cộng các phân số, mẫu số của các phân số đó phải giống nhau. Nhưng không phải lúc nào chúng cũng giống nhau.

Ví dụ, các phân số có thể được thêm vào vì chúng có cùng mẫu số.

Nhưng không thể cộng các phân số cùng một lúc, vì các phân số này có mẫu số khác nhau. Trong trường hợp đó, các phân số phải được thu gọn về cùng một mẫu số (chung).

Có một số cách để rút gọn các phân số về cùng mẫu số. Hôm nay chúng ta sẽ chỉ xem xét một trong số chúng, vì các phương pháp còn lại có vẻ phức tạp đối với người mới bắt đầu.

Bản chất của phương pháp này nằm ở chỗ đầu tiên (LCM) mẫu số của cả hai phân số được tìm kiếm. Sau đó, LCM được chia cho mẫu số của phân số đầu tiên và thu được thừa số đầu tiên. Họ làm tương tự với phân số thứ hai - LCM được chia cho mẫu số của phân số thứ hai và thu được thừa số thứ hai.

Sau đó, tử số và mẫu số của phân số được nhân với thừa số bổ sung của chúng. Kết quả của những hành động này, các phân số có mẫu số khác nhau sẽ biến thành phân số có cùng mẫu số. Và chúng ta đã biết cách cộng các phân số như vậy.

ví dụ 1. Thêm phân số và

Trước hết, chúng ta tìm bội số chung nhỏ nhất của các mẫu số của cả hai phân số. Mẫu số của phân số thứ nhất là số 3 và mẫu số của phân số thứ hai là số 2. Bội số chung nhỏ nhất của các số này là 6

LCM (2 và 3) = 6

Bây giờ trở lại phân số và. Đầu tiên, chúng ta chia LCM cho mẫu số của phân số đầu tiên và lấy thừa số đầu tiên. LCM là số 6, và mẫu số của phân số đầu tiên là số 3. Chia 6 cho 3, ta được 2.

Kết quả số 2 là hệ số bổ sung đầu tiên. Chúng tôi viết nó xuống phân số đầu tiên. Để làm điều này, chúng tôi tạo một đường xiên nhỏ phía trên phân số và viết thừa số bổ sung tìm được ở trên nó:

Chúng ta làm tương tự với phân số thứ hai. Chúng tôi chia LCM cho mẫu số của phân số thứ hai và nhận được thừa số thứ hai. LCM là số 6, và mẫu số của phân số thứ hai là số 2. Chia 6 cho 2, ta được 3.

Kết quả số 3 là hệ số bổ sung thứ hai. Chúng tôi viết nó thành phân số thứ hai. Một lần nữa, chúng tôi tạo một đường xiên nhỏ phía trên phân số thứ hai và viết thừa số bổ sung tìm được ở trên nó:

Bây giờ tất cả chúng ta đã sẵn sàng để thêm. Vẫn là nhân tử số và mẫu số của phân số với các thừa số bổ sung của chúng:

Hãy nhìn kỹ những gì chúng ta đã đi đến. Chúng tôi đi đến kết luận rằng phân số có mẫu số khác nhau sẽ biến thành phân số có cùng mẫu số. Và chúng ta đã biết cách cộng các phân số như vậy. Hãy hoàn thành ví dụ này cho đến cuối:

Như vậy là ví dụ kết thúc. Để thêm nó quay ra.

Hãy thử mô tả giải pháp của chúng tôi bằng cách sử dụng một bức tranh. Nếu bạn thêm pizza vào một chiếc bánh pizza, bạn sẽ nhận được một chiếc bánh pizza nguyên chiếc và một chiếc bánh pizza khác:

Việc quy đổi các phân số về cùng một mẫu số (chung) cũng có thể được mô tả bằng hình ảnh. Đưa các phân số về một mẫu số chung, ta được các phân số và. Hai phần này sẽ được biểu thị bằng các lát pizza giống nhau. Điểm khác biệt duy nhất là lần này chúng sẽ được chia thành các cổ phần bằng nhau (giảm xuống cùng mẫu số).

Hình vẽ đầu tiên cho thấy một phân số (bốn phần trong số sáu) và hình thứ hai cho thấy một phân số (ba phần trong số sáu). Ghép những mảnh này lại với nhau ta được (bảy trong sáu). Phân số này không chính xác, vì vậy chúng tôi đã đánh dấu phần nguyên trong đó. Kết quả là (một chiếc bánh pizza nguyên chiếc và một chiếc bánh pizza thứ sáu khác).

Lưu ý rằng chúng tôi đã vẽ ví dụ này quá nhiều chi tiết. Trong các cơ sở giáo dục, không phải thông lệ nào cũng viết một cách chi tiết như vậy. Bạn cần có thể nhanh chóng tìm LCM của cả mẫu số và thừa số bổ sung cho chúng, cũng như nhanh chóng nhân các thừa số bổ sung được tìm thấy bởi tử số và mẫu số của bạn. Khi ở trường, chúng ta phải viết ví dụ này như sau:

Nhưng cũng có mặt khác của đồng xu. Nếu các ghi chú chi tiết không được thực hiện ở giai đoạn đầu tiên của việc học toán, thì các câu hỏi thuộc loại “Con số đó ở đâu ra?”, “Tại sao các phân số đột ngột biến thành các phân số hoàn toàn khác nhau? «.

Để cộng các phân số có mẫu số khác nhau dễ dàng hơn, bạn có thể sử dụng hướng dẫn từng bước sau:

  1. Tìm ƯCLN của các mẫu số các phân số;
  2. Chia LCM cho mẫu số của mỗi phân số và nhận thêm một cấp số nhân cho mỗi phân số;
  3. Nhân tử số và mẫu số của phân số với thừa số của chúng;
  4. Cộng các phân số có cùng mẫu số;
  5. Nếu câu trả lời là một phân số không đúng, thì hãy chọn toàn bộ phần của nó;

Ví dụ 2 Tìm giá trị của một biểu thức .

Hãy sử dụng các hướng dẫn ở trên.

Bước 1. Tìm ƯCLN của các mẫu số của phân số

Tìm ƯCLN của các mẫu số của cả hai phân số. Mẫu số của các phân số là các số 2, 3 và 4

Bước 2. Chia LCM cho mẫu số của mỗi phân số và nhận thêm một cấp số nhân cho mỗi phân số

Chia LCM cho mẫu số của phân số đầu tiên. LCM là số 12 và mẫu số của phân số đầu tiên là số 2. Chia 12 cho 2, ta được 6. Ta có thừa số đầu tiên là 6. Chúng ta viết nó trên phân số đầu tiên:

Bây giờ chúng ta chia LCM cho mẫu số của phân số thứ hai. LCM là số 12 và mẫu số của phân số thứ hai là số 3. Ta chia 12 cho 3, ta được 4. Ta có thừa số thứ hai là 4. Chúng ta viết nó trên phân số thứ hai:

Bây giờ chúng ta chia LCM cho mẫu số của phân số thứ ba. LCM là số 12 và mẫu số của phân số thứ ba là số 4. Chia 12 cho 4, ta được 3. Ta được thừa số thứ ba là 3. Chúng ta viết nó trên phân số thứ ba:

Bước 3. Nhân tử số và mẫu số của phân số với thừa số bổ sung của bạn

Chúng tôi nhân tử số và mẫu số với các thừa số bổ sung của chúng tôi:

Bước 4. Cộng các phân số có cùng mẫu số

Chúng tôi đi đến kết luận rằng các phân số có mẫu số khác nhau sẽ biến thành các phân số có cùng mẫu số (chung). Nó vẫn còn để thêm các phân số này. Thêm vào:

Phần bổ sung không vừa trên một dòng, vì vậy chúng tôi đã chuyển biểu thức còn lại sang dòng tiếp theo. Điều này được cho phép trong toán học. Khi một biểu thức không vừa trên một dòng, nó được chuyển sang dòng tiếp theo, và cần phải đặt dấu bằng (=) ở cuối dòng đầu tiên và ở đầu dòng mới. Dấu bằng trên dòng thứ hai cho biết đây là phần tiếp theo của biểu thức ở dòng đầu tiên.

Bước 5. Nếu câu trả lời là một phân số không đúng, hãy chọn toàn bộ phần trong đó

Câu trả lời của chúng tôi là một phân số không đúng. Chúng ta phải tách ra toàn bộ phần của nó. Chúng tôi đánh dấu:

Có câu trả lời

Phép trừ các phân số có cùng mẫu số

Có hai loại phép trừ phân số:

  1. Phép trừ các phân số có cùng mẫu số
  2. Phép trừ các phân số có mẫu số khác nhau

Đầu tiên, chúng ta cùng tìm hiểu cách trừ các phân số có cùng mẫu số. Mọi thứ đều đơn giản ở đây. Để trừ một phân số khác khỏi một phân số, bạn cần lấy tử số của phân số thứ hai trừ tử số của phân số thứ nhất và giữ nguyên mẫu số.

Ví dụ, hãy tìm giá trị của biểu thức. Để giải ví dụ này, cần lấy tử số của phân số thứ hai trừ tử số của phân số thứ nhất và giữ nguyên mẫu số. Làm thôi nào:

Ví dụ này có thể dễ hiểu nếu chúng ta nghĩ về một chiếc bánh pizza được chia thành bốn phần. Nếu bạn cắt bánh pizza từ một chiếc bánh pizza, bạn sẽ nhận được những chiếc bánh pizza:

Ví dụ 2 Tìm giá trị của biểu thức.

Một lần nữa, từ tử số của phân số đầu tiên, trừ tử số của phân số thứ hai và giữ nguyên mẫu số:

Ví dụ này có thể dễ hiểu nếu chúng ta nghĩ về một chiếc bánh pizza được chia thành ba phần. Nếu bạn cắt bánh pizza từ một chiếc bánh pizza, bạn sẽ nhận được những chiếc bánh pizza:

Ví dụ 3 Tìm giá trị của một biểu thức

Ví dụ này được giải quyết theo cách chính xác như những cái trước. Từ tử số của phân số đầu tiên, bạn cần trừ tử số của các phân số còn lại:

Như bạn thấy, không có gì phức tạp khi trừ các phân số có cùng mẫu số. Chỉ cần hiểu các quy tắc sau là đủ:

  1. Để trừ một phân số khác khỏi một phân số, bạn cần lấy tử số của phân số thứ hai trừ tử số của phân số thứ nhất và giữ nguyên mẫu số;
  2. Nếu câu trả lời là một phân số không đúng, thì bạn cần chọn toàn bộ phần trong đó.

Phép trừ các phân số có mẫu số khác nhau

Ví dụ, một phân số có thể bị trừ khỏi một phân số, vì các phân số này có cùng mẫu số. Nhưng một phân số không thể bị trừ khỏi một phân số, vì các phân số này có mẫu số khác nhau. Trong trường hợp đó, các phân số phải được thu gọn về cùng một mẫu số (chung).

Mẫu số chung được tìm theo cùng một nguyên tắc mà chúng ta đã sử dụng khi cộng các phân số có mẫu số khác nhau. Trước hết, tìm LCM của các mẫu số của cả hai phân số. Sau đó, LCM được chia cho mẫu số của phân số đầu tiên và thừa số bổ sung đầu tiên thu được, được viết trên phân số đầu tiên. Tương tự, LCM được chia cho mẫu số của phân số thứ hai và thu được thừa số thứ hai, được viết trên phân số thứ hai.

Các phân số sau đó được nhân với các thừa số bổ sung của chúng. Kết quả của các phép toán này, các phân số có mẫu số khác nhau sẽ biến thành phân số có cùng mẫu số. Và chúng ta đã biết cách trừ các phân số như vậy.

ví dụ 1 Tìm giá trị của một biểu thức:

Các phân số này có mẫu số khác nhau, vì vậy bạn cần đưa chúng về cùng một mẫu số (chung).

Đầu tiên, chúng ta tìm LCM của các mẫu số của cả hai phân số. Mẫu số của phân số thứ nhất là số 3 và mẫu số của phân số thứ hai là số 4. Bội số chung nhỏ nhất của các số này là 12

LCM (3 và 4) = 12

Bây giờ quay lại phân số và

Hãy tìm một thừa số bổ sung cho phân số đầu tiên. Để làm điều này, chúng tôi chia LCM cho mẫu số của phân số đầu tiên. LCM là số 12 và mẫu số của phân số đầu tiên là số 3. Chia 12 cho 3, ta được 4. Chúng ta viết bốn trên phân số đầu tiên:

Chúng ta làm tương tự với phân số thứ hai. Chúng tôi chia LCM cho mẫu số của phân số thứ hai. LCM là số 12 và mẫu số của phân số thứ hai là số 4. Chia 12 cho 4, ta được 3. Viết nhân ba trên phân số thứ hai:

Bây giờ tất cả chúng ta đều được thiết lập cho phép trừ. Nó vẫn còn để nhân các phân số với các thừa số bổ sung của chúng:

Chúng tôi đi đến kết luận rằng phân số có mẫu số khác nhau sẽ biến thành phân số có cùng mẫu số. Và chúng ta đã biết cách trừ các phân số như vậy. Hãy hoàn thành ví dụ này cho đến cuối:

Có câu trả lời

Hãy thử mô tả giải pháp của chúng tôi bằng cách sử dụng một bức tranh. Nếu bạn cắt bánh pizza từ một chiếc bánh pizza, bạn sẽ có được những chiếc bánh pizza.

Đây là phiên bản chi tiết của giải pháp. Ở trường, chúng ta sẽ phải giải quyết ví dụ này theo một cách ngắn gọn hơn. Một giải pháp như vậy sẽ trông như thế này:

Việc giảm các phân số và quy về một mẫu số chung cũng có thể được mô tả bằng hình ảnh. Đưa các phân số này về một mẫu số chung, ta được các phân số và. Các phân số này sẽ được biểu thị bằng các lát bánh pizza giống nhau, nhưng lần này chúng sẽ được chia thành các phân số giống nhau (giảm xuống cùng mẫu số):

Hình vẽ đầu tiên cho thấy một phân số (tám phần trong số mười hai), và hình thứ hai cho thấy một phần (ba phần trong số mười hai). Bằng cách cắt bỏ ba mảnh từ tám mảnh, chúng ta có năm mảnh trong số mười hai. Phân số mô tả năm phần này.

Ví dụ 2 Tìm giá trị của một biểu thức

Các phân số này có mẫu số khác nhau, vì vậy trước tiên bạn cần đưa chúng về cùng một mẫu số (chung).

Tìm ƯCLN của các mẫu số của các phân số này.

Mẫu số của các phân số là các số 10, 3 và 5. Bội chung nhỏ nhất của các số này là 30

LCM (10, 3, 5) = 30

Bây giờ chúng ta tìm thừa số bổ sung cho mỗi phân số. Để làm điều này, chúng tôi chia LCM cho mẫu số của mỗi phân số.

Hãy tìm một thừa số bổ sung cho phân số đầu tiên. LCM là số 30 và mẫu số của phân số đầu tiên là số 10. Chia 30 cho 10, ta được thừa số đầu tiên là 3. Chúng ta viết nó trên phân số đầu tiên:

Bây giờ chúng ta tìm một thừa số bổ sung cho phân số thứ hai. Chia LCM cho mẫu số của phân số thứ hai. LCM là số 30 và mẫu số của phân số thứ hai là số 3. Chia 30 cho 3, ta được thừa số thứ hai là 10. Chúng ta viết nó trên phân số thứ hai:

Bây giờ chúng ta tìm một thừa số bổ sung cho phân số thứ ba. Chia LCM cho mẫu số của phân số thứ ba. LCM là số 30 và mẫu số của phân số thứ ba là số 5. ​​Chia 30 cho 5, ta được thừa số thứ ba là 6. Chúng ta viết nó trên phân số thứ ba:

Bây giờ mọi thứ đã sẵn sàng cho phép trừ. Nó vẫn còn để nhân các phân số với các thừa số bổ sung của chúng:

Chúng tôi đi đến kết luận rằng các phân số có mẫu số khác nhau sẽ biến thành các phân số có cùng mẫu số (chung). Và chúng ta đã biết cách trừ các phân số như vậy. Hãy kết thúc ví dụ này.

Phần tiếp theo của ví dụ sẽ không nằm gọn trên một dòng, vì vậy chúng tôi chuyển phần tiếp theo sang dòng tiếp theo. Đừng quên về dấu bằng (=) trên dòng mới:

Câu trả lời hóa ra là một phân số đúng, và mọi thứ có vẻ phù hợp với chúng ta, nhưng nó quá rườm rà và xấu xí. Chúng ta nên làm cho nó dễ dàng hơn. Những gì có thể được thực hiện? Bạn có thể giảm phần này.

Để rút gọn một phân số, bạn cần chia tử số và mẫu số của nó cho (gcd) các số 20 và 30.

Vì vậy, chúng tôi tìm GCD của các số 20 và 30:

Bây giờ chúng ta quay lại ví dụ của mình và chia tử số và mẫu số của phân số cho GCD tìm được, nghĩa là, cho 10

Có câu trả lời

Nhân một phân số với một số

Để nhân một phân số với một số, bạn cần nhân tử số của phân số đã cho với số này và giữ nguyên mẫu số.

ví dụ 1. Nhân phân số với số 1.

Nhân tử số của phân số với số 1

Entry có thể hiểu là mất nửa lần 1 lượt. Ví dụ: nếu bạn ăn pizza 1 lần, bạn sẽ nhận được pizza

Từ quy luật nhân ta biết rằng nếu hoán vị giữa cấp số nhân và cấp số nhân với nhau thì tích sẽ không thay đổi. Nếu biểu thức được viết dưới dạng, thì tích vẫn bằng. Một lần nữa, quy tắc nhân một số nguyên và một phân số hoạt động:

Mục nhập này có thể hiểu là lấy một nửa đơn vị. Ví dụ: nếu có 1 chiếc bánh pizza nguyên vẹn và chúng ta lấy đi một nửa, thì chúng ta sẽ có một chiếc bánh pizza:

Ví dụ 2. Tìm giá trị của một biểu thức

Nhân tử số của phân số với 4

Câu trả lời là một phân số không đúng. Hãy xem xét toàn bộ một phần của nó:

Biểu thức có thể hiểu là lấy hai phần tư 4 lần. Ví dụ, nếu bạn ăn bánh pizza 4 lần, bạn sẽ nhận được hai chiếc bánh pizza nguyên vẹn.

Và nếu chúng ta hoán đổi số nhân và cấp số nhân ở các vị trí, chúng ta sẽ có được biểu thức. Nó cũng sẽ bằng 2. Biểu thức này có thể được hiểu là lấy hai chiếc bánh pizza từ bốn chiếc bánh pizza nguyên vẹn:

Nhân phân số

Để nhân phân số, bạn cần nhân tử số và mẫu số của chúng. Nếu câu trả lời là một phân số không đúng, bạn cần chọn toàn bộ phần trong đó.

ví dụ 1 Tìm giá trị của biểu thức.

Có câu trả lời. Nó là mong muốn để giảm phần này. Phân số có thể giảm đi 2. Khi đó nghiệm cuối cùng sẽ có dạng sau:

Biểu thức có thể hiểu là lấy một chiếc bánh pizza từ một nửa chiếc bánh pizza. Giả sử chúng ta có một nửa chiếc bánh pizza:

Làm thế nào để lấy hai phần ba từ một nửa này? Trước tiên, bạn cần chia nửa này thành ba phần bằng nhau:

Và lấy hai từ ba mảnh sau:

Chúng tôi sẽ lấy bánh pizza. Hãy nhớ rằng một chiếc bánh pizza trông như thế nào được chia thành ba phần:

Một lát từ chiếc bánh pizza này và hai lát chúng tôi đã lấy sẽ có cùng kích thước:

Nói cách khác, chúng ta đang nói về cùng một kích cỡ bánh pizza. Do đó, giá trị của biểu thức là

Ví dụ 2. Tìm giá trị của một biểu thức

Nhân tử số của phân số thứ nhất với tử số của phân số thứ hai và mẫu số của phân số thứ nhất với mẫu số của phân số thứ hai:

Câu trả lời là một phân số không đúng. Hãy xem xét toàn bộ một phần của nó:

Ví dụ 3 Tìm giá trị của một biểu thức

Nhân tử số của phân số thứ nhất với tử số của phân số thứ hai và mẫu số của phân số thứ nhất với mẫu số của phân số thứ hai:

Câu trả lời hóa ra là một phân số đúng, nhưng sẽ rất tốt nếu nó được rút gọn. Để rút gọn phân số này, bạn cần chia tử số và mẫu số của phân số này cho ước chung lớn nhất (GCD) của các số 105 và 450.

Vì vậy, hãy tìm GCD của các số 105 và 450:

Bây giờ chúng ta chia tử số và mẫu số của câu trả lời của chúng ta cho GCD mà chúng ta đã tìm thấy bây giờ, nghĩa là, cho 15

Biểu diễn một số nguyên dưới dạng phân số

Bất kỳ số nguyên nào cũng có thể được biểu diễn dưới dạng phân số. Ví dụ, số 5 có thể được biểu diễn dưới dạng. Từ điều này, năm sẽ không thay đổi ý nghĩa của nó, vì biểu thức có nghĩa là "số năm chia cho một", và điều này, như bạn biết, bằng năm:

Số đảo ngược

Bây giờ chúng ta sẽ làm quen với một chủ đề rất thú vị trong toán học. Nó được gọi là "số đảo ngược".

Sự định nghĩa. Đảo ngược sốMột là số khi nhân vớiMột cho một đơn vị.

Hãy thay thế trong định nghĩa này thay vì một biến Một số 5 và cố gắng đọc định nghĩa:

Đảo ngược số 5 là số khi nhân với 5 cho một đơn vị.

Có thể tìm một số mà khi nhân với 5 sẽ cho một số không? Nó chỉ ra bạn có thể. Hãy biểu diễn năm dưới dạng một phân số:

Sau đó nhân phân số này với chính nó, chỉ cần hoán đổi tử số và mẫu số. Nói cách khác, hãy nhân phân số với chính nó, chỉ đảo ngược:

Kết quả của việc này sẽ như thế nào? Nếu chúng ta tiếp tục giải quyết ví dụ này, chúng ta nhận được một:

Điều này có nghĩa là nghịch đảo của số 5 là một số, vì khi nhân 5 với một thì sẽ được một.

Số nghịch đảo cũng có thể được tìm thấy cho bất kỳ số nguyên nào khác.

Bạn cũng có thể tìm số đối của bất kỳ phân số nào khác. Để làm điều này, nó là đủ để lật nó lại.

Phép chia một phân số cho một số

Giả sử chúng ta có một nửa chiếc bánh pizza:

Hãy chia đều cho hai. Mỗi người sẽ nhận được bao nhiêu chiếc bánh pizza?

Có thể thấy rằng sau khi tách một nửa chiếc bánh pizza, người ta thu được hai lát bằng nhau, mỗi lát tạo nên một chiếc bánh pizza. Vì vậy, mọi người đều nhận được một chiếc bánh pizza.

Phép chia các phân số được thực hiện bằng cách sử dụng số có đi có lại. Đối ứng cho phép bạn thay thế phép chia bằng phép nhân.

Để chia một phân số cho một số, bạn cần nhân phân số này với nghịch đảo của số chia.

Sử dụng quy tắc này, chúng ta sẽ viết ra phép chia một nửa chiếc bánh pizza của chúng ta thành hai phần.

Vì vậy, bạn cần chia phân số cho số 2. Ở đây số bị chia là một phân số và số bị chia là 2.

Để chia một phân số cho số 2, bạn cần nhân phân số này với nghịch đảo của số chia 2. Số nghịch đảo của số chia 2 là một phân số. Vì vậy, bạn cần nhân với

Con bạn mang bài tập về nhà từ trường và bạn không biết giải quyết như thế nào? Sau đó, hướng dẫn nhỏ này là dành cho bạn!

Cách thêm số thập phân

Sẽ thuận tiện hơn khi thêm các phân số thập phân trong một cột. Để thêm số thập phân, bạn cần tuân theo một quy tắc đơn giản:

  • Chữ số phải dưới chữ số, dưới dấu phẩy.

Như bạn có thể thấy trong ví dụ, các đơn vị nguyên là dưới nhau, phần mười và phần trăm nằm dưới nhau. Bây giờ chúng ta thêm các số, bỏ qua dấu phẩy. Làm gì với dấu phẩy? Dấu phẩy được chuyển đến vị trí mà nó đứng trong việc giải phóng các số nguyên.

Cộng các phân số có mẫu số bằng nhau

Để thực hiện phép cộng với mẫu số chung, bạn cần giữ nguyên mẫu số, tìm tổng của các tử số và nhận được một phân số, đó sẽ là tổng số tiền.


Cộng các phân số có mẫu số khác nhau bằng cách tìm bội chung

Điều đầu tiên cần chú ý là các mẫu số. Các mẫu số khác nhau, cho dù một cái chia hết cho cái kia, cho dù chúng là số nguyên tố. Trước tiên, bạn cần quy về một mẫu số chung, có một số cách để làm điều này:

  • 1/3 + 3/4 = 13/12, để giải ví dụ này, chúng ta cần tìm bội số chung nhỏ nhất (LCM) sẽ chia hết cho 2 mẫu số. Để biểu thị bội số nhỏ nhất của a và b - LCM (a; b). Trong ví dụ này, LCM (3; 4) = 12. Kiểm tra: 12: 3 = 4; 12: 4 = 3.
  • Chúng tôi nhân các thừa số và thực hiện phép cộng các số được kết quả, chúng tôi nhận được 13/12 - một phân số không đúng.


  • Để chuyển một phân số không đúng thành một phân số thích hợp, ta chia tử số cho mẫu số ta được số nguyên là 1, dư 1 là tử số và 12 là mẫu số.

Thêm phân số bằng phép nhân chéo

Để cộng các phân số có các mẫu số khác nhau, có một cách khác là theo công thức "thập phân". Đây là một cách đảm bảo để cân bằng các mẫu số, vì điều này bạn cần nhân các tử số với mẫu số của một phân số và ngược lại. Nếu bạn chỉ mới ở giai đoạn đầu học phân số, thì phương pháp này là cách dễ nhất và chính xác nhất để có kết quả chính xác khi cộng các phân số có mẫu số khác nhau.