Đạo hàm C 13 của hàm phức. Giải đạo hàm cho người giả: định nghĩa, cách tìm, ví dụ về nghiệm. Ví dụ phức tạp hơn

Chứng minh công thức đạo hàm của hàm phức được đưa ra. Các trường hợp hàm phức phụ thuộc vào một hoặc hai biến sẽ được xem xét chi tiết. Việc khái quát hóa được thực hiện cho trường hợp số lượng biến tùy ý.

Nội dung

Xem thêm: Ví dụ về cách sử dụng công thức tính đạo hàm của hàm phức

Công thức cơ bản

Ở đây chúng tôi cung cấp đạo hàm của các công thức sau đây cho đạo hàm của một hàm phức.
Nếu , thì
.
Nếu , thì
.
Nếu , thì
.

Đạo hàm của hàm phức từ một biến

Giả sử hàm biến x được biểu diễn dưới dạng hàm phức dưới dạng sau:
,
nơi có một số chức năng. Hàm có khả vi đối với một số giá trị của biến x. Hàm khả vi tại giá trị của biến.
Khi đó hàm phức (tổng hợp) khả vi tại điểm x và đạo hàm của nó được xác định theo công thức:
(1) .

Công thức (1) cũng có thể được viết như sau:
;
.

Bằng chứng

Hãy giới thiệu ký hiệu sau đây.
;
.
Ở đây có hàm của các biến và , có hàm của các biến và . Nhưng chúng ta sẽ bỏ qua các đối số của các hàm này để không làm lộn xộn các phép tính.

Vì các hàm và khả vi tương ứng tại các điểm x và , nên tại các điểm này có đạo hàm của các hàm này, lần lượt là các giới hạn sau:
;
.

Hãy xem xét chức năng sau:
.
Với giá trị cố định của biến u, là hàm của . Hiển nhiên là
.
Sau đó
.

Vì hàm số là hàm khả vi tại một điểm nên nó liên tục tại điểm đó. Đó là lý do tại sao
.
Sau đó
.

Bây giờ chúng ta tìm đạo hàm.

.

Công thức đã được chứng minh.

Kết quả

Nếu hàm của biến x có thể được biểu diễn dưới dạng hàm phức của hàm phức
,
thì đạo hàm của nó được xác định theo công thức
.
Ở đây , và có một số hàm khả vi.

Để chứng minh công thức này, chúng ta tính đạo hàm tuần tự bằng cách sử dụng quy tắc đạo hàm một hàm số phức.
Xét hàm phức
.
Đạo hàm của nó
.
Xét hàm ban đầu
.
Đạo hàm của nó
.

Đạo hàm của hàm phức từ hai biến

Bây giờ hãy để hàm phức phụ thuộc vào một số biến. Đầu tiên chúng ta hãy nhìn vào trường hợp hàm phức hai biến.

Cho một hàm phụ thuộc vào biến x được biểu diễn dưới dạng hàm phức hai biến dưới dạng sau:
,
Ở đâu
và có các hàm khả vi đối với một giá trị nào đó của biến x;
- hàm số hai biến khả vi tại điểm , . Khi đó hàm phức được xác định trong một lân cận nhất định của điểm và có đạo hàm, được xác định theo công thức:
(2) .

Bằng chứng

Vì các hàm số và khả vi tại điểm nên chúng được xác định trong một lân cận nhất định của điểm này, liên tục tại điểm và đạo hàm của chúng tồn tại tại điểm, đó là các giới hạn sau:
;
.
Đây
;
.
Do tính liên tục của các hàm này tại một điểm nên ta có:
;
.

Vì hàm số khả vi tại điểm nên nó được xác định trong một lân cận nhất định của điểm này, liên tục tại điểm này và gia số của nó có thể được viết dưới dạng sau:
(3) .
Đây

- tăng của hàm khi các đối số của nó được tăng theo các giá trị và ;
;

- đạo hàm riêng của hàm số theo các biến và .
Đối với các giá trị cố định của và , và là hàm của các biến và . Chúng có xu hướng về 0 tại và:
;
.
Vì và , thì
;
.

Tăng chức năng:

. :
.
Hãy thay thế (3):



.

Công thức đã được chứng minh.

Đạo hàm của hàm phức từ nhiều biến

Kết luận trên có thể dễ dàng được khái quát hóa cho trường hợp số lượng biến của hàm phức lớn hơn hai.

Ví dụ, nếu f là hàm ba biến, Cái đó
,
Ở đâu
và có các hàm khả vi cho một số giá trị của biến x;
- Hàm khả vi của ba biến tại điểm , , .
Khi đó, từ định nghĩa tính khả vi của hàm số, ta có:
(4)
.
Bởi vì, do tính liên tục,
; ; ,
Cái đó
;
;
.

Chia (4) cho và chuyển đến giới hạn, ta được:
.

Và cuối cùng, hãy xem xét trường hợp tổng quát nhất.
Giả sử hàm biến x được biểu diễn dưới dạng hàm phức n biến dưới dạng:
,
Ở đâu
có các hàm khả vi cho một giá trị nào đó của biến x;
- hàm khả vi của n biến tại một điểm
, , ... , .
Sau đó
.

Xem thêm:

Ví dụ được đưa ra về cách tính đạo hàm bằng cách sử dụng công thức tính đạo hàm của hàm phức.

Nội dung

Xem thêm: Chứng minh công thức đạo hàm của hàm phức

Công thức cơ bản

Ở đây chúng tôi đưa ra ví dụ về tính đạo hàm của các hàm sau:
; ; ; ; .

Nếu một hàm có thể được biểu diễn dưới dạng hàm phức dưới dạng sau:
,
thì đạo hàm của nó được xác định theo công thức:
.
Trong các ví dụ dưới đây, chúng ta sẽ viết công thức này như sau:
.
Ở đâu .
Ở đây, các chỉ số dưới hoặc , nằm dưới dấu đạo hàm, biểu thị các biến dùng để thực hiện phép vi phân.

Thông thường, trong bảng đạo hàm sẽ cho trước đạo hàm của hàm số theo biến x. Tuy nhiên, x là một tham số hình thức. Biến x có thể được thay thế bằng bất kỳ biến nào khác. Do đó, khi vi phân một hàm số với một biến, chúng ta chỉ cần đổi biến x thành biến u trong bảng đạo hàm.

Ví dụ đơn giản

ví dụ 1

Tìm đạo hàm của hàm phức
.

Hãy viết hàm đã cho ở dạng tương đương:
.
Trong bảng đạo hàm ta thấy:
;
.

Theo công thức đạo hàm của hàm số phức, ta có:
.
Đây .

Ví dụ 2

Tìm đạo hàm
.

Ta lấy hằng số 5 ra khỏi dấu đạo hàm và từ bảng đạo hàm ta tìm được:
.

.
Đây .

Ví dụ 3

Tìm đạo hàm
.

Chúng tôi lấy ra một hằng số -1 đối với dấu của đạo hàm và từ bảng đạo hàm ta tìm được:
;
Từ bảng đạo hàm ta tìm được:
.

Chúng ta áp dụng công thức tính đạo hàm của hàm phức:
.
Đây .

Ví dụ phức tạp hơn

Trong các ví dụ phức tạp hơn, chúng ta áp dụng quy tắc đạo hàm một hàm phức nhiều lần. Trong trường hợp này, chúng tôi tính đạo hàm từ cuối. Nghĩa là, chúng ta chia hàm thành các phần thành phần của nó và tìm đạo hàm của các phần đơn giản nhất bằng cách sử dụng bảng dẫn xuất. Chúng tôi cũng dùng quy tắc phân biệt tổng, sản phẩm và phân số. Sau đó, chúng ta thực hiện phép thay thế và áp dụng công thức tính đạo hàm của hàm phức.

Ví dụ 4

Tìm đạo hàm
.

Hãy chọn phần đơn giản nhất của công thức và tìm đạo hàm của nó. .

.
Ở đây chúng tôi đã sử dụng ký hiệu
.

Chúng ta tìm đạo hàm của phần tiếp theo của hàm số ban đầu bằng cách sử dụng kết quả thu được. Ta áp dụng quy tắc đạo hàm tổng:
.

Một lần nữa chúng ta áp dụng quy tắc lấy vi phân của các hàm phức.

.
Đây .

Ví dụ 5

Tìm đạo hàm của hàm số
.

Hãy chọn phần đơn giản nhất của công thức và tìm đạo hàm của nó từ bảng đạo hàm. .

Chúng tôi áp dụng quy tắc phân biệt các hàm phức tạp.
.
Đây
.

Hãy phân biệt phần tiếp theo bằng cách sử dụng kết quả thu được.
.
Đây
.

Hãy phân biệt phần tiếp theo.

.
Đây
.

Bây giờ chúng ta tìm đạo hàm của hàm mong muốn.

.
Đây
.

Xem thêm:

Nếu bạn làm theo định nghĩa thì đạo hàm của hàm số tại một điểm là giới hạn của tỉ số gia tăng của hàm Δ yđến mức tăng đối số Δ x:

Mọi thứ dường như đã rõ ràng. Nhưng hãy thử sử dụng công thức này để tính đạo hàm của hàm số f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x tội x. Nếu bạn làm mọi thứ theo định nghĩa, thì sau một vài trang tính toán, bạn sẽ chìm vào giấc ngủ. Vì vậy, có những cách đơn giản và hiệu quả hơn.

Để bắt đầu, chúng tôi lưu ý rằng trong toàn bộ các hàm, chúng ta có thể phân biệt cái gọi là hàm cơ bản. Đây là những biểu thức tương đối đơn giản, đạo hàm của chúng đã được tính toán và đưa vào bảng từ lâu. Các hàm như vậy khá dễ nhớ - cùng với các dẫn xuất của chúng.

Đạo hàm của hàm cơ bản

Các chức năng cơ bản là tất cả những chức năng được liệt kê dưới đây. Đạo hàm của những hàm số này phải thuộc lòng. Hơn nữa, việc ghi nhớ chúng không hề khó khăn - đó là lý do tại sao chúng rất sơ cấp.

Vì vậy, đạo hàm của các hàm cơ bản:

Tên	Chức năng	Phát sinh
Không thay đổi	f(x) = C, C ∈ R	0 (vâng, không!)
Sức mạnh với số mũ hợp lý	f(x) = x N	N · x N − 1
xoang	f(x) = tội lỗi x	vì x
Cô sin	f(x) = cos x	−tội lỗi x(trừ sin)
Đường tiếp tuyến	f(x) = tg x	1/cos 2 x
cotang	f(x) = ctg x	− 1/sin 2 x
logarit tự nhiên	f(x) = nhật ký x	1/x
Logarit tùy ý	f(x) = nhật ký Một x	1/(x ln Một)
hàm số mũ	f(x) = e x	e x(không có gì thay đổi)

Nếu nhân một hàm cơ bản với một hằng số tùy ý thì đạo hàm của hàm mới cũng dễ dàng tính được:

(C · f)’ = C · f ’.

Nói chung, các hằng số có thể được lấy ra khỏi dấu của đạo hàm. Ví dụ:

(2x 3)’ = 2 · ( x 3)' = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Rõ ràng, các hàm cơ bản có thể được cộng với nhau, nhân, chia - và nhiều hơn thế nữa. Đây là cách các chức năng mới sẽ xuất hiện, không còn mang tính cơ bản nữa mà còn được phân biệt theo những quy tắc nhất định. Những quy tắc này sẽ được thảo luận dưới đây.

Đạo hàm của tổng và hiệu

Hãy để các chức năng được đưa ra f(x) Và g(x), các dẫn xuất của chúng đã được chúng ta biết đến. Ví dụ: bạn có thể lấy các hàm cơ bản được thảo luận ở trên. Sau đó, bạn có thể tìm đạo hàm của tổng và hiệu của các hàm này:

1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’

Vì vậy, đạo hàm của tổng (vi phân) của hai hàm số bằng tổng (vi phân) của các đạo hàm. Có thể có nhiều điều khoản hơn. Ví dụ, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Nói đúng ra, không có khái niệm “trừ” trong đại số. Có khái niệm “yếu tố tiêu cực”. Do đó sự khác biệt f − g có thể được viết lại dưới dạng tổng f+ (−1) g, và khi đó chỉ còn lại một công thức - đạo hàm của tổng.

f(x) = x 2 + tội x; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Chức năng f(x) là tổng của hai hàm cơ bản, do đó:

f ’(x) = (x 2 + tội lỗi x)’ = (x 2)' + (tội lỗi x)’ = 2x+ cos x;

Chúng ta suy luận tương tự cho hàm g(x). Chỉ có ba số hạng (theo quan điểm của đại số):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Trả lời:
f ’(x) = 2x+ cos x;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Dẫn xuất của sản phẩm

Toán học là một môn khoa học logic nên nhiều người cho rằng nếu đạo hàm của một tổng bằng tổng các đạo hàm thì đạo hàm của tích đánh đập">bằng tích của đạo hàm. Nhưng kệ bạn! Đạo hàm của một tích được tính bằng một công thức hoàn toàn khác. Cụ thể là:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Công thức rất đơn giản nhưng thường bị quên. Và không chỉ học sinh, mà cả học sinh. Kết quả là giải quyết vấn đề không chính xác.

Nhiệm vụ. Tìm đạo hàm của hàm số: f(x) = x 3 cos x; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · e x .

Chức năng f(x) là tích của hai hàm cơ bản, nên mọi thứ đều đơn giản:

f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3)’ vì x + x 3 (vì x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (−sin x) = x 2 (3cos x − x tội x)

Chức năng g(x) số nhân đầu tiên phức tạp hơn một chút, nhưng sơ đồ chung không thay đổi. Rõ ràng, thừa số đầu tiên của hàm g(x) là một đa thức và đạo hàm của nó là đạo hàm của tổng. Chúng ta có:

g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)’ · e x + (x 2 + 7x− 7) ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x− 7) · e x = e x· (2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .

Trả lời:
f ’(x) = x 2 (3cos x − x tội x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e x .

Xin lưu ý rằng ở bước cuối cùng đạo hàm được phân tích thành thừa số. Về mặt hình thức, điều này không cần phải được thực hiện, nhưng hầu hết các đạo hàm không được tính toán riêng mà để kiểm tra hàm. Điều này có nghĩa là đạo hàm tiếp theo sẽ bằng 0, dấu của nó sẽ được xác định, v.v. Đối với trường hợp như vậy, tốt hơn là nên phân tích biểu thức thành nhân tử.

Nếu có hai hàm f(x) Và g(x), Và g(x) ≠ 0 trên tập ta quan tâm, ta có thể định nghĩa một hàm mới h(x) = f(x)/g(x). Đối với hàm như vậy, bạn cũng có thể tìm đạo hàm:

Không hề yếu, phải không? Điểm trừ đến từ đâu? Tại sao g 2? Và như thế này! Đây là một trong những công thức phức tạp nhất - bạn không thể tìm ra nó nếu không có chai. Vì vậy, tốt hơn là nghiên cứu nó với các ví dụ cụ thể.

Nhiệm vụ. Tìm đạo hàm của hàm số:

Tử số và mẫu số của mỗi phân số đều chứa các hàm cơ bản, vì vậy tất cả những gì chúng ta cần là công thức tính đạo hàm của thương:

Theo truyền thống, hãy phân tích tử số thành nhân tử - điều này sẽ đơn giản hóa rất nhiều câu trả lời:

Một hàm số phức không nhất thiết phải là một công thức dài nửa km. Ví dụ, chỉ cần lấy hàm f(x) = tội lỗi x và thay thế biến x, nói, trên x 2 + ln x. Nó sẽ làm việc bên ngoài f(x) = tội lỗi ( x 2 + ln x) - đây là một hàm phức tạp. Nó cũng có đạo hàm, nhưng sẽ không thể tìm được nó bằng cách sử dụng các quy tắc đã thảo luận ở trên.

Tôi nên làm gì? Trong những trường hợp như vậy, việc thay thế một biến và công thức cho đạo hàm của hàm phức sẽ giúp:

f ’(x) = f ’(t) · t', Nếu như xđược thay thế bởi t(x).

Theo quy luật, tình huống hiểu công thức này thậm chí còn đáng buồn hơn so với việc hiểu đạo hàm của thương. Vì vậy, tốt hơn hết bạn nên giải thích nó bằng các ví dụ cụ thể, kèm theo mô tả chi tiết từng bước.

Nhiệm vụ. Tìm đạo hàm của hàm số: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = tội lỗi ( x 2 + ln x)

Lưu ý rằng nếu trong hàm f(x) thay cho biểu thức 2 x+ 3 sẽ dễ dàng x, khi đó chúng ta nhận được một hàm cơ bản f(x) = e x. Vì vậy, chúng tôi thực hiện thay thế: hãy để 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Chúng ta tìm đạo hàm của hàm phức bằng công thức:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

Và bây giờ - chú ý! Chúng tôi thực hiện thay thế ngược lại: t = 2x+ 3. Ta có:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3

Bây giờ chúng ta hãy nhìn vào chức năng g(x). Rõ ràng là cần phải thay thế x 2 + ln x = t. Chúng ta có:

g ’(x) = g ’(t) · t’ = (tội lỗi t)’ · t’ = vì t · t ’

Thay thế ngược lại: t = x 2 + ln x. Sau đó:

g ’(x) = cos ( x 2 + ln x) · ( x 2 + ln x)' = cos ( x 2 + ln x) · (2 x + 1/x).

Đó là tất cả! Như có thể thấy từ biểu thức cuối cùng, toàn bộ vấn đề đã được quy giản thành việc tính tổng đạo hàm.

Trả lời:
f ’(x) = 2 · e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) cos ( x 2 + ln x).

Rất thường xuyên trong các bài học của tôi, thay vì thuật ngữ “phái sinh”, tôi sử dụng từ “số nguyên tố”. Ví dụ: nét của tổng bằng tổng của các nét. Điều đó có rõ ràng hơn không? Ồ tốt đấy.

Do đó, việc tính đạo hàm nhằm loại bỏ các nét tương tự theo các quy tắc đã thảo luận ở trên. Ví dụ cuối cùng, chúng ta hãy quay trở lại lũy thừa đạo hàm với số mũ hữu tỷ:

(x N)’ = N · x N − 1

Ít người biết rằng trong vai diễn N cũng có thể là một số phân số. Ví dụ, gốc là x 0,5. Điều gì sẽ xảy ra nếu có thứ gì đó lạ mắt dưới gốc? Một lần nữa, kết quả sẽ là một hàm phức tạp - họ thích đưa ra những công trình như vậy trong các bài kiểm tra và bài kiểm tra.

Nhiệm vụ. Tìm đạo hàm của hàm số:

Đầu tiên, hãy viết lại căn thức dưới dạng lũy ​​thừa với số mũ hữu tỉ:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Bây giờ chúng ta thực hiện thay thế: hãy để x 2 + 8x − 7 = t. Chúng ta tìm đạo hàm bằng công thức:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)’ · t’ = 0,5 · t−0,5 · t ’.

Hãy thực hiện thay thế ngược lại: t = x 2 + 8x− 7. Ta có:

f ’(x) = 0,5 · ( x 2 + 8x− 7) −0,5 · ( x 2 + 8x− 7)’ = 0,5 · (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Cuối cùng, quay trở lại cội nguồn:

Rất dễ nhớ.

Chà, đừng đi xa, hãy xem xét ngay hàm nghịch đảo. Hàm số nào là nghịch đảo của hàm số mũ? Logarit:

Trong trường hợp của chúng tôi, cơ sở là số:

Một logarit như vậy (nghĩa là logarit có cơ số) được gọi là "tự nhiên" và chúng tôi sử dụng một ký hiệu đặc biệt cho nó: thay vào đó chúng tôi viết.

Nó bằng gì? Tất nhiên rồi, .

Đạo hàm logarit tự nhiên cũng rất đơn giản:

Ví dụ:

1. Tìm đạo hàm của hàm số.
2. Đạo hàm của hàm số là gì?

Câu trả lời: Logarit hàm mũ và logarit tự nhiên là các hàm đơn giản duy nhất xét theo góc độ đạo hàm. Các hàm số mũ và logarit với bất kỳ cơ số nào khác sẽ có đạo hàm khác nhau mà chúng ta sẽ phân tích sau, sau khi chúng ta đi qua các quy tắc lấy vi phân.

Quy luật phân biệt

Quy tắc của cái gì? Lại một thuật ngữ mới nữa phải không?!...

Sự khác biệt là quá trình tìm đạo hàm.

Đó là tất cả. Bạn có thể gọi quá trình này bằng một từ nào khác? Không phải đạo hàm... Các nhà toán học gọi vi phân là cùng một số gia của hàm số. Thuật ngữ này xuất phát từ tiếng Latin Differentia - sự khác biệt. Đây.

Khi rút ra tất cả các quy tắc này, chúng ta sẽ sử dụng hai hàm, ví dụ: và. Chúng ta cũng sẽ cần các công thức tính số gia của chúng:

Tổng cộng có 5 quy tắc.

Hằng số được lấy ra khỏi dấu đạo hàm.

Nếu - một số không đổi (hằng số), thì.

Rõ ràng, quy tắc này cũng có tác dụng đối với sự khác biệt: .

Hãy chứng minh điều đó. Hãy để nó như vậy, hoặc đơn giản hơn.

Ví dụ.

Tìm đạo hàm của hàm số:

1. Tại một điểm;
2. Tại một điểm;
3. Tại một điểm;
4. tại điểm.

Các giải pháp:

1. (đạo hàm giống nhau ở mọi điểm, vì nó là hàm tuyến tính, nhớ không?);

Dẫn xuất của sản phẩm

Mọi thứ ở đây đều tương tự: hãy giới thiệu một hàm mới và tìm phần tăng của nó:

Phát sinh:

Ví dụ:

1. Tìm đạo hàm của hàm số và;
2. Tìm đạo hàm của hàm số tại một điểm.

Các giải pháp:

Đạo hàm của hàm số mũ

Bây giờ kiến ​​thức của bạn đã đủ để học cách tìm đạo hàm của bất kỳ hàm mũ nào chứ không chỉ số mũ (bạn đã quên đó là gì chưa?).

Vì vậy, một số số ở đâu.

Chúng ta đã biết đạo hàm của hàm số, vì vậy hãy thử quy hàm của chúng ta về một cơ số mới:

Để làm điều này, chúng ta sẽ sử dụng một quy tắc đơn giản: . Sau đó:

Vâng, nó đã hoạt động. Bây giờ hãy thử tìm đạo hàm và đừng quên rằng hàm số này rất phức tạp.

Đã xảy ra?

Ở đây, hãy tự kiểm tra:

Công thức hóa ra rất giống với đạo hàm của số mũ: nó vẫn giữ nguyên, chỉ xuất hiện một thừa số, chỉ là một số chứ không phải một biến.

Ví dụ:
Tìm đạo hàm của hàm số:

Câu trả lời:

Đây chỉ là một con số không thể tính được nếu không có máy tính, tức là nó không thể được viết ra dưới dạng đơn giản hơn. Vì vậy, chúng tôi để nó ở dạng này trong câu trả lời.

Lưu ý đây là thương của hai hàm số nên ta áp dụng quy tắc lấy vi phân tương ứng:

Trong ví dụ này, tích của hai hàm:

Đạo hàm của hàm logarit

Ở đây cũng tương tự: bạn đã biết đạo hàm của logarit tự nhiên:

Do đó, để tìm logarit tùy ý với cơ số khác, ví dụ:

Chúng ta cần giảm logarit này về cơ số. Làm thế nào để bạn thay đổi cơ số của logarit? Tôi hy vọng bạn nhớ công thức này:

Chỉ bây giờ chúng tôi sẽ viết thay thế:

Mẫu số chỉ đơn giản là một hằng số (một số không đổi, không có biến). Đạo hàm thu được rất đơn giản:

Đạo hàm của hàm số mũ và logarit hầu như không bao giờ được tìm thấy trong Kỳ thi Thống nhất, nhưng sẽ không thừa khi biết chúng.

Đạo hàm của hàm phức.

"hàm phức tạp" là gì? Không, đây không phải là logarit hay arctang. Các hàm này có thể khó hiểu (mặc dù nếu bạn thấy logarit khó, hãy đọc chủ đề “Logarit” và bạn sẽ ổn thôi), nhưng theo quan điểm toán học, từ “phức tạp” không có nghĩa là “khó”.

Hãy tưởng tượng một băng chuyền nhỏ: hai người đang ngồi và thực hiện một số hành động với một số đồ vật. Ví dụ, cái đầu tiên bọc một thanh sô cô la trong giấy gói và cái thứ hai buộc nó bằng một dải ruy băng. Kết quả là một vật thể tổng hợp: một thanh sô cô la được gói và buộc bằng một dải ruy băng. Để ăn một thanh sô cô la, bạn cần thực hiện các bước ngược lại theo thứ tự ngược lại.

Hãy tạo một quy trình toán học tương tự: đầu tiên chúng ta sẽ tìm cosin của một số, sau đó bình phương số kết quả. Vì vậy, chúng ta được cho một con số (sô cô la), tôi tìm cosin của nó (vỏ bọc), và sau đó bạn bình phương những gì tôi nhận được (buộc nó bằng một dải ruy băng). Chuyện gì đã xảy ra thế? Chức năng. Đây là ví dụ về hàm phức tạp: khi, để tìm giá trị của nó, chúng ta thực hiện hành động đầu tiên trực tiếp với biến và sau đó là hành động thứ hai với kết quả của hành động đầu tiên.

Nói cách khác, một hàm phức tạp là một hàm có đối số là một hàm khác: .

Ví dụ của chúng tôi, .

Chúng ta có thể dễ dàng thực hiện các bước tương tự theo thứ tự ngược lại: đầu tiên bạn bình phương nó, sau đó tôi tìm cosin của số kết quả: . Thật dễ dàng để đoán rằng kết quả sẽ hầu như luôn khác nhau. Một đặc điểm quan trọng của hàm phức tạp: khi thứ tự các hành động thay đổi thì hàm cũng thay đổi.

Ví dụ thứ hai: (điều tương tự). .

Hành động chúng ta thực hiện cuối cùng sẽ được gọi chức năng "bên ngoài" và hành động được thực hiện đầu tiên - tương ứng chức năng "nội bộ"(đây là những tên không chính thức, tôi chỉ sử dụng chúng để giải thích tài liệu bằng ngôn ngữ đơn giản).

Hãy cố gắng tự mình xác định chức năng nào là bên ngoài và chức năng nào là bên trong:

Câu trả lời: Việc tách các hàm bên trong và bên ngoài rất giống với việc thay đổi các biến: ví dụ: trong một hàm

1. Hành động nào chúng ta sẽ thực hiện đầu tiên? Đầu tiên, hãy tính sin và chỉ sau đó lập phương cho nó. Điều này có nghĩa là nó là một chức năng bên trong, nhưng là một chức năng bên ngoài.
   Và chức năng ban đầu là thành phần của chúng: .
2. Nội bộ: ; bên ngoài: .
   Bài kiểm tra: .
3. Nội bộ: ; bên ngoài: .
   Bài kiểm tra: .
4. Nội bộ: ; bên ngoài: .
   Bài kiểm tra: .
5. Nội bộ: ; bên ngoài: .
   Bài kiểm tra: .

Chúng tôi thay đổi các biến và nhận được một hàm.

Bây giờ chúng ta sẽ trích xuất thanh sô cô la của mình và tìm đạo hàm. Quy trình luôn đảo ngược: đầu tiên chúng ta tìm đạo hàm của hàm ngoài, sau đó chúng ta nhân kết quả với đạo hàm của hàm bên trong. Liên quan đến ví dụ ban đầu, nó trông như thế này:

Một vi dụ khac:

Vì vậy, cuối cùng chúng ta hãy xây dựng quy tắc chính thức:

Thuật toán tìm đạo hàm của hàm phức:

Nó có vẻ đơn giản, phải không?

Hãy kiểm tra với các ví dụ:

Các giải pháp:

1) Nội bộ: ;

Bên ngoài: ;

2) Nội bộ: ;

(Chỉ cần đừng cố cắt nó vào lúc này! Không có gì thoát ra từ dưới cosin, nhớ không?)

3) Nội bộ: ;

Bên ngoài: ;

Rõ ràng ngay rằng đây là một hàm phức tạp ba cấp: xét cho cùng, bản thân nó đã là một hàm phức tạp và chúng ta cũng trích xuất gốc từ nó, tức là chúng ta thực hiện hành động thứ ba (đặt sô cô la vào một lớp bọc và với một dải ruy băng trong cặp). Nhưng không có lý do gì phải sợ: chúng ta vẫn sẽ “giải nén” hàm này theo thứ tự như thường lệ: từ cuối.

Nghĩa là, đầu tiên chúng ta phân biệt căn bậc hai, sau đó là cosin và chỉ sau đó là biểu thức trong ngoặc. Và sau đó chúng tôi nhân tất cả.

Trong những trường hợp như vậy, việc đánh số các hành động sẽ thuận tiện hơn. Đó là, hãy tưởng tượng những gì chúng ta biết. Chúng ta sẽ thực hiện các hành động theo thứ tự nào để tính giá trị của biểu thức này? Hãy xem một ví dụ:

Hành động được thực hiện càng muộn thì chức năng tương ứng sẽ càng “bên ngoài”. Trình tự các hành động vẫn giống như trước:

Ở đây việc lồng ghép thường có 4 cấp độ. Hãy xác định quá trình hành động.

1. Biểu hiện cấp tiến. .

2. Gốc. .

3. Sin. .

4. Hình vuông. .

5. Kết hợp tất cả lại với nhau:

PHÁT SINH. GIỚI THIỆU VỀ NHỮNG ĐIỀU CHÍNH

Đạo hàm của hàm- tỷ lệ giữa mức tăng của hàm và mức tăng của đối số đối với mức tăng vô hạn của đối số:

Các dẫn xuất cơ bản:

Quy luật phân biệt:

Hằng số được lấy ra khỏi dấu đạo hàm:

Đạo hàm của tổng:

Dẫn xuất của sản phẩm:

Đạo hàm của thương:

Đạo hàm của hàm phức:

Thuật toán tìm đạo hàm của hàm phức:

1. Chúng ta định nghĩa hàm “nội bộ” và tìm đạo hàm của nó.
2. Chúng ta định nghĩa hàm “bên ngoài” và tìm đạo hàm của nó.
3. Chúng tôi nhân kết quả của điểm đầu tiên và điểm thứ hai.

Các dẫn xuất phức tạp. Đạo hàm logarit.
Đạo hàm của hàm số mũ

Chúng tôi tiếp tục cải thiện kỹ thuật khác biệt hóa của mình. Trong bài học này, chúng ta sẽ củng cố tài liệu đã trình bày, xem xét các đạo hàm phức tạp hơn, đồng thời làm quen với các kỹ thuật và thủ thuật mới để tìm đạo hàm, đặc biệt là đạo hàm logarit.

Những độc giả có trình độ chuẩn bị thấp nên tham khảo bài viết Làm thế nào để tìm đạo hàm? Ví dụ về giải pháp, điều này sẽ cho phép bạn nâng cao kỹ năng của mình gần như ngay từ đầu. Tiếp theo, bạn cần nghiên cứu kỹ trang Đạo hàm của hàm phức, hiểu và giải quyết Tất cả những ví dụ tôi đã đưa ra. Về mặt logic, đây là bài học thứ ba liên tiếp và sau khi thành thạo nó, bạn sẽ tự tin phân biệt các hàm khá phức tạp. Việc đảm nhận vị trí “Còn ở đâu nữa? Thế là đủ rồi!”, vì tất cả các ví dụ và lời giải đều được lấy từ thử nghiệm thực tế và thường gặp trong thực tế.

Hãy bắt đầu với sự lặp lại. Tại bài học Đạo hàm của hàm phức Chúng tôi đã xem xét một số ví dụ với nhận xét chi tiết. Trong quá trình nghiên cứu phép tính vi phân và các nhánh phân tích toán học khác, bạn sẽ phải thường xuyên phân tích và không phải lúc nào cũng thuận tiện (và không phải lúc nào cũng cần thiết) để mô tả các ví dụ một cách chi tiết. Vì vậy chúng ta sẽ luyện tập tìm đạo hàm bằng miệng. Các “ứng cử viên” phù hợp nhất cho việc này là dẫn xuất của các hàm phức tạp đơn giản nhất, ví dụ:

Theo quy tắc đạo hàm của hàm số phức :

Khi nghiên cứu các chủ đề matan khác trong tương lai, hầu hết không cần phải ghi lại chi tiết như vậy; người ta cho rằng học sinh biết cách tìm các dẫn xuất đó trên chế độ lái tự động. Hãy tưởng tượng lúc 3 giờ sáng, điện thoại reo và một giọng nói dễ chịu hỏi: “Đạo hàm tiếp tuyến của hai chữ X là bao nhiêu?” Tiếp theo đó là một phản ứng gần như ngay lập tức và lịch sự: .

Ví dụ đầu tiên sẽ được dùng ngay cho giải pháp độc lập.

ví dụ 1

Tìm các đạo hàm sau bằng lời nói, trong một hành động, ví dụ: . Để hoàn thành nhiệm vụ bạn chỉ cần sử dụng bảng đạo hàm của các hàm cơ bản(nếu bạn chưa nhớ). Nếu bạn gặp khó khăn gì, tôi khuyên bạn nên đọc lại bài học Đạo hàm của hàm phức.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Đáp án ở cuối bài học

Các dẫn xuất phức tạp

Sau khi chuẩn bị pháo binh sơ bộ, các ví dụ có chức năng lồng nhau 3-4-5 sẽ bớt đáng sợ hơn. Hai ví dụ sau đây có vẻ phức tạp đối với một số người, nhưng nếu bạn hiểu chúng (ai đó sẽ đau khổ), thì hầu hết mọi thứ khác trong phép tính vi phân sẽ giống như một trò đùa của trẻ con.

Ví dụ 2

Tìm đạo hàm của một hàm số

Như đã lưu ý, khi tìm đạo hàm của một hàm phức, trước hết cần phải Phải HIỂU khoản đầu tư của bạn. Trong trường hợp có nghi ngờ, tôi nhắc bạn về một kỹ thuật hữu ích: ví dụ: chúng tôi lấy giá trị thử nghiệm của “x” và thử (trong đầu hoặc trong bản nháp) để thay thế giá trị này thành “biểu thức khủng khiếp”.

1) Đầu tiên chúng ta cần tính biểu thức, nghĩa là tổng là nhúng sâu nhất.

2) Sau đó, bạn cần tính logarit:

4) Sau đó lập phương cosin:

5) Ở bước thứ năm, sự khác biệt là:

6) Và cuối cùng, hàm ngoài cùng là căn bậc hai:

Công thức đạo hàm hàm phức được áp dụng theo thứ tự ngược lại, từ chức năng ngoài cùng đến chức năng trong cùng. Chúng tôi quyết định:

Dường như không có lỗi...

(1) Lấy đạo hàm của căn bậc hai.

(2) Chúng ta lấy đạo hàm của hiệu bằng quy tắc

(3) Đạo hàm của bộ ba bằng 0. Trong thuật ngữ thứ hai, chúng ta lấy đạo hàm của độ (khối lập phương).

(4) Lấy đạo hàm của cosin.

(5) Lấy đạo hàm logarit.

(6) Và cuối cùng, chúng ta lấy đạo hàm của mức nhúng sâu nhất.

Nó có vẻ quá khó khăn, nhưng đây không phải là ví dụ tàn bạo nhất. Lấy ví dụ, bộ sưu tập của Kuznetsov và bạn sẽ đánh giá cao tất cả vẻ đẹp và sự đơn giản của đạo hàm được phân tích. Tôi nhận thấy rằng họ thích đưa ra một điều tương tự trong một bài kiểm tra để kiểm tra xem học sinh có hiểu cách tìm đạo hàm của một hàm số phức hay không hiểu.

Ví dụ sau là để bạn tự giải quyết.

Ví dụ 3

Tìm đạo hàm của một hàm số

Gợi ý: Đầu tiên chúng ta áp dụng quy tắc tuyến tính và quy tắc phân biệt sản phẩm

Đáp án và đáp án đầy đủ ở cuối bài.

Đã đến lúc chuyển sang thứ gì đó nhỏ hơn và đẹp hơn.
Không có gì lạ khi một ví dụ cho thấy sản phẩm không phải hai mà là ba chức năng. Làm thế nào để tìm đạo hàm của tích của ba thừa số?

Ví dụ 4

Tìm đạo hàm của một hàm số

Đầu tiên chúng ta xem, có thể biến tích của ba hàm thành tích của hai hàm không? Ví dụ: nếu chúng ta có hai đa thức trong tích, chúng ta có thể mở ngoặc. Nhưng trong ví dụ đang xem xét, tất cả các hàm đều khác nhau: bậc, số mũ và logarit.

Trong những trường hợp như vậy cần thiết tuần tựáp dụng quy tắc phân biệt sản phẩm hai lần

Bí quyết là bằng “y” chúng ta biểu thị tích của hai hàm: , và với “ve” chúng ta biểu thị logarit: . Tại sao điều này có thể được thực hiện? Có thật vậy không – đây không phải là tích của hai yếu tố và quy tắc không đúng?! Không có gì phức tạp:

Bây giờ vẫn phải áp dụng quy tắc lần thứ hai để đóng khung:

Bạn cũng có thể vặn vẹo và đặt thứ gì đó ra khỏi ngoặc, nhưng trong trường hợp này, tốt hơn hết bạn nên để lại câu trả lời chính xác ở dạng này - sẽ dễ kiểm tra hơn.

Ví dụ đang xem xét có thể được giải theo cách thứ hai:

Cả hai giải pháp đều hoàn toàn tương đương.

Ví dụ 5

Tìm đạo hàm của một hàm số

Đây là một ví dụ cho một giải pháp độc lập; trong mẫu, nó được giải quyết bằng phương pháp đầu tiên.

Hãy xem xét các ví dụ tương tự với phân số.

Ví dụ 6

Tìm đạo hàm của một hàm số

Có một số cách bạn có thể vào đây:

Hoặc như thế này:

Nhưng lời giải sẽ được viết gọn hơn nếu trước tiên chúng ta sử dụng quy tắc lấy đạo hàm của thương , lấy toàn bộ tử số:

Về nguyên tắc, ví dụ đã được giải quyết và nếu nó được giữ nguyên thì sẽ không có lỗi. Nhưng nếu có thời gian, bạn nên kiểm tra bản nháp để xem câu trả lời có thể đơn giản hóa được không? Chúng ta hãy rút gọn biểu thức của tử số thành mẫu số chung và chúng ta hãy loại bỏ phần ba tầng:

Nhược điểm của việc đơn giản hóa bổ sung là có nguy cơ mắc sai lầm không phải khi tìm đạo hàm mà trong các phép biến đổi trường phái tầm thường. Mặt khác, giáo viên thường từ chối bài tập và yêu cầu “ghi nhớ” đạo hàm.

Một ví dụ đơn giản hơn để bạn tự giải quyết:

Ví dụ 7

Tìm đạo hàm của một hàm số

Chúng ta tiếp tục nắm vững các phương pháp tìm đạo hàm và bây giờ chúng ta sẽ xem xét một trường hợp điển hình khi đề xuất logarit “khủng” để lấy đạo hàm

Ví dụ 8

Tìm đạo hàm của một hàm số

Ở đây bạn có thể đi một chặng đường dài bằng cách sử dụng quy tắc để lấy đạo hàm một hàm phức tạp:

Nhưng bước đầu tiên ngay lập tức khiến bạn rơi vào trạng thái chán nản - bạn phải lấy đạo hàm khó chịu từ lũy thừa phân số, và sau đó cũng từ phân số.

Đó là lý do tại sao trước cách lấy đạo hàm của logarit “tinh vi”, trước tiên nó được đơn giản hóa bằng cách sử dụng các tính chất trường học nổi tiếng:

! Nếu bạn có sẵn sổ ghi chép thực hành, hãy sao chép trực tiếp các công thức này vào đó. Nếu bạn không có vở, hãy chép chúng ra một tờ giấy vì các ví dụ còn lại của bài học sẽ xoay quanh các công thức này.

Bản thân giải pháp có thể được viết như thế này:

Hãy biến đổi hàm:

Tìm đạo hàm:

Việc chuyển đổi trước chức năng đã đơn giản hóa giải pháp rất nhiều. Vì vậy, khi một logarit tương tự được đề xuất để lấy đạo hàm, thì luôn luôn nên “phá vỡ nó”.

Và bây giờ là một vài ví dụ đơn giản để bạn tự giải quyết:

Ví dụ 9

Tìm đạo hàm của một hàm số

Ví dụ 10

Tìm đạo hàm của một hàm số

Mọi phép biến đổi và đáp án đều có ở cuối bài.

Đạo hàm logarit

Nếu đạo hàm của logarit là một bản nhạc ngọt ngào như vậy, thì câu hỏi được đặt ra: liệu trong một số trường hợp có thể tổ chức logarit một cách nhân tạo không? Có thể! Và thậm chí cần thiết.

Ví dụ 11

Tìm đạo hàm của một hàm số

Gần đây chúng tôi đã xem xét các ví dụ tương tự. Phải làm gì? Bạn có thể áp dụng tuần tự quy tắc phân biệt thương và sau đó là quy tắc phân biệt sản phẩm. Nhược điểm của phương pháp này là bạn sẽ phải đối mặt với một phần ba tầng khổng lồ mà bạn không muốn giải quyết chút nào.

Nhưng trong lý thuyết và thực hành có một điều tuyệt vời đó là đạo hàm logarit. Logarit có thể được tổ chức một cách nhân tạo bằng cách “treo” chúng ở cả hai phía:

Ghi chú : bởi vì một hàm có thể nhận giá trị âm, thì nói chung, bạn cần sử dụng các mô-đun: , sẽ biến mất do sự khác biệt. Tuy nhiên, thiết kế hiện tại cũng có thể chấp nhận được, theo mặc định nó được tính đến tổ hợpý nghĩa. Nhưng nếu nghiêm túc thì trong cả hai trường hợp, nên bảo lưu rằng.

Bây giờ bạn cần phải “phân rã” logarit của vế phải càng nhiều càng tốt (công thức trước mắt bạn?). Tôi sẽ mô tả quá trình này một cách chi tiết:

Hãy bắt đầu với sự khác biệt.
Chúng tôi kết luận cả hai phần dưới số nguyên tố:

Đạo hàm của vế phải khá đơn giản; tôi sẽ không bình luận về nó, bởi vì nếu bạn đang đọc văn bản này, bạn sẽ có thể xử lý nó một cách tự tin.

Còn phía bên trái thì sao?

Ở phía bên trái chúng ta có hàm phức tạp. Tôi thấy trước câu hỏi: “Tại sao lại có một chữ cái “Y” dưới logarit?”

Sự thật là “trò chơi một chữ cái” này - Bản thân nó là một chức năng(nếu chưa rõ lắm, tham khảo bài Đạo hàm của hàm xác định ngầm). Do đó, logarit là hàm bên ngoài và “y” là hàm bên trong. Và chúng ta sử dụng quy tắc để lấy đạo hàm một hàm phức :

Ở vế trái, như thể có phép thuật, chúng ta có đạo hàm. Tiếp theo, theo quy tắc tỷ lệ, chúng ta chuyển chữ “y” từ mẫu số của vế trái lên trên cùng của vế phải:

Và bây giờ chúng ta hãy nhớ lại loại chức năng “người chơi” mà chúng ta đã nói đến trong quá trình phân biệt? Chúng ta hãy nhìn vào điều kiện:

Câu trả lời cuối cùng:

Ví dụ 12

Tìm đạo hàm của một hàm số

Đây là ví dụ để bạn tự giải quyết. Thiết kế mẫu của một ví dụ thuộc loại này nằm ở cuối bài học.

Bằng cách sử dụng đạo hàm logarit, bạn có thể giải bất kỳ ví dụ nào từ số 4-7, một điều nữa là các hàm ở đó đơn giản hơn và có lẽ việc sử dụng đạo hàm logarit là không hợp lý lắm.

Đạo hàm của hàm số mũ

Chúng tôi chưa xem xét chức năng này. Hàm mũ lũy thừa là hàm mà cả mức độ và cơ sở đều phụ thuộc vào “x”. Một ví dụ kinh điển sẽ được cung cấp cho bạn trong bất kỳ sách giáo khoa hoặc bài giảng nào:

Làm thế nào để tìm đạo hàm của hàm số mũ?

Cần phải sử dụng kỹ thuật vừa thảo luận - đạo hàm logarit. Chúng tôi treo logarit ở cả hai bên:

Theo quy định, ở phía bên phải, mức độ được lấy ra từ logarit:

Kết quả ở vế phải ta có tích của hai hàm số này sẽ được đạo hàm theo công thức chuẩn .

Chúng ta tìm đạo hàm; để làm điều này, chúng ta đặt cả hai phần dưới các nét:

Các hành động tiếp theo rất đơn giản:

Cuối cùng:

Nếu có bất kỳ chuyển đổi nào không hoàn toàn rõ ràng, vui lòng đọc lại phần giải thích của Ví dụ số 11 một cách cẩn thận.

Trong các bài tập thực tế, hàm mũ lũy thừa sẽ luôn phức tạp hơn ví dụ bài giảng đã xem xét.

Ví dụ 13

Tìm đạo hàm của một hàm số

Chúng tôi sử dụng đạo hàm logarit.

Ở phía bên phải, chúng ta có một hằng số và tích của hai thừa số - “x” và “logarit của logarit x” (một logarit khác được lồng dưới logarit). Khi lấy đạo hàm, như chúng ta nhớ, tốt hơn hết là chuyển ngay hằng số ra khỏi dấu đạo hàm để nó không gây cản trở; và tất nhiên, chúng tôi áp dụng quy tắc quen thuộc :