Dạng lượng giác của số phức. Số phức ở dạng lượng giác Dạng lượng giác của một tính chất số phức

CÁC SỐ LINH KIỆN XI

§ 256. Dạng lượng giác của số phức

Cho số phức a + bi vectơ tương ứng OA> với tọa độ ( a, b ) (xem Hình 332).

Biểu thị độ dài của vectơ này bằng r và góc mà nó tạo ra với trục X , bên kia φ . Theo định nghĩa của sin và cosine:

Một / r = cos φ , b / r = tội lỗi φ .

Đó là lý do tại sao Nhưng = r cos φ , b = r tội φ . Nhưng trong trường hợp này, số phức a + bi có thể được viết như:

a + bi = r cos φ + ir tội φ = r (cos φ + tôi tội φ ).

Như bạn đã biết, bình phương độ dài của bất kỳ vectơ nào cũng bằng tổng bình phương tọa độ của nó. Đó là lý do tại sao r 2 = Một 2 + b 2, khi nào r = √a 2 + b 2

Cho nên, bất kỳ số phức nào a + bi có thể được đại diện là :

a + bi = r (cos φ + tôi tội φ ), (1)

r ở đâu = √a 2 + b 2, và góc φ được xác định từ điều kiện:

Dạng viết số phức này được gọi là lượng giác.

Con số r trong công thức (1) được gọi là mô-đun, và góc φ - lý lẽ, số phức a + bi .

Nếu một số phức a + bi không bằng 0, thì môđun của nó là dương; nếu a + bi = 0, sau đó a = b = 0 và sau đó r = 0.

Môđun của bất kỳ số phức nào được xác định duy nhất.

Nếu một số phức a + bi không bằng 0, thì đối số của nó được xác định bởi công thức (2) chắc chắn lên đến bội số góc của 2 π . Nếu a + bi = 0, sau đó a = b = 0. Trong trường hợp này r = 0. Từ công thức (1) có thể hiểu đơn giản là đối số φ trong trường hợp này, bạn có thể chọn bất kỳ góc nào: sau cùng, cho bất kỳ φ

0 (cos φ + tôi tội φ ) = 0.

Do đó, đối số 0 không được xác định.

Mô đun số phức r đôi khi biểu thị | z |, và lập luận cãi z . Hãy xem một vài ví dụ về biểu diễn của số phức dưới dạng lượng giác.

Ví dụ. một. 1 + tôi .

Chúng ta hãy tìm mô-đun r và tranh luận φ con số này.

r = √ 1 2 + 1 2 = √ 2 .

Do đó tội lỗi φ = 1 / √ 2, cos φ = 1 / √ 2, đồng thời φ = π / 4 + 2nπ .

Theo cách này,

1 + tôi = √ 2 ,

ở đâu P - bất kỳ số nguyên nào. Thông thường, từ một tập hợp vô hạn các giá trị \ u200b \ u200 với đối số của một số phức, một giá trị được chọn nằm trong khoảng từ 0 đến 2 π . Trong trường hợp này, giá trị này là π / 4 . Đó là lý do tại sao

1 + tôi = √ 2 (cos π / 4 + tôi tội π / 4)

Ví dụ 2 Viết dưới dạng lượng giác một số phức √ 3 - tôi . Chúng ta có:

r = √ 3 + 1 = 2 cos φ = √ 3/2, sin φ = - 1 / 2

Do đó, tối đa một góc chia hết cho 2 π , φ = 11 / 6 π ; Hậu quả là,

√ 3 - tôi = 2 (cos 11/6 π + tôi tội lỗi 11/6 π ).

Ví dụ 3 Viết dưới dạng lượng giác một số phức tôi .

số phức tôi vectơ tương ứng OA> kết thúc tại điểm A của trục tại với tọa độ 1 (Hình. 333). Độ dài của một vectơ như vậy bằng 1 và góc mà nó tạo với trục abscissa bằng π / 2. Đó là lý do tại sao

tôi = cos π / 2 + tôi tội π / 2 .

Ví dụ 4 Viết số phức 3 dưới dạng lượng giác.

Số phức 3 tương ứng với vectơ OA > X abscissa 3 (Hình 334).

Độ dài của vectơ như vậy là 3 và góc của nó với trục x là 0. Do đó

3 = 3 (cos 0 + tôi sin 0),

Ví dụ 5 Viết dưới dạng lượng giác số phức -5.

Số phức -5 tương ứng với vectơ OA> kết thúc tại điểm trục X với abscissa -5 (Hình. 335). Độ dài của một vectơ như vậy là 5 và góc của nó với trục x là π . Đó là lý do tại sao

5 = 5 (cos π + tôi tội π ).

Bài tập

2047. Viết các số phức này dưới dạng lượng giác, xác định môđun và đối số của chúng:

1) 2 + 2√3 tôi , 4) 12tôi - 5; 7).3tôi ;

2) √3 + tôi ; 5) 25; 8) -2tôi ;

3) 6 - 6tôi ; 6) - 4; 9) 3tôi - 4.

2048. Cho biết trên mặt phẳng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức có môđun r và đối số φ thỏa mãn điều kiện:

1) r = 1, φ = π / 4 ; 4) r < 3; 7) 0 < φ < π / 6 ;

2) r =2; 5) 2 < r <3; 8) 0 < φ < я;

3) r < 3; 6) φ = π / 3 ; 9) 1 < r < 2,

10) 0 < φ < π / 2 .

2049. Đồng thời các số có thể là môđun của một số phức được không? r Và - r ?

2050. Đối số của một số phức có thể đồng thời là các góc được không φ Và - φ ?

Trình bày các số phức này dưới dạng lượng giác bằng cách xác định môđun và đối số của chúng:

Năm 2051 *. 1 + cos α + tôi tội α . Năm 2054 *. 2 (cos 20 ° - tôi sin 20 °).

Năm 2052 *. tội φ + tôi cos φ . Năm 2055 *. 3 (- cos 15 ° - tôi sin 15 °).

3.1. Tọa độ cực

Thường được sử dụng trên máy bay hệ tọa độ cực . Nó được xác định nếu một điểm O được cho trước, được gọi là cây sào và một chùm tia phát ra từ cực (đối với chúng tôi, đây là trục Ox) là trục cực. Vị trí của điểm M được cố định bởi hai số: bán kính (hoặc véc tơ bán kính) và góc φ giữa trục cực và véc tơ. Góc φ được gọi là góc cực; Nó được đo bằng radian và đếm ngược chiều kim đồng hồ từ trục cực.

Vị trí của một điểm trong hệ tọa độ cực được cho bởi một cặp số có thứ tự (r; φ). Ở cực r = 0 và φ không được xác định. Đối với tất cả các điểm khác r> 0 và φ được xác định đến bội số của 2π. Trong trường hợp này, các cặp số (r; φ) và (r 1; φ 1) được gán cùng một điểm nếu.

Đối với hệ tọa độ hình chữ nhật xOy tọa độ Descartes của một điểm dễ dàng được biểu diễn dưới dạng tọa độ cực của nó như sau:

3.2. Giải thích hình học của một số phức

Xét trên mặt phẳng hệ tọa độ Descartes hình chữ nhật xOy.

Mọi số phức z = (a, b) được gán một điểm thuộc mặt phẳng có tọa độ ( x, y), ở đâu tọa độ x = a, tức là phần thực của số phức và tọa độ y = bi là phần ảo.

Một mặt phẳng có các điểm là số phức là một mặt phẳng phức.

Trong hình, số phức z = (a, b)điểm trận đấu M (x, y).

Nhiệm vụ.Vẽ số phức trên mặt phẳng tọa độ:

3.3. Dạng lượng giác của một số phức

Một số phức trong mặt phẳng có tọa độ là một điểm M (x; y). Trong đó:

Viết một số phức - dạng lượng giác của một số phức.

Số r được gọi là mô-đun số phức z và được ký hiệu. Mô-đun là một số thực không âm. Vì .

Mô-đun bằng 0 nếu và chỉ khi z = 0, tức là a = b = 0.

Số φ được gọi là đối số z và được biểu thị. Đối số z được xác định một cách mơ hồ, giống như góc cực trong hệ tọa độ cực, cụ thể là, lên đến bội số của 2π.

Khi đó chúng ta chấp nhận:, trong đó φ là giá trị nhỏ nhất của đối số. Hiển nhiên là

.

Với việc nghiên cứu sâu hơn về chủ đề này, một đối số phụ φ * được giới thiệu, như vậy

ví dụ 1. Tìm dạng lượng giác của một số phức.

Giải pháp. 1) chúng tôi xem xét mô-đun :;

2) tìm kiếm φ: ;

3) dạng lượng giác:

Ví dụ 2 Tìm dạng đại số của một số phức .

Ở đây, nó đủ để thay thế các giá trị của các hàm lượng giác và biến đổi biểu thức:

Ví dụ 3 Tìm môđun và đối số của một số phức;

1) ;

2); φ - trong 4 quý:

3.4. Các phép toán với số phức ở dạng lượng giác

· Cộng và trừ thuận tiện hơn khi thực hiện với các số phức ở dạng đại số:

· Phép nhân- với sự trợ giúp của các phép biến đổi lượng giác đơn giản, có thể chỉ ra rằng khi nhân, các mô-đun của số được nhân và các đối số được thêm vào: ;

Trong phần này, chúng ta sẽ tập trung nhiều hơn vào dạng lượng giác của một số phức. Dạng cấp số nhân trong các nhiệm vụ thực tế ít phổ biến hơn nhiều. Vui lòng tải xuống và in nếu có thể. bảng lượng giác, tài liệu về phương pháp luận có thể được tìm thấy trên trang Bảng và công thức Toán học. Bạn không thể đi xa nếu không có bàn.

Mọi số phức (trừ số 0) đều có thể được viết dưới dạng lượng giác:

Nó đâu rồi mô đun số phức, Nhưng - đối số số phức.

Vẽ một số trên mặt phẳng phức. Để giải thích rõ ràng và đơn giản, chúng tôi sẽ đặt nó trong phần tư tọa độ đầu tiên, tức là Chúng tôi tin rằng:

Môđun của một số phức là khoảng cách từ gốc tọa độ đến điểm tương ứng của mặt phẳng phức. Chỉ cần đặt, mô đun là chiều dài vector bán kính, được đánh dấu màu đỏ trong hình vẽ.

Môđun của một số phức thường được ký hiệu là: hoặc

Sử dụng định lý Pitago, có thể dễ dàng suy ra công thức tìm môđun của một số phức:. Công thức này hợp lệ bất cứ gì nghĩa "a" và "be".

Ghi chú : môđun của một số phức là tổng quát của khái niệm mô đun số thực, là khoảng cách từ điểm đến điểm gốc.

Đối số của một số phứcđã gọi mũi tiêm giữa trục dương trục thực và véc tơ bán kính vẽ từ điểm gốc đến điểm tương ứng. Đối số không được xác định cho số ít:.

Nguyên tắc đang được xem xét thực sự tương tự như tọa độ cực, trong đó bán kính cực và góc cực xác định duy nhất một điểm.

Đối số của một số phức thường được ký hiệu là: hoặc

Từ việc xem xét hình học, công thức tìm đối số sau đây thu được:

. Chú ý! Công thức này chỉ hoạt động trong nửa mặt phẳng bên phải! Nếu số phức không nằm trong góc tọa độ thứ 1 hoặc thứ 4, thì công thức sẽ hơi khác một chút. Chúng tôi cũng sẽ xem xét những trường hợp này.

Nhưng trước tiên, hãy xem xét các ví dụ đơn giản nhất, khi các số phức nằm trên các trục tọa độ.

Ví dụ 7

Biểu thị số phức dưới dạng lượng giác: ,,,. Hãy thực hiện bản vẽ:

Trong thực tế, nhiệm vụ là miệng. Để rõ hơn, tôi sẽ viết lại dạng lượng giác của một số phức:

Hãy nhớ chặt chẽ, mô-đun - chiều dài(luôn luôn là không tiêu cực), đối số là mũi tiêm

1) Hãy biểu diễn số dưới dạng lượng giác. Tìm mô đun và đối số của nó. Hiển nhiên là. Tính chính thức theo công thức:. Rõ ràng là (con số nằm trực tiếp trên bán trục thực dương). Vậy số ở dạng lượng giác là:

Xóa ngay trong ngày, hành động kiểm tra ngược lại:

2) Hãy biểu diễn số dưới dạng lượng giác. Tìm mô đun và đối số của nó. Hiển nhiên là. Tính chính thức theo công thức:. Rõ ràng là (hoặc 90 độ). Trong hình vẽ, góc được đánh dấu màu đỏ. Vậy số ở dạng lượng giác là: .

Sử dụng , có thể dễ dàng lấy lại dạng đại số của một số (đồng thời bằng cách kiểm tra):

3) Hãy biểu diễn số dưới dạng lượng giác. Tìm mô-đun của nó và

lý lẽ. Hiển nhiên là . Tính toán chính thức theo công thức:

Rõ ràng là (hoặc 180 độ). Trong hình vẽ, góc được biểu thị bằng màu xanh lam. Vậy số ở dạng lượng giác là:

Kiểm tra:

4) Và trường hợp thú vị thứ tư. Hiển nhiên là. Tính chính thức theo công thức:.

Đối số có thể được viết theo hai cách: Cách thứ nhất: (270 độ), và theo đó: . Kiểm tra:

Tuy nhiên, quy tắc sau là tiêu chuẩn hơn: Nếu góc lớn hơn 180 độ, sau đó nó được viết với một dấu trừ và hướng ngược lại (“cuộn”) của góc: (âm 90 độ), trong hình vẽ góc được đánh dấu bằng màu xanh lá cây. Dễ dàng nhìn thấy

là cùng một góc.

Do đó, mục nhập trở thành:

Chú ý! Trong mọi trường hợp, bạn không nên sử dụng tính chẵn của cosin, độ lẻ của sin và thực hiện "đơn giản hóa" thêm bản ghi:

Nhân đây, rất hữu ích cho việc ghi nhớ sự xuất hiện và các tính chất của hàm số lượng giác và hàm số lượng giác nghịch biến, tài liệu tham khảo nằm ở đoạn cuối của trang Đồ thị và tính chất của các hàm số lượng giác cơ bản. Và số phức dễ học hơn nhiều!

Trong thiết kế của các ví dụ đơn giản nhất, điều này nên được viết : "Rõ ràng là modulus là ... rõ ràng là đối số là ...". Điều này thực sự hiển nhiên và dễ dàng giải quyết bằng lời nói.

Hãy chuyển sang các trường hợp phổ biến hơn. Không có vấn đề gì với mô-đun, bạn nên luôn sử dụng công thức. Nhưng các công thức để tìm đối số sẽ khác, nó phụ thuộc vào phần tư tọa độ của số đó. Trong trường hợp này, có thể có ba tùy chọn (viết lại chúng sẽ rất hữu ích):

1) Nếu (phần tư tọa độ thứ 1 và thứ 4, hoặc nửa mặt phẳng bên phải), thì đối số phải được tìm bằng công thức.

2) Nếu (phần tư tọa độ thứ 2), thì đối số phải được tìm bằng công thức .

3) Nếu (phần tư tọa độ thứ 3), thì đối số phải được tìm bằng công thức .

Ví dụ 8

Biểu thị số phức dưới dạng lượng giác: ,,,.

Ngay khi có công thức làm sẵn, khi đó bản vẽ không cần thiết. Nhưng có một điểm: khi bạn được yêu cầu trình bày một số ở dạng lượng giác, thì vẽ tốt hơn nên làm dù sao. Một thực tế là giáo viên thường từ chối một giải pháp mà không có hình vẽ, việc không có hình vẽ là một lý do nghiêm trọng dẫn đến điểm trừ và thất bại.

Chúng tôi đại diện cho các con số và ở dạng phức tạp, con số đầu tiên và thứ ba sẽ dành cho một quyết định độc lập.

Hãy biểu diễn số dưới dạng lượng giác. Tìm mô đun và đối số của nó.

Kể từ (trường hợp 2), thì

- ở đây bạn cần sử dụng độ lẻ của tiếp tuyến cung. Thật không may, không có giá trị nào trong bảng, vì vậy trong những trường hợp như vậy, đối số phải được để ở dạng rườm rà: - các số ở dạng lượng giác.

Hãy biểu diễn số dưới dạng lượng giác. Tìm mô đun và đối số của nó.

Kể từ (trường hợp 1), sau đó (âm 60 độ).

Theo cách này:

là một số ở dạng lượng giác.

Và ở đây, như đã lưu ý, khuyết điểm đừng đụng vào.

Ngoài phương pháp xác minh bằng đồ họa vui nhộn, còn có phương pháp xác minh phân tích, đã được thực hiện trong Ví dụ 7. Chúng tôi sử dụng bảng giá trị của các hàm số lượng giác, đồng thời tính đến góc đó chính xác là góc bảng (hoặc 300 độ): - các số ở dạng đại số ban đầu.

Các số và tự biểu diễn dưới dạng lượng giác. Lời giải ngắn gọn và đáp án ở cuối bài.

Ở cuối phần này, hãy giới thiệu ngắn gọn về dạng cấp số nhân của một số phức.

Bất kỳ số phức nào (trừ số 0) đều có thể được viết dưới dạng hàm mũ:

Môđun của số phức ở đâu và là đối số của số phức.

Để biểu diễn một số phức dưới dạng cấp số nhân cần phải làm gì? Gần giống nhau: thực hiện bản vẽ, tìm mô-đun và đối số. Và viết số dưới dạng.

Ví dụ, đối với số của ví dụ trước, chúng tôi tìm thấy mô-đun và đối số:,. Sau đó, số này ở dạng hàm mũ sẽ được viết như sau:

Số ở dạng hàm mũ sẽ trông như thế này:

Con số - Cho nên:

Lời khuyên duy nhất là không chạm vào chỉ báo số mũ, không cần sắp xếp lại thừa số, mở ngoặc, v.v. Một số phức ở dạng mũ được viết nghiêm ngặt thông báo.

Các thao tác trên số phức viết dưới dạng đại số

Dạng đại số của số phức z =(Một,b). được gọi là một biểu thức đại số có dạng

z = Một + bi.

Các phép toán số học trên số phức z 1 = a 1 + b 1 tôi Và z 2 = a 2 + b 2 tôi, được viết dưới dạng đại số, được thực hiện như sau.

1. Tổng (hiệu) của số phức

z 1 ± z 2 = (Một 1 ± a 2) + (b 1 ± b 2)Tôi,

những, cái đó. phép cộng (trừ) được thực hiện theo quy tắc cộng các đa thức có rút gọn các phân tử đồng dạng.

2. Tích của số phức

z 1 ∙ z 2 = (Một 1 ∙ a 2 -b 1 ∙ b 2) + (Một 1 ∙ b 2 + a 2 ∙ b 1)Tôi,

những, cái đó. phép nhân được thực hiện theo quy tắc thông thường đối với phép nhân các đa thức, có tính đến thực tế là tôi 2 = 1.

3. Phép chia hai số phức được thực hiện theo quy tắc sau:

, (z 2 ≠ 0),

những, cái đó. phép chia được thực hiện bằng cách nhân số bị chia và số bị chia với liên hợp của số bị chia.

Luỹ thừa của số phức được định nghĩa như sau:

Thật dễ dàng để cho thấy rằng

Các ví dụ.

1. Tìm tổng các số phức z 1 = 2 – tôi Và z 2 = – 4 + 3tôi.

z 1 + z 2 = (2 + (–1)Tôi)+ (–4 + 3tôi) = (2 + (–4)) + ((–1) + 3) tôi = –2+2tôi.

2. Tìm tích của số phức z 1 = 2 – 3tôi Và z 2 = –4 + 5tôi.

= (2 – 3tôi) ∙ (–4 + 5tôi) = 2 ∙(–4) + (-4) ∙(–3tôi)+ 2∙5tôi– 3tôi ∙ 5tôi = 7+22tôi.

3. Tìm riêng tư z từ bộ phận z 1 \ u003d 3 - 2 z 2 = 3 – tôi.

z = .

4. Giải phương trình:, x Và y Î R.

(2x + y) + (x + y)tôi = 2 + 3tôi.

Theo sự bình đẳng của các số phức, chúng ta có:

ở đâu x =–1 , y= 4.

5. Tính: tôi 2 ,tôi 3 ,tôi 4 ,tôi 5 ,tôi 6 ,tôi -1 , tôi -2 .

6. Tính toán nếu.

.

7. Tính nghịch đảo của một số z=3-tôi.

Số phức ở dạng lượng giác

mặt phẳng phức tạpđược gọi là mặt phẳng có tọa độ Descartes ( x, y), nếu mỗi điểm có tọa độ ( a, b) được gán một số phức z = a + bi. Trong trường hợp này, trục abscissa được gọi là trục thực và trục y là tưởng tượng. Sau đó, mọi số phức a + biđược biểu diễn hình học trên một mặt phẳng dưới dạng một điểm A (a, b) hoặc vectơ.

Do đó, vị trí của điểm NHƯNG(và do đó số phức z) có thể được thiết lập bởi độ dài của vectơ | | = r và góc jđược tạo thành bởi vectơ | | với chiều dương của trục thực. Độ dài của một vectơ được gọi là mô đun số phức và được ký hiệu là | z | = r, và góc jđã gọi đối số số phức và được biểu thị j = argz.

Rõ ràng là | z| ³ 0 và | z | = 0 Û z = 0.

Từ hình. 2 cho thấy rằng.

Đối số của một số phức được xác định một cách mơ hồ và có đến 2 pk, kÎ Z.

Từ hình. 2 cũng cho thấy rằng nếu z = a + bi Và j = argz, sau đó

cos j =, tội j =, tg j =.

Nếu zОR Và z> 0 sau đó argz = 0 +2pk;

nếu z ОR Và z< 0 sau đó argz = p + 2pk;

nếu z = 0,argz không xác định.

Giá trị chính của đối số được xác định trên khoảng 0 £ argz£ 2 P,

hoặc -P£ arg z £ p.

Ví dụ:

1. Tìm môđun của số phức z 1 = 4 – 3tôi Và z 2 = –2–2tôi.

2. Xác định trên mặt phẳng phức các khu vực được chỉ định bởi các điều kiện:

1) | z | = 5; 2) | z| £ 6; 3) | z – (2+tôi) | £ 3; 4) £ 6 | z – tôi| £ 7.

Giải pháp và câu trả lời:

1) | z| = 5 Û Û là phương trình của đường tròn bán kính 5 và có tâm tại gốc tọa độ.

2) Đường tròn có bán kính 6 tâm tại gốc tọa độ.

3) Đường tròn có bán kính 3 tâm tại một điểm z0 = 2 + tôi.

4) Một vòng được giới hạn bởi các vòng tròn có bán kính 6 và 7 ở tâm tại một điểm z 0 = tôi.

3. Tìm môđun và đối số của các số: 1); 2).

1) ; Nhưng = 1, b = Þ ,

Þ j 1 = .

2) z 2 = –2 – 2tôi; a =–2, b =-2 Þ ,

.

Lưu ý: Khi xác định đối số chính, hãy sử dụng mặt phẳng phức.

Theo cách này: z 1 = .

2) , r 2 = 1, j 2 =, .

3) , r 3 = 1, j 3 =, .

4) , r 4 = 1, j4 =, .

Bài học

Dạng lượng giác của một số phức

Kế hoạch

1. Biểu diễn hình học của số phức.

2. Kí hiệu lượng giác của số phức.

3. Các thao tác trên số phức dưới dạng lượng giác.

Biểu diễn hình học của số phức.

a) Số phức được biểu diễn bởi các điểm trên mặt phẳng theo quy tắc sau: Một + bi = M ( Một ; b ) (Hình 1).

Bức tranh 1

b) Một số phức có thể được biểu diễn dưới dạng vectơ bắt đầu tại điểmXUNG QUANH và kết thúc tại một điểm nhất định (Hình 2).

Hình 2

Ví dụ 7. Vẽ đồ thị các điểm biểu diễn số phức:1; - tôi ; - 1 + tôi ; 2 – 3 tôi (Hình 3).

Hình 3

Kí hiệu lượng giác của số phức.

Số phứcz = Một + bi có thể được thiết lập bằng cách sử dụng bán kính - vector với tọa độ( Một ; b ) (Hình 4).

hinh 4

Sự định nghĩa . Chiều dài vectơ đại diện cho số phứcz , được gọi là môđun của số này và được ký hiệu là hoặcr .

Đối với bất kỳ số phức nàoz mô-đun của nór = | z | được xác định duy nhất bởi công thức .

Sự định nghĩa . Giá trị của góc giữa chiều dương của trục thực và vectơ đại diện cho một số phức được gọi là đối số của số phức này và được ký hiệu làNHƯNG R G z hoặcφ .

Đối số số phứcz = 0 không xác định. Đối số số phứcz≠ 0 là đại lượng có nhiều giá trị và được xác định cho đến thời hạn2πk (k = 0; - 1; 1; - 2; 2; ...): Arg z = tranh luận z + 2πk , ở đâutranh luận z - giá trị chính của đối số, được đặt trong khoảng(-π; π] , I E-π < tranh luận z ≤ π (đôi khi giá trị thuộc khoảng được lấy làm giá trị chính của đối số .

Công thức này chor =1 thường được gọi là công thức của De Moivre:

(cos φ + i sin φ) n = cos (nφ) + i sin (nφ), n  N .

Ví dụ 11 Tính toán(1 + tôi ) 100 .

Hãy viết một số phức1 + tôi dưới dạng lượng giác.

a = 1, b = 1 .

cos φ = , sin φ = , φ = .

(1 + i) 100 = [ (cos + tôi tội lỗi )] 100 = ( ) 100 (cos 100 + tôi tội lỗi 100) = = 2 50 (cos 25π + i sin 25π) = 2 50 (cos π + i sin π) = - 2 50 .

4) Rút ra căn bậc hai của một số phức.

Khi trích xuất căn bậc hai của một số phứcMột + bi chúng tôi có hai trường hợp:

nếub > về , sau đó ;