Sin là tỷ số của chân đối diện với cạnh huyền. Sin, cosin, tiếp tuyến và cotang: định nghĩa lượng giác, ví dụ, công thức

Hàm sin là một trong những hàm lượng giác cơ bản, ứng dụng của nó không chỉ giới hạn trong hình học. Các bảng để tính toán các hàm lượng giác, giống như máy tính kỹ thuật, không phải lúc nào cũng phù hợp và việc tính sin đôi khi cần thiết để giải các bài toán khác nhau. Nhìn chung, cách tính sin sẽ giúp củng cố kĩ năng vẽ hình và kiến ​​thức về các phép đồng dạng lượng giác.

Trò chơi thước kẻ và bút chì

Một nhiệm vụ đơn giản: làm thế nào để tìm sin của một góc được vẽ trên giấy? Để giải quyết, bạn cần một thước kẻ thông thường, một hình tam giác (hoặc một compa) và một cây bút chì. Cách đơn giản nhất để tính sin của một góc là chia chân xa của tam giác có góc vuông cho cạnh dài - cạnh huyền. Vì vậy, trước tiên bạn cần hoàn thành góc nhọn cho hình tam giác vuông bằng cách vẽ một đường thẳng vuông góc với một trong các tia ở một khoảng cách tùy ý từ đỉnh của góc. Sẽ cần phải quan sát một góc chính xác 90 °, mà chúng ta cần một tam giác giáo sĩ.

Sử dụng la bàn chính xác hơn một chút, nhưng sẽ lâu hơn. Trên một trong các tia, bạn cần đánh dấu 2 điểm ở một khoảng cách nhất định, đặt bán kính trên la bàn xấp xỉ bằng khoảng cách giữa các điểm và vẽ các hình bán nguyệt có tâm tại các điểm này cho đến khi các đường này cắt nhau. Bằng cách nối các giao điểm của các đường tròn của chúng ta với nhau, chúng ta có được một đường vuông góc nghiêm ngặt với tia của góc của chúng ta, nó vẫn chỉ kéo dài đoạn thẳng cho đến khi nó giao với một tia khác.

Trong hình tam giác kết quả, bạn cần đo cạnh đối diện với góc và cạnh dài của một trong các tia bằng thước. Tỷ lệ của kích thước thứ nhất so với thứ hai sẽ là giá trị mong muốn của sin của góc nhọn.

Tìm sin cho một góc lớn hơn 90 °

Đối với một góc tù, nhiệm vụ không khó hơn nhiều. Dùng thước kẻ để vẽ một tia từ đỉnh ngược hướng tạo thành một đường thẳng với một trong các tia của góc mà ta quan tâm. Với góc nhọn thu được, bạn nên tiến hành như mô tả ở trên, các sin của các góc kề nhau tạo thành một góc phát triển 180 ° là bằng nhau.

Tính sin từ các hàm lượng giác khác

Ngoài ra, phép tính sin có thể thực hiện được nếu biết giá trị của các hàm lượng giác khác của góc hoặc ít nhất là độ dài các cạnh của tam giác. Nhận dạng lượng giác sẽ giúp chúng ta điều này. Hãy xem xét các ví dụ phổ biến.

Làm thế nào để tìm sin với một cosin đã biết của một góc? Nhận dạng lượng giác đầu tiên, xuất phát từ định lý Pitago, nói rằng tổng bình phương của sin và côsin của cùng một góc bằng một.

Làm thế nào để tìm sin với một tiếp tuyến đã biết của một góc? Tiếp tuyến nhận được bằng cách chia chân xa cho một tiếp tuyến gần hoặc bằng cách chia sin cho côsin. Do đó, sin sẽ là tích của cosin và tiếp tuyến, và bình phương của sin sẽ là bình phương của tích này. Chúng ta thay côsin bình phương bằng hiệu giữa sin bình phương và sin bình phương theo đồng dạng lượng giác đầu tiên và thông qua các thao tác đơn giản, chúng ta đưa phương trình tính sin bình phương qua tiếp tuyến, tương ứng để tính sin, bạn sẽ phải rút gốc từ kết quả thu được.

Làm thế nào để tìm sin với một cotang của một góc đã biết? Giá trị cotang có thể được tính bằng cách chia chiều dài của chân gần với góc ở chân cho chiều dài của chân xa, cũng như chia cosin cho sin, nghĩa là, cotang là hàm ngược của tiếp tuyến đối với đến số 1. Để tính sin, bạn có thể tính tiếp tuyến bằng công thức tg α \ u003d 1 / ctg α và sử dụng công thức trong tùy chọn thứ hai. Bạn cũng có thể suy ra một công thức trực tiếp bằng cách tương tự với tiếp tuyến, sẽ giống như thế này.

Cách tìm sin của ba cạnh của tam giác

Có một công thức để tìm độ dài cạnh chưa biết của bất kỳ tam giác nào, không chỉ là tam giác vuông, cho trước hai cạnh bằng cách sử dụng hàm lượng giác của côsin của góc đối diện. Cô ấy trông như thế này.

Vâng, sin có thể được tính thêm từ cosine theo các công thức ở trên.

Trong bài viết này, chúng tôi sẽ chỉ ra cách định nghĩa sin, côsin, tiếp tuyến và côtang của góc và số trong lượng giác. Ở đây chúng ta sẽ nói về ký hiệu, đưa ra các ví dụ về bản ghi, đưa ra các hình ảnh minh họa đồ họa. Kết luận, chúng ta rút ra được sự song song giữa các định nghĩa sin, cosin, tiếp tuyến và cotang trong lượng giác và hình học.

Điều hướng trang.

Định nghĩa sin, cosine, tiếp tuyến và cotang

Hãy cùng theo dõi khái niệm sin, cosin, tiếp tuyến và cotang được hình thành như thế nào trong chương trình học môn Toán nhà trường. Trong các bài học hình học, định nghĩa sin, côsin, tiếp tuyến và cotang của một góc nhọn trong tam giác vuông được đưa ra. Và lượng giác sau này được nghiên cứu, đề cập đến sin, cosin, tiếp tuyến và cotang của góc quay và số. Chúng tôi đưa ra tất cả các định nghĩa này, đưa ra các ví dụ và đưa ra các nhận xét cần thiết.

Góc nhọn trong tam giác vuông

Từ khóa học hình học, các định nghĩa về sin, cosin, tiếp tuyến và cotang của một góc nhọn trong tam giác vuông đã được biết đến. Chúng được cho dưới dạng tỷ số các cạnh của một tam giác vuông. Chúng tôi trình bày các công thức của họ.

Sự định nghĩa.

Sin của một góc nhọn trong tam giác vuông là tỷ số của chân đối diện với cạnh huyền.

Sự định nghĩa.

Cosin của một góc nhọn trong tam giác vuông là tỷ số của chân lân cận với cạnh huyền.

Sự định nghĩa.

Tiếp tuyến của một góc nhọn trong tam giác vuông là tỷ số của chân đối diện với chân liền kề.

Sự định nghĩa.

Đường gấp khúc của một góc nhọn trong tam giác vuông là tỷ số của chân liền kề với chân đối diện.

Kí hiệu của sin, cosin, tiếp tuyến và cotang cũng được giới thiệu ở đó - lần lượt là sin, cos, tg và ctg.

Ví dụ, nếu ABC là tam giác vuông với góc vuông C, thì sin của góc nhọn A bằng tỉ số của chân đối diện BC với cạnh huyền AB, nghĩa là sin∠A = BC / AB.

Các định nghĩa này cho phép bạn tính toán các giá trị của sin, côsin, tiếp tuyến và côtang của một góc nhọn từ độ dài đã biết của các cạnh của tam giác vuông, cũng như từ các giá trị đã biết của sin, côsin, tiếp tuyến, cotang và độ dài của một trong các cạnh, tìm độ dài của các cạnh còn lại. Ví dụ, nếu chúng ta biết rằng trong một tam giác vuông, chân AC là 3 và cạnh huyền AB là 7, thì chúng ta có thể tính cosin của góc nhọn A theo định nghĩa: cos∠A = AC / AB = 3/7.

Góc quay

Trong lượng giác, họ bắt đầu nhìn vào góc rộng hơn - họ đưa ra khái niệm góc quay. Góc quay, không giống như góc nhọn, không giới hạn trong các khung từ 0 đến 90 độ, góc quay theo độ (và tính bằng radian) có thể được biểu thị bằng bất kỳ số thực nào từ −∞ đến + ∞.

Trong ánh sáng này, các định nghĩa về sin, cosin, tiếp tuyến và cotang không còn là một góc nhọn nữa, mà là một góc có độ lớn tùy ý - góc quay. Chúng được cho thông qua các tọa độ x và y của điểm A 1, mà cái gọi là điểm ban đầu A (1, 0) đi qua sau khi nó quay qua một góc α quanh điểm O - điểm đầu của một hệ tọa độ Descartes hình chữ nhật và tâm của hình tròn đơn vị.

Sự định nghĩa.

Sine của góc quayα là hoành độ của điểm A 1, nghĩa là sinα = y.

Sự định nghĩa.

cosin của góc quayα được gọi là hoành độ của điểm A 1, nghĩa là, cosα = x.

Sự định nghĩa.

Tiếp tuyến của góc quayα là tỉ số giữa hoành độ của điểm A 1 với hoành độ của nó, nghĩa là tgα = y / x.

Sự định nghĩa.

Cotang của góc quayα là tỷ số giữa hoành độ của điểm A 1 với hoành độ của nó, nghĩa là ctgα = x / y.

Sin và cosin được xác định cho bất kỳ góc α nào, vì chúng ta luôn có thể xác định hoành độ và hoành độ của điểm, thu được bằng cách quay điểm bắt đầu theo góc α. Và tiếp tuyến và cotang không được xác định cho bất kỳ góc nào. Tiếp tuyến không được xác định cho các góc như vậy α mà tại đó điểm ban đầu đi đến điểm có hoành độ bằng không (0, 1) hoặc (0, −1) và điều này xảy ra ở các góc 90 ° + 180 ° k, k∈Z (π / 2 + π k rad). Thật vậy, tại các góc quay như vậy, biểu thức tgα = y / x không có ý nghĩa, vì nó chứa phép chia cho 0. Đối với cotang, nó không được xác định cho các góc α mà tại đó điểm bắt đầu đi đến điểm có hoành độ bằng 0 (1, 0) hoặc (−1, 0), và đây là trường hợp của các góc 180 ° k, k ∈Z (π k rad).

Vì vậy, sin và cosin được xác định cho bất kỳ góc quay nào, tiếp tuyến được xác định cho tất cả các góc ngoại trừ 90 ° + 180 ° k, k∈Z (π / 2 + π k rad), và cotang là cho tất cả các góc ngoại trừ 180 ° · k, k∈Z (π · k rad).

Các ký hiệu mà chúng ta đã biết xuất hiện trong các định nghĩa sin, cos, tg và ctg, chúng cũng được sử dụng để biểu thị sin, cosine, tiếp tuyến và cotang của góc quay (đôi khi bạn có thể tìm thấy ký hiệu tan và cotcor tương ứng với tiếp tuyến và cotangent). Vì vậy sin của góc quay 30 độ có thể được viết là sin30 °, các bản ghi tg (−24 ° 17 ′) và ctgα tương ứng với tiếp tuyến của góc quay −24 ° 17 phút và cotang của góc quay α . Nhớ lại rằng khi viết số đo radian của một góc, ký hiệu "rad" thường bị bỏ qua. Ví dụ, cosin của một góc quay ba pi rads thường được ký hiệu là cos3 π.

Trong phần kết luận của đoạn này, cần lưu ý rằng khi nói về sin, cosin, tiếp tuyến và cotang của góc quay, cụm từ “góc quay” hoặc từ “quay” thường bị bỏ qua. Nghĩa là, thay vì cụm từ "sin của góc quay alpha", cụm từ "sin của góc quay alpha" thường được sử dụng, hoặc thậm chí ngắn hơn - "sin của alpha". Điều tương tự cũng áp dụng cho cosin, và tiếp tuyến và cotang.

Cũng giả sử rằng các định nghĩa sin, cosin, tiếp tuyến và cotang của một góc nhọn trong tam giác vuông nhất quán với các định nghĩa vừa đưa ra cho sin, cosin, tiếp tuyến và cotang của một góc quay trong khoảng từ 0 đến 90 độ. Chúng tôi sẽ chứng minh điều này.

Con số

Sự định nghĩa.

Sin, côsin, tiếp tuyến và cotang của một số t là một số tương ứng bằng sin, côsin, tiếp tuyến và côtang của góc quay, tính bằng t radian, tương ứng.

Ví dụ, theo định nghĩa, cosin của 8 π là một số bằng với cosin của một góc 8 π rad. Và côsin của góc 8 π rad bằng một, do đó, côsin của số 8 π bằng 1.

Có một cách tiếp cận khác đối với định nghĩa sin, cosin, tiếp tuyến và cotang của một số. Nó bao gồm thực tế là mỗi số thực t được gán một điểm của đường tròn đơn vị có tâm tại gốc của hệ tọa độ hình chữ nhật, và sin, cosin, tiếp tuyến và cotang được xác định thông qua tọa độ của điểm này. Hãy xem xét chi tiết hơn về vấn đề này.

Hãy để chúng tôi cho thấy sự tương ứng giữa các số thực và các điểm của đường tròn được thiết lập như thế nào:

• số 0 được gán điểm đầu A (1, 0);
• một số dương t được liên kết với một điểm trên đường tròn đơn vị, chúng ta sẽ nhận được điểm này nếu chúng ta di chuyển quanh đường tròn từ điểm xuất phát theo hướng ngược chiều kim đồng hồ và đi qua một đoạn đường có độ dài t;
• một số âm t được liên kết với một điểm trên đường tròn đơn vị, chúng ta sẽ nhận được điểm này nếu chúng ta di chuyển quanh đường tròn từ điểm xuất phát theo chiều kim đồng hồ và đi qua một đoạn đường có độ dài | t | .

Bây giờ chúng ta hãy chuyển sang các định nghĩa của sin, cosine, tiếp tuyến và cotang của số t. Giả sử rằng số t tương ứng với một điểm của đường tròn A 1 (x, y) (ví dụ, số & pi / 2; tương ứng với điểm A 1 (0, 1)).

Sự định nghĩa.

Sin của một số t là hoành độ của điểm tròn đơn vị tương ứng với số t, nghĩa là sint = y.

Sự định nghĩa.

Côsin của một số t được gọi là abscissa của điểm thuộc đường tròn đơn vị tương ứng với số t, tức là chi phí = x.

Sự định nghĩa.

Tiếp tuyến của một số t là tỉ số giữa hoành độ và hoành độ của điểm thuộc đường tròn đơn vị tương ứng với số t, nghĩa là tgt = y / x. Trong một công thức tương đương khác, tiếp tuyến của số t là tỷ số giữa sin của số này với côsin, nghĩa là, tgt = sint / cost.

Sự định nghĩa.

Cotangent của một số t là tỷ số giữa hoành độ của điểm trên đường tròn đơn vị tương ứng với số t, tức là, ctgt = x / y. Một công thức khác như sau: tang của số t là tỷ số giữa cosin của số t với sin của số t: ctgt = cost / sint.

Ở đây chúng tôi lưu ý rằng các định nghĩa vừa đưa ra đồng ý với định nghĩa được đưa ra ở đầu tiểu mục này. Thật vậy, điểm của đường tròn đơn vị ứng với số t trùng với điểm thu được khi quay điểm xuất phát một góc t radian.

Nó cũng đáng làm rõ điểm này. Giả sử chúng ta có một mục nhập sin3. Làm thế nào để hiểu là sin của số 3 hay sin của góc quay 3 radian là câu hỏi được đặt ra? Điều này thường rõ ràng từ ngữ cảnh, nếu không nó có thể không quan trọng.

Các hàm lượng giác của đối số góc và số

Theo các định nghĩa được đưa ra trong đoạn trước, mỗi góc quay α tương ứng với một giá trị đã xác định rõ của sinα, cũng như giá trị của cosα. Ngoài ra, tất cả các góc quay khác 90 ° + 180 ° k, k∈Z (π / 2 + π k rad) tương ứng với các giá trị tgα và khác 180 ° k, k∈Z (π k rad) là các giá trị của ctgα. Do đó sinα, cosα, tgα và ctgα là các hàm của góc α. Nói cách khác, đây là các hàm của đối số góc.

Tương tự, chúng ta có thể nói về các hàm sin, cosin, tiếp tuyến và cotang của một đối số. Thật vậy, mỗi số thực t tương ứng với một giá trị được xác định rõ của sint, cũng như chi phí. Ngoài ra, tất cả các số khác π / 2 + π · k, k∈Z tương ứng với các giá trị tgt và các số π · k, k∈Z tương ứng với các giá trị ctgt.

Các hàm sin, cosin, tiếp tuyến và cotang được gọi là các hàm lượng giác cơ bản.

Từ ngữ cảnh, chúng ta thường thấy rõ rằng chúng ta đang xử lý các hàm lượng giác của một đối số góc hoặc một đối số số. Nếu không, chúng ta có thể coi biến độc lập vừa là thước đo góc (đối số góc) vừa là đối số số.

Tuy nhiên, trường chủ yếu nghiên cứu về hàm số, tức là những hàm mà đối số của nó cũng như giá trị của hàm tương ứng là số. Vì vậy, nếu chúng ta đang nói về các hàm số, thì chúng ta nên coi các hàm số lượng giác là các hàm của các đối số.

Kết nối các định nghĩa từ hình học và lượng giác

Nếu chúng ta coi góc quay α từ 0 đến 90 độ, thì dữ liệu trong ngữ cảnh lượng giác của định nghĩa sin, côsin, tiếp tuyến và côtang của góc quay hoàn toàn phù hợp với các định nghĩa về sin, côsin. , tiếp tuyến và cotang của một góc nhọn trong tam giác vuông, được đưa ra trong khóa học hình học. Hãy chứng minh điều này.

Vẽ một đường tròn đơn vị trong hệ trục tọa độ Descartes hình chữ nhật Oxy. Lưu ý điểm bắt đầu A (1, 0). Hãy quay nó một góc α trong khoảng từ 0 đến 90 độ, ta được điểm A 1 (x, y). Hãy thả A 1 H vuông góc từ điểm A 1 xuống trục Ox.

Dễ thấy trong tam giác vuông góc A 1 OH bằng góc quay α, độ dài chân OH kề góc này bằng hoành độ của điểm A 1 tức là | OH | = x, độ dài chân A 1 H đối với góc bằng hoành độ của điểm A 1, nghĩa là | A 1 H | = y và độ dài cạnh huyền OA 1 bằng một , vì nó là bán kính của hình tròn đơn vị. Khi đó, theo định nghĩa từ hình học, sin của góc nhọn α trong tam giác vuông A 1 OH bằng tỉ số của chân đối diện với cạnh huyền, nghĩa là sinα = | A 1 H | / | OA 1 | = y / 1 = y. Và theo định nghĩa lượng giác, sin của góc quay α bằng hoành độ của điểm A 1, nghĩa là sinα = y. Điều này cho thấy định nghĩa sin của một góc nhọn trong tam giác vuông tương đương với định nghĩa sin của góc quay α đối với α từ 0 đến 90 độ.

Tương tự, có thể chỉ ra rằng các định nghĩa về cosin, tiếp tuyến và cotang của một góc nhọn α phù hợp với các định nghĩa về cosin, tiếp tuyến và cotang của góc quay α.

Thư mục.

1. Hình học. 7-9 lớp: học. cho giáo dục phổ thông các cơ sở / [L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev và những người khác]. - ấn bản thứ 20. M.: Giáo dục, 2010. - 384 tr: ốm. - ISBN 978-5-09-023915-8.
2. Pogorelov A.V. Hình học: Proc. cho 7-9 ô. giáo dục phổ thông các tổ chức / A. V. Pogorelov. - Xuất bản lần thứ 2. - M.: Khai sáng, 2001. - 224 trang: ốm. - ISBN 5-09-010803-X.
3. Đại số và các hàm cơ bản: Sách giáo khoa dành cho học sinh lớp 9 THCS / E. S. Kochetkov, E. S. Kochetkova; Biên tập bởi Tiến sĩ Khoa học Vật lý và Toán học O. N. Golovin. - Lần xuất bản thứ 4. Matxcova: Giáo dục, 1969.
4. Đại số học: Proc. cho 9 ô. trung bình trường học / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky.- M.: Khai sáng, 1990.- 272 trang: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
5. Đại số học và phần mở đầu của phân tích: Proc. cho 10-11 ô. giáo dục phổ thông các tổ chức / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn và những người khác; Ed. A. N. Kolmogorova. - Xuất bản lần thứ 14. - M .: Khai sáng, 2004. - 384 trang: Minh họa. - ISBN 5-09-013651-3.
6. Mordkovich A. G.Đại số và sự khởi đầu của phân tích. Lớp 10. Vào lúc 2 giờ chiều Phần 1: sách giáo khoa cho các cơ sở giáo dục (cấp độ hồ sơ) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - Phiên bản thứ 4, thêm. - M.: Mnemosyne, 2007. - 424 p: ốm. ISBN 978-5-346-00792-0.
7. Đại số học và sự khởi đầu của phân tích toán học. Lớp 10: SGK. cho giáo dục phổ thông thể chế: cơ bản và hồ sơ. cấp độ / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; ed. A. B. Zhizhchenko. - Xuất bản lần thứ 3. - I .: Giáo dục, 2010. - 368 tr.: Minh họa - ISBN 978-5-09-022771-1.
8. Bashmakov M.I.Đại số và sự khởi đầu của phân tích: Proc. cho 10-11 ô. trung bình trường học - Xuất bản lần thứ 3. - M.: Khai sáng, 1993. - 351 tr: ốm. - ISBN 5-09-004617-4.
9. Gusev V. A., Mordkovich A. G. Toán học (sách hướng dẫn cho người nộp đơn vào các trường kỹ thuật): Proc. trợ cấp.- M.; Cao hơn school, 1984.-351 p., ill.

Trong bài viết này, chúng ta sẽ có một cái nhìn toàn diện. Các phép đồng dạng lượng giác cơ bản là các phép đồng dạng thiết lập mối quan hệ giữa sin, cosin, tiếp tuyến và cotang của một góc và cho phép bạn tìm bất kỳ hàm lượng giác nào trong số các hàm lượng giác này thông qua một góc khác đã biết.

Chúng tôi ngay lập tức liệt kê các định dạng lượng giác chính, mà chúng tôi sẽ phân tích trong bài viết này. Chúng tôi viết chúng ra một bảng, và dưới đây chúng tôi đưa ra suy ra của các công thức này và đưa ra những giải thích cần thiết.

Điều hướng trang.

Mối quan hệ giữa sin và côsin của một góc

Đôi khi họ không nói về các nhận dạng lượng giác chính được liệt kê trong bảng trên, mà là về một nhận dạng lượng giác cơ bản Tốt bụng . Giải thích cho thực tế này khá đơn giản: các bằng nhau có được từ đồng dạng lượng giác cơ bản sau khi chia cả hai phần của nó cho và tương ứng, và các lượng bằng nhau và theo các định nghĩa của sin, cosine, tiếp tuyến và cotang. Chúng ta sẽ thảo luận chi tiết hơn về vấn đề này trong các đoạn sau.

Đó là, chính đẳng thức được quan tâm đặc biệt, được đặt tên là đồng dạng lượng giác chính.

Trước khi chứng minh đồng dạng lượng giác cơ bản, chúng ta đưa ra công thức của nó: tổng bình phương của sin và côsin của một góc bằng một. Bây giờ chúng ta hãy chứng minh điều đó.

Nhận dạng lượng giác cơ bản rất thường được sử dụng trong biến đổi các biểu thức lượng giác. Nó cho phép thay thế tổng các bình phương của sin và cosine của một góc bằng một góc. Thường xuyên hơn, nhận dạng lượng giác cơ bản được sử dụng theo thứ tự ngược lại: đơn vị được thay thế bằng tổng bình phương của sin và côsin của một góc bất kỳ.

Tiếp tuyến và tọa độ qua sin và côsin

Phép đồng dạng nối tiếp tuyến và phương với sin và côsin của một góc có dạng và ngay lập tức tuân theo các định nghĩa của sin, cosine, tiếp tuyến và cotang. Thật vậy, theo định nghĩa, sin là hoành độ của y, cosin là hoành độ của x, tiếp tuyến là tỷ số của hoành độ với abscissa, nghĩa là , và cotang là tỷ số giữa abscissa và tọa độ, nghĩa là .

Do sự rõ ràng này của danh tính và thường các định nghĩa của tiếp tuyến và cotang không được đưa ra thông qua tỷ số của abscissa và tọa độ, mà thông qua tỷ số của sin và côsin. Vậy tiếp tuyến của một góc là tỉ số giữa sin và côsin của góc này, và côtang là tỉ số giữa côsin và côsin.

Để kết thúc phần này, cần lưu ý rằng danh tính và giữ cho tất cả các góc như vậy mà các hàm lượng giác trong chúng có nghĩa. Vì vậy, công thức hợp lệ cho bất kỳ trường hợp nào khác (nếu không, mẫu số sẽ là 0 và chúng tôi đã không xác định phép chia cho 0) và công thức - cho tất cả, khác với, trong đó z là bất kỳ.

Mối quan hệ giữa tiếp tuyến và cotang

Một dạng lượng giác thậm chí còn rõ ràng hơn hai dạng trước là dạng nối tiếp tuyến và cotang của một góc có dạng . Rõ ràng là nó diễn ra đối với bất kỳ góc nào khác, nếu không thì tiếp tuyến hoặc hình phương không được xác định.

Chứng minh công thức rất đơn giản. Theo định nghĩa và từ đâu . Việc chứng minh có thể được thực hiện theo một cách hơi khác. Kể từ và , sau đó .

Vì vậy, tiếp tuyến và phương của một góc, tại đó chúng có nghĩa, là.

Tỷ số của chân đối diện với cạnh huyền được gọi là sin của một góc nhọn tam giác vuông.

\ sin \ alpha = \ frac (a) (c)

Côsin của một góc nhọn của tam giác vuông

Tỷ số của chân gần nhất với cạnh huyền được gọi là cosin của một góc nhọn tam giác vuông.

\ cos \ alpha = \ frac (b) (c)

Tiếp tuyến của một góc nhọn của tam giác vuông

Tỷ số của chân đối diện với chân liền kề được gọi là góc nhọn tiếp tuyến tam giác vuông.

tg \ alpha = \ frac (a) (b)

Đường gấp khúc của một góc nhọn của tam giác vuông

Tỷ số của chân liền kề với chân đối diện được gọi là cotang của một góc nhọn tam giác vuông.

ctg \ alpha = \ frac (b) (a)

Sin của một góc tùy ý

Tọa độ của điểm trên đường tròn đơn vị mà góc \ alpha tương ứng được gọi là sin của một góc tùy ý xoay vòng \ alpha.

\ sin \ alpha = y

Cosine của một góc tùy ý

Cơ số của một điểm trên đường tròn đơn vị mà góc \ alpha tương ứng được gọi là cosin của một góc tùy ý xoay vòng \ alpha.

\ cos \ alpha = x

Tiếp tuyến của một góc tùy ý

Tỷ số giữa sin của một góc quay tùy ý \ alpha với côsin của nó được gọi là tiếp tuyến của một góc tùy ý xoay vòng \ alpha.

tg \ alpha = y_ (A)

tg \ alpha = \ frac (\ sin \ alpha) (\ cos \ alpha)

Đường đồng mức của một góc tùy ý

Tỷ số giữa cosine của một góc quay tùy ý \ alpha với sin của nó được gọi là cotang của một góc tùy ý xoay vòng \ alpha.

ctg \ alpha = x_ (A)

ctg \ alpha = \ frac (\ cos \ alpha) (\ sin \ alpha)

Một ví dụ về tìm một góc tùy ý

Nếu \ alpha là một góc AOM nào đó, trong đó M là một điểm trên đường tròn đơn vị, thì

\ sin \ alpha = y_ (M), \ cos \ alpha = x_ (M), tg \ alpha = \ frac (y_ (M)) (x_ (M)), ctg \ alpha = \ frac (x_ (M)) (y_ (M)).

Ví dụ, nếu \ angle AOM = - \ frac (\ pi) (4) thì: hoành độ của điểm M là - \ frac (\ sqrt (2)) (2), abscissa là \ frac (\ sqrt (2)) (2) và đó là lý do tại sao

\ sin \ left (- \ frac (\ pi) (4) \ right) = - \ frac (\ sqrt (2)) (2);

\ cos \ left (\ frac (\ pi) (4) \ right) = \ frac (\ sqrt (2)) (2);

tg;

ctg \ left (- \ frac (\ pi) (4) \ right) = - 1.

Bảng giá trị sin của cosin tiếp tuyến của cotang

Giá trị của các góc thường gặp chính được cho trong bảng:

	0 ^ (\ khoanh) (0)	30 ^ (\ circle) \ left (\ frac (\ pi) (6) \ right)	45 ^ (\ circle) \ left (\ frac (\ pi) (4) \ right)	60 ^ (\ circle) \ left (\ frac (\ pi) (3) \ right)	90 ^ (\ circle) \ left (\ frac (\ pi) (2) \ right)	180 ^ (\ khoanh) \ left (\ pi \ right)	270 ^ (\ circle) \ left (\ frac (3 \ pi) (2) \ right)	360 ^ (\ khoanh) \ left (2 \ pi \ right)
\ sin \ alpha	0	\ frac12	\ frac (\ sqrt 2) (2)	\ frac (\ sqrt 3) (2)	1	0	−1	0
\ cos \ alpha	1	\ frac (\ sqrt 3) (2)	\ frac (\ sqrt 2) (2)	\ frac12	0	−1	0	1
tg \ alpha	0	\ frac (\ sqrt 3) (3)	1	\ sqrt3	—	0	—	0
ctg \ alpha	—	\ sqrt3	1	\ frac (\ sqrt 3) (3)	0	—	0	—

Hướng dẫn

Tùy chọn đầu tiên là cổ điển, sử dụng giấy, thước đo góc và bút chì (hoặc bút). Theo định nghĩa, sin góc phố bằng chân đối diện với cạnh huyền của tam giác vuông. Nghĩa là, để tính giá trị, bạn cần sử dụng thước đo góc để dựng một tam giác vuông, một trong các góc của nó bằng góc có sin mà bạn quan tâm. Sau đó đo chiều dài của cạnh huyền và chân đối diện rồi chia thứ hai cho chân thứ nhất với độ chính xác mong muốn.

Lựa chọn thứ hai là trường học. Từ khi đi học, ai cũng nhớ đến “bảng Bradis”, chứa hàng nghìn giá trị lượng giác từ các góc độ khác nhau. Bạn có thể tìm kiếm cả ấn bản giấy và ấn bản điện tử của nó ở định dạng pdf - chúng có sẵn trực tuyến. Sau khi tìm thấy các bảng, hãy tìm giá trị xoang cần thiết góc phố sẽ không khó.

Lựa chọn thứ ba là tốt nhất. Nếu bạn có quyền truy cập, thì bạn có thể sử dụng máy tính Windows tiêu chuẩn. Nó sẽ được chuyển sang chế độ nâng cao. Để thực hiện việc này, trong phần "Xem" của menu, hãy chọn mục "Kỹ thuật". Chế độ xem của máy tính sẽ thay đổi - đặc biệt, nó sẽ xuất hiện các nút để tính các hàm lượng giác. Bây giờ hãy nhập giá trị góc phố, bạn muốn tính sin của ai. Bạn có thể thực hiện việc này bằng cả bàn phím và bằng cách nhấp vào các phím máy tính mong muốn bằng con trỏ chuột. Hoặc bạn có thể chỉ cần dán giá trị bạn cần (CTRL + C và CTRL + V). Sau đó, chọn các đơn vị mà nó sẽ được tính - đối với các hàm lượng giác, chúng có thể là radian, độ hoặc rads. Điều này được thực hiện bằng cách chọn một trong ba giá trị chuyển đổi nằm bên dưới trường đầu vào của giá trị được tính toán. Bây giờ, bằng cách nhấp vào nút có nhãn "tội lỗi", hãy nhận câu trả lời cho câu hỏi của bạn.

Tùy chọn thứ tư là hiện đại nhất. Trong thời đại của Internet, hầu hết mọi vấn đề đều xuất hiện trên mạng. Máy tính trực tuyến của các hàm lượng giác với giao diện thân thiện với người dùng, chức năng nâng cao hơn hoàn toàn không được tìm thấy. Điều tốt nhất trong số họ cung cấp để tính toán không chỉ các giá trị của một hàm đơn lẻ, mà còn cả các biểu thức khá phức tạp từ một số hàm.

Chức năng xoang và đồng xoang thuộc về lĩnh vực toán học, được gọi là lượng giác, và do đó bản thân các hàm được gọi là lượng giác. Theo định nghĩa lâu đời nhất, chúng biểu thị kích thước của một góc nhọn trong tam giác vuông theo tỷ lệ độ dài các cạnh của nó. Tính toán các giá trị xoang và với mức độ phát triển của công nghệ điện tử hiện nay - một việc khá đơn giản.

Bạn sẽ cần

• Máy tính Windows.

Hướng dẫn

Sử dụng để tính toán xoang và góc - phép tính các hàm lượng giác được cung cấp trong hầu hết chúng. Với sự hiện diện của máy tính trong nhiều điện thoại di động, một số thiết bị đeo tay và thiết bị di động khác, chưa kể đến máy tính, đây có lẽ là một cách tính toán hợp lý xoang một. Nếu bạn quyết định sử dụng máy tính phần mềm của máy tính, hãy tìm liên kết để khởi chạy nó trong menu chính của HĐH. Nếu là Windows, nhấn nút Win, chọn "All Programs" từ menu, chuyển đến phần phụ "Accessories" và nhấp vào dòng "Máy tính". Để truy cập các lệnh tính các hàm lượng giác trong ứng dụng đã khởi chạy, nhấn tổ hợp phím Alt + 2.

Nếu ở giá trị ban đầu của góc, xoang mà bạn muốn tính toán được đưa vào, hãy đảm bảo rằng bên cạnh dòng chữ "" trong giao diện máy tính