Sin, côsin, tiếp tuyến: nó là gì? Làm thế nào để tìm sin, côsin và tiếp tuyến? Lượng giác Tìm một góc theo cosin

Ví dụ:

\ (\ cos (⁡30 ^ °) = \) \ (\ frac (\ sqrt (3)) (2) \)
\ (\ cos⁡ \) \ (\ frac (π) (3) \) \ (= \) \ (\ frac (1) (2) \)
\ (\ cos⁡2 = -0,416… \)

Đối số và giá trị

Cosine của một góc nhọn

Cosine của một góc nhọn có thể được xác định bằng cách sử dụng một tam giác vuông - nó bằng tỷ số của chân liền kề với cạnh huyền.

Ví dụ :

1) Cho một góc đã cho và bạn cần xác định cosin của góc này.

2) Hãy hoàn thành bất kỳ tam giác vuông nào trên góc này.

3) Sau khi đo các cạnh cần thiết, chúng ta có thể tính được cosin.

Côsin của một góc nhọn lớn hơn \ (0 \) và nhỏ hơn \ (1 \)

Nếu khi giải bài toán, côsin của một góc nhọn lớn hơn 1 hoặc âm thì ở đâu đó trong lời giải có một sai số.

Cosine của một số

Vòng tròn số cho phép bạn xác định cosin của bất kỳ số nào, nhưng thường tìm cosin của các số bằng cách nào đó có liên quan đến: \ (\ frac (π) (2) \), \ (\ frac (3π) (4) \), \ (- 2π \).

Ví dụ, đối với số \ (\ frac (π) (6) \) - cosine sẽ bằng \ (\ frac (\ sqrt (3)) (2) \). Và đối với số \ (- \) \ (\ frac (3π) (4) \) nó sẽ bằng \ (- \) \ (\ frac (\ sqrt (2)) (2) \) (xấp xỉ \ (-0, 71 \)).

Cosine cho các số khác thường gặp trong thực tế, xem.

Giá trị cosine luôn nằm trong khoảng từ \ (- 1 \) đến \ (1 \). Trong trường hợp này, côsin có thể được tính cho hoàn toàn bất kỳ góc và số nào.

Cosine của bất kỳ góc nào

Nhờ vào vòng tròn số, có thể xác định được cosin không chỉ của một góc nhọn mà còn cả góc tù, âm và thậm chí lớn hơn \ (360 ° \) (toàn lượt). Cách thực hiện - nhìn một lần thì dễ hơn nghe \ (100 \) lần, vì vậy hãy nhìn vào hình.

Bây giờ một lời giải thích: cần phải xác định cosin của góc KOA với thước đo độ trong \ (150 ° \). Chúng tôi kết hợp điểm XUNG QUANH với tâm của vòng tròn và bên VÂNG- với trục \ (x \). Sau đó, đặt sang một bên \ (150 ° \) ngược chiều kim đồng hồ. Sau đó, tọa độ của điểm NHƯNG sẽ cho chúng ta thấy côsin của góc này.

Nếu chúng ta quan tâm đến một góc có số đo độ, ví dụ: tính bằng \ (-60 ° \) (góc KOV), chúng tôi cũng làm như vậy, nhưng \ (60 ° \) đặt sang một bên theo chiều kim đồng hồ.

Và cuối cùng, góc lớn hơn \ (360 ° \) (góc KOS) - mọi thứ tương tự như cùn, chỉ sau khi vượt qua hết một vòng theo chiều kim đồng hồ, chúng ta đi đến vòng thứ hai và “thiếu độ”. Cụ thể, trong trường hợp của chúng tôi, góc \ (405 ° \) được vẽ bằng \ (360 ° + 45 ° \).

Có thể dễ dàng đoán rằng để dành một góc, chẳng hạn như ở \ (960 ° \), bạn cần thực hiện hai lượt (\ (360 ° + 360 ° + 240 ° \)) và để có một góc bằng \ (2640 ° \) - cả bảy.

Cần nhớ rằng:

Côsin của một góc vuông bằng không. Côsin của một góc tù là âm.

Dấu hiệu cosine trong các phần tư

Sử dụng trục cosine (tức là trục abscissa, được tô màu đỏ trong hình), có thể dễ dàng xác định các dấu hiệu của cosin dọc theo một vòng tròn số (lượng giác):

Trong đó các giá trị trên trục từ \ (0 \) đến \ (1 \), cosin sẽ có dấu cộng (phần I và IV là vùng màu xanh lục),
- trong đó các giá trị trên trục từ \ (0 \) đến \ (- 1 \), cosin sẽ có dấu trừ (phần tư II và III - vùng màu tím).

Ví dụ. Xác định dấu hiệu \ (\ cos 1 \).
Giải pháp: Hãy tìm \ (1 \) trên đường tròn lượng giác. Chúng ta sẽ bắt đầu từ thực tế là \ (π \ u003d 3,14 \). Điều này có nghĩa là một gần gần hơn ba lần với 0 (điểm "bắt đầu").

Nếu chúng ta vẽ một đường vuông góc với trục cosine, rõ ràng là \ (\ cos⁡1 \) là số dương.
Trả lời: thêm.

Liên quan đến các hàm lượng giác khác:

- cùng một góc (hoặc một số): nhận dạng lượng giác cơ bản \ (\ sin ^ 2⁡x + \ cos ^ 2⁡x = 1 \)
- cùng một góc (hoặc một số): theo công thức \ (1 + tg ^ 2⁡x = \) \ (\ frac (1) (\ cos ^ 2⁡x) \)
- và sin của cùng một góc (hoặc số): \ (ctgx = \) \ (\ frac (\ cos (x)) (\ sin⁡x) \)
Xem các công thức thông dụng nhất khác.

Hàm \ (y = \ cos (x) \)

Nếu chúng ta vẽ biểu đồ các góc theo radian dọc theo trục \ (x \) và các giá trị cosin \ u200b \ u200b tương ứng với các góc này dọc theo trục \ (y \), chúng ta sẽ nhận được đồ thị sau:

Đồ thị này được gọi và có các đặc tính sau:

Miền định nghĩa là bất kỳ giá trị nào của x: \ (D (\ cos (⁡x)) = R \)
- phạm vi giá trị - từ \ (- 1 \) đến \ (1 \) bao gồm: \ (E (\ cos (x)) = [- 1; 1] \)
- chẵn: \ (\ cos⁡ (-x) = \ cos (x) \)
- tuần hoàn với chu kỳ \ (2π \): \ (\ cos⁡ (x + 2π) = \ cos (x) \)
- điểm giao nhau với các trục tọa độ:
abscissa: \ ((\) \ (\ frac (π) (2) \) \ (+ πn \), \ (; 0) \), trong đó \ (n ϵ Z \)
trục y: \ ((0; 1) \)
- khoảng ký tự:
hàm là tích cực trên các khoảng: \ ((- \) \ (\ frac (π) (2) \) \ (+ 2πn; \) \ (\ frac (π) (2) \) \ (+ 2πn) \), ở đâu \ (n ϵ Z \)
hàm là âm trên các khoảng: \ ((\) \ (\ frac (π) (2) \) \ (+ 2πn; \) \ (\ frac (3π) (2) \) \ (+ 2πn) \ ), ở đâu \ (n ϵ Z \)
- khoảng thời gian tăng và giảm:
hàm tăng trên các khoảng: \ ((π + 2πn; 2π + 2πn) \), trong đó \ (n ϵ Z \)
hàm giảm trong các khoảng: \ ((2πn; π + 2πn) \), trong đó \ (n ϵ Z \)
- cực đại và cực tiểu của hàm:
hàm có giá trị lớn nhất \ (y = 1 \) tại các điểm \ (x = 2πn \), trong đó \ (n ϵ Z \)
hàm có giá trị nhỏ nhất \ (y = -1 \) tại các điểm \ (x = π + 2πn \), trong đó \ (n ϵ Z \).

Như bạn thấy, vòng tròn này được xây dựng trong hệ tọa độ Descartes. Bán kính của đường tròn bằng một, trong khi tâm của đường tròn nằm tại điểm gốc, vị trí ban đầu của vectơ bán kính được cố định dọc theo chiều dương của trục (trong ví dụ của chúng ta, đây là bán kính).

Mỗi điểm của đường tròn tương ứng với hai số: tọa độ dọc theo trục và tọa độ dọc theo trục. Những số tọa độ này là gì? Và nói chung, họ phải làm gì với chủ đề đang bàn? Để làm điều này, hãy nhớ về tam giác vuông cân. Trong hình trên, bạn có thể thấy hai tam giác vuông. Xét một tam giác. Nó là hình chữ nhật vì nó vuông góc với trục.

Bằng gì từ một tam giác? Đúng rồi. Ngoài ra, chúng ta biết rằng đó là bán kính của hình tròn đơn vị, và do đó,. Thay giá trị này vào công thức cosine của chúng tôi. Đây là những gì sẽ xảy ra:

Và những gì bằng từ một tam giác? Tất nhiên, ! Thay giá trị của bán kính vào công thức này và nhận được:

Vì vậy, bạn có thể cho tôi biết tọa độ của một điểm thuộc đường tròn là gì? Chà, không có cách nào? Và nếu bạn nhận ra điều đó và chỉ là những con số? Nó tương ứng với tọa độ nào? Vâng, tất nhiên, sự phối hợp! Nó tương ứng với tọa độ nào? Đúng vậy, phối hợp! Như vậy, điểm.

Và những gì sau đó là bằng nhau và? Đúng vậy, chúng ta hãy sử dụng các định nghĩa thích hợp của tiếp tuyến và cotang và nhận được điều đó, a.

Nếu góc lớn hơn thì sao? Đây, ví dụ, như trong hình này:

Điều gì đã thay đổi trong ví dụ này? Hãy tìm ra nó. Để làm điều này, chúng tôi một lần nữa chuyển sang một tam giác vuông. Xét một tam giác vuông: một góc (như kề với một góc). Giá trị của sin, côsin, tiếp tuyến và cotang của một góc là? Đúng vậy, chúng ta tuân theo các định nghĩa tương ứng của các hàm lượng giác:

Như bạn thấy, giá trị sin của góc vẫn tương ứng với tọa độ; giá trị của côsin của góc - tọa độ; và các giá trị của tiếp tuyến và phương của các tỷ số tương ứng. Do đó, các quan hệ này có thể áp dụng cho bất kỳ phép quay nào của vectơ bán kính.

Người ta đã đề cập rằng vị trí ban đầu của vectơ bán kính là dọc theo chiều dương của trục. Cho đến nay chúng ta đã quay vectơ này ngược chiều kim đồng hồ, nhưng điều gì sẽ xảy ra nếu chúng ta xoay nó theo chiều kim đồng hồ? Không có gì phi thường, bạn cũng sẽ nhận được một góc có kích thước nhất định, nhưng chỉ nó sẽ là tiêu cực. Do đó, khi quay vectơ bán kính ngược chiều kim đồng hồ, chúng ta nhận được góc tích cực và khi xoay theo chiều kim đồng hồ - phủ định.

Vì vậy, chúng ta biết rằng toàn bộ vòng quay của vectơ bán kính xung quanh đường tròn là hoặc. Có thể quay vectơ bán kính bằng hay không? Vâng, tất nhiên bạn có thể! Do đó, trong trường hợp đầu tiên, vectơ bán kính sẽ thực hiện một vòng quay hoàn toàn và dừng lại ở vị trí hoặc.

Trong trường hợp thứ hai, nghĩa là, vectơ bán kính sẽ thực hiện ba vòng quay hoàn toàn và dừng lại ở vị trí hoặc.

Như vậy, từ các ví dụ trên, chúng ta có thể kết luận rằng các góc khác nhau hoặc (với bất kỳ số nguyên nào) tương ứng với cùng một vị trí của vectơ bán kính.

Hình dưới đây cho thấy một góc. Cùng một hình ảnh tương ứng với góc, v.v. Danh sách này có thể được tiếp tục vô thời hạn. Tất cả các góc này có thể được viết bằng công thức chung hoặc (ở đâu là bất kỳ số nguyên nào)

Bây giờ, khi biết định nghĩa của các hàm lượng giác cơ bản và sử dụng vòng tròn đơn vị, hãy thử trả lời các giá trị \ u200b \ u200b bằng:

Đây là một vòng tròn đơn vị để giúp bạn:

Có khó khăn gì không? Sau đó, chúng ta hãy tìm ra nó. Vì vậy, chúng tôi biết rằng:

Từ đây ta xác định được toạ độ của các điểm ứng với các số đo của góc nào đó. Vâng, hãy bắt đầu theo thứ tự: góc tại tương ứng với một điểm có tọa độ, do đó:

Không tồn tại;

Hơn nữa, tuân theo cùng một logic, chúng tôi phát hiện ra rằng các góc tương ứng với các điểm có tọa độ, tương ứng. Biết được điều này, ta dễ dàng xác định được giá trị của các hàm số lượng giác tại các điểm tương ứng. Hãy tự mình thử trước, sau đó kiểm tra câu trả lời.

Câu trả lời:

Không tồn tại

Không tồn tại

Không tồn tại

Không tồn tại

Do đó, chúng ta có thể lập bảng sau:

Không cần thiết phải nhớ tất cả các giá trị này. Chỉ cần nhớ sự tương ứng giữa tọa độ của các điểm trên đường tròn đơn vị và giá trị của các hàm lượng giác là đủ:

Nhưng các giá trị \ u200b \ u200 của hàm lượng giác của các góc trong và, được cho trong bảng dưới đây, phải được ghi nhớ:

Đừng sợ, bây giờ chúng tôi sẽ đưa ra một trong những ví dụ ghi nhớ khá đơn giản các giá trị tương ứng:

Để sử dụng phương pháp này, điều quan trọng là phải nhớ các giá trị của sin cho cả ba số đo của góc (), cũng như giá trị của tiếp tuyến của góc trong. Biết các giá trị này, khá dễ dàng để khôi phục toàn bộ bảng - các giá trị cosine được chuyển theo các mũi tên, nghĩa là:

Biết được điều này, bạn có thể khôi phục các giá trị cho. Tử số "" sẽ khớp và mẫu số "" sẽ khớp. Các giá trị Cotangent được chuyển theo các mũi tên được hiển thị trong hình. Nếu bạn hiểu điều này và nhớ sơ đồ với các mũi tên, thì sẽ đủ để nhớ toàn bộ giá trị từ bảng.

Tọa độ của một điểm trên đường tròn

Có thể tìm thấy một điểm (tọa độ của nó) trên một đường tròn không, biết tọa độ tâm đường tròn, bán kính và góc quay?

Vâng, tất nhiên bạn có thể! Hãy mang ra ngoài công thức chung để tìm tọa độ của một điểm.

Ví dụ ở đây, chúng ta có một vòng kết nối như vậy:

Chúng ta đã cho rằng điểm là tâm của đường tròn. Bán kính của hình tròn bằng nhau. Cần tìm tọa độ của điểm thu được bằng cách quay điểm theo độ.

Như hình vẽ, tọa độ của điểm tương ứng với độ dài của đoạn thẳng. Độ dài của đoạn thẳng tương ứng với tọa độ của tâm đường tròn, nghĩa là nó bằng. Độ dài của một đoạn có thể được biểu thị bằng cách sử dụng định nghĩa của cosin:

Sau đó, chúng tôi có điều đó cho điểm tọa độ.

Theo logic tương tự, chúng ta tìm giá trị của tọa độ y cho điểm. Theo cách này,

Vì vậy, nói chung, tọa độ của điểm được xác định theo công thức:

Tọa độ tâm đường tròn,

bán kính vòng tròn,

Góc quay của vectơ bán kính.

Như bạn có thể thấy, đối với vòng tròn đơn vị mà chúng ta đang xem xét, các công thức này bị giảm đáng kể, vì tọa độ của tâm bằng 0 và bán kính bằng một:

Chà, chúng ta cùng thử những công thức này xem sao, tập tìm điểm trên đường tròn xem sao?

1. Tìm tọa độ của một điểm trên đường tròn đơn vị có được bằng cách quay một điểm.

2. Tìm tọa độ của một điểm trên đường tròn đơn vị có được khi quay một điểm trên.

3. Tìm tọa độ của một điểm trên một đường tròn đơn vị có được khi quay một điểm.

4. Điểm - tâm của đường tròn. Bán kính của hình tròn bằng nhau. Cần tìm tọa độ của điểm có được bằng cách quay vectơ bán kính ban đầu bằng.

5. Điểm - tâm của đường tròn. Bán kính của hình tròn bằng nhau. Cần tìm tọa độ của điểm có được bằng cách quay vectơ bán kính ban đầu bằng.

Bạn gặp khó khăn khi tìm tọa độ của một điểm trên đường tròn?

Giải quyết năm ví dụ này (hoặc hiểu rõ lời giải) và bạn sẽ học cách tìm ra chúng!

1.

Có thể thấy rằng. Và chúng ta biết những gì tương ứng với một vòng quay đầy đủ của điểm xuất phát. Như vậy, điểm mong muốn sẽ ở cùng vị trí như khi quay sang. Biết được điều này, chúng ta tìm được tọa độ mong muốn của điểm:

2. Hình tròn là đơn vị với tâm tại một điểm, có nghĩa là chúng ta có thể sử dụng các công thức đơn giản hóa:

Có thể thấy rằng. Chúng ta biết những gì tương ứng với hai phép quay hoàn toàn của điểm bắt đầu. Như vậy, điểm mong muốn sẽ ở cùng vị trí như khi quay sang. Biết được điều này, chúng ta tìm được tọa độ mong muốn của điểm:

Sine và cosine là các giá trị dạng bảng. Chúng tôi ghi nhớ các giá trị của họ và nhận được:

Như vậy, điểm mong muốn có tọa độ.

3. Hình tròn là đơn vị với tâm tại một điểm, có nghĩa là chúng ta có thể sử dụng các công thức đơn giản hóa:

Có thể thấy rằng. Hãy mô tả ví dụ được xem xét trong hình:

Bán kính tạo thành các góc với trục bằng và. Biết rằng các giá trị dạng bảng của cosin và sin bằng nhau, và khi xác định rằng cosin ở đây nhận giá trị âm và sin là dương, chúng ta có:

Các ví dụ tương tự được chúng tôi phân tích chi tiết hơn khi học các công thức tính rút gọn hàm số lượng giác trong chuyên đề.

Như vậy, điểm mong muốn có tọa độ.

4.

Góc quay của vectơ bán kính (theo điều kiện)

Để xác định các dấu hiệu tương ứng của sin và côsin, chúng ta xây dựng một đường tròn đơn vị và một góc:

Như bạn có thể thấy, giá trị, nghĩa là dương và giá trị, nghĩa là, âm. Biết các giá trị dạng bảng của các hàm lượng giác tương ứng, chúng ta thu được:

Hãy thay các giá trị thu được vào công thức của chúng tôi và tìm tọa độ:

Như vậy, điểm mong muốn có tọa độ.

5. Để giải quyết vấn đề này, chúng tôi sử dụng các công thức ở dạng tổng quát, trong đó

Tọa độ của tâm hình tròn (trong ví dụ của chúng tôi,

Bán kính vòng tròn (theo điều kiện)

Góc quay của vectơ bán kính (theo điều kiện).

Thay thế tất cả các giá trị vào công thức và nhận được:

và - giá trị bảng. Chúng tôi ghi nhớ và thay thế chúng vào công thức:

Như vậy, điểm mong muốn có tọa độ.

TÓM TẮT VÀ CÔNG THỨC CƠ BẢN

Sin của một góc là tỷ số của chân đối diện (xa) với cạnh huyền.

Côsin của một góc là tỷ số giữa chân liền kề (gần) với cạnh huyền.

Tiếp tuyến của một góc là tỷ số của chân đối diện (xa) với chân kề (gần).

Cotang của một góc là tỷ số giữa chân liền kề (gần) và chân đối diện (xa).

SỬ DỤNG cho 4? Bạn không phải đang vỡ òa trong hạnh phúc sao?

Câu hỏi, như họ nói, rất thú vị ... Bạn có thể, bạn có thể vượt qua 4! Và đồng thời không được xông… Điều kiện chính là phải thường xuyên luyện tập. Đây là sự chuẩn bị cơ bản cho kỳ thi môn Toán. Với tất cả những bí mật và bí ẩn của Kỳ thi Quốc gia Thống nhất, mà bạn sẽ không được đọc trong sách giáo khoa ... Hãy nghiên cứu phần này, giải quyết nhiều nhiệm vụ hơn từ nhiều nguồn khác nhau - và mọi thứ sẽ ổn thỏa! Người ta cho rằng phần cơ bản "Đủ cho bạn và ba!" không gây ra bất kỳ vấn đề cho bạn. Nhưng nếu đột nhiên ... Theo dõi các liên kết, đừng lười biếng!

Và chúng ta sẽ bắt đầu với một chủ đề tuyệt vời và khủng khiếp.

Lượng giác

Chú ý!
Có bổ sung
vật liệu trong Phần đặc biệt 555.
Đối với những người mạnh mẽ "không ..."
Và cho những người "rất nhiều ...")

Chủ đề này đưa ra rất nhiều vấn đề cho học sinh. Nó được coi là một trong những nghiêm trọng nhất. Sin và côsin là gì? Tiếp tuyến và cotang là gì? Một vòng tròn số là gì? Thật đáng để hỏi những câu hỏi vô hại này, khi một người tái mặt và cố gắng chuyển hướng cuộc trò chuyện sang một bên ... Nhưng vô ích. Đây là những khái niệm đơn giản. Và chủ đề này không khó hơn những chủ đề khác. Bạn chỉ cần hiểu rõ ràng câu trả lời cho những câu hỏi này ngay từ đầu. Rất quan trọng. Nếu bạn đã tìm ra nó, bạn sẽ thích lượng giác. Cho nên,

Sin và côsin là gì? Tiếp tuyến và cotang là gì?

Hãy bắt đầu từ thời cổ đại. Đừng lo lắng, chúng ta sẽ đi qua tất cả 20 thế kỷ lượng giác trong 15 phút. Và, không thể nhận ra đối với bản thân, chúng ta sẽ nhắc lại một phần hình học từ lớp 8.

Vẽ một tam giác vuông với các cạnh a, b, c và góc X. Đây là một.

Hãy để tôi nhắc bạn rằng các cạnh tạo thành một góc vuông được gọi là chân. a và c- giày trượt. Có hai trong số họ. Mặt còn lại được gọi là cạnh huyền. từ- cạnh huyền.

Hình tam giác và hình tam giác, hãy suy nghĩ về nó! Làm gì với anh ta? Nhưng người xưa biết phải làm sao! Hãy lặp lại hành động của họ. Hãy đo bên trong. Trong hình, các ô được vẽ đặc biệt, như nó xảy ra trong các nhiệm vụ của kỳ thi. Bên trong bằng bốn ô. VÂNG. Hãy đo bên Nhưng. Ba ô.

Bây giờ chúng ta hãy chia độ dài của cạnh Nhưng chiều dài mỗi cạnh trong. Hoặc, như họ nói, chúng ta hãy lấy tỷ lệ Nhưngđến trong. AC= 3/4.

Ngoài ra, bạn có thể chia sẻ trong trên Nhưng. Chúng tôi nhận được 4/3. Có thể trong chia cho từ. cạnh huyền từ không tính theo ô, nhưng nó bằng 5. Chúng tôi nhận được AC= 4/5. Tóm lại, bạn có thể chia độ dài của các cạnh cho nhau và nhận được một số con số.

Vậy thì sao? Ý nghĩa của hoạt động thú vị này là gì? Cho đến nay không có. Thành thật mà nói, một việc làm ngu ngốc.)

Và bây giờ chúng ta hãy làm điều này. Hãy phóng to hình tam giác. Hãy mở rộng các bên đến và đi, nhưng sao cho tam giác vẫn là góc vuông. Mũi tiêm X, tất nhiên, không thay đổi. Để xem, hãy di chuột qua ảnh hoặc chạm vào ảnh (nếu bạn có máy tính bảng). Các bữa tiệc a, b và c trở thành m, n, k, và tất nhiên, độ dài của các cạnh sẽ thay đổi.

Nhưng mối quan hệ của họ thì không!

Thái độ ACĐó là: AC= 3/4, đã trở thành m / n= 6/8 = 3/4. Mối quan hệ của các bên liên quan khác cũng sẽ không thay đổi . Bạn có thể tùy ý thay đổi độ dài các cạnh trong tam giác vuông, tăng, giảm, mà không thay đổi góc x – mối quan hệ của các bên tương ứng sẽ không thay đổi . Bạn có thể kiểm tra, hoặc bạn có thể lấy chữ của cổ nhân.

Bây giờ điều này là rất quan trọng! Tỉ số các cạnh trong tam giác vuông không phụ thuộc vào độ dài các cạnh (đối với cùng một góc). Điều này quan trọng đến mức mối quan hệ của các bên đã được đặt tên đặc biệt. Tên của họ, có thể nói.) Làm quen.

Sin của góc x là bao nhiêu ? Đây là tỷ số của chân đối diện với cạnh huyền:

sinx = a / c

Côsin của góc x là bao nhiêu ? Đây là tỷ lệ của chân liền kề với cạnh huyền:

từosx= AC

Tiếp tuyến của góc x là gì ? Đây là tỷ lệ của chân đối diện với chân liền kề:

tgx =AC

Cotang của góc x là gì ? Đây là tỷ lệ của chân liền kề với đối diện:

ctgx = in / a

Mọi thứ rất đơn giản. Sin, cosin, tiếp tuyến và cotang là một số. Không thứ nguyên. Chỉ là những con số. Đối với mỗi góc - của riêng họ.

Tại sao tôi lặp lại chính mình một cách nhàm chán? Thế nó là gì cần phải nhớ. Trớ trêu thay nhớ lại. Việc ghi nhớ có thể được thực hiện dễ dàng hơn. Câu nói "Hãy bắt đầu từ xa ..." có quen không? Vì vậy, hãy bắt đầu từ xa.

Xoang góc là tỷ lệ xa xôi từ góc của chân đến cạnh huyền. Cô sin là tỷ số của cạnh huyền gần nhất.

Đường tiếp tuyến góc là tỷ lệ xa xôi từ góc của ống thông với độ gần nhất. Cotangent- ngược lại.

Đã dễ dàng hơn, phải không?

Chà, nếu bạn nhớ rằng chỉ có chân mới nằm trong tiếp tuyến và phương diện, còn cạnh huyền xuất hiện trong sin và côsin, thì mọi thứ sẽ trở nên khá đơn giản.

Toàn bộ gia đình vinh quang này - sin, cosine, tiếp tuyến và cotang còn được gọi là hàm lượng giác.

Và bây giờ là một câu hỏi để xem xét.

Tại sao chúng ta nói sin, cosine, tiếp tuyến và cotang góc? Chúng ta đang nói về mối quan hệ của các bên, như ... Nó liên quan gì đến mũi tiêm?

Hãy nhìn vào bức tranh thứ hai. Chính xác giống như cái đầu tiên.

Di chuột qua hình ảnh. Tôi đã thay đổi góc X. phóng to nó từ x đến x. Tất cả các mối quan hệ đã thay đổi! Thái độ AC là 3/4 và tỷ lệ tương ứng t / trongđã trở thành 6/4.

Và tất cả các mối quan hệ khác đã trở nên khác biệt!

Do đó, tỷ số của các cạnh không phụ thuộc bất kỳ cách nào vào độ dài của chúng (ở một góc x), mà phụ thuộc rất nhiều vào chính góc này! Và chỉ từ anh ấy. Do đó, các thuật ngữ sin, cosin, tiếp tuyến và cotang đề cập đến góc. Góc ở đây là góc chính.

Điều trớ trêu là phải hiểu rằng góc gắn bó chặt chẽ với các hàm lượng giác của nó. Mỗi góc có sin và côsin riêng của nó. Và hầu như tất cả mọi người đều có tiếp tuyến và cotang của riêng họ. Nó quan trọng. Người ta tin rằng nếu chúng ta được cho một góc, thì sin, cosin, tiếp tuyến và cotang của nó chúng tôi biết ! Và ngược lại. Cho một hàm sin hoặc bất kỳ hàm lượng giác nào khác, khi đó chúng ta biết góc.

Có những bảng đặc biệt trong đó các hàm lượng giác của nó được viết cho mỗi góc. Các bảng Bradys được gọi. Chúng đã được thực hiện trong một thời gian rất dài. Trở lại khi chưa có máy tính hay máy tính ...

Tất nhiên, không thể ghi nhớ các hàm lượng giác của tất cả các góc. Bạn chỉ cần biết chúng ở một vài góc độ, sau này sẽ nói thêm về điều đó. Nhưng câu thần chú Tôi biết một góc, vì vậy tôi biết các hàm lượng giác của nó "- luôn hoạt động!

Vì vậy, chúng tôi đã lặp lại một phần của hình học từ lớp 8. Chúng ta có cần nó cho kỳ thi không? Cần thiết. Đây là một vấn đề điển hình từ kỳ thi. Đối với các giải pháp trong đó lớp 8 là đủ. Hình ảnh đã cho:

Mọi điều. Không có thêm dữ liệu. Chúng ta cần tìm độ dài của chân BC.

Các ô giúp ít, hình tam giác bằng cách nào đó được định vị không chính xác .... Theo chủ ý, tôi đoán ... Từ thông tin có độ dài của cạnh huyền. 8 ô. Vì một số lý do, một góc được đưa ra.

Đến đây chúng ta phải nhớ ngay đến lượng giác. Có một góc, vì vậy chúng ta biết tất cả các hàm lượng giác của nó. Chức năng nào trong số bốn chức năng nên được đưa vào hoạt động? Hãy xem những gì chúng ta biết, phải không? Chúng ta biết cạnh huyền, góc, nhưng chúng ta cần tìm liền kềđến catet góc này! Rõ ràng, cosine cần phải được đưa vào hoạt động! Ở đây chúng tôi đang khởi chạy. Chúng tôi chỉ viết, theo định nghĩa của cosine (tỷ lệ liền kề chân đến cạnh huyền):

cosC = BC / 8

Góc C là 60 độ và cosin của nó là 1/2. Bạn cần biết điều này, không cần bàn! Đó là:

1/2 = mặt trời / 8

Phương trình tuyến tính cơ bản. Không xác định - mặt trời. Ai quên cách giải phương trình thì vào link, phần còn lại giải:

sun = 4

Khi người xưa nhận ra rằng mỗi góc có một tập hợp hàm lượng giác riêng, họ đã có một câu hỏi hợp lý. Chẳng phải sin, cosin, tiếp tuyến và cotang bằng cách nào đó có liên quan với nhau? Vì vậy, biết một chức năng của góc, bạn có thể tìm thấy phần còn lại? Mà không cần tính góc của chính nó?

Đó là cách họ bồn chồn ...)

Liên hệ giữa các hàm lượng giác của một góc.

Tất nhiên, sin, cosin, tiếp tuyến và cotang của cùng một góc có liên quan với nhau. Bất kỳ mối liên hệ nào giữa các biểu thức được đưa ra trong toán học bởi các công thức. Trong lượng giác, có rất nhiều công thức. Nhưng ở đây chúng ta sẽ xem xét những cái cơ bản nhất. Các công thức này được gọi là: các phép đồng dạng lượng giác cơ bản. Họ đây rồi:

Các công thức này cần biết sắt. Không có chúng, không có gì để làm trong lượng giác cả. Ba danh tính phụ khác theo sau từ các danh tính cơ bản sau:

Tôi ngay lập tức cảnh báo bạn rằng ba công thức cuối cùng nhanh chóng bị mất trí nhớ. Vì một số lý do.) Tất nhiên, bạn có thể suy ra các công thức này từ ba công thức đầu tiên. Nhưng, trong một thời điểm khó khăn ... Bạn hiểu đấy.)

Trong các tác vụ tiêu chuẩn chẳng hạn như những tác vụ dưới đây, có một cách để giải quyết những công thức đáng quên này. VÀ giảm đáng kể lỗi vì hay quên, và cả trong tính toán nữa. Phần luyện tập này thuộc Tiết 555, bài "Liên hệ giữa các hàm số lượng giác của một góc".

Các phép đồng dạng lượng giác cơ bản được sử dụng trong những công việc gì và như thế nào? Nhiệm vụ phổ biến nhất là tìm một số chức năng của góc, nếu một góc khác được đưa ra. Trong kỳ thi, nhiệm vụ này xuất hiện từ năm này sang năm khác.) Ví dụ:

Tìm giá trị của sinx nếu x là góc nhọn và cosx = 0,8.

Nhiệm vụ gần như là sơ đẳng. Chúng tôi đang tìm kiếm một công thức trong đó có sin và cosine. Đây là công thức:

sin 2 x + cos 2 x = 1

Chúng tôi thay thế ở đây một giá trị đã biết, cụ thể là 0,8 thay vì cosin:

sin 2 x + 0,8 2 = 1

Chà, chúng tôi coi, như thường lệ:

sin 2 x + 0,64 = 1

sin 2 x \ u003d 1 - 0,64

Ở đây, hầu hết mọi thứ. Chúng tôi đã tính bình phương của sin, nó vẫn còn để trích xuất căn bậc hai và câu trả lời đã sẵn sàng! Căn của 0,36 là 0,6.

Nhiệm vụ gần như là sơ đẳng. Nhưng từ "gần như" không phải là vô ích ở đây ... Thực tế là câu trả lời sinx = - 0,6 cũng phù hợp ... (-0,6) 2 cũng sẽ là 0,36.

Hai câu trả lời khác nhau thu được. Và bạn cần một cái. Điều thứ hai là sai. Làm sao để!? Vâng, như thường lệ.) Đọc kỹ bài tập. Vì lý do nào đó nó nói ... nếu x là một góc nhọn ... Và trong nhiệm vụ, mỗi từ đều có nghĩa, có ... Cụm từ này là thông tin bổ sung cho giải pháp.

Góc nhọn là góc nhỏ hơn 90 °. Và ở những góc độ như vậy tất cả các hàm lượng giác - cả sin và cosin, và tiếp tuyến với cotang - tích cực. Những, cái đó. chúng tôi chỉ cần loại bỏ câu trả lời phủ định ở đây. Chúng tôi có quyền.

Thực ra, học sinh lớp 8 không cần sự tinh tế như vậy. Chúng chỉ hoạt động với các hình tam giác vuông, trong đó các góc chỉ có thể là góc nhọn. Và họ không biết, những người hạnh phúc, rằng có những góc âm và góc 1000 ° ... Và tất cả những góc ác mộng này đều có các hàm lượng giác của riêng chúng với cả cộng và trừ ...

Nhưng đối với học sinh trung học mà không tính đến dấu hiệu - không có cách nào. Nhiều kiến ​​thức nhân lên những nỗi buồn, vâng ...) Và để có lời giải chính xác, bài tập phải có thêm thông tin (nếu cần). Ví dụ, nó có thể được đưa ra là:

Hoặc một số cách khác. Bạn sẽ thấy trong các ví dụ bên dưới.) Để giải quyết các ví dụ như vậy, bạn cần biết Góc x đã cho rơi vào phần tư nào và dấu của hàm số lượng giác mong muốn trong phần tư này.

Những điều cơ bản về lượng giác sẽ được thảo luận trong các bài học Đường tròn lượng giác là gì, cách đếm các góc trên đường tròn này, số đo radian của một góc. Đôi khi bạn cũng cần biết bảng sin của cosin của tiếp tuyến và cotang.

Vì vậy, hãy lưu ý điều quan trọng nhất:

Những mẹo có ích:

1. Ghi nhớ các định nghĩa của sin, côsin, tiếp tuyến và cotang. Rất hữu dụng.

2. Chúng ta đồng hóa rõ ràng: sin, cosin, tiếp tuyến và cotang liên kết chắc chắn với nhau bằng các góc. Chúng tôi biết một điều, vì vậy chúng tôi biết điều gì đó khác.

3. Chúng ta đồng hóa rõ ràng: sin, cosin, tiếp tuyến và cotang của một góc được liên kết với nhau bằng các đồng dạng lượng giác cơ bản. Chúng ta biết một hàm, có nghĩa là chúng ta có thể (nếu chúng ta có thông tin bổ sung cần thiết) tính toán tất cả các hàm khác.

Và bây giờ hãy quyết định, như thường lệ. Đầu tiên, các nhiệm vụ trong tập của lớp 8. Nhưng học sinh trung học cũng có thể ...)

1. Tính giá trị của tgA nếu ctgA = 0,4.

2. β - góc trong tam giác vuông. Tìm giá trị của tgβ nếu sinβ = 12/13.

3. Xác định sin của một góc nhọn x nếu tgx \ u003d 4/3.

4. Tìm giá trị của một biểu thức:

6 giây 2 5 ° - 3 + 6cos 2 5 °

5. Tìm giá trị của một biểu thức:

(1-cosx) (1 + cosx), nếu sinx = 0,3

Các câu trả lời (phân tách bằng dấu chấm phẩy, không theo thứ tự):

0,09; 3; 0,8; 2,4; 2,5

Đã xảy ra? Tốt! Học sinh lớp tám đã có thể theo điểm A. của họ.)

Không phải mọi thứ đã diễn ra như thế nào? Nhiệm vụ 2 và 3 bằng cách nào đó không phải là ...? Không vấn đề! Có một kỹ thuật tuyệt vời cho những nhiệm vụ như vậy. Mọi thứ đều được quyết định, thực tế, không có công thức nào cả! Và, do đó, không có lỗi. Kỹ thuật này được mô tả trong bài học: "Liên hệ giữa các hàm số lượng giác của một góc" ở Tiết 555. Tất cả các nhiệm vụ khác cũng được tháo rời ở đó.

Đây là những vấn đề giống như Kỳ thi Trạng thái Thống nhất, nhưng trong một phiên bản rút gọn. SỬ DỤNG - nhẹ). Và bây giờ gần như các nhiệm vụ tương tự, nhưng ở dạng chính thức. Dành cho học sinh trung học nặng về kiến ​​thức.)

6. Tìm giá trị của tgβ nếu sinβ = 12/13 và

7. Xác định sinx nếu tgx = 4/3, và x thuộc khoảng (- 540 °; - 450 °).

8. Tìm giá trị của biểu thức sinβ cosβ nếu ctgβ = 1.

Các câu trả lời (lộn xộn):

0,8; 0,5; -2,4.

Ở đây, trong bài toán 6, góc được đưa ra bằng cách nào đó không rõ ràng lắm ... Nhưng trong bài toán 8, nó không được đặt ở tất cả! Có chủ đích). Thông tin bổ sung không chỉ được lấy từ nhiệm vụ, mà còn từ người đứng đầu.) Nhưng nếu bạn quyết định, một nhiệm vụ chính xác sẽ được đảm bảo!

Nếu bạn chưa quyết định thì sao? Ừm ... À, Phần 555 sẽ giúp ở đây. Ở đó, các giải pháp cho tất cả các nhiệm vụ này được mô tả chi tiết, thật khó hiểu.

Trong bài học này, một khái niệm rất hạn chế về các hàm số lượng giác được đưa ra. Trong vòng lớp 8. Người cao tuổi có câu hỏi ...

Ví dụ, nếu góc X(xem hình thứ hai trên trang này) - làm cho nó chết lặng!? Tam giác sẽ sụp đổ! Và làm thế nào để được? Sẽ không có chân, không có cạnh huyền ... Hình sin đã biến mất ...

Nếu người cổ đại không tìm ra cách thoát khỏi tình trạng này, thì bây giờ chúng ta đã không có điện thoại di động, TV hay điện. Vâng vâng! Cơ sở lý thuyết của tất cả những điều này nếu không có các hàm lượng giác là số không nếu không có cây đũa phép. Nhưng người xưa đã không phụ lòng người. Làm thế nào họ thoát ra - trong bài học tiếp theo.

Nếu bạn thích trang web này ...

Nhân tiện, tôi có một vài trang web thú vị hơn dành cho bạn.)

Bạn có thể thực hành giải các ví dụ và tìm ra trình độ của mình. Kiểm tra với xác minh tức thì. Học tập - với sự quan tâm!)

bạn có thể làm quen với các hàm và các đạo hàm.

| BD | - chiều dài vòng cung tập trung vào một điểm MỘT.
α là một góc tính bằng radian.

sin ( sinα) là một hàm lượng giác phụ thuộc vào góc α giữa cạnh huyền và chân của tam giác vuông, bằng tỉ số độ dài chân đối | BC | bằng độ dài cạnh huyền | AC |.
cosine ( cosα) là một hàm lượng giác phụ thuộc vào góc α giữa cạnh huyền và chân của tam giác vuông, bằng tỉ số độ dài chân kề | AB | bằng độ dài cạnh huyền | AC |.

Các chỉ định được chấp nhận

;
;
.

;
;
.

Đồ thị của hàm sin, y = sin x

Đồ thị của hàm cosin, y = cos x

Tính chất của sin và côsin

Định kỳ

Các hàm y = tội lỗi x và y = cos xđịnh kỳ với một khoảng thời gian 2 pi.

Ngang bằng

Hàm sin là hàm lẻ. Hàm cosin là số chẵn.

Miền định nghĩa và giá trị, cực trị, tăng, giảm

Các hàm sin và côsin liên tục trên miền định nghĩa của chúng, nghĩa là với mọi x (xem Hình. bằng chứng liên tục). Các thuộc tính chính của chúng được trình bày trong bảng (n - số nguyên).

	y = tội lỗi x	y = cos x
Phạm vi và tính liên tục	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Phạm vi giá trị	-1 ≤ y ≤ 1	-1 ≤ y ≤ 1
Tăng dần
Giảm dần
Cực đại, y = 1
Cực tiểu, y = - 1
Zeros, y = 0
Giao điểm với trục y, x = 0	y = 0	y = 1

Công thức cơ bản

Tổng của sin và cos bình phương

Công thức sin và côsin cho tổng và hiệu

;
;

Công thức cho tích của sin và cosin

Công thức tổng và hiệu

Biểu thức của sin thông qua cosine

;
;
;
.

Biểu thức của cosin thông qua sin

;
;
;
.

Biểu thức dưới dạng tiếp tuyến

; .

Đối với, chúng tôi có:
; .

Tại :
; .

Bảng sin và cosin, tiếp tuyến và cotang

Bảng này hiển thị các giá trị của sin và cosine đối với một số giá trị của đối số.

Biểu thức thông qua các biến phức tạp

;

Công thức Euler

Biểu thức dưới dạng hàm hyperbolic

;
;

Các dẫn xuất

; . Bắt nguồn của công thức>>>

Các dẫn xuất của đơn hàng thứ n:
{ -∞ < x < +∞ }

Secant, cosecant

Hàm nghịch đảo

Các hàm nghịch đảo của sin và cosin là arcsine và arccosine, tương ứng.

Arcsine, arcsin

Arccosine, arccos

Người giới thiệu:
TRONG. Bronstein, K.A. Semendyaev, Sổ tay Toán học cho Kỹ sư và Sinh viên của các Cơ sở Giáo dục Đại học, Lan, 2009.

Xem thêm: