Tính tổng bằng cách sử dụng số phức. Giải bài toán về số phức

Để giải các bài toán với số phức, bạn cần hiểu các định nghĩa cơ bản. Mục tiêu chính của bài tổng quan này là giải thích số phức là gì và trình bày các phương pháp giải các bài toán cơ bản về số phức. Do đó, một số phức là một số có dạng z = a + bi, ở đâu a, b- số thực, tương ứng được gọi là phần thực và phần ảo của một số phức, và biểu thị a = Re (z), b = Im (z).
tôiđược gọi là đơn vị ảo. tôi 2 \ u003d -1. Đặc biệt, bất kỳ số thực nào cũng có thể được coi là phức: a = a + 0i, trong đó a là thực. Nếu a = 0 Và b ≠ 0, sau đó con số được gọi là hoàn toàn tưởng tượng.

Bây giờ chúng tôi giới thiệu các phép toán trên số phức.
Xét hai số phức z 1 = a 1 + b 1 i Và z 2 = a 2 + b 2 i.

Xem xét z = a + bi.

Tập hợp các số phức mở rộng tập hợp các số thực, đến lượt nó mở rộng tập hợp các số hữu tỉ, v.v. Chuỗi nhúng này có thể được nhìn thấy trong hình: N - số tự nhiên, Z - số nguyên, Q - hữu tỉ, R - thực, C - phức.

Biểu diễn số phức

Kí hiệu đại số.

Xem xét một số phức z = a + bi, dạng viết số phức này được gọi là đại số. Chúng ta đã thảo luận chi tiết về hình thức viết này trong phần trước. Khá thường xuyên sử dụng hình vẽ minh họa sau

dạng lượng giác.

Có thể thấy qua hình ảnh rằng con số z = a + bi có thể được viết khác nhau. Hiển nhiên là a = rcos (φ), b = rsin (φ), r = | z |, Hậu quả là z = rcos (φ) + rsin (φ) i, φ ∈ (-π; π) được gọi là đối số của một số phức. Biểu diễn này của một số phức được gọi là dạng lượng giác. Dạng ký hiệu lượng giác đôi khi rất tiện lợi. Ví dụ: sẽ thuận tiện khi sử dụng nó để nâng một số phức lên lũy thừa số nguyên, cụ thể là nếu z = rcos (φ) + rsin (φ) i, sau đó z n = r n cos (nφ) + r n sin (nφ) i, công thức này được gọi là Công thức của De Moivre.

Hình thức minh chứng.

Xem xét z = rcos (φ) + rsin (φ) i là số phức ở dạng lượng giác, ta viết dưới dạng khác z = r (cos (φ) + sin (φ) i) = re iφ, đẳng thức cuối cùng tuân theo công thức Euler, vì vậy chúng tôi có một dạng mới để viết một số phức: z = lại tôi, được gọi là Biểu tình. Dạng ký hiệu này cũng rất thuận tiện để nâng một số phức lên lũy thừa: z n = r n e inφ, đây n không nhất thiết là một số nguyên, nhưng có thể là một số thực tùy ý. Dạng viết này khá thường được sử dụng để giải các bài toán.

Định lý cơ bản của đại số cao hơn

Hãy tưởng tượng rằng chúng ta có một phương trình bậc hai x 2 + x + 1 = 0. Rõ ràng là phân biệt của phương trình này là âm và nó không có nghiệm nguyên thực, nhưng hóa ra phương trình này có hai nghiệm thức phức tạp khác nhau. Vì vậy, định lý chính của đại số bậc cao phát biểu rằng bất kỳ đa thức bậc n nào cũng có ít nhất một căn phức. Từ đó suy ra rằng bất kỳ đa thức bậc n nào cũng có đúng n gốc phức, có tính đến tính đa thức của chúng. Định lý này là một kết quả rất quan trọng trong toán học và được áp dụng rộng rãi. Một hệ quả đơn giản của định lý này là kết quả sau: có đúng n căn bậc n phân biệt của phép đồng dạng.

Các loại nhiệm vụ chính

Trong phần này, các dạng chính của bài toán số phức đơn giản sẽ được xem xét. Thông thường, các bài toán về số phức có thể được chia thành các loại sau.

• Thực hiện các phép tính số học đơn giản trên số phức.
• Tìm nghiệm nguyên của đa thức trong số phức.
• Nâng số phức thành lũy thừa.
• Rút gốc từ số phức.
• Ứng dụng của số phức để giải các bài toán khác.

Bây giờ hãy xem xét các phương pháp chung để giải quyết những vấn đề này.

Các phép toán số học đơn giản nhất với số phức được thực hiện theo các quy tắc được mô tả trong phần đầu tiên, nhưng nếu số phức được trình bày dưới dạng lượng giác hoặc hàm mũ, thì trong trường hợp này, chúng có thể được chuyển thành dạng đại số và thực hiện các phép toán theo các quy tắc đã biết.

Việc tìm nghiệm nguyên của đa thức thường đi kèm với việc tìm nghiệm nguyên của phương trình bậc hai. Giả sử chúng ta có một phương trình bậc hai, nếu số phân biệt của nó không âm, thì nghiệm nguyên của nó sẽ là thực và được tìm theo một công thức đã biết. Nếu số phân biệt là âm, thì D = -1 ∙ a 2, ở đâu Một là một số nhất định, khi đó chúng ta có thể biểu diễn số phân biệt ở dạng D = (ia) 2, Hậu quả là √D = i | a |, và sau đó bạn có thể sử dụng công thức đã biết cho nghiệm nguyên của phương trình bậc hai.

Ví dụ. Hãy trở về phương trình bậc hai đã nói ở trên x 2 + x + 1 = 0.
Phân biệt đối xử - D \ u003d 1 - 4 ∙ 1 \ u003d -3 \ u003d -1 (√3) 2 \ u003d (i√3) 2.
Bây giờ chúng ta có thể dễ dàng tìm thấy gốc rễ:

Việc nâng số phức lên lũy thừa có thể được thực hiện theo một số cách. Nếu bạn muốn nâng một số phức ở dạng đại số lên một lũy thừa nhỏ (2 hoặc 3), thì bạn có thể thực hiện điều này bằng phép nhân trực tiếp, nhưng nếu mức độ lớn hơn (trong các bài toán thường lớn hơn nhiều), thì bạn cần viết số này dưới dạng lượng giác hoặc hàm mũ và sử dụng các phương pháp đã biết.

Ví dụ. Xét z = 1 + i và nâng lên lũy thừa thứ mười.
Ta viết z dưới dạng hàm số mũ: z = √2 e iπ / 4.
sau đó z 10 = (√2 e iπ / 4) 10 = 32 e 10iπ / 4.
Hãy trở về dạng đại số: z 10 = -32i.

Rút gốc từ số phức là phép toán nghịch đảo đối với lũy thừa, vì vậy nó được thực hiện theo cách tương tự. Để rút gốc, người ta thường sử dụng hình thức viết một số theo cấp số nhân.

Ví dụ. Tìm tất cả các gốc bậc 3 của phép đồng dạng. Để làm được điều này, chúng ta tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình z 3 = 1, chúng ta sẽ tìm các nghiệm nguyên ở dạng mũ.
Thay vào phương trình: r 3 e 3iφ = 1 hoặc r 3 e 3iφ = e 0.
Do đó: r = 1, 3φ = 0 + 2πk, do đó φ = 2πk / 3.
Các gốc khác nhau thu được tại φ = 0, 2π / 3, 4π / 3.
Do đó 1, e i2π / 3, e i4π / 3 là các nghiệm nguyên.
Hoặc ở dạng đại số:

Loại vấn đề cuối cùng bao gồm rất nhiều vấn đề và không có phương pháp chung nào để giải quyết chúng. Đây là một ví dụ đơn giản về một nhiệm vụ như vậy:

Tìm số tiền sin (x) + sin (2x) + sin (2x) +… + sin (nx).

Mặc dù công thức của vấn đề này không đề cập đến số phức, nhưng với sự trợ giúp của họ, nó có thể được giải quyết một cách dễ dàng. Để giải quyết nó, các biểu diễn sau được sử dụng:


Nếu bây giờ chúng ta thay thế biểu diễn này thành tổng, thì bài toán được rút gọn thành tổng của cấp tiến hình học thông thường.

Phần kết luận

Số phức được sử dụng rộng rãi trong toán học, bài viết tổng quan này thảo luận về các phép toán cơ bản trên số phức, mô tả một số dạng bài toán tiêu chuẩn và mô tả ngắn gọn các phương pháp chung để giải chúng, để nghiên cứu chi tiết hơn về các khả năng của số phức, chúng tôi khuyên bạn nên sử dụng tài liệu chuyên ngành.

Văn học

CƠ QUAN LIÊN BANG VỀ GIÁO DỤC

CÁCH MẠNG GIÁO DỤC NHÀ NƯỚC

GIÁO DỤC CHUYÊN NGHIỆP CAO HƠN

"TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TIỂU HỌC NHÀ NƯỚC VORONEZH"

CHỦ TỊCH CỦA AGLEBRA VÀ HÌNH HỌC

Số phức

(nhiệm vụ đã chọn)

CÔNG VIỆC ĐÁNH GIÁ CUỐI CÙNG

chuyên toán 050201.65

(có thêm chuyên ngành tin học 050202.65)

Hoàn thành bởi: sinh viên năm thứ 5

vật lý và toán học

khoa

Cố vấn khoa học:

VORONEZH - 2008

1. Giới thiệu……………………………………………………...…………..…

2. Số phức (bài toán chọn lọc)

2.1. Số phức ở dạng đại số…. …… ... ……….….

2.2. Giải thích hình học của số phức ………… ..…

2.3. Dạng lượng giác của số phức

2.4. Ứng dụng lý thuyết số phức vào giải phương trình bậc 3, bậc 4 …………… .. …………………………………………………………

2.5. Số phức và tham số ……… ... …………………… ...….

3. Kết luận…………………………………………………….................

4. Danh mục tài liệu tham khảo …………………………. ………………… .............

1. Giới thiệu

Trong chương trình toán của khóa học ở trường, lý thuyết số được giới thiệu bằng cách sử dụng các ví dụ về tập hợp các số tự nhiên, số nguyên, hữu tỉ, vô tỉ, tức là trên tập hợp các số thực có ảnh lấp đầy toàn bộ trục số. Nhưng đã ở lớp 8 thì không có đủ kho số thực, giải phương trình bậc hai với một phân biệt âm. Do đó, cần phải bổ sung kho số thực bằng số phức, mà căn bậc hai của một số âm có ý nghĩa.

Việc lựa chọn chủ đề "Số phức", làm chủ đề cho công việc cuối cùng của tôi, là khái niệm về số phức mở rộng kiến ​​thức của học sinh về các hệ số, về việc giải một loạt các bài toán của cả nội dung đại số và hình học, về giải phương trình đại số bất kỳ và về giải các bài toán với tham số.

Trong luận án này, giải pháp của 82 vấn đề được xem xét.

Phần đầu tiên của phần chính "Số phức" cung cấp lời giải cho các bài toán về số phức ở dạng đại số, định nghĩa các phép toán cộng, trừ, nhân, chia, liên hợp đối với số phức ở dạng đại số, bậc của một đơn vị ảo, môđun của một số phức, và cũng đặt ra quy tắc trích căn bậc hai của một số phức.

Trong phần thứ hai, các bài toán được giải để giải thích hình học của số phức dưới dạng điểm hoặc vectơ của mặt phẳng phức.

Phần thứ ba đề cập đến các phép toán trên số phức dưới dạng lượng giác. Công thức được sử dụng: De Moivre và trích xuất một căn từ một số phức.

Phần thứ tư dành để giải phương trình bậc 3 và bậc 4.

Khi giải các bài toán của phần cuối "Số phức và Tham số", thông tin được đưa ra trong các phần trước được sử dụng và củng cố. Một loạt các bài toán trong chương này được dành để xác định họ các đường trong mặt phẳng phức được cho bởi các phương trình (bất phương trình) với một tham số. Trong một phần của bài tập, bạn cần giải phương trình với một tham số (trên trường C). Có những nhiệm vụ trong đó một biến phức tạp đồng thời thỏa mãn một số điều kiện. Một đặc điểm của việc giải các bài toán của phần này là rút gọn nhiều bài thành nghiệm của phương trình (bất phương trình, hệ) bậc hai, vô tỷ, lượng giác với một tham số.

Một đặc điểm của cách trình bày tài liệu của mỗi phần là giới thiệu cơ sở lý thuyết ban đầu, sau đó là ứng dụng thực tế của chúng trong việc giải quyết các vấn đề.

Cuối luận án là danh sách các tài liệu đã sử dụng. Hầu hết trong số đó, tài liệu lý thuyết được trình bày đầy đủ chi tiết và dễ tiếp cận, các giải pháp cho một số vấn đề được xem xét và các nhiệm vụ thực tế được đưa ra cho các giải pháp độc lập. Tôi muốn đặc biệt chú ý đến các nguồn như:

1. Gordienko N.A., Belyaeva E.S., Firstov V.E., Serebryakova I.V. Số phức và ứng dụng của chúng: SGK. . Tài liệu của sổ tay được trình bày dưới dạng bài giảng và bài tập thực hành.

2. Shklyarsky D.O., Chentsov N.N., Yaglom I.M. Các bài toán và định lý chọn lọc của toán tiểu học. Số học và Đại số. Sách gồm 320 bài toán liên quan đến lý thuyết đại số, số học. Về bản chất, những nhiệm vụ này khác biệt đáng kể so với những nhiệm vụ ở trường học tiêu chuẩn.

2. Số phức (bài toán chọn lọc)

2.1. Số phức ở dạng đại số

Giải pháp của nhiều vấn đề trong toán học và vật lý được rút gọn thành giải các phương trình đại số, tức là phương trình có dạng

,

trong đó a0, a1,…, an là các số thực. Vì vậy, việc nghiên cứu phương trình đại số là một trong những câu hỏi quan trọng nhất trong toán học. Ví dụ, một phương trình bậc hai với một phân biệt âm không có nghiệm nguyên. Phương trình đơn giản nhất như vậy là phương trình

.

Để phương trình này có nghiệm, cần phải mở rộng tập hợp các số thực bằng cách thêm vào nó căn của phương trình.

.

Hãy biểu thị gốc này là

. Do đó, theo định nghĩa, hoặc,

Hậu quả là,

. được gọi là đơn vị ảo. Với sự trợ giúp của nó và sự trợ giúp của một cặp số thực, một biểu thức có dạng được hình thành.

Biểu thức kết quả được gọi là số phức vì chúng chứa cả phần thực và phần ảo.

Vì vậy, số phức được gọi là biểu thức có dạng

, và là các số thực, và là một số ký hiệu thỏa mãn điều kiện. Số được gọi là phần thực của số phức và số được gọi là phần ảo của nó. Các ký hiệu, được sử dụng để chỉ định chúng.

Số phức của biểu mẫu

là các số thực và do đó, tập hợp số phức chứa tập hợp các số thực.

Số phức của biểu mẫu

được gọi là hoàn toàn tưởng tượng. Hai số phức có dạng và được gọi là bằng nhau nếu phần thực và phần ảo của chúng bằng nhau, tức là nếu bằng nhau,.

Ký hiệu đại số của số phức giúp bạn có thể thực hiện các phép toán trên chúng theo các quy tắc thông thường của đại số.

Việc sử dụng các phương trình phổ biến trong cuộc sống của chúng ta. Chúng được sử dụng trong nhiều tính toán, xây dựng các công trình và thậm chí cả thể thao. Các phương trình đã được con người sử dụng từ thời cổ đại và kể từ đó việc sử dụng chúng chỉ ngày càng tăng lên. Để rõ ràng, chúng ta hãy giải quyết vấn đề sau:

Tính toán \ [(z_1 \ cdot z_2) ^ (10), \] nếu \

Trước hết, chúng ta hãy chú ý đến thực tế là một số được biểu diễn ở dạng đại số, số kia - ở dạng lượng giác. Nó cần được đơn giản hóa và chuyển sang dạng sau

\ [z_2 = \ frac (1) (4) (\ cos \ frac (\ pi) (6) + i \ sin \ frac (\ pi) (6)). \]

Biểu thức \ nói rằng, trước hết, chúng ta thực hiện phép nhân và nâng lên lũy thừa thứ 10 theo công thức Moivre. Công thức này được xây dựng cho dạng lượng giác của một số phức. Chúng tôi nhận được:

\ [\ begin (vmatrix) z_1 \ end (vmatrix) = \ sqrt ((-1) ^ 2 + (\ sqrt 3) ^ 2) = \ sqrt 4 = 2 \]

\ [\ varphi_1 = \ pi + \ arctan \ frac (\ sqrt 3) (- 1) = \ pi \ arctan \ sqrt 3 = \ pi- \ frac (\ pi) (3) = \ frac (2 \ pi) ( 3) \]

Tuân thủ quy tắc nhân số phức dưới dạng lượng giác, chúng ta thực hiện như sau:

Trong trường hợp của chúng ta:

\ [(z_1 + z_2) ^ (10) = (\ frac (1) (2)) ^ (10) \ cdot (\ cos (10 \ cdot \ frac (5 \ pi) (6)) + i \ sin \ cdot \ frac (5 \ pi) (6))) = \ frac (1) (2 ^ (10)) \ cdot \ cos \ frac (25 \ pi) (3) + i \ sin \ frac (25 \ pi) (3). \]

Làm cho phân số \ [\ frac (25) (3) = 8 \ frac (1) (3) \] đúng, chúng tôi kết luận rằng có thể "xoắn" 4 vòng \ [(8 \ pi rad.): \ ]

\ [(z_1 + z_2) ^ (10) = \ frac (1) (2 ^ (10)) \ cdot (\ cos \ frac (\ pi) (3) + i \ sin \ frac (\ pi) (3 )) \]

Trả lời: \ [(z_1 + z_2) ^ (10) = \ frac (1) (2 ^ (10)) \ cdot (\ cos \ frac (\ pi) (3) + i \ sin \ frac (\ pi) (3)) \]

Phương trình này có thể được giải theo một cách khác, tóm lại là đưa số thứ 2 về dạng đại số, sau đó thực hiện phép nhân ở dạng đại số, chuyển kết quả sang dạng lượng giác và áp dụng công thức Moivre:

Tôi có thể giải hệ phương trình với số phức trực tuyến ở đâu?

Bạn có thể giải hệ phương trình trên trang web https: // site của chúng tôi. Trình giải trực tuyến miễn phí sẽ cho phép bạn giải một phương trình trực tuyến có độ phức tạp bất kỳ trong vài giây. Tất cả những gì bạn phải làm chỉ là nhập dữ liệu của bạn vào bộ giải. Bạn cũng có thể xem video hướng dẫn và tìm hiểu cách giải phương trình trên trang web của chúng tôi. Và nếu bạn có bất kỳ câu hỏi nào, bạn có thể hỏi họ trong nhóm Vkontakte của chúng tôi http://vk.com/pocketteacher. Tham gia nhóm của chúng tôi, chúng tôi luôn sẵn lòng giúp đỡ bạn.

Dịch vụ giải phương trình trực tuyến sẽ giúp bạn giải bất phương trình. Sử dụng trang web của chúng tôi, bạn sẽ không chỉ nhận được câu trả lời cho phương trình mà còn xem được lời giải chi tiết, nghĩa là hiển thị từng bước quá trình thu được kết quả. Dịch vụ của chúng tôi sẽ hữu ích cho học sinh trung học và phụ huynh của các em. Học sinh sẽ ôn luyện cho các bài kiểm tra, bài thi, kiểm tra kiến ​​thức, phụ huynh sẽ kiểm soát được việc giải các phương trình toán học cùng con em mình. Năng lực giải phương trình là yêu cầu bắt buộc đối với học sinh. Dịch vụ sẽ giúp bạn tự học và nâng cao kiến ​​thức của mình trong lĩnh vực phương trình toán học. Với nó, bạn có thể giải bất kỳ phương trình nào: bậc hai, bậc ba, vô tỷ, lượng giác, v.v. Lợi ích của dịch vụ trực tuyến là vô giá, vì ngoài câu trả lời chính xác, bạn còn có lời giải chi tiết cho từng phương trình. Lợi ích của việc giải phương trình trực tuyến. Bạn có thể giải bất kỳ phương trình trực tuyến trên trang web của chúng tôi hoàn toàn miễn phí. Dịch vụ hoàn toàn tự động, bạn không phải cài đặt bất cứ thứ gì trên máy tính, bạn chỉ cần nhập dữ liệu và chương trình sẽ đưa ra giải pháp. Mọi lỗi tính toán hoặc lỗi đánh máy đều bị loại trừ. Rất dễ dàng để giải bất kỳ phương trình trực tuyến với chúng tôi, vì vậy hãy nhớ sử dụng trang web của chúng tôi để giải bất kỳ loại phương trình nào. Bạn chỉ cần nhập dữ liệu và việc tính toán sẽ hoàn thành trong vài giây. Chương trình hoạt động độc lập, không có sự can thiệp của con người và bạn sẽ nhận được câu trả lời chính xác và chi tiết. Nghiệm của phương trình ở dạng tổng quát. Trong một phương trình như vậy, các hệ số biến và các gốc mong muốn được kết nối với nhau. Công suất cao nhất của một biến xác định bậc của một phương trình như vậy. Dựa trên cơ sở này, các phương pháp và định lý khác nhau được sử dụng cho các phương trình để tìm nghiệm. Giải các phương trình dạng này có nghĩa là tìm các nghiệm nguyên mong muốn ở dạng tổng quát. Dịch vụ của chúng tôi cho phép bạn giải trực tuyến ngay cả những phương trình đại số phức tạp nhất. Bạn có thể nhận được cả nghiệm chung của phương trình và nghiệm riêng cho các giá trị số của hệ số bạn đã chỉ định. Để giải một phương trình đại số trên trang web, chỉ cần điền chính xác vào hai trường: phần bên trái và bên phải của phương trình đã cho là đủ. Phương trình đại số với hệ số thay đổi có vô số nghiệm và bằng cách đặt các điều kiện nhất định, các nghiệm cụ thể được chọn từ tập các nghiệm. Phương trình bậc hai. Phương trình bậc hai có dạng ax ^ 2 + bx + c = 0 với a> 0. Nghiệm của phương trình dạng bình phương ngụ ý tìm các giá trị của x, tại đó đẳng thức ax ^ 2 + bx + c \ u003d 0 được thỏa mãn. Để làm điều này, giá trị của số phân biệt được tìm bằng công thức D = b ^ 2-4ac. Nếu số phân biệt nhỏ hơn 0 thì phương trình không có nghiệm nguyên (căn là từ trường số phức), nếu nó bằng 0 thì phương trình có một căn thực và nếu số phân biệt lớn hơn 0 thì phương trình có hai nghiệm nguyên, được tìm bằng công thức: D \ u003d -b + -sqrt / 2a. Để giải một phương trình bậc hai trực tuyến, bạn chỉ cần nhập các hệ số của một phương trình đó (số nguyên, phân số hoặc giá trị thập phân). Nếu có dấu trừ trong phương trình, bạn phải đặt dấu trừ trước các số hạng tương ứng của phương trình. Bạn cũng có thể giải phương trình bậc hai trực tuyến tùy thuộc vào tham số, tức là các biến trong hệ số của phương trình. Dịch vụ trực tuyến của chúng tôi để tìm kiếm các giải pháp phổ biến có thể đáp ứng hoàn hảo nhiệm vụ này. Các phương trình tuyến tính. Để giải phương trình tuyến tính (hoặc hệ phương trình), trong thực tế thường sử dụng bốn phương pháp chính. Hãy mô tả chi tiết từng phương pháp. Phương pháp thay thế. Việc giải các phương trình bằng phương pháp thay thế yêu cầu biểu thị một biến dưới dạng các biến khác. Sau đó, biểu thức được thay thế vào các phương trình khác của hệ thống. Do đó, tên của phương pháp giải, nghĩa là, thay vì một biến, biểu thức của nó thông qua các biến còn lại được thay thế. Trong thực tế, phương pháp này yêu cầu các phép tính phức tạp, mặc dù nó rất dễ hiểu, vì vậy việc giải một phương trình trực tuyến như vậy sẽ tiết kiệm thời gian và tính toán dễ dàng hơn. Bạn chỉ cần xác định số ẩn số trong phương trình và điền dữ liệu từ phương trình tuyến tính, sau đó dịch vụ sẽ thực hiện tính toán. Phương pháp Gauss. Phương pháp này dựa trên các phép biến đổi đơn giản nhất của hệ để đi đến một hệ tam giác tương đương. Các ẩn số được xác định từng cái một từ nó. Trong thực tế, bạn cần giải một phương trình trực tuyến với mô tả chi tiết, nhờ đó bạn sẽ học tốt phương pháp Gauss để giải hệ phương trình tuyến tính. Viết hệ phương trình tuyến tính dưới dạng đúng và có tính đến số ẩn số để giải hệ một cách chính xác. Phương pháp của Cramer. Phương pháp này giải hệ phương trình trong trường hợp hệ có nghiệm duy nhất. Phép toán chính ở đây là tính toán các định thức của ma trận. Giải phương trình bằng phương pháp Cramer được thực hiện trực tuyến, bạn nhận được kết quả ngay lập tức với mô tả đầy đủ và chi tiết. Chỉ cần điền vào hệ thống các hệ số và chọn số lượng biến chưa biết là đủ. phương pháp ma trận. Phương pháp này bao gồm việc thu thập các hệ số của ẩn số trong ma trận A, ẩn số trong cột X và các số hạng tự do trong cột B. Do đó, hệ phương trình tuyến tính được rút gọn thành một phương trình ma trận có dạng AxX = B. Phương trình này chỉ có nghiệm duy nhất nếu định thức của ma trận A khác 0, nếu không hệ không có nghiệm hoặc vô số nghiệm. Nghiệm của phương trình bằng phương pháp ma trận là tìm ma trận A nghịch đảo.

Biểu thức, phương trình và hệ phương trình
với số phức

Hôm nay trong bài học chúng ta sẽ nêu các thao tác điển hình với số phức cũng như nắm vững kỹ thuật giải biểu thức, phương trình và hệ phương trình chứa các số này. Hội thảo này là phần tiếp theo của bài học, và do đó nếu bạn không quen với chủ đề này, vui lòng theo liên kết ở trên. Chà, tôi đề nghị những độc giả chuẩn bị kỹ càng hơn ngay lập tức hãy khởi động lại:

ví dụ 1

Đơn giản hóa Biểu thức , nếu . Trình bày kết quả dưới dạng lượng giác và mô tả nó trên mặt phẳng phức.

Giải pháp: vì vậy, bạn cần thay thế trong phân số "khủng khiếp", thực hiện đơn giản hóa và dịch kết quả số phức trong dạng lượng giác. Thêm nữa, chết tiệt.

Cách tốt nhất để đưa ra quyết định là gì? Sẽ có lợi hơn nếu xử lý một biểu thức đại số “ưa thích” theo từng giai đoạn. Thứ nhất, sự chú ý ít bị phân tán hơn, và thứ hai, nếu nhiệm vụ không được ghi nhận, việc tìm ra lỗi sẽ dễ dàng hơn nhiều.

1) Hãy đơn giản hóa tử số trước. Thay giá trị vào nó, mở dấu ngoặc và sửa kiểu tóc:

... Vâng, một Quasimodo như vậy từ các số phức hóa ra ...

Tôi nhắc bạn rằng trong quá trình biến đổi, những thứ hoàn toàn thông thường được sử dụng - quy tắc nhân các đa thức và đẳng thức đã trở thành tầm thường. Điều chính là phải cẩn thận và không bị nhầm lẫn trong các dấu hiệu.

2) Bây giờ là mẫu số tiếp theo. Nếu, thì:

Lưu ý những gì một cách diễn giải bất thường được sử dụng công thức tổng bình phương. Ngoài ra, bạn có thể thay đổi tại đây khuôn dạng con. Tất nhiên, kết quả sẽ trùng khớp.

3) Và cuối cùng là toàn bộ biểu thức. Nếu, thì:

Để loại bỏ phân số, chúng ta nhân tử số và mẫu số với biểu thức chia thành mẫu số. Tuy nhiên, với mục đích áp dụng sự khác biệt của các công thức bình phương nên được sơ bộ (và chắc chắn!)đặt phần thực âm ở vị trí thứ 2:

Và bây giờ là quy tắc quan trọng:

TRONG KHÔNG SỰ KIỆN NÀO CHÚNG TÔI KHÔNG NHẮC LẠI! Tốt hơn nên chơi nó an toàn và kê thêm một bước.
Trong các biểu thức, phương trình và hệ thống với các số phức, các phép tính miệng tự phụ đầy như bao giờ hết!

Có một cơn co thắt tốt trong bước cuối cùng và đó chỉ là một dấu hiệu tuyệt vời.

Ghi chú : nói đúng ra, phép chia số phức cho số phức 50 diễn ra ở đây (nhớ lại điều đó). Tôi đã giữ im lặng về sắc thái này cho đến bây giờ và chúng ta sẽ nói về nó sau một thời gian ngắn.

Hãy biểu thị thành tích của chúng ta bằng chữ cái

Hãy biểu diễn kết quả dưới dạng lượng giác. Nói chung, ở đây bạn có thể làm mà không cần bản vẽ, nhưng ngay khi có yêu cầu, sẽ hợp lý hơn khi hoàn thành nó ngay bây giờ:

Tính môđun của một số phức:

Nếu bạn thực hiện một bản vẽ trên tỷ lệ 1 đơn vị. \ u003d 1 cm (2 ô tetrad), thì giá trị kết quả dễ dàng kiểm tra bằng thước thường.

Hãy tìm một lập luận. Vì số nằm trong phần tư tọa độ thứ 2, nên:

Góc được kiểm tra đơn giản bằng thước đo góc. Đây là điểm cộng không thể nghi ngờ của bức vẽ.

Như vậy: - số mong muốn ở dạng lượng giác.

Hãy kiểm tra:
, đã được xác minh.

Thật tiện lợi khi tìm các giá trị không quen thuộc của sin và cosine bằng cách bảng lượng giác.

Trả lời:

Một ví dụ tương tự cho giải pháp tự làm:

Ví dụ 2

Đơn giản hóa Biểu thức , ở đâu . Vẽ số kết quả trên mặt phẳng phức và viết nó dưới dạng cấp số nhân.

Cố gắng đừng bỏ qua các bài hướng dẫn. Chúng có vẻ đơn giản, nhưng nếu không được đào tạo, “chui vào vũng lầy” không chỉ đơn giản mà còn rất dễ dàng. Vì vậy, chúng ta hãy bắt tay vào nó.

Thông thường, vấn đề cho phép nhiều hơn một giải pháp:

Ví dụ 3

Tính toán nếu,

Giải pháp: trước hết, chúng ta hãy chú ý đến điều kiện ban đầu - một số được trình bày ở dạng đại số, và số kia ở dạng lượng giác, và thậm chí với độ. Hãy ngay lập tức viết lại nó trong một hình thức quen thuộc hơn: .

Các phép tính phải được thực hiện dưới dạng nào? Rõ ràng, biểu thức liên quan đến phép nhân đầu tiên và tiếp tục nâng lên lũy thừa thứ 10 trong Công thức De Moivre, được lập về dạng lượng giác của một số phức. Do đó, có vẻ hợp lý hơn khi chuyển đổi số đầu tiên. Tìm mô-đun và đối số của nó:

Ta sử dụng quy tắc nhân số phức dưới dạng lượng giác:
nếu, sau đó

Làm cho phân số chính xác, chúng tôi đi đến kết luận rằng có thể "xoắn" 4 lượt ( vui mừng.):

Cách thứ hai để giải quyết là chuyển số thứ 2 sang dạng đại số , thực hiện phép nhân ở dạng đại số, chuyển kết quả thành dạng lượng giác và sử dụng công thức Moivre.

Như bạn có thể thấy, một hành động "bổ sung". Những ai muốn có thể làm theo giải pháp đến cùng và đảm bảo rằng kết quả phù hợp.

Điều kiện không nói gì về dạng của số phức kết quả, vì vậy:

Trả lời:

Nhưng "để làm đẹp" hoặc theo yêu cầu, kết quả có thể dễ dàng được biểu diễn dưới dạng đại số:

Một mình:

Ví dụ 4

Đơn giản hóa Biểu thức

Ở đây cần phải nhớ hành động với quyền hạn, mặc dù không có một quy tắc hữu ích nào trong sổ tay đào tạo, nhưng đây là:.

Và một lưu ý quan trọng nữa: ví dụ có thể được giải quyết theo hai kiểu. Tùy chọn đầu tiên là làm việc với hai số và đưa lên với phân số. Tùy chọn thứ hai là đại diện cho mỗi số trong biểu mẫu thương của hai số: Và thoát khỏi bốn câu chuyện. Từ quan điểm chính thức, không có sự khác biệt về cách quyết định, nhưng có một sự khác biệt có ý nghĩa! Hãy cân nhắc tốt:
là một số phức;
là thương của hai số phức (và), tuy nhiên, tùy thuộc vào ngữ cảnh, người ta cũng có thể nói điều này: một số được biểu diễn dưới dạng thương của hai số phức.

Lời giải ngắn gọn và đáp án ở cuối bài.

Biểu thức là tốt, nhưng phương trình tốt hơn:

Phương trình với hệ số phức

Chúng khác với các phương trình "thông thường" như thế nào? Hệ số =)

Từ nhận xét trên, hãy bắt đầu với ví dụ sau:

Ví dụ 5

giải phương trình

Và một lời mở đầu ngay lập tức trong cuộc theo đuổi nóng bỏng: ban đầu vế phải của phương trình được định vị là thương của hai số phức (và 13), và do đó, sẽ là một hình thức tồi nếu viết lại điều kiện với số (mặc dù nó sẽ không gây ra lỗi). Nhân tiện, sự khác biệt này được nhìn thấy rõ ràng hơn trong các phân số - nếu, nói một cách tương đối, thì giá trị này chủ yếu được hiểu là căn "đầy đủ" của phương trình, và không phải là ước của số, và thậm chí còn hơn thế nữa - không phải là một phần của số!

Giải pháp, về nguyên tắc, nó cũng có thể được sắp xếp theo từng bước, nhưng trong trường hợp này trò chơi không có giá trị nến. Nhiệm vụ ban đầu là đơn giản hóa mọi thứ không chứa "z" chưa biết, do đó phương trình sẽ được rút gọn về dạng:

Hãy tự tin đơn giản hóa phân số trung bình:

Chúng tôi chuyển kết quả sang phía bên phải và tìm thấy sự khác biệt:

Ghi chú : và một lần nữa tôi thu hút sự chú ý của bạn đến điểm có ý nghĩa - ở đây chúng tôi không trừ một số cho một số, nhưng cộng các phân số thành một mẫu số chung! Cần lưu ý rằng trong quá trình giải pháp không bị cấm làm việc với các con số: Tuy nhiên, trong ví dụ đang xem xét, phong cách như vậy có hại hơn là hữu ích =)

Theo quy tắc tỷ lệ, chúng tôi biểu thị "z":

Bây giờ bạn có thể chia và nhân một lần nữa với biểu thức liền kề, nhưng các số giống nhau một cách đáng ngờ của tử số và mẫu số gợi ý động thái sau:

Trả lời:

Vì mục đích xác minh, chúng tôi thay thế giá trị kết quả vào bên trái của phương trình ban đầu và thực hiện đơn giản hóa:

- Nhận được vế phải của phương trình ban đầu, vì vậy nghiệm được tìm đúng căn.

… Bây giờ, bây giờ… Tôi sẽ chọn một cái gì đó thú vị hơn cho bạn… giữ:

Ví dụ 6

giải phương trình

Phương trình này rút gọn về dạng, và do đó là tuyến tính. Gợi ý, tôi nghĩ, là rõ ràng - hãy bắt đầu!

Tất nhiên ... làm sao bạn có thể sống mà không có nó:

Phương trình bậc hai với hệ số phức

Vào bài học Số phức cho hình nộm chúng ta đã học được rằng một phương trình bậc hai với các hệ số thực có thể có các nghiệm phức liên hợp, sau đó một câu hỏi logic được đặt ra: tại sao, trên thực tế, bản thân các hệ số không thể là phức? Tôi sẽ hình thành trường hợp chung:

Phương trình bậc hai với hệ số phức tùy ý (1 hoặc 2 trong số đó hoặc đặc biệt cả ba có thể hợp lệ) Nó có hai và chỉ hai rễ phức tạp (có thể một trong số đó hoặc cả hai đều hợp lệ). Trong khi rễ (cả thực và có phần ảo khác 0) có thể trùng hợp (là nhiều).

Phương trình bậc hai với hệ số phức được giải theo cách tương tự như phương trình "trường học", với một số khác biệt trong kỹ thuật tính toán:

Ví dụ 7

Tìm nghiệm nguyên của phương trình bậc hai

Giải pháp: đơn vị tưởng tượng ở vị trí đầu tiên và về nguyên tắc, bạn có thể loại bỏ nó (nhân cả hai bên với), tuy nhiên, không có nhu cầu cụ thể cho điều này.

Để thuận tiện, chúng tôi viết các hệ số:

Chúng tôi không mất "điểm trừ" của thành viên miễn phí! ... Nó có thể không rõ ràng với mọi người - Tôi sẽ viết lại phương trình ở dạng chuẩn :

Hãy tính số phân biệt:

Đây là trở ngại chính:

Ứng dụng của công thức chung để trích xuất gốc (xem đoạn cuối của bài báo Số phức cho hình nộm) phức tạp bởi những khó khăn nghiêm trọng liên quan đến đối số của số phức căn (tự mình xem). Nhưng có một cách khác, "đại số"! Chúng tôi sẽ tìm kiếm gốc trong biểu mẫu:

Hãy bình phương cả hai bên:

Hai số phức bằng nhau nếu phần thực và phần ảo của chúng bằng nhau. Do đó, chúng tôi nhận được hệ thống sau:

Hệ thống dễ giải quyết hơn bằng cách chọn (một cách kỹ lưỡng hơn là diễn đạt từ phương trình thứ 2 - thay vào phương trình thứ nhất, nhận và giải phương trình bậc hai). Giả sử rằng tác giả của bài toán không phải là một con quái vật, chúng tôi đưa ra giả thuyết đó và là các số nguyên. Từ phương trình đầu tiên, nó theo sau rằng "x" modulo nhiều hơn "y". Ngoài ra, tích cực cho chúng ta biết rằng những ẩn số có cùng dấu hiệu. Dựa trên những điều đã nói ở trên và tập trung vào phương trình thứ 2, chúng tôi viết ra tất cả các cặp phù hợp với nó:

Rõ ràng, hai cặp cuối cùng thỏa mãn phương trình thứ nhất của hệ thống, do đó:

Kiểm tra trung gian sẽ không có hại:

đã được kiểm tra.

Là một gốc "đang làm việc", bạn có thể chọn bất cứÝ nghĩa. Rõ ràng là tốt hơn nên lấy phiên bản không có "khuyết điểm":

Nhân tiện, chúng tôi tìm ra gốc rễ, không quên rằng:

Trả lời:

Hãy kiểm tra xem các nghiệm nguyên tìm được có thỏa mãn phương trình hay không :

1) Thay thế:

bình đẳng đúng.

2) Thay thế:

bình đẳng đúng.

Vì vậy, giải pháp được tìm thấy một cách chính xác.

Lấy cảm hứng từ vấn đề vừa thảo luận:

Ví dụ 8

Tìm nghiệm nguyên của phương trình

Lưu ý rằng căn bậc hai của hoàn toàn phức tạp số được trích xuất hoàn hảo và sử dụng công thức chung , ở đâu , vì vậy cả hai phương pháp đều được hiển thị trong mẫu. Nhận xét hữu ích thứ hai liên quan đến thực tế là việc khai thác sơ bộ gốc từ hằng số không đơn giản hóa giải pháp nào cả.

Và bây giờ bạn có thể thư giãn - trong ví dụ này, bạn sẽ bắt đầu với một chút sợ hãi :)

Ví dụ 9

Giải phương trình và kiểm tra

Lời giải và đáp án cuối bài.

Đoạn cuối của bài báo được dành cho

hệ phương trình với số phức

Chúng tôi thư giãn và… chúng tôi không căng thẳng =) Hãy xem xét trường hợp đơn giản nhất - một hệ hai phương trình tuyến tính với hai ẩn số:

Ví dụ 10

Giải hệ phương trình. Trình bày câu trả lời dưới dạng đại số và cấp số nhân, mô tả các gốc trong hình vẽ.

Giải pháp: điều kiện chính nó cho thấy rằng hệ thống có một nghiệm duy nhất, đó là chúng ta cần tìm hai số thỏa mãn cho mỗi hệ phương trình.

Hệ thống thực sự có thể được giải quyết theo cách "trẻ con" (thể hiện một biến này theo nghĩa của một biến khác) , nhưng nó thuận tiện hơn nhiều khi sử dụng Công thức của Cramer. Tính toán yếu tố quyết định chính hệ thống:

, vì vậy hệ thống có một giải pháp duy nhất.

Tôi nhắc lại rằng tốt hơn là không nên vội vàng và kê các bước càng chi tiết càng tốt:

Chúng tôi nhân tử số và mẫu số với một đơn vị tưởng tượng và lấy căn số 1:

Tương tự:

Các phía bên tay phải tương ứng, p.t.p.

Hãy thực hiện bản vẽ:

Chúng tôi biểu diễn các gốc ở dạng hàm mũ. Để làm điều này, bạn cần tìm các mô-đun và đối số của chúng:

1) - cung tiếp tuyến của "hai" được tính là "kém", vì vậy chúng tôi để nó như sau: