Lịch tuần trăng 

Tất cả các nguyên mẫu công việc đều là cấp cơ bản 20. Các nhà sinh vật học đã phát hiện ra nhiều loại amip. Theo định luật thực nghiệm Moore, số lượng bóng bán dẫn trung bình trên vi mạch

Bộ sưu tập để chuẩn bị cho kỳ thi (cấp độ cơ bản)

Nguyên mẫu công việc # 20

1. Trong văn phòng trao đổi, bạn có thể thực hiện một trong hai thao tác:

Đối với 2 đồng vàng, được 3 bạc và một đồng;

Đối với 5 đồng bạc, nhận được 3 vàng và một đồng.

Nicholas chỉ có đồng bạc. Sau vài lần đến văn phòng trao đổi, anh ta có ít đồng bạc hơn, không còn đồng vàng, nhưng xuất hiện những đồng 50 đồng. Số đồng bạc của Nicholas giảm đi bao nhiêu?

2. Trên thanh có đánh dấu các vạch ngang màu đỏ, vàng và xanh lá cây. Nếu bạn nhìn thấy que dọc theo các đường màu đỏ, bạn nhận được 5 mảnh, nếu dọc theo các đường màu vàng - 7 mảnh và nếu dọc theo các đường xanh - 11 mảnh. Bạn sẽ nhận được bao nhiêu mảnh nếu bạn cắt một que theo đường của cả ba màu?

3. Có 40 loại nấm trong rổ: nấm rơm và nấm sữa. Người ta biết rằng trong số 17 cây nấm bất kỳ thì có ít nhất một cây nấm, và trong số 25 cây nấm bất kỳ - ít nhất một cây nấm. Có bao nhiêu cây nấm trong rổ?

4. Có 40 loại nấm trong rổ: nấm rơm và nấm sữa. Được biết, trong số 17 cây nấm bất kỳ thì có ít nhất một cây nấm lạc đà, và trong số 25 cây nấm bất kỳ thì có ít nhất một cây nấm. Có bao nhiêu cây nấm trong rổ?

5. Người chủ đồng ý với các công nhân rằng họ sẽ đào giếng cho anh ta với các điều kiện sau: đối với mét đầu tiên, anh ta sẽ trả cho họ 4.200 rúp, và cho mỗi mét tiếp theo - hơn 1.300 rúp so với mét trước. Chủ sẽ phải trả bao nhiêu tiền cho công nhân nếu họ đào một cái giếng sâu 11 mét?

6. Một con ốc sên leo lên cây 3 m trong một ngày, và xuống 2m trong một đêm.

7. Trên bề mặt địa cầu, 12 đường kinh tuyến và 22 đường kinh tuyến được vẽ bằng bút dạ. Các đường vẽ đã chia thành bao nhiêu phần trên bề mặt địa cầu?

8. Có 30 loại nấm trong rổ: nấm rơm và nấm sữa. Người ta biết rằng trong số 12 cây nấm bất kỳ thì có ít nhất một cây nấm lạc đà, và trong số 20 cây nấm bất kỳ thì có ít nhất một cây nấm. Có bao nhiêu cây nấm trong rổ?

9.

1) cho 2 đồng tiền vàng nhận được 3 bạc và một đồng;

2) với 5 đồng bạc, nhận được 3 vàng và một đồng.

Nicholas chỉ có đồng bạc. Sau vài lần đến văn phòng trao đổi, anh ta có ít đồng bạc hơn, không còn đồng vàng, nhưng xuất hiện những đồng 50 đồng. Số đồng bạc của Nicholas giảm đi bao nhiêu?

10. Trong một cửa hàng bán đồ gia dụng, việc bán tủ lạnh là theo mùa. Trong tháng Giêng, 10 tủ lạnh đã được bán, và trong ba tháng tiếp theo, 10 tủ lạnh đã được bán. Kể từ tháng 5, doanh số bán hàng đã tăng 15 chiếc so với tháng trước. Kể từ tháng 9, doanh số bán hàng bắt đầu giảm 15 tủ lạnh mỗi tháng so với tháng trước. Hỏi cửa hàng đó đã bán được bao nhiêu tủ lạnh trong một năm?

11. Có 25 loại nấm trong rổ: nấm rơm và nấm sữa. Người ta biết rằng trong số 11 cây nấm bất kỳ thì có ít nhất một cây nấm lạc đà, và trong số 16 cây nấm bất kỳ thì có ít nhất một cây nấm. Có bao nhiêu cây nấm trong rổ?

12. Danh sách các nhiệm vụ của bài kiểm tra bao gồm 25 câu hỏi. Mỗi câu trả lời đúng học sinh được 7 điểm, trả lời sai bị trừ 10 điểm, không trả lời được 0 điểm. Có bao nhiêu câu trả lời đúng của học sinh đạt 42 điểm, nếu biết rằng anh ta đã sai ít nhất một lần?

13. Châu chấu nhảy dọc theo đường tọa độ theo bất kỳ hướng nào bằng một đoạn đơn cho mỗi lần nhảy. Con châu chấu bắt đầu nhảy khỏi nguồn gốc. Có bao nhiêu điểm khác nhau trên đường tọa độ mà con châu chấu có thể đến được sau khi thực hiện đúng 11 lần nhảy?

14. Trong văn phòng trao đổi, bạn có thể thực hiện một trong hai thao tác:

· Cho 2 đồng tiền vàng nhận được 3 bạc và một đồng;

· Đối với 5 đồng bạc, nhận được 3 vàng và một đồng.

Nicholas chỉ có đồng bạc. Sau vài lần đến văn phòng đổi tiền, anh ta có ít đồng bạc hơn, không còn đồng vàng, nhưng xuất hiện đồng 100 đồng. Số đồng bạc của Nicholas giảm đi bao nhiêu?

15. Có 45 loại nấm trong rổ: nấm rơm và nấm sữa. Người ta biết rằng trong số 23 cây nấm bất kỳ thì có ít nhất một cây nấm lạc đà, và trong số 24 cây nấm bất kỳ thì có ít nhất một cây nấm. Có bao nhiêu cây nấm trong rổ?

16. Người chủ đồng ý với các công nhân rằng họ sẽ đào giếng cho anh ta với các điều kiện sau: anh ta sẽ trả cho họ 3.700 rúp cho mét đầu tiên, và 1.700 rúp cho mỗi mét tiếp theo so với mét trước. Chủ sẽ phải trả bao nhiêu tiền cho công nhân nếu họ đào một cái giếng sâu 8 mét?

17. Bác sĩ kê đơn cho bệnh nhân uống thuốc theo phác đồ sau: ngày đầu uống 20 giọt, ngày sau uống thêm 3 giọt so với ngày trước. Sau khi uống 15 ngày, bệnh nhân nghỉ 3 ngày và tiếp tục uống thuốc theo phác đồ ngược lại: ngày 19 uống số giọt như ngày thứ 15, sau đó giảm liều 3 giọt. hàng ngày cho đến khi liều lượng trở nên ít hơn 3 giọt mỗi ngày. Người bệnh nên mua bao nhiêu lọ thuốc cho cả đợt điều trị nếu mỗi lọ 200 giọt?

18. Có 50 loại nấm trong rổ: nấm rơm và nấm sữa. Người ta biết rằng trong số 28 cây nấm bất kỳ có ít nhất một cây nấm lạc đà, và trong số 24 cây nấm bất kỳ có ít nhất một cây nấm. Có bao nhiêu cây nấm trong rổ?

19. Sasha mời Petya đến thăm, nói rằng anh ta sống ở lối vào thứ mười trong căn hộ số 333, nhưng anh ta quên nói tầng. Đến gần ngôi nhà, Petya phát hiện ra rằng ngôi nhà có chín tầng. Sasha sống ở tầng nào? (Ở tất cả các tầng, số lượng căn hộ là như nhau, số lượng căn hộ trong tòa nhà bắt đầu từ một).

20. Trong văn phòng trao đổi, bạn có thể thực hiện một trong hai thao tác:

1) cho 5 đồng tiền vàng nhận được 6 bạc và một đồng;

2) với 8 đồng bạc, nhận được 6 vàng và một đồng.

Nicholas chỉ có đồng bạc. Sau vài lần đến văn phòng trao đổi, anh ta có ít đồng bạc hơn, không còn đồng vàng, nhưng xuất hiện 55 đồng xu. Số đồng bạc của Nicholas giảm đi bao nhiêu?

21. Huấn luyện viên khuyên Andrey nên dành 22 phút trên máy chạy bộ trong ngày đầu tiên tập luyện và trong mỗi buổi tập tiếp theo tăng thời gian trên máy chạy bộ thêm 4 phút cho đến khi đạt 60 phút, sau đó tiếp tục tập luyện thêm 60 phút mỗi ngày. . Trong bao nhiêu buổi, kể từ buổi đầu tiên, Andrey sẽ dành 4 giờ 48 phút trên máy chạy bộ?

22. Mỗi giây một vi khuẩn phân chia thành hai vi khuẩn mới. Người ta biết rằng toàn bộ thể tích của một ly vi khuẩn được lấp đầy trong 1 giờ. Trong bao nhiêu giây nữa ly sẽ chứa đầy vi khuẩn?

23. Thực đơn của nhà hàng có 6 loại salad, 3 loại món đầu tiên, 5 loại món thứ hai và 4 loại tráng miệng. Thực khách tại nhà hàng này có thể chọn bao nhiêu món salad, bữa trưa thứ nhất, thứ hai và món tráng miệng?

24. Một con ốc sên bò lên ngọn cây dài 4 m trong ngày, đêm trượt dài 3 m.

25. Có bao nhiêu cách xếp được hai con xúc xắc màu đỏ, ba con xúc xắc màu xanh lá cây và một con xúc xắc màu xanh giống nhau?

26. Tích của mười số liên tiếp chia hết cho 7. Số dư có thể là bao nhiêu?

27. Có 24 ghế ở hàng đầu tiên của sảnh rạp chiếu phim, và ở mỗi hàng tiếp theo có thêm 2 ghế so với hàng trước. Hàng thứ tám có bao nhiêu ghế?

28. Danh sách các nhiệm vụ của bài kiểm tra bao gồm 33 câu hỏi. Mỗi câu trả lời đúng học sinh được 7 điểm, trả lời sai bị trừ 11 điểm, không trả lời được 0 điểm. Có bao nhiêu câu trả lời đúng của học sinh đạt 84 điểm, nếu biết rằng anh ta đã sai ít nhất một lần?

29. Trên bề mặt địa cầu, 13 đường kinh tuyến và 25 đường kinh tuyến được vẽ bằng bút dạ. Các đường vẽ đã chia thành bao nhiêu phần trên bề mặt địa cầu?

Kinh tuyến là một cung tròn nối hai cực Bắc và Nam. Hình bình hành là đường tròn nằm trong mặt phẳng song song với mặt phẳng của đường xích đạo.

30. Trên đường vành đai có bốn trạm xăng: A, B, C và D. Khoảng cách giữa A và B là 35 km, giữa A và C là 20 km, giữa C và D là 20 km, giữa D và A là 30 km (tất cả các khoảng cách đo dọc theo đường vành đai theo hướng ngắn nhất). Tìm khoảng cách giữa B và C. Đưa ra câu trả lời của bạn tính bằng km.

31. Sasha mời Petya đến thăm, nói rằng anh ta sống ở lối vào thứ bảy trong căn hộ số 462, nhưng anh ta quên nói tầng. Đến gần ngôi nhà, Petya phát hiện ra rằng ngôi nhà có bảy tầng. Sasha sống ở tầng nào? (Ở tất cả các tầng, số lượng căn hộ như nhau, việc đánh số căn hộ trong tòa nhà bắt đầu từ một).

32. Có 30 loại nấm trong rổ: nấm rơm và nấm sữa. Người ta biết rằng trong số 12 cây nấm bất kỳ thì có ít nhất một cây camelina, và trong số 20 cây nấm bất kỳ - ít nhất một cây nấm. Có bao nhiêu cây nấm trong rổ?

33. Người chủ đồng ý với các công nhân rằng họ đang đào giếng với các điều khoản sau: đối với mét đầu tiên, anh ta sẽ trả cho họ 3.500 rúp, và cho mỗi mét tiếp theo - cao hơn 1.600 rúp so với mét trước. Chủ sẽ phải trả bao nhiêu tiền cho công nhân nếu họ đào một cái giếng sâu 9 mét?

34. Sasha mời Petya đến thăm, nói rằng anh ta sống ở lối vào thứ mười trong căn hộ số 333, nhưng anh ta quên nói tầng. Đến gần ngôi nhà, Petya phát hiện ra rằng ngôi nhà có chín tầng. Sasha sống ở tầng nào? (Số lượng căn hộ trên mỗi tầng như nhau, số lượng căn hộ trong tòa nhà bắt đầu từ một).

35. Bác sĩ kê đơn cho bệnh nhân uống thuốc theo phác đồ sau: ngày đầu uống 3 giọt, ngày sau uống thêm 3 giọt so với ngày trước. Đã uống được 30 giọt, anh uống tiếp 30 giọt trong 3 ngày nữa, sau đó giảm uống 3 giọt mỗi ngày. Người bệnh nên mua bao nhiêu lọ thuốc cho cả đợt điều trị nếu mỗi lọ 20 ml thuốc (tương ứng 250 giọt)?

36. Hình chữ nhật được chia thành bốn hình chữ nhật nhỏ hơn bằng hai đường cắt thẳng. Chu vi của ba trong số chúng, bắt đầu từ trên cùng bên trái và tiếp tục theo chiều kim đồng hồ, là 24, 28 và 16. Tìm chu vi của hình chữ nhật thứ tư.

37. Trên đường vành đai có bốn trạm xăng: A, B, C và D. Khoảng cách giữa A và B là 50 km, giữa A và C là 30 km, giữa C và D là 25 km, giữa D và A là 45 km (tất cả các khoảng cách đo dọc theo đường vành đai dọc theo cung ngắn nhất).

Tìm khoảng cách (tính bằng km) giữa B và C.

38. Một công ty dầu khí đang khoan một giếng để sản xuất dầu, theo thăm dò địa chất, giếng này nằm ở độ sâu 3 km. Ban ngày, thợ khoan đi sâu 300 mét, nhưng đến đêm giếng lại “phù sa”, tức là bị lấp đất thêm 30 mét. Công nhân dầu khí sẽ khoan một giếng đến độ sâu bao nhiêu ngày làm việc?

39. Một nhóm du khách vượt đèo. Họ đi hết km đầu tiên của chặng đường đi lên trong 50 phút, và mỗi km tiếp theo dài hơn 15 phút so với km trước. Cây số cuối cùng trước khi lên đỉnh hoàn thành trong 95 phút. Sau mười phút nghỉ ngơi trên đỉnh, khách du lịch bắt đầu xuống dốc, nhẹ nhàng hơn. Km đầu tiên sau khi lên đỉnh mất một giờ, và mỗi km tiếp theo nhanh hơn 10 phút so với km trước. Cả nhóm đi hết quãng đường bao nhiêu giờ nếu tính hết km cuối cùng của đoạn đường đi trong 10 phút.

40. Trong văn phòng trao đổi, bạn có thể thực hiện một trong hai thao tác:

Đối với 3 đồng vàng, được 4 bạc và một đồng;

Đối với 7 đồng bạc, nhận được 4 vàng và một đồng.

Nicholas chỉ có đồng bạc. Sau vài lần đến văn phòng đổi tiền, anh ta có ít đồng bạc hơn, không còn đồng vàng, nhưng xuất hiện 42 đồng xu. Số đồng bạc của Nicholas giảm đi bao nhiêu?

41. Trên thanh có đánh dấu các vạch ngang màu đỏ, vàng và xanh lá cây. Nếu bạn cắt một que dọc theo các đường màu đỏ, bạn sẽ có 15 mảnh, nếu dọc theo các đường màu vàng - 5 mảnh và nếu dọc theo các đường xanh - 7 mảnh. Bạn sẽ nhận được bao nhiêu mảnh nếu bạn cắt một que theo đường của cả ba màu?

42. Trong văn phòng trao đổi, bạn có thể thực hiện một trong hai thao tác:

1) cho 4 đồng vàng nhận được 5 bạc và một đồng;

2) với 8 đồng bạc, nhận được 5 vàng và một đồng.

Nicholas chỉ có đồng bạc. Sau vài lần đến văn phòng trao đổi, anh ta có ít đồng bạc hơn, không còn đồng vàng, nhưng xuất hiện 45 đồng xu. Số đồng bạc của Nicholas giảm đi bao nhiêu?

43. Châu chấu nhảy dọc theo đường tọa độ theo bất kỳ hướng nào trong một đoạn đơn vị cho mỗi lần nhảy. Có bao nhiêu điểm khác nhau trên đường tọa độ mà châu chấu có thể tới được sau khi thực hiện đúng 12 lần nhảy, tính từ gốc tọa độ?

44. Người ta đổ đầy một thùng nước có thể tích 8 lít vào một bể có thể tích 38 lít mỗi giờ bắt đầu từ lúc 12 giờ. Nhưng có một khe hở nhỏ ở đáy bể, và 3 lít chảy ra khỏi nó trong một giờ. Vào thời điểm nào (tính bằng giờ) bể sẽ đầy hoàn toàn.

45. Có 40 loại nấm trong rổ: nấm rơm và nấm sữa. Được biết, trong số 17 cây nấm bất kỳ thì có ít nhất một cây nấm lạc đà, và trong số 25 cây nấm bất kỳ thì có ít nhất một cây nấm. Có bao nhiêu cây nấm trong rổ?

46. Phải lấy số nhỏ nhất trong các số liên tiếp là bao nhiêu để tích của chúng chia hết cho 7?

47. Châu chấu nhảy dọc theo đường tọa độ theo bất kỳ hướng nào trong một đoạn đơn vị cho mỗi lần nhảy. Có bao nhiêu điểm khác nhau trên đường toạ độ mà con châu chấu có thể đến được sau khi thực hiện đúng 11 lần nhảy, tính từ gốc tọa độ?

48. Một con ốc sên bò lên cây 4 m trong ngày và trượt 1 m trong một đêm, chiều cao của cây là 13 m. Sau bao nhiêu ngày thì con ốc sên bò lên được ngọn cây lần đầu tiên? ?

49. Trên quả địa cầu, 17 đường ngang (bao gồm cả đường xích đạo) và 24 đường kinh tuyến được vẽ bằng bút dạ. Các đường được vẽ chia thành bao nhiêu phần trên bề mặt địa cầu?

50. Trên bề mặt địa cầu, 12 đường kinh tuyến và 22 đường kinh tuyến được vẽ bằng bút dạ. Các đường vẽ đã chia thành bao nhiêu phần trên bề mặt địa cầu?

Kinh tuyến là một cung tròn nối hai cực Bắc và Nam. Hình bình hành là đường tròn nằm trong mặt phẳng song song với mặt phẳng của đường xích đạo.

Câu trả lời cho nhiệm vụ nguyên mẫu số 20

  4. Trả lời: 117700

  14. Trả lời: 77200

  19. Trả lời: 3599

  29. Trả lời: 89100

Giáo dục phổ thông trung học

Đường dây UMK G.K. Muravina. Đại số và sự khởi đầu của phân tích toán học (10-11) (sâu)

Dòng UMK Merzlyak. Đại số và sự khởi đầu của phân tích (10-11) (U)

toán học

Chuẩn bị cho kỳ thi môn toán (cấp độ hồ sơ): nhiệm vụ, giải pháp và lời giải

Chúng tôi phân tích các nhiệm vụ và giải quyết các ví dụ với giáo viên

Phần thi cấp hồ sơ kéo dài 3 giờ 55 phút (235 phút).

Ngưỡng tối thiểu- 27 điểm.

Đề thi gồm hai phần khác nhau về nội dung, độ phức tạp và số lượng nhiệm vụ.

Đặc điểm nổi bật của từng phần công việc là hình thức của các nhiệm vụ:

  • phần 1 gồm 8 nhiệm vụ (task 1-8) với câu trả lời ngắn gọn dưới dạng số nguyên hoặc phân số thập phân cuối cùng;
  • phần 2 gồm 4 nhiệm vụ (nhiệm vụ 9-12) với câu trả lời ngắn gọn dưới dạng số nguyên hoặc phân số thập phân cuối cùng và 7 nhiệm vụ (nhiệm vụ 13-19) có đáp án chi tiết (ghi lại đầy đủ quyết định kèm theo lý do các hành động đã thực hiện).

Panova Svetlana Anatolievna, giáo viên dạy Toán thuộc loại cao nhất của trường, kinh nghiệm làm việc 20 năm:

“Để có được chứng chỉ của trường, một sinh viên tốt nghiệp phải vượt qua hai kỳ thi bắt buộc dưới hình thức Kỳ thi Thống nhất Quốc gia, một trong số đó là toán học. Phù hợp với khái niệm phát triển giáo dục toán học ở Liên bang Nga, kỳ thi Nhà nước thống nhất trong toán học được chia thành hai cấp độ: cơ bản và chuyên biệt. Hôm nay chúng ta sẽ xem xét các tùy chọn cho cấp độ hồ sơ.

Nhiệm vụ số 1- kiểm tra khả năng của những người tham gia SỬ DỤNG trong việc áp dụng các kỹ năng thu được ở lớp 5-9 môn toán tiểu học vào các hoạt động thực tiễn. Người tham gia phải có kỹ năng tính toán, khả năng làm việc với các số hữu tỉ, có thể làm tròn các phân số thập phân, có thể chuyển đổi đơn vị đo này sang đơn vị đo khác.

ví dụ 1 Trong căn hộ nơi Petr sinh sống, một đồng hồ (đồng hồ) nước lạnh đã được lắp đặt. Vào ngày đầu tháng 5, công-tơ-mét cho thấy mức tiêu thụ 172 phân khối. m nước, và vào ngày đầu tiên của tháng 6 - 177 mét khối. m. Peter phải trả bao nhiêu tiền cho nước lạnh cho tháng Năm, nếu giá của 1 cu. m của nước lạnh là 34 rúp 17 kopecks? Đưa ra câu trả lời của bạn bằng đồng rúp.

Quyết định:

1) Tìm lượng nước chi tiêu mỗi tháng:

177 - 172 = 5 (cu m)

2) Tìm bao nhiêu tiền sẽ được trả cho lượng nước đã tiêu:

34,17 5 = 170,85 (chà)

Trả lời: 170,85.


Nhiệm vụ số 2- là một trong những nhiệm vụ đơn giản nhất của kỳ thi. Phần lớn sinh viên tốt nghiệp đối phó thành công với nó, điều này cho thấy sự sở hữu của định nghĩa về khái niệm chức năng. Nhiệm vụ loại 2 theo hệ thống mã hóa yêu cầu là nhiệm vụ sử dụng kiến ​​thức và kỹ năng thu được vào các hoạt động thực tiễn và cuộc sống hàng ngày. Nhiệm vụ số 2 bao gồm mô tả, sử dụng các hàm, các mối quan hệ thực tế khác nhau giữa các đại lượng và giải thích đồ thị của chúng. Nhiệm vụ số 2 kiểm tra khả năng trích xuất thông tin được trình bày dưới dạng bảng, biểu đồ, đồ thị. Sinh viên tốt nghiệp cần có khả năng xác định giá trị của một hàm số bằng giá trị của đối số với nhiều cách khác nhau để xác định hàm số và mô tả hành vi và tính chất của hàm số theo đồ thị của nó. Cũng cần có khả năng tìm được giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất từ ​​đồ thị hàm số và xây dựng đồ thị của các hàm số đã học. Những sai lầm mắc phải có tính chất ngẫu nhiên trong việc đọc điều kiện của bài toán, đọc sơ đồ.

# ADVERTISING_INSERT #

Ví dụ 2 Hình này cho thấy sự thay đổi giá trị trao đổi của một cổ phiếu của một công ty khai thác trong nửa đầu tháng 4 năm 2017. Ngày 7/4, vị doanh nhân này đã mua 1.000 cổ phiếu của công ty này. Vào ngày 10 tháng 4, anh ta bán 3/4 số cổ phiếu đã mua và vào ngày 13 tháng 4 anh ta bán tất cả những cổ phiếu còn lại. Doanh nhân đã mất bao nhiêu do kết quả của các hoạt động này?


Quyết định:

2) 1000 3/4 = 750 (cổ phiếu) - chiếm 3/4 tổng số cổ phiếu đã mua.

6) 247500 + 77500 = 325000 (rúp) - doanh nhân nhận được sau khi bán 1000 cổ phiếu.

7) 340.000 - 325.000 = 15.000 (rúp) - doanh nhân bị thua lỗ do tất cả các hoạt động kinh doanh.

Trả lời: 15000.

Nhiệm vụ số 3- Là nhiệm vụ thuộc mức cơ bản của phần thứ nhất, kiểm tra khả năng thực hiện các thao tác với các khối hình học theo nội dung của môn học "Phép đo hình học". Nhiệm vụ 3 kiểm tra khả năng tính diện tích của một hình trên giấy kẻ ô vuông, khả năng tính số đo độ của các góc, tính chu vi, v.v.

Ví dụ 3 Tìm diện tích hình chữ nhật được vẽ trên giấy kẻ ô vuông có kích thước ô là 1 cm x 1 cm (xem hình vẽ). Đưa ra câu trả lời của bạn theo đơn vị cm vuông.

Quyết định:Để tính diện tích của hình này, bạn có thể sử dụng công thức Đỉnh:

Để tính diện tích của hình chữ nhật này, chúng ta sử dụng công thức Peak:

S= B +

 G
2
trong đó V = 10, G = 6, do đó

S = 18 +

 6
2
Trả lời: 20.

Xem thêm: Đề thi Thống nhất môn Vật lý: giải các bài toán về dao động
Nhiệm vụ số 4- nhiệm vụ của môn học "Lý thuyết xác suất và thống kê". Khả năng tính toán xác suất của một sự kiện trong tình huống đơn giản nhất được kiểm tra.

Ví dụ 4 Có 5 chấm đỏ và 1 chấm xanh trên hình tròn. Xác định đa giác nào lớn hơn: đa giác có tất cả các đỉnh màu đỏ hoặc đa giác có một trong các đỉnh màu xanh lam. Trong câu trả lời của bạn, hãy cho biết có bao nhiêu cái hơn cái kia.

Quyết định: 1) Chúng tôi sử dụng công thức cho số lượng kết hợp từ N các yếu tố của k:

tất cả các đỉnh có màu đỏ.

3) Một ngũ giác có tất cả các đỉnh màu đỏ.

4) 10 + 5 + 1 = 16 đa giác có tất cả các đỉnh màu đỏ.

có đỉnh màu đỏ hoặc với một đỉnh màu xanh lam.

có đỉnh màu đỏ hoặc với một đỉnh màu xanh lam.

8) Một hình lục giác có đỉnh màu đỏ và một đỉnh màu xanh.

9) 20 + 15 + 6 + 1 = 42 đa giác có tất cả các đỉnh màu đỏ hoặc một đỉnh màu xanh.

10) 42 - 16 = 26 đa giác sử dụng dấu chấm màu xanh lam.

11) 26 - 16 = 10 đa giác - có bao nhiêu đa giác, trong đó một trong các đỉnh là chấm xanh, nhiều hơn đa giác, trong đó tất cả các đỉnh chỉ có màu đỏ.

Trả lời: 10.

Nhiệm vụ số 5- Mức độ cơ bản của phần đầu kiểm tra khả năng giải các phương trình đơn giản nhất (vô tỉ, hàm mũ, lượng giác, logarit).

Ví dụ 5 Giải phương trình 2 3 + x= 0,4 5 3 + x .

Quyết định. Chia cả hai vế của phương trình này cho 5 3 + X≠ 0, chúng tôi nhận được

2 3 + x = 0,4 hoặc 2 3 + X = 2 ,
5 3 + X 5 5

khi nào nó theo sau rằng 3 + x = 1, x = –2.

Trả lời: –2.

Nhiệm vụ số 6 trong phép đo planimetry để tìm các đại lượng hình học (độ dài, góc, diện tích), mô hình hóa các tình huống thực tế bằng ngôn ngữ hình học. Nghiên cứu các mô hình được xây dựng bằng cách sử dụng các khái niệm và định lý hình học. Nguồn gốc của những khó khăn, như một quy luật, là sự thiếu hiểu biết hoặc áp dụng sai các định lý cần thiết của phép đối xứng.

Diện tích hình tam giác ABC bằng 129. DE- đường trung tuyến song song với bên AB. Tìm diện tích của hình thang CÁI GIƯỜNG.


Quyết định. Tam giác CDE tương tự như một hình tam giác TAXIở hai góc, vì góc ở đỉnh C chung, góc CDE bằng góc TAXI như các góc tương ứng tại DE || ABđương căt AC. Như DE là đường trung trực của tam giác theo điều kiện thì theo tính chất của đường trung trực | DE = (1/2)AB. Vậy hệ số tương đồng là 0,5. Diện tích của các hình tương tự có liên quan với nhau như bình phương của hệ số tương tự, vì vậy

Vì thế, S ABED = S Δ ABC – S Δ CDE = 129 – 32,25 = 96,75.

Nhiệm vụ số 7- Kiểm tra ứng dụng của đạo hàm vào việc nghiên cứu hàm số. Để thực hiện thành công, việc sở hữu khái niệm đạo hàm có ý nghĩa, không chính thức là cần thiết.

Ví dụ 7Đối với đồ thị của hàm y = f(x) tại điểm với abscissa x 0 Kẻ tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng đi qua điểm (4; 3) và (3; -1) của đồ thị này. Tìm thấy f′( x 0).

Quyết định. 1) Hãy sử dụng phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cho trước và tìm phương trình đường thẳng đi qua điểm (4; 3) và (3; -1).

(y – y 1)(x 2 – x 1) = (x – x 1)(y 2 – y 1)

(y – 3)(3 – 4) = (x – 4)(–1 – 3)

(y – 3)(–1) = (x – 4)(–4)

–y + 3 = –4x+ 16 | · (-một)

y – 3 = 4x – 16

y = 4x- 13, ở đâu k 1 = 4.

2) Tìm hệ số góc của tiếp tuyến k 2 vuông góc với đường thẳng y = 4x- 13, ở đâu k 1 = 4, theo công thức:

3) Hệ số góc của tiếp tuyến là đạo hàm của hàm số tại tiếp điểm. Có nghĩa, f′( x 0) = k 2 = –0,25.

Trả lời: –0,25.

Nhiệm vụ số 8- Kiểm tra kiến ​​thức về hình học lập thể sơ cấp của những người tham gia kỳ thi, khả năng áp dụng các công thức để tìm diện tích bề mặt và thể tích của hình, góc nhị diện, so sánh thể tích của các hình tương tự, khả năng thực hiện các thao tác với các hình hình học, tọa độ và vectơ , vân vân.

Thể tích của một hình lập phương ngoại tiếp một hình cầu là 216. Tìm bán kính của hình cầu.


Quyết định. 1) V khối lập phương = một 3 (ở đâu một là độ dài của cạnh của hình lập phương), vì vậy

một 3 = 216

một = 3 √216

2) Vì hình cầu nội tiếp một hình lập phương nên có nghĩa là độ dài đường kính của hình cầu bằng độ dài cạnh của hình lập phương, do đó d = một, d = 6, d = 2R, R = 6: 2 = 3.

Nhiệm vụ số 9- Yêu cầu sinh viên tốt nghiệp biến đổi và đơn giản hóa các biểu thức đại số. Nhiệm vụ số 9 có mức độ phức tạp tăng lên với một câu trả lời ngắn. Các tác vụ từ phần "Tính toán và biến đổi" trong USE được chia thành nhiều loại:

    các phép biến đổi của biểu thức số hữu tỉ;

    các phép biến đổi biểu thức đại số và phân số;

    các phép biến đổi của biểu thức số / chữ cái vô tỉ;

    các hành động với mức độ;

    phép biến đổi biểu thức logarit;

  1. chuyển đổi các biểu thức lượng giác dạng số / chữ cái.

Ví dụ 9 Tính tgα nếu biết cos2α = 0,6 và

3π < α < π.
4

Quyết định. 1) Hãy sử dụng công thức đối số kép: cos2α = 2 cos 2 α - 1 và tìm

tan 2 α = 1 – 1 = 1 – 1 = 10 – 1 = 5 – 1 = 1 1 – 1 = 1 = 0,25.
cos 2 α 0,8 8 4 4 4

Do đó, tan 2 α = ± 0,5.

3) Theo điều kiện

3π < α < π,
4

do đó α là góc của phần tư thứ hai và tgα< 0, поэтому tgα = –0,5.

Trả lời: –0,5.

# ADVERTISING_INSERT # Nhiệm vụ số 10- Kiểm tra khả năng sử dụng kiến ​​thức và kỹ năng ban đầu của học sinh vào các hoạt động thực tiễn và cuộc sống hàng ngày. Chúng ta có thể nói rằng đây là những vấn đề trong vật lý, và không phải trong toán học, nhưng tất cả các công thức và đại lượng cần thiết đều được đưa ra trong điều kiện. Các nhiệm vụ được giảm xuống để giải một phương trình tuyến tính hoặc bậc hai, hoặc một bất phương trình tuyến tính hoặc bậc hai. Vì vậy, cần phải có khả năng giải các phương trình và bất phương trình đó, và xác định được đáp số. Câu trả lời phải ở dạng số nguyên hoặc phân số thập phân cuối cùng.

Hai vật thể khối lượng m= 2 kg mỗi người, chuyển động với cùng vận tốc v= 10 m / s với biên độ góc 2α so với nhau. Năng lượng (tính bằng jun) được giải phóng trong quá trình va chạm hoàn toàn không đàn hồi của chúng được xác định bằng biểu thức Q = mv 2 sin 2 α. Các vật phải chuyển động ở góc 2α (tính bằng độ) nhỏ nhất nào để có thể giải phóng ít nhất 50 jun do va chạm?
Quyết định.Để giải quyết vấn đề, chúng ta cần giải bất phương trình Q ≥ 50, trên khoảng 2α ∈ (0 °; 180 °).

mv 2 sin 2 α ≥ 50

2 10 2 sin 2 α ≥ 50

200 sin2α ≥ 50

Vì α ∈ (0 °; 90 °), chúng tôi sẽ chỉ giải quyết

Chúng tôi biểu diễn lời giải của bất phương trình bằng đồ thị:


Vì theo giả thiết α ∈ (0 °; 90 °), có nghĩa là 30 ° ≤ α< 90°. Получили, что наименьший угол α равен 30°, тогда наименьший угол 2α = 60°.

Nhiệm vụ số 11- là điển hình, nhưng hóa ra lại khó đối với học sinh. Nguồn gốc của những khó khăn chính là việc xây dựng một mô hình toán học (vẽ một phương trình). Bài tập số 11 kiểm tra khả năng giải các bài toán đố.

Ví dụ 11. Trong kỳ nghỉ xuân, Vasya, học sinh lớp 11 phải giải 560 bài tập để chuẩn bị cho kỳ thi. Vào ngày 18 tháng 3, trong ngày cuối cùng của trường, Vasya đã giải được 5 bài toán. Sau đó mỗi ngày anh ta giải được cùng một số vấn đề nhiều hơn ngày hôm trước. Xác định xem Vasya đã giải quyết được bao nhiêu vấn đề vào ngày 2 tháng 4 vào ngày cuối cùng của kỳ nghỉ.

Quyết định: Chứng tỏ một 1 = 5 - số nhiệm vụ mà Vasya đã giải quyết vào ngày 18 tháng 3, d- số lượng nhiệm vụ hàng ngày được giải quyết bởi Vasya, N= 16 - số ngày kể từ ngày 18 tháng 3 đến ngày 2 tháng 4, S 16 = 560 - tổng số nhiệm vụ, một 16 - số nhiệm vụ mà Vasya đã giải quyết vào ngày 2 tháng 4. Biết rằng mỗi ngày Vasya giải được cùng một số công việc nhiều hơn ngày hôm trước, thì bạn có thể sử dụng các công thức để tìm tổng của một cấp số cộng:

560 = (5 + một 16) 8,

5 + một 16 = 560: 8,

5 + một 16 = 70,

một 16 = 70 – 5

một 16 = 65.

Trả lời: 65.

Nhiệm vụ số 12- Kiểm tra khả năng thực hiện các thao tác của học sinh với hàm số, khả năng ứng dụng đạo hàm vào việc nghiên cứu hàm số.

Tìm điểm cực đại của hàm số y= 10ln ( x + 9) – 10x + 1.

Quyết định: 1) Tìm miền của hàm số: x + 9 > 0, x> –9, tức là x ∈ (–9; ∞).

2) Tìm đạo hàm của hàm số:

4) Điểm tìm được thuộc khoảng (–9; ∞). Chúng tôi xác định các dấu hiệu của đạo hàm của hàm và mô tả hoạt động của hàm trong hình:


Điểm tối đa mong muốn x = –8.

Tải xuống miễn phí chương trình làm việc trong toán học theo dòng của UMK G.K. Muravina, K.S. Muravina, O.V. Muravina 10-11 Tải xuống sách hướng dẫn đại số miễn phí

Nhiệm vụ số 13- mức độ phức tạp tăng lên với câu trả lời chi tiết, kiểm tra khả năng giải các phương trình, câu được giải thành công nhất trong số các nhiệm vụ có câu trả lời chi tiết có mức độ phức tạp tăng lên.

a) Giải phương trình 2log 3 2 (2cos x) - 5log 3 (2cos x) + 2 = 0

b) Tìm tất cả các nghiệm của phương trình này thuộc đoạn.

Quyết định: a) Cho log 3 (2cos x) = t, sau đó 2 t 2 – 5t + 2 = 0,


 log3 (2cos x) = 2 ⇔
2cos x = 9 ⇔
cos x = 4,5 ⇔ bởi vì | cos x| ≤ 1,
log3 (2cos x) = 1 2cos x = √3 cos x = √3
2 2
sau đó cos x = √3
2

x = π + 2π k
6
x = – π + 2π k, k ∈ Z
6

b) Tìm các rễ nằm trên đoạn.


Qua hình vẽ có thể thấy rằng đoạn thẳng đã cho có gốc là

11π và 13π .
6 6
Trả lời: một) π + 2π k; – π + 2π k, k ∈ Z; b) 11π ; 13π .
6 6 6 6
Nhiệm vụ số 14- cấp độ nâng cao đề cập đến các nhiệm vụ của phần thứ hai với một câu trả lời chi tiết. Nhiệm vụ kiểm tra khả năng thực hiện các hành động với các hình dạng hình học. Nhiệm vụ có hai mục. Trong đoạn đầu tiên, nhiệm vụ phải được chứng minh, và trong đoạn thứ hai, nó phải được tính toán.

Đường kính của đường tròn đáy của hình trụ là 20, đường sinh của hình trụ là 28. Mặt phẳng cắt các đáy của nó dọc theo các hợp âm có độ dài 12 và 16. Khoảng cách giữa các hợp âm là 2√197.

a) Chứng minh rằng tâm của các đáy của hình trụ nằm về cùng một phía của mặt phẳng này.

b) Tìm góc giữa mặt phẳng này và mặt phẳng đáy của hình trụ.

Quyết định: a) Một hợp âm có độ dài 12 cách tâm của vòng tròn cơ sở = 8, và hợp âm có độ dài 16, tương tự, ở khoảng cách 6. Do đó, khoảng cách giữa các hình chiếu của chúng trên một mặt phẳng song song với đáy của các hình trụ là 8 + 6 = 14 hoặc 8 - 6 = 2.

Khi đó khoảng cách giữa các hợp âm là

= = √980 = = 2√245

= = √788 = = 2√197.

Theo điều kiện, trường hợp thứ hai được thực hiện, trong đó hình chiếu của các hợp âm nằm về một phía của trục của hình trụ. Điều này có nghĩa là trục không giao với mặt phẳng này bên trong hình trụ, tức là các đáy nằm về một phía của nó. Những gì cần được chứng minh.

b) Hãy biểu thị tâm của các cơ sở là O 1 và O 2. Chúng ta hãy vẽ từ trung tâm của cơ sở với hợp âm có độ dài 12 đường phân giác vuông góc với hợp âm này (nó có độ dài là 8, như đã lưu ý) và từ tâm của cơ sở khác đến hợp âm khác. Chúng nằm trong cùng một mặt phẳng β vuông góc với các hợp âm này. Hãy gọi trung điểm của hợp âm nhỏ hơn B, lớn hơn A và hình chiếu của A lên cơ sở thứ hai H (H ∈ β). Khi đó AB, AH ∈ β và do đó AB, AH vuông góc với dây cung tức là đường giao tuyến của mặt đáy với mặt phẳng đã cho.

Vì vậy, góc yêu cầu là

∠ABH = arctan AH = arctg 28 = arctg14.
BH 8 – 6

Nhiệm vụ số 15- mức độ phức tạp tăng lên với câu trả lời chi tiết, kiểm tra khả năng giải các bất đẳng thức, câu được giải thành công nhất trong số các nhiệm vụ với câu trả lời chi tiết có mức độ phức tạp tăng lên.

Ví dụ 15 Giải bất phương trình | x 2 – 3x| log 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2 .

Quyết định: Miền xác định của bất đẳng thức này là khoảng (–1; + ∞). Hãy xem xét ba trường hợp riêng biệt:

1) Để x 2 – 3x= 0, tức là X= 0 hoặc X= 3. Trong trường hợp này, bất đẳng thức này trở thành đúng, do đó, các giá trị này được đưa vào lời giải.

2) Hãy để bây giờ x 2 – 3x> 0, tức là x∈ (–1; 0) ∪ (3; + ∞). Trong trường hợp này, bất đẳng thức này có thể được viết lại dưới dạng ( x 2 – 3x) log 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2 và chia cho một biểu thức dương x 2 – 3x. Chúng tôi nhận được log 2 ( x + 1) ≤ –1, x + 1 ≤ 2 –1 , x≤ 0,5 -1 hoặc x≤ -0,5. Có tính đến miền định nghĩa, chúng tôi có x ∈ (–1; –0,5].

3) Cuối cùng, hãy xem xét x 2 – 3x < 0, при этом x∈ (0; 3). Trong trường hợp này, bất đẳng thức ban đầu sẽ được viết lại dưới dạng (3 x – x 2) log 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2. Sau khi chia cho một biểu thức dương 3 x – x 2, chúng tôi nhận được log 2 ( x + 1) ≤ 1, x + 1 ≤ 2, x≤ 1. Có tính đến diện tích, chúng tôi có x ∈ (0; 1].

Kết hợp các dung dịch thu được, chúng ta thu được x ∈ (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Trả lời: (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Nhiệm vụ số 16- cấp độ nâng cao đề cập đến các nhiệm vụ của phần thứ hai với một câu trả lời chi tiết. Nhiệm vụ kiểm tra khả năng thực hiện các hành động với các hình dạng hình học, tọa độ và vectơ. Nhiệm vụ có hai mục. Trong đoạn đầu tiên, nhiệm vụ phải được chứng minh, và trong đoạn thứ hai, nó phải được tính toán.

Trong tam giác cân ABC có góc ở đỉnh A là 120 °, kẻ đường phân giác BD. Hình chữ nhật DEFH nội tiếp tam giác ABC sao cho cạnh FH nằm trên đoạn BC và đỉnh E nằm trên đoạn AB. a) Chứng minh rằng FH = 2DH. b) Tìm diện tích hình chữ nhật DEFH nếu AB = 4.

Quyết định: một)


1) ΔBEF - hình chữ nhật, EF⊥BC, ∠B = (180 ° - 120 °): 2 = 30 °, thì EF = BE do tính chất của chân đối diện với góc 30 °.

2) Cho EF = DH = x, thì BE = 2 x, BF = x√3 theo định lý Pitago.

3) Vì ΔABC là cân nên ∠B = ∠C = 30˚.

BD là tia phân giác của ∠B nên ∠ABD = ∠DBC = 15˚.

4) Xét ΔDBH - hình chữ nhật, vì DH⊥BC.

2x = 4 – 2x
2x(√3 + 1) 4
1 = 2 – x
√3 + 1 2

√3 – 1 = 2 – x

x = 3 – √3

EF = 3 - √3

2) S DEFH = ED EF = (3 - √3) 2 (3 - √3)

S DEFH = 24 - 12√3.

Trả lời: 24 – 12√3.


Nhiệm vụ số 17- một nhiệm vụ có đáp án chi tiết, nhiệm vụ này kiểm tra việc áp dụng kiến ​​thức và kỹ năng vào các hoạt động thực tế và cuộc sống hàng ngày, khả năng xây dựng và khám phá các mô hình toán học. Nhiệm vụ này là một nhiệm vụ văn bản có nội dung kinh tế.

Ví dụ 17. Khoản tiền gửi với số tiền 20 triệu rúp dự kiến ​​sẽ được mở trong bốn năm. Cuối mỗi năm, ngân hàng tăng lượng tiền gửi 10% so với quy mô đầu năm. Ngoài ra, vào đầu năm thứ ba và thứ tư, người gửi tiền hàng năm bổ sung tiền gửi bằng cách X triệu rúp, ở đâu X - trọn con số. Tìm giá trị cao nhất X, theo đó ngân hàng sẽ thêm ít hơn 17 triệu rúp vào khoản tiền gửi trong bốn năm.

Quyết định: Vào cuối năm đầu tiên, khoản đóng góp sẽ là 20 + 20 · 0,1 = 22 triệu rúp và vào cuối năm thứ hai - 22 + 22 · 0,1 = 24,2 triệu rúp. Vào đầu năm thứ ba, khoản đóng góp (tính bằng triệu rúp) sẽ là (24,2 + X), và ở cuối - (24,2 + X) + (24,2 + X) 0,1 = (26,62 + 1,1 X). Vào đầu năm thứ tư, đóng góp sẽ là (26,62 + 2,1 X) và ở cuối - (26,62 + 2,1 X) + (26,62 + 2,1X) 0,1 = (29,282 + 2,31 X). Theo điều kiện, bạn cần tìm số nguyên x lớn nhất mà bất phương trình

(29,282 + 2,31x) – 20 – 2x < 17

29,282 + 2,31x – 20 – 2x < 17

0,31x < 17 + 20 – 29,282

0,31x < 7,718

x < 7718
310
x < 3859
155
x < 24 139
155

Nghiệm nguyên lớn nhất của bất phương trình này là số 24.

Trả lời: 24.


Nhiệm vụ số 18- một nhiệm vụ có mức độ phức tạp tăng lên với câu trả lời chi tiết. Nhiệm vụ này nhằm mục đích lựa chọn cạnh tranh vào các trường đại học có yêu cầu cao hơn về việc chuẩn bị toán học của người nộp đơn. Một nhiệm vụ có mức độ phức tạp cao không phải là một nhiệm vụ áp dụng một phương pháp giải, mà là một sự kết hợp của nhiều phương pháp khác nhau. Để hoàn thành tốt nhiệm vụ 18, ngoài kiến ​​thức toán học vững chắc còn phải có trình độ văn hóa toán học cao.

Tại cái gì một hệ thống bất bình đẳng

x 2 + y 2 ≤ 2ay – một 2 + 1
y + một ≤ |x| – một

có chính xác hai giải pháp?

Quyết định: Hệ thống này có thể được viết lại thành

x 2 + (y– một) 2 ≤ 1
y ≤ |x| – một

Nếu chúng ta vẽ tập nghiệm của bất phương trình thứ nhất trên mặt phẳng, chúng ta nhận được phần bên trong của một đường tròn (có biên) bán kính 1 có tâm tại điểm (0, một). Tập nghiệm của bất phương trình thứ hai là phần mặt phẳng nằm dưới đồ thị của hàm số y = | x| – một, và cái sau là đồ thị của hàm
y = | x| , chuyển xuống bởi một. Nghiệm của hệ này là giao của các tập nghiệm của mỗi bất phương trình.

Do đó, hệ thống này sẽ chỉ có hai giải pháp trong trường hợp được chỉ ra trong Hình. một.


Các điểm tiếp xúc giữa đường tròn và đường thẳng sẽ là hai nghiệm của hệ. Mỗi đường thẳng nghiêng với trục một góc 45 °. Vì vậy, tam giác PQR- hình chữ nhật cân. Chấm Q có tọa độ (0, một), và điểm R- tọa độ (0, - một). Ngoài ra, các vết cắt PR và PQ bằng với bán kính hình tròn bằng 1. Do đó,

QR= 2một = √2, một = √2 .
2
Trả lời: một = √2 .
2


Nhiệm vụ số 19- một nhiệm vụ có mức độ phức tạp tăng lên với câu trả lời chi tiết. Nhiệm vụ này nhằm mục đích lựa chọn cạnh tranh vào các trường đại học có yêu cầu cao hơn về việc chuẩn bị toán học của người nộp đơn. Một nhiệm vụ có mức độ phức tạp cao không phải là một nhiệm vụ áp dụng một phương pháp giải, mà là một sự kết hợp của nhiều phương pháp khác nhau. Để hoàn thành tốt nhiệm vụ 19, cần phải có khả năng tìm kiếm một giải pháp, lựa chọn nhiều cách tiếp cận khác nhau trong số những cách đã biết, sửa đổi các phương pháp đã nghiên cứu.

Để cho được sn Tổng P các thành viên của một cấp số cộng ( một p). Được biết rằng S n + 1 = 2N 2 – 21N – 23.

a) Đưa ra công thức P thành viên thứ của tiến trình này.

b) Tìm tổng môđun nhỏ nhất S n.

c) Tìm giá trị nhỏ nhất P, tại đó S n sẽ là bình phương của một số nguyên.

Quyết định: a) Rõ ràng, một = S n – S n- một . Sử dụng công thức này, chúng tôi nhận được:

S n = S (N – 1) + 1 = 2(N – 1) 2 – 21(N – 1) – 23 = 2N 2 – 25N,

S n – 1 = S (N – 2) + 1 = 2(N – 1) 2 – 21(N – 2) – 23 = 2N 2 – 25N+ 27

có nghĩa, một = 2N 2 – 25N – (2N 2 – 29N + 27) = 4N – 27.

B) bởi vì S n = 2N 2 – 25N, sau đó xem xét chức năng S(x) = | 2x 2 – 25x |. Đồ thị của cô ấy có thể được nhìn thấy trong hình.


Rõ ràng là giá trị nhỏ nhất đạt được tại các điểm số nguyên nằm gần nhất với các số không của hàm. Rõ ràng đây là những điểm. X= 1, X= 12 và X= 13. Kể từ, S(1) = |S 1 | = |2 – 25| = 23, S(12) = |S 12 | = | 2 144 - 25 12 | = 12, S(13) = |S 13 | = | 2 169 - 25 13 | = 13 thì giá trị nhỏ nhất là 12.

c) Từ đoạn trước, nó tiếp nối rằng sn tích cực kể từ N= 13. Kể từ S n = 2N 2 – 25N = N(2N- 25), thì trường hợp hiển nhiên khi biểu thức này là một hình vuông hoàn hảo được nhận ra khi N = 2N- 25, tức là với P= 25.

Nó vẫn để kiểm tra các giá trị từ 13 đến 25:

S 13 = 13 1, S 14 = 14 3, S 15 = 15 5, S 16 = 16 7, S 17 = 17 9, S 18 = 18 11, S 19 = 19 13 S 20 = 20 13, S 21 = 21 17, S 22 = 22 19, S 23 = 23 21, S 24 = 24 23.

Nó chỉ ra rằng đối với các giá trị nhỏ hơn P hình vuông đầy đủ không đạt được.

Trả lời: một) một = 4N- 27; b) 12; c) 25.

________________

* Kể từ tháng 5 năm 2017, nhóm xuất bản chung DROFA-VENTANA là một phần của Tổng công ty Sách giáo khoa Nga. Công ty cũng bao gồm nhà xuất bản Astrel và nền tảng giáo dục kỹ thuật số LECTA. Alexander Brychkin, tốt nghiệp Học viện Tài chính thuộc Chính phủ Liên bang Nga, ứng viên khoa học kinh tế, chủ nhiệm các dự án đổi mới của nhà xuất bản DROFA trong lĩnh vực giáo dục kỹ thuật số (các dạng sách giáo khoa điện tử, Trường học điện tử Nga, Giáo dục kỹ thuật số LECTA nền tảng) đã được bổ nhiệm làm Tổng giám đốc. Trước khi gia nhập nhà xuất bản DROFA, ông giữ chức vụ Phó Chủ tịch Phát triển Chiến lược và Đầu tư của tổ chức xuất bản EKSMO-AST. Ngày nay, Tổng công ty Xuất bản Sách giáo khoa Nga có danh mục sách giáo khoa lớn nhất được đưa vào Danh sách Liên bang - 485 đầu sách (khoảng 40%, không bao gồm sách giáo khoa dành cho các trường giáo dưỡng). Các nhà xuất bản của tập đoàn sở hữu các bộ sách giáo khoa vật lý, vẽ, sinh học, hóa học, công nghệ, địa lý, thiên văn, được các trường học ở Nga yêu cầu nhiều nhất - những lĩnh vực kiến ​​thức cần thiết để phát triển tiềm năng sản xuất của đất nước. Danh mục đầu tư của công ty bao gồm sách giáo khoa và đồ dùng dạy học cho các trường tiểu học được trao Giải thưởng của Tổng thống về Giáo dục. Đây là những sách giáo khoa và sách hướng dẫn về các lĩnh vực chủ đề cần thiết cho sự phát triển của tiềm lực khoa học, kỹ thuật và công nghiệp của Nga.

Nhiệm vụ 20 Mức độ cơ bản của kỳ thi

1) Một con ốc sên bò lên cây 4 m trong ngày, đêm trượt 1 m, chiều cao của cây là 13 m, trong bao nhiêu ngày thì con ốc sên bò lên được ngọn cây lần đầu tiên? (4-1 \ u003d 3, sáng mồng 4 sẽ bò cao 9m, trong ngày bò được 4m.Trả lời: 4 )

2) Một con ốc sên bò lên cây 4 m trong ngày, đêm trượt 3 m, chiều cao của cây là 10 m, trong bao nhiêu ngày thì con ốc sên bò lên ngọn cây lần đầu tiên? Trả lời: 7

3) Một con ốc sên leo lên cây 3 m trong ngày, đêm xuống 2m, cây cao 10 m. Hỏi con ốc sên leo lên ngọn cây trong bao nhiêu ngày? Trả lời: 8

4) Các vạch chéo màu đỏ, vàng và xanh lá cây được đánh dấu trên que tính. Nếu bạn cắt một que dọc theo các đường màu đỏ, bạn sẽ có 15 mảnh, nếu dọc theo các đường màu vàng - 5 mảnh và nếu dọc theo các đường xanh - 7 mảnh. Bạn nhận được bao nhiêu miếng nếu bạn cắt một que theo đường của cả ba màu ? (Nếu bạn cắt một que dọc theo các đường màu đỏ, bạn sẽ có 15 mảnh, do đó, các dòng - 14. Nếu bạn nhìn thấy một que dọc theo các đường màu vàng - 5 mảnh, do đó, các đường - 4. Nếu bạn nhìn thấy nó theo các đường xanh - 7 mảnh, các đường - 6. Tổng số dòng: 14 + 4 + 6 = 24 dòng. Trả lời:25 )

5) Trên thanh có đánh dấu các vạch ngang màu đỏ, vàng và xanh lá cây. Nếu bạn nhìn thấy que dọc theo các đường màu đỏ, bạn nhận được 5 mảnh, nếu dọc theo các đường màu vàng - 7 mảnh và nếu dọc theo các đường xanh - 11 mảnh. Bạn sẽ nhận được bao nhiêu mảnh nếu bạn cắt một que theo đường của cả ba màu? Trả lời : 21

6) Các vạch ngang màu đỏ, vàng và xanh lục được đánh dấu trên que tính. Nếu bạn cắt một que dọc theo các đường màu đỏ, bạn được 10 miếng, nếu dọc theo các đường màu vàng - 8 miếng, nếu dọc theo các đường xanh - 8 miếng. Bạn sẽ nhận được bao nhiêu mảnh nếu bạn cắt một que theo đường của cả ba màu? Trả lời : 24

7) Trong văn phòng trao đổi, bạn có thể thực hiện một trong hai thao tác:

Đối với 2 đồng vàng, được 3 bạc và một đồng;

Đối với 5 đồng bạc, nhận được 3 vàng và một đồng.

Nicholas chỉ có đồng bạc. Sau vài lần đến văn phòng trao đổi, anh ta có ít đồng bạc hơn, không còn đồng vàng, nhưng xuất hiện những đồng 50 đồng. Số đồng bạc của Nicholas giảm đi bao nhiêu? Trả lời: 10

8) Tại văn phòng trao đổi, bạn có thể thực hiện một trong hai thao tác:

· Cho 2 đồng tiền vàng nhận được 3 bạc và một đồng;

· Đối với 5 đồng bạc, nhận được 3 vàng và một đồng.

Nicholas chỉ có đồng bạc. Sau vài lần đến văn phòng đổi tiền, anh ta có ít đồng bạc hơn, không còn đồng vàng, nhưng xuất hiện đồng 100 đồng. Số đồng bạc của Nicholas giảm đi bao nhiêu?? Trả lời: 20

9) Trong văn phòng trao đổi, bạn có thể thực hiện một trong hai thao tác:

1) cho 3 đồng tiền vàng nhận được 4 bạc và một đồng;

2) với 6 đồng bạc, nhận được 4 vàng và một đồng.

Nikola chỉ có đồng bạc. Sau khi ghé thăm văn phòng đổi tiền, anh ta có ít đồng bạc hơn, không có đồng vàng, nhưng 35 đồng xu đã xuất hiện. Hỏi số đồng bạc của Nikola giảm đi bao nhiêu? Trả lời: 10

10) Trong văn phòng trao đổi, bạn có thể thực hiện một trong hai thao tác:

1) cho 3 đồng tiền vàng nhận được 4 bạc và một đồng;

2) với 7 đồng bạc, nhận được 4 vàng và một đồng.

Nikola chỉ có đồng bạc. Sau khi thăm văn phòng đổi tiền, anh ta có ít đồng bạc hơn, không có đồng vàng, nhưng có 42 đồng xu xuất hiện. Hỏi số đồng bạc của Nikola giảm đi bao nhiêu? Trả lời: 30

11) Trong văn phòng trao đổi, bạn có thể thực hiện một trong hai thao tác:

1) cho 4 đồng vàng nhận được 5 bạc và một đồng;

2) với 8 đồng bạc, nhận được 5 vàng và một đồng.

Nicholas chỉ có đồng bạc. Sau vài lần đến văn phòng trao đổi, anh ta có ít đồng bạc hơn, không còn đồng vàng, nhưng xuất hiện 45 đồng xu. Số đồng bạc của Nicholas giảm đi bao nhiêu? Trả lời: 35

12) Có 50 loại nấm trong rổ: nấm rơm và nấm sữa. Người ta biết rằng trong số 28 cây nấm bất kỳ có ít nhất một cây nấm lạc đà, và trong số 24 cây nấm bất kỳ có ít nhất một cây nấm. Có bao nhiêu cây nấm trong rổ? ( (50-28)+1=23 - phải là tóc đỏ. (50-24)+1=27 - phải gắt gỏng. Trả lời: nấm trong giỏ 27 .)

13) Có 40 loại nấm trong rổ: nấm rơm và nấm sữa. Được biết, trong số 17 cây nấm bất kỳ thì có ít nhất một cây nấm lạc đà, và trong số 25 cây nấm bất kỳ thì có ít nhất một cây nấm. Có bao nhiêu cây nấm trong rổ? ( Theo điều kiện của vấn đề: (40-17)+1=24 - phải là tóc đỏ. (40-25)+1=16 24 .)

14) rổ đựng 30 loại nấm: nấm rơm và nấm sữa. Người ta biết rằng trong số 12 cây nấm bất kỳ thì có ít nhất một cây nấm lạc đà, và trong số 20 cây nấm bất kỳ thì có ít nhất một cây nấm. Có bao nhiêu cây nấm trong rổ? (Theo tình trạng của bài toán: (30-12)+1=19 - phải là tóc đỏ. (30-20)+1=11 - phải gắt gỏng. Trả lời: nắp sữa nghệ tây trong giỏ 19 .)

15) Có 45 loại nấm trong rổ: nấm rơm và nấm sữa. Người ta biết rằng trong số 23 cây nấm bất kỳ thì có ít nhất một cây nấm lạc đà, và trong số 24 cây nấm bất kỳ thì có ít nhất một cây nấm. Có bao nhiêu cây nấm trong rổ? ( Theo điều kiện của vấn đề: (45-23)+1=23 - phải là tóc đỏ. (45-24)+1=22 - phải gắt gỏng. Trả lời: nắp sữa nghệ tây trong giỏ 23 .)

16) Có 25 cây nấm trong rổ: nấm rơm và nấm sữa. Người ta biết rằng trong số 11 cây nấm bất kỳ thì có ít nhất một cây nấm lạc đà, và trong số 16 cây nấm bất kỳ thì có ít nhất một cây nấm. Có bao nhiêu cây nấm trong rổ? ( Vì trong số 11 cây nấm bất kỳ thì có ít nhất một cây là nấm rơm nên không có nhiều hơn 10 cây nấm. Vì trong số 16 cây nấm bất kỳ thì ít nhất một cây là nấm rơm nên không có nhiều hơn 15 cây nấm. Và vì có 25 cây nấm trong rổ, có chính xác 10 cây nấm, và chính xác là RyzhikovTrả lời: 15.

17) Người chủ đồng ý với công nhân rằng họ sẽ đào giếng cho anh ta với các điều kiện sau: đối với mét đầu tiên, anh ta sẽ trả cho họ 4200 rúp, và cho mỗi mét tiếp theo - cao hơn 1300 rúp cho mét trước. Chủ sẽ phải trả bao nhiêu tiền cho công nhân nếu họ đào một cái giếng sâu 11 mét ? (Trả lời: 117700)

18) Người chủ đồng ý với công nhân rằng họ sẽ đào giếng cho anh ta với các điều kiện sau: đối với mét đầu tiên, anh ta sẽ trả cho họ 3.700 rúp, và cho mỗi mét tiếp theo - 1.700 rúp so với mét trước. Chủ sẽ phải trả bao nhiêu tiền cho công nhân nếu họ đào một cái giếng sâu 8 mét? ( 77200 )

19) Người chủ đồng ý với công nhân rằng họ đào giếng theo các điều khoản sau: đối với mét đầu tiên, anh ta sẽ trả cho họ 3.500 rúp, và cho mỗi mét tiếp theo - nhiều hơn 1.600 rúp so với mét trước. Chủ sẽ phải trả bao nhiêu tiền cho công nhân nếu họ đào một cái giếng sâu 9 mét? ( 89100 )

20) Người chủ đồng ý với công nhân rằng họ sẽ đào giếng cho anh ta với các điều kiện sau: cho mét đầu tiên anh ta sẽ trả cho họ 3.900 rúp, và cho mỗi mét tiếp theo, anh ta sẽ trả nhiều hơn 1.200 rúp cho mét trước. Chủ sở hữu sẽ phải trả bao nhiêu rúp cho công nhân nếu họ đào một cái giếng sâu 6 mét? (41400)

21) Huấn luyện viên khuyên Andrey nên dành 15 phút trên máy chạy bộ vào ngày đầu tiên của lớp học và trong mỗi buổi học tiếp theo hãy tăng thời gian trên máy chạy bộ thêm 7 phút. Andrey sẽ dành bao nhiêu buổi trên máy chạy bộ với tổng thời gian là 2 giờ 25 phút nếu anh ta làm theo lời khuyên của huấn luyện viên? ( 5 )

22) Huấn luyện viên khuyên Andrey nên dành 22 phút trên máy chạy bộ trong ngày đầu tiên tập luyện và trong mỗi buổi tập tiếp theo, tăng thời gian trên máy chạy bộ thêm 4 phút cho đến khi đạt 60 phút, sau đó tiếp tục tập luyện trong 60 phút. Hằng ngày. Trong bao nhiêu buổi, kể từ buổi đầu tiên, Andrey sẽ dành 4 giờ 48 phút trên máy chạy bộ? ( 8 )

23) Hàng thứ nhất của rạp chiếu phim có 24 ghế, ở hàng sau có nhiều hơn hàng trước là 2 ghế. Hàng thứ tám có bao nhiêu ghế? ( 38 )

24) Bác sĩ kê đơn cho bệnh nhân uống thuốc theo phác đồ sau: ngày đầu uống 3 giọt, ngày sau uống thêm 3 giọt so với ngày trước. Đã uống được 30 giọt, anh uống tiếp 30 giọt trong 3 ngày nữa, sau đó giảm uống 3 giọt mỗi ngày. Người bệnh nên mua bao nhiêu lọ thuốc cho cả đợt điều trị nếu mỗi lọ 20 ml thuốc (tương ứng 250 giọt)? (2) tổng của một cấp số cộng có số hạng đầu bằng 3, hiệu bằng 3 và số hạng cuối bằng 30.; 165 + 90 + 135 = 390 lần giảm; 3+ 3 (N-1)=30; N= 10 và 27- 3 (N-1)=3; N=9

25) Bác sĩ kê đơn cho bệnh nhân uống thuốc theo phác đồ sau: ngày đầu uống 20 giọt, ngày sau uống thêm 3 giọt so với ngày trước. Sau khi uống 15 ngày, bệnh nhân nghỉ 3 ngày và tiếp tục uống thuốc theo phác đồ ngược lại: ngày 19 uống số giọt như ngày thứ 15, sau đó giảm liều 3 giọt. hàng ngày cho đến khi liều lượng trở nên ít hơn 3 giọt mỗi ngày. Người bệnh nên mua bao nhiêu lọ thuốc cho cả đợt điều trị nếu mỗi lọ 200 giọt? ( 7 ) đồ uống 615 + 615 + 55 = 1285; 1285: 200 = 6,4

26) Trong một cửa hàng bán đồ gia dụng, việc bán tủ lạnh là theo mùa. Trong tháng Giêng, 10 tủ lạnh đã được bán, và trong ba tháng tiếp theo, 10 tủ lạnh đã được bán. Kể từ tháng 5, doanh số bán hàng đã tăng 15 chiếc so với tháng trước. Kể từ tháng 9, doanh số bán hàng bắt đầu giảm 15 tủ lạnh mỗi tháng so với tháng trước. Hỏi cửa hàng đó đã bán được bao nhiêu tủ lạnh trong một năm? (360) (5*10+2*25+2*40+2*55+70=360

27) Trên bề mặt địa cầu, 12 đường kinh tuyến và 22 đường kinh tuyến được vẽ bằng bút dạ. Các đường vẽ đã chia thành bao nhiêu phần trên bề mặt địa cầu?

Kinh tuyến là một cung tròn nối hai cực Bắc và Nam. Hình bình hành là đường tròn nằm trong mặt phẳng song song với mặt phẳng của đường xích đạo. (13 22 =286)

28) Trên bề mặt địa cầu, 17 đường kinh tuyến và 24 đường kinh tuyến được vẽ bằng bút dạ. Các đường vẽ đã chia thành bao nhiêu phần trên bề mặt địa cầu? Kinh tuyến là một cung tròn nối hai cực Bắc và Nam. Hình bình hành là đường tròn nằm trong mặt phẳng song song với mặt phẳng của đường xích đạo. (18 24 =432)

29) Số nhỏ nhất trong các số liên tiếp cần lấy là bao nhiêu để tích của chúng chia hết cho 7? (2) Nếu điều kiện của bài toán giống như sau: "Bạn cần lấy số nhỏ nhất trong các số liên tiếp là bao nhiêu để tích của chúng đảm bảo chia hết cho 7? Sau đó, nó sẽ là cần thiết để lấy bảy số liên tiếp.

30) Số nhỏ nhất trong các số liên tiếp cần lấy để tích của chúng chia hết cho 9 là bao nhiêu? (2)

31) Tích của mười số liên tiếp chia hết cho 7. Số dư có thể là bao nhiêu? (0) Trong số 10 số liên tiếp, một trong số chúng nhất thiết sẽ chia hết cho 7, vì vậy tích của các số này là bội số của bảy. Do đó, phần dư khi chia cho 7 bằng không.

32) Con châu chấu nhảy dọc theo đường tọa độ theo bất kỳ hướng nào trong một đoạn đơn vị cho mỗi lần nhảy. Có bao nhiêu điểm khác nhau trên đường toạ độ mà con châu chấu có thể đến được sau khi thực hiện đúng 6 lần nhảy, tính từ gốc tọa độ? ( con châu chấu có thể kết thúc tại các điểm: -6, -4, -2, 0, 2, 4 và 6; chỉ 7 điểm.)

33) Con châu chấu nhảy dọc theo đường tọa độ theo bất kỳ hướng nào trong một đoạn đơn vị cho mỗi lần nhảy. Có bao nhiêu điểm khác nhau trên đường tọa độ mà châu chấu có thể tới được sau khi thực hiện đúng 12 lần nhảy, tính từ gốc tọa độ? ( châu chấu có thể kết thúc tại các điểm: -12, -10, -8, -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, 8, 10 và 12; tổng 13 điểm.)

34) Con châu chấu nhảy dọc theo đường tọa độ theo bất kỳ hướng nào trong một đoạn đơn vị cho mỗi lần nhảy. Có bao nhiêu điểm khác nhau trên đường toạ độ mà con châu chấu có thể đến được sau khi thực hiện đúng 11 lần nhảy, tính từ gốc tọa độ? (có thể xuất hiện tại các điểm: -11, -9, -7, -5, -3, -1, 1, 3, 5, 7, 9 và 11; tổng cộng là 12 điểm.)

35) Con châu chấu nhảy dọc theo đường tọa độ theo bất kỳ hướng nào trong một đoạn đơn vị cho mỗi lần nhảy. Có bao nhiêu điểm khác nhau trên đường toạ độ mà con châu chấu có thể tới được sau khi thực hiện đúng 8 lần nhảy, tính từ gốc tọa độ?

Lưu ý rằng châu chấu chỉ có thể kết thúc tại các điểm có tọa độ chẵn, vì số lần nhảy mà nó thực hiện là số chẵn. Châu chấu tối đa có thể ở các điểm, mô-đun của chúng không vượt quá tám điểm. Do đó, con châu chấu có thể kết thúc ở các điểm: -8, -6,-2 ; −4, 0,2, 4, 6, 8 tổng 9 điểm.

Vấn đề # 5922.

Người chủ đồng ý với các công nhân rằng họ đang đào giếng với các điều khoản sau: đối với mét đầu tiên, anh ta sẽ trả cho họ 3.500 rúp, và cho mỗi mét tiếp theo - cao hơn 1.600 rúp so với mét trước. Chủ sẽ phải trả bao nhiêu tiền cho công nhân nếu họ đào một cái giếng sâu 9 mét?

Vì khoản thanh toán cho mỗi mét tiếp theo khác với khoản thanh toán cho lần trước bởi cùng một con số, chúng tôi có trước chúng tôi.

Trong tiến trình này - khoản thanh toán cho mét đầu tiên, - khoản thanh toán chênh lệch cho mỗi mét tiếp theo, - số ngày làm việc.

Tổng các thành viên của một cấp số cộng được tìm thấy bằng công thức:

Thay dữ liệu của bài toán trong công thức này.

Trả lời: 89100.

Vấn đề # 5943.

Trong văn phòng trao đổi, bạn có thể thực hiện một trong hai thao tác:

· Cho 2 đồng tiền vàng nhận được 3 bạc và một đồng;

· Đối với 5 đồng bạc, nhận được 3 vàng và một đồng.

Nicholas chỉ có đồng bạc. Sau vài lần đến văn phòng đổi tiền, anh ta có ít đồng bạc hơn, không còn đồng vàng, nhưng xuất hiện đồng 100 đồng. Số đồng bạc của Nicholas giảm đi bao nhiêu??

Vấn đề # 5960.

Châu chấu nhảy dọc theo đường tọa độ theo bất kỳ hướng nào trong một đoạn đơn vị cho mỗi lần nhảy. Có bao nhiêu điểm khác nhau trên đường tọa độ mà châu chấu có thể tới được sau khi thực hiện đúng 5 lần nhảy, tính từ gốc tọa độ?

Nếu châu chấu thực hiện năm lần nhảy theo một hướng (phải hoặc trái), thì nó sẽ kết thúc tại các điểm có tọa độ 5 hoặc -5:

Lưu ý rằng con châu chấu có thể nhảy cả sang phải và sang trái. Nếu anh ta thực hiện 1 lần nhảy sang phải và 4 lần nhảy sang trái (tổng cộng 5 lần nhảy), anh ta sẽ kết thúc ở điểm có tọa độ -3. Tương tự, nếu con châu chấu thực hiện 1 lần nhảy sang trái và 4 lần nhảy sang phải (tổng cộng 5 lần nhảy), thì nó sẽ kết thúc tại điểm có tọa độ 3:

Nếu châu chấu thực hiện 2 lần nhảy sang phải và 3 lần nhảy sang trái (tổng cộng 5 lần nhảy), nó sẽ kết thúc tại điểm có tọa độ -1. Tương tự, nếu con châu chấu thực hiện 2 lần nhảy sang trái và 3 lần nhảy sang phải (tổng cộng 5 lần nhảy), thì nó sẽ kết thúc tại điểm có tọa độ 1:


Lưu ý rằng nếu tổng số lần nhảy là số lẻ thì châu chấu sẽ không quay trở lại điểm xuất phát, tức là nó chỉ có thể bắn trúng các điểm có tọa độ lẻ:


Chỉ có 6 điểm trong số này.

Nếu số lần nhảy là chẵn, thì châu chấu có thể quay trở lại điểm gốc và tất cả các điểm trên đường tọa độ mà nó có thể bắn trúng sẽ có tọa độ chẵn.

Trả lời: 6

Sự cố # 5990

Một con ốc sên leo lên cây 2 m trong ngày, và trượt xuống 1 m trong một đêm, chiều cao của cây là 9 m. Hỏi sau bao nhiêu ngày thì con ốc sên bò lên được ngọn cây?

Lưu ý rằng trong bài toán này cần phân biệt giữa khái niệm "ngày" và khái niệm "ngày".

Câu hỏi hỏi chính xác là bao nhiêu ngày con ốc sên sẽ bò lên ngọn cây.

Trong một ngày, con ốc sên leo lên 2 m, và trong một ngày, con ốc sên tăng lên 1 m (ban ngày nó tăng 2 m, ban đêm giảm xuống 1 m).

Trong 7 ngày, con ốc sên cao tới 7 mét. Tức là sáng ngày thứ 8 cô sẽ phải bò lên đỉnh cao 2 m, đến ngày thứ tám cô sẽ vượt qua được quãng đường này.

Trả lời: 8 ngày.

Nhiệm vụ số 6010.

Tất cả các lối vào của ngôi nhà đều có cùng số tầng, và mỗi tầng có số căn hộ như nhau. Đồng thời, số tầng nhà ở lớn hơn số căn hộ / tầng, số căn hộ trên tầng lớn hơn số lối ra vào, số lượng lối ra vào nhiều hơn một. Tòa nhà có bao nhiêu tầng nếu có tổng số 105 căn hộ?

Để tìm số căn hộ trong một ngôi nhà, bạn cần nhân số căn hộ trên mỗi tầng () với số tầng () và nhân với số lối vào ().

Tức là, chúng ta cần tìm () dựa trên các điều kiện sau:

(1)

Bất bình đẳng cuối cùng phản ánh điều kiện "Số tầng trong tòa nhà lớn hơn số căn hộ trên một tầng, số căn hộ trên tầng lớn hơn số lối ra vào và số lượng lối vào nhiều hơn một".

Đó là, () là số lớn nhất.

Hãy phân tích 105 thành thừa số nguyên tố:

Có tính đến điều kiện (1) ,.

Trả lời: 7.

Vấn đề # 6036.

Có 30 loại nấm trong rổ: nấm rơm và nấm sữa. Người ta biết rằng trong số 12 cây nấm bất kỳ thì có ít nhất một cây nấm lạc đà, và trong số 20 cây nấm bất kỳ thì có ít nhất một cây nấm. Có bao nhiêu cây nấm trong rổ?

Như trong số 12 loại nấm có ít nhất một loài camelina(hoặc nhiều hơn) số lượng nấm phải nhỏ hơn hoặc bằng.

Có nghĩa là số lượng nắp sữa nghệ tây lớn hơn hoặc bằng.

Như trong số 20 cây nấm bất kỳ ít nhất một cây nấm(hoặc nhiều hơn), số lượng nắp sữa nghệ tây phải nhỏ hơn hoặc bằng

Sau đó, chúng tôi hiểu rằng, một mặt, số lượng nấm lớn hơn hoặc bằng 19 và mặt khác, nhỏ hơn hoặc bằng 19 .

Do đó, số lượng nấm bằng 19.

Trả lời: 19.

Bài toán số 6047.

Sasha mời Petya đến thăm, nói rằng anh ta sống ở lối vào thứ bảy trong căn hộ số 333, nhưng anh ta quên nói tầng. Đến gần ngôi nhà, Petya phát hiện ra rằng ngôi nhà có chín tầng. Sasha sống ở tầng nào? (Số lượng căn hộ trên mỗi tầng như nhau, số lượng căn hộ trong tòa nhà bắt đầu từ một).

Hãy để trên mỗi tầng của các căn hộ.

Khi đó, số lượng căn hộ trong sáu lối vào đầu tiên là

Tìm giá trị tự nhiên lớn nhất thỏa mãn bất đẳng thức (- số căn hộ cuối cùng ở lối vào thứ sáu, và nó nhỏ hơn 333.)

Từ đây

Số căn hộ cuối cùng trong lối vào thứ sáu -

Lối vào thứ bảy bắt đầu từ căn hộ thứ 325.

Do đó, căn hộ 333 lên tầng 2.

Trả lời: 2

Bài toán số 6060.

Trên bề mặt địa cầu, 17 đường kinh tuyến và 24 đường kinh tuyến được vẽ bằng bút dạ. Các đường được vẽ chia thành bao nhiêu phần trên bề mặt địa cầu? Kinh tuyến là một cung của đường tròn nối hai cực Bắc và Nam. Song song là đường tròn nằm trong mặt phẳng song song với mặt phẳng của xích đạo..

Hãy tưởng tượng một quả dưa hấu mà chúng ta cắt thành nhiều miếng.

Sau khi thực hiện hai đường cắt từ điểm trên cùng xuống dưới (vẽ hai đường kinh tuyến), chúng ta sẽ cắt dưa hấu thành hai lát. Do đó, sau khi thực hiện 24 lần cắt (24 đường kinh), chúng ta sẽ cắt dưa hấu thành 24 lát.

Bây giờ chúng ta sẽ cắt từng lát.

Nếu chúng ta thực hiện 1 lát cắt ngang (song song), thì chúng ta sẽ cắt một lát thành 2 phần.

Nếu chúng ta thực hiện 2 đường cắt ngang (song song), thì chúng ta sẽ cắt một lát thành 3 phần.

Vì vậy, sau khi thực hiện 17 lần cắt, chúng ta sẽ cắt một lát thành 18 phần.

Vì vậy, chúng tôi cắt 24 lát thành 18 miếng, và có một miếng.

Do đó, 17 vĩ tuyến và 24 kinh tuyến chia bề mặt địa cầu thành 432 phần.

Đáp số: 432.

Vấn đề # 6069

Trên thanh có đánh dấu các vạch ngang màu đỏ, vàng và xanh lá cây. Nếu bạn nhìn thấy que dọc theo các đường màu đỏ, bạn nhận được 5 mảnh, nếu dọc theo các đường màu vàng - 7 mảnh và nếu dọc theo các đường xanh - 11 mảnh. Bạn sẽ nhận được bao nhiêu mảnh nếu bạn cắt một que theo đường của cả ba màu?

Nếu bạn thực hiện 1 lần cắt, bạn sẽ có được 2 miếng.

Nếu bạn thực hiện 2 lần cắt, bạn được 3 miếng.

Trong trường hợp chung: nếu bạn thực hiện các vết cắt, bạn sẽ có được một mảnh.

Quay lại: để có được miếng, bạn cần phải thực hiện cắt.

Tìm tổng số đường mà thanh đã bị cắt.

Nếu bạn cắt que theo các đường màu đỏ, bạn sẽ có 5 mảnh - do đó, có 4 đường màu đỏ;

nếu trên màu vàng - 7 miếng - do đó, có 6 vạch vàng;

và nếu trên màu xanh lá cây - 11 miếng - do đó, có 10 đường màu xanh lá cây.

Do đó tổng số dòng là. Nếu bạn cắt thanh dọc theo tất cả các đường, bạn sẽ có 21 mảnh.

Trả lời: 21.

Vấn đề # 9626.

Trên đường vành đai có bốn trạm xăng: A, B, B, D. Khoảng cách giữa A và B là 50 km, giữa A và C là 40 km, giữa C và D là 25 km, giữa D và A là 35 km (tất cả các khoảng cách được đo dọc theo đường vành đai theo hướng ngắn nhất). Tìm khoảng cách giữa B và C.

Hãy xem các trạm xăng có thể được đặt như thế nào. Hãy thử sắp xếp chúng như thế này:


Với cách sắp xếp như vậy, khoảng cách giữa G và A không thể bằng 35 km.

Chúng ta hãy cố gắng này:


Với cách sắp xếp này, khoảng cách giữa A và B không thể là 40 km.

Hãy xem xét tùy chọn này:


Tùy chọn này thỏa mãn điều kiện của bài toán.

Trả lời: 10.

Vấn đề # 10041.

Danh sách các nhiệm vụ của bài kiểm tra bao gồm 25 câu hỏi. Mỗi câu trả lời đúng học sinh được 7 điểm, trả lời sai bị trừ 9 điểm, không trả lời được 0 điểm. Có bao nhiêu câu trả lời đúng của học sinh đạt 56 điểm, nếu biết rằng anh ta đã sai ít nhất một lần?

Cho học sinh đưa ra câu trả lời đúng và câu trả lời sai (). Vì có thể có nhiều câu hỏi mà anh ấy trả lời, nên chúng tôi nhận được sự bất bình đẳng:

Ngoài ra, theo điều kiện

Vì một câu trả lời đúng được cộng 7 điểm, và một câu trả lời sai trừ đi 9, và học sinh có 56 điểm, chúng ta có phương trình:

Phương trình này phải được giải bằng số nguyên.

Vì 9 không chia hết cho 7 nên nó phải chia hết cho 7.

Hãy để, sau đó.

Trong trường hợp này, tất cả các điều kiện đều được đáp ứng.

Vấn đề # 10056.

Hình chữ nhật được chia thành bốn hình chữ nhật nhỏ bằng hai đường cắt thẳng. Diện tích của ba trong số chúng, bắt đầu từ trên cùng bên trái và đi theo chiều kim đồng hồ, là 15, 18, 24. Tìm diện tích của hình chữ nhật thứ tư.


Diện tích của một hình chữ nhật bằng tích các cạnh của nó.

Hình chữ nhật màu vàng và màu xanh có một cạnh chung nên tỉ số diện tích các hình chữ nhật này bằng tỉ số độ dài các cạnh còn lại (không bằng nhau).

Các hình chữ nhật màu trắng và màu xanh lá cây cũng có một cạnh chung, vì vậy tỷ lệ diện tích của chúng bằng tỷ lệ các cạnh khác (không bằng nhau), tức là cùng một tỷ lệ:

Theo tính chất của tỷ lệ, chúng tôi nhận được

Từ đây.

Vấn đề # 10071.

Hình chữ nhật được chia thành bốn hình chữ nhật nhỏ bằng hai đường cắt thẳng. Chu vi của ba trong số họ, bắt đầu từ trên cùng bên trái và đi theo chiều kim đồng hồ, là 17, 12, 13. Tìm chu vi của hình chữ nhật thứ tư.


Chu vi của một hình chữ nhật bằng tổng các chiều dài của tất cả các cạnh của nó.

Hãy để chúng tôi chỉ định các cạnh của hình chữ nhật như được hiển thị trong hình và biểu thị chu vi của hình chữ nhật theo các biến được chỉ định. Chúng tôi nhận được:

Bây giờ chúng ta cần tìm giá trị của biểu thức là gì.

Trừ phương trình thứ hai khỏi phương trình thứ ba và cộng với phương trình thứ ba. Chúng tôi nhận được:

Đơn giản hóa các cạnh bên phải và bên trái, chúng ta nhận được:

Cho nên, .

Trả lời: 18.

Sự cố # 10086.

Bảng có ba cột và một số hàng. Trong mỗi ô của bảng, người ta đặt một số tự nhiên sao cho tổng tất cả các số ở cột đầu tiên là 72, ở cột thứ hai - 81, ở cột thứ ba - 91 và tổng các số trong mỗi hàng lớn hơn hơn 13, nhưng nhỏ hơn 16. Có bao nhiêu hàng trong bảng?

Hãy tìm tổng của tất cả các số trong bảng:.

Cho số hàng trong bảng là.

Theo điều kiện của bài toán, tổng các số trong mỗi dòng nhiều hơn 13 nhưng ít hơn 16.

Vì tổng các số là một số tự nhiên nên chỉ có hai số tự nhiên thỏa mãn bất đẳng thức kép này: 14 và 15.

Nếu chúng ta giả sử rằng tổng các số trong mỗi hàng là 14, thì tổng của tất cả các số trong bảng là, và tổng này thỏa mãn bất đẳng thức.

Nếu chúng ta giả sử rằng tổng các số trong mỗi hàng là 15, thì tổng của tất cả các số trong bảng là, và số này thỏa mãn bất đẳng thức.

Vậy, một số tự nhiên phải thỏa mãn hệ bất phương trình:

Điều tự nhiên duy nhất đáp ứng hệ thống này là

Trả lời: 17.

Biết các số tự nhiên A, B, C mà mỗi số lớn hơn 4 nhưng nhỏ hơn 8. Các em đoán một số tự nhiên rồi nhân với A, rồi cộng với tích B và trừ C. Nó quay ra 165. Con số được đoán là gì?

Số nguyên A, B và C có thể bằng các số 5, 6 hoặc 7.

Cho số tự nhiên chưa biết là.

Chúng tôi nhận được: ;

Hãy xem xét các lựa chọn khác nhau.

Cho A = 5. Khi đó B = 6 và C = 7, hoặc B = 7 và C = 6, hoặc B = 7 và C = 7, hoặc B = 6 và C = 6.

Hãy kiểm tra:; (một)

165 chia hết cho 5.

Hiệu của hai số B và C bằng hoặc bằng 0 nếu các số này bằng nhau. Nếu sự khác biệt là, thì đẳng thức (1) là không thể. Do đó, sự khác biệt là 0 và

Cho A = 6. Khi đó B = 5 và C = 7, hoặc B = 7 và C = 5, hoặc B = 7 và C = 7, hoặc B = 5 và C = 5.

Hãy kiểm tra:; (2)

Hiệu của hai số B và C bằng hoặc bằng 0 nếu các số này bằng nhau. Nếu hiệu bằng hoặc 0, thì đẳng thức (2) là không thể, vì nó là số chẵn và tổng (165 + số chẵn) không thể là số chẵn.

Cho A = 7. Khi đó B = 5 và C = 6, hoặc B = 6 và C = 5, hoặc B = 6 và C = 6, hoặc B = 5 và C = 5.

Hãy kiểm tra:; (3)

Hiệu của hai số B và C bằng hoặc bằng 0 nếu các số này bằng nhau. Số 165 khi chia cho 7 thì dư là 4. Do đó, nó cũng không chia hết cho 7 và bằng nhau (3) là không thể.

Trả lời: 33

Nhiều trang liên tiếp rơi ra khỏi cuốn sách. Số trang cuối cùng trước khi các tờ rơi là 352, số trang đầu tiên sau các tờ rơi được viết bằng các số như nhau, nhưng theo thứ tự khác nhau. Có bao nhiêu tờ rơi ra?

Rõ ràng, số trang đầu tiên sau khi các trang bị bỏ đi lớn hơn 352, vì vậy nó có thể là 532 hoặc 523.

Mỗi tờ rơi có 2 trang. Do đó, một số trang chẵn đã bị rơi ra ngoài. 352 là một số chẵn. Nếu chúng ta thêm một số chẵn vào một số chẵn, chúng ta nhận được một số chẵn. Do đó, số trang cuối cùng bị rơi là số chẵn, và số trang đầu tiên sau các trang bị rơi phải là số lẻ, tức là 523. Do đó, số trang cuối cùng bị rơi là 522. Sau đó, số trang bị rơi xuống trang tính.

Trả lời: 85

Masha và Gấu đã ăn 160 chiếc bánh quy và một lọ mứt, bắt đầu và kết thúc cùng một lúc. Lúc đầu, Masha ăn mứt, còn Gấu ăn bánh quy, nhưng đến một lúc nào đó thì chúng đã thay đổi. Con gấu ăn nhanh gấp ba lần Masha. Gấu đã ăn bao nhiêu cái bánh nếu chúng ăn cùng một lượng mứt?

Nếu Masha và Gấu ăn mứt như nhau, và gấu ăn mứt nhiều gấp ba lần trong một đơn vị thời gian, thì nó ăn mứt ít hơn Masha ba lần. Nói cách khác, Masha đã ăn mứt lâu hơn Gấu gấp ba lần. Nhưng trong khi Masha đang ăn mứt, con gấu đang ăn bánh quy. Do đó, con gấu đã ăn bánh quy lâu hơn Masha ba lần. Nhưng Gấu, hơn nữa, đã ăn số bánh quy trong một đơn vị thời gian nhiều hơn Masha ba lần, do đó, cuối cùng, cậu đã ăn số bánh quy nhiều hơn Masha 9 lần.

Bây giờ thật dễ dàng để viết một phương trình. Để Masha ăn bánh, sau đó Gấu ăn bánh. Họ cùng nhau ăn bánh quy. chúng tôi nhận được phương trình:

Trả lời: 144

Trên quầy của cửa hàng hoa có 3 lọ hoa hồng: cam, trắng và xanh. Bên trái bình màu cam là 15 bông hồng, bên phải bình màu xanh là 12 bông hồng. Có tổng số 22 bông hồng được đựng trong các lọ. có bao nhiêu bông hồng trong bình màu cam?

Vì 15 + 12 = 27 và 27> 22 nên số bông hoa trong một bình được đếm gấp đôi. Và đó là một chiếc bình màu trắng, bởi vì nó được cho là chiếc bình nằm bên phải chiếc màu xanh và bên trái chiếc màu cam. Vì vậy, các bình theo thứ tự sau:

Từ đây, chúng tôi nhận được hệ thống:

Trừ phương trình thứ nhất cho phương trình thứ ba, ta được O = 7.

Trả lời: 7

Mười cực được nối với nhau bằng dây sao cho có đúng 8 dây kéo dài từ mỗi cực. Có bao nhiêu sợi dây được xâu lại giữa mười cây cột này?

Quyết định

Hãy mô phỏng tình huống. Giả sử chúng ta có hai cực, và chúng được nối với nhau bằng dây sao cho đúng 1 dây rời mỗi cực. Sau đó, nó chỉ ra rằng 2 dây khởi hành từ các cực. Nhưng chúng tôi có tình huống này:


Tức là, mặc dù thực tế là 2 dây khởi hành từ các cực nhưng chỉ có một dây được kéo căng giữa các cực. Điều này có nghĩa là số lượng dây nối dài ít hơn hai lần so với số dây dẫn đi ra.

Ta nhận được: - số lượng dây đi ra.

Số lượng dây bị kéo căng.

Trả lời: 40

Trong số mười quốc gia, bảy quốc gia đã ký hiệp ước hữu nghị với chính xác ba quốc gia khác, và ba quốc gia còn lại có đúng bảy quốc gia. Tổng cộng có bao nhiêu hợp đồng đã được ký kết?

Nhiệm vụ này tương tự như lần trước: hai quốc gia ký một hiệp ước chung. Mỗi hợp đồng có hai chữ ký. Tức là số hiệp định được ký chỉ bằng một nửa số chữ ký.

Tìm số chữ ký:

Tìm số hợp đồng đã ký:

Trả lời: 21

Ba tia phát ra từ cùng một điểm chia mặt phẳng thành ba góc khác nhau, đo bằng độ nguyên. Góc lớn nhất gấp 3 lần góc nhỏ nhất. Góc trung bình có thể nhận bao nhiêu giá trị?

Để góc nhỏ nhất thì góc lớn nhất là. Vì tổng của tất cả các góc là, nên góc trung bình là.


Góc trung bình phải lớn hơn góc nhỏ nhất và nhỏ hơn góc lớn nhất.

Ta nhận được một hệ bất phương trình:

Do đó, nó nhận các giá trị trong phạm vi từ 52 đến 71 độ, tức là tất cả các giá trị có thể.

Trả lời: 20

Misha, Kolya và Lesha đang chơi bóng bàn: người chơi thua trận sẽ nhường chỗ cho người chơi không tham gia. Kết quả là Misha đã chơi 12 ván, và Kolya - 25. Lesha đã chơi bao nhiêu ván?

Quyết định

Cần giải thích cách tổ chức của giải đấu: giải đấu bao gồm một số trò chơi cố định; người chơi thua trong trò chơi này nhường chỗ cho người chơi không tham gia trò chơi này. Theo kết quả của trò chơi tiếp theo, người chơi không tham gia sẽ thay cho người thua cuộc. Do đó, mỗi người chơi tham gia ít nhất một trong hai trò chơi liên tiếp.

Hãy tìm xem có bao nhiêu trò chơi.

Vì Kolya đã chơi 25 trận, do đó, ít nhất 25 trận đã được chơi trong giải đấu.

Misha đã chơi 12 trò chơi. Vì anh ấy chắc chắn tham gia vào mọi trận đấu thứ hai, do đó, không có nhiều hơn các trò chơi được chơi. Đó là, giải đấu bao gồm 25 trò chơi.

Nếu Misha chơi 12 trận, thì Lesha chơi 13 trận còn lại.

Trả lời: 13

Vào cuối quý, Petya viết liên tiếp tất cả các điểm của mình cho một trong các môn học, có 5 môn trong số đó, và đặt các dấu nhân vào giữa một số môn. Tích của các số kết quả là 3495. Petya đạt điểm nào trong một phần tư môn học này nếu giáo viên chỉ chấm điểm 2, 3, 4 hoặc 5 và điểm cuối cùng trong quý là điểm trung bình cộng của tất cả các điểm hiện tại, được làm tròn theo quy tắc làm tròn? (Ví dụ: 3,2 vòng lên đến 3; 4,5 vòng lên đến 5; 2,8 vòng lên đến 3)

Hãy phân tích 3495 thành các thừa số nguyên tố. Chữ số tận cùng của số là 5 nên số đó chia hết cho 5; Tổng các chữ số chia hết cho 3 nên số đó chia hết cho 3.

Hiểu rồi

Do đó, các ước lượng của Petya là 3, 5, 2, 3, 3. Hãy tìm trung bình cộng:

Trả lời: 3

Trung bình cộng của 6 số tự nhiên khác nhau bằng 8. Phải tăng số lớn nhất trong các số này lên bao nhiêu để trung bình cộng của chúng lớn hơn 1?

Trung bình cộng bằng tổng của tất cả các số chia cho số của chúng. Gọi tổng của tất cả các số là. Theo điều kiện của vấn đề, do đó.

Trung bình cộng đã tăng lên 1, nghĩa là nó đã trở thành bằng 9. Nếu một trong các số đã được tăng lên, thì tổng đã tăng lên và trở thành bằng.

Số các số không thay đổi và bằng 6.

Chúng tôi nhận được sự bình đẳng: